复合泊松过程应用问题

课程名称：《随机过程》课程设计（论文）题目: 复合泊松过程应用问题学院：理学院专业：数学与应用数学班级：数学11-1班学生姓名： abc学生学号： abc 指导教师： abc2013 年 12 月 9 日目录任务书 (3)摘要 (4)第一章绪论 (5)第二章复合泊松过程的基本理论 (5)2.1 复合泊松过程的定义及物理意义 (5)2.2 复合泊松过程的实例 (5)2.3 与复合泊松过程有关的的命题 (6)2.4 复合泊松过程恒等式 (8)2.5复合泊松过程的可加性及证明 (8)第三章问题描述及分析计算 (10)3.1 以复合泊松过程为模型的问题 (10)3.2典型例题的具体分析 (10)第四章MATLAB程序及运行结果 (11)4.1 典型1,2的matlab程序 (11)4.2 问题小结 (13)第五章结论 (13)第六章参考文献 (13)评阅书 (14)课程设计任务书摘要泊松过程是由法国著名数学泊松（Poisson, Simeon-Denis）（1781—1840）证明的。

1943年 C.帕尔姆在电话业务问题的研究中运用了这一过程，后来Α.Я.辛钦于50年代在服务系统的研究中又进一步发展了它。

现在泊松过程在物理学、地质学、生物学、医学、天文学、金融、服务系统和可靠性理论等领域中都有广泛的应用。

非齐次泊松过程和复合泊松过程作为泊松过程推广的一种，其应用更是广泛，那么本文主要讲的是复合泊松过程的应用及其推广。

本文通过应用复合泊松过程的定义、基本理论，及其可加性的重要定理分析生活中的实际问题，并模拟复合泊松过程的模型，利用MATLAB软件进行求解，最后进行问题的分析，给出合理总结及误差分析。

在实际问题中，通过结合复合泊松过程的性质，定理和概率论，各种模型的分布等知识去更好的解决，提出实用性建议。

关键字：复合泊松过程 MATLAB软件概率论模型分布复合泊松过程应用问题第一章 绪论人们在考虑设备故障所需的维修费,自然灾害所造成的损失,股票市场的价格变动是都会碰到这样一类模型:事件的发生依从一个Poisson 过程,而每一次事件都还附带一个随机变量(例如费用,损失等).这时人们感兴趣的不仅仅是事件发生的次数,人们还要了解总费用或总损失.这也就是累计值过程,0,)()(1≥=∑=t Y t X t N k k 其中为独立同分布的随机变量.它们有分布函数,均值,方差,是参数为的Poisson 过程,就是复合Poisson 过程。

第二章 基本理论2.1 定义： 设()}{0,≥t t N 是强度为λ的泊松过程，}{Λ,2,1,=k Y k 是一列独立同分布随机变量，且与()}{0,≥t t N 独立，令,0,)()(1≥=∑=t Y t X t N k k则称}0),({≥t t X 为复合泊松过程。

物理意义：如()}{0,≥t t N 表示粒子流，)(t N 表示[t ,0]内到达的粒子数，i Y 表示第i 个粒子的能量，则)(t X 表示[t ,0]内到达粒子的总能量。

2.2 实例：例1,设)(t N 是在时间段],0(t 内来到某商店的顾客数, 设}0),({≥t t N 是泊松过程.若k Y 是第k 个顾客在商店所花的钱数,则},...,2,1,{=k Y k 是独立同分布随机变量序列,且与}0),({≥t t N 独立,记)(t X 是该商店在],0(t 时间段的营业额,则,0,)()(1≥=∑=t Y t X t N k k是一个复合泊松过程。

例2，假设发生火灾的累计次数为泊松过程}0),({≥t t N ，第k 次火灾后支付的赔偿金k Y ，则到时刻t 累计的赔偿金总数为,0,)()(1≥=∑=t Y t X t N k k 是一个复合泊松过程。

例3,假设在股票交易市场，股票交易次数)(t N 为强度为λ的泊松过程，记第k 次与第1-k 次交易前后股票价格的变化为k Y ，不妨假定它们是独立同分布的随机变量，且与}0),({≥t t N 独立，而,0,)()(1≥=∑=t Y t X t N k k代表时刻t 股票总价格变化，这是投资者计算盈亏决定投资意向的重要指标，}0),({≥t t X 是一个复合泊松过程。

例4，对保险公司的总要求。

假设某人寿保险公司的保险单持有者在时刻1τ，2τ，… 死亡，其中<<<210ττ… 。

他们的死亡是强度为λ的泊松型事件。

在时刻n τ死亡的保险金额为n Y ，这些钱在他死亡时由保险公司支付。

保险公司为了确定应当保持多少储备以便支付对它提出的赔偿要求，自然很想知道从0到t这段时间内将要支付的总金额)(t X ，可以表示为,0,)()(1≥=∑=t Y t X t N k k 因此}0),({≥t t X 是一个复合泊松过程。

2.3 与复合泊松过程有关的的命题：设∑==)(1)(t N k k Y t X ，0≥t 是复合泊松过程,则（1）}0),({≥t t X 是平稳独立增量过程；（2）)(t X 的特征函数()]}1)([ex p{)}]([ex p{)(-==t g t t iuX E u g y t x λ，其中)(u g Y 是随机变量1Y 的特征函数;（3） 若,)(21∞<Y E 则].[)]([],[)]([211Y tE t X D Y tE t X E λλ==。

