【跨越一本线】2017届高三数学问题：3.1-应用三角公式化简求值的技巧问题含答案
问题3.1 应用三角公式化简求值的技巧问题-突破170分之江苏2017届高三数学复习提升秘籍(原卷版)
突破170分之江苏高三数学复习提升秘籍三角函数在高考中通常以中低档题型出现，难度不大，但由于三角公式的特殊性，解题中往往也涉及一些小的变换技巧，如果处理得当，往往可以事半功倍，快速而准确地得到正确结论.通常情况下，三角变换应从“角度、函数、常数、次数、结构”等几方面着手解决.一、三角变换，角为先锋三角函数作为一种特殊函数，其“角”的特殊性不容忽视，因此我们在三角函数恒等变换中，应该首先注意角的形式，从统一角的角度出发，往往能够达到事半功倍的效果.【例1】已知α、β为锐角，cosα＝35，tan (α−β)＝−13，则tanβ＝______________.【例2】已知cos α＝13，cos (α ＋β)＝－13，且α、β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos (α－β)的值等于______________.【变式演练】已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝35，则sin 2x 的值为___________.二、函数变换，乃是重点三角函数作为一类特殊的函数，其六种三角函数(当今教材要求重点掌握正弦函数、余弦函数、正切函数)之间有着密切的联系，因此，充分注意函数之间的关系，是三角函数变形的另一个重点.【例3】已知tan 4α=，则21cos 28sin sin 2ααα++的值为_________.【变式演练】设(0,),(0,),22ππαβ∈∈且1sin tan ,cos βαβ+=则2αβ-=______________. 三、常数化角，曲径通幽三角公式中有不少常数，如1值之间的关系进行转换，往往可以起到意想不到的效果. 【例4】已知sin 3cos 3cos sin αααα+-＝5，则sin 2α－sin αcos α的值是______________.四、降幂化一，热点不断三角公式中，一次关系式较多，特别是同角关系式，以及化一公式等等，因此在观察函数关系式时，注意其次数的特征，将高次化为一次，也是解决问题的重要途径. 【例5】已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-.求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.五、和差倍分，注意结构三角变换中，函数表达式结构上的变换也要充分注意，结构式的差异往往隐藏着对条件和结论的联系.【例6】已知02cos 22sin=-xx . (1)求x tan 的值； (2)求xx x sin )4cos(22cos ⋅+π的值．六、公式变用，柳暗花明三角函数有众多的公式，我们不仅要会使用公式，还要会使用其变形的等价形式.如cos α＝ααsin 22sin ，tan α±tan β＝tan (α＋β)(1 tan αtan β)等.【例7】0tan10tan 50tan10tan 50++的值为_______________.【迁移运用】1. 【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】已知4tan 3α=-，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________． 2．【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试】已知π(0,)2α∈，π(,π)2β∈，1cos 3α=，53)sin(-=+βα，则cos β= ．3．【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测文科】已知53cos()25πα+=，02πα-<<，则sin 2α的值是 ．4．【苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中】若tan 2tan βα=，且2cos sin 3αβ=，则sin()αβ-的值为 ．5．【2017届高三七校联考期中考试】已知0＜α＜β＜π，且52sin sin ,51cos cos ==αβαβ ，则tan(β－α)的值为 ．6. 【江苏省如东高级中学2017届高三上学期第二次学情调研】已知α为锐角，若3sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭____________．7. 【无锡市普通高中2017届高三上学期期中基础性检测】已知()cos 24x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，若()13f α=，则sin α=____________．8．【湖北省襄阳市四校2017届高三上学期期中联考数学（理）试题】θ为锐角，sin 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则1tan tan θθ+= . 9．【山西省孝义市2017届高三上学期二轮模考数学（理）试题】已知3sin(3)2sin()2ππαα+=+，求下列各式的值. （1）sin 4cos 5sin 2cos αααα-+；（2）2sin sin 2αα+.10．【江西省抚州市七校2017届高三上学期联考数学（理）试题】若1sin()63x π+=，则tan(2)3x π+= . 11．【2016届河北省衡水冀州中学高三上第二次月考】已知3sin()65x π-=错误！未找到引用源。
三角函数求值问题基本解题方法
三角函数求值问题基本解题方法三角函数的求值问题，由于涉及的三角公式较多，问题的解法也比较灵活，但也会呈现出一定的规律性． １ 凑角法一些求值问题通过观察角之间的关系，并充分利用角之间的关系，往往是凑出特殊角，可以实现顺利解答．例１ 求tan 204sin 20︒+︒的值．解析 原式sin 202sin 40sin 202sin(6020)cos 20cos 20︒+︒︒+︒-︒==︒︒ sin 202(sin 60cos 20cos60sin 20)cos 20︒+︒︒-︒︒==︒评注 三角求值主要借助消除三个方面的差异解答，即消除函数名称差异，或者式子结构的差异，或者角度之间的差异，凑角法体现的就是消除非特殊角与特殊角之间的差异．本题注意若将第一步中的分子化为sin(6040)2sin 40︒-︒+︒，或者化为sin(3010)2sin(3010)︒-︒+︒+︒，都没有上面的方法简捷，请同学们进行操作比较，分析原因，并注意凑角也需谨慎选择！２ 降幂法一些涉及高次三角式的求值问题，往往借助已知及22sin cos 1αα+=，或降幂公式221cos 21cos 2sin ,cos 22αααα-+==等借助降幂策略解答． 例２ 若2cos cos 1αα+=，求26sin sin αα+的值．解析 由2cos cos 1αα+=，得1cos 2α-+=，1cos 2α--=（舍去）．由2cos cos 1αα+=，又可得22cos 1cos sin ααα=-=，则263sin sin cos cos αααα+=+，又由2c o s c o s 1αα+=，得2c o s 1c o s αα=-，故322c o s c o s c o s(1c o s )c o s (2c o s )2c o s c o s 3c o ααααααααα+=+=-=-=-，代值可得26sin sin αα+=评注 若求出cos α的值后直接简单代入，则运算量将大得多，而主动降幂后就截然不同了．