吉林省长春市2021届新高考数学考前模拟卷(1)含解析

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吉林省长春市2021届新高考数学四模考试卷含解析

吉林省长春市2021届新高考数学四模考试卷含解析

吉林省长春市2021届新高考数学四模考试卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.双曲线2212yx-=的渐近线方程为()A.32y x=±B.y x=±C.2y x=±D.3y x=±【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的标准方程,即可写出渐近线方程. 【详解】Q双曲线2212yx-=,∴双曲线的渐近线方程为2y x=±,故选:C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质,属于容易题.2.“角谷猜想”的内容是:对于任意一个大于1的整数n,如果n为偶数就除以2,如果n是奇数,就将其乘3再加1,执行如图所示的程序框图,若输入10n=,则输出i的()A.6 B.7 C.8 D.9【答案】B【解析】【分析】模拟程序运行,观察变量值可得结论. 【详解】循环前1,10i n ==,循环时:5,2n i ==,不满足条件1n =;16,3n i ==,不满足条件1n =;8,4n i ==,不满足条件1n =;4,5n i ==,不满足条件1n =;2,6n i ==,不满足条件1n =;1,7n i ==,满足条件1n =,退出循环,输出7i =. 故选:B . 【点睛】本题考查程序框图,考查循环结构,解题时可模拟程序运行,观察变量值,从而得出结论.3.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1(,0)F c -,2(,0)F c ,以线段12F F 为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P ,若直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b E x y 相切,则双曲线的渐近线方程是( ) A .y x =± B .2y x =±C .y = D.y =【答案】B 【解析】 【分析】先设直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b E x y 相切于点M ,根据题意,得到1//EM PF ,再由22114F E F F =,根据勾股定理求出2b a =,从而可得渐近线方程. 【详解】设直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b E x y 相切于点M ,因为12PF F ∆是以圆O 的直径12F F 为斜边的圆内接三角形,所以1290F PF ∠=o,又因为圆E 与直线2PF 的切点为M ,所以1//EM PF ,又22114F E F F =,所以144b PF b =⋅=, 因此22PF a b =+,因此有222(2)4b a b c ++=,所以2b a =,因此渐近线的方程为2y x =±. 故选B【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程,熟记双曲线的简单性质即可,属于常考题型.4.512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为 A .-40 B .-20C .20D .40【答案】D 【解析】令x=1得a=1.故原式=511()(2)x x x x +-.511()(2)x x x x+-的通项521552155(2)()(1)2r r r r r r r r T C x x C x ----+=-=-,由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80,由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40,故所求的常数项为40 ,选D解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘,若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x ,选3个提出1x ;若第1个括号提出1x ,从余下的括号中选2个提出1x,选3个提出x. 故常数项=223322335353111(2)()()(2)X C X C C C X X X X⋅⋅-+⋅-⋅=-40+80=405.设全集U =R ,集合{|(1)(3)0}A x x x =--≥,11|24xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭.则集合()U A B I ð等于( )A .(1,2)B .(2,3]C .(1,3)D .(2,3)【答案】A 【解析】 【分析】先算出集合U A ð,再与集合B 求交集即可. 【详解】因为{|3A x x =≥或1}x ≤.所以{|13}U A x x =<<ð,又因为{}|24{|2}xB x x x =<=<. 所以(){|12}U A B x x ⋂=<<ð. 故选:A. 【点睛】本题考查集合间的基本运算,涉及到解一元二次不等式、指数不等式,是一道容易题.6.某几何体的三视图如图所示,若侧视图和俯视图均是边长为2的等边三角形,则该几何体的体积为A .83B .43C .1D .2【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】由三视图可知,该几何体是三棱锥,底面是边长为23,所以该几何体的体积113223132V =⨯⨯⨯=,故选C .7.()252(2)x x -+的展开式中含4x 的项的系数为( ) A .20- B .60 C .70 D .80【答案】B 【解析】 【分析】展开式中含4x 的项是由5(2)x +的展开式中含4x 和2x 的项分别与前面的常数项2-和2x 项相乘得到,由二项式的通项,可得解 【详解】由题意,展开式中含4x 的项是由5(2)x +的展开式中含4x 和2x 的项分别与前面的常数项2-和2x 项相乘得到,所以()252(2)x x -+的展开式中含4x 的项的系数为1335522260C C -⨯+⨯=.故选:B 【点睛】本题考查了二项式系数的求解,考查了学生综合分析,数学运算的能力,属于基础题.8.已知变量x ,y 满足不等式组210x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩,则2x y -的最小值为( )A .4-B .2-C .0D .4【答案】B 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值. 【详解】解:由变量x ,y 满足不等式组210x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩,画出相应图形如下:可知点()1,1A ,()0,2B ,2x y -在B 处有最小值,最小值为2-.故选:B. 【点睛】本题主要考查简单的线性规划,运用了数形结合的方法,属于基础题.9.在平行四边形ABCD 中,113,2,,D,32AB AD AP AB AQ A ====u u u v u u u v u u u v u u u v 若CP C 12,Q ⋅=u u u v u u u v则ADC ∠=( )A .56πB .34π C .23π D .2π 【答案】C 【解析】 【分析】由23CP CB BP AD AB =+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,12CQ CD DQ AB AD =+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,利用平面向量的数量积运算,先求得,3BAD π∠=利用平行四边形的性质可得结果.【详解】如图所示,平行四边形ABCD 中, 3,2AB AD ==,11,32AP AB AQ AD ==u u u r u u u r u u u r u u u r ,23CP CB BP AD AB ∴=+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,12CQ CD DQ AB AD =+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,因为12CP CQ ⋅=u u u r u u u r,所以2132CP CQ AD AB AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22214323AB AD AB AD =++⋅u u ur u u u r u u u r u u u r222143232cos 12323BAD =⨯+⨯+⨯⨯⨯∠=, 1cos 2BAD ∠=,,3BAD π∴∠= 所以233ADC πππ∠=-=,故选C. 【点睛】本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积的运算法则,属于中档题. 向量的运算有两种方法:(1)平行四边形法则(平行四边形的对角线分别是两向量的和与差);(2)三角形法则(两箭头间向量是差,箭头与箭尾间向量是和).10.已知函数()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图像上,则实数k 的取值范围是( )A .1,12⎛⎫⎪⎝⎭B .13,24⎛⎫⎪⎝⎭C .1,13⎛⎫⎪⎝⎭D .1,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】可将问题转化,求直线 1y kx =-关于直线1y =-的对称直线,再分别讨论两函数的增减性,结合函数图像,分析临界点,进一步确定k 的取值范围即可 【详解】可求得直线 1y kx =-关于直线1y =-的对称直线为1y mx =-()m k =-,当0x >时,()ln 2f x x x x =-,()'ln 1f x x =-,当x e =时,()'0f x =,则当()0,x e ∈时,()'0f x <,()f x 单减,当(),x e ∈+∞时,()'0f x >,()f x 单增;当0x ≤时,()232f xx x =+,()3'22f x x =+,当34x =-,()'0f x =,当34x <-时,()f x 单减,当304x -<<时,()f x 单增; 根据题意画出函数大致图像,如图:当1y mx =-与()232f x x x =+(0x ≤)相切时,得0∆=,解得12m =-;当1y mx =-与()ln 2f x x x x =-(0x >)相切时,满足ln 21ln 1y x x xy mx m x =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩,解得1,1x m ==-,结合图像可知11,2m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭,即11,2k ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭,1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选:A 【点睛】本题考查数形结合思想求解函数交点问题,导数研究函数增减性,找准临界是解题的关键,属于中档题 11.在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,3C π=,若()6,m c a b =-u r ,(,6n a b c =-r,且//m n u r r,则ABC ∆的面积为( )A .3B .93C 33D .33【答案】C 【解析】 【分析】由//m n u r r ,可得2()(6)(6)a b c c -=-+,化简利用余弦定理可得2221cos 322a b c abπ+-==,解得ab .即可得出三角形面积. 【详解】解:Q ()6,m c a b =--u r ,(),6n a b c =-+r ,且//m n u r r,2()(6)(6)a b c c ∴-=-+,化为:22226a b c ab +-=-.222261cos 3222a b c ab ab ab π+--∴===,解得6ab =.11333sin 622ABC S ab C ∆∴==⨯⨯=. 故选:C . 【点睛】本题考查了向量共线定理、余弦定理、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 12.若函数f(x)=a |2x -4|(a>0,a≠1)满足f(1)=19,则f(x)的单调递减区间是( ) A .(-∞,2] B .[2,+∞) C .[-2,+∞) D .(-∞,-2]【答案】B 【解析】 由f(1)=得a 2=, ∴a=或a=-(舍), 即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

