高考数学三角函数的化简与求值

数学(第 二 轮)专 题 训 练

第九讲: 三角函数的化简与求值

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知能目标

1. 掌握同角的三角函数的基本关系式: 掌握正弦,余弦的诱导公式;掌握两角和与两角 差的正弦,余弦,正切公式;掌握二倍角的在正弦，余弦,正切公式.

2. 能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简,求值和恒等式证明.

综合脉络

三角变换是运算化简过程中运用较多的变换, 也是历年高考命题的热点. 提高三 角变换能力, 要学会设置条件, 灵活运用三角公式, 掌握运算、化简的方法和技能. 常 用的数学思想方法技巧如下:

1. 角的变换: 在三角化简、求值、证明中, 表达式往往出现较多的相异角, 可根据角与角之 间的和差、倍半、互补、互余的关系, 运用角的变换, 沟通条件与结论中的差异, 使问题 获解.对角的变形如下:

)2()2()(,2304560304515α

-β-β+α=β-β+α=α=-=-=

,

)4()4()()(2α-π-α+π=β-α+β+α=α,)4

(24α-π

-π=α+π

特别地, α+π4与α-π

4

为互余角, 它们之间可以互相转化, 在三角变形中使用频率高.

2. 函数名称变换: 三角变形中, 常常需要变函数名称为同名函数. 如在三角函数中正余弦是

基础, 通常化切、割为弦, 变异名为同名.

3. 常数代换: 在三角函数运算、求值、证明中, 有时需要将常数转化为三角函数值, 例如常 数“1”的代换变形有: α-α=α-α=α+α=2

2

2

2

2

2

cot csc tan sec cos sin 1.

4. 幂的变换: 降幂是三角变换时常用方法, 对次数较高的三角函数式, 一般采用降幂处理的

方法. 常用降幂公式有: 1cos sin ,2

2cos 1cos ,22cos 1sin 2222

=α+αα

+=αα-=

α 等, 三角变换时, 有时需要升幂, 如对无理式α+cos 1常用升幂化为有理式, 升幂公式与降幂

公式是相对而言的.

5. 公式变形式: 三角公式是变换的依据, 应熟练掌握三角公式的直接应用, 逆用以及变形式 的应用. 如: )tan tan 1)(tan(tan tan ,sin 22sin cos β⋅αβ±α=β±αα

α

=α 等.

(一) 典型例题讲解:

例1. (1)当2

x 0π

<<时，函数x 2sin x sin 8x 2cos 1)x (f 2++=的最小值为 ( )

A. 2

B. 32

C. 4

D. 34

(2) 已知=α=α

cos ,32

tan 则 .

例2. 已知22tan =α, 求: (1) )4tan(π+α的值; (2)

α

-αα

+αcos 2sin 3cos sin 6的值.

例3. 已知A 、B 、C 的坐标分别为A )0,3( , B )3,0( , C )sin ,(cos αα , )2

3,2(ππ

∈α

. (1) 若|AC ||BC | =, 求角α的值; (2) 若1C B AC -=⋅, 求α

+α

+αtan 12sin sin 22的值.

例4. 已知,0x 2<<π-

5

1

x cos x sin =+. (1) 求x cos x sin -的值; (2) 求

x

cot x tan 2x cos 2x cos 2x sin 22x sin 32

2++-的值.

(二) 专题测试与练习: 一. 选择题

1. =-15cot 15tan ( ) A. 2 B. 32+

C. 4

D. 32-

2. 若,x 2sin )x (tan f = 则)1(f -的值为 ( ) A. 2sin - B. 1- C. 2

1

D. 1

3. 已知=π-β=π+α=

β+α)4

tan(,223)4tan(,52)tan(那么 ( ) A. 51 B. 1813 C. 41 D. 22

13

4. 若βα，均是锐角，且)cos(sin 2

β-α=α, α与β的关系是 ( ) A. β>α B. β<α C. β=α D. 2

π>β+α 5. 化简:

22sin cos 1010

)1cos 10170

---= .

A. 0

B. 1-

C. 1±

D. 1

6. 已知,1027)4sin(=π-

α且432π<α<π, 求)4

2tan(π+α的值． A. 3217 B. 17

31

C. 1731-

D. 3117-

二. 填空题 7. 若,31)6sin(=α-π 则=α+π

)23

2cos( .

8. 设α为第四象限的角, 若

5

13

sin 3sin =αα, 则=α2tan ___________.

9. 已知α、β均为锐角, 且),sin()cos(β-α=β+α 则=αtan .

10. 若7

1

cos =α, )2,0(π∈α, 则=π+α)3cos(________ __.

三. 解答题

11. 已知α为第二象限的角, 53sin =α, β为第一象限的角, 13

5

cos =β, 求)2tan(β-α的值.