第7章+图论-3(图的矩阵表示)

无向图的关联矩阵
E e1 , e2 , eq
V v1 , v2 , , v p
定义 1.6.1 设 G (V , E ) 的顶点集和边集分别为
， 。用 bij表示顶点 vi 与边e j 关联的次数(0，1 或2)，称矩阵 B(G) (bij ) pq 为 G 的关联矩阵。
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7.3.1 邻接矩阵
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３４２３ ５５４６ B4 A1 A2 A3 A4 ７７４７ ３２１２
bij表示从结点vi到vj有长度分别为1，2，3， 4的不同通路总数。 此时， bij0，表示从vi到vj是可达的。
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e2
v2
v1
e3
v1源自文库
e9 e5
e8
对应的邻接矩阵
v4 e4
e7
v5
A(G)
M (G )
v2 v3 v4 v5
e6
v1 0 1 0 1 1
v2 1 0 2 1 1
v3 0 2 0 0 0
v4 1 1 0 1 1
v5 1 1 0 1 0
从图的邻接矩阵的定义容易得出以下性质：
15
有向图的邻接 矩阵
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7.3.2 邻接矩阵

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例1
有向图 D (下图所示)，求 A( D) 。
1 0 解：A( D) 0 0
2 0 0 0
1 1 0 1
0 0 1 0
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7.3.2 关联矩阵

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关联矩阵多用于简单无向图
一个图 G (V , E ) 由它的顶点与边的关联关系唯一 确定；
１０１０ ０２１０ A AT １１３１ ００１１
主对角线上的数表 示结点i（或j）的 引出次数。
主对角线上的数表示结 点i（或j）的引入次数。
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7.3.1 邻接矩阵
００１１ ２１０１ A2 A A １１１１ ０１００
7.3.1 邻接矩阵
2.有向图的邻接矩阵
1、设有向图 D V , E ， V v1, v2 ,, vn ，
(1) E m ，D 的邻接矩阵 A( D ) aij nn ，
14
其中 a 指 vi 邻接到 v j 的边的条数 (非负整数)。
(1) ij
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7.3.1 图的矩阵表示
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(4) 重边所对应的列完全相同。
7.3.2 关联矩阵

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有向图的关联矩阵
1、设有向图
D V, E ， V v1, v2 ,, vn ，
E e1 , e2 ,, em ，D 的关联矩阵
M (D) (mij )nm ，
为 e j的始点 2 vie xi 1 j 是自环，且关联与 1 在D中e 以x 为起点，e 不是自环 0 vi与e j不关联 j i j 其中 mij 1 在D中e j以xi 为终点，e j 不是自环 1 vi为e j的终点
内容：关联矩阵，邻接矩阵，可达矩阵。 重点：1、有向图，无向图的关联矩阵， 2、有向图的邻接矩阵。 了解：有向图的可达矩阵。
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7.3.1 图的矩阵表示
3
存储原则: 存储结点集和边集的信息.
（1）存储结点集； （2）存储边集： 存储每两个结点 是否有关系。
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邻接矩阵
7.3.1 邻接矩阵
9
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7.3.1 邻接矩阵
设图Ｇ＝＜Ｖ，Ｅ＞如下图所示 ０１００ ００１１ A １１０１ １０００ 讨论
（1）图G的邻接矩阵中的元素为0和1，∴又称为布尔矩阵； （2）图G的邻接矩阵中的元素的次序是无关紧要的，进行行和行、 列和列的交换，则得到相同矩阵。 ∴若有二个简单有向图，则可得到二个对应的邻接矩阵，若对某一 矩阵进行行和行、列和列之间的交换后得到和另一矩阵相同的矩阵， 则此二图同构。 （3）当有向图中的有向边表示关系时，邻接矩阵就是关系矩阵； （4）零图的邻接矩阵称为零矩阵，即矩阵中的所有元素均为0； （5）在图的邻接矩阵中， ①行中1的个数就是行中相应结点的引出次数 ②列中1的个数就是列中相应结点的引入次数
(1)
M (G) 是一个对称矩阵； A(G) (G) 中第i 行(列)的元素之和等于顶点 vi 的度数； (2) 若M (G)为无环图。则M A(G) A(G)
(3) 两个图G 与H 同构的充要条件是存在一个置换矩阵 P ，使得
相当于将单位 矩阵中相应的 行与行，或者 列与列互换的 矩阵
A(G) M (G) PT M ( H ) P 。
7.3.3 有向图的可达性矩阵

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有向图的可达性矩阵。(了解)
设 D V , E 为有向图， V v1, v2 ,, vn ， 令 pii 1 ，i 1, 2,, n
1 vi可达v j pij (i j ) 0 否则
可达性矩阵 P ( pij )nn
( n 1) 其中元素 pij (i j)可由 Bn 1 bij


n n
求得：
( n 1) 1 b 0 ij pij 0 否则
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7.3.3 有向图的可达性矩阵
根据可达性矩阵， 可知图中任意两个结点 之间是否至少存在一条路以及是否存在回路。 利用有向图的邻接矩阵A， 分以下两步可得 到可达性矩阵。
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7.3.1 邻接矩阵