2021年吉林省高考数学模拟试卷及答案解析

2021年吉林省高考数学模拟试卷及答案解析

第 1 页 共 17 页 2021年吉林省高考数学模拟试卷
试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟.考试结束后,上交答题卡.
第I 卷(选择题,共45分)
一、选择题(本题共9个小题,每小题5分,共45分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.已知集合{}{}22|,|g 14lo A x x B x x ==<≤,则A B =I ( )
A .(),2-∞
B .()0,2
C .()2,0-
D .(]2,2-
2.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若,,a b c 成等比数列,且2c a =,则cos B =( )
A .34
B . 14
C
.4 D
.3 3.下列命题正确的个数为( )
①“函数sin 2y x =的最小正周期为2π
”为真命题;
②对于命题p :0x R ∃∈,20010x x ++<,则命题p 的否定:x R ∀∈,210x x ++≥ ③若,m n R ∈ ,“ n m ln ln <”是“n m e e <”的充分不必要条件
④随机变量ξ服从正态分布N (2,σ2
),P (ξ<4)=0.8则P (2≤ξ<4)=0.3. A.0 B. 1 C. 2 D.3
4. 函数()()R x x x x f ∈+=
2cos 232sin 21,将函数()x f 的图象向右平移3
π个单位长度,得到函数()x g 的图象,则()x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π,上的最小值为( ) A.0 B.23- C.-1 D.2
1。

吉林省长春市普通高中2021届高三一模数学理科试题(详解)

吉林省长春市普通高中2021届高三一模数学理科试题(详解)
(I)若将频率视为概率,求至少有两户
频率/组距
0.30 0.25 0.20 0.15 0.10
购买量在 3, 4 ( 单位: kg )的概率;
O
1 2 3 4 5 6 购买量/kg
(Ⅱ)若抽取的 5 户中购买量在 3, 6( 单位: kg )的户数为 2 户,从这 5 户中选出 3 户进行
生活情况调查,记 3 户中需求量在 3, 6( 单位: kg )的户数为ξ,求ξ的分布列和期望.
上甲路公交车的概率是
A. 10%
B. 50%
C. 60%
D. 90%
5.长江流域内某地南北两岸平行,如图所示已知游船在静水中的
航行速度 v1 的大小 | v1 | 10km/h ,水流的速度 v2 的大小
B
| v2 | 4km/h ,设 v1 和 v2 所成角为 (0 ) ,若游船 要从 A 航行到正北方向上位于北岸的码头 B 处,则 cos 等于
P
E
D
A
C BF
18.(12 分)在 ABC 中,角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ,且满足 a 1 b c cos B . 2
(I)求角 C ;
(Ⅱ)若 a 2,b 3 ,求 cos 2 A C .
19.(12 分)某小区超市采取有力措施保障居民 正常生活的物资供应.为做好日常生活必需的 甲类物资的供应,超市对社区居民户每天对甲 类物资的购买量进行了调查,得到了以下频率 分布直方图(如图),现从小区超市某天购买甲 类物资的居民户中任意选取 5 户.
B. 84 81
C. 165 84
C. 81 84
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.若 tan 2, 则 sin 2

吉林省长春市2021届高三上学期第一次模拟考试数学理试题 Word版含解析

吉林省长春市2021届高三上学期第一次模拟考试数学理试题 Word版含解析

长春市2022—2021学年新高三起点调研考试数学试题卷(理科)【试卷综评】本试卷试题主要留意基本学问、基本力量、基本方法等当面的考察,掩盖面广,留意数学思想方法的简洁应用,试题有新意,符合课改和教改方向,能有效地测评同学,有利于同学自我评价,有利于指导同学的学习,既重视双基力量培育,侧重同学自主探究力量,分析问题和解决问题的力量,突出应用,同时对观看与猜想、阅读与思考等方面的考查。