涉及非单角形式的三角函数问题，有时也需要考虑降幂进而化为一个角的三角函数形式解答，遇到“高次”问题就特别注意联想“降幂法”解答．３ 配对法根据一些三角式的特征，适当进行配对，有时可以实现问题的顺利解答．例３ 已知(0,)2x π∈，且222cos cos 2cos 31x x x ++=，求x 的值．解析 设222cos cos 2cos 3m x x x =++，令222s i n s i n 2s i n 3n x x x =++，则3m n +=，cos2cos4cos6m n x x x -=++，其中，2cos62cos 31x x =-，cos 2cos 4cos(3)cos(3)2cos cos3x x x x x x x x +=-++=，2cos3(cos cos3)1m n x x x -=+-，又c o s c o s 3c o s (2)c o s (2)2c o s x x x x x x x x +=-++=，故4cos cos2cos31m n x x x -=-，故可解得1cos cos 2cos3(22)0(1)4x x x m m =-==．则c o s 0x =，或c o s 20x =，或c o s 30x =，又(0,)2x π∈，则6x π=或4x π=． 评注 三角函数中的正弦函数与余弦函数是一对互余函数，有很多对称的结论，如22sin cos 1θθ+=等，因此在解决一些三角求值，求证等问题时，可以构造对偶式，实施配对策略，尝试进行巧妙解答． ４ 换元法很多给值求值问题都是给的单角的某一三角函数值，但有时会出现给出复合角的三角函数值求值的问题，此时，利用换元法可以将问题转化为熟悉的已知单角的三角函数值求值问题．例４ 求sin 75cos 4515ααα+︒++︒+︒（）（）（）的值．解析 令15αβ+︒=，则原式sin(60)cos(30)βββ=+︒++︒(sin cos 60cos sin 60)(cos cos30sin sin 30)0βββββ=︒+︒+︒-︒-=．评注 教材求值问题往往是已知单角三角函数值求值，而近几年的高考和期末考试试题，则青睐于已知复合角的三角函数值求值，因此备考时要特别注意此点，解答此类问题的换元法或整体思想也都十分重要．对本题，若直接将三部分借助两角和的正弦公式与余弦公式展开，则要繁杂得多．５ 方程法根据已知构造所求量的方程解答．例５ 若33cos sin 1x x =+，试求sin x 的值．解析 令cos sin x x t =+，则21cos sin (1)2x x t =-，[t ∈．由已知，有 2221(cos sin )(cos sin cos sin )(1)12t x x x x x x t --++=+=，即3232(1)(2)0t t t t --=+-=，得1t =-，或2t =（舍去）．即cos sin 1x x =+，又22sin cos 1x x +=，整理可得2sin sin 0x x +=，解得sin 0x =或sin 1x =-．评注 将已知转化为关于sin x 的方程是解题的关键．方程的思想方法是解答诸多三角函数问题的基本大法，如求三角函数的解析式等问题．一般地，若题目中有n 个需要确定的未知数，则只要构造n 个方程解答即可．６ 讨论法涉及含有参数或正负情形的三角问题，往往需要借助讨论法进行解答．例６ 已知ABC !中，54sin ,cos 135A B ==，求cos C ． 解析 由5sin 13A =，得12cos 13A =±．当12cos 13A =-时，因为,A B 是ABC !的内角，需要满足0A B π<+<，有0A B ππ<<-<，而余弦函数在区间(0,)π是减函数，得cos cos()cos A B B π>-=-，但124cos cos 135A B =-<-=，故此情形不合题意． 可以验证12cos 13A =符合题意，故33cos cos()sin sin cos cos 65C A B A B A B =-+=-=-． 评注 分类讨论是将问题化整为零，进而化难为易的重要思想方法，一般含有绝对值的三角函数问题，涉及未确定象限的角的问题等，都要首先考虑“讨论”！７ 平方法分析已知和所求，有时借助“取平方”的方法可以实现顺利解题．例７ 已知sin sin sin 0αβγ++=，cos cos cos 0αβγ++=，求cos()αβ-的值．解析 有sin sin sin αβγ+=-，cos cos cos αβγ+=-，两式两边平方后对应相加，可得2222(sin sin 2sin sin )(cos cos 2cos cos )αβαβαβαβ+++++22(sin )(cos )1γγ=-+-=，即1cos()2αβ-=-． 评注 学习数学要掌握一些基本的操作技能，而“取”就是其中的重要一种，除了“取平方”外，常见的还有“取对数”，“取倒数”等操作，需要注意体会．本题就是借助平方关系实现整体消元后解答的． ８ 猜想法根据已知数据的特征进行必要的猜想，能更好的解决求值问题．例８ 已知1sin cos 2αα+=，且α为第二象限角，则sin α= ．解析 由sin 0,cos 0αα><及22221sin cos 1,()(12αα+=+=，可得1sin 2α=．评注 实际上，将sin cos αα+=22sin cos 1αα+=联立所得二元二次方程组只有两组解，即1sin ,cos 2αα==或1cos ,sin 2αα==，依题意只可取前者．学习数学，要培养对数据的敏感性，能根据数据特征进行积极联想，进而适当猜想，能有效提高解题速度，而且猜想是一种重要的推理形式，并不是“胡猜乱想”，要紧扣已知和所求进行．９ 图象法根据已知条件，借助图象才能更好的解决对应的三角函数问题．例９ 已知函数()sin 1(1)f x A x A =+>的图象与直线y A =在x 轴右侧的与x 轴距离最近的相邻三个交点的横坐标成等比数列，求实数A 的值．解析 如右图，设三个交点的坐标为(,)B b A ，(,)C c A ，(,)D d A ，由三角函数图象的对称性，则有22b c ππ+=⨯=，3232c d ππ+=⨯=，有b c π=-，3d c π=-，又222()(3)34c b d c c c c ππππ==--=-+，解得34c π=．故函数图象经过3(,)4A π，代入可得2A =+．评注 数和形是数学的两大支柱，三角函数的很多问题都有图形背景，在解决问题时，要充分借助图形进行直观分析，往往能更快捷的实现问题的解答，注意培养做草图的能力．１０ 等比性质法借助比例的性质，有时可以实现快速解答三角函数问题．例１０ 求证 2(cos sin )cos sin 1sin cos 1sin 1cos αααααααα-=-++++． 解析 若cos 0α=（或sin 0α=），因为sin 1(cos 1),αα≠-≠-或，故sin 1α=，或cos 1α=，验证可知等式成立．若cos 0α≠，则由2cos (1sin )(1sin )ααα=+-，2sin (1cos )(1cos )ααα=+-及比例性质a c a c b d b d +==+，可得cos 1sin 1sin cos 1sin cos 1sin cos αααααααα--+==+++． sin 1cos 1sin cos 1cos sin 1sin cos αααααααα-+-==+++，代入等式左边可知所证成立． 评注 本题有多种证法，而借助比例的性质的方法显得尤为简捷．涉及分式的三角函数问题，可以考虑借助比例法解答．如关于半角的正切公式sin 1cos tan 21cos sin ααααα-==+，按照比例性质，立得1cos sin tan 21cos sin ααααα-+=++．。
