八上数学坐标平面内图形变换
坐标平移变换
展望未来研究方向
进一步研究坐标平移变换的理 论基础，包括变换矩阵的推导 、变换过程的数学描述等方面
。
探索新的坐标平移变换方法， 以适应不同应用场景和需求， 如非线性变换、多维变换等。
研究坐标平移变换与其他图像 处理和计算机视觉技术的结合 ，以提高图像处理和计算机视 觉系统的性能和鲁棒性。
06
总结与展望
总结
坐标平移变换是图像处理和计算机视 觉领域中的一种基本技术，用于将图 像或数据从一种坐标系转换到另一种 坐标系。
坐标平移变换可以通过线性代数和矩 阵运算实现，其中最常用的变换矩阵 是2x2和3x3的变换矩阵。
坐标平移变换通常用于纠正图像的几 何失真、拼接全景图像、增强机器视 觉系统的鲁棒性等方面。
图像旋转
通过坐标平移，可以将图像旋转一 定角度，实现图像的旋转处理。
在物理和工程领域中的应用
物理模拟
在物理模拟中，坐标平移 用于模拟物体在空间中的 运动轨迹和速度。
工程测量
在工程测量中，坐标平移 用于确定物体的位置和尺 寸，如建筑物的位置、桥 梁的长度等。
自动化控制
在自动化控制中，坐标平 移用于调整机器的位置和 方向，如自动化流水线、 机器人手臂等。
三维坐标平移变换的实例
要点一
总结词
三维坐标平移变换是指在空间中的移动，涉及x、y和z三个 坐标轴。
要点二
详细描述
在三维坐标系中，假设有一个点C(x,y,z)在空间中的坐标为 (5,7,9)，现在将点C向右平移3个单位，再向下平移2个单位， 最后向前平移1个单位，新的坐标变为(8,5,8)，即 C'(x',y',z')=C(x,y,z)+(dx,dy,dz)=(5,7,9)+(3,-2,-1)=(8,5,8)。
平面图形的转换
平面图形的转换1. 简介平面图形的转换是指将一个平面图形变换为另一个平面图形的过程。
它在计算机图形学、数学和工程领域都有广泛的应用。
平面图形的转换可以通过几何变换或仿射变换来实现，其中包括平移、旋转、缩放和错切等操作。
本文将介绍平面图形的常见转换及其应用。
2. 平移变换平移变换是指将平面图形沿着指定的方向和距离进行移动。
它只改变图形的位置而不改变其形状和大小。
平移变换可通过以下公式来实现：x' = x + dxy' = y + dy其中，(x, y)是原始点的坐标，(x’, y’)是平移后点的坐标，dx和dy分别是水平和垂直方向上的平移距离。
平移变换在计算机图形学中常用于移动图形对象，例如在动画中实现物体的平移效果。
3. 旋转变换旋转变换是指将平面图形按照指定的角度绕某个中心点进行旋转。
旋转变换可通过以下公式来实现：x' = x * cos(theta) - y * sin(theta)y' = x * sin(theta) + y * cos(theta)其中，(x, y)是原始点的坐标，(x’, y’)是旋转后点的坐标，theta是旋转角度。
旋转变换广泛应用于计算机图形学中的物体旋转、图像处理和仿真等方面。
4. 缩放变换缩放变换是指将平面图形按照指定的比例进行放大或缩小。
缩放变换可通过以下公式来实现：x' = x * sxy' = y * sy其中，(x, y)是原始点的坐标，(x’, y’)是缩放后点的坐标，sx和sy分别是水平和垂直方向上的缩放比例。
缩放变换在计算机图形学中常用于图像的放大和缩小、模型的变形和动画的特效制作等方面。
5. 错切变换错切变换是指将平面图形按照指定的角度在水平或垂直方向上进行拉伸。
错切变换可通过以下公式来实现：x' = x + shx * yy' = y + shy * x其中，(x, y)是原始点的坐标，(x’, y’)是错切后点的坐标，shx和shy分别是水平和垂直方向上的错切系数。
2022八年级数学上册第11章平面直角坐标系11.2图形在坐标系中的平移授课课件新版沪科版78
平面直角坐 标系
图形在坐标 系中的平移
2. 在平面直角坐标系中，把图形向左（右）平移，点的___纵_ 坐标不变；向上（下）平移，点的___横_坐标不变；所得图形与 原图形相比，__形__状__大__小不变.
