考点12函数模型及其应用 2019年高考数学(文)必刷题Word版含解析
2019版高考数学大复习函数导数及其应用课时达标12函数模型及其应用
课时达标 第12讲 函数模型及其应用[解密考纲]本考点考查函数在实际生活中的应用等．在近几年的高考中选择题、填空题、解答题都出现过．选择题、填空题通常排在中间位置，解答题往往与其他知识综合考查，题目难度中等．一、选择题1．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y (单位：台)与投放市场的月数x 之间关系的是( C )A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100 C ．y ＝50×2x D ．y ＝100log 2x ＋100解析 根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可得C 项正确．2．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少( B )A ．9天B ．10天C ．11天D ．12天解析 设该厂应每隔x 天购买一次面粉，则购买量为6x 吨，由题意可知，面粉的保管等其他费用为3[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1)， 设平均每天所支付的总费用为y 1元，则y 1＝9xx ＋＋900x ＋1 800×6＝900x＋9x ＋10 809≥2900x·9x ＋10 809＝10 989，当且仅当9x ＝900x，即x ＝10时取等号．故该厂每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．故选B ． 3．国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p %，超过280万元的部分按(p ＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例⎝ ⎛⎭⎪⎫缴税比例＝纳税额年收入为(p ＋0.25)%，则该公司的年收入是( D )A ．560万元B ．420万元C ．350万元D ．320万元解析 设该公司的年收入为x 万元，纳税额为y 万元，则由题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ×p %，x ≤280，280×p %＋x －p ＋，x >280，依题意有1x[280×p %＋(x －280)×(p ＋2)%]＝(p ＋0.25)%，解得x ＝320.4．世界人口在过去40年内翻了一番，则每年人口平均增长率是(参考数据lg 2≈0.301 0,100.007 5≈1.017)( C )A ．1.5%B ．1.6%C ．1.7%D ．1.8%解析 设每年世界人口平均增长率为x ，则(1＋x )40＝2，两边取以10为底的对数，则40lg(1＋x )＝lg 2，所以lg(1＋x )＝lg 240≈0.007 5，所以100.007 5＝1＋x ，得1＋x ＝1.017，所以x ＝1.7%.5．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份( A )A ．甲食堂的营业额较高B ．乙食堂的营业额较高C ．甲、乙两食堂的营业额相同D ．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高解析 设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m ，甲食堂的营业额每月增加a (a >0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x ，由题意可得m ＋8a ＝m ×(1＋x )8，则5月份甲食堂的营业额y 1＝m ＋4a ，乙食堂的营业额y 2＝m ×(1＋x )4＝mm ＋8a ，因为y 21－y 22＝(m ＋4a )2－m (m ＋8a )＝16a 2>0，所以y 1>y 2，故本年5月份甲食堂的营业额较高．6．某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3 000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用)．要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为( B )A ．3 000元B ．3 300元C ．3 500元D ．4 000元解析 由题意，设利润为y 元，租金定为3 000＋50x 元(0≤x ≤70，x ∈N )． 则y ＝(3 000＋50x )(70－x )－100(70－x ) ＝(2 900＋50x )(70－x ) ＝50(58＋x )(70－x )≤50⎝⎛⎭⎪⎫58＋x ＋70－x 22，当且仅当58＋x ＝70－x ，即x ＝6时，等号成立，故每月租金定为3 000＋300＝3 300(元)时，公司获得最大利润．故选B ．二、填空题7．某项研究表明，在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为__1_900__辆/小时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加__100__辆/小时． 解析 (1)当l ＝6.05时， F ＝76 000vv 2＋18v ＋20×6.05， ∴F ＝76 000v v 2＋18v ＋121＝76 000v ＋121v＋18≤76 0002v ·121v＋18＝1 900，当且仅当v ＝121v，即v ＝11时取等号．∴最大车流量F 为1 900辆/小时． (2)当l ＝5时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋20×5＝76 000v ＋100v＋18，∴F ≤76 0002v ·100v＋18＝2 000，当且仅当v ＝100v，即v ＝10时取等号．∴最大车流量比(1)中的最大车流量增加2 000－1 900＝100辆/小时．8．里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为__6__级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的__10_000__倍．解析 由lg 1 000－lg 0.001＝6，得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震最大振幅为A 9，则lg A 9－lg 0.001＝9，解得A 9＝106，同理5级地震最大振幅A 5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍．9．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/100 kg)与上市时间t (单位：天)的数据关系如下表.根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系．Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t .