数学椭圆的综合应用 同步练习3人教版选修1-1(A文)
数学椭圆的定义 例题解析人教版选修1-1(A文)
椭圆的定义例题解析例1过椭圆4x2＋y2=1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A、B两点，则A、B与椭圆的另一个焦点F2构成△ABF2的周长是[ ]略解：∵|AF1|＋|AF2|=2，|BF1|＋|BF2|=2，∴|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|=4，即|AB|＋|AF2|＋|BF2|=4．∴选B．评注：此题明是求周长，实际上是用椭圆的定义．题中提现了转化的思想．例2M点为椭圆上一点，椭圆两焦点为F1，F2．且2a=10,2c=6,点I为△MF1F2解：如图，I为△MF1F2的内心，∴∠1=∠2，比较①、②，并应用等比定理，得评注：此题三步用到了椭圆的定义，内角平分线定理，等比定理．等比定理是桥梁把内角平分线分线段比与椭圆的第一定义联系起来．例3已知椭圆两焦点为F1，F2，M点为椭圆上一点(不在直线F1F2上)，∠F1MF2=θ，|F1F2|=2c，|MF1|＋|MF2|=2a．求△MF1F2的面积．解：由余弦定理，得(2c)2=|F1F2|2=|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1|·|MF2|cos∠F1MF2=(|MF1|＋|MF2|)2－2|MF1|·|MF2|(1＋cosθ)=(2a)2－2|MF1|·|MF2|(1＋cosθ)评注：例4已知方程2(k2－2)x2＋k2y2＋k2－k－6=0表示椭圆，求实数k的取值范围．解：按题意，得评注：解这种类型的题目，要注意椭圆的两种类型，同时要注意椭圆与圆的区别．例5解：设所求椭圆方程为Ax2＋By2=k，①评注：此题不知道椭圆的类型，因此采取这种“模糊”的设法，简化了计算．例6分析：解：设|PF1|=m，|PF2|=n，m＋n=20，即m2＋n2－mn=144．(1) ∴(m＋n)2－3mn=144．评注：在上述方法中运用了椭圆的定义和余弦定理，这是解决椭圆中三角形问题时常求|PF1|·|PF2|的最大值．解：∵a=10，∴|PF1|＋|PF2|=20．当且仅当|PF1|=|PF2|时“=”号成立，∴|PF1|·|PF2|的最大值为100．例7证在椭圆外，(1)∵P在椭圆内，(2)∵P评注：1．本题涉及的知识点是椭圆方程与坐标概念．2．这是常用的知识点，了解坐标概念和曲线方程概念即不难证明．例8时，求|AM|＋2|MF|的最小值，并求此时点M的坐标．解析：本题按常规思路，设M(x，y)，则又M在椭圆上，y可用x表示，这样|AM|＋2|MF|可表示为x的一元函数，再求此函数的最小值．虽说此法看上去可行，但实际操作起来十分困难，但我们可以由椭圆的第二定义，转化到点到直线的距离来求，如图．∴|AM|＋2|MF|=|AM|＋d由于点A在椭圆内，过A作AK⊥l，K为垂足，易证|AK|即为|AM|＋d的最小值，其值为8－(－2)=10例9[ ]A．椭圆 B．双曲线C．线段 D．抛物线略解：即点P(x，y)到定点F(1，1)的距离与到定直线l：x＋y＋2=0的距离的比值∴点P的轨迹是椭圆，故选A．评注：此题很妙：妙在利用椭圆的第二定义，定义不能直接运用，必须进行变形后，才知答案．若利用两边平方解会很麻烦的．例10离为[ ] A．8略解：如图|PF1|＋|PF2|=2a=10，∴|PF1|=2．∴|PF2|=10－|PF1|=10－2=8．选A．评注：此题是椭圆第一定义与第二定义的综合运用．例11如图椭圆中心为O，F是焦点，A为顶点，准线l交OA延长线于B，P、Q在椭圆上，且PD⊥l于D，QF⊥OA于F，则椭圆离心率为[ ] A．0 B．2C．2 D．5答案：D．评注：此题灵活利用离心率、深化对椭圆第二定义的理解．例12则有|PF1|=a＋ex，|PF2|=a－ex．证明：由椭圆第二定义，得评注：有的书中把上述结论叫做焦半径公式．按照人民教育出版社出版的教材要求这样做是不科学的，容易陷入单纯记忆公式，忽视椭圆第二定义的理解和应用．由于叙述的方便