证：（1）设m t t t πππ...010≤，则∑+=--=-)()1(1)()(k i k t N t N i i k k Y t X t X ,m k ,....2,1=,由条件 不 难验证)(t X 具有独立增量性。

)(t X 的平稳增量性，须证明对于任意t s ≤≤0，)()(s X t X -的特征函数 只与s t -有关。

（2）=)()(u g t X ][)(t iuX eE =})({])([)(0n t N P n t N e E t iuX n ==∑∞= =1)(])([10n t e n t N eE n t Y iu n n k k λλ-∞==∑=∑ =!)(][10n t e eE n t Y iu n n k k λλ-∞=∑=∑ =!)()]([0n t e u g n t n Y n λλ-∞=∑ =exp {]}.1)([-u g t Y λ因此，}0),({≥t t X 具有平稳增量性。

（3）利用特征函数与矩的关系得到，对上式0=u 处求导，有 ， }{)0()}({)(Y E t g t X E t X •==λN}{)}({2Y tE t X D λ=也可利用条件期望的性质})]()([{)]([t N t X E E t X E =，得到 ==])()([n t N t X E ==∑=])([)(1n t N Y E t N i i ==∑=])([1n t N Y E n i i),(][11Y nE Y E ni i ==∑=因此，})]()([{)]([t N t X E E t X E =1)]([EY t N E ==).(1Y tE λ类似地， ],[)()]()([1Y D t N t N t X D =)({)]([t N E t X D =D[1Y ]}+D{N(t)E[]}1Y =.)()()(21211Y tE EY t Y tD λλλ=+2.4 复合泊松过程恒等式：设∑==Nk k X Y 1是复合Poisson 随机变量，其中随机变量N 服从均值为λ的Poisson 分布，随机变量序列,2,1,{=k X k …}是独立同分布的,且与N 独立统计，设,2,1,{=k X k …}的分布函数为)(x F ，则对任意的有界函数)(x h 有：))(())((X Y Xh E Y Yh E +=λ其中随机变量X 与N 统计独立，它的分布函数也为)(x F 。

注：如果随机变量N 换为Poisson 过程)(t N ，则相应的恒等式中参数λ应为t λ。

同时，Poisson 恒等式给出了计算Y 的各阶统计量的一个迭代算法。

2.5 复合泊松过程的可加性及证明：设}0),({1≥t t S ,}0),({2≥t t S 是两个独立的复合泊松过程，其中∑==)(111)(t N i i X t S ,∑==)(122)(t N j j Y t S ,{0),(1≥t t N },{0),(2≥t t N }分别是参 数为1λ和2λ的泊松过程，则有{0),()()(21≥+=t t S t S t S }仍然是一复合泊松过程。

证明：由复合泊松过程的定义知，{0),()()(21≥+=t t S t S t S }是一列随机变量{k Z }的和构成的，而k Z 与某个i X 和某个j Y 相等，显然∑+==+=)()(12121)()()(t N t N k k Zt S t S t S ，又由命题知，{0),()()(21≥+=t t N t N t N }是一参数为21λλλ+=的泊松过程。

下证，{k Z ,1≥k }是一族独立同分布的随机变量，i X 与泊松过程{0),(1≥t t N }中发生的第i 个事件一一对应；j Y 与泊松过程{0),(2≥t t N }中发生的第j 个事件一一对应；而k Z 与{0),()()(21≥+=t t N t N t N }中发生的第k 个事件一一对应，且k Z =i X 或k Z =j Y ，即k Z ={}0),(,;0),(,21≥≥t t N Y t t N X j i 把泊松过程0),()()(21≥+=t t N t N t N 中的各个事件分为I 一型或Ⅱ一型，设I 一型事件=“发 生的事件与某个i X 相对应”，Ⅱ一型事件=“发生的事件与某个j Y 相对应”，则{0),(≥t t N }中I 一型事件发生的个数)(1t N =，Ⅱ一型事件发生的个数)(2t N =。

又因为{1,≥i X i }是一族独立同分布的随机变量，{1,≥j Y j }是一族独立同分布的随机变量，{1,≥i X i }与{1,≥j Y j }相互独立，所以，{k Z ，1≥k }是一族相互独立的随机变量；又由命题知，)(~)(1tp p t N λ，))((~)(2p i t p t N -λ，其中p =p (“I 一型事件发生”)，所以t tp 1λλ=，t p t 2)1(λλ=-，可得2211//λλλλλ+==p ，设i X 的分布函数为)(1x F ，j Y 的分布函数为)(2y F ，则k Z 的分布函数为： }{)(z Z p z F k ≥==}{相等与某个i k k X Z z Z p ≥+}{相等与某个j k j k Y Z Y Z P ≥=)/()(211λλλ+≥z Z p k +)/()(212λλλ+≥z Z p k=)/()()/()(21222111λλλλλλ+++z F z F由于，)(z F 中不含k ，所以{k Z ，1≥k }是一族同分布的随机变量，因此，{k Z ，1≥k }是一族独立同分布的随机变量，综上所述，0),()()(21≥+=t t S t S t S 是一复合泊松过程。