利用你选取的函数，求得：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是__120__； (2)最低种植成本是__80__(元/100 kg)． 解析 根据表中数据可知函数不单调， 所以Q ＝at 2＋bt ＋c 且开口向上， 对称轴t ＝－b2a＝60＋1802＝120. 代入数据⎩⎪⎨⎪⎧3 600a ＋60b ＋c ＝116，10 000a ＋100b ＋c ＝84，32 400a ＋180b ＋c ＝116，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2.4，c ＝224，a ＝0.01，所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120，最低种植成本是14 400a ＋120b ＋c ＝14 400×0.01＋120×(－2.4)＋224＝80.三、解答题10．如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE ＝4米，CD ＝6米．为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE 内截取一个矩形块BNPM ，使点P 在边DE 上．(1)设MP ＝x 米，PN ＝y 米，将y 表示成x 的函数，求该函数的解析式及定义域； (2)求矩形BNPM 面积的最大值．解析 (1)作PQ ⊥AF 于Q ，所以PQ ＝8－y ，EQ ＝x －4，在△EDF 中，EQ PQ ＝EF FD ，所以x －48－y ＝42，所以y ＝－12x ＋10，定义域为{x |4≤x ≤8}．(2)设矩形BNPM 的面积为S ，则S (x )＝xy ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫10－x 2＝－12(x －10)2＋50，所以S (x )是关于x 的二次函数，且其开口向下，对称轴为x ＝10，所以当x ∈[4,8]，S (x )单调递增，所以当x ＝8米时，矩形BNPM 面积取得最大值48平方米．11．(2018·甘肃会宁一中月考)某公司对营销人员有如下规定： ①年销售额x (单位：万元)在8万元以下，没有奖金；②年销售额x (单位：万元)，x ∈[8,64]时，奖金为y 万元，且y ＝log a x ，y ∈[3,6]，且年销售额越大，奖金越多；③年销售额超过64万元，按年销售额的10%发奖金． (1)求奖金y 关于x 的函数解析式；(2)若某营销人员争取奖金y ∈[4,10] (单位：万元)，则年销售额x (单位：万元)在什么范围内？解析 (1)依题意，y ＝log a x 在x ∈[8,64]上为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧log a 8＝3，log a 64＝6，解得a ＝2，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0≤x <8，log 2x ，8≤x ≤64，110x ，x >64.(2)易知x ≥8，当8≤x ≤64时，要使y ∈[4,10]，则4≤log 2x ≤10，解得16≤x ≤1 024，所以16≤x ≤64；当x >64时，要使y ∈[4,10]，则40≤x ≤100，所以64<x ≤100.综上所述，当年销售额x ∈[16,100](单位：万元)时，奖金y ∈[4,10](单位：万元)．12．(2018·广东广州检测)某旅游景点预计2018年1月份起前x 个月的旅游人数的和p (x )(单位：万人)与x 的关系近似为p (x )＝12x (x ＋1)·(39－2x )(x ∈N *，且x ≤12)．已知第x 个月的人均消费额q (x )(单位：元)与x 的关系近似是q (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧35－2x ，x ∈N *，且1≤x ≤6，160x，x ∈N *，且7≤x ≤12.(1)写出2018年第x 个月的旅游人数f (x )(单位：人)与x 的函数关系式； (2)试问2018年第几个月的旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？ 解析 (1)当x ＝1时，f (1)＝p (1)＝37，当2≤x ≤12，且x ∈N *时，f (x )＝p (x )－p (x－1)＝12x (x ＋1)(39－2x )－12x (x －1)(41－2x )＝－3x 2＋40x ，经验证x ＝1时也满足此式，所以f (x )＝－3x 2＋40x (x ∈N *，且1≤x ≤12)． (2)由题意知第x 个月的旅游消费总额为g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x 2＋40x －2x ，x ∈N *，且1≤x ≤6，－480x ＋6 400，x ∈N *，且7≤x ≤12.①当1≤x ≤6，且x ∈N *时，g ′(x )＝18x 2－370x ＋1 400，令g ′(x )＝0，解得x ＝5或x ＝1409(舍去)．当1≤x ≤5时，g ′(x )≥0， 当5<x ≤6时，g ′(x )<0， ∴g (x )max ＝g (5)＝3 125.②当7≤x ≤12，且x ∈N *时，g (x )＝－480x ＋6 400是减函数， ∴g (x )max ＝g (7)＝3 040.综上，2018年5月份的旅游消费总额最大，最大月旅游消费总额为3 125万元．。
2019高三数学文二轮复习：第12讲函数模型及其应用含解析
(1)求每年砍伐面积的百分比．
（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年?
Ａ.６Ｂ.７
C.8ﻩＤ.9
７．我国某部门为尽快稳定菜价,提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0,各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图1２-1所示,在这四种方案中,运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是()
Ａ
B
C
D
图12-1
8.某产品的总成本y(万元)与产量（台)之间满足函数关系式ｙ=30０0＋2０-0．12（０<＜２40,∈N*）,若每台产品的售价为25万元,所有生产出；的产品都能卖完,则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是()
A.ｙ=1０00×2ﻩB.y=1000lｏｇ2
Ｃ.y＝１00０ﻩＤ.y=1000×
2．用长度为2４米的材料围成一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为ﻩ（）
A.8米ﻩB.６米ﻩC．4米ﻩＤ.３米
3.在某个物理实验中，测量得到变量和变量y的几组数据如下表;
0．50
0．９9
2.０１
12.某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批后方可投入生产.已知该生产线连续生产n(n∈N*)年的累计产量(单位；吨）为ｆ(n)= n(n＋1)(2n+１),当年产量超过150吨时，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是年.