高考数学难点突破 三角函数式的化简与求值
高考数学难点突破 三角函数式的化简与求值三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍.●难点磁场(★★★★★)已知2π＜β＜α＜43π,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,求sin2α的值_________.●案例探究［例1］不查表求sin 220°+cos 280°+3cos20°cos80°的值.命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高.属于★★★★级题目.知识依托：熟知三角公式并能灵活应用. 错解分析：公式不熟，计算易出错.技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会.解法一：sin 220°+cos 280°+3sin 220°cos80°=21 (1－cos40°)+21(1+cos160°)+ 3sin20°cos80° =1－21cos40°+21cos160°+3sin20°cos(60°+20°)=1－21cos40°+21(cos120°cos40°－sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)=1－21cos40°－41cos40°－43sin40°+43sin40°－23sin 220°=1－43cos40°－43(1－cos40°)= 41解法二：设x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80° y =cos 220°+sin 280°－3cos20°sin80°，则 x +y =1+1－3sin60°=21，x －y =－cos40°+cos160°+3sin100° =－2sin100°sin60°+3sin100°=0 ∴x =y =41，即x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°=41. ［例2］设关于x 的函数y =2cos 2x －2a cos x －(2a +1)的最小值为f (a )，试确定满足f (a )=21的a 值，并对此时的a 值求y 的最大值.命题意图：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力.属★★★★★级题目知识依托：二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析：考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错.技巧与方法：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等.解：由y =2(cos x －2a )2－2242+-a a 及cos x ∈［－1，1］得：f (a )⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-----≤)2( 41)22( 122)2( 12a a a a a a∵f (a )=21,∴1－4a =21⇒a =81∉［2,+∞) 故－22a －2a －1=21，解得：a =－1，此时，y =2(cos x +21)2+21，当cos x =1时，即x =2k π，k ∈Z ，y max =5.［例3］已知函数f (x )=2cos x sin(x +3π)－3sin 2x +sin x cos x (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 的值； (3)若当x ∈［12π，127π］时，f (x )的反函数为f －1(x )，求f -－1(1)的值. 命题意图：本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识，还考查计算变形能力，综合运用知识的能力，属★★★★★级题目.知识依托：熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识.错解分析：在求f -－1(1)的值时易走弯路. 技巧与方法：等价转化，逆向思维.解：(1)f (x )=2cos x sin(x +3π)－3sin 2x +sin x cos x =2cos x (sin x cos 3π+cos x sin 3π)－3sin 2x +sin x cos x=2sin x cos x +3cos2x =2sin(2x +3π)∴f (x )的最小正周期T =π(2)当2x +3π=2k π－2π，即x =k π－125π (k ∈Z )时，f (x )取得最小值－2.(3)令2sin(2x +3π)=1，又x ∈［27,2ππ］,∴2x +3π∈［3π,23π］,∴2x +3π=65π，则x =4π，故f -－1(1)= 4π. ●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：1.求值问题的基本类型：1°给角求值，2°给值求值，3°给式求值，4°求函数式的最值或值域，5°化简求值.2.技巧与方法：1°要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式. 2°注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用.3°对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法.4°求最值问题，常用配方法、换元法来解决. ●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★★)已知方程x 2+4ax +3a +1=0(a ＞1)的两根均tan α、tan β，且α，β∈ (－2,2ππ)，则tan2βα+的值是( ) A.21 B.－2C.34 D.21或－2 二、填空题2.(★★★★)已知sin α=53，α∈(2π，π)，tan(π－β)= 21，则tan(α－2β)=_________.3.(★★★★★)设α∈(43,4ππ)，β∈(0，4π)，cos(α－4π)=53，sin(43π+β)=135，则sin(α+β)=_________.三、解答题4.不查表求值:.10cos 1)370tan 31(100sin 130sin 2︒+︒+︒+︒5.已知cos(4π+x )=53，(1217π＜x ＜47π)，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值.6.(★★★★★)已知α－β=38π，且α≠k π(k ∈Z ).求)44(sin 42sin2csc )cos(12βπαααπ-----的最大值及最大值时的条件.7.(★★★★★)如右图，扇形OAB 的半径为1，中心角60°，四边形PQRS 是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P 的位置，并求此最大面积.8.(★★★★★)已知cos α+sin β=3，sin α+cos β的取值范围是D ，x ∈D ，求函数y =10432log 21++x x 的最小值，并求取得最小值时x的值.参考答案难点磁场解法一：∵2π＜β＜α＜43π,∴0＜α－β＜4π.