第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题包括12小题,每小题5分,共60分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项填写在答题卡上) 【题文】1. 已知集合{1,16,4}A x =,2{1,}B x =,若B A ⊆,则x = A. 0 B. 4- C. 0或4- D. 0或4±【学问点】子集的概念;元素的互异性.A1【答案解析】C 解析:由题可得216x =或24x x =,则4,0,4x =-,又当4x =时,A 集合消灭重复元素,因此0x =或4-. 故选C.【思路点拨】依据B A ⊆分状况对参数的取值进行争辩,进而求出参数的值集合. 【题文】2. 如图,在复平面内,复数1z 和2z 对应的点分别是A 和B ,则12z z =A. 5B. 3C. 2D. 12【学问点】复数的除法运算;复数模的概念.L4【答案解析】A 解析:由图可知:1z i =,22z i =-,,则122z i z i ==-. 故选A.【思路点拨】利用复数的几何意义、模的计算公式即可得出. 【题文】3. 下列函数中,既是奇函数又存在极值的是A. 3y x = B. ln()y x =- C. xy xe -= D.2y x x=+【学问点】函数奇偶性;函数单调性与函数极值.B4 B3 B12【答案解析】D 解析:由题可知,B 、C 选项不是奇函数,A 选项3y x =单调递增(无极值),而D 选项既为奇函数又存在极值. 故选D.【思路点拨】依据奇函数、存在极值的条件,即可得出结论.【题文】4. 已知向量m 、n 满足||2=m ,||3=n,||-=m n ||+=m nA. B. 3C.D.【学问点】向量的运算;向量的几何意义.F1 F2【答案解析】B解析:由||-=m n 2222||||2226-++=+=m n m n m n 可知,||3+=m n . 故选B.【思路点拨】依据2222||||2226-++=+=m n m n m n ,代入计算即可. 【题文】5. 已知x 、y 取值如下表:x 0 1 4 5 6y1.3 m 3m 5.67.4 画散点图分析可知:y 与x 线性相关,且求得回归方程为ˆ1yx =+,则m 的值(精确到0.1)为 A. 1.5 B. 1. 6 C. 1.7 D. 1.8 【学问点】回归直线.I4【答案解析】C 解析:将 3.2x =代入回归方程为ˆ1yx =+可得 4.2y =,则4 6.7m =,解得 1.675m =,即精确到0.1后m 的值为1.7. 故选C.【思路点拨】将 3.2x =代入回归方程为ˆ1yx =+可得 4.2y =,即可得出结论. 【题文】6. 右图为一个半球挖去一个圆锥的几何体的三视图,则该几何体的表面积为A. 8(3π+B. 8(3π+C. (4π+D. (8π+【学问点】三视图;几何体表面积. G2【答案解析】D 解析:如图所示,该几何体的表面积为半球面积与圆锥侧面积之和,即2148(82S r rl ππππ=⋅+=+=+. 故选D. 【思路点拨】依据已知中的三视图可得:该几何体是一个半球挖去一个圆锥,其表面积由半球面和圆锥的侧面积组成,由三视图求出球和圆锥底面的半径及圆锥的高,进而求出圆锥的母线长,代入面积公式,可得答案.【题文】7. 已知数列{}n a 为等差数列,其前n 项和为n S ,若420S =,6236S S -=,则该等差数列的公差d =A. 2-B. 2C. 4-D. 4【学问点】数列基本量的求法. D2【答案解析】B 解析:由题意,123420a a a a +++=,345636a a a a +++=, 作差可得816d =,即2d =. 故选B.【思路点拨】由题意,123420a a a a +++=,345636a a a a +++=,作差可得结果. 【题文】8. 函数2()sin ln(1)f x x x =⋅+的部分图像可能是正视图侧视图俯视图OO y x O yxOC D【学问点】函数的图像;函数的奇偶性以及单调性.B4 B3【答案解析】B 解析:由题可知,()f x 为奇函数,且sin x 存在多个零点导致()f x 存在多个零点,故()f x 的图像应为含有多个零点的奇函数图像. 故选B.【思路点拨】由题可知,()f x 为奇函数,且sin x 存在多个零点导致()f x 存在多个零点即可得到结论. 【题文】9. 执行如图所示的程序框图,则输出的结果是A. 14B. 15C. 16D. 17【学问点】程序框图.L1【答案解析】C 解析:由程序框图可知,从1n =到15n =得到3S <-,因此将输出16n =. 故选C.【思路点拨】通过分析循环,推出循环规律,利用循环的次数,求出输出结果.【题文】10. 若2xa =,b =12log c x =,则“a b c >>”是“1x >”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件 【学问点】指、对、幂三种基本初等函数的图像;充要条件.B6 B7 B8A2【答案解析】B 解析:如图可知,“1x >”⇒“a b c >>”,但“a b c >>” /⇒“1x >”,即“a b c >>”是“1x >”的必要不充分条件. 故选B. 【思路点拨】进行双向推断即可.【题文】11. 过抛物线22y px =(0)p >的焦点F 作直线与此抛物线相交于A 、B 两点,O 是坐标原点,当OB FB ≤时,直线AB 的斜率的取值范围是A. [(0,3]B. (,[22,)-∞-+∞C. (,[3,)-∞+∞D. [(0,22]- 【学问点】抛物线的几何性质;直线与抛物线的位置关系. H7 H8【答案解析】D 解析:由题可知,点B 的横坐标4B px ≤时,满足OB FB ≤,此时22B y -≤≤,故直线AB (即直线FB )的斜率的取值范围是[(0,22]-. 故选D.【思路点拨】由题可知,点B 的横坐标,结合已知条件,此时B y 的范围,即可求出直线AB (即直线FB )的斜率的取值范围.【题文】12. 已知定义在R 上的函数()f x 满足①()(2)0f x f x +-=,②()(2)0f x f x ---=,③在[1,1]-上表达式为[1,0]()1(0,1]x f x x x ∈-=- ∈⎪⎩,则函数()f x 与函数1220()log 0x x g x x x ⎧ ⎪=⎨ >⎪⎩≤的图像在区间[3,3]-上的交点个数为A. 5B. 6C. 7D. 8【学问点】函数的周期性、对称性以及函数图像交点个数.B4 B9【答案解析】B 解析:依据①可知()f x 图像的对称中心为(1,0),依据②可知()f x 图像的对称轴为1x =-,结合③画出()f x 和()g x 的部分图像,如图所示,据此可知()f x 与()g x 的图像在[3,3]-上有6个交点. 故选B.【思路点拨】先依据①②知函数的对称中心和对称轴,再分别画出f (x )和g (x )的部分图象,由图象观看交点的个数.第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题(本大题包括4小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在答题卡中的横线上).【题文】13. 若函数1()f x x x=+,则1()e f x dx =⎰____________.【学问点】定积分. B13【答案解析】212e + 解析:计算可得221111()(ln )22e e x e x dx x x ++=+=⎰.【思路点拨】定积分的简洁应用.【题文】14. 在42()(1)x x x+-的开放式中,2x 项的系数是____________. 【学问点】二项式定理.B4 C3 D1【答案解析】12- 解析:在42()(1)x x x+-的开放式中,2x 项是1332442()()12x C x C x x x⋅-+-=-,故2x 的系数为12-.【思路点拨】利用二项式开放式的通项公式,求出开放式中2x 项的系数即可.【题文】15. 若实数,x y 满足2211y x y x y x -⎧⎪-+⎨⎪+⎩≥≥≤,则22z x y =+的取值范围是___________. 【学问点】线性规划.B4 C3 D1【答案解析】1[,25]2解析:由题可知,可行域如右图,目标函数22z x y =+的几何意义为区域内点到原点结束距离的平方,故z 的取值范围是1[,25]2.【思路点拨】由目标函数22z x y =+的几何意义为区域内点到原点距离的平方即可得解.【题文】16. 底面为正三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱称为正三棱柱,则半径为R 的球的内接正三棱柱的体积的最大值为__________.【学问点】正棱柱体积的最值问题. G7【答案解析】3R 解析:设三棱柱的高为2t,由题意可得,正三棱柱的体积为23)2V R t t =-,求导可得当3t R =时,V 取得最大值为3R . 【思路点拨】设三棱柱的高为2t ,由题意可得到正三棱柱的体积的解析式,然后求导即可求得答案. 三、解答题(本大题包括6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤).【题文】17.(本小题满分10分)在△ABC 中,三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且c a C b -=2cos 2. (1) 求角B ;(2) 若△ABC的面积4S =,4=+c a ,求b 的值. 【学问点】正弦定理与余弦定理;三角形面积. C8 【答案解析】(1) 3B π=(2)解析:(1) 依据正弦定理c a C b -=2cos 2可化为2sin cos 2sin sin B C A C =-,即2sin cos 2sin()sin B C B C C =+-整理得2sin cos sin C B C =,即1cos 2B =,3B π=. (5分) (2) 由△ABC的面积1sin 2S ac B ==3ac =,而4a c +=由余弦定理得b ===.(10分)【思路点拨】(1) 先利用正弦定理把边转化为角,再利用三角形的内角和进行转化化简即可. (2) 由面积公式得到4ac =,与4a c +=联立可得结果.【题文】18.(本小题满分12分)已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,且满足22n n S a =-. (1) 求数列}{n a 的通项公式;(2) 设2log n n b a ,求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .【学问点】数列通项公式;数列前n 项和公式;错位相减法. D3 D4 【答案解析】(1) 2n n a = (2) 1(1)22n n T n +=-⋅+ 解析:(1) 当1n =时,11122a S a ==-,解得12a =当2n ≥时,112222n n n n n a S S a a --=-=--+,有12n n a a -=, 所以数列{}n a 是以2为首项,2为公比的等比数列,有2n n a =.