13.某食品的保鲜时间y(单位;ｈ)与储藏温度(单位;℃)满足函数关系式y=e+ｂ(e=２．7１8…为自然对数的底数,,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是1９2 h,在2２ ℃的保鲜时间是４8 h,则该食品在3３ ℃的保鲜时间是h．
2019高考数学考点突破——函数的应用：函数模型及其应用+Word版含解析
函数模型及其应用【考点梳理】1．常见的几种函数模型(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)．(2)反比例函数模型：y＝kx＋b(k，b为常数且k≠0)．(3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)．(4)指数函数模型：y＝a·b x＋c(a，b，c为常数，b＞0，b≠1，a≠0)．(5)对数函数模型：y＝m log a x＋n(m，n，a为常数，a＞0，a≠1，m≠0)．(6)幂函数模型：y＝a·x n＋b(a≠0)．2．三种函数模型之间增长速度的比较(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：【考点突破】考点一、用函数图象刻画变化过程【例1】已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是()A B C D[答案] D[解析]依题意知当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4<x≤8时，f(x)＝8；当8<x≤12时，f(x)＝24－2x，观察四个选项知，选D.【类题通法】判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法：(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．【对点训练】一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为()[答案] B[解析]由题意h＝20－5t，0≤t≤4.结合图象知应选B.考点二、二次函数模型【例2】某商场销售A型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：(单位：元/件)应为()A．4 B．5.5 C．8.5 D．10 [答案] C[解析]由题意可设定价为x元/件，利润为y元，则y＝(x－3)[400－40(x－4)]＝40(－x2＋17x－42)，故当x＝8.5时，y有最大值，故选C.【类题通法】在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．解决函数应用问题时，最后还要还原到实际问题．【对点训练】某种商品进价为4元/件，当日均零售价为6元/件，日均销售100件，当单价每增加1元，日均销量减少10件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为20元，则预计单价为多少时，利润最大()A．8元/件B．10元/件C．12元/件D．14元/件[答案] B[解析]设单价为6＋x，日均销售量为100－10x，则日利润y＝(6＋x－4)(100－10x)－20＝－10x 2＋80x ＋180＝－10(x －4)2＋340(0＜x ＜10)．∴当x ＝4时，y max ＝340.即单价为10元/件，利润最大，故选B.考点三、指数函数模型【例3】将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt .假设5 min 后甲桶和乙桶中的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有a 4 L ，则m 的值为( )A ．5B ．8C ．9D ．10[答案] A[解析] 根据题意，因为5 min 后甲桶和乙桶中的水量相等，所以函数y ＝f (t )＝a e n t 满足f (5)＝a e 5n ＝12a ，解得n ＝15ln 12.设k min 后甲桶中的水只有a 4 L ，即f (k )＝14a ，所以15ln 12·k ＝ln 14，所以15ln 12·k ＝2ln 12，解得k ＝10，∴m ＝k －5＝5，选A.【类题通法】在解决指数函数模型问题时，一般需要先通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．【对点训练】某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )A ．16小时B ．20小时C ．24小时D ．28小时[答案] C[解析] 由已知条件，得192＝e b ，又48＝e 22k ＋b ＝e b ·(e 11k )2，∴e 11k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4819212＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1412＝12.设该食品在33 ℃的保鲜时间是t 小时，则t ＝e 33k ＋b ＝192 e 33k ＝192(e 11k )3＝192×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝24.考点四、对数函数模型【例4】已知一容器中有A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积为定值1010，为了简单起见，科学家用P A＝lg n A来记录A菌个数的资料，其中n A为A菌的个数，现有以下几种说法：①P A≥1；②若今天的P A值比昨天的P A值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10；③假设科学家将B菌的个数控制为5万，则此时5<P A<5.5(注：lg 2≈0.3)．则正确的说法为________．(写出所有正确说法的序号)[答案]③[解析]当n A＝1时，P A＝0，故①错误；若P A＝1，则n A＝10，若P A＝2，则n A＝100，故②错误；B菌的个数为n B＝5×104，∴n A＝10105×104＝2×105，∴P A＝lg n A＝lg 2＋5.又∵lg 2≈0.3，∴5<P A<5.5，故③正确．【类题通法】在解决对数函数模型问题时，一般需要先通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．【对点训练】燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的专家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为v＝5log2q10(m/s)，其中q表示燕子的耗氧量，则燕子静止时的耗氧量为_______个单位．当一只两岁燕子的耗氧量为80个单位时，其速度是_______m/s.[答案]1015[解析]由题意，燕子静止时v＝0，即5log2q10＝0，解得q＝10；当q＝80时，v＝5log28010＝15(m/s)．考点五、“y ＝x ＋a x (a >0)”型函数模型【例5】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________.[答案] 30[解析] 一年的总运费与总存储费用之和为y ＝6×600x ＋4x ＝3 600x ＋4x ≥2 3 600x ×4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时，y 有最小值240.【类题通法】对于y ＝x ＋a x (a >0，x >0)类型的函数最值问题，要特别注意定义域和基本不等式中等号成立的条件，如果在定义域内满足等号成立，可考虑用基本不等式求最值，否则要考虑函数的单调性，此时可借用导数来研究函数的单调性．【对点训练】某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以v km/h 的速度直达灾区，已知某市到灾区公路线长400 km ，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202km ，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是________h(车身长度不计)．[答案] 12[解析] 设全部物资到达灾区所需时间为t h ，由题意可知，t 相当于最后一辆行驶了⎝ ⎛⎭⎪⎫36×⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202＋400km 所用的时间，因此，t ＝36×⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202＋400v ≥12，当且仅当36v 400＝400，即v ＝2003时取等号．