数学学年论文毕业论文关于定积分一些重要性质的讨论
定积分的自我见解和认识
定积分的自我见解和认识
定积分是微积分中的一个重要概念，用于计算曲线下的面积或者
描述物理现象的量。
它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
我个人对定积分的理解是，它是通过对一个函数在某个区间上的
各个小矩形面积的无限累加，来计算曲线下面积的方法。
通常我们将
这个区间分成无穷多个小区间，并在每个小区间内选择一个点代表该
区间内的函数值，然后将这些小矩形的面积相加，最后得到的就是曲
线下的面积。
定积分有着严格的数学定义和计算公式，但它的本质是在数轴上
进行积分运算，将一个函数映射到一段区间上的数值。
在计算定积分时，可以使用不同的方法，如基本公式、换元积分法、分部积分法等。
除了计算曲线下的面积，定积分还可以用于求函数的平均值、质量、重心等物理量，以及求解一些实际问题，如定积分可以用于计算
物体的体积、电荷的总量等。
总的来说，定积分是一种强大的数学工具，通过将曲线下的面积
划分为无数个小矩形，可以精确地计算出数学模型或物理现象中的量。
通过学习和理解定积分的概念和方法，我们可以更好地理解和应用微
积分在各个领域中的作用。
定积分的概念分析
定积分的概念分析定积分是微积分学中的重要概念之一，是对函数在一个闭区间上的加和运算。
它在物理学、经济学和工程学等领域有广泛的应用。
本文将对定积分的概念进行分析，并介绍一些相关性质和应用。
一、定积分的定义在介绍定积分的具体定义之前，先引入一些必要的概念。
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则将[a,b]等分为n个小区间，每个小区间的宽度为Δx。
在每个小区间上任取一个点ξi，并设Δx的极限为0，这时ξi变成了[a,b]上的任意一点x。
那么，将每个小区间上的函数值f(ξi)与对应小区间宽度Δx的乘积相加，即可得到一个加和运算，这个加和运算就是函数f(x)在闭区间[a,b]上的定积分，记作∫[a,b]f(x)dx。
定积分可以理解为一个求和的动作，将函数在一个区间上的无穷多个微小部分的面积或者长度，加和成一个整体。
二、定积分的几何意义几何上，定积分可以理解为曲线与坐标轴之间的有符号面积。
具体而言，设函数f(x)在闭区间[a,b]上非负，那么函数f(x)的图像与x轴之间的面积就等于定积分∫[a,b]f(x)dx。
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上存在有负值的部分，那么对应的面积就具有有符号性，即正值部分与负值部分相互抵消。
三、定积分的性质1. 积分的线性性质：对于任意两个函数f(x)和g(x)，以及实数a和b，有∫[a,b](af(x) + bg(x))dx = a∫[a,b]f(x)dx + b∫[a,b]g(x)dx。
2. 积分的次序性：对于任意两个实数a和b，当a < b时，有∫[a,b]f(x)dx = -∫[b,a]f(x)dx。
3. 积分的区间可加性：对于任意三个实数a、b和c，当a < b < c 时，有∫[a,c]f(x)dx = ∫[a,b]f(x)dx + ∫[b,c]f(x)dx。
4. 积分的常数性质：当f(x)在闭区间[a,b]上连续时，有∫[a,b]dx = b - a。
函数的积分和定积分的性质
函数的积分和定积分的性质函数的积分和定积分是微积分中重要的概念，它们有一些独特的性质和特点。
本文将就函数的积分和定积分的性质进行探讨，以帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、函数的积分性质1.1 线性性质函数的积分具有线性性质，即对于任意实数a、b和函数f(x)，有以下等式成立：∫[a,b] (af(x) + bf(x))dx = a∫[a,b] f(x)dx + b∫[a,b] f(x)dx这个性质可以方便地用来计算复杂函数的积分，可以将其分解成若干简单函数的积分求和。
1.2 反向性质函数的积分具有反向性质，即对于任意函数f(x)，如果其导数存在，则有以下等式成立：∫ f'(x)dx = f(x) + C其中C为常数。