(6分)(2) 由(1)知2log 2n n b n ==,有2n n n a b n ⋅=⋅ 212222n n T n =⨯+⨯++⨯①①2⨯,231212222n n T n +=⨯+⨯++⨯② ①-②,得212222n n n T n +-=+++-⨯整理得1(1)22n n T n +=-⋅+.(12分)【思路点拨】(1)由22n n S a =-⇒12a =,当n ≥2时,1n n n a S S -=-⇒12n n a a -=,从而可知数列{a n }是以1为首项,2为公比的等比数列,继而可得数列{a n }的通项公式; (2)易求n b ,利用错位相减法即可求得数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T . 【题文】19.(本小题满分12分) 每年5月17日为国际电信日,某市电信公司每年在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优待,优待方案如下:选择套餐一的客户可获得优待200元,选择套餐二的客户可获得优待500元,选择套餐三的客户可获得优待300元. 依据以往的统计结果绘出电信日当天参与活动的统计图,现将频率视为概率.(1) 求某两人选择同一套餐的概率;(2) 若用随机变量X 表示某两人所获优待金额的总和,求X 的分布列和数学期望.【学问点】概率;分布列. K1 K6 【答案解析】(1)1332(2)分布列见解析;775. 解析:(1) 由题意可得某两人选择同一套餐的概率为1111331388228832P =⋅+⋅+⋅=.(4分)(2) 由题意知某两人可获得优待金额X 的可能取值为400,500,600,700,800,1000.111(400)8864P X ==⋅=12136(500)8864P X C ==⋅⋅= 339(600)8864P X ==⋅= 12118(700)8264P X C ==⋅⋅= 121324(800)2864P X C ==⋅⋅= 1116(1000)2264P X ==⋅=(8分)综上可得X 的分布列为:(10分)X400 500 600 700 800 1000P164 664 964 864 24641664X 的数学期望169824164005006007008001000775646464646464EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. (12分) 【思路点拨】(1)由题意利用互斥大事加法公式能求出某两人选择同一套餐的概率.(2)由题意知某两人可获得优待金额X 的可能取值.分别求出相应的概率,由此能求出X 的分布列和数学期望.【题文】20.(本小题满分12分)如图所示几何体是正方体1111ABCD A B C D -截去三棱锥111B A BC -后所得,点M 为11AC 的中点. (1) 求证:平面11AC D ⊥平面MBD ;(2) 求平面11A BC 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值. 【学问点】空间平面的垂直关系;二面角.G5 G11 【答案解析】(1)见解析解析:(1) 证明:由于几何体是正方体1111ABCD A B C D -截取三棱锥111B A BC -后所得, 11111111111111111111DA DC DM AC A M C M BA BC AC MBD BM AC AC D MBD A M C M DM BM M AC AC D ⎫⎫=⎫⇒⊥⎪⎬⎪=⎭⎪⎪⎪⎪=⎫⎪⎪⇒⊥⇒⊥⎬⎪⎬⇒⊥=⎬⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ =⎭⎪⊂⎪⎭平面平面平面平面.(6分) (2) 以D 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设1DA =, 依题意知,11(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1)A B C , 有111(0,1,1),(1,1,0)A B A C =-=-设平面11A BC 的一个法向量(,,)n x y z =,有11100n A B n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩代入得00y z x y -=⎧⎨-+=⎩,设1x =,有(1,1,1)n =,平面ABCD 的一个法向量(0,0,1)m =,设平面11A BC 与平面ABCD 所成锐二面角大小为α,有3cos 3||||n m n m α⋅==, 所以平面11A BC 与平面ABCD . (12分)【思路点拨】(1)由已知推导出DM ⊥A 1C 1,BM ⊥A 1C 1,从而A 1C 1⊥平面MBD ,由此能证明平面A 1C 1D ⊥平面MBD .(2)以D 为坐标原点,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出平面A 1BC 1与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值.【题文】21.(本小题满分12分)如图,椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左焦点为F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点. AF 的最大值是M ,BF 的最小值是m ,满足234M m a ⋅=. (1) 求该椭圆的离心率;(2) 设线段AB 的中点为G ,AB 的垂直平分线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点,O 是坐标原点. 记GFD ∆的面积为1S ,OED ∆的面积为2S ,求1222122S S S S +的取值范围. 【学问点】椭圆的离心率;直线和椭圆的综合应用. H5 H8【答案解析】(1)12 (2) 9(0,)41解析:(1) 设(,0)(0)F c c ->,则依据椭圆性质得,,M a c m a c =+=-而234M m a ⋅=,所以有22234a c a -=,即224a c =,2a c =,因此椭圆的离心率为12c e a ==.(4分)(2) 由(1)可知2a c =,b =,椭圆的方程为2222143x y c c+=.依据条件直线AB 的斜率肯定存在且不为零,设直线AB 的方程为()y k x c =+,并设1122(,),(,)A x y B x y 则由2222()143y k x c x y c c=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得 222222(43)84120k x ck x k c c +++-=从而有21212122286,(2)4343ck ckx x y y k x x c k k +=-+=++=++,(6分)所以22243(,)4343ck ckG k k -++. 由于DG AB ⊥,所以2223431443D ckk k ckx k +⋅=---+,2243D ck x k =-+. 由Rt FGD ∆与Rt EOD ∆相像,所以22222222122222243()()943434399()43ck ck ck S GD k k k ck S OD k k -+++++===+>-+.(10分)令12St S =,则9t >,从而 1222122229114199S S S S t t =<=+++,即1222122S S S S +的取值范围是9(0,)41. (12分)【思路点拨】(1)依据椭圆性质得,,M a c m a c =+=-,结合234M m a ⋅=即可求出离心率;(2)先求出椭圆的方程,然后设直线AB 的方程,再联立转化为关于x 的方程,由Rt FGD ∆与Rt EOD ∆相像可MAC 1DBCD 1A 1得12S S 的表达式,最终求出范围即可. 【题文】22.(本小题满分12分)已知函数2()1xe f x ax =+,其中a 为实数,常数 2.718e =.(1) 若13x =是函数()f x 的一个极值点,求a 的值;(2) 当4a =-时,求函数()f x 的单调区间;(3) 当a 取正实数时,若存在实数m ,使得关于x 的方程()f x m =有三个实数根,求a 的取值范围.【学问点】函数与导数;导数的运算,函数的单调性、极值;函数与不等式. B3 B11 B12【答案解析】(1) 95a =(2) ()f x 的单调增区间是51(1,)22-,15(,1)22+; ()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-,15(,1)22--,5(1,)2++∞;(3) a 的取值范围是(1,)+∞. 解析:(1)222(21)()(1)xax ax e f x ax -+'=+ (2分)由于13x =是函数()f x 的一个极值点,所以1()03f '=,即12910,935a a a -+==. 而当95a =时,229591521(2)()()59533ax ax x x x x -+=-+=--,可验证:13x =是函数()f x 的一个极值点. 因此95a =. (4分)(2) 当4a =-时,222(481)()(14)xx x e f x x -++'=-令()0f x '=得24810x x -++=,解得512x =±,而12x ≠±. 所以当x 变化时,()f x '、()f x 的变化是x1(,)2-∞- 15(,1)22-- 512- 51(1,)22- 15(,1)22+ 512+5(1,)2++∞ ()f x ' --++-()f x微小值极大值因此()f x 的单调增区间是51(1,)22-,15(,1)22+; ()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-,15(,1)22--,5(1,)2++∞; (9分) (3) 当a 取正实数时,222(21)()(1)xax ax e f x ax -+'=+,令()0f x '=得2210ax ax -+=,当1a >时,解得2212,a a a a a ax x a a--+-==. ()f x 在1(,)x -∞和2(,)x +∞上单调递增,在12(,)x x 上单调递减,但是函数值恒大于零,极大值1()f x ,微小值2()f x ,并且依据指数函数和二次函数的变化速度可知当x →+∞时,2()1x e f x ax =→+∞+,当x →-∞时,2()01xe f x ax=→+. 因此当21()()f x m f x <<时,关于x 的方程()f x m =肯定总有三个实数根,结论成立;当01a <≤时,()f x 的单调增区间是(,)-∞+∞,无论m 取何值,方程()f x m =最多有一个实数根,结论不成立.因此所求a 的取值范围是(1,)+∞. (12分)【思路点拨】(1)求出导数,由条件1()03f '=,解出a ,并检验是否为极值即可;(2)求出4a =-的函数的导数,令()0f x '=得512x =±,而12x ≠±.再解不等式,求出单调区间;(3)求出导数,令()0f x '=,争辩1a >时的两根.并求出极值,争辩它们的符号,再争辩当01a <≤时,()f x 的单调性,即可得到a 的取值范围.。