故这些汽车以2003 km/h 的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时间为12 h.考点六、分段函数模型【例6】某市环保研究所对市中心每天环境中放射性污染情况进行调查研究后发现，一天中环境综合放射性污染指数f (x )与时刻x (时)的关系为f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x x 2＋1－a ＋2a ＋23，x ∈[0，24]，其中a 是与气象有关的参数，且a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.如果以每天f (x )的最大值为当天的环境综合放射性污染指数，并记为M (a )，若规定当M (a )≤2时为环境综合放射性污染指数不超标，则该市中心的环境综合放射性污染指数不超标时，a 的取值范围为( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，49C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，49D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤49，12 [答案] B[解析] 设t ＝x x 2＋1，当x ≠0时，可得t ＝1x ＋1x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，当x ＝0时，t ＝0，因而f (x )＝g (t )＝|t －a |＋2a ＋23＝⎩⎪⎨⎪⎧ －t ＋3a ＋23，0≤t ≤a ，t ＋a ＋23，a <t ≤12，从而有g (0)＝3a ＋23，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝a ＋76，g (0)－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －14，因而M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0≤a ≤14，g (0)，14<a ≤12，即M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋76，0≤a ≤14，3a ＋23，14<a ≤12，当0≤a ≤14时，M (a )<2，当14<a ≤49时，M (a )≤2，当49<a ≤12时，M (a )>2，所以该市中心的环境综合放射性污染指数不超标时，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，49. 【类题通法】分段函数模型的求解策略(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．(2)构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏．(3)分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者)．【对点训练】某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价收费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另外每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.[答案] 9[解析] 设出租车行驶了x km ，付费y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 9，0＜x ≤3，8＋2.15×(x －3)＋1，3＜x ≤8，8＋2.15×5＋2.85×(x －8)＋1，x ＞8.当x ＝8时，y ＝19.75＜22.6，因此由8＋2.15×5＋2.85×(x －8)＋1＝22.6，得x ＝9.。
2019版高考数学文大一轮优选全国课时达标12函数模型及
课时达标 第12讲[解密考纲]本考点考查函数在实际生活中的应用等．在近几年的高考中选择题、填空题、解答题都出现过．选择题、填空题通常排在中间位置，解答题往往与其他知识综合考查，题目难度中等．一、选择题1．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y (单位：台)与投放市场的月数x 之间关系的是( C )A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100C ．y ＝50×2xD ．y ＝100log 2x ＋100解析 根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可得C 项正确．2．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少( B )A ．9天B ．10天C ．11天D ．12天解析 设该厂应每隔x 天购买一次面粉，则购买量为6x 吨，由题意可知，面粉的保管等其他费用为3[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1)， 设平均每天所支付的总费用为y 1元，则y 1＝9x (x ＋1)＋900x ＋1 800×6＝900x ＋9x ＋10 809≥2900x·9x ＋10 809＝10 989， 当且仅当9x ＝900x，即x ＝10时取等号．故该厂每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．故选B ． 3．国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p %，超过280万元的部分按(p ＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例⎝ ⎛⎭⎪⎫缴税比例＝纳税额年收入为(p ＋0.25)%，则该公司的年收入是( D )A ．560万元B ．420万元C ．350万元D ．320万元解析 设该公司的年收入为x 万元，纳税额为y 万元，则由题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ×p %，x ≤280，280×p %＋(x －280)×(p ＋2)%，x >280，依题意有1x [280×p %＋(x －280)×(p ＋2)%]＝(p ＋0.25)%，解得x ＝320.4．世界人口在过去40年内翻了一番，则每年人口平均增长率是(参考数据lg 2≈0.301 0,100.007 5≈1.017)( C )A ．1.5%B ．1.6%C ．1.7%D ．1.8%解析 设每年世界人口平均增长率为x ，则(1＋x )40＝2，两边取以10为底的对数，则40lg(1＋x )＝lg 2，所以lg(1＋x )＝lg 240≈0.007 5，所以100.007 5＝1＋x ，得1＋x ＝1.017，所以x ＝1.7%.5．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份( A )A ．甲食堂的营业额较高B ．乙食堂的营业额较高C ．甲、乙两食堂的营业额相同D ．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高解析 设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m ，甲食堂的营业额每月增加a (a >0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x ，由题意可得m ＋8a ＝m ×(1＋x )8，则5月份甲食堂的营业额y 1＝m ＋4a ，乙食堂的营业额y 2＝m ×(1＋x )4＝m (m ＋8a )，因为y 21－y 22＝(m ＋4a )2－m (m ＋8a )＝16a 2>0，所以y 1>y 2，故本年5月份甲食堂的营业额较高．6．某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3 000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用)．要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为( B )A ．3 000元B ．3 300元C ．3 500元D ．4 000元解析 由题意，设利润为y 元，租金定为3 000＋50x 元(0≤x ≤70，x ∈N )． 则y ＝(3 000＋50x )(70－x )－100(70－x ) ＝(2 900＋50x )(70－x ) ＝50(58＋x )(70－x )≤50⎝⎛⎭⎫58＋x ＋70－x 22，当且仅当58＋x ＝70－x ，即x ＝6时，等号成立，故每月租金定为3 000＋300＝3 300(元)时，公司获得最大利润．