这个性质可以用来求函数的原函数，进而求得函数的积分值。
1.3 区间可加性函数的积分具有区间可加性，即对于任意函数f(x)和区间[a, c]，如果在[a, c]上存在中点d，则有以下等式成立：∫[a,c] f(x)dx = ∫[a,d] f(x)dx + ∫[d,c] f(x)dx这个性质可以将一个区间的积分分解成两个子区间的积分求和，进而简化计算过程。
二、定积分的性质2.1 代数和性质定积分具有代数和性质，即对于任意实数a、b和函数f(x)，有以下等式成立：∫[a,b] f(x)dx = -∫[b,a] f(x)dx这个性质表明定积分在区间内部的取值与区间两端的顺序无关，只与函数f(x)的积分值有关。
2.2 区间可加性定积分具有区间可加性，即对于任意函数f(x)和区间[a, c]，如果在[a, c]上存在中点d，则有以下等式成立：∫[a,c] f(x)dx = ∫[a,d] f(x)dx + ∫[d,c] f(x)dx这个性质和函数的积分性质中的区间可加性相同，使得定积分的计算变得更加简便。
2.3 介值性质定积分具有介值性质，即对于函数f(x)在区间[a, b]上的定积分值I，对于任意介于f(a)和f(b)之间的常数K，一定存在c∈[a, b]，使得f(c)=K。
定积分是高等数学中占有重要地位的
1
b a
g(x)dx
b
f (x)g(x)dx = f (ε)
a
但若
1
b a
g(x)dx
b
f (x)g(x)dx = Mf
a
则
b
(Mf − f (x))g(x)dx = 0
a
由 (Mf − f (x))g(x) 0 导出 (Mf − f (x))g(x) = 0
从而由
b a
g(x)dx
=
0，存在
ε
∈
(a,
−
h
x0 a
f (t)dt
−
f (x0)|
=|
x0 +h x0
f
(t)dt
−
h
x0 x0
+h
f
(x0
)dt
|
1 h
x0 +h
|f (t) − f (x0)|dt
x0
因为 f(x) 在 x0 连续，从而对 ε > 0，存在 δ > 0，当 |t − x0| δ 时， |f (t) − f (x0)| < ε，从而当 0 < h < δ 时，
1 h
x0 +h
|f (t) − f (x0)|dt < ε
x0
从而
lim
h→+0
x0 +h a
f
(t)dt
−
h
x0 a
f (t)dt
=
f (x0)
同样方法：
lim
h→−0
x0 −h a
f
(t)dt
−
h
x0 a
f (t)dt
=
定积分的概念与性质
定积分的概念与性质在数学中，定积分是一种重要的数学工具，用于求解曲线下的面积以及计算函数的平均值和总和。
本文将介绍定积分的概念与性质，帮助读者更好地理解和应用该概念。
一、定积分的概念定积分是微积分中的一种方法，用于计算曲线下的面积。
它是对函数在给定区间上的求和过程。
我们将一个区间划分成无穷小的小区间，并在每个小区间上选择一个点，然后将每个小区间的函数值和小区间长度相乘，再将这些乘积相加，最终得到定积分的值。
定积分的表示方法是∫[a, b] f(x)dx，其中a和b是积分区间的边界，f(x)是要进行积分的函数。
定积分代表了函数f(x)在[a, b]区间上的总和或者面积。
二、定积分的计算方法1. 用基本定积分公式计算定积分。
对于一些简单的函数，我们可以直接使用基本定积分公式进行计算。
例如，∫x^2 dx = 1/3x^3 + C，其中C是常数。
2. 使用不定积分和积分区间上的定义进行计算。
如果我们已知函数f(x)在区间[a, b]上的原函数F(x)，那么定积分的值就等于F(b) - F(a)。
这是因为定积分可以看作是函数在两个边界上的累积变化量。
3. 利用定积分的性质进行计算。
定积分具有线性性质，即∫[a, b] (f(x) + g(x))dx = ∫[a, b] f(x)dx + ∫[a, b] g(x)dx。
此外，如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(x)≥0，则定积分的值表示了曲线下的面积。
三、定积分的性质1. 定积分与原函数的关系。
如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，且F(x)是f(x)的一个原函数，则∫[a, b] f(x)dx = F(b) - F(a)。
