天津市五区县2014-2015学年高二下学期期末数学试卷(文科)
天津市五区县2014-2015学年高二下学期期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知i是虚数单位，则等于( )A．+i B．+i C．+i D．+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的基本运算法则进行计算即可．解答：解：===+i，故选：A点评：本题主要考查复数的基本运算，比较基础．2．若a，b∈R且a＞b，则( )A．a2＞b2B．a3＞b3C．D．考点：不等式的基本性质．专题：不等式的解法及应用．分析：根据不等式的基本性质，结合已知中a＞b，逐一分析四个答案中的不等式是否一定成立，可得答案．解答：解：∵a，b∈R且a＞b，由于a，b符号不确定，故a2与b2的大小不能确定，故A不一定成立；但a3＞b3成立，故B正确；但由于a，b符号不确定，故与大小不能确定，故C不一定成立；但由于a，b符号不确定，故大小不能确定，故D不一定成立；故选：B．点评：本题考查的知识点是不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质，是解答的关键．3．若z1，z2∈R，则|z1•z2|=|z1|•|z2|，某学生由此得出结论：若z1，z2∈C，则|z1•z2|=|z1|•|z2|，该学生的推理是( )A．演绎推理B．逻辑推理C．归纳推理D．类比推理考点：类比推理．专题：综合题；推理和证明．分析：由实数集中成立的结论，到复数集中的结论，是类比推理．解答：解：由实数集中成立的结论，到复数集中的结论，是类比推理，故选：D．点评：本题考查类比推理，本题解题的关键在于对类比推理的理解．4．一般地，在两个分类变量的独立性检验过程中有如下表格：P（K2≥k0）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.0100.005k00.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879如图是两个分类变量X，Y的2×2列联表的一部分，则可以有多大的把握说X与Y有关系( )y1y2x1155x22020A．90% B．95% C．97.5% D．99%考点：独立性检验的应用．专题：计算题；概率与统计．分析：根据所给的观测值，把观测值同表格所给的临界值进行比较，看观测值大于哪一个临界值，得到说明两个变量有关系的可信程度．解答：解：∵k2=≈3.43＞2.706，∴有90%的把握说X与Y有关系，故选A．点评：本题考查独立性检验，考查两个变量之间的关系的可信程度，考查临界值表的应用，本题是一个基础题，关键在于理解临界值表的意义．5．已知i是虚数单位，则1+i+i2…+i100等于( )A．1﹣i B．1+i C．0 D．1考点：虚数单位i及其性质．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数i n的周期性进行求解．解答：解：∵i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0，∴1+i+i2…+i100=1+（i+i2…+i100）=1+25（i+i2+i3+i4）=1，故选：D点评：本题主要考查复数的计算，根据i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0是解决本题的关键．比较基础．6．如图，在△ABC中，E，F分别是AB，AC上的点，若EF∥BC，△AEF与四边形EFCB 的面积相等，则等于( )A．B．C．D．考点：平行线分线段成比例定理．专题：选作题；空间位置关系与距离．分析：利用△AEF与四边形EFCB的面积相等，可得△AEF与△ACB的面积相的比为1：2，利用三角形相似的性质，即可得出结论．解答：解：∵△AEF与四边形EFCB的面积相等，∴△AEF与△ACB的面积相的比为1：2，∵EF∥BC，∴=，故选：B．点评：本题考查了相似三角形的性质，考查学生的计算能力，比较基础．7．已知函数f（x）=2x+（x＞0），则( )A．x=±1时，函数f（x）的最小值为4 B．x=±2时，函数f（x）的最小值为2C．x=1时，函数f（x）的最小值为4 D．x=2时，函数f（x）的最小值为2考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵x＞0，∴f（x）≥2×=4，当且仅当x=1时取等号．∴函数f（x）的最小值为4．故选：C．点评：本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．如图，已知AB是半径为5的圆O的弦，过点A，B的切线交于点P，若AB=6，则PA 等于( )A．B．C．D．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；推理和证明．分析：连接OP，交AB于C，求出OC，OP，利用勾股定理求出PA．解答：解：连接OP，交AB于C，则∵过点A，B的切线交于点P，∴OB⊥BP，OP⊥AB，∵AB=6，OB=5，∴OC=4，∵OB2=OC•OP，∴25=4OP，∴OP=，∴CP=，∴PA==，故选：C．点评：本题考查圆的切线的性质，考查勾股定理，考查学生的计算能力，比较基础．9．已知z∈C，i是虚数单位，f（﹣1）=|z+i|，则f（1+2i）等于( )A．B．C．D．考点：复数代数形式的混合运算．专题：数系的扩充和复数．分析：根据条件将函数f（1+2i）转化为已知条件f（﹣1）=|z+i|形式进行求解即可．解答：解：∵f（1+2i）=f（2+2i﹣1），∴=2+2i，则z=2﹣2i，即f（1+2i）=|2﹣2i+i|=|2﹣i|==，故选：D点评：本题主要考查函数值的计算，根据复数形式进行有效转化是解决本题的关键．10．如图，AB是半径为2的圆O的弦，CD是圆O的切线，C是切点，D是OB的延长线与CD的交点，CD∥AB，若CD=，则AC等于( )A．B．C．1 D．2考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；推理和证明．分析：连接OC，则OC⊥CD，利用CD∥AB，可得OC⊥AB，AC=BC，利用余弦定理求出BC，即可得出结论．解答：解：连接OC，则OC⊥CD，∵CD∥AB，∴OC⊥AB，∴AC=BC，△OCD中，OC=2，CD=，∴OD=3，∴BD=1，cos∠D=，∴BC==，∴AC=，故选：B．点评：本题考查圆的切线的性质，考查余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11．在一次抽样调查中，获得一组具有线性关系的数据（x i，y i），i=1，2，…，10，用最小二乘法得到的线性回归方程为y=x+2，若这组数据的样本点中心为（3，4），则=．考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：将这组数据的样本点中心为（3，4），代入线性回归方程为y=x+2，即可得出结论．解答：解：因为用最小二乘法得到的线性回归方程为y=x+2，这组数据的样本点中心为（3，4），所以4=3+2，所以=．故答案为：．点评：本题考查线性回归方程，考查数据的样本中心点，考查样本中心点和线性回归直线的关系，本题是一个基础题．12．数列{n3}的前n项和为S n，观察下列式子：S，S=（1+2）2，S3=13+23+33=（1+2+3）2，…，根据以上式子猜想数列{n3}前n项和公式S n=．考点：归纳推理．专题：等差数列与等比数列；推理和证明．分析：根据题意，分析题干所给的等式可得：13+23=（1+2）2=32，13+23+33=（1+2+3）2=62，13+23+33+43=（1+2+3+4）2=102，归纳等式两边的变化规律，进而可得答案．解答：解：根据题意，分析题干所给的等式可得：13+23=（1+2）2=32，13+23+33=（1+2+3）2=62，13+23+33+43=（1+2+3+4）2=102，…归纳可得：13+23+33+43+…+n3=（1+2+3+4+…+n）2=[]2=，故答案为：点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．13．阅读如图的程序框图，输入的N=6，则输出的结果为9考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解答：解：∵输入的N=6，当i=1时，不满足退出循环的条件，执行循环体后：S=1，i=2；当i=2时，不满足退出循环的条件，执行循环体后：S=9，i=3；当i=3时，不满足退出循环的条件，执行循环体后：S=36，i=4；当i=4时，不满足退出循环的条件，执行循环体后：S=100，i=5；当i=5时，不满足退出循环的条件，执行循环体后：S=225，i=6；当i=6时，不满足退出循环的条件，执行循环体后：S=441，i=7；当i=7时，满足退出循环的条件，故输出的==9，故答案为：9点评：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．14．如图，在直角△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°，CD⊥AB，DE⊥BC，D，E为垂足，则DE=．考点：相似三角形的性质．专题：选作题；推理和证明．分析：利用射影定理，求出BD，再利用等面积，即可求出CD，DE．解答：解：在直角△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°，所以AB=5，所以BD=，因为CD⊥AB，所以由等面积可得CD=，所以由等面积可得DE==．故答案为：．点评：本题考查射影定理，考查三角形面积公式的运用，属于中档题．15．若k＞1，a＞0，则k2a2+的最小值是12．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：两次利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：k2a2+=6≥=2，当且仅当k=2，a=时取等号．故答案为：12．点评：本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．已知i是虚数单位，z=（m2﹣2m﹣3）+（2m2+m﹣1）i，m∈R．（1）若z是纯虚数，求m的值；（2）若m=1时z对应的点为A，m=2时z对应的点为B，求A，B两点的距离．考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：（1）根据z是纯虚数，建立方程关系即可求m的值；（2）根据复数的几何意义求出A，B的坐标即可．解答：解：（1）∵z是纯虚数，∴…∴…∴m=3 …（2）当m=1时，z=﹣4+2i，∴点A的坐标为（﹣4，2）…当m=2时，z=﹣3+9i，∴点B的坐标为（﹣3，9）…∴|AB|==5…点评：本题主要考查复数的概念以及复数的几何意义，比较基础．17．已知关于x的不等式|3x﹣a+5|＜|2a+1|，a∈R，（1）当a=1时解不等式；（2）若x=是不等式的一个解，求a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）当a=1时，原不等式即|3x=4|＜3，即﹣3＜3x+4＜3，由此求得它的解集．