2021届新高考全国100所名校高考模拟示范卷(一)数学试题(word版,含解析)

2021届新高考全国100所名校高考模拟示范卷(一)数学试题(word版,含解析)

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若,2z i i =-+则z= A.2-iB.1-2iC.-1+2iD.-2+i 2.已知集合2{|30},{2,2}A x x x a B =-+==-,若A∩B={2},则A ∪B=A.{-2,1,2}B.{-2,-1,2}C.{-2,3,2}D.{-2,2}3.62()x x-的展开式的常数项为 A.-120 B.-60 C.120 D.604.某实验室针对某种新型病毒研发了一种疫苗,并在500名志愿者身上进行了人体注射实验,发现注射疫苗的志愿者均产生了稳定的免疫应答。若这些志愿者的某免疫反应蛋白M 的数值X(单位:mg/L)近似服从正态分布2(15,),N σ且X 在区间(10,20)内的人数占总人数的19,25则这些志愿者中免疫反应蛋白M 的数值X 不低于20的人数大约为A.30B.60C.70D.140 5.天文学中为了衡量星星的明暗程度,古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus,又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念。星等的数值越小,星星就越亮;星等的数值越大,它的光就越暗。到了1850年,由于光度计在天体光度测量中的应用,英国天文学家普森(M.R.Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念。天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。两颗星的星等与亮度满足12212.5(lg lg )m m E E -=-,其中星等为i m 的星星的亮度为(1,2).i E i =已知"角宿一"的星等是0.97,"水委一"的星等是0.47.“水委一”的亮度是"角宿一"亮度的r 倍,则与r 最接近的是(当|x|较小时,2101 2.3 2.7x x x ≈++)A.1.56B.1.57C.1.58D.1.596.已知圆C:22(3)(3)9x y -++=,直线l:(m+1)x+(2-m)y-3m=0,则当圆心C 到直线l 的距离最大时,直线l 被圆C 所截得的弦长为A.4 .25B .23C .27D7.如图,在四棱锥P-ABCD 中,PD ⊥平面ABCD,底面ABCD 是梯形,2//,,43AB CD BCD AB π∠==,PD=BC=CD=2,则四棱锥P-ABCD 的外接球的表面积为A.16πB.18πC.20πD.24π8.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F(1,0),准线为l,过焦点F 的直线交抛物线C 于点A 、B(A 在x 轴上方),且点A 的横坐标为3,D 是y 轴正半轴上一点,O 为坐标原点,∠ODA 的角平分线过AF 的中点,则点D 的坐标为A.(0,2) 53.(0,)2B C.(0,3) .(0,33)D二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分。9.已知曲线C:221.x y a b+= A.若C 是双曲线,则ab<0B.若a>0,C 是离心率为2的双曲线,则3b a =- C.若ab>0,则C 是椭圆D.若C 是离心率为12的椭圆,则34b a = 10.已知()cos()(0,0,0)f x A x B A ωϕωϕπ=++>><<,其部分图象如图所示,M 、N 分别为最高点、最低点,则A.A=7B.B=29 .4C πϕ= D.f(11)=32.511.如图,平面α∩平面β=直线l,点A,C ∈α,点B,D ∈β,且A 、B 、C 、D ∉l,点M 、N 分别是线段AB 、CD 的中点。A.当直线AC 与BD 相交时,交点一定在直线l 上B.当直线AB 与CD 异面时,MN 可能与l 平行C.当A 、B 、C 、D 四点共面且AC//l 时,BD//lD.当M 、N 两点重合时,直线AC 与l 不可能相交12.已知数列{}n a 的通项公式是2,n n a =1a 和2a 之间插入1个数11,x 使1112,,a x a 成等差数列;在2a 和3a 之间插入2个数2122,x x ,使221223,,,a x x a 成等差数列;…;在n a 和1n a +之间插入n 个数12,,,n n n n x x x ,使121,,,,,n nn n n n a x x x a +成等差数列。这样得到新数列{}:n b 1112212233132334,,,,,,,,,a x a x x a x x x a …,记数列{}n b 的前n 项和为,n S 则836.A a b =B.112132n n n n n n n a x x x a n -++++++=⋅ 38.320C b = 45.6401D S =三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填在答题卡中的横线上。13.若向量a =(1,2),b -a =(-2,1),则a ·b =____.14.若函数21()7ln 2f x x x a x =-++在x=2处取极值,则a=____ ,f(x)的极大值为____.15.已知正实数a,b,c 满足22243,a b c +=则2c c a b +的最小值为____. 16.如图,在△ABC 中,,3BAC A π∠=B=3,AC=2,点D 为边BC 上一个动点,将△ABD 沿AD 翻折,使得点B到达B '的位置,且平面AB D '⊥平面ACD.当CD=_____时,B C '到最小值。四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(本小题满分10分)在3210,9,3a S b ==<-①②③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中。设n S 为各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和,满足____2,36nn n a a S b +=+是否存在实数b,使得数列{}n a 成为等差数列?若存在,求出b 和数列{}n a 的通项公式;若不存在,请说明理由。(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分)18.(本小题满分12分)第七次全国人口普查是指中国在2020年开展的全国人口普查,普查标准时点是2020年11月1日零时,将彻查人口出生变动情况以及房屋情况。普查对象是普查标准时点在中华人民共和国境内的自然人以及在中华人民共和国境外但未定居的中国公民,不包括在中华人民共和国境内短期停留的境外人员。普查主要调查人口和住户的基本情况,内容包括:姓名、公民身份证号码、性别、年龄、民族、受教育程度、行业、职业、迁移流动、婚姻生育、死亡、住房情况等。普查登记方式全程电子化方式普查,由普查员使用手机上门入户登记或由普查对象通过互联网自主填报。某机构调查了100位居名的普查登记方式,数据统计如下表,部分数据缺失 普查员使用手机上门入户登记 通过互联网自主填报 年龄不超过40岁10 a 年龄超过40岁b 15已知从调查的居民中任取一人,其年龄不超过40岁的概率比其年龄超过40岁的概率大110. (1)求a,b 的值;(2)是否有99%的把握认为年龄与普查登记方式有关?附:22()()()()()n ad bc a b c K d a c b d -=++++其中n=a+b+c+d.P(K 2≥k 0) 0.050 0.010 0.001K 0 3.841 6.635 10.82819.(本小题满分12分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知28sin 72cos2.2B C A -+-=(1)求A;(2)若7,a =b+c=5,求BC 边上的高.20.(本小题满分12分)如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,∠ACB=90°,1,.AC BC AB AA ==D 、E 分别是1CC 、1BB 的中点.(1)证明:1C E ⊥平面ACB 1;(2)求二面角1C AB D --的余弦值.21.(本小题满分12分)已知12F F 、分别为椭圆C:22184x y +=的左、右焦点,点M 是椭圆C 上异于左、右顶点的一点,过点1F 作12F MF ∠的外角平分线的垂线交2F M 的延长线于P 点.(1)当M 点在椭圆C.上运动时,求P 点的轨迹方程E.(2)设点N(t,0)(t≠0),过点N 作一条斜率存在且不为0的直线l 交椭圆C 于A,B 两点,点B 关于x 轴的对称点为B '直线AB '交x 轴于点T,O 是坐标原点,求证:|ON|·|OT|为定值.22.(本小题满分12分)已知函数2()ln 1.f x x x =-+(1)求曲线y= f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若方程f(x)=b 有两个实数根12,,x x 且12,x x <证明:2112.x x b -<-。

2021届吉林省高考数学模拟试卷及答案解析

2021届吉林省高考数学模拟试卷及答案解析
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设直线 : , , ,由原点 在以 为直径的圆的外部,可得 ,联立直线 与椭圆 方程,结合韦达定理,即可求得答案.
【详解】
显然直线 不满足条件,故可设直线 : ,
, ,由 ,得 ,

解得 或 ,
, ,



解得 ,
直线 的斜率 的取值范围为 .
故选:D.
【点睛】
本题考查三视图和锥体的体积计算公式的应用,属于中档题.
11.已知函数 ,若 有2个零点,则实数 的取值范围为()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】令 ,可得 ,要使得 有两个实数解,即 和 有两个交点,结合已知,即可求得答案.
【详解】
令 ,
可得 ,
要使得 有两个实数解,即 和 有两个交点,

令 ,
本题解题关键是掌握椭圆的基础知识和圆锥曲线与直线交点问题时,通常用直线和圆锥曲线联立方程组,通过韦达定理建立起目标的关系式,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
二、填空题
13.已知盒中有2个红球,2个黄球,且每种颜色的两个球均按 , 编号,现从中摸出2个球(除颜色与编号外球没有区别),则恰好同时包含字母 , 的概率为________.
【答案】
【解析】根据组合数得出所有情况数及两个球颜色不相同的情况数,让两个球颜色不相同的情况数除以总情况数即为所求的概率.
【详解】
从袋中任意地同时摸出两个球共 种情况,其中有 种情况是两个球颜色不相同;
故其概率是
故答案为: .
【点睛】
本题主要考查了求事件概率,解题关键是掌握概率的基础知识和组合数计算公式,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.