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月22日星期二2022/3/222022/3/222022/3/22 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/222022/3/222022/3/223/22/2022 3、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。 2022/3/222022/3/22March 22, 2022
并写出点B′，C′的坐标； （2）试说明三角形ABC经过怎样的平移
得到三角形A′B′C′； （3）若三角形ABC内部一点P的坐标为（a，b），则点P的 对应点
P′的坐标是___________.
感悟新知
导引：根据一对对应点的坐标可确定平移的方向和平移的距
离， 图形边上的点和图形内部的点平移方式相同.
感悟新知
知1－练
3 已知点M(a－1，5)，现在将平面直角坐标系先向左 平移3个单位，再向下平移4个单位，此时点M的坐 标为(2，b－1)，则a＝________，b＝________．
感悟新知
知识点 2 图形在坐标系中的平移
知2－讲
思考
把平面直角坐标系中的一个图形，按下面的要求
平移，那么，图形上任一个点的坐标(x，y)是如何 变
(2)三角形A2B2C2与三角形ABC的大小、形状完全相同， 三角形A2B2C2可以看作是将三角形ABC向上平移4个单 位长度得到的．
初中数学中的图形变换
初中数学中的图形变换图形变换是指将原来的图形按照一定规律进行变换，得到新的图形。
在初中数学中，图形变换包括平移、旋转、对称。
一、平移平移是指在平面上将一个图形沿着一个方向移动一段距离，并保持方向与大小不变。
平移可以理解为图形在平面上的“平移”或“搬家”。
1. 平移的定义平移变换可以用矢量来表示。
设平移矢量为$\\vec{v}$，平移作用于点 $P$，则平移后的点 $P'$ 的坐标为 $P' = P + \\vec{v}$。
2. 平移的性质（1）平移前后图形形状不变；（2）所有点沿着相同方向移动相同距离；（3）平移不改变图形的大小、面积、周长和角度；（4）平移不改变图形的方向。
二、旋转旋转是指将一个图形按照既定的中心点绕一个旋转角度旋转。
旋转可以理解为图形在平面上的“转动”。
1. 旋转的定义设点 $O$ 为旋转中心，旋转角为 $\\theta$，点$P$ 绕 $O$ 逆时针旋转后的点为 $P'$，则点 $P$ 关于$O$ 旋转 $\\theta$ 度所得的点 $P'$ 的坐标为$$\\begin{cases}x' = (x - x_0)\\cos\\theta - (y -y_0)\\sin\\theta + x_0 \\\\y' = (x - x_0)\\sin\\theta + (y -y_0)\\cos\\theta + y_0\\end{cases}$$其中，$(x_0,y_0)$ 是旋转中心的坐标。
2. 旋转的性质（1）旋转前后图形形状不变；（2）旋转不改变图形的大小、面积、周长和角度；（3）旋转改变图形的方向；（4）旋转后图形对称轴仍然存在，但位置发生变化。
三、对称对称是指按照某个点、直线或者平面，将一个图形折叠后得到的两部分完全重合的变换。
对称可以理解为对图形进行“翻转”。
1. 点对称点对称是指以某个点为对称中心，把一个点及其对称点规定到另一点上的变换。
北师版初二数学平面直角坐标系