（2）由x=是不等式的一个解，可得|3×﹣a+5|＜|2a=11|，即|2a+1|＞5，由此求得a的范围．解答：解：（1）当a=1时，原不等式即|3x=4|＜3，∴﹣3＜3x+4＜3，∴﹣7＜3x＜﹣1，求得﹣＜x＜﹣，∴a=1时，不等式的解集为{x|﹣＜x＜﹣}．（2）∵x=是不等式的一个解，∴|3×﹣a+5|＜|2a=11|，即|2a+1|＞5，∴2a+1＞5 或2a+1＜﹣5，求得a＞2或a＜﹣3．点评：本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．18．已知数列{a n}满足na n+1=（n+1）a n+1，n∈N*，a1=a＞0．（1）求a2，a3，a4的值并猜出{a n}的通项公式；（2）求证，分别以a2，a3，a4为边的三角形不可能是直角三角形．考点：数列的应用；数列递推式．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）n=1，2，3，分别代入，即可求a2，a3，a4的值，从而猜出{a n}的通项公式；（2）利用反证法证明，即可得出结论．解答：（1）解：∵na n+1=（n+1）a n+1，n∈N*，a1=a＞0，∴令n=1得a2=2a1+1=2a+1 …令n=2得2a3=3a2+1=3a+2 …令n=3得3a4=4a3+1=4a+3 …∴a n=（a+1）n﹣1…（2）证明：假设以a2，a3，a4为边的三角形是直角三角形∵a＞0，∴4a+3＞3a+2＞2a+1，∴4a+3为直角三角形的斜边…∴（4a+3）2=（2a+1）2+（3a+2）2…∴3a2+8a+4=0，∴a=﹣或a=﹣2 …以上二根均为负数，与已知a＞0矛盾…∴假设不成立，原命题成立…点评：本题考查数列递推式，考查反证法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．已知a＞0，b＞0，且a+b=2．（1）求+的最小值及其取得最小值时a，b的值；（2）求证：a2+b2≥2．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．（2）利用2（a2+b2）≥（a+b）2即可得出．解答：解：（1）∵a＞0，b＞0，且a+b=2．∴+===5++≥=9，当且仅当，b=时等号成立．∴+的最小值为9．（2）∵a＞0，b＞0，且a+b=2．∴2（a2+b2）≥（a+b）2=4，∴a2+b2≥2，当且仅当a=b=1时取等号．点评：本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．如图，△ABC是圆内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于点F，过点B 圆的切线与CD的延长线交于点E．（1）求证；∠EBD=∠CBD．（2）若DE=2，DC=3，求边BC的长．考点：与圆有关的比例线段；弦切角．专题：选作题；推理和证明．分析：（1）利用角与弧的关系，得到角相等；（2）利用角相等推导出三角形相似，得到边成比例，即可得出结论．解答：（1）证明：∵BE是切线，由弦切角定理，∴∠EBD=∠DAB …∵∠DAC，∠CBD是同弧上的圆周角，∴∠CBD=∠DAC …∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB=∠DAC …∴∠EBD=∠CBD …（2）解：∵BE是切线，由切割线定理，EB2=ED•EC=10，∴EB=…由弦切角定理，∠EBD=∠DCB …∴由（1）知，∠EBD=∠CBD=∠DCB，∴DC=DB=3 …∵∠BED=∠CED，∴△BED∽△CEB …∴，∴，∴BC=…点评：本题考查了弦切角、圆周角与弧的关系，还考查了三角形相似的知识，本题总体难度不大，属于中档题．。
天津市五区县2014-2015学年高二下学期期末考试物理试卷(图片版)
天津市五区县2014～2015学年度第二学期期末考试高二物理参考答案及评分标准一、二选择题（每小题4分）三、填空与实验题 13. I= 10 A ；14. 传播速度大小为20 m/s ，振动图象如右图 15.（1）竖直（2）10.4 （3）4π2(y 2- y 1)( x 2- x 1) （4）大于四、计算题 16解： （1）v=λT---------- 2分 T=4s所以，P 质点在6s 时间内运动的路程为1.2m ------------- 2分 （2）由t=9s 时的波形可知，波沿x 正向传播。
--------------- 2分 t=0时P 质点速度方向向上，t=3s 时P 质点处于波谷位置， 所以，P 质点在t=3s 时的位移为y= - 0.2m 。
------------- 2分 17解：（1） n=cv ------------ 1分v= λν ---------- 1分λ= 4.5×10-7m -------- 2分（2）如图所示，作出恰能发生全反射的临界光线OB ，C为临界角，在三角形OAB 中，AB 即为最大发光面的半径R ，则R= htanC -------- 2分sinC=1n----------- 2分S= πR2= 1.98m2-------------- 2分18解：（1）设磁场宽度为d=CE，在0 - 0. 2s时间内，E1= △Ф△t=△B△tLd=0.6V ------------3分电路结构为R1与r并联，再与R2串联，R并=1Ω，R=R并+R2 = 2Ω---------1分U= ER R并= 0. 3V ----------------2分（2）设金属棒在磁场内运动的速度大小为v，产生的电动势为E2，则E2 =BLv ---------------1分金属棒为电源，外电路为R1与R2并联，I= UR1+UR2---------- 2分E2=U+Ir -------------2分v = 2m/s -------------- 2分。
天津市红桥区2014-2015学年高二下学期期末考试数学(文)试题 Word版含答案
红桥区2014-2015学年度第二学期高二期末数学(文)试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷1．请将试卷答案写在答题纸上．．．． 2．本卷共8题，每题4分，共32分．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设函数y =M ，已知全集U =R ，集合{}|02N x x =<≤，则U MN =ð（A ）{}|10x x -<或x 2≤≥ （B ）{|102}x x x -或≤≤≥ （C ）{}|102x x x ->或≤≤ （D ）{}|02x x <≤ 2. 对命题2000"R,240"x x x ∈-+存在≤。
的否定正确的是（A ）2000"R,240"x x x ∈-+>存在 （B ）2"R,240"x x x ∈-+>任意 （C ）2000"R,240"x x x ∈-+存在≤ （D ）2"R,240"x x x ∈-+任意≤ 3. 下列函数中，既是偶函数，又是在区间+∞（0，）上单调递减的函数是（A ）y x = （B ）3y x =- （C ）2(1)y x =-+ （D ）2y x =-4． 如图，圆O 内的两条弦AB 、CD 相交于P ，4==PB PA ，PC PD 4=．若O 到AB 的距离为4，则O 到CD 的距离为（A ）7 （B（C（D ）85. 若0>x 、0>y ，则1>+y x 是122>+y x 的 （A ）充分非必要条件 （B ）充要条件（C ）必要非充分条件 （D ）非充分非必要条件 6. 执行程序框图，如果输入2a =，那么输出=n （A ）3 （B ）4 （C ）5（D ）67. 若函数y ax =与by x =-在+∞（0，）都是增函数， 则函数2y ax bx =+在+∞（0，）上是（A ）增函数 （B ） 减函数 （C ）先增后减 （D ）先减后增8. 设集合()(){}22,41A x y x y =-+=，()()(){}22,21B x y x t y at =-+-+= ，如果命题“,t R A B ∃∈≠∅”是真命题，则实数a 的取值范围是（A ）[]1,4 （B ）40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦（C ）10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （D ）(]4,0,3⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分。
2014-2015学年天津市蓟县高二(下)期中数学试卷(文科)(解析版)
2014-2015学年天津市蓟县高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分。
1．（2015春•蓟县期中）计算（i为虚数单位）的值是（）A．i+2 B．i﹣2 C．﹣2﹣i D． 2﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的除法运算法则解答．解答：解：==﹣2﹣i；故选：C．点评：本题考查了复数的除法运算；关键是通过计算将分母实数化．2．（2015春•蓟县期中）下列结构图中，框①、②处理该分别填入（）A．l⊂α，l⊥αB．l⊂α，l与α相交C．l⊊α，l⊥αD．l⊊α，l与α相交考点：结构图．专题：算法和程序框图．分析：根据直线l与平面α的位置关系，列出知识结构图，即可得出正确的答案．解答：解：直线l与平面α的位置关系是l⊂α和l⊄α，直线l不在平面α内包括l∥α和l与α相交；所以，在上述知识结构图中，①是“l⊄α”，②是“l与α相交”．故选：D．点评：本题考查了知识结构图的应用问题，是基础题目．3．（2015春•蓟县期中）由①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③正方形是矩形．写一个“三段论”形式的推理，则作为大前提、小前提和结论的分别为（）A．②①③B．③①②C．①②③D．②③①考点：进行简单的演绎推理．专题：简易逻辑；推理和证明．分析：由题意，根据三段论的形式“大前提，小前提，结论”直接写出答案即可解答：解：用三段论的形式写出的演绎推理是：大前提②矩形的四个内角相等小前提③正方形是矩形结论①正方形的四个内角相等故选D．点评：本题考查演绎推理﹣﹣三段论，解题的关键是理解三段论的形式，本题是基础概念考查题．4．（2015春•蓟县期中）已知回归直线方程中斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（）A．=1.23x+0.08 B．=0.08x+1.23 C．=1.23x+4 D．=1.23x+5考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：设出回归直线方程，将样本点的中心代入，即可求得回归直线方程．解答：解：设回归直线方程为=1.23x+a∵样本点的中心为（4，5），∴5=1.23×4+a∴a=0.08∴回归直线方程为=1.23x+0.08故选：A．点评：本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于基础题．5．（2015春•四平校级期末）下列推理正确的是（）A．把a（b+c）与lg（x+y）类比，则lg（x+y）=lgx+lgyB．把a（b+c）与sin（x+y）类比，则sin（x+y）=sinx+sinyC．