吉林省长春市2021届新高考一诊数学试题含解析

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吉林省长春市2021届新高考一诊数学试题一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数()()sin f x A x =+ωϕ(π0,0,2A >><ωϕ)的部分图象如图所示,且()()0f a x f a x ++-=,则a 的最小值为( )A .π12B .π6 C .π3D .5π12【答案】A 【解析】 【分析】a 是函数()f x 的零点,根据五点法求出图中零点及y 轴左边第一个零点可得.【详解】 由题意3114126T ππ=-,T π=,∴函数()f x 在y 轴右边的第一个零点为56412πππ+=,在y 轴左边第一个零点是6412πππ-=-,∴a 的最小值是12π.故选:A. 【点睛】本题考查三角函数的周期性,考查函数的对称性.函数()sin()f x A x ωϕ=+的零点就是其图象对称中心的横坐标.2.已知集合{}1A x x =<,{}1xB x e =<,则( ) A .{}1A B x x ⋂=< B .{}A B x x e ⋃=< C .{}1A B x x ⋃=< D .{}01A B x x ⋂=<<【答案】C 【解析】【分析】求出集合B ,计算出A B I 和A B U ,即可得出结论. 【详解】{}1A x x =<Q ,{}{}10x B x e x x =<=<,{}0A B x x ∴⋂=<,{}1A B x x ⋃=<.故选:C. 【点睛】本题考查交集和并集的计算,考查计算能力,属于基础题.3.已知数列{}n a 满足11a =,1n n a a n --=(2n ≥),则数列{}n a 的通项公式n a =( ) A .()112n n + B .()1312n n - C .2n n 1-+ D .222n n -+【答案】A 【解析】 【分析】利用数列的递推关系式,通过累加法求解即可. 【详解】数列{}n a 满足:11a =,*1(2,)n n a a n n n N --=∈…, 可得11a =212a a -= 323a a -= 434a a -=⋯1n n a a n --=以上各式相加可得:1123(1)2n a n n n =+++⋯+=+, 故选:A . 【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用,数列累加法以及通项公式的求法,考查计算能力. 4.定义在R 上函数()f x 满足()()f x f x -=,且对任意的不相等的实数[)12,0,x x ∈+∞有()()12120f x f x x x -<-成立,若关于x 的不等式()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++在[]1,3x ∈上恒成立,则实数m 的取值范围是( )A .1ln6,126e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B .1ln3,126e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦C .1ln3,23e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D .1ln6,23e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】结合题意可知()f x 是偶函数,且在[)0,+∞单调递减,化简题目所给式子,建立不等式,结合导函数与原函数的单调性关系,构造新函数()(),h x g x ,计算最值,即可. 【详解】结合题意可知()f x 为偶函数,且在[)0,+∞单调递减,故()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++可以转换为()()2ln 33f mx x f --≥对应于[]1,3x ∈恒成立,即2ln 33mx x --≤即02ln 6mx x ≤-≤对[]1,3x ∈恒成立即ln 6ln 22x xm m x x +≥≤且对[]1,3x ∈恒成立 令()ln x g x x =,则()[)1ln '1,xg x e x-=在上递增,在(],3e 上递减, 所以()max 1g x e =令()()26ln 5ln ,'0x xh x h x x x+--==<,在[]1,3上递减 所以()min 6ln33h x +=.故1ln3,126m e ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦,故选B. 【点睛】本道题考查了函数的基本性质和导函数与原函数单调性关系,计算范围,可以转化为函数,结合导函数,计算最值,即可得出答案.5.函数()y f x =,x ∈R ,则“()y xf x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】设()()g x xf x =,若函数()y f x =是R 上的奇函数,则()()()()g x xf x xf x g x -=--==,所以,函数()y xf x =的图象关于y 轴对称.所以,“()y f x =是奇函数”⇒“()y xf x =的图象关于y 轴对称”;若函数()y f x =是R 上的偶函数,则()()()()()g x xf x xf x xf x g x -=--=-==,所以,函数()y xf x =的图象关于y 轴对称.所以,“()y xf x =的图象关于y 轴对称”⇒“()y f x =是奇函数”.因此,“()y xf x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的必要不充分条件. 故选:B. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合函数奇偶性的性质判断是解决本题的关键,考查推理能力,属于中等题.6.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为,,a b c ,已知1,30a b B ===o ,则A 为( )A .60oB .120oC .60o 或150oD .60o 或120o【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理可求得sin 2A =,再由角A 的范围可求得角A. 【详解】由正弦定理可知sin sin a b A B =1sin 30=o,解得sin A =,又0180A <<o o ,且>a b ,所以60A ︒=或120︒。