π＜α+β＜43π, ∴sin(α－β)=.54)(sin 1)cos(,135)(cos 122-=+--=+=--βαβαβα∴sin2α=sin ［(α－β)+(α+β)］=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β) .6556)53(1312)54(135-=-⨯+-⨯= 解法二：∵sin(α－β)=135,cos(α+β)=－54,∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α－β)=－6572sin2α－sin2β=2cos(α+β)sin(α－β)=－6540∴sin2α=6556)65406572(21-=--歼灭难点训练一、1.解析：∵a ＞1，tan α+tan β=－4a ＜0.tan α+tan β=3a +1＞0,又α、β∈(－2π,2π)∴α、β∈(－2π,θ),则2βα+∈(－2π,0),又tan(α+β)=342tan 12tan2)tan(,34)13(14tan tan 1tan tan 2=β+α-β+α=β+α=+--=βα-β+α又a a , 整理得2tan 222tan 32-β+α+β+α=0.解得tan 2β+α=－2. 答案：B2.解析：∵sin α=53,α∈(2π,π),∴cos α=－54则tan α=－43,又tan(π－β)=21可得tan β=－21,247)34()43(1)34(432tan tan 1tan tan )2tan(.34)21(1)21(2tan 1tan 22tan 222=-⨯-+---=β⋅α+β-α=β-α-=---⨯=β-β=β答案：2473.解析：α∈(43,4ππ),α－4π∈(0, 2π),又cos(α－4π)=53. 6556)sin(.655613554)1312(53)43sin()4sin()43cos()4cos()]43()4cos[(]2)43()4sin[()sin(.1312)43cos(,135)43sin().,43(43).4,0(,54)4sin(=β+α=⨯+-⨯-=β+π⋅π-α+β+π⋅π-α-=β+π+π-α-=π-β+π+π-α=β+α∴-=β+π∴=β+πππ∈β+π∴π∈β=π-α∴即 答案：6556 三、4.答案：2752853)54(257)4cos()4sin(2sin sin cos cos )cos (sin sin 2cos sin 1sin 2cos sin 2tan 1sin 22sin 54)4sin(,2435,471217.257)4(2cos 2sin ,53)4cos(:.522=-⨯=++=-+=-+=-+-=+∴<+<∴<<=+-=∴=+x x x xx xx x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππ又解 2)322sin(22)21()322sin(4.32243824,3822cos 2sin 42)2sin 2(sin 2)2sin 2121(42cos 2cos 22sin 2)22cos(142sin 1)cos 1(2sin )44(sin 42sin 2csc )cos(1:.62222-π-α-=--⨯π-α=∴π-α=π-α=β-α∴π=β-α-β-αβ+α=-β+α=β--αα⋅α=β-π--α-α+α=β-π-α-αα-π-=t t 令解 π≠αk （k ∈Z ）,322322π-π≠π-α∴k （k ∈Z ） ∴当,22322π-π=π-αk 即34π+π=αk （k ∈Z ）时,)322sin(π-α的最小值为－1.7.解：以OA 为x 轴.O 为原点，建立平面直角坐标系，并设P 的坐标为(cos θ,sin θ)，｜PS ｜=sin θ.直线OB 的方程为y =3x ，直线PQ 的方程为y =sin θ.联立解之得Q (33sin θ；sin θ)，所以｜PQ ｜=cos θ－33sin θ. 于是S PQRS =sin θ(cos θ－33sin θ)=33(3sin θcos θ－sin 2θ)=33(23sin2θ－22cos 1θ-)=33(23sin2θ+21cos2θ－21)= 33sin(2θ+6π)－63.∵0＜θ＜3π,∴6π＜2θ+6π＜65π.∴21＜sin(2θ+6π)≤1.∴sin(2θ+6π)=1时，PQRS 面积最大，且最大面积是63，此时，θ=6π，点P 为的中点，P (21,23). 8.解：设u =sin α+cos β.则u 2+(3)2=(sin α+cos β)2+(cos α+sin β)2=2+2sin(α+β)≤4.∴u 2≤1,－1≤u ≤1.即D =［－1,1］,设t =32+x ,∵－1≤x ≤1,∴1≤t ≤5.x =232-t ..21,232,2,258log 2log 82log ,0log .82,2,42.8224142142104325.05.05.0min 5.0max 2-==+==-==∴>=====≤+=+=++=∴x x t y M M y M t t t tt t t x x M 此时时时是减函数在时即当且仅当。
(完整版)三角函数化简求值证明技巧
第三讲一、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的应用技巧1、网络2、三角函数变换的方法总结（1）变换函数名对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名法．它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。
【例1】已知θ同时满足和,且a、b 均不为0，求a、b的关系。
练习：已知sin（α＋β）＝，cos（α－β）＝，求的值。
2）变换角的形式对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变．它应用广泛，方式灵活，如α可变为（α＋β）－β；2α可变为（α＋β）＋（α－β）；2α－β可变为（α－β）＋α；α／2可看作α／4的倍角；（45°＋α）可看成（90°＋2α）的半角等等。
【例2】求sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°）的值。
练习已知，求的值【例3】已知sinα＝Ａsin（α＋β）（其中cosβ≠A），试证明：tan（α＋β）＝提示：sin[（α＋β）－β]＝Ａsin （α＋β）（3）以式代值利用特殊角的三角函数值以及含有1的三角公式，将原式中的1或其他特殊值用式子代换，往往有助于问题得到简便地解决。
这其中以“1”的变换为最常见且最灵活。
“1”可以看作是sin2x＋cos2x, sec2x－tan2x, csc2x －cot2x，tanxcotx, secxcosx, tan45°等，根据解题的需要，适时地将“1”作某种变形，常能获得较理想的解题方法。
【例4】化简：（4）和积互化积与和差的互化往往可以使问题得到解决，升幂和降次实际上就是和积互化的特殊情形。
这往往用到倍、半角公式。
高考题集三角函数,化简求值通用步骤.doc
高考题集三角函数，化简求值通用步骤求解三角函数的性质通常情况下需利用三角函恒等变换公式将函数的解析式转化为y=Asin(wx+φ)+B的形式，然后根据基本三角函数y=sinx的性质结合整体代换的思想求解，这点大家还是很熟悉了，下面一起来看下
解三角函数化简步骤：诱导公式（π，2π，，，）→和差角公式（π/6，π/4，π/6）→正弦二倍角逆用公式（sinxcosx,）→降幂公式（sin²x，cos²x）→辅助角公式（asinx+bcosx）→y=Asin(wx+φ)+B