把a（b+c）与a x+y类比，则a x+y=a x+a yD．把a（b+c）与=考点：类比推理．专题：推理和证明．分析：类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理，类比推理得出的结论不一定正确，需要对给出的命题进行分析判断．解答：解：类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理，类比推理得出的结论不一定是正确的．对于A，把a（b+c）与lg（x+y）类比，得出lg（x+y）=lgx+lgy，是错误的；对于B，把a（b+c）与sin（x+y）类比，得出sin（x+y）=sinx+siny，是错误的；对于C，把a（b+c）与a x+y类比，得出a x+y=a x+a y，是错误的；对于D，把a（b+c）与=，是正确的．故选：D．点评：本题考查了类比推理的应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是基础题目．6．（2015春•蓟县期中）设f（x）=xlnx，若f′（x0）=3，则x0=（）A．e2B．e C．D．l n2考点：导数的乘法与除法法则．专题：计算题．分析：先利用导数乘法的运算法则求函数f（x）的导函数，再解对数方程lnx0=2即可解答：解：f′（x）=lnx+x•=1+lnx∵f'（x0）=3，∴1+lnx0=3，即lnx0=2∴x0=e2故选A点评：本题考察了导数的四则运算法则，及简单的对数方程的解法，解题时要熟记导数运算法则和对数运算法则，准确运算7．（2012•鲤城区校级模拟）观察下列各等式：+=2，+=2，+=2，+=2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为（）A．+=2 B．+=2C．+=2 D．+=2考点：归纳推理．专题：探究型．分析：根据题意，观察题干所给的四个等式，可得等号右边为2，左边两个分式分子之和为8，分母为对应的分子减去4；据此依次分析选项可得：A符合；而B、C、D中，左边两个分式分子之和不为8，不符合发现的规律；即可得答案．解答：解：根据题意，观察题干所给的四个等式，可得等号右边为2，左边两个分式分子之和为8，分母为对应的分子减去4；分析选项可得：A符合；B中，左边两个分式分子之和不为8，不符合；C中，左边两个分式分子之和不为8，不符合；D中，左边两个分式分子之和不为8，不符合；故选A．点评：本题考查归纳推论，解题的关键在于从题干所给的四个等式中发现共同的性质，进而验证选项．8．（2015春•蓟县期中）i为虚数单位，已知复数z和（z+2）2+8i都是纯虚数，则复数1+（）A．1±2i B．1+2i C．1﹣2i D．±2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由题意，设复数z=bi，代入（z+2）2+8i化简后，利用纯虚数的条件得到b，然后化简复数1+．解答：解：由题意，设复数z=bi，所以（bi+2）2+8i=4﹣b2+（4b+8）i为纯虚数，所以4﹣b2=0并且4b+8≠0，解得b=2，所以z=2i，则复数1+=1﹣2i；故选：C．点评：本题考查了复数的基本概念以及运算；属于基础题．9．（2013•山东模拟）若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，]C．[，+∞）D．（﹣∞，）考点：利用导数研究函数的单调性．分析：对函数进行求导，令导函数大于等于0在R上恒成立即可．解答：解：若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，只需y′=3x2+2x+m≥0恒成立，即△=4﹣12m≤0，∴m≥．故选C．点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系．即当导数大于0是原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减．10．（2011•青羊区校级模拟）设a，b，c都是正数，那么三个数a+，b+，c+（）A．都不大于2 B．都不小于2C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2考点：反证法与放缩法．专题：证明题．分析：把这三个数的和变形为a++b++c+，利用基本不等式可得三个数的和大于或等于6，从而得到这三个数中，至少有一个不小于2．解答：解：∵a，b，c都是正数，故这三个数的和（a+）+（b+）+（c+）=a++b++c+≥2+2+2=6．当且仅当a=b=c=1时，等号成立．故三个数a+，b+，c+中，至少有一个不小于2（否则这三个数的和小于6）．故选D．点评：本题主要主要考查用反证法证明不等式，基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于中档题．二、填空题：本大题共5道小题，每小题4分，共20分。
天津五区县高二数学下学期期末考试试题 文(扫描版)
天津五区县2013-2014学年高二数学下学期期末考试试题文（扫描版）天津市五区县2013～2014学年度第二学期期末考试高二数学(文科)试卷参考答案1．A 2．D 3．D 4．C 5．A 6．C 7．D 8．A 9．B 10．C11．940 12．1 13．20144027 14．π 15．01≤≤-a 16．（1）)1)(1()1)(3()2)(21(i i i i i i z -+-+-+-+=22434i i ----= …………………………3分 ＝i i i 26)2(34--=---- ………………………………………………………5分（2）∵ 016)1()26)(12()26(2=------+--b i i a i∴ 016)12(2)12(62432=-+-----+bi b i a a i ……………………………7分 ∴ 0)426(1222=+-+--i b a b a ………………………………………………9分∴ ⎩⎨⎧=+-=--042601222b a b a ………………………………………………………………10分 解得14,3-==b a …………………………………………………………………12分17．解：梯形的面积公式为2)(高下底上底梯形⨯+=S 将21,l l 类比为梯形的上、下底，h 为梯形的高则扇环的面积为2)(21h l l S +=扇环 ……………………………………………………………………4分 将扇环补成扇形（如图），设其圆心角为θ，小扇形的半径为a ， 则大扇形的半径为a h +，∵ 12,()l a l a h =θ=+θ ………………………………………………………6分∴ 121l l h l a -= ………………………………………………………………………7分 ∴ h l a l l a l h a l S 2121221)(2121)(21+-=-+=扇环………………………………9分 2)(21)(2121212112h l l h l l l h l l l +=+-⨯-= ………………………………11分 ∴ 2)(21h l l S +=扇环 ………………………………………………………………12分 18．（1）∵ PA 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径，∴ ∠BAP =90°. ∵∠BAC =30°，∴ ∠CAP =∠PAB -∠CAB =60°．…………………2分 ∵ PA 、PC 是⊙O 的切线，∴ PA =PC ，∴ △PAC 是等边三角形.…………………4分 ∴ 060=∠APC …………………………………………………………………………5分（2）∵ △PAC 是等边三角形 ∴21==PA AC …………………………………………6分 ∵ AB 是⊙O 的直径 ∴ ∠ACB =90°…………………………………………………7分 连接BC ，在直角ABC ∆中，∵ 030=∠BAC ∴ 72=AB ……………………8分 ∴ 在直角PAB ∆中，722=+=AB PA PB …………………………………………9分 ∵ PA 是⊙O 的切线，∴ PB PD PA ⋅=2 …………………………………………11分 ∴ 721⨯=PD ，即3=PD ……………………………………………………………12分19．（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵ 4821=a a ，∴ 48)(11=+d a a ……………1分∵ 203=a 2021=+d a ∴ 12110a d -=…………………………………………2分 ∴ 48)2110(11=+a a 即09620121=-+a a …………………………………………3分 ∵ 数列{}n a 的各项为正数，∴ 解得41=a ，241-=a （舍）……………………4分∴ 821101=-=a d ……………………………………………………………………5分 ∴ 数列{}n a 的通项公式为48-=n a n ………………………………………………6分 （2）24n S n = ………………………………………………………………………………7分 ∴ )121121(21)12)(12(11412+--=+-=-=n n n n n b n ………………………………9分 ∴ n n n b b b b b T +++++=-1321Λ )12112112132171515131311(21+--+---++-+-+-=n n n n Λ…………10分 12)1211(21+=+-=n n n …………………………………………………………12分20．证明：（1）∵ 0,0>>b a ∴ 0>+b a 且 ab b a 222≥+…………………………1分∴ 424222222222ab b a b a b a b a ++≥+++=+……………………………3分 24)(2b a b a +=+=（当且仅当b a =时等号成立） …………………5分 ∴ 2222b a b a +≥+ …………………………………………………………………6分 （2）∵ 0,0>>b a ∴ 由（1）可知，2222b a b a +≤+ ……………………………7分- 11 - ∴ b a b a b a ab b a ab +=+=++≤++4)(2222222222………………………9分 当且仅当222b a ab += 即b a =时等号成立 ……………………………………11分 ∴ 222b a ab b a ++≥+…………………………………………………………12分。
