2013兰州一中三模数学文试题及答案

兰州一中2013届高三第三次模拟考试数学文试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效. 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损.
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.
第I 卷(共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1. 集合2{6},{30}A x x B x x x =∈≤=∈->N|R|，则A B = ( )
A .{3,4,5}
B .{4,5,6}
C .{|36}x x <≤
D .{|36}x x ≤< 2．已知i 是虚数单位，则
i i
+-221等于（ ） A ．i -
B ．
i -5
4 C ．
i 5
354- D ．i
3. 若向量,a b 满足||||||1==+=a b a b ，则⋅a b 的值为( ) A .12-
B .1
2
C .1-
D . 1 4．公差不为零的等差数列第2，3，6项构成等比数列，则这三项的公比为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．执行如右图所示的程序框图，输出的S 值为( )
A ．50
2
1- B ．262(41)3
-
C ．51
2
1- D ．252(41)3
-
6. 某几何体的三视图如下，则几何体的表面积为（ ） A . 28+65 B . 30+65 C . 56+125 D . 60+125
7．已知函数()sin()3cos()(0,||)2
f x x x π
ωϕωϕωϕ=+-+><，其图象相邻的两条对称轴
方程为0x =与2
x π
=
，则( )
A ．f (x )的最小正周期为2π，且在(0, π)上为单调递增函数
B ．f (x )的最小正周期为2π，且在(0, π)上为单调递减函数
C ．f (x )的最小正周期为π，且在(0,
)2
π
上为单调递增函数
D ．f (x )的最小正周期为π，且在(0,)2
π
上为单调递减函数
8．函数f (x )=ln(x -1
x
)的图象是( )
9．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，直线l 与
抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若AF FB =
，36BA BC ⋅=
，则抛物线的方程为( )
A ．26y x =
B ．23y x =
C ．212y x =
D ．223y x =
10．已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，其中△ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，
AD =2AB =6 , 则该球的表面积为( )
A ．16π
B ．24π
C ．323
π D ．48π
11. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的左焦点)0)(0,(>-c c F ，作圆：222
4a x y += 的切线，
切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若1()2OE OF OP =+
，则双曲线的离心率为( )
A .
102
B .
10
5
C . 10
D . 2
12．已知函数32()1
32
x mx m n x y +++=+的两个极值点分别为x 1，x 2，且x 1∈(0, 1)，x 2∈(1, +∞)，
记分别以m ，n 为横、纵坐标的点P (m ,n )表示的平面区域为D ，若函数log (4)(1)a y x a =+>的图象上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围为( )
A ．(1,3]
B ．(1,3)
C ． (3,)+∞
D ． [3,)+∞
第Ⅱ卷(共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分, 共20分．
13.某市有A 、B 、C 三所学校共有高三文科学生1500人，且A 、B 、C 三所学校的高三文科学生人数成等差数列，在三月进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三文科学生中抽取容量为120的样本，进行成绩分析，则应从B 校学生中抽取________人.
14．已知函数490,10,33x y x y x y z x y y +-≥⎧⎪
--≤=-⎨⎪≤⎩
满足则的最大值是 .
15. 设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，令lg n n a x =，
则1299a a a +++ 的值为 ． 16．观察下列算式：
13 =1, 23 =3+5, 33 = 7+9+11,
43 =13 +15 +17 +19 ， … …
若某数n 3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2013”这个数，则n = ．
三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）
已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a , b , c , 且2(a 2+b 2-c 2)=3ab . （Ⅰ）求2
sin 2
A B
+； （Ⅱ）若c =2，求△ABC 面积的最大值．
18.（本小题满分12分）
在某大学自主招生考试中，所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A,B,C,D,E五个等级. 某考场考生的两科考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人.
（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；
（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；
（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A. 在至少一科成绩为A 的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率.
19. (本小题满分12分）
在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=1，AA1=2,D为AA1的中点，BD 与AB1交于点O，CO丄侧面ABB1A1.
(Ⅰ)证明: BC AB1;
(Ⅱ)若OC=OA，求三棱锥B1-ABC的体积.
20．（本小题满分12分）
如图，已知椭圆22
143
x y +
=的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于D 、E 两点．
（Ⅰ）若点G 的横坐标为1
4
-，求直线AB 的斜率；
（Ⅱ）记△GFD 的面积为S 1，△OED （O 为原点）的面积为S 2．
试问：是否存在直线AB ，使得S 1=S 2
？说明理由.
21．（本小题满分12分）
已知x
x
x g e x x ax x f ln )(],,0(,ln )(=
∈-=，其中e 是自然常数，.a R ∈ （Ⅰ）当1=a 时, 研究()f x 的单调性与极值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：
1
()()2f x g x >+；
（Ⅲ）是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3？若存在，求出a 的值；若不存在，说明
理由．
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图所示，已知P A 与⊙O 相切，A 为切点，过点P 的割线交圆于B 、C 两点，弦CD ∥AP ，
AD 、BC 相交于点E ，F 为CE 上一点，且DE 2 = EF ·EC . （Ⅰ）求证：CE ·EB = EF ·EP ；
（Ⅱ）若CE :BE = 3:2，DE = 3，EF = 2，求P A 的长.
23. (本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎪⎩
⎪⎨⎧
+-=+-=t
y t x 54
1531(t 为参数）.若以坐标原点O
为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为
)4
sin(2π
θρ+=.
(Ⅰ) 求曲线C 的直角坐标方程; (Ⅱ) 求直线l 被曲线C 所截得的弦长.
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲．
设函数f (x )=|2x -1|+|2x -3| , x ∈R. (Ⅰ)解不等式f (x )≤5； (Ⅱ)若m
x f x g +=)(1
)(的定义域为R ，求实数m 的取值范围.
2013年兰州一中高考三模参考答案
数学文科
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分, 共20分．
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