这个公式可以用来计算一些不易积分的函数。
2. 定积分的加法性质。
对于两个函数f(x)和g(x)，以及一个常数k，有∫[a, b] (f(x) + g(x))dx = ∫[a, b] f(x)dx + ∫[a, b] g(x)dx，以及∫[a, b] kf(x)dx = k∫[a, b] f(x)dx。
定积分的计算方法研究毕业论文【范本模板】
编号2013110110 研究类型理论研究分类号O17学士学位论文Bachelor’s Thesis论文题目定积分的计算方法研究作者姓名施莉学号2009111010110所在院系数学与统计学院学科专业名称数学与应用数学导师及职称许绍元教授论文答辩时间2013年5月25日湖北师范学院学士学位论文诚信承诺书目录1。
定积分的产生背景及定义 (3)1。
1曲边梯形面积 (3)1。
2定义1 (3)1。
3定义2 (3)2.定积分的几种计算方法 (4)2。
1定义法 (4)2。
2换元法求定积分 (4)2。
3牛顿莱布尼兹公式 (8)2。
4利用对称原理求定积分 (10)2.5利用奇偶性求函数积分 (12)2。
6利用分部积分法计算定积分 (14)2.7欧拉积分在求解定积分中的应用 (15)3。
结论 (19)4。
参考文献 (19)定积分的计算技巧研究施莉(指导老师：许绍元）(湖北师范学院数学与统计学院中国黄石 435002)内容摘要：定积分在微积分中占有极为重要的位置，它与微分相比，难度大、方法灵活﹒如果单纯的按照积分的定义来计算定积分，那将是十分困难的﹒因此,我们要研究定积分的计算方法﹒常用的方法有定义法、莱布尼兹公式法、分步积分法、换元法以及其他的特殊方法﹒下面我们将探讨一下定积分的计算技巧﹒本文主要根据定积分的定义、性质、被积函数的奇偶性和对称性、以及某些具有特征的函数总结了牛顿莱布尼兹公式、换元法、分部积分、凑微分﹒目前，对于定积分的求法和应用的研究是比较全面和完善的﹒我们要学会总结归纳定积分的一般性求法以及具有特殊特征的函数的求法﹒同时,将定积分应用于数学问题的求解中以及物理学和经济学的实际问题中是非常必要的﹒关键词：定积分；求法;应用定积分的计算技巧研究1.定积分的产生背景及定义1.1曲边梯形面积设f 为闭区间上的连续函数,且由曲线直线以及轴所围成的平面图形，成为曲边梯形11()()i i i ni x x i i i S f x x ξ=-=≈∆∆=-∑变力做功:11()()i i i ni x x i i i W f x x ξ=-==∆∆=-∑定积分的意义:定义1：设闭区间上有1n -个点，依次为：0121n n a x x x x x b -=<<<<<=，它们把[],a b 分成n 个小区间i ∆=[]1,i i x x -，1,2,3,,i n =﹒这些分点或者这些闭子区间构成[],a b 的一个分割,记为:{}011,,,,n n T x x x x -=或者{}12,,,n ∆∆∆，小区间i ∆的长度记为i x ∆=i x -1i x -,并记：T =max {}i x ∆,称为T 的模﹒注:由于i x ∆≤T ，1,2,3,,i n =,因此T 可用来反映[],a b 被分割的细密程度﹒另外，分割一旦给出,T 就随之而确定;但是,具有同一细度的分割却有无限多﹒ 1.2定义1设f 是定义在[],a b 上的一个函数，对于[],a b 的一个分割{}12,,,n T =∆∆∆，任取i i ξ∈∆，1,2,3,,i n =，并作和式1()i i ni x i f ξ==∆∑，称此和式为f 在上的积分和，也是黎曼和﹒显然积分既和分割T 有关,又与所选的点集{}i ξ有关﹒ 1。
定积分的重要性
定积分的重要性
1、积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。
通常分为定积分和不定
积分两种。
直观地说，对于一个给定的正实值函数，在一个实数区间上的定积分可以理解为在坐标平面上，由曲线、直线以及轴围成的曲边梯形的面积值（一种确定的实数值）。
2、积分的一个严格的数学定义由波恩哈德·黎曼给出（参见条目“黎曼积分”）。