吉林省长春市2021届新高考数学四模考试卷含解析

吉林省长春市2021届新高考数学四模考试卷含解析

吉林省长春市2021届新高考数学四模考试卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.双曲线2212yx-=的渐近线方程为()A.32y x=±B.y x=±C.2y x=±D.3y x=±【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的标准方程,即可写出渐近线方程. 【详解】Q双曲线2212yx-=,∴双曲线的渐近线方程为2y x=±,故选:C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质,属于容易题.2.“角谷猜想”的内容是:对于任意一个大于1的整数n,如果n为偶数就除以2,如果n是奇数,就将其乘3再加1,执行如图所示的程序框图,若输入10n=,则输出i的()A.6 B.7 C.8 D.9【答案】B【解析】【分析】模拟程序运行,观察变量值可得结论. 【详解】循环前1,10i n ==,循环时:5,2n i ==,不满足条件1n =;16,3n i ==,不满足条件1n =;8,4n i ==,不满足条件1n =;4,5n i ==,不满足条件1n =;2,6n i ==,不满足条件1n =;1,7n i ==,满足条件1n =,退出循环,输出7i =. 故选:B . 【点睛】本题考查程序框图,考查循环结构,解题时可模拟程序运行,观察变量值,从而得出结论.3.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1(,0)F c -,2(,0)F c ,以线段12F F 为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P ,若直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b E x y 相切,则双曲线的渐近线方程是( ) A .y x =± B .2y x =±C .y = D.y =【答案】B 【解析】 【分析】先设直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b E x y 相切于点M ,根据题意,得到1//EM PF ,再由22114F E F F =,根据勾股定理求出2b a =,从而可得渐近线方程. 【详解】设直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b E x y 相切于点M ,因为12PF F ∆是以圆O 的直径12F F 为斜边的圆内接三角形,所以1290F PF ∠=o,又因为圆E 与直线2PF 的切点为M ,所以1//EM PF ,又22114F E F F =,所以144b PF b =⋅=, 因此22PF a b =+,因此有222(2)4b a b c ++=,所以2b a =,因此渐近线的方程为2y x =±. 故选B【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程,熟记双曲线的简单性质即可,属于常考题型.4.512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为 A .-40 B .-20C .20D .40【答案】D 【解析】令x=1得a=1.故原式=511()(2)x x x x +-.511()(2)x x x x+-的通项521552155(2)()(1)2r r r r r r r r T C x x C x ----+=-=-,由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80,由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40,故所求的常数项为40 ,选D解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘,若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x ,选3个提出1x ;若第1个括号提出1x ,从余下的括号中选2个提出1x,选3个提出x. 故常数项=223322335353111(2)()()(2)X C X C C C X X X X⋅⋅-+⋅-⋅=-40+80=405.设全集U =R ,集合{|(1)(3)0}A x x x =--≥,11|24xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭.则集合()U A B I ð等于( )A .(1,2)B .(2,3]C .(1,3)D .(2,3)【答案】A 【解析】 【分析】先算出集合U A ð,再与集合B 求交集即可. 【详解】因为{|3A x x =≥或1}x ≤.所以{|13}U A x x =<<ð,又因为{}|24{|2}xB x x x =<=<. 所以(){|12}U A B x x ⋂=<<ð. 故选:A. 【点睛】本题考查集合间的基本运算,涉及到解一元二次不等式、指数不等式,是一道容易题.6.某几何体的三视图如图所示,若侧视图和俯视图均是边长为2的等边三角形,则该几何体的体积为A .83B .43C .1D .2【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】由三视图可知,该几何体是三棱锥,底面是边长为23,所以该几何体的体积113223132V =⨯⨯⨯=,故选C .7.()252(2)x x -+的展开式中含4x 的项的系数为( ) A .20- B .60 C .70 D .80【答案】B 【解析】 【分析】展开式中含4x 的项是由5(2)x +的展开式中含4x 和2x 的项分别与前面的常数项2-和2x 项相乘得到,由二项式的通项,可得解 【详解】由题意,展开式中含4x 的项是由5(2)x +的展开式中含4x 和2x 的项分别与前面的常数项2-和2x 项相乘得到,所以()252(2)x x -+的展开式中含4x 的项的系数为1335522260C C -⨯+⨯=.故选:B 【点睛】本题考查了二项式系数的求解,考查了学生综合分析,数学运算的能力,属于基础题.8.已知变量x ,y 满足不等式组210x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩,则2x y -的最小值为( )A .4-B .2-C .0D .4【答案】B 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值. 【详解】解:由变量x ,y 满足不等式组210x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩,画出相应图形如下:可知点()1,1A ,()0,2B ,2x y -在B 处有最小值,最小值为2-.故选:B. 【点睛】本题主要考查简单的线性规划,运用了数形结合的方法,属于基础题.9.在平行四边形ABCD 中,113,2,,D,32AB AD AP AB AQ A ====u u u v u u u v u u u v u u u v 若CP C 12,Q ⋅=u u u v u u u v则ADC ∠=( )A .56πB .34π C .23π D .2π 【答案】C 【解析】 【分析】由23CP CB BP AD AB =+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,12CQ CD DQ AB AD =+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,利用平面向量的数量积运算,先求得,3BAD π∠=利用平行四边形的性质可得结果.【详解】如图所示,平行四边形ABCD 中, 3,2AB AD ==,11,32AP AB AQ AD ==u u u r u u u r u u u r u u u r ,23CP CB BP AD AB ∴=+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,12CQ CD DQ AB AD =+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,因为12CP CQ ⋅=u u u r u u u r,所以2132CP CQ AD AB AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22214323AB AD AB AD =++⋅u u ur u u u r u u u r u u u r222143232cos 12323BAD =⨯+⨯+⨯⨯⨯∠=, 1cos 2BAD ∠=,,3BAD π∴∠= 所以233ADC πππ∠=-=,故选C. 【点睛】本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积的运算法则,属于中档题. 向量的运算有两种方法:(1)平行四边形法则(平行四边形的对角线分别是两向量的和与差);(2)三角形法则(两箭头间向量是差,箭头与箭尾间向量是和).10.已知函数()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图像上,则实数k 的取值范围是( )A .1,12⎛⎫⎪⎝⎭B .13,24⎛⎫⎪⎝⎭C .1,13⎛⎫⎪⎝⎭D .1,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】可将问题转化,求直线 1y kx =-关于直线1y =-的对称直线,再分别讨论两函数的增减性,结合函数图像,分析临界点,进一步确定k 的取值范围即可 【详解】可求得直线 1y kx =-关于直线1y =-的对称直线为1y mx =-()m k =-,当0x >时,()ln 2f x x x x =-,()'ln 1f x x =-,当x e =时,()'0f x =,则当()0,x e ∈时,()'0f x <,()f x 单减,当(),x e ∈+∞时,()'0f x >,()f x 单增;当0x ≤时,()232f xx x =+,()3'22f x x =+,当34x =-,()'0f x =,当34x <-时,()f x 单减,当304x -<<时,()f x 单增; 根据题意画出函数大致图像,如图:当1y mx =-与()232f x x x =+(0x ≤)相切时,得0∆=,解得12m =-;当1y mx =-与()ln 2f x x x x =-(0x >)相切时,满足ln 21ln 1y x x xy mx m x =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩,解得1,1x m ==-,结合图像可知11,2m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭,即11,2k ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭,1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选:A 【点睛】本题考查数形结合思想求解函数交点问题,导数研究函数增减性,找准临界是解题的关键,属于中档题 11.在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,3C π=,若()6,m c a b =-u r ,(,6n a b c =-r,且//m n u r r,则ABC ∆的面积为( )A .3B .93C 33D .33【答案】C 【解析】 【分析】由//m n u r r ,可得2()(6)(6)a b c c -=-+,化简利用余弦定理可得2221cos 322a b c abπ+-==,解得ab .即可得出三角形面积. 【详解】解:Q ()6,m c a b =--u r ,(),6n a b c =-+r ,且//m n u r r,2()(6)(6)a b c c ∴-=-+,化为:22226a b c ab +-=-.222261cos 3222a b c ab ab ab π+--∴===,解得6ab =.11333sin 622ABC S ab C ∆∴==⨯⨯=. 故选:C . 【点睛】本题考查了向量共线定理、余弦定理、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 12.若函数f(x)=a |2x -4|(a>0,a≠1)满足f(1)=19,则f(x)的单调递减区间是( ) A .(-∞,2] B .[2,+∞) C .[-2,+∞) D .(-∞,-2]【答案】B 【解析】 由f(1)=得a 2=, ∴a=或a=-(舍), 即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