在化简过程中这个步骤非常好用，括号里的就是题目条件中会给到的常见的数学公式符号特征，只要按照相应公式展开即可，快速又简便
题中sin（x-π/6），就是特征，按正弦差角公式展开，由于π/6的正余弦值知晓，所以就化简一层了，接着乘法张开，就发现降幂公式使用以后，就化成同角正余弦了，最后直接用辅助角公式即可化成y=Asin(wx+φ)+B，然后根据基本三角函数y=sinx的性质结合整体代换的思想求解。
方法还是非常独特的思路，利用和差角公式，凑出y+z，y-z，再加减消元，y即求出，只是这个方法考试的时候还是需要慎用，因为一不小心算不出来，找不到关系，就意味着要重新计算，耽误时间，心里压力又加大，老生常谈的话就是用你最拿手的办法，解你自己的题，不管别人如何解，走
自己的路让别人说去吧。
方法3就是凑角，恒等变换求结果
三角函数这部分的知识，化简恒等变换就是重点，是求性质的前提，所以把化简步骤记忆掌握就尤其重要了，解题往往是在前往通法的道路上，找到适合此题的又独特解法，方法是死的，人是活的，脑子是活的，你想怎么用，想先用哪个都随你心，加油哦。
三角函数求值问题基本解题方法
三角函数求值问题基本解题方法三角函数的求值问题，由于涉及的三角公式较多，问题的解法也比较灵活，但也会呈现出一定的规律性．１ 凑角法一些求值问题通过观察角之间的关系，并充分利用角之间的关系，往往是凑出特殊角，可以实现顺利解答．例１ 求的值．tan 204sin 20︒+︒解析 原式sin 202sin 40sin 202sin(6020)cos 20cos 20︒+︒︒+︒-︒==︒︒．sin 202(sin 60cos 20cos 60sin 20)cos 20︒+︒︒-︒︒==︒评注 三角求值主要借助消除三个方面的差异解答，即消除函数名称差异，或者式子结构的差异，或者角度之间的差异，凑角法体现的就是消除非特殊角与特殊角之间的差异．本题注意若将第一步中的分子化为，或者化为，都没有上面的方法简捷，sin(6040)2sin 40︒-︒+︒sin(3010)2sin(3010)︒-︒+︒+︒请同学们进行操作比较，分析原因，并注意凑角也需谨慎选择！２ 降幂法 一些涉及高次三角式的求值问题，往往借助已知及，或降幂公式22sincos 1αα+=等借助降幂策略解答．221cos 21cos 2sin ,cos 22αααα-+==例２ 若，求的值．2cos cos1αα+=26sin sin αα+解析 由，得，（舍去）．由2cos cos 1αα+=cos α=cos α=，又可得，2cos cos 1αα+=22cos 1cos sin ααα=-=则，又由，得，故263sin sin cos cos αααα+=+2cos cos 1αα+=2cos 1cos αα=-，代值可得322cos cos cos (1cos )cos (2cos )2cos cos 3cos 1ααααααααα+=+=-=-=-26sin sin αα+=评注 若求出的值后直接简单代入，则运算量将大得多，而主动降幂后就截然不同了．涉及非cos α单角形式的三角函数问题，有时也需要考虑降幂进而化为一个角的三角函数形式解答，遇到“高次”问题就特别注意联想“降幂法”解答．３ 配对法 根据一些三角式的特征，适当进行配对，有时可以实现问题的顺利解答．例３ 已知，且，求的值．(0,)2x π∈222cos cos 2cos 31x x x ++=x 解析 设，令，则，222cos cos 2cos 3m x x x =++222sin sin 2sin 3n x x x =++3m n +=，其中，，cos 2cos 4cos 6m n x x x -=++2cos 62cos 31x x =-，，又cos 2cos 4cos(3)cos(3)2cos cos3x x x x x x x x +=-++=2cos3(cos cos3)1m n x x x -=+-，故，故可cos cos3cos(2)cos(2)2cos cos 2x x x x x x x x +=-++=4cos cos 2cos31m n x x x -=-解得．则，或，或，又1cos cos 2cos3(22)0(1)4x x x m m =-== cos 0x =cos 20x =cos30x =，则或．(0,2x π∈6x π=4x π=评注 三角函数中的正弦函数与余弦函数是一对互余函数，有很多对称的结论，如等，因此在解决一些三角求值，求证等问题时，可以构造对偶式，实施配对策略，尝22sin cos 1θθ+=试进行巧妙解答．４ 换元法 很多给值求值问题都是给的单角的某一三角函数值，但有时会出现给出复合角的三角函数值求值的问题，此时，利用换元法可以将问题转化为熟悉的已知单角的三角函数值求值问题．例４ 求的值．sin 75cos 4515ααα+︒++︒+︒（）（）-（）解析 令，则原式15αβ+︒=sin(60)cos(30)βββ=+︒++︒．(sin cos 60cos sin 60)(cos cos30sin sin 30)0βββββ=︒+︒+︒-︒=评注 教材求值问题往往是已知单角三角函数值求值，而近几年的高考和期末考试试题，则青睐于已知复合角的三角函数值求值，因此备考时要特别注意此点，解答此类问题的换元法或整体思想也都十分重要．对本题，若直接将三部分借助两角和的正弦公式与余弦公式展开，则要繁杂得多．５ 方程法根据已知构造所求量的方程解答．例５ 若，试求的值．33cos sin 1x x =+sin x解析 令，则，．由已知，有cos sin x x t =+21cos sin (1)2x x t =-[t ∈，即，得2221(cos sin )(cos sin cos sin )(1)12t x x x x x x t --++=+=3232(1)(2)0t t t t --=+-=，或（舍去）．即，又，整理可得，解1t =-2t =cos sin 1x x =+22sin cos 1x x +=2sin sin 0x x +=得或．sin 0x =sin 1x =-评注 将已知转化为关于的方程是解题的关键．方程的思想方法是解答诸多三角函数问题的基sin x 本大法，如求三角函数的解析式等问题．一般地，若题目中有个需要确定的未知数，则只要构造个n n 方程解答即可．６ 讨论法涉及含有参数或正负情形的三角问题，往往需要借助讨论法进行解答．例６ 已知中，，求．ABC !54sin ,cos 135A B ==cos C 解析 由，得．当时，因为是的内角，需要满足5sin 13A =12cos 13A =±12cos 13A =-,AB ABC !，有，而余弦函数在区间是减函数，得0A B π<+<0A B ππ<<-<(0,)π，但，故此情形不合题意．cos cos()cos A B B π>-=-124cos cos 135A B =-<-=可以验证符合题意，故．12cos 13A =33cos cos()sin sin cos cos 65C A B A B A B =-+=-=-评注 分类讨论是将问题化整为零，进而化难为易的重要思想方法，一般含有绝对值的三角函数问题，涉及未确定象限的角的问题等，都要首先考虑“讨论”！７ 平方法分析已知和所求，有时借助“取平方”的方法可以实现顺利解题．例７ 已知，，求的值．sin sin sin 0αβγ++=cos cos cos 0αβγ++=cos()αβ-解析 有，，两式两边平方后对应相加，可得sin sin sin αβγ+=-cos cos cos αβγ+=-2222(sin sin 2sin sin )(cos cos 2cos cos )αβαβαβαβ+++++，即．