黎曼的定义运用了极限的概念，把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极
限。
从十九世纪起，更高级的积分定义逐渐出现，有了对各种积分域上的各种类型的函数的积分。
比如说，路径积分是多元函数的积分，积分的区间不再是
一条线段（区间[a,b]），而是一条平面上或空间中的曲线段；在面积积分中，
曲线被三维空间中的一个曲面代替。
对微分形式的积分是微分几何中的基本概念。
定积分计算的总结论文
定积分计算的总结论文标题：定积分的计算方法总结摘要：定积分是微积分学中的重要内容，该文通过总结定积分的计算方法，包括基本定积分的计算、利用定积分计算面积和体积、变量替换求解定积分等方面的知识，探讨了定积分在实际问题中的应用，总结了定积分的计算方法，为读者提供了一种关于定积分计算的综合信息。
关键词：定积分；计算方法；面积；体积；变量替换1.引言定积分是微积分学中的重要工具，用于求解一条曲线所围成的面积、计算一些曲面的体积等。
在物理、经济学和工程学等领域，定积分的应用广泛。
本文主要总结并归纳定积分的计算方法，以及定积分在实际问题中的应用。
2.定积分的基本计算方法2.1基本不定积分首先，我们需要了解基本不定积分的常用公式，如幂函数积分、三角函数积分、指数函数积分等。
基本不定积分是求解定积分的基础，需要熟练掌握。
2.2基本定积分的计算基本定积分的计算可以通过牛顿-莱布尼茨公式进行求解，即通过求解不定积分的差来得到定积分的值。
此外，还可以通过分部积分法等方法来简化计算。
3.利用定积分计算面积和体积3.1曲线围成的面积通过定积分的计算方法，可以求解一条曲线所围成的面积。
常见的曲线有直线、抛物线、三角函数曲线等。
通过将曲线用函数表达式表示，并确定积分上下限，可以通过定积分的计算求解面积值。
3.2曲面的体积利用定积分的计算方法，可以计算曲面围成的体积。
例如，通过确定边界曲线的函数表达式，设置积分上下限，可以通过定积分计算出曲面体积的值。
4.变量替换求解定积分变量替换是定积分计算中常用的方法之一，可以将复杂的定积分转化为简单的形式。
通过选择适当的变量替换，使被积函数形式简单化，从而更容易计算定积分。
5.定积分的应用定积分在实际问题中有广泛的应用，如物体质量、质心的计算、平均值的求解、几何问题的解决等。
本文还介绍了一些实际问题，并利用定积分的计算方法得到解答。
6.结论本文总结了定积分的计算方法，包括基本定积分的计算、利用定积分计算面积和体积、变量替换求解定积分等方面的知识。
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关于定积分一些重要性质的讨论摘要：本文介绍改进的定积分保序性和第一和第二中值定理及其它重要性质，并举例说明其应用。
关键词：定积分 保序性 中值定理 1．引言：由定积分的保序性可导出严格保序性，积分中值定理的中值号可在开区间（a,b ）内取得。
通常的高等数学教材将这些内容或者省略或者放入习题，而不加以重视。
本文对此类性质作介绍，并举例说明它们在处理习题过程中的灵活应用，而且由此得出的结论也会加强。
2．定积分重要性质及其应用 2.1 保序性设f （x ）在[a,b]上连续非负，且f （x ）不恒为零，则⎰ba dx x f )(>0证明 若⎰badx x f )(=0,由f(x)的连续性和非负性有:0≤⎰x adt t f )(≤⎰badx x f )(=0 x ∈[a ，b].从而⎰xadt t f )(≡0，即dxd⎰xadt t f )(≡0，x ∈[a ，b]这与f （x ）在[a ，b]上不恒为零矛盾。
定理得证。
例1设f(x) 于[0, π] 连续,且⎰π0sin )(xdx x f =⎰πcos )(xdx x f =0试证在(0,π) 内至少存在两点α,β ,使得f( α)=f(β )=0 证明 令F(t)=⎰txdx x f 0sin )( (0≤ t ≤π), 则F(t) 于 [0,π]连续,且可导,由罗尔定理,存在α∈(0,π), 使 F ˊ(α)=0,由于 F ˊ(t) =f(t)sint所以 f(α)sin α=0 ,又由α∈(0,π),所以sin α≠ 0, 故f(α)=0下面证明又有β∈(0,π),β≠α, 使f(β)=0假设f(x)于(0,π)内只有一个零点α, 则f(x)于(0, α)及(α ,π )两个区间内符号必相反,否则不可能有⎰πsin )(xdx x f =0,而sin(x- α)在(0, α)及(α ,π )内显然符号也相反,故f(x) sin(x- α)于这两个区间内符号相同.