工程结构动力分析小论文

薄壁管件的屈曲分析
摘要：本文针对薄壁件的失稳问题，采用线性特征值屈曲分析法和非线性屈曲分析法，借助ANSYS有限元商业软件对薄壁圆管进行模拟计算。

特征值分析可以确定临界载荷、屈曲模态，特征值屈曲分析法得到的临界载荷作为非线性屈曲分析分析的初步缺陷载荷，接着进行非线性分析，得到结构完整的稳定性能。

将两种结果进行对比讨论，可知非线性分析的结论更切合实际。

关键词：结构屈曲，ANSYS软件，特征值分析，薄壁圆管，
1.引言
薄壁钢材具有高强度、轻质、力学性能优良的特点，是一种良好的结构材料。

但是实际工程结构中薄壁钢材的截面轮廓尺寸很小，构件细长，如果其在工艺上处理不当，当受到各种载荷时容易发生局部失稳或整体破坏，给人民的生命财产造成不可估量的损失，所以薄壁结构的稳定性问题成为工程设计人员关心的焦点。

所谓失稳，就是当载荷仅有微量增加时，应变增长显著。

比如圆筒受到环向载荷，其压缩应力尚未达到材料的屈服点时，就突然失去自身原来的形状被压扁或产生褶皱，这种在外力作用下结构突然失去原有形状的现象叫失稳，也称为屈曲。

本文针对工程上常采用的薄壁管件的稳定性问题，借助有限元软件，用线性和非线性的分析方法计算其屈曲时的临界载荷。

圆筒形构件的失稳分为整体失稳和局部失稳，其中整体失稳又分为侧向失稳和轴向失稳。

图1-1侧向失稳图1-2轴向失稳
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22. 力学建模
预测结构发生屈曲时的临界载荷和屈曲后的形状通常的方法有两种，即特征值分析和非线性屈曲分析，但是特征值分析是基于材料完全线性无缺陷的，所以得出的结果与实际有较大差距，因此工程直接运用很少，但是它也是有意义的，一般取其第一阶模态作为非线性分析的初始扰动载荷的依据。

用特征值分析得到的是屈曲上限，而用非线性分析得到的是屈曲下限，如图所示。

图2-1 特征值屈曲分析示意图
下面简单介绍特征值分析的理论知识。

设在单位外载荷作用下结构的应力刚度矩阵为[]K σ，那么[]K σλ（λ为载荷乘子）就代表另一强度下的应力刚度矩阵，在线性条件下，它们均与位移函数无关。

如果基准状态下的位移矩阵[]D 加上虚位移矩阵[]D —
，而作用的载荷[]R 保持
不变，那么，为了使状态[]D 和_D D ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦保持平衡状态，必须满足： [][][][]()K K D R σλ+=和[][][]_)K K D D R σλ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦
（ 将两个方程相减得到：[][]_)0K K D σλ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦
（，此即为经典的特征值问题，由[][]det()0K K σλ+=可得到特征值，其中最小的特征值就是临界载荷。

式中的λ是特征值， D ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
—是位移特征向量，用λ乘以施加的载荷即得到临界载荷cr P ,D ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
—是屈曲形状。

3非线性屈曲分析考虑了屈曲前变形的影响，可以更准确地确定结构发生屈曲时的极限载荷，它也是大变形分析的一种应用，基本原理就是通过逐步加载的静力分析方式去寻找临界载荷水平，在该载荷下结构开始失稳屈曲。

其有限元基本格式为：
[][][]_)l nol K K D R ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦（
[][][][])l nol K K u P +∆=∆（ 式中[]l K 为线弹性刚度矩阵，[]nol K 为非线性刚度矩阵，在非线性计算中与
结构的应力和位移有关，[]u ∆为位移向量增量，[]P ∆为节点载荷增量。

求解该方程需要用迭代法。

目前有两种迭代方法：完全NR 法和经过修正的NR 法，前者是在每次平衡迭代时都要修改一次刚度矩阵，计算量很大；而后者在经过修正后每次迭代时都修正切线刚度矩阵，而在迭代过程中保持不变。

ANSYS 中还存在初始刚度法，不同的方法对于不同的问题其计算速度和收敛速度会有很大差异，并且各自有其适用范围，好在ANSYS 提供了自动选择的方式帮助用户。

完全NR 法 修正的NR 法
3. 数值仿真
工程上都是采用商业有限元软件提前分析结构的屈曲行为，为优化设计提供参考依据。

本文采用ANSYS 有限元软件对薄壁圆管进行屈曲分析，其中该软件的屈曲分析有特定的模块，运行时必须遵循约定的步骤。

特征值屈曲分析有五个步骤，分别是建立模型、获得静力解、获得特征值屈曲解、拓展结果、查看结果。

其中注意的是在做第二步时必须激活预应力选项，因为特征值分析需要通过首次运算得到的静力解来计算应力刚度矩阵。

一般施加单位载荷即可，这样得到的特征值就是屈曲临界载荷。

提取特征值时，ANSYS
提
4供了两种算法：子空间迭代法（subspace 法）和分块的兰索斯法（block-lanczos 法）。

一般只提取第一节特征值。

子空间迭代法主要是由“同时反迭代法”和“R-R 分析法”有机结合而成，其基本思想是，选择m 个线性无关的初始向量，而后相继使用同时反迭代法和R-R 法进行迭代，求得系统前m 阶特征解的近似值。