22(sin )(cos )1γγ=-+-=1cos()2αβ-=-评注 学习数学要掌握一些基本的操作技能，而“取”就是其中的重要一种，除了“取平方”外，常见的还有“取对数”，“取倒数”等操作，需要注意体会．本题就是借助平方关系实现整体消元后解答的．８ 猜想法根据已知数据的特征进行必要的猜想，能更好的解决求值问题．例８ 已知，且为第二象限角，则 ．sin cos αα+=αsin α=解析 由及，可得．sin 0,cos 0αα><22221sincos 1,()(12αα+=+=1sin 2α=评注 实际上，将与联立所得二元二次方程组只有两组解，sin cos αα+=22sin cos 1αα+=即或，依题意只可取前者．学习数学，要培养对数据的1sin ,cos 2αα==1cos ,sin 2αα==敏感性，能根据数据特征进行积极联想，进而适当猜想，能有效提高解题速度，而且猜想是一种重要的推理形式，并不是“胡猜乱想”，要紧扣已知和所求进行．９ 图象法根据已知条件，借助图象才能更好的解决对应的三角函数问题．例９ 已知函数的图象与直线在轴右侧的与轴距离最近的相邻()sin 1(1)f x A x A =+>y A =x x 三个交点的横坐标成等比数列，求实数的值．A 解析 如右图，设三个交点的坐标为，(,)B b A ，，由三角函数图象的对称性，则有(,)C c A (,)D d A ，，有，22b c ππ+=⨯=3232c d ππ+=⨯=b c π=-，又，解得．故函数图象经过，3d c π=-222()(3)34c bd c c c c ππππ==--=-+34c π=3(,)4A π代入可得．2A =+评注 数和形是数学的两大支柱，三角函数的很多问题都有图形背景，在解决问题时，要充分借助图形进行直观分析，往往能更快捷的实现问题的解答，注意培养做草图的能力．１０ 等比性质法借助比例的性质，有时可以实现快速解答三角函数问题．例１０ 求证 ．2(cos sin )cos sin 1sin cos 1sin 1cos αααααααα-=-++++解析 若（或），因为，故，或，cos 0α=sin 0α=sin 1(cos 1),αα≠-≠-或sin 1α=cos 1α=验证可知等式成立．若，则由，及比例性质cos 0α≠2cos(1sin )(1sin )ααα=+-2sin (1cos )(1cos )ααα=+-，可得．a c a c b d b d +==+cos 1sin 1sin cos 1sin cos 1sin cos αααααααα--+==+++，代入等式左边可知所证成立．sin 1cos 1sin cos 1cos sin 1sin cos αααααααα-+-==+++评注 本题有多种证法，而借助比例的性质的方法显得尤为简捷．涉及分式的三角函数问题，可以考虑借助比例法解答．如关于半角的正切公式，按照比例性质，立得sin 1cos tan21cos sin ααααα-==+．1cos sin tan21cos sin ααααα-+=++。
三角函数化简求值的技巧
三角函数化简与求值常用技巧
三角函数在高考中通常以中低档题型出现,难度不大,但由 于三角公式的特殊性,解题中往往也涉及一些小的变换技 巧,如果处理得当,往往可以事半功倍,快速而准确地得到 正确结论.通常情况下,三角变换应从“角度、函数、常数、 次数、结构”等几方面着手解决.
一、三角变换,角为先锋 三角函数作为一种特殊函数,其“角”的特殊性不容忽视,因此我们在三角函数恒等变换 中,应该首先注意角的形式,从统一角的角度出发,往往能够达到事半功倍的效果.
【例 1】已 知α、 β为 锐角,cos α＝
3 5
,tan (α−β)＝−
1 3
,则
tan β＝(
)
A、
1 3
B、 3
【变式演练】已知 sin
x－π
4
＝3,则
sin
2x 的值为(
)
5
A．－ 7 25
B. 7 25
C. 9 25
D.16 25
【解析】法一、sin 2x＝cos(2x－ π )＝1－2sin2(x－ π )＝1－2×(3)2＝ 7 ,选 B.
2
4
5 25
法二、依题意得 2(sin x－cos x)＝3,1(sin x－cos x)2＝ 9 ,1－sin 2x＝18,sin 2x＝ 7 ,选
C、
9 13
D、
13 9
【例
1】已 知α、 β为 锐角,cos α＝
3 5
,tan (α−β)＝−
1 3
,则
tan β＝(
)
A、
1 3
B、 3
C、
9 13
D、
13 9
【分析】依题意,可求得 tan α＝
高考数学难点之三角函数式的化简与求值
高考数学难点之三角函数式的化简与求值三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍.●难点磁场(★★★★★)已知2π＜β＜α＜43π,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,求sin2α的值_________.●案例探究［例1］不查表求sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°的值.命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高.属于★★★★级题目.知识依托：熟知三角公式并能灵活应用.错解分析：公式不熟，计算易出错.技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会.解法一：sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80° =21 (1－cos40°)+21 (1+cos160°)+3sin20°cos80° =1－21cos40°+21cos160°+3sin20°cos(60°+20°) =1－21cos40°+21 (cos120°cos40°－sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)=1－21cos40°－41cos40°－43sin40°+43sin40°－23sin 220° =1－43cos40°－43(1－cos40°)=41 解法二：设x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°y =cos 220°+sin 280°－3cos20°sin80°，则x +y =1+1－3sin60°=21，x －y =－cos40°+cos160°+3sin100°=－2sin100°sin60°+3sin100°=0∴x =y =41，即x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°=41. ［例2］设关于x 的函数y =2cos 2x －2a cos x －(2a +1)的最小值为f (a )，试确定满足f (a )=21的a 值，并对此时的a 值求y 的最大值. 命题意图：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力.属★★★★★级题目知识依托：二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析：考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错.技巧与方法：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等.