又[0, π] 连续,因此由上述定理可知⎰-παα0)(sin )(dx x x f ≠0 (*)又由于⎰π0sin )(xdx x f =⎰πcos )(xdx x f =0则⎰-πα0)sin()(dx x x f =[]dxx x x f ⎰-παα0sin cos cos sin )(=cos α⎰πsin )(xdx x f -sin α⎰πcos )(xdx x f =0,这与 (*) 试矛盾,从而 f(x) 在 (0,π)内除α之外必有另一零点β.推论1 （严格保序性）f （x ），g （x ）在[a ，b]上连续，f （x ）≤g （x ）且f （x ）不恒等于g （x ）。
则：⎰badx x f )(＜⎰badx x g )(推论2 设m,M 分别是 连续函数f(x)在[a,b]上的最小值和最大值，且f(x)非常数。
则：m(b-a)<⎰badx x f )(<M(b-a)由推论1，2可得：dx x e 2^1⎰〉dx ex 3^10⎰，e 2〈⎰--112^dx x e 〈 2例2 设 f(x)在[a,b]上连续,f(0)=3,且对[0，1]上的一切 x,y 成立| f(x)-f(y)| ≤|x-y|试估计积分⎰1)(dx x f 的值.解: 当 0≤x ≤1 时,|f(x)-f(0)| ≤|x-0|=x, 即|f(x)-3|≤x ⇒ 3-x ≤ f(x) ≤3+x⇒⎰-10)3(dx x ≤⎰10)(dx x f ≤⎰+10)3(dx x 有25≤⎰1)(dx x f ≤27.例3 设函数f(x)在取间[0，1]上连续且严格单调减。
试证对任何a ∈（0，1）有⎰adx x f 0)(〉a ⎰1)(dx x f .证 令x=at,则⎰a dx x f 0)(=a ⎰1)(dt at f .由于a,t ∈（0，1），故at<t ，再由f(x)的严格单调递减得：⎰adx x f 0)(=a ⎰1)(dt at f >a ⎰1)(dt t f =a ⎰1)(dx x f .2.1.1利用积分的有关性质可以证明许多有用的不等式（1）许瓦兹不等式（schwarz ）f(x),g(x)在[a,b]上可积，试证⎰b adx x g x f ))()((2≤dxx b af)(2⎰dxx b ag)(2⎰因对任一常数t 有:))()((2x g x tf +≥0 则][dx b a x g x tf ⎰+)()(2=t2dx x f ba)(2⎰+2t ⎰b a dx x g x f )()(+dx x bag )(2⎰≥0因此上面关于 的二次三项式不可能有不同的实根，故⎰b adx x g x f ))()(2(2-4dxx baf)(2⎰dx x b a g )(2⎰≤0即 ⎰b a dx x g x f ))()((2≤dxx baf)(2⎰dx x b ag )(2⎰（2）由许瓦兹不等式可得：闵可夫斯基不等式（Minkowshi ）f(x),g(x)都于[a,b]可积，][⎰+b a dx x g x f ))()((221][⎰b a dxx g )(221≤][⎰b adxx f )(221证明：][⎰+b adx x g x f x f ))()()((2≤dx x b af )(2⎰][dx b ax g x f ⎰+)()(2⇒[]dx x g x f x f ba⎰+)()()(≤][⎰b adx x f )(221][⎰+b a dx x g x f ))()((221[]dx x g x f x g ba)()()(+⎰≤][⎰b adx x g )(221][⎰+b a dx x g x f ))()((221两式相加有：][dx bax g x f ⎰+)()(2≤][⎰+b a dx x g x f ))()((221{][⎰b a dx x f )(221+][⎰b a dx x g )(221}⇒][⎰+b adx x g x f ))()((221][⎰b a dx x g )(221≤][⎰b a dx x f )(221（3） 由许瓦兹不等式可以证明有些关系式的成立设f(x)在[a,b]上连续可微，|f(x)|的最大值为M,且 f(a)=0,试证:M 2≤)dx bax f ⎰')((2证明：对任意的x ∈[a ，b],由许瓦兹不等式,都有⎰'x adt t f ))((2=⎰'x adt t f )1).