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天津市五区县2014-2015学年高二数学下学期期末考试试题文（扫描版）天津市五区县2014～2015学年度第二学期期末考试高二数学（文科）参考答案及评分标准1．A 2．B 3．D 4．A 5．D 6．B 7．C 8．C 9．D 10．B11．32 12．22)1(41+n n 13．9 14．2548 15．12 16．（1）∵z 是纯虚数∴⎪⎩⎪⎨⎧≠-+=--01203222m m m m …………………………………………2分 ∴⎪⎩⎪⎨⎧≠-≠=-=21131m m m m 且或 ………………………………………………………………4分 ∴3=m …………………………………………………………………………6分（2）当1=m 时，i z 24+-=，∴点A 的坐标为()4,2- ………………………8分 当2=m 时，i z 93+-=，∴点B 的坐标为()3,9- ………………………10分 ∴25)29()43(||22=-++-=AB ………………………………………12分17．（1）当1=a 时，原不等式即3|43|<+x ……………………………………………1分 ∴3433<+<-x …………………………………………………………………3分∴137-<<-x ∴3137-<<-x …………………………………………………5分 ∴1=a 时不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<-3137|x x …………………………………6分 （2）∵3a x =是不等式的一个解∴|12||533|+<+-⨯a a a ，即5|12|>+a ………8分 ∴512>+a 或512-<+a …………………………………………………………10分 ∴2>a 或3-<a ……………………………………………………………………12分18．（1）∵1)1(1++=+n n a n na ，*∈N n ，a a =1∴令1=n 得121212+=+=a a a ……………………………………………………1分 令2=n 得1)12(313223++=+=a a a ，即233+=a a …………………………3分令3=n 得1)23(414334++=+=a a a ，即344+=a a ………………………5分 ∴1)1(1-+=-+=n a n an a n ……………………………………………………………7分（2）假设以432,,a a a 为边的三角形是直角三角形∵0>a ，∴122334+>+>+a a a ，∴34+a 为直角三角形的斜边 …………8分 ∴222)23()12()34(+++=+a a a …………………………………………………9分 ∴04832=++a a ∴32-=a 或2-=a ……………………………………………10分 以上二根均为负数，与已知0>a 矛盾 ………………………………………………11分 ∴假设不成立，原命题成立 ………………………………………………………12分19．（1）∵0,0>>b a 且2=+b a∴441)(482+⨯++=+++=+ba ab b b a a b a b a …………………………………1分 954254=+⨯⨯≥+⨯+=ba ab b a a b …………………………………3分 当且仅当ba ab ⨯=4即224a b =时等号成立 …………………………………4分 ∵0,0>>b a ∴a b 2=，与2=+b a 联立得34,32==b a ∴当34,32==b a 时，b a 82+的最小值为9 ……………………………………6分 （2）∵2=+b a ∴12=+b a ∴要证222≥+b a 成立只需证22222⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+b a b a 成立 …………………………8分 即只需证()()2222b a b a +≥+ …………………………………………………9分 即只需证ab b a 222≥+ ……………………………………………………………10分 ∵ab b a 222≥+确实成立（当且仅当b a =时“=”成立）且以上各步都可逆…11分 ∴原式成立，即222≥+b a ………………………………………………………12分20．（1）∵BE 是切线，由弦切角定理，∴DAB EBD ∠=∠ …………………………1分 ∵CBD DAC ∠∠,是同弧上的圆周角，∴DAC CBD ∠=∠ …………………………2分 ∵AD 是BAC ∠的平分线∴DAC DAB ∠=∠ …………………………………………3分11 ∴CBD EBD ∠=∠ ……………………………………………………………………4分（2）∵BE 是切线，由切割线定理，10)32(22=+=⋅=EC ED EB ，∴10=EB …6分 由弦切角定理，DCB EBD ∠=∠ ……………………………………………………7分 ∴由（1）知，DCB CBD EBD ∠=∠=∠ ∴3==DB DC ……………………………8分 ∵CEB BED ∠=∠ ∴BED ∆∽CEB ∆ ………………………………………………10分 ∴BE ECBD BC = ∴1053=BC ∴2103=BC ………………………………………12分。
2015年天津市高考数学试卷(文科)答案与解析
2015年天津市高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:每题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(5分)(2015•天津)已知全集U=｛1，2，3,4，5，6}，集合A=｛2，3,5},集合B=｛1，3，4，6}，则集合A∩∁U B=(）A．{3} B．｛2，5} C．{1，4，6} D．｛2，3，5｝考点：交、并、补集的混合运算．专题: 集合．分析：求出集合B的补集，然后求解交集即可．解答：解：全集U=｛1，2，3，4,5，6}，集合B={1，3，4,6}，∁U B={2,5｝，又集合A={2,3，5｝，则集合A∩∁U B={2，5｝．故选：B．点评：本题考查集合的交、并、补的混合运算，基本知识的考查．2．(5分）（2015•天津）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=3x+y的最大值为()A．7B．8C．9D．14考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分）．由z=3x+y得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z经过点A时，直线y=﹣3x+z的截距最大，此时z最大．由,解得，即A（2，3)，代入目标函数z=3x+y得z=3×2+3=9．即目标函数z=3x+y的最大值为9．故选：C．点评:本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．3．（5分)(2015•天津）阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序，则输出i的值为（)A．2B．3C．4D．5考点：循环结构．专题: 图表型；算法和程序框图．分析:模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值,当S=0时满足条件S≤1,退出循环，输出i的值为4．解答：解：模拟执行程序框图，可得S=10,i=0i=1，S=9不满足条件S≤1，i=2,S=7不满足条件S≤1，i=3，S=4不满足条件S≤1，i=4,S=0满足条件S≤1，退出循环，输出i的值为4．故选：C．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题．4．（5分）（2015•天津）设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件．专题：简易逻辑．分析：求解:｜x﹣2|＜1，得出“1＜x＜2”，根据充分必要条件的定义判断即可．解答:解:∵｜x﹣2|＜1，∴1＜x＜3，∵“1＜x＜2"∴根据充分必要条件的定义可得出：“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的充分不必要条件．故选:A点评:本题考查了简单的不等式的求解，充分必要条件的定义，属于容易题．5．（5分)（2015•天津）已知双曲线﹣=1（a＞0,b＞0)的一个焦点为F（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x﹣2)2+y2=3相切，则双曲线的方程为（)A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣y2=1D．x2﹣=1考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析:由题意可得双曲线的渐近线方程，根据圆心到切线的距离等于半径得，求出a，b的关系，结合焦点为F(2，0），求出a，b的值，即可得到双曲线的方程．解答：解：双曲线的渐近线方程为bx±ay=0，∵双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，∴,∴b=a，∵焦点为F(2，0），∴a2+b2=4，∴a=1，b=,∴双曲线的方程为x2﹣=1．故选：D．点评:本题考查点到直线的距离公式，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出a,b的值，是解题的关键．6．（5分）(2015•天津）如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD,CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4,CN=3，则线段NE的长为（）A．B．3C．D．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；推理和证明．分析:由相交弦定理求出AM,再利用相交弦定理求NE即可．解答:解：由相交弦定理可得CM•MD=AM•MB,∴2×4=AM•2AM，∴AM=2,∴MN=NB=2，又CN•NE=AN•NB,∴3×NE=4×2，∴NE=．故选:A．点评:本题考查相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．7．(5分）（2015•天津）已知定义在R上的函数f（x）=2｜x﹣m|﹣1(m为实数）为偶函数，记a=f（log0。
2014—2015学年度第二学期期末考试高二数学(文)参考答案与评分标准
2014-------2015学年度第二学期期末考试参考答案及评分标准高二数学（文）一、选择题1、C2、B3、B4、 D5、 C6、 A7、 A8、C9、 C10、C11、 C12、 C二、填空题(13)2(14)2(15) 4836(16) ①②③三、解答题17．（本小题满分10 分）已知A x x24x0 ,B x x 22(a1)x a 210，其中 a R ，如果【解析】化简得A A∩ B=B ，求实数a的取值范围。
0, 4 ，∵集合 B 的元素都是集合 A 的元素，∴B A 。
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分⑴当 B时，4(a 1)24(a 21) 0 ，解得a 1 ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分⑵当B0或 4时，4(a 1)24(a2 1) 0 ，解得a 1 ，此时 B0，满足B A ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分4(a1)24(a21)0⑶当B 0, 4 时，2(a1)4，解得 a 1。
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分a2 10综上所述，实数 a 的取值范围是 a 1或者 a 1 。