解：由y =2(cos x －2a )2－2242+-a a 及cos x ∈［－1，1］得： f (a )⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-----≤)2( 41)22( 122)2( 12a a a a a a ∵f (a )=21,∴1－4a =21⇒a =81∉［2,+∞) 故－22a －2a －1=21，解得：a =－1，此时， y =2(cos x +21)2+21，当cos x =1时，即x =2k π，k ∈Z ，y max =5. ［例3］已知函数f (x )=2cos x sin(x +3π)－3sin 2x +sin x cos x (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 的值；(3)若当x ∈［12π，127π］时，f (x )的反函数为f －1(x )，求f -－1(1)的值. 命题意图：本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识，还考查计算变形能力，综合运用知识的能力，属★★★★★级题目.知识依托：熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识.错解分析：在求f -－1(1)的值时易走弯路.技巧与方法：等价转化，逆向思维.解：(1)f (x )=2cos x sin(x +3π)－3sin 2x +sin x cos x =2cos x (sin x cos 3π+cos x sin 3π)－3sin 2x +sin x cos x =2sin x cos x +3cos2x =2sin(2x +3π) ∴f (x )的最小正周期T =π(2)当2x +3π=2k π－2π，即x =k π－125π (k ∈Z )时，f (x )取得最小值－2. (3)令2sin(2x +3π)=1，又x ∈［27,2ππ］, ∴2x +3π∈［3π,23π］,∴2x +3π=65π，则 x =4π，故f -－1(1)=4π. ●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：1.求值问题的基本类型：1°给角求值，2°给值求值，3°给式求值，4°求函数式的最值或值域，5°化简求值.2.技巧与方法：1°要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式.2°注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用.3°对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法.4°求最值问题，常用配方法、换元法来解决.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★★)已知方程x 2+4ax +3a +1=0(a ＞1)的两根均tan α、tan β，且α，β∈ (－2,2ππ)，则tan 2βα+的值是( ) A.21B.－2 C.34D.21或－2 二、填空题2.(★★★★)已知sin α=53，α∈(2π，π)，tan(π－β)=21，则tan(α－2β)=_________. 3.(★★★★★)设α∈(43,4ππ)，β∈(0，4π)，cos(α－4π)=53，sin(43π+β)=135，则sin(α+β)=_________. 三、解答题 4.不查表求值:.10cos 1)370tan 31(100sin 130sin 2︒+︒+︒+︒5.已知cos(4π+x )=53，(1217π＜x ＜47π)，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值. 6.(★★★★★)已知α－β=38π，且α≠k π(k ∈Z ).求)44(sin 42sin 2csc )cos(12βπαααπ-----的最大值及最大值时的条件.7.(★★★★★)如右图，扇形OAB 的半径为1，中心角60°，四边形PQRS 是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P 的位置，并求此最大面积.8.(★★★★★)已知cos α+sin β=3，sin α+cos β的取值X 围是D ，x ∈D ，求函数y =10432log 21++x x 的最小值，并求取得最小值时x 的值.参考答案难点磁场解法一：∵2π＜β＜α＜43π,∴0＜α－β＜4π.π＜α+β＜43π, ∴sin(α－β)=.54)(sin 1)cos(,135)(cos 122-=+--=+=--βαβαβα ∴sin2α=sin ［(α－β)+(α+β)］=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β) .6556)53(1312)54(135-=-⨯+-⨯= 解法二：∵sin(α－β)=135,cos(α+β)=－54, ∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α－β)=－6572 sin2α－sin2β=2cos(α+β)sin(α－β)=－6540∴sin2α=6556)65406572(21-=--歼灭难点训练一、1.解析：∵a ＞1，tan α+tan β=－4a ＜0. tan α+tan β=3a +1＞0,又α、β∈(－2π,2π)∴α、β∈(－2π,θ),则2βα+∈(－2π,0),又tan(α+β)=342tan 12tan 2)tan(,34)13(14tan tan 1tan tan 2=β+α-β+α=β+α=+--=βα-β+α又a a , 整理得2tan 222tan 32-β+α+β+α=0.解得tan 2β+α=－2. 答案：B2.解析：∵sin α=53,α∈(2π,π),∴cos α=－54 则tan α=－43,又tan(π－β)=21可得tan β=－21, 247)34()43(1)34(432tan tan 1tan tan )2tan(.34)21(1)21(2tan 1tan 22tan 222=-⨯-+---=β⋅α+β-α=β-α-=---⨯=β-β=β 答案：247 3.解析：α∈(43,4ππ),α－4π∈(0,2π),又cos(α－4π)=53.6556)sin(.655613554)1312(53)43sin()4sin()43cos()4cos()]43()4cos[(]2)43()4sin[()sin(.1312)43cos(,135)43sin().,43(43).4,0(,54)4sin(=β+α=⨯+-⨯-=β+π⋅π-α+β+π⋅π-α-=β+π+π-α-=π-β+π+π-α=β+α∴-=β+π∴=β+πππ∈β+π∴π∈β=π-α∴即 答案：6556三、4.答案：2752853)54(257)4cos()4sin(2sin sin cos cos )cos (sinsin 2cos sin 1sin 2cos sin 2tan 1sin 22sin 54)4sin(,2435,471217.257)4(2cos 2sin ,53)4cos(:.522=-⨯=++=-+=-+=-+-=+∴<+<∴<<=+-=∴=+x x x x x xx x x xx x x x x x x x x x x x x ππππππππππ又解2)322sin(22)21()322sin(4.32243824,3822cos 2sin 42)2sin 2(sin 2)2sin 2121(42cos 2cos 22sin 2)22cos(142sin 1)cos 1(2sin )44(sin 42sin 2csc )cos(1:.62222-π-α-=--⨯π-α=∴π-α=π-α=β-α∴π=β-α-β-αβ+α=-β+α=β--αα⋅α=β-π--α-α+α=β-π-α-αα-π-=t t 令解π≠αk （k ∈Z ）,322322π-π≠π-α∴k （k ∈Z ） ∴当,22322π-π=π-αk 即34π+π=αk （k ∈Z ）时,)322sin(π-α的最小值为－1. 