平面直角坐标系由坐标点、x轴、y轴、第一象限、第二象限、第三象限和第四 象限构成。
原点、坐标轴及象限
原点
在平面直角坐标系中，两坐标轴的交点叫做坐标原点。
坐标轴
x轴和y轴统称为坐标轴。
象限
为了说明质点的位置、运动的快慢、方向等，必须选取其坐标系中的一片区域，这个区域 叫做象限。象限按逆时针方向由0度至360度分为四个象限，分别称为第一象限、第二象 限、第三象限和第四象限。
03 函数与方程在坐标系中表 示方法
一次函数图像与性质
01
02
03
一次函数图像是一条直 线，其斜率表示函数的 增减性。
一次函数的标准形式为 y=kx+b，其中k为斜率， b为截距。
当k>0时，函数为增函 数；当k<0时，函数为 减函数。
04
一次函数的图像与x轴、 y轴的交点坐标可以通过 解方程求得。
理解图象与函数解析式之间的关系。
易错难点剖析指导
混淆坐标轴与坐标平面
学生需明确坐标轴与坐标平面的区别，坐标轴是两条相交 的直线，而坐标平面是由这两条直线及其上的所有点组成 的平面区域。
忽视点的对称性质的应用
学生需充分理解点关于坐标轴和原点的对称性质，并能够 灵活运用这些性质解决相关问题，如求对称点的坐标等。
方程组是由两个或两个以上的方程组 成的，其解为满足所有方程的未知数 的值。
通过观察图像可以判断方程组的解的 个数及位置关系。
在平面直角坐标系中，方程组的解即 为两条或多条曲线的交点坐标。
对于一些特殊的方程组，如线性方程 组，可以通过消元法或代入法求解。
04 坐标系中变换与对称性质
平移变换规律及实例分析
平移变换规律
l八年级上册数学第十一章知识点
l八年级上册数学第十一章知识点八年级上册数学第十一章知识点八年级上册数学第十一章主要讲述了平面直角坐标系、平面图形的性质以及对称性等内容，以下是本章的具体知识点。
一、平面直角坐标系平面直角坐标系是用两条数轴来确定平面上任一点的位置关系，称为点的坐标。
其中，横坐标表示在横轴上的距离，纵坐标表示在纵轴上的距离。
坐标轴上的交点被称为原点，坐标轴正方向由左往右、由下往上标出。
二、平面图形的性质1. 直线的性质：直线是由无数个点组成，图中的点有无数个，且在直线上。
除此之外，它是平面中最短的路径，两点都在这个路径上。
2. 角的性质：角是两个不同的线段之间的空间，其中两端点相交的点被称为角的顶点。
根据顶点不同，角可分为锐角、直角、钝角等。
3. 三角形的性质：三角形是由三个线段组成的图形，共有三个顶点和三个内角，角度之和为180度。
可分类为等边三角形、等腰三角形、直角三角形等。
4. 四边形的性质：四边形是由四个线段组成的图形，共有四个顶点和四个内角，角度之和为360度。
可分类为平行四边形、矩形、正方形等。
5. 圆的性质：圆是由所有围绕圆心等距离的点组成的图形。
圆心是圆上最中间的点，直径是连接圆上任意两点的线段的长度。
该图形特点是半径相等。
三、对称性对称性是指一个图形绕某一直线或点旋转、翻折或滑动后，它和原来的图形完全重合。
一般有以下两种类型：1. 线对称性：指线对称轴上的任意一个点与该图形对称轴另一侧的一个点相互对称，如镜子对称。
2. 点对称性：指点对称中心与图形上任意一点的交点与该图形对称中心的另一点相互对称，如旋转对称。
以上是本章的主要知识点，掌握这些知识点，将对接下来的学习有很大的帮助。
浙教版数学八年级上册4 第2课时 坐标平面内图形的平移课件
如图所示，各点的坐标分
别为A(－3，2)、C(－2，0)、
A1(3，4)、C1(4，2)；
(2) 求出以A、C、A1、C1为顶点的四边形的面积.