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吉林省长春市2021届新高考数学考前模拟卷(1)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知三棱锥P ABC -中,ABC ∆是等边三角形,43,25,AB PA PC PA BC ===⊥,则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为( )A .25πB .75πC .80πD .100π【答案】D 【解析】 【分析】根据底面为等边三角形,取BC 中点M ,可证明BC ⊥平面PAM ,从而BC PM ⊥,即可证明三棱锥P ABC -为正三棱锥.取底面等边ABC ∆的重心为O ',可求得P 到平面ABC 的距离,画出几何关系,设球心为O ,即可由球的性质和勾股定理求得球的半径,进而得球的表面积. 【详解】设M 为BC 中点,ABC ∆是等边三角形, 所以AM BC ⊥,又因为PA BC ⊥,且PA AM A =I , 所以BC ⊥平面PAM ,则BC PM ⊥, 由三线合一性质可知,PB PA PC ==所以三棱锥P ABC -为正三棱锥,43,AB =25,PA PB PC === 设底面等边ABC ∆的重心为O ', 可得226433AO AM '==⨯=,2220162PO PA AO '=-'=-=, 所以三棱锥P ABC -的外接球球心在面ABC 下方,设为O ,如下图所示:由球的性质可知,PO ⊥平面ABC ,且,,P O O '在同一直线上,设球的半径为R , 在Rt AOO ∆'中,222AO AO OO ='+', 即()22162R R =+-,解得5R =,所以三棱锥P ABC -的外接球表面积为24425100S R πππ==⨯=, 故选:D. 【点睛】本题考查了三棱锥的结构特征和相关计算,正三棱锥的外接球半径求法,球的表面积求法,对空间想象能力要求较高,属于中档题.2.已知集合2{|1}M x x ==.N 为自然数集,则下列表示不正确的是( ) A .1M ∈ B .{1,1}M =-C .M ∅⊆D .M N ⊆【答案】D 【解析】 【分析】集合{}2{|1}1,1M x x ===-.N 为自然数集,由此能求出结果. 【详解】解:集合{}2{|1}1,1M x x ===-.N 为自然数集, 在A 中,1M ∈,正确; 在B 中,{}1,1M =-,正确; 在C 中,M ∅⊆,正确;在D 中,M 不是N 的子集,故D 错误. 故选:D . 【点睛】本题考查命题真假的判断、元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.3.二项式22)nx +的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是( ) A .180 B .90C .45D .360【答案】A 【解析】试题分析:因为22)nx +的展开式中只有第六项的二项式系数最大,所以10n =,551021101022•?()2r rrr r rr T C C x x--+==,令5502r -=,则2r =,23104180T C ==.考点:1.二项式定理;2.组合数的计算.4.已知点()11,A x y ,()22,B x y 是函数()2f x bx =的函数图像上的任意两点,且()y f x =在点1212,22x x x x f ⎛++⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线与直线AB 平行,则( ) A .0a =,b 为任意非零实数 B .0b =,a 为任意非零实数 C .a 、b 均为任意实数 D .不存在满足条件的实数a ,b【答案】A 【解析】 【分析】求得()f x 的导函数,结合两点斜率公式和两直线平行的条件:斜率相等,化简可得0a =,b 为任意非零实数. 【详解】依题意()'2f x bx =+,()y f x =在点1212,22x xx x f ⎛++⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线与直线AB平行,即有()1221b x x +=()1221ab x x x x =++-=,由于对任意12,x x 上式都成立,可得0a =,b 为非零实数.故选:A 【点睛】本题考查导数的运用,求切线的斜率,考查两点的斜率公式,以及化简运算能力,属于中档题.5.已知实数x ,y 满足10260x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩,则22z x y =+的最大值等于( )A .2B .C .4D .8【答案】D 【解析】 【分析】画出可行域,计算出原点到可行域上的点的最大距离,由此求得z 的最大值. 【详解】画出可行域如下图所示,其中()51,,2,22A C ⎛⎫ ⎪⎝⎭,由于2OA ==,OC =,所以OC OA >,所以原点到可行域上的点的最大距离为22. 所以z 的最大值为()2228=.故选:D【点睛】本小题主要考查根据可行域求非线性目标函数的最值,考查数形结合的数学思想方法,属于基础题. 6.设集合{}1,2,3A =,{}220B x x x m =-+=,若{3}A B ⋂=,则B =( )A .{}1,3-B .{}2,3-C .{}1,2,3--D .{}3【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的结果可得3是集合B 的元素,代入方程后可求m 的值,从而可求B . 【详解】依题意可知3是集合B 的元素,即23230m -⨯+=,解得3m =-,由2230x x --=,解得1,3x =-. 【点睛】本题考查集合的交,注意根据交集的结果确定集合中含有的元素,本题属于基础题. 7.定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-()()0≠f x ,且在区间()20172018,上单调递减,已知,αβ是锐角三角形的两个内角,则()()sin cos f f βα,的大小关系是( ) A .()()sin cos βα<f f B .()()sin cos βα>f f C .()()sin =cos βαf f D .以上情况均有可能【答案】B 【解析】 【分析】由已知可求得函数的周期,根据周期及偶函数的对称性可求()f x 在(0,1)上的单调性,结合三角函数的性质即可比较. 【详解】 由1(1)()f x f x +=-可得1(2)[(1)1]()(1)f x f x f x f x +=++=-=+,即函数的周期2T =, 因为在区间(2017,2018)上单调递减,故函数在区间(1,0)-上单调递减, 根据偶函数的对称性可知,()f x 在(0,1)上单调递增, 因为α,β是锐角三角形的两个内角, 所以1,(0,)2αβπ∈且12αβπ+>即12απβ>-, 所以1cos cos()2απβ<-即0cos sin 1αβ<<<,(cos )(sin )f f αβ<.故选:B . 【点睛】本题主要考查函数值的大小比较,根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键. 8.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,则“1322a a a +<”是“210n S -<”的( ) A .充分不必要 B .必要不充分 C .充要 D .既不充分也不必要【答案】A 【解析】 【分析】首先根据等比数列分别求出满足1322a a a +<,210n S -<的基本量,根据基本量的范围即可确定答案. 【详解】{}n a 为等比数列,若1322a a a +<成立,有()21201q a q -+<,因为2210q q -+≥恒成立, 故可以推出10a <且1q ≠, 若210n S -<成立, 当1q =时,有10a <, 当1q ≠时,有()211101n a q q--<-,因为21101n q q-->-恒成立,所以有10a <, 故可以推出10a <,q ∈R ,所以“1322a a a +<”是“210n S -<”的充分不必要条件. 故选:A. 【点睛】本题主要考查了等比数列基本量的求解,充分必要条件的集合关系,属于基础题. 9.如图,四面体ABCD 中,面ABD 和面BCD 都是等腰直角三角形,2AB =,2BAD CBD π∠=∠=,且二面角A BD C --的大小为23π,若四面体ABCD 的顶点都在球O 上,则球O 的表面积为( )A .223πB .283πC .2π D .23π 【答案】B 【解析】 【分析】分别取BD 、CD 的中点M 、N ,连接AM 、MN 、AN ,利用二面角的定义转化二面角A BD C --的平面角为23AMN π∠=,然后分别过点M 作平面ABD 的垂线与过点N 作平面BCD 的垂线交于点O ,在Rt OMN ∆中计算出OM ,再利用勾股定理计算出OA ,即可得出球O 的半径,最后利用球体的表面积公式可得出答案. 【详解】 如下图所示,分别取BD 、CD 的中点M 、N ,连接AM 、MN 、AN ,由于ABD ∆是以BAD ∠为直角等腰直角三角形,M 为BD 的中点,AM BD ∴⊥,2CBD π∠=Q,且M 、N 分别为BD 、CD 的中点,所以,//MN BC ,所以,MN BD ⊥,所以二面角A BD C --的平面角为23AMN π∠=, 2AB AD ==Q ,则222BD AB AD =+=,且2BC =,所以,112AM BD ==,112MN BC ==, ABD ∆Q 是以BAD ∠为直角的等腰直角三角形,所以,ABD ∆的外心为点M ,同理可知,BCD ∆的外心为点N ,分别过点M 作平面ABD 的垂线与过点N 作平面BCD 的垂线交于点O ,则点O 在平面AMN 内,如下图所示,由图形可知,2326OMN AMN AMO πππ∠=∠-∠=-=, 在Rt OMN ∆中,3cos MN OMN OM =∠=,233OM ∴==所以,2221OA OM AM =+=, 所以,球O 的半径为213R =,因此,球O 的表面积为2221284433R πππ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选:B. 【点睛】本题考查球体的表面积,考查二面角的定义,解决本题的关键在于找出球心的位置,同时考查了计算能力,属于中等题.10.以下三个命题:①在匀速传递的产品生产流水线上,质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样是分层抽样;②若两个变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于1;③对分类变量X 与Y 的随机变量2k 的观测值k 来说,k 越小,判断“X 与Y 有关系”的把握越大;其中真命题的个数为( ) A .3 B .2C .1D .0【答案】C 【解析】 【分析】根据抽样方式的特征,可判断①;根据相关系数的性质,可判断②;根据独立性检验的方法和步骤,可判断③. 【详解】①根据抽样是间隔相同,且样本间无明显差异,故①应是系统抽样,即①为假命题;②两个随机变量相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于1;两个随机变量相关性越弱,则相关系数的绝对值越接近于0;故②为真命题;③对分类变量X 与Y 的随机变量2K 的观测值k 来说,k 越小,“X 与Y 有关系”的把握程度越小,故③为假命题. 故选:C . 【点睛】本题以命题的真假判断为载体考查了抽样方法、相关系数、独立性检验等知识点,属于基础题. 11.若函数()f x 的图象如图所示,则()f x 的解析式可能是( )A .()x e xf x x+=B .()21x f x x -=C .()x e xf x x-=D .()21x f x x +=【答案】A 【解析】 【分析】由函数性质,结合特殊值验证,通过排除法求得结果. 【详解】对于选项B, ()21x f x x -=为 奇函数可判断B 错误;对于选项C,当1x <-时, ()0x e xf x x-=<,可判断C 错误;对于选项D, ()22111=+x f x x x x+=,可知函数在第一象限的图象无增区间,故D 错误; 故选:A. 【点睛】本题考查已知函数的图象判断解析式问题,通过函数性质及特殊值利用排除法是解决本题的关键,难度一般.12.若双曲线()22210x y a a-=>的一条渐近线与圆()2222x y +-=至多有一个交点,则双曲线的离心率的取值范围是( )A .)+∞ B .[)2,+∞C .(D .(]1,2【答案】C 【解析】 【分析】求得双曲线的渐近线方程,可得圆心()0,2到渐近线的距离d ≥,由点到直线的距离公式可得a 的范围,再由离心率公式计算即可得到所求范围. 【详解】双曲线()22210x y a a-=>的一条渐近线为1y x a =,即0x ay -=,由题意知,直线0x ay -=与圆()2222x y +-=相切或相离,则d =≥,解得1a ≥,因此,双曲线的离心率(c e a ==.故选:C. 【点睛】本题考查双曲线的离心率的范围,注意运用圆心到渐近线的距离不小于半径,考查化简整理的运算能力,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

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