7.解：以OA 为x 轴.O 为原点，建立平面直角坐标系，并设P 的坐标为(cos θ,sin θ)，则 ｜PS ｜=sin θ.直线OB 的方程为y =3x ，直线PQ 的方程为y =sin θ.联立解之得Q (33sin θ；sin θ)，所以｜PQ ｜=cos θ－33sin θ. 于是S PQRS =sin θ(cos θ－33sin θ)=33(3sin θcos θ－sin 2θ)=33(23sin2θ－22cos 1θ-)=33(23sin2θ+21cos2θ－21)=33sin(2θ+6π)－63. ∵0＜θ＜3π,∴6π＜2θ+6π＜65π.∴21＜sin(2θ+6π)≤1. ∴sin(2θ+6π)=1时，PQRS 面积最大，且最大面积是63，此时，θ=6π，点P 为的中点，P (21,23). 8.解：设u =sin α+cos β.则u 2+(3)2=(sin α+cos β)2+(cos α+sin β)2=2+2sin(α+β)≤4.∴u 2≤1,－1≤u ≤1.即D =［－1,1］,设t =32+x ,∵－1≤x ≤1,∴1≤t ≤5.x =232-t . .21,232,2,258log 2log 82log ,0log .82,2,42.8224142142104325.05.05.0min 5.0max 2-==+==-==∴>=====≤+=+=++=∴x x t y M M y M t t t tt t t x x M 此时时时是减函数在时即当且仅当。
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α＋β α－β α＋β (2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β),α＝(α＋β)－β,β＝ － ,α＝ ＋ 2 2 2 α－β α－β β α , ＝(α＋ )－( ＋β)等． 2 2 2 2
π π π π π π (3)常见的互余和互补的角①常见的互余的角： －α与 ＋α； ＋α与 －α； ＋α与 －α等．②常见 3 6 3 6 4 4 的互补的角： π 2π π 3π ＋θ与 －θ； ＋θ与 －θ等． 3 3 4 4 π π β β ＋α 1 － α＋ π π 3 2 ＝ ,则 cos 2 等于( ,－ ＜β＜0,cos 4 ＝ ,cos 4 2 2 3 3 5 3 C. 9 D．－ 6 9 )
【例 2】 【2017 天津六校高三上学期期中联考】若
sin cos 3 , tan( ) 2 ,则 tan( 2 ) sin cos
．
【分析】先统一函数名称,化弦为切,再利用两角和的正切公式求值.
【点评】(1)利用 sin α＋cos α＝1 可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用 互化．
tan ,又 0, , 0, , 0, ,故 ,即 2 . 4 2 2 4 2 2 4 2 2 2
【答案】C 三、常数化角,曲径通幽 三角公式中有不少常数,如 1、 3 、
β α＋ 1 3 2 2 6 5 3 2 ＝ × ＋ 故 cos × ＝ . 3 3 3 3 9
【答案】C 二、函数变换,乃是重点 三角函数作为一类特殊的函数,其六种三角函数(当今教材要求重点掌握正弦函数、余弦函数、正切函数)之间有 着密切的联系,因此,充分注意函数之间的关系,是三角函数变形的另一个重点.
2017 届高三数学跨越一本线精品 问题一：应用三角公式化简求值的技巧问题 三角函数在高考中通常以中低档题型出现,难度不大,但由于三角公式的特殊性,解题中往往也涉及一些小的 变换技巧,如果处理得当,往往可以事半功倍,快速而准确地得到正确结论.通常情况下,三角变换应从“角度、 函 数、常数、次数、结构”等几方面着手解决. 一、三角变换,角为先锋 三角函数作为一种特殊函数,其“角”的特殊性不容忽视,因此我们在三角函数恒等变换中,应该首先注意角的 形式,从统一角的角度出发,往往能够达到事半功倍的效果. 【例 1】 【2017 湖北省荆州高三上学期第一次质检】若 sin A．
2
2
Байду номын сангаас
sinα ＝tanα可以实现角α的弦切 cosα
(2)形如 asinα＋bcosα和 asin α＋bsinαcosα＋ccos α的式子分别称为关于 sinα,cosα的一次齐次式和 二次齐次式,对涉及它们的三角变换通常转化为正切(分子分母同除以 cosα或 cos α)求解． 如果分母为 1,可考 虑将 1 写成 sin2α＋cos2α.(3)已知 tanα＝m 的条件下,求解关于 sinα,cosα的齐次式问题,必须注意以下几 点：①一定是关于 sinα,cosα的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式．②因为 cosα≠0,所以可以用 cos α(n∈N )除之,这样可以将被求式化为关于 tanα的表示式,可整体代入 tanα＝m 的值,从而完成被求式的 求值运算．③注意 1＝sin α＋cos α的运用． 【小试牛刀】设 (0,
1 ,则 cos 2 ( 3 3 3
)
7 9
B．
2 3
C．
2 3
D．
7 9
【分析】根据
2 2 可考虑利用诱导公式及二倍角公式求值 3 3
【点评】 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示． ①当“已知角”有两个时,“所 求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； ②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已 知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
【小试牛刀】若 0＜α＜ 3 3 3 3
A.
B．－
【解析】cos
α＋
π π β β π π β π π β ＋α － ＋α － ＋α － 2 ＝cos 4 2 ＝cos 4 － 4 2 ＋sin 4 2 , cos 4 sin 4
π ＋α 2 2 π π π 3π ∵0＜α＜ ,∴ ＜ ＋α＜ ,∴sin 4 ＝ . 2 4 4 4 3 π β － π π π β π 6 2 ＝ . 又－ ＜β＜0,则 ＜ － ＜ ,∴sin 4 2 4 4 2 2 3
2 等,在三角变换中,若能巧妙利用它们与三角函数式或函数值之间的关 2
系进行转换,往往可以起到意想不到的效果. 【例3】 【2017四川省资阳市高三上学期第一次诊断考试】函数 y sin 2 x 3 cos 2 x 的图象的一条对称轴方程为 （ ）
π 12
A． x
B． x
π 12
2 2 2
2
2
n
*
1 sin , 则( ), (0, ), 且 tan 2 2 cos
)
2 C. 2 2
A. 3
2 D. 2 2
B. 3
2
sin cos sin cos 1 tan 1 sin 2 2 2 2 2 【解析】由 tan cos cos sin cos sin cos 2 sin 2 1 tan 2 2 2 2 2
C． x
π 6
D． x
π 6
【分析】先用辅助角公式对所给函数进行变换：
y sin 2 x 3 cos 2 x = 2