故选B ．二、填空题7．某项研究表明，在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为__1_900__辆/小时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加__100__辆/小时． 解析 (1)当l ＝6.05时， F ＝76 000vv 2＋18v ＋20×6.05，∴F ＝76 000vv 2＋18v ＋121＝76 000v ＋121v ＋18≤76 0002v ·121v ＋18＝1 900，当且仅当v ＝121v ，即v ＝11时取等号． ∴最大车流量F 为1 900辆/小时．(2)当l ＝5时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋20×5＝76 000v ＋100v ＋18，∴F ≤76 0002v ·100v ＋18＝2 000，当且仅当v ＝100v ，即v ＝10时取等号．∴最大车流量比(1)中的最大车流量增加2 000－1 900＝100辆/小时．8．里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为__6__级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的__10_000__倍．解析 由lg 1 000－lg 0.001＝6，得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震最大振幅为A 9，则lg A 9－lg 0.001＝9，解得A 9＝106，同理5级地震最大振幅A 5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍．9．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/100 kg)与上市时间t (单位：天)的数据关系如下表.根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系．Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t . 利用你选取的函数，求得：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是__120__； (2)最低种植成本是__80__(元/100 kg)． 解析 根据表中数据可知函数不单调， 所以Q ＝at 2＋bt ＋c 且开口向上， 对称轴t ＝－b 2a ＝60＋1802＝120.代入数据⎩⎪⎨⎪⎧3 600a ＋60b ＋c ＝116，10 000a ＋100b ＋c ＝84，32 400a ＋180b ＋c ＝116，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2.4，c ＝224，a ＝0.01，所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120，最低种植成本是14 400a ＋120b ＋c ＝14 400×0.01＋120×(－2.4)＋224＝80.三、解答题10．如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE ＝4米，CD ＝6米．为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE 内截取一个矩形块BNPM ，使点P 在边DE 上．(1)设MP ＝x 米，PN ＝y 米，将y 表示成x 的函数，求该函数的解析式及定义域； (2)求矩形BNPM 面积的最大值．解析 (1)作PQ ⊥AF 于Q ，所以PQ ＝8－y ，EQ ＝x －4，在△EDF 中，EQ PQ ＝EFFD ，所以x －48－y ＝42，所以y ＝－12x ＋10，定义域为{x |4≤x ≤8}．(2)设矩形BNPM 的面积为S ，则S (x )＝xy ＝x ⎝⎛⎭⎫10－x 2＝－12(x －10)2＋50，所以S (x )是关于x 的二次函数，且其开口向下，对称轴为x ＝10，所以当x ∈[4,8]，S (x )单调递增，所以当x ＝8米时，矩形BNPM 面积取得最大值48平方米．11．(2018·甘肃会宁一中月考)某公司对营销人员有如下规定： ①年销售额x (单位：万元)在8万元以下，没有奖金；②年销售额x (单位：万元)，x ∈[8,64]时，奖金为y 万元，且y ＝log a x ，y ∈[3,6]，且年销售额越大，奖金越多；③年销售额超过64万元，按年销售额的10%发奖金． (1)求奖金y 关于x 的函数解析式；(2)若某营销人员争取奖金y ∈[4,10] (单位：万元)，则年销售额x (单位：万元)在什么范围内？解析 (1)依题意，y ＝log a x 在x ∈[8,64]上为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧log a 8＝3，log a 64＝6，解得a ＝2，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0≤x <8，log 2x ，8≤x ≤64，110x ，x >64.(2)易知x ≥8，当8≤x ≤64时，要使y ∈[4,10]，则4≤log 2x ≤10，解得16≤x ≤1 024，所以16≤x ≤64；当x >64时，要使y ∈[4,10]，则40≤x ≤100，所以64<x ≤100.综上所述，当年销售额x ∈[16,100](单位：万元)时，奖金y ∈[4,10](单位：万元)．12．(2018·广东广州检测)某旅游景点预计2018年1月份起前x 个月的旅游人数的和p (x )(单位：万人)与x 的关系近似为p (x )＝12x (x ＋1)·(39－2x )(x ∈N *，且x ≤12)．已知第x 个月的人均消费额q (x )(单位：元)与x 的关系近似是q (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧35－2x ，x ∈N *，且1≤x ≤6，160x ，x ∈N *，且7≤x ≤12.(1)写出2018年第x 个月的旅游人数f (x )(单位：人)与x 的函数关系式； (2)试问2018年第几个月的旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？ 解析 (1)当x ＝1时，f (1)＝p (1)＝37，当2≤x ≤12，且x ∈N *时，f (x )＝p (x )－p (x －1)＝12x (x ＋1)(39－2x )－12x (x －1)(41－2x )＝－3x 2＋40x ， 经验证x ＝1时也满足此式，所以f (x )＝－3x 2＋40x (x ∈N *，且1≤x ≤12)． (2)由题意知第x 个月的旅游消费总额为g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(－3x 2＋40x )(35－2x )，x ∈N *，且1≤x ≤6，－480x ＋6 400，x ∈N *，且7≤x ≤12. ①当1≤x ≤6，且x ∈N *时， g ′(x )＝18x 2－370x ＋1 400，令g ′(x )＝0，解得x ＝5或x ＝1409(舍去)．当1≤x ≤5时，g ′(x )≥0， 当5<x ≤6时，g ′(x )<0， ∴g (x )max ＝g (5)＝3 125.②当7≤x ≤12，且x ∈N *时，g (x )＝－480x ＋6 400是减函数， ∴g (x )max ＝g (7)＝3 040.综上，2018年5月份的旅游消费总额最大，最大月旅游消费总额为3 125万元．。
2019高中数学高考真题分类：考点9-函数与方程、函数模型及其应用
温馨提示：此题库为Word 版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭Word 文档返回原板块。
考点9 函数与方程、函数模型及其应用一、选择题1.（2018·四川高考理科·Ｔ10）设函数()f x =a R ∈，e 为自然对数的底数）．若曲线sin y x =上存在00(,)x y 使得00(())f f y y =，则a 的取值范围是（ ）A ．[1,]e B.1[,-11]e -， C.[1,1]e + D.1[-1,1]e e -+【解题指南】本题综合考查了函数的图象以及转化化归能力,本题中的f(f(y 0))=y 0是解题的突破口. 【解析】选A. 由于曲线sin y x =上存在00(,)x y 使得00(())f f y y =，可知[]00,1y ∈，并且由00(())f f y y =可得00()f y y =（推导过程可以用反证法证明），即0y =，整理得0200y e a y y -=-，结合二者的图象以及[]00,1y ∈，可得a 的取值范围是[1,]e ，故选A.2. （2018·四川高考文科·Ｔ10）设函数()f x =a R ∈，e 为自然对数的底数）。