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分18．（本小题满分 12 分 , 每个小题 6 分）60 ；（1）用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于（2）已知n 0，试用分析法证明：n2n 1n 1n .【解析】（1）假设在一个三角形中，没有一个内角大于或等于60 ，即均小于 602分则三内角和小于180，4分这与三角形中三个内角和等于180矛盾，故假设不成立，原命题成立；6分（2）要证上式成立，需证n 2n2n 1需证 ( n 2n )2(2 n 1)28 分97.5%需证 n1n22n需证 (n1) 2n22n需证 n22n1n 22n10 分只需证 10因为 10 显然成立，所以原命题成立.12分考点：（ 1）反证法；（2）分析法 .19．（本小题满分12 分）对某校小学生进行心理障碍测试得到如下的列联表：有心理障碍没有心理障碍总计女生1030男生7080总计20110将表格填写完整，试说明心理障碍与性别是否有关？K 2n( ad bc)2附：(a b)(c d )( a c)(b d )P(K2 ≥ k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001K 2.072 2.076 3.841 5.024 6.6357.87910.828【解析】将列联表补充完整有：有心理障碍没有心理障碍 ]总计女生102030男生107080总计2090110K 2n( ad bc)2，故选择k0 5.024 较由(a b)(c d )(a c)(b d ) ,计算可得K2 6.366 5.024为合适 .10分因此，在犯错的概率不超过0.025 的前提下认为心理障碍与性别有关，所以有97.5%的把握认为心理障碍与性别有关.12 分考点：独立性检测 .20．（本小题满分12 分）某同学在生物研究性学习中想对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究，于是他在 4 月份的 30 天中随机挑选了 5 天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100 颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期4月1日4月 7日4月15日4月 21日4月30日温差 x / C101113128发芽数 y / 颗2325302616（1）从这 5 天中任选 2 天，若选取的是 4 月 1日与 4 月 30 日的两组数据，请根据这 5 天中??的另三天的数据，求出y 关于的线性回归方程y b xx；?（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？（参考公式：n? bx i y i nx y? i1，a y bx ）n2?2x i nxi1【解析】 (1)由数据得 x12, y27 ，3x y972 ，3977 ，322 x i y i x i434 ， 3x432 i 1i 1由公式，得?9779725?5b27123 43443222所以 y 关于 x 的线性回归方程为?53⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分x2（ 2）当x 10时， ?， |22-23|2，当x 8时， ?|17-16|2，所以得到的线y 22y 17,性回归方程是可靠的 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分21．（本小题满分 12 分）已知定义在 R 上的函数 f ( x) 对任意实数 x, y 恒有 f ( x) f ( y) f ( x y) ，且当x＞0时，f ( x) ＜0，又 f (1)2。
天津市五区县2014_2015学年高二生物下学期期末考试试题(扫描版)
天津市五区县2014-2015学年高二生物下学期期末考试试题（扫描
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天津市五区县2014～2015学年度第二学期期末考试
高二生物参考答案及评分标准
1---5 C DCDD 6---10 BCDCC 11—15 BCCBC
16---20 BCDDC 21—25 BADDD 26—30 BDDBC
31---35 BBCDD 36—40 BBBBD
41．每空1分共9分
（1）5；两
（2）物理；自然选择
（3）动植物种类少，营养结构简单
（4）分解者
（5）9×108； 18%； 3.6×107
42．每空1分共8分
（1）途径1；基因重组基因突变或染色体变异（答一个给分）
（2）抑制细胞分裂时纺锤体的形成
（3）1/4 HHhhRRrr
（4）否存在生殖隔离
43．每空1分共7分
（1）< 低快
（2）白等量一定浓度的乙烯若两组都为白色若a 组不变黄，b组变黄
44．每空2分共10分
（1）外负内正（2）突触小泡 Na+
（3）肌肉持续舒张（肌肉不能收缩）（4）=
45. 每空2分共16分
（1）下丘脑促甲状腺激素糖蛋白(或蛋白质)
（2）四种核糖核苷酸翻译
（3）甲、乙（负）反馈
（4）钠。
天津市五区县2015-2016学年高二下学期期末数学试卷(文科) 含解析
2015-2016学年天津市五区县高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分)1．用反证法证明“如果a3＞b3，则a＞b”，假设的内容是（）A．a＜b B．a=b C．a≤b D．a≥b2．在复平面内，O是原点,向量对应的复数是2+i，点A关于虚轴的对称点为B,则向量对应的复数是（）A．1+2i B．﹣2+i C．2﹣i D．﹣2﹣i3．观察式子:1+，1+，…，则可归纳出式子为（)A．（n≥2）B．1+(n≥2)C．1+（n≥2）D．1+（n≥2）4．在回归分析中，下列说法错误的是（）A．用线性回归模型近似真实模型可产生误差B．R2越大,模型的拟合效果越好C．残差平方和越小，模型的拟合效果越好D．R2越大，残差平方和也越大5．阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，若输入k的值是4，则输出S的值是（）A．B．C．D．16．类比a（b+c）=ab+ac得到下列结论：①lg（a+b)=lga+lgb；②sin（α+β）=sinα+sinβ;③•（+）=•+•；④A∩（B∪C）=（A∩B）∪(A∩C)以上结论全部正确的选项是(）A．①②③④B．③④C．③D．④7．若复数(m2﹣5m+6)+(m2﹣3m）i是纯虚数，则实数m的值是（）A．2 B．3 C．2或3 D．﹣1或68．如图，四边形ABCD内接于⊙O,AD是⊙O的直径，若∠CBE=70°,则圆心角∠AOC=（）A．110°B．120°C．130°D．140°9．某研究中心为研究运动与性别的关系得到2×2列联表如表：喜欢数学课不喜欢数学课合计男生60 20 80女生10 10 20合计70 30 100则随机变量K2的观测值约为（）A．4。
762 B．9。
524 C．0。
0119 D．0。
023810．若实数x，y满足x2+y2+xy=1,则x+y的最大值是（）A．B．﹣C．D．﹣二、填空题（本大题共5小题,每小题4分,共20分）11．若z(1﹣i）=2+i（i为虚数单位）,则复数z=．12．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC,垂足分别为C、D、E．若AC=6,DE=4，则CD的长为．13．在等差数列｛a n｝中，若m+n=2p（m，n，p∈N＊)，则a m+a n=2a p．类比上述结论，在等比数列｛b n}中，若m+n=2p，则得到的结论是．14．已知f（n+1）=，f（1）=1（n∈N＊），猜想f(n）的表达式为．15．阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是．三、解答题(本大题共5小题，共60分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．已知复数z=1+i（i为虚数单位）．（1)设ω=z2+3﹣4，求｜ω|；（2)若=2﹣i，求实数a的值．17．已知函数f（x）=x2+x+a（a∈R)．（1）当a=1时，解不等式f(x）≥3;（2)若f（x）≥3恒成立,求a的取值范围．18．已知x＞y＞0,m＞0．（1）试比较与的大小；（2）用分析证明：（2﹣)≤1．19．已知函数f（x)=|2x﹣1｜﹣m,且不等式f（x）≤0的解集为[0,1］．（1）求实数m的值;（2）若a＞0，b＞0，且+=m,求a+b的最小值．20．如图，PA切⊙O于点A，PBC是割线，弦CD∥AP，AD交BC于点E,F在CE上,且ED2=EF•EC．（1）求证：∠EDF=∠P；（2）若CE:EB=3:2,DE=6，EF=4，求PA的长．附加题（本大题共30分）21．设复数z满足｜z｜=1，且（3+4i）•z是纯虚数，求．22．证明不等式：（1）a2+b2≥ab+a+b﹣1;（2）若a＞0,b＞0，则≥．23．如图，已知AB为圆O的直径,PA、PC是圆O的切线，A、C为切点，∠BAC=30°，PB 交圆O于点D．(1）求∠APC的大小；（2）若PA=，求PD的长．2015-2016学年天津市五区县高二（下）期末数学试卷(文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分)1．用反证法证明“如果a3＞b3,则a＞b"，假设的内容是（)A．a＜b B．a=b C．a≤b D．a≥b【考点】反证法与放缩法．【分析】用反证法证明数学命题时,应先假设要证命题的否定成立，求得命题：“a＞b”的否定,可得结论．【解答】解:用反证法证明数学命题时,应先假设要证命题的否定成立，而命题：“a＞b”的否定为：“a≤b”,故选:D．2．在复平面内，O是原点，向量对应的复数是2+i，点A关于虚轴的对称点为B，则向量对应的复数是（)A．1+2i B．﹣2+i C．2﹣i D．﹣2﹣i【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据向量，复数的几何意义，结合点的对称性进行求解即可．【解答】解：向量对应的复数是2+i，即A（2，1），点A关于虚轴的对称点为B（﹣2，1），则向量对应的复数是﹣2+i，故选:B．3．观察式子：1+,1+,…，则可归纳出式子为（）A．(n≥2）B．1+(n≥2)C．1+(n≥2)D．1+（n≥2）【考点】归纳推理．【分析】根据题意，由每个不等式的不等号左边的最后一项的分母和右边的分母以及不等号左边的最后一项的分母的底和指数的乘积减1等于右边分母分析可得答案．【解答】解:根据题意，由每个不等式的不等号左边的最后一项的分母和右边的分母以及不等号左边的最后一项的分母的底和指数的乘积减1等于右边分母可知，C正确；故选C．4．在回归分析中，下列说法错误的是(）A．用线性回归模型近似真实模型可产生误差B．R2越大，模型的拟合效果越好C．残差平方和越小，模型的拟合效果越好D．R2越大，残差平方和也越大【考点】回归分析．【分析】根据回归模型的性质，可判断A的真假，根据数据的残差越小，其模型拟合的精度越高，R2越大,模型的拟合效果越好，可判断B、C的真假，由此得出结论．