(2)连接AA1,CC1,
S = S + S 四边形ACC1A1
ΔAA1C1
ΔAC1C
S ΔAA1C1
1 27 2
7
S ΔAC1C
A
∴S四边形ACC1A1 = SΔAA1C1 + SΔAC1C =14. B
►为你理想的人，否则，爱的只是你在他身上找到的你的影子。 ►有时候，我们愿意原谅一个人，并不是我们真的愿意原谅他，而是我们 不愿意失去他。不想失去他，惟有假装原谅他。不管你爱过多少人，不管 你爱得多么痛苦或快乐。最后，你不是学会了怎样恋爱，而是学会了，怎 样去爱自己。
►在有欢声笑语的校园里，满地都是雪，像一块大地毯。房檐上挂满了冰 凌，一根儿一根儿像水晶一样，真美啊！我们一个一个小脚印踩在大地毯 上，像画上了美丽的图画，踩一步，吱吱声就出来了，原来是雪在告我们： 和你们一起玩儿我感到真开心，是你们把我们这一片寂静变得热闹起来。 对了，还有树。树上挂满了树挂，有的树枝被压弯了腰，真是忽如一夜春 风来，千树万树梨花开。真好看呀！ ►冬天，一层薄薄的白雪，像巨大的轻软的羊毛毯子，覆盖摘在这广漠的 荒原上，闪着寒冷的银光。
根据左图回答问题： 1.将点A(-2,-3)向右平移5个单位长度，
得到点A1( __3_ , _-_3_ );
2.将点A(-2,-3)向左平移 2个单位长度，得到点
A2(__-_4_ , __-_3__)；
3.将点A(-2,-3)向上平移4个单位长
度，得到点A3( -2 , 1 )；
4.将点A(-2,-3)向下平移2个单位长
初二数学平面直角坐标系解题思路
初二数学平面直角坐标系解题思路摘要：一、理解平面直角坐标系的概念二、掌握解题基本方法1.解析式的求解2.坐标与图形的关系3.几何图形的变换与计算三、实战演练1.解析题型分析2.解题步骤详解四、易错点与技巧1.坐标变换的注意事项2.解题过程中的常见错误3.提高解题效率的技巧正文：一、理解平面直角坐标系的概念平面直角坐标系是指由两条互相垂直的数轴组成的平面，通常用来表示点的位置、图形的移动和变换等。
在初中数学中，平面直角坐标系是基础内容，对于后续学习解析几何和数学应用题具有重要意义。
二、掌握解题基本方法1.解析式的求解解析式是描述平面直角坐标系中点或线移动规律的数学表达式。
求解解析式的方法主要有两种：一种是通过观察图形得出坐标之间的关系，另一种是利用代数方法建立坐标与变量之间的方程。
2.坐标与图形的关系掌握坐标与图形的关系是解决平面直角坐标系问题的关键。
坐标轴上的点坐标具有明显的几何意义，如横坐标表示点在横轴上的位置，纵坐标表示点在纵轴上的位置。
此外，还要熟悉坐标轴之间的角度和距离关系，如直角三角形中的30°角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等。
3.几何图形的变换与计算在平面直角坐标系中，图形的变换主要包括平移、旋转和缩放等。
平移是指图形在平面内沿着某个方向和距离移动，旋转是指图形围绕某个点旋转一定的角度，缩放是指图形按照某个比例因子进行缩放。
求解这些变换后的图形位置和大小，需要运用坐标变换的方法。
三、实战演练1.解析题型分析在实际解题中，初二数学平面直角坐标系的题目主要分为以下几类：（1）求解析式：根据图形特点，建立坐标与变量之间的方程。
（2）求坐标：根据题意，利用坐标轴上的角度、距离关系求解点坐标。
（3）图形变换：分析图形的平移、旋转和缩放规律，求变换后的图形位置和大小。
2.解题步骤详解以求解析式为例，解题步骤如下：（1）观察图形，发现点A、B的坐标关系。
（2）设解析式为y = kx + b，代入点A、B的坐标求解k和b。
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今天学了两块内容：
一、一个点关于X轴、Y 轴和原点的对称点。
二、一个点在坐标系中平 移变化。
八年级 数学
坐标变化
A(-3,3)向右平移5个单 位
2 3 （___,___）
横坐标
纵坐标
B(4,5) 向左平移5个单 位 -1 5 （___,___）
＋5
－5 不变 不变
不变 不变 ＋3
－3
向上平移3个单位 A(-3,3) -3 6 （____,____）
B(4,5) 向下平移3个单位 4 2 （____,____）
第六章
图形与坐标
坐标平面内的图形变换
八年级 数学
例1、 如图所示，点A的坐标为（2，3）试画出并 写出点A 关于X轴、y轴、原点的对称点的坐标。
Y
-2
.