((2≤dt x at f ⎰'))((2dt x a 12⎰≤dxb ax f ⎰'))((2dx ba⎰12=(b-a) dx bax f ⎰'))((2而 ⎰'x adt t f ))((2=))()((2a f x f -=)(2x f所以)(2x f≤(b-a)dx b ax f ⎰'))((2上面不等式对一切x ∈[a ，b]成立，所以max {)(2x f, x ∈[a ，b]} ≤(b-a)dx bax f ⎰'))((2即:M2≤(b-a)dx b ax f ⎰'))((22.2积分第一中值定理:设f(x),g(x) 在[a,b]上连续,g(x)在[a,b]上不变号，则ξ存在y ∈[a ，b] ，使：⎰badx x g x f )()(=f(ξ)⎰ba dx x g )(证明过程参考华东师范大学数学系编著《数学分析》上册。
推论3 设f(x)在[a,b]上连续，则存在ξ∈（a,b ），使：⎰ba dx x f )(=f(ξ)(b-a)例4 试证：dx x x ⎰+202^1sin π<dx x x ⎰+202^1cos π证法1（用定理2）dx x x x ⎰+-202^1cos sin π=dx x x x ⎰+-402^1cos sin π+dx x x x 2^1cos sin 24+-⎰ππ=2^11y +⎰-4)cos (sin πdx x x +2^11t +⎰-24)cos (sin ππdx x x =(2-1)(2^11t +-2^11y +)其中：0<y<4π,4π<t<2π从而dx x x x ⎰+-202^1cos sin π<0,即dx x x ⎰+202^1sin π<dx x x ⎰+202^1cos π证法 2（用推论1），令2π-x=t,，则dx x x x 2^1cos sin 24+-⎰ππ=dx x x x ⎰-+-4202)^(1sin cos ππ,dx x x x ⎰+-402^1cos sin π=dx x x x ⎰+-402^1cos sin π+dx x x x 2^1cos sin 24+-⎰ππ=[]dx x x x x )cos (sin 2)^(1102^1124---++⎰ππ 由于0<x<4π,2π-x>x,[]2)^(112^112x x -++-π(sinx-cosx)<0所以dx x x x ⎰+-202^1cos sin π<0例5（2004年考研题）设f(x)在[0，π]连续。
dx x f )(0⎰π=0,xdx x f cos )(0⎰π=0试证 ：在（0，π）至少存在两不同点y1，y2，使f(y2)=f(y2)=0证明 令F(x)=dt t f x )(0⎰，则F(0)=F(π)=0而xdx x f cos )(0⎰π=F(x)cosx|π0+⎰π0sin )(xdx x F =⎰πsin )(xdx x F =F(y)siny=0,y ∈(0,π)推出 F(y)=0(若仅有y ∈(0,π),就不能推出 F(y)=0 , 因sin0=sin π=0),由 F(0)=F(y)=F(π)=0,对F(x)在[0,y],及[y,π]上应用罗尔中值定理得：存在y1∈[0,y],y2∈[y,π] ，使 f(y1)=f(y2)=0.证毕。
上述讨论表明：由非严格不等试变为严格不等试，由闭区间缩小为开区间看似细节，但由此增加了解题的有用信息，其意义又不小。
联想到：在级数中处理好区域内不满足格林公式或高斯公式条件的个别点，都是解决某些问题的关键。
2.2.1积分第一中值定理的几何意义：若f(x)在[a,b]上连续，则y=f(x)在[a,b ]上的曲边梯形面积等于以推论3式所示的f(ξ) 为高,[a,b]为底的矩形面积，而 ab -1⎰badx x f )( 则可理解为f(x) 在区间[a,b]上所有函数的平均值，这是通常有限个算术平均值的推广。