若存在[0,1]b ∈使(())f f b b =成立，则a 的取值范围是（ ）A.[1,]eB.[1,1]e +C.[,1]e e +D.[0,1]【解题指南】根据题意，分析的关键是存在[0,1]b ∈使(())f f b b =成立，将这一条件进行转化为()f b b =，进行求解即可.【解析】选A ，由题[]0,1b ∈，并且由(())f f b b =可得()f b b =（推导过程可以用反证法证明），即b =，整理得2b e a b b -=-，结合二者的图象以及[]0,1b ∈，可以分析a 的取值范围是[1,]e ，故选A.3.(2018·天津高考理科·T7)函数f(x)=2x|log 0.5x|-1的零点个数为 ( )A.1B.2C.3D.4【解题指南】利用数形结合的方法求解,图象交点的个数即为零点的个数.【解析】选 B.函数f(x)=2x |log 0.5x|-1的零点即2x|log 0.5x|-1=0的解,即0.51|log |()2=x x 的解,作出函数g(x)=|log 0.5x|和函数1()()2=x h x 的图象,由图象可知,两函数共有两个交点,故函数f(x)=2x|log 0.5x|-1有2个零点. 4. （2018·重庆高考理科·Ｔ6）若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)两个零点分别位于区间 ( ) A.(a,b)和(b,c)内 B.(-∞,a)和(a,b)内 C.(b,c)和(c,+∞)内 D.(-∞,a)和(c,+∞)内【解题指南】直接根据零点存在定理求出函数零点所在的区间.【解析】选A.因为a<b<c,所以f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,所以f(a)f(b)<0,f(b)f(c)<0,即函数的两个零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内. 5.（2018·江西高考文科·Ｔ10）如图.已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上、半径为1m 的圆O 在t=0时与l 2相切于点A ，圆O 沿l 1以1m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线l 2所截上方圆弧长记为x ，令y=cosx ，则y 与时间t （0≤t ≤1，单位：s ）的函数y=f （t ）的图像大致为【解题指南】借助弧长与圆心角的关系，得出函数关系式，再选择图像. 【解析】选B.因为圆弧长为x ，半径为1，所以圆心角的弧度数为x ，由题意得xcos1t 2=-，根据二倍角公式得2cosx 2(1t)1=--，即2y 2(1t)1=--，化简得2y 2t 4t 1=-+，结合二次函数图像知B 正确. 二、填空题6.(2018·江苏高考数·T11)已知f(x)是定义在R 上的奇函数.当x>0时,f(x)=x 2-4x,则不等式f(x)>x 的解集用区间表示为 .【解题指南】画出x>0时,f(x)的图象,根据函数的奇偶性,画出整个定义R 上函数的图象;画出y=x 的图象,结合图象求解.【解析】 因为f(x)是定义在R 上的奇函数,故图象关于原点对称.又当x>0时,f(x)=x 2-4x,故图象如图.由图可得当x ∈(-5,0)∪(5,+∞)时不等式f(x)>x 成立. 【答案】(-5,0)∪(5,+∞)7. （2018·湖北高考文科·T17）在平面直角坐标系中，若点(,)P x y 的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点. 若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形. 格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L . 例如图中△ABC 是格点三角形，对应的1S =，0N =，4L =.（Ⅰ）图中格点四边形DEFG 对应的,,S N L 分别是 ；（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为S aN bL c =++，其中a ，b ，c 为常数.若某格点多边形对应的71N =，18L =， 则S = （用数值作答）.【解题指南】(Ⅰ)理解新概念.(Ⅱ)可以再取长方形S=2,N=0,L=6,待定系数法求出a,b,c 的值,再代入求值.【解析】（I ）由图可知：四边形DEFG 对应的S=3,N=1,L=6 （II ）分别将S=1,N=0,L=4;S=2,N=0,L=6;S=3,N=1,L=6代入,由此得041163062a b c a b c a b c ⋅+⋅+=⎧⎪⋅+⋅+=⎨⎪⋅+⋅+=⎩，解得1121a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩所以若某格点对应的N=71，L=18，则S=171118(1)792⨯+⨯+-=. 【答案】3，1，6；798.（2018·上海高考理科·T14）对区间I 上有定义的函数()g x ，记(){|(),}g I y y g x x I ==∈，已知定义域为[0,3]的函数()y f x =有反函数1()y f x -=，且11([0,1))[1,2),((2,4])[0,1)f f --==，若方程()0f x x -=有解0x ，则0_____x =【解析】根据反函数定义知，当[0,1)x ∈时，()(2,4]f x ∈；[1,2)x ∈时，()[0,1)f x ∈，而()y f x =的定义域为[0,3]，故当[2,3]x ∈时，()f x 的取值应在集合(,0)[1,2](4,)-∞⋃⋃+∞，故若00()f x x =，只有02x =．【答案】2 三、解答题9.（2018·上海高考理科·T20）甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得利润是3100(51)x x+-元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润. 【解析】(1)生产该产品2小时的利润为100×2=200由题意得,200≥3000,解得x ≥3或x ≤-.又因为1≤x ≤10,所以3≤x ≤10.(2)生产900千克该产品,所用时间是小时,获得的利润为100·=90000,1≤x ≤10,记f(x)=-++5,1≤x ≤10,则f(x)=-3++5,当且仅当x=6时,f(x)取到最大值f(6)=.最大利润为90000×=457 500(元).因此甲厂应以6千克/小时的速度生产,可获得最大利润457500元.10.（2018·上海高考文科·T20）甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x ≤10），每小时可获得的利润是100⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x 315元. （1）求证：生产a 千克该产品所获得的利润为100a ⎪⎭⎫⎝⎛-+2315x x 元； （2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润.【解析】(1)生产a 千克该产品,所用的时间是小时,所获得的利润为100·.所以,生产a 千克该产品所获得的利润为100a元.(2)生产900千克该产品,所用的时间是小时,获得的利润为90000,1≤x≤10.记f(x)=-++5,1≤x≤10,则f(x)=-3++5,当且仅当x=6时,f(x)取到最大值f(6)= .获得最大利润90000×=457500(元).因此甲厂应以6千克/小时的速度生产,可获得最大利润457500元.关闭Word文档返回原板块。
文科十套：2019高考数学必刷模拟卷解析
这个梦带给我们追逐的力量，带给我们迎难而上的拼劲，还有一个绚丽夺目的数学世界，前 方的路虽然很黑，但是请看看在你周围这些带着光芒的人，他们和你一样，和我一样，都是 在这条路上行走的伙伴，
他们和你一样，和我一样，都是这个时代爱数学、爱数学竞赛的傻子们，
嘿，傻子，这个时代欢迎你的到来，
嘿，傻子，加入这个“傻子俱乐部”吧，接下来，让我们一起走吧
—来自傻子俱乐部，最爱你们的小数君
微信公众号：数学竞赛的那些事儿（
）
微信公众号 数学竞赛的那些事儿 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
2019
学
一考试 考答 必
文 数学（一）
ln an − ln an+1 + ln 2 = 0，
an+1 = 2， an
2n > 101， n 的 小 为 7.