【解答】解：对于A，用线性回归模型近似真实模型，可能产生误差，正确;对于B,在回归分析中,R2越大，模型的拟合效果就越好,正确;对于C,回归分析中，残差平方和越小，模型的拟合效果就越好，正确；对于D,回归分析中,R2越大,残差平方和就越小，原命题错误．故选：D．5．阅读如图所示的程序框图，运行相应程序,若输入k的值是4，则输出S的值是（）A．B．C．D．1【考点】程序框图．【分析】根据程序框图的运行过程，即可得出该程序运行后输出的S值．【解答】解:根据程序框图的运行过程，得；该程序运行后输出的是S=++=1﹣+﹣+﹣=．则输出S的值是．故选：B．6．类比a（b+c）=ab+ac得到下列结论：①lg(a+b)=lga+lgb；②sin（α+β）=sinα+sinβ；③•（+）=•+•；④A∩(B∪C）=(A∩B）∪（A∩C）以上结论全部正确的选项是(）A．①②③④B．③④C．③D．④【考点】类比推理．【分析】对4个选项分别进行判断,即可得出结论．【解答】解：①lg（ab)=lga+lgb，不正确;②sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ,不正确；③•（+）=•+•,向量的乘法满足分配律，正确；④（1）假设x属于A∩（B∪C),则x属于A且x属于B∪C，所以x属于B或x属于C，这样x属于A∩B或x属于A∩C，所以x属于(A∩B）∪（A∩C），所以左边集合属于右边集合；（2）假设x属于（A∩B）∪（A∩C）,则x属于A∩B或x属于A∩C，若x不属于B，则x属于A∩C，进而x属于A∩（B∪C）；若x不属于C，则x属于A∩B,进而x属于A∩(B∪C）．所以x属于A∩（B∪C）．所以右边集合属于左边集合．由(1），（2），有左边属于右边，且右边属于左边，所以左边=右边A∩(B∪C）=(A∩B）∪(A∩C），正确．故选：B．7．若复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i是纯虚数,则实数m的值是()A．2 B．3 C．2或3 D．﹣1或6【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据纯虚数的定义进行求解即可．【解答】解：若复数(m2﹣5m+6)+(m2﹣3m)i 是纯虚数，则,即，则m=2，故选：A．8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠CBE=70°，则圆心角∠AOC=（）A．110°B．120°C．130°D．140°【考点】圆周角定理．【分析】利用补角的定义、圆内接四边形的性质求得圆周角∠ADC=70°，然后根据OD=OC 可得∠OCD=∠ADC=70°,即可求得∠AOC的度数．【解答】解:∵∠CBE=70°，∠CBE+∠CBA=180°，∴∠CBA=110°；又∵∠CBA+∠ADC=180°（圆的内接四边形中对角互补)，∴∠ADC=70°；∵AD是⊙O的直径,OD=OC,∴∠OCD=∠ADC=70°∴∠AOC=∠OCD+∠ADC=140°．故选：D．9．某研究中心为研究运动与性别的关系得到2×2列联表如表：喜欢数学课不喜欢数学课合计男生60 20 80女生10 10 20合计70 30 100则随机变量K2的观测值约为（)A．4.762 B．9.524 C．0.0119 D．0.0238【考点】独立性检验的应用．【分析】根据所给数据，代入公式计算得出K2值，即可求得结论．【解答】解:由题意，K2=≈4.762．故选：A．10．若实数x，y满足x2+y2+xy=1，则x+y的最大值是(）A．B．﹣C．D．﹣【考点】基本不等式．【分析】根据已知条件可得（x+y）2=1+xy．再由xy≤，可得（x+y）2≤，由此可得x+y的最大值．【解答】解：∵实数x，y满足x2+y2+xy=1,即（x+y)2=1+xy．再由xy≤，可得（x+y）2=1+xy≤1+，解得（x+y）2≤,∴﹣≤x+y≤，故x+y的最大值为=,故选:A．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．若z(1﹣i）=2+i（i为虚数单位)，则复数z=．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由z(1﹣i）=2+i,得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，则答案可求．【解答】解：由z（1﹣i)=2+i，得=．故答案为：．12．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为C、D、E．若AC=6，DE=4，则CD 的长为2．【考点】直角三角形的射影定理．【分析】证明DE∥AC，利用平行线的性质,可得==,设AD=x，则AB=3x，由射影定理可得AD,BD,再由射影定理可得CD．【解答】解：∵AC⊥BC,DE⊥BC，∴DE∥AC,∵AC=6，DE=4,∴==,设AD=x，则AB=3x,由射影定理可得36=x•3x，∴x=2，∴BD=4由射影定理可得CD==2．故答案为:2．13．在等差数列{a n｝中,若m+n=2p（m，n，p∈N*），则a m+a n=2a p．类比上述结论，在等比数列｛b n}中，若m+n=2p，则得到的结论是若m+n=2p（m，n，p∈N＊)，则b m•b n=b p2．【考点】类比推理．【分析】结合等差数列与等比数列具有类比性,且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，即可得出结论．【解答】解：类比上述性质,在等比数列｛b n｝中，则有若m+n=2p（m,n,p∈N*），则b m•b n=b p2,故答案为：若m+n=2p(m，n,p∈N*），则b m•b n=b p2．14．已知f（n+1)=，f（1）=1（n∈N*），猜想f（n）的表达式为f（n)=．【考点】归纳推理．【分析】根据题意，f（1）=1，依次求出f(2）、f（3）、f（4）…，进而可以发现规律，得到答案．【解答】解：根据题意，f（1）=1，f(2）==，f（3）=，f（4）=，…可以归纳f(n)为分数，且其分子为2不变，分母为n+1；即f（n）=，故答案为:f（n)=．15．阅读程序框图,如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是[﹣2,﹣1］．【考点】选择结构．【分析】由程序框图可得分段函数，根据函数的值域，即可确定实数x的取值范围．【解答】解：由程序框图可得分段函数：∴令,则x∈[﹣2，﹣1］，满足题意;故答案为：[﹣2，﹣1］三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．已知复数z=1+i（i为虚数单位)．(1）设ω=z2+3﹣4,求|ω|；（2)若=2﹣i，求实数a的值．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】(1）由复数z=1+i，得，把z和代入ω=z2+3﹣4化简再由复数求模公式计算得答案；（2)直接由复数代数形式的乘除运算化简，再根据复数相等的充要条件列方程组，求解即可得答案．【解答】解：(1）由复数z=1+i，得．则ω=z2+3﹣4=（1+i）2+3（1﹣i）﹣4=1+2i﹣1+3﹣3i﹣4=﹣1﹣i，故｜ω｜=；（2)====2﹣i，由复数相等的充要条件得：,解得a=3．17．已知函数f（x）=x2+x+a（a∈R）．（1）当a=1时，解不等式f(x）≥3；（2）若f（x）≥3恒成立，求a的取值范围．【考点】二次函数的性质；一元二次不等式的解法．【分析】（1）解不等式x2+x+1≥3即可；（2）问题转化为a≥﹣x2﹣x+3恒成立，设g（x)=﹣x2﹣x+3，求出g（x）的最大值，从而求出a的范围即可．【解答】解：(1）由题意，x2+x+1≥3，即x2+x﹣2≥0，∴（x+2)(x﹣1）≥0,解得：x≥1，或x≤﹣2，∴不等式的解集为{x|x≥1，或x≤﹣2}；(2)由题意x2+x+a≥3，即a≥﹣x2﹣x+3恒成立，设g（x）=﹣x2﹣x+3，则g(x）的最大值为g(﹣)=，∴a≥．18．已知x＞y＞0，m＞0．（1）试比较与的大小；（2)用分析证明:（2﹣）≤1．【考点】综合法与分析法(选修）．【分析】（1）利用作差法，比较与的大小；（2）直接利用分析法的证明步骤，找出不等式成立的充分条件即可．【解答】(1）解：因为﹣=，x＞y＞0，m＞0…所以m（y﹣x）＜0，x（x+m）＞0 …所以＜0,即﹣＜0，所以＜．…（2)证明：要证用分析证明：(2﹣）≤1,只需2﹣(）2≤1，…只需(）2﹣2+1≥0，即（﹣1)2≥0，…因为x，y＞0，且（﹣1）2≥0成立，…所以(2﹣）≤1．…19．已知函数f（x）=｜2x﹣1｜﹣m，且不等式f（x）≤0的解集为［0，1]．（1)求实数m的值;(2）若a＞0，b＞0，且+=m,求a+b的最小值．【考点】绝对值不等式的解法；基本不等式．【分析】（1)求出不等式的解集,得到关于m的方程,解出m的值即可;（2）a+b=（a+b）（+），根据基本不等式的性质求出a+b的最小值即可．【解答】解:（1）由已知得|2x﹣1｜﹣m≤0，所以|2x﹣1｜≤m，即﹣m≤2x﹣1≤m,解得：≤x≤，因为不等式f(x）≤0的解集为［0,1］，所以，解得m=1．（2）由（1）知+=1，所以a+b=（a+b）（+）=+（+），因为a＞0，b＞0，所以+≥2=，当且仅当=，即a=b时取等号，因为+=1，此时a=，b=，所以a+b≥+，即a+b的最小值为+．20．如图，PA切⊙O于点A,PBC是割线，弦CD∥AP,AD交BC于点E,F在CE上，且ED2=EF•EC．(1)求证：∠EDF=∠P；（2）若CE：EB=3：2，DE=6，EF=4,求PA的长．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．【分析】（1)根据所给的乘积式和对应角相等，得到两个三角形相似，由相似得到对应角相等，再根据两直线平行内错角相等，角进行等量代换，得到要证的结论．（2）求出EB,根据相交弦定理得到AE,利用三角形相似求出PE，再利用切割线定理求出PA．【解答】证明：（1）∵DE2=EF•EC,∴DE：CE=EF：ED．∵∠DEF是公共角，∴△DEF∽△CED．∴∠EDF=∠C．∵CD∥AP，∴∠C=∠P．∴∠P=∠EDF．…解：（2）设CE=3k，EB=2k，由ED2=EF•EC，DE=6，EF=4，得CE=9，∴EB=6 …由相交弦定理有AE•DE=CE•BE，可得AE=9 …由（1)知∠C=∠P,且∠CED=∠AEP，∴△CED∽△PEA，∴，∴PE=，…∴PB=PE,由切割线定理得（)=,…解得PA=．…附加题(本大题共30分）21．设复数z满足|z｜=1,且（3+4i）•z是纯虚数，求．【考点】复数的基本概念；复数求模．【分析】设出复数z，｜z｜=1可得一个方程，化简(3+4i)•z是纯虚数,又得到一个方程，求得z，然后求．【解答】解：设z=a+bi，（a,b∈R),由|z|=1得；（3+4i)•z=（3+4i）（a+bi)=3a﹣4b+（4a+3b)i是纯虚数，则3a﹣4b=0,，．22．证明不等式:（1）a2+b2≥ab+a+b﹣1;（2）若a＞0，b＞0，则≥．【考点】不等式的证明．【分析】利用基本不等式，即可证明结论．【解答】证明：(1）∵a2+b2≥2ab，a2+1≥2a，b2+1≥2ab，三式相加，可得2a2+2b2≥2ab+2a+2b﹣2，∴a2+b2≥ab+a+b﹣1；…(2）∵a＞0,b＞0，∴a+b＞0且a2+b2≥2ab …∴2（a2+b2)≥（a+b)2∴（a2+b2）≥（a+b）2 (当且仅当a=b时等号成立）…∴≥…23．如图，已知AB为圆O的直径，PA、PC是圆O的切线,A、C为切点，∠BAC=30°，PB 交圆O于点D．（1）求∠APC的大小；(2）若PA=，求PD的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】(1)由切线性质得∠BAP=90°，PA=PC,由此能求出∠APC=60°．(2）由已知条件得到AC=PA=，∠ACB=90°，由此利用切割线定理能求出PD．【解答】解：（1)∵PA是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴∠BAP=90°．∵∠BAC=30°，∴∠CAP=∠PAB﹣∠CAB=60°．…∵PA、PC是⊙O的切线,∴PA=PC，∴△PAC是等边三角形．…∴∠APC=60°(2）∵△PAC是等边三角形,∴AC=PA=,…∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°…连接BC，在直角△ABC中，∵∠BAC=30°，∴AB=2，…∴在直角△PAB中,PB==7,…∵PA是⊙O的切线，∴PA2=PD•PB，…∴21=PD×7，解得PD=3．…2016年8月14日。