2 4 3 2 1
2
关于X轴对称点(2，- 3） 关于Y轴对称点(-2，3）
-4 -3
.A
3
2 3 3 -3 2 4
3
-2 -1
-1
O 1
X
关于原点对称点
O（0，0）X（-1）=O`（0，0）
Y
4
A A
答：所得图形的大小形 状都没改变，只是位
。
3
B’（-4，0）
O(0,0) 2
1
置改变可以看作是中
心对称变换
八年级 数学
-4 -3 -2 -1 -1 0 -2 -3
O
B B
1 2 3 4
X
B(4,0)
A’(-2,-4)
。
-4
2、一个点平移时坐标变化的规律
纵坐标不变！
A（0，-2）
O（0，0） B（3，2）
关 于 Y 轴 对 称 点 Y
F’ F
5
A’（0，-2）
O’（0，0） B’（-3，2） C’（-2，2） D’（-2，3） E’（-1，3） F’（0，5）八年级 数学D’ B’E’ 4
3
E C
D B
2 3 4 X
C’ 2
1
-1-1 O 1 O’ O
八年级 数学
例2、如图（1）分别求出点A、A’，B、B’的坐标， 并比较A与A’，B与B’之间的坐标变化？
（2）从甲图到乙图可以看作是怎样的变换？
Y
8 乙 6
-8+（+5）=-3
-1+（+5）=4
A’ A’
-8 -6 甲 -4 -2
4
2 O -2 -4 -6
B’ B’
2 4
A A
B B
A（-8，-1） 先把甲图向右平 右移5个 上移5个 移5个单位，再 向上平移5个单 A’（-3，4） -3+（+5）=2 位，得到乙图。 6 -1+（+5）=4 X B（-3，-1）
八年级 数学
(-a，-b)
练习1、如图（1）求出图形中各转折点A、O、B、C、 D、E、F的坐 标，以及它们关于 y 轴对称点坐标A’、 O ’ 、B‘、C’、D‘、E’、F‘的坐标。
（2）在同一坐标系内描出点A’、B‘、C’、D‘、E’、F‘并 关于Y轴对称， 用线段将它们连接起来 就是横坐标相反，
C（2，2）
D（2，3） E（1，3）
-4 -3 -2
。 A’ -2 A
-3
F（0，5）
练习2 如图将△AOB的顶点的纵坐标、横坐 标分别乘以-1，得到的图形和原图形有什么变 A（2，4）X（-1）=A`（-2，-4） 化？作出所得的图形，这个变化可以看成是什 B（4，0）X （-1）=B`（-4，0） 么变换？ A(2,4)
( -2，- 3）
八年级 数学
-3
.
-2 -3 -4
-2
.
1、一个点关于x轴、 y轴和原点对称点的坐标 关于x轴对称时，横坐标不变，纵坐标变为相反数。 关于y轴对称时，纵坐标不变，横坐标变为相反数。
关于原点对称时，纵坐标、横坐标都变为相反数。
P1 (-a，b)
y轴
P
(a，b)
O
X轴
P3
P2 (a，-b)
八年级 数学
2、一个点平移时坐标变化的规律
坐标变化
左右平移时，向右平 移是横坐标是+，向 左平移是－，纵坐标 不变。
上下平移时，横坐 标不变，纵坐标向 上平移是+，向下 平移是－。
八年级 数学
横坐标
纵坐标
＋5
－5 不变 不变
不变 不变 ＋3
－3
练习3
已知点A的坐标为（－2，－3），分别求点
即变换以后的 点的坐标 横不变，纵+3
右移5个 上移5个
B’（2，4）
八年级 数学
Y 8 6 乙
A’ 根据点A到A’的平移， 然后用勾股定理，即 可算出平移了多少个 单位哦~
-8 -6
4 2
B’
2 4 6 X
。 -4 45
B
甲
-2
A
O -2 -4 -6
从图甲到图乙可以看作是经过一次平移变换得 到吗?请描述这个变换?
答：可以。把甲图沿着北偏东450的方向，平移 5 2 个单位得到。 八年级 数学
经下列平移变换后所得的像的坐标。
（1）向上平移3个单位 （-2， 0）
（2）向下平移3个单位 （-2， -6）
横不变，纵-3
（3）向左平移2个单位 （-4，-3）
横-2，纵不变
（4）向右平移4个单位 （2，-3）
横+4，纵不变
(5)先向右平移3个单位，再向下平移3个单位 （1, -6）
横+3，纵-3