其中同时反迭代法的作用是使m 个迭代向量所张的子空间m V 向前m 阶特征向量所张子空间m E 逼近，R-R 法
的作用是使迭代向量正交化，并且当m V 很接近于m E 时，用它就可求得较精确的
前m 阶特征解。

Lanczos 法本质上也是向量反迭代法和R-R 法结合的一种方法，其基本思想是选择一个初始向量，通过多次反迭代，正交化和模规范化处理，形成m 个Lanczos 向量，而正交化和模规范化系数形成一个三角形矩阵，这个三角形矩阵的特征解与原广义特征问题的前若干阶特征解有一定的关系，利用此关系，就求得了原广义特征问题的前若干阶特征解。

非线性屈曲分析是在大变形效应下所作的一种静力分析，该分析过程亦可同时考虑材料的塑性行为。

该分析过程一直进行到结构的极限载荷为止，其基本步骤有施加载荷增量、自动时间步、施加初始扰动、求解查看结果等。

但是需要注意的是，非收敛解不一定意味着结构已经达到了它的最大载荷，它也可能是数值上的不稳定造成的，这可以通过细化模型来纠正。

选用算例基本参数：薄壁圆管，壁厚0.0216m ，直径0.4m ，高度2.16m ，材料的弹性模量210GPa ，泊松比0.3，圆管两端固定约束。

周向受压，分析其发生屈曲时的临界载荷。

此薄壁圆管的壁厚远小于直径，而且壁厚是均匀的，材料结构简单，所以单元类型选用shell-93—八节点壳单元。

有限元分析的精度与效率与网格划分的疏密和几何形状的选择有很大关系，按照相应的误差准则和网格疏密程度，应该避免出现网格畸形，划分网格时尽量采用映射式网格划分模式。

本例所选结构规则对称，选择映射模式划分。

建立模型、划分网格、施加约束，如下图所示。

打开预应力选项，施加单位外载荷，静力分析结果如下：
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表3-1薄壁圆筒临界压力与模态
的第一阶特征值就是临界压力，本例为117.4MPa。

为了验证该临界值的可靠性，
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同时采用不同的壳单元和不同的网格密度进行计算，结果得到的数值几乎一样，这样就证明了仿真的可靠性。

根据工程上经验公式来判断，此圆筒属于长圆筒，这类圆筒两端的封头或管板对筒体中部的变形不能起到有效的支撑作用，最容易失稳压瘪，出现波纹数为2的扁圆形，根据勃莱斯公式得到临界压力为73Mpa，这是因为特征值分析采用的模型是完全线型无缺陷的，得到的是屈曲上限值，而勃莱斯公式是工程实际应用所采用的，计算出的值为设计所采用，经过长期经验积累，为了设计的安全可靠，公式计算值难免趋于保守。

勃莱斯公式：
3
2
2
(1)
cr
S
E
P
D
μ
⎛⎫
= ⎪
-⎝⎭
(3-1)
S—圆筒的计算壁厚；D—圆筒直径；E—材料的弹性模量；μ—泊松比；
4.结论
固体力学研究领域的所有现象都是非线性的，即它的总体刚度矩阵是随着载荷的变化而发生变化，外载荷与位移呈非线性关系，需要采用非线性理论处理。

但是对于许多工程问题，存在一个精度与经济的问题，即在处理实际的工程问题时，如果采用非线性理论及方法去分析求解的话精度可能没有很大的提高而成本却大幅度增加，所以综合考虑两方面的因素，采用近似线性的理论（即结构的总体刚度矩阵不随外载荷的变化而变化，载荷与位移呈线性关系）来计算即可就可符合工程的精度要求，而且这样做建模方便，计算简单切实可行。

通常结构的非线性问题并不是单纯的某类问题，而是需要同时考虑几何非线性和材料非线性问题，称为双重非线性问题，有时甚至还需考虑状态非线性问题，这样的话分析就比较全面，但是计算量也计算难度也急剧增大，还需要具体分析适当简化模型，减小计算量。

本文采用的薄壁管件模型扎住了结构的主要部分，忽略了两端部分的结构，也可以进行良好分析。

因为进行实物屈曲抗压分析成本比较高，仿真计算出的值为了有个参考，采用改变建模方式来多次重复计算获得参照，这样获得的结论有较高的可信度，当然也可以采用不同的有限元软件进行仿真获得对照。

文中建模采用的材料是单一类型的，目前比较热的是采用夹芯结构，因为该种结构的一大良好力学性能是抗压能力较强，可以把该结构引入管件结构中。

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参考文献
[1].工程结构动力分析数值方法，陈玲莉编，西安交通大学出版社，2006年
[2].工程结构数值分析，王新敏编，人民交通出版社，2007年
[3].有限元法基础，李人宪编，国防工业出版社，2012年
[4].基于ANSYS/LS-DYNA进行显式动力分析，时党勇编，清华大学出版社，2008年
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