(247)2014年天津高考文科数学试题及答案(Word版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）i 是虚数单位，复数=++ii437（ ） A. i -1 B. i +-1 C.i 25312517+ D. i 725717+-（2）设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≥-+.1,02,02y y x y x 则目标函数yx z 2+=的最小值为（ ）A.2B. 3C. 4D. 53.已知命题为则总有p e x x p x⌝>+>∀,1)1(,0:（ ） A.1)1(,0000≤+≤∃x e x x 使得 B. 1)1(,0000≤+>∃x e x x 使得 C.1)1(,0000≤+>∃x ex x 总有 D.1)1(,0000≤+≤∃x e x x 总有4.设,,log ,log 2212-===πππc b a 则（ ）A.c b a >>B.c a b >>C.b c a >>D.a b c >> 5.设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和，若，，，421S S S 成等比数列，则1a =（ ）A.2B.-2C.21 D .216.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线平行于直线,102:+=x y l 双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）A.120522=-y x B.152022=-y x C.1100325322=-y x D.1253100322=-y x 7.如图，ABC ∆是圆的内接三角行，BAC ∠的平分线交圆于点D ，交BC 于E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF ∠；②FA FD FB ⋅=2；③DE BE CE AE ⋅=⋅；④BF AB BD AF ⋅=⋅.则所有正确结论的序号是（ ）A.①②B.③④C.①②③D. ①②④ 8.已知函数()3sin cos (0),.f x x x x R ωωω=+>∈在曲线()y f x =与直线1y =的交点中，若相邻交点距离的最小值为3π，则()f x 的最小正周期为（ ）A.2πB.23πC.πD.2π二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，则应从一年级本科生中抽取 名学生. 10.一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为3m .11.阅读右边的框图，运行相应的程序，输出S 的值为________.12.函数()3lg f x x =的单调递减区间是________.13.已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC 、DC 上，3BC BE =，DC DF λ=.若1AE AE ⋅=，则λ的值为________.（14）已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤++=0,220,452x x x x x x f 若函数xa x f y -=)(恰有4个零点，则实数a 的取值范围为_______三．解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（15）（本小题满分13分）某校夏令营有3名男同学C B A ,,和3名女同学Z Y X ,,，其年级情况如下表：现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）（1）用表中字母列举出所有可能的结果（2）设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率.（16）（本小题满分13分）在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知b c a 66=-，C B sin 6sin = （1）求A cos 的值； （2）求)62cos(π-A 的值.17、（本小题满分13分） 如图，四棱锥的底面是平行四边形，，,分别是棱的中点.（1） 证明平面； （2） 若二面角P-AD-B 为，① 证明：平面PBC ⊥平面ABCD② 求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值.18、（本小题满分13分） 设椭圆的左、右焦点分别为,，右顶点为A ，上顶点为B.已知=.（1） 求椭圆的离心率；（2） 设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点，经过点的直线与该圆相切与点M ，=.求椭圆的方程.19 （本小题满分14分）已知函数232()(0),3f x x ax a x R =->∈（1） 求()f x 的单调区间和极值；（2）若对于任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,)x ∈+∞，使得12()()1f x f x ⋅=，求a 的取值范围20（本小题满分14分）已知q 和n 均为给定的大于1的自然数，设集合{}12,1,0-=q M ，集合{}n i M x q x q x x x x A i n n ,2,1,,121=∈++==-，（1）当3,2==n q 时，用列举法表示集合A ；设,,,,121121--++=+++=∈n n n n q b q b b t q a q a a s A t s 其中,,2,1,,n i M b a i i =∈证明：若,n n b a <则t s <.2014年天津高考文科数学试题逐题详解 （纯word 解析版）一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【2014年天津卷（文01）】i 是虚数单位，复数734ii +=+ A.1i - B.1i -+ C.17312525i +D.172577i -+【答案】A 【解析】73472525134343425i i i i i ii i【2014年天津卷（文02）】设变量x 、y 满足约束条件20201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】画出可行域，如图所示．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即点A (1，1)．当目标函数线过可行域内A 点时，目标函数有最小值，即z min ＝1×1＋2×1＝3.【2014年天津卷（文03）】已知命题p ：∀x ＞0，总有（x+1）ex ＞1，则￢p 为（ ）A ．∃x 0≤0，使得（x 0+1）e x0≤1 B ．∃x 0＞0，使得（x 0+1）e x0≤1C ．∀x ＞0，总有（x+1）e x≤1 D ．∀x ≤0，总有（x+1）e x≤1【答案】B【解析】根据全称命题的否定为特称命题可知，￢p 为∃x 0＞0，使得（x 0+1）e≤1，【2014年天津卷（文04）】设a=log 2π，b=logπ，c=π﹣2，则（ ）A ． a ＞b ＞cB ． b ＞a ＞cC ． a ＞c ＞bD ． c ＞b ＞a【答案】C【解析】log 2π＞1，log π＜0，0＜π﹣2＜1，即a ＞1，b ＜0，0＜c ＜1，∴a ＞c ＞b【2014年天津卷（文05）】设{a n }的首项为a 1，公差为﹣1的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1=（ ） A ． 2 B ． ﹣2 C ． D ．﹣【答案】D【解析】∵{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，∴S1=a1，S2=2a1﹣1，S4=4a1﹣6，由S1，S2，S4成等比数列，得：，即，解得：【2014年天津卷（文06）】已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【答案】A【解析】令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，∴=2，∵c2=a2+b2，∴a2=5，b2=20，∴双曲线的方程为﹣=1【2014年天津卷（文07）】如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2=FD•FA；③AE•CE=BE•DE；④AF•BD=AB•BF．所有正确结论的序号是（）A．①②B．③④C．①②③D．①②④【答案】D【解析】∵圆周角∠DBC对应劣弧CD，圆周角∠DAC对应劣弧CD，∴∠DBC=∠DAC．∵弦切角∠FBD对应劣弧BD，圆周角∠BAD对应劣弧BD，∴∠FBD=∠BAF．∵BD是∠BAC的平分线，∴∠BAF=∠DAC．∴∠DBC=∠FBD．即BD平分∠CBF．即结论①正确．又由∠FBD=∠FAB，∠BFD=∠AFB，得△FBD～△FAB．由，FB2=FD•FA．即结论②成立．由，得AF•BD=AB•BF．即结论④成立【2014年天津卷（文08）】已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，在曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f（x）的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π【答案】C【解析】∵已知函数f（x）=sinωx+cosωx=2sin（ωx+）（ω＞0），x∈R，在曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，正好等于f（x）的周期的倍，设函数f（x）的最小正周期为T，则=，∴T=π二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.