5
同构图
v1
v3 v4
图G1 1 A1＝ 0 1 1 1 2 1 0 1 1 3 1 1 0 1 4 1 1 1 0
v1<->va
va
v2<->vb
v3<->vc v4<->vd
v2
vb
vc
图G2
vd
a A2 ＝ 0 1 1 1
b 1 0 1 1
c 1 1 0 1
d 1 1 1 0
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7.3.1 邻接矩阵
(1) 由A中a(1)12＝1知， v1和v2是邻接的； 由A3中a(3)12＝ 2知， v1到v2长度为3的路有两条， 从图中可看出是v1 v2 v1 v2和v1 v2 v3 v2 。 (2) 由A2的主对角线上元素知， 每个结点都有长度为２ 的回路， 其中结点v2有两条： v2 v1 v2和v2 v3 v2 ， 其余 结点只有一条。 (3) 由于A3的主对角线上元素全为零， 所以G中没有长 度为３的回路。 (4) 由于a（１）34＝a（２）34＝a（３）34＝a（４）34＝０， 所以 结点v3和v4间无路， 它们属于不同的连通分支。 (5) d（v1， v3）＝２。 对其他元素读者自己可以找出它的意义。
1， 2， …， n-1 ）的（i， j）项元素不为零的最小整数l。 (3) Al的（i， i）项元素a(l)ii表示开始并结束于vi长度为l 的回路的数目。
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7.3.1 邻接矩阵
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例1 图G＝（V， E）的图形如图， 求邻接矩阵A和A2， A3， A4， 并分析其元素的图论意义。 解
0 1 A 0 0 0 0 2 3 A 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 2 0 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 2 A 1 0 0 2 0 4 A 2 0 0 0 1 0 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 2 0 0 4 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
G
e1
v3
e2
v2
e3
v1
e9 e5
e8
e7
v5

e6
bij =
从图的关联矩阵的定义容易得出以下性质：
2 e j 关联于xi，e j 是自环 1 e j 关联于xi，e j 不是自环 0 e 不关联与x j i
(1) B (G ) 的每一列元素之和均为2；
(2) B (G ) 的每一行元素之和等于对应顶点的度数。 (3) 若某行元素全为0，则对应的顶点为孤立点。
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7.3.1 邻接矩阵
矩阵的计算：
０１００ ００１１ A １１０１ １０００
11
００１１ １０１０ AT ０１００ ０１１０
２１０１ １２０１ AT A ００１１ １１１２
第七章 图论
引言 7.1 图的基本概念 7.2 路与连通 7.3 图的矩阵表示 7.4 最短路径问题 7.5 图的匹配 8.1 Euler图和Hamilton图 8.2 树 8.3 生成树 8.4 平面图
1
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7.3 图的矩阵表示

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图的矩阵表示 图的数学抽象是三元组，其形象直观的表 示即图的图形表示。为便于计算，特别为便 于用计算机处理图，下面介绍图的第三种表 示方法—图的矩阵表示。利用矩阵的运算还 可以了解到它的一些有关性质。
1.无向图的邻接矩阵
ij a表示 定义 1.6.2设 G (V , E )的顶点集为 V v1 , v2 , , v p，用 (G) (aij ) p p为 G 的邻 G 中顶点 vi与v j 之间的边数。称矩阵M A(G) 接矩阵。
4
G 的邻接矩阵为： 例2下图所示 v
3
e1


判别定理：图G1 ，G2同构的充要条件是：存在置换矩阵P，使得： A1＝PA2P。 其中A1，A2分别是G1 ，G2的邻接矩阵。 如何判断两图同构是图论中一个困难问题
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7.3.1 邻接矩阵

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在邻接矩阵A的幂A2， A3， …矩阵中， 每个元素有特 定的含义。
定理 :设G是具有n个结点集｛v1， v2， …， vn｝ 的图， 其邻接矩 阵为A， 则Al（l＝1， 2， …）的（i， j）项元素a(l)ij是从vi到vj的长 度等于l的路的总数。 证明 : 归纳法 当l＝1时， A1＝A， 由A的定义， 定理显然成立。 若l＝k时定理成立， aij (1)等于G中 联结vi与vj的长 则当l＝k＋1时， A k+1＝ A · Ak ， 度为1的路径条 数。 n 所以 aij (l+1) = aik × akj (l) k=1
长度=l 长度=1 共akj (l)条

vi
vk
vj
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7.3.1 邻接矩阵

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结论：
(1) 如果对l＝1， 2， …， n-1， Al的（i， j）项元素 （i≠j）都为零， 那么vi和vj之间无任何路相连接， 即vi和 vj不连通。 因此， vi和vj必属于G的不同的连通分支。
(2) 结点vi 到vj （i≠j）间的距离d（vi， vj）是使Al（l＝
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7.3.2 关联矩阵

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例1
下图所示
的关联矩阵为：
e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 v1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 对应的关联矩阵 v2 1 1 1 0 0 0 1 0 1 B(G ) e v3 1 1 0 0 0 0 0 0 0 v4 4 v4 0 0 1 2 1 1 0 0 0 v5 0 0 0 0 0 1 1 1 0
0 e j 与xi 不关联
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7.3.2 关联矩阵

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例2
有向图
D (下图所示)，求 A(D) M ( D )。
1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 解：M ( D) A(D) 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0
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２１０１ １２１１ A3 A2 A ２２１２ ００１１
１２１１ ２２２３ A4 A3 A ３３２３ ２１０１
表示 i 和 j 之间具有长度为 2 A 的通路数， 3 表示i和j之间具有长度为3 A 的通路数， A4 表示i和j之间具有长度为4 的通路数，