an = 2n(n ∈ N∗).
2 (1 − 2n) Sn = 1 − 2 =
3
微信公众号 数学竞赛的那些事儿 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
32
32
H√ 2
h= . 2
8. 答案 B.
解析
为
sin2 1◦
+ sin2 2◦
+ · · · + sin2 89◦
=
44
(sin2
1◦
+
sin2
) 89◦
+
2020年高考数学一轮复习考点12函数模型及其应用必刷题(含解析)(2021-2022学年)
考点１2 函数模型及其应用１．(盐城市20１9届高三年级第一学期期中模拟考试)已知函数,,,使,则实数的取值范围是____＿___＿_． 【答案】【解析】,使,即g(x)的值域是的子集ｇ（x ）［],当a≤-１时，f （x)［]，即≤,解得a当-１<a≤０时,ｆ(x)[］， 即≤，不等式组无解 当a 〉1时,f(x)[]，即≤,不等式组无解综上所述，ａ的范围为.2．（江苏省徐州市20１８—20１９学年高三考前模拟检测）已知函数（其中为自然对数的底数)为偶函数,则实数的值为____．【答案】１ 【解析】 因为为偶函数，所以恒成立即,整理得到恒成立，故，填。
3．（江苏省南通市２01９届高三模拟练习卷）给出下列三个函数:①;②;③，则直线()不能作为函数____＿__的图象的切线（填写所有符合条件的函数的序号)．【答案】①【解析】直线的斜率为k=，ﻬ对于①,求导得:,对于任意x≠０，=无解，所以,直线不能作为切线;对于②,求导得:有解,可得满足题意;()x xa xf x x e e =-ea ()fx ()()f x f x =-()x x x x a x a x x e x e e e ----=--()x x x x e e a e e --+=+1a =11y x =s in y x =e x y =12y x b =+b R ∈12y x b=+121y x ='21y x =-21x -1212y x b=+s in y x ='1cos 2y x ==对于③,求导得：有解,可得满足题意;故答案为:①．4.（江苏省镇江市20１9届高三考前三模）设,若存在实数，使得的定义域和值域都是，则实数的取值范围为＿___＿__.【答案】【解析】在是减函数即:……①,，由，得则①变为：， 即：本题正确结果:．5．(江苏省南通市20１９届高三适应性考试)已知函数，若存在实数使得ﻬ，则的最大值为____＿_＿_.【答案】 【解析】 作出函数图像如下:x y e ='12x y e ==()fx t,()mnm n <()f x ()()f x gx +t 9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦()f x t[3,)-+∞()()f m nf n m ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩t nt m ⎧=⎪⎨=⎪⎩p=q23m p =-23n q =-1p q +=m n<p q<1p qpp ∴=+>+102p ∴≤<2233p t q q t p ⎧-+=-⎨-+=-⎩()2226p q t pq ∴-++=+-2212(1)6t p p -+=+--2222(1)5192224p p t pp p +--⎛⎫∴==--=-- ⎪⎝⎭924t ∴-<≤-9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦()1xf x e =-,()aba b <()()f a f b=2+a b32ln27()1xf x e =-由题意，令为方程的两个根，由图像易得;由得，解得或, 因为，所以,，因此， 令，，则, 因为,所以由得；由得，即函数在上单调递增;在上单调递减;所以， 因此的最大值为.故答案为.6．(江苏省扬州中学２０1９届高三4月考试)设, ﻬ，则比较的大小关系___＿＿_＿。
2019版高考数学(理)一轮复习：函数模型及其应用含解析
件产品用时 15 分钟,那么 c 和 A 的值分别是 ( A.75,25 B.75,16 C.60,25
【解析】选 D.由函数解析式可以看出,组装第 A 件产品所需时间为 第 4 件产品所需时间为 =30,解得 c=60,将 c=60 代入
=15,故组装
=15,得 A=16.