【2014年天津卷（文09）】某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，则应从一年级本科生中抽取____名学生.【答案】60【解析】由分层抽样的方法可得，从一年级本科生中抽取学生人数为300×44＋5＋5＋6＝60【2014年天津卷（文10）】一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_________3m.【答案】20π3【解析】由三视图可得，该几何体为圆柱与圆锥的组合体，其体积V＝π×12×4＋13π×22×2＝20π3.【2014年天津卷（文11）】阅读如图的框图，运行相应的程序，输出S的值为．【答案】-4【解析】依题由框图知，第一次循环得到：S=﹣8，n=2；第二次循环得到：S=﹣4，n=1；退出循环，输出﹣4【2014年天津卷（文12）】函数f（x）=lgx2的单调递减区间是．【答案】（﹣∞，0）【解析】方法一：y=lgx2=2lg|x|，∴当x＞0时，f（x）=2lgx在（0，+∞）上是增函数；当x＜0时，f（x）=2lg（﹣x）在（﹣∞，0）上是减函数．∴函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（﹣∞，0）．方法二：原函数是由复合而成，∵t=x2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函数；又y=lgt在其定义域上为增函数，∴f（x）=lgx2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函数，∴函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（﹣∞，0）【2014年天津卷（文13）】已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF、若•=1，则λ的值为．【答案】2【解析】∵BC=3BE，DC=λDF，∴=，=，=+=+=+，=+=+=+，∵菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，∴||=||=2，•=2×2×cos120°=﹣2，∵•=1，∴（+）•（+）=++（1+）•=1，即×4+×4﹣2（1+）=1，整理得，解得λ=2【2014年天津卷（文14）】已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为．【答案】（1，2）【解析】由y=f（x ）﹣a|x|=0得f（x）=a|x|，作出函数y=f（x），y=a|x|的图象，当a≤0，不满足条件，∴a＞0，当a=2时，此时y=a|x|与f（x）有三个交点，当a=1时，此时y=a|x|与f（x）有五个交点，∴要使函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则1＜a＜2三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【2014年天津卷（文15）】（本小题满分13分）某校夏令营有3名男同学，A、B、C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如表：一年级二年级三年级男同学 A B C女同学X Y Z现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果；（Ⅱ）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．解：（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果有：（A，B）、（A，C）、（A，X）、（A，Y）、（A，Z）、（B，C）、（B，X）、（B，Y）、（B，Z）、（C，X）、（C，Y）、（C，Z）、（X，Y）、（X，Z ）、（Y，Z）共计15个结果．（Ⅱ）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，则事件M包含的结果有：（A，Y）、（A，Z）、（B，X）、（B，Z）、（C，X）、（C，Y），共计6个结果，故事件M发生的概率为=【2014年天津卷（文16）】（本小题满分13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．解：（Ⅰ）将sinB=sinC，利用正弦定理化简得：b=c，代入a﹣c=b，得：a﹣c=c，即a=2c，∴cosA===；（Ⅱ）∵cosA=，A为三角形内角，∴sinA==，∴cos2A=2cos2A﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=，则cos（2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin=﹣×+×=【2014年天津卷（文17）】（本小题满分13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=，AD=2，PA=PD=，E，F分别是棱AD，PC的中点．（Ⅰ）证明EF∥平面PAB；（Ⅱ）若二面角P ﹣AD﹣B为60°，（i）证明平面PBC⊥平面ABCD；（ii）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．解：（Ⅰ）证明：连结AC，AC∩BD=H，∵底面ABCD是平行四边形，∴H为BD中点，∵E是棱AD的中点．∴在△ABD中，EH∥AB，又∵AB⊂平面PAB，EH⊄平面PAD，∴EH∥平面PAB．同理可证，FH∥平面PAB．又∵EH∩FH=H，∴平面EFH ∥平面PAB，∵EF ⊂平面EFH，∴EF∥平面PAB；（Ⅱ）（i）如图，连结PE，BE．∵BA=BD=，AD=2，PA=PD=，∴BE=1，PE=2．又∵E为AD 的中点，∴BE⊥AD，PE⊥AD，∴∠PEB即为二面角P﹣AD﹣B的平面角，即∠PEB=60°，∴PB=．∵△PBD中，BD2+PB2=PD2，∴PB⊥BD，同理PB⊥BA，∴PB⊥平面ABD，∵PB⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面ABCD；（ii）由（i）知，PB⊥BD，PB⊥BA，∵BA=BD=，AD=2，∴BD⊥BA，∴BD，BA，BP两两垂直，以B 为坐标原点，分别以BD，BA，BP为X，Y，Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B﹣DAP，则有A（0，，0），B（0，0，0），C（，﹣，0），D （，0，0），P（0，0，），∴=（，﹣，0），=（0，0，），设平面PBC的法向量为，∵，∴，令x=1，则y=1，z=0，故=（1，1，0），∵E，F分别是棱AD，PC的中点，∴E （，，0），F （，﹣，），∴=（0，，），∴===﹣，即直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值为【2014年天津卷（文18）】（本小题满分13分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F 2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过点F2的直线l与该圆相切于点M，|MF2|=2，求椭圆的方程．解：（Ⅰ）依题意可知=•2c，∵b 2=a 2﹣c2，∴a2+b2=2a2﹣c2=3c2，∴a2=2c2，∴e==．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a2=2c2，∴b2=a2﹣c2=c2，∴椭圆方程为+=1，B（0，c），F1（﹣c，0）设P点坐标（csinθ，ccosθ），圆心为O∵PB为直径，∴BF 1⊥PF1，∴k•BF1k PF1=•=﹣1，求得sinθ=﹣或0（舍去），由椭圆对称性可知，P在x轴下方和上方结果相同，只看在x 轴上方时，cosθ==∴P坐标为（﹣c ，c ），∴圆心坐标为（﹣c，c），∴r=|OB|==c ，|OF2|==c，∵r2+|MF2|2=|OF 2|2，∴+8=c2，∴c2=3，∴a2=6，b2=3，∴椭圆的方程为+=1【2014年天津卷（文19）】（本小题满分14分）已知函数f（x）=x2﹣ax3（a＞0），x∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对于任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f （x1）•f（x2）=1，求a的取值范围．解：（Ⅰ）f′（x）=2x﹣2ax2=2x（1﹣ax），∵a＞0，∴当x＜0或x时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0，f（x）单调递减区间为：（﹣∞，0）和，单调递增区间为，当x=0时，有极小值f （0）=0，当x=时，有极大值f（）=；（Ⅱ）由f（0）=f（）=0及（Ⅰ）知，当x∈（0，）时，f（x）＞0；当x∈（，+∞）时，f（x）＜0．设集合A={f（x ）|x∈（2，+∞）}，集合B={|x∈（1，+∞），f（x）≠0}，则对于任意的x1∈（2，+ ∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）•f（x2）=1，等价于A⊆B ，显然A≠∅下面分三种情况讨论：（1）当＞2，即0＜a＜时，由f（）=0可知，0∈A，而0∈B，∴A不是B的子集；（2）当1≤≤2，即时，f（2）≤0，且f（x）在（2，+∞）上单调递减，故A=（﹣∞，f（2）），∴A⊆（﹣∞，0）；由f（1）≥0，有f（x）在（1，+∞）上的取值范围包含（﹣∞，0），即（﹣∞，0）⊆B，∴A⊆B；（3）当＜1，即a＞时，有f（1）＜0，且f （x）在（1，+∞）上单调递减，故B=（，0），A=（﹣∞，f（2）），∴A不是B的子集．综上，a的取值范围是[]【2014年天津卷（文20）】（本小题满分14分）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q ﹣1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n﹣1，x i∈M，i=1，2，…n}．（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；（Ⅱ）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i=1，2，…，n．证明：若a n＜b n，则s＜t．（Ⅰ）解：当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x|，x i∈M，i=1，2，3}．可得A={0，1，2，3，4，5，6，7}．（Ⅱ）证明：由设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i=1，2，…，n．a n＜b n，∴a n﹣b n≤﹣1．可得s﹣t=（a1﹣b1）+（a 2﹣b2）q+…++≤﹣[1+q+…+q n﹣2+q n﹣1]=＜0．∴s＜t。