背包问题的蚂蚁优化算法

加以研究 。 背包问题的描述有多种形式 , 其中 , 一般的整数背
包问题可在有界的前提下化成等价的 0-1 背包问题 , 本文这 里仅考虑最基本的一维 0-1 背包 问题 。
记 pi 、wi(i =1 , 2, … , n)分别为物 品的价值 和重量 , V 为总
重量限制 , 变量
xi =
0 , 不携带物品 1 , 携带物品 i
第 8期
马 良等 :背包问题的蚂蚁优化算法
5
于是 , 解 0 -1 背包问题的蚂蚁算法过程可归纳为 :
Begin nc → 0 ;(nc 为迭代次数) 初始化 ;
Repeat 将各蚂蚁置于相应变量的 0 、1 位置点 ; 按转移概率移动各蚂蚁 ; 按强度更新方程更新信息素轨迹 ; 记录当前的最佳蚂蚁位置 ;
和 1 之间(体现强度的持久 性 , 一般取 0.5 ～ 0.7 左右)。
优化过程借助蚂蚁从其初始 状态(0 或 1 的位置 点)开始
的不断移动来进行 :
当 ηij > 0 时 , 蚂蚁 i 按概率 Pij 从 i 状态移至 j 状态 , 即相 应的 x 变为 1 - x;
当 ηij ≤ 0 时 , 蚂蚁 i 维持原状态 。
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为精确算法(如动态规划 、回溯法 、分支定界等指数级方 法)和 近似算法(如贪心法 、Lagrange 法等)两大类 。 下面将给出一种
基于人工蚂蚁优化思想的新型算法 , 经大量计算试验 , 取得了
一定的效果 。
2 算法思想
蚂蚁算法(ant algorithm)是近些年新出现的一种 仿生类优
化算法[ 2 , 3] , 它吸 收了昆虫王国中蚂 蚁群体 的行为特 性 , 用蚂
4 结论
本文给出的求解算法 , 不仅可用于上述基本的背包问题 , 对整数形式的背包问题同样适用 , 更为重要的是 , 算法还能求 解非线性形式的背包 问题 , 这对已 有的经 典方法 来说是 无能 为力的 。 当然 , 蚂蚁算法在本质上与当前流行的遗传算法 、模 拟退火法等类似 , 都属于随机型优化方法 , 其最大的弱点是计 算时间较长 , 并行化实现 是一个 很好的 出路 。 鉴于 其基本 的 理论与应用研究现今 还处于 萌芽时期 , 更 多深入 细致的 工作 有待于进一步展开 。
蚁群在搜索食物源的过 程中所体现出来的寻优能力来解决一
些离散系统优化中的困难问题 。 该方法目 前已在许多方面表
现出相当 好的 性 能 , 求 解 的问 题 领域 涉 及经 典 的 货郎 问 题
(TSP)、工件排序问题 、图着色问题 、车辆调度 、度约束最小树 、 以及多目标组合优化等 许多方面[ 4 -8] 。
i
(i
=1 , 2,
…,
n)
则问题模型可写成如下的 0-1 整数线性规划形式 :
n
∑ MaxZ = pixi i =1
n
∑wixi ≤ V
S .t i =1
(i = 1, 2, ..., n)
xi ∈ {0 , 1},
从计算复杂性理论来 看 , 背包问 题是 个 NP -难 题 , 是否
存在多项式时间有效算法尚不可知 。 目前已有的求解方法分
收稿日期 :2001-04-25(修改稿) 基金项目 :上海市曙光计划(No .2000SG30);校博士启动基金(No .X 265) 作者简介 :马良(1964-), 男 , 教授 , 博士 , 主要研究方向 :系统工程 、进化 计算 ; 王龙德(1942 -), 男 , 教 授 , 主要研 究方向 :系统工程 、运筹 学.
由于本文讨论的是 0 -1 背 包问题 , 每 个变量 仅取 0 和 1 两个值 , 因此 , 对每个 变量设 置了 2 个 蚂蚁(也可 多于 2 个),
并记
ηij = fj - fi , (目标函数差值)
其中 , 目标函数 f 的形式已转化 为 :
n
n
∑ ∑ pixi -M · min 0 , V - wixi
Key words:knapsack problem ;optimization ;ant algorithm
1 引言
背包问题(Knapsack Problem)是运筹学中一个典 型的优化 难题[ 1] , 有着广泛的实际应用背景 , 如预算控制 、项目选 择 、材
料切割 、货物装载等问题 , 并且还常常作为其他问题的子问题
i =1
i =1
(M 为一充分大的正数), 即把原 约束方 程作为 罚函数 项
加入原目标中 。
∑ 转移概率 p ij =
τj · ηij τk · ηik
k
其中 τj 理解为蚂蚁 j 的邻域吸引强度 。
∑ 强度更新方程为 : τnj ew = ρ· τojld + Δτkj
k
这 里 , Δτkj 的值在每次邻域移动Liang , WANG Long-de
(College of Management , University of Shanghai for Science and Technology , Shanghai 200093 , China)
Abstract:Based on the ant colony optimization idea , this paper presents a new algorithm for the classical knapsack problem. Results of numerical tests show the effectiveness and generality of the method.
摘 要 :针对经典的背包问题 , 给出一种新的基于蚂蚁优化思想的求解算法 。 数值试验计算结果 表明 , 该方法是行之有效的 , 并具有通用性 。
关键词 :背包问题 ;优化 ;蚂蚁算法 中图分类号 :TP301 文献标识码 :A
ANT OPTIMIZATION ALGORITHM FOR KNAPSACK PROBLEM
Until nc 大于预定的迭代次数 ;
End 上述 算 法 用 Borland Delphi 5.0 实 现 , 在 PC 系 列 机 的
Windows98 环境下运行通过 。
3 计算试验
我们从实验上将前述蚂蚁算法与背包问题的两个常用算
法——— 回溯法(精确 型)和 ε-近似 法[ 1] 进 行了 大 量 数值 比
第 21 卷第 8 期 2001 年 8 月
计算机应用 Computer Applications
文章编号 :1001-9081(2001)08-0004-02
背包问题的蚂蚁优化算法
马 良 , 王龙德 (上海理工大学 管理学院 , 上海 200093)
Vol .21 , No .8 Aug ., 2001
46}, P ={55, 10 , 47, 5 , 4, 50, 8, 61, 85 , 87}。
解 :运行回溯法和 ε-近似法可 得到最优 值 295。 运行本
文的蚂蚁算法 , 100 次 迭代 后 , 可 得最 优值 , 其 平均 收敛 性态
(每种迭代次数下运行 10 轮)如图 1 所示 :
图 1 收敛性态 [ 例 2] n =20, V =878 , W ={92, 4, 43, 83, 84, 68 , 92 , 82 , 6 , 44 , 32, 18, 56, 83, 25, 96 , 70 , 48, 14, 58}, P ={44 , 46, 90, 72, 91 , 40 , 75, 35, 8 , 54, 78 , 40, 77, 15 , 61, 17 , 75, 29, 75 , 63}。
较 , 各 pi 和 wi 在 1 ～ 100 内随机生成 , V 则选用两种形式 :