二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.拟定甲、乙两地通话 m 分钟的电话费(单位:元)由 f(m)=1.06(0.5[m]+1)给出, 其中 m>0,[m]是不超过 m 的最大整数(如[3]=3,[3.7]=3,[3.1]=3),则甲、 乙两地通 话 6.5 分钟的电话费为________元. 【解析】因为 m=6.5,所以[m]=6,则 f(m)=1.06×(0.5×6+1)=4.24. 答案:4.24 7.(2018·唐山模拟)某人计划购买一辆 A 型轿车,售价为 14.4 万元,购买后轿车一 年的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需 2.4 万元,同时汽车年折旧率约为 10%(即这辆车每年减少它的价值的 10%),试问,大约使用________年后,花费在该 车上的费用(含折旧费)达到 14.4 万元? 【解析】设使用 x 年后花费在该车上的费用达到 14.4 万元, 依题意可得,14.4(1-0.9 )+2.4x=14.4. 化简得:x-6×0.9 =0,令 f(x)=x-6×0.9 . 因为 f(3)=-1.374<0,f(4)=0.063 4>0, 所以函数 f(x)在(3,4)上应有一个零点. 故大约使用 4 年后,花费在该车上的费用达到 14.4 万元. 答案:4 8. 某 食 品 的 保 鲜 时 间 y( 单 位 : 小 时 ) 与 储 藏 温 度 x( 单 位 :℃) 满 足 函 数 关 系 y=e (e=2.718…为自然对数的底数,k,b 为常数).若该食品在 0 ℃的保鲜时间是 192 小时,在 22 ℃的保鲜时间是 48 小时,则该食品在 33 ℃的保鲜时间是________ 小时.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
考点12 函数模型及其应用
1．某地一企创电商最近两年的“双十一”当天的销售额连续增加，其中2016年的增长率为，2017年的增长率为，则该电商这两年的“双十一”当天销售额的平均增长率为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
设该电商这两年的“双十一”当天销售额的平均增长率为x，则
，选D.
2．为更好实施乡村振兴战略，加强村民对本村事务的参与和监督，根据《村委会组织法》，某乡镇准备在各村推选村民代表．规定各村每户推选人，当全村户数除以所得的余数大于时再增加人．那么，各村可推选的人数与该村户数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数）可以表示为（）
A． B． C． D．
【答案】B
3．如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度随时间变化的可能图象是( )
A． B． .
C． D．
【答案】C
【解析】由题,该容器为漏斗形几何体,所以水面高度随时间的变化为先慢后快,再快最后慢的情况变化，如选项C的情况。
故选C。
4．“今有垣厚七尺八寸七有五，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”，意思是“今有土墙厚7.875尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢需要的天数为（）
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
【答案】B
所以每天打洞的长度为
由题意，可解得，所以选B.
5．某市一家商场的新年最高促销奖设立了三种领奖方式，这三种领奖方式如下：
方式一：每天到该商场领取奖品，价值为40元；
方式二：第一天领取的奖品的价值为10元，以后每天比前一天多10元；
方式三：第一天领取的奖品的价值为0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。
(1)若商场的奖品总价值不超过1200元，要使每种领奖方式都能单独有效进行，则促销奖的领奖活动最长设置为几天；
(2)在(1)的条件下，你认为哪种领奖方式让领奖者受益更多．（参考数据：210=1024）
【答案】（1）11；（2）见解析
6．我国西部某省级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后，任何一个月内（每月按天计算）每天的旅游人数与第天近似地满足（千人），且参观民俗文化村的游客人均消费近似地满足（元）．
(1)求该村的第x天的旅游收入,并求最低日收入为多少？（单位：千元，，）；
(2)若以最低日收入的作为每一天的纯收入计量依据，并以纯收入的税率收回投资成本，试问该村在
两年内能否收回全部投资成本？
【答案】（1）；（2）该村两年内能收回全部投资资金.
7．山东省寿光市绿色富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地.上市时，外商李经理按市场价格元/千克在本市收购了千克香菇存放入冷库中.据预测，香菇的市场价
格每天每千克将上涨元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计元，而且香菇在冷库中最多保存天，同时，平均每天有千克的香菇损坏不能出售.
（1）若存放天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为元，试写出与之间的函数关系式；
（2）李经理如果想获得利润元，需将这批香菇存放多少天后出售？（提示：利润=销售总金额-收购成本-各种费用）
（3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）（2）将这批香菇存放天后出售（3）存放天后出售可获得最大利润为元.
8．某玩具所需成本费用为P元，且P＝1 000＋5x＋x2，而每套售出的价格为Q元，其中Q(x)＝a＋ (a，b∈R)，
(1)问：玩具厂生产多少套时，使得每套所需成本费用最少？
(2)若生产出的玩具能全部售出，且当产量为150套时利润最大，此时每套价格为30元，求a，b的值．(利润＝销售收入－成本)．
【答案】（1）该玩具厂生产100套时每套所需成本最少．（2）a＝25，b＝30.
9．某大型水果超市每天以元/千克的价格从水果基地购进若干水果，然后以元/千克的价格出售，若有剩余，则将剩下的水果以元/千克的价格退回水果基地.
（1）若该超市一天购进水果千克，记超市当天水果获得的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：千克，）的函数解析式，并求当时的值；
（2）为了确定进货数量，该超市记录了水果最近天的日需求量（单位：千克），整理得下表：
假设该超市在这天内每天购进水果千克，求这天该超市水果获得的日利润（单位：元）的平均数. 【答案】（1）见解析；（2）772.
10．某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.在购进机器时，可以一次性额外购买几次维修服务，每次维修服务费用200元，另外实际维修一次还需向维修人员支付小费，小费每次50元.在机器使用期间，如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，则每维修一次需支付维修服务费用500元，无需支付小费.现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，得下面统计表：
记x表示1台机器在三年使用期内的维修次数，y表示1台机器在维修上所需的费用（单位：元），表示购机的同时购买的维修服务次数.
（1）若=10，求y与x的函数解析式；
（2）若要求“维修次数不大于”的频率不小于0.8，求n的最小值；
（3）假设这100台机器在购机的同时每台都购买10次维修服务，或每台都购买11次维修服务，分别计算这100台机器在维修上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买10次还是11次维修服务？
【答案】（1）；（2）见解析；（3）10次.
（3）若每台都购买10次维修服务，则有下表：
此时这100台机器在维修上所需费用的平均数为
2730（元）若每台都购买11次维修服务，则有下表：
此时这100台机器在维修上所需费用的平均数为
2750（元）因为，所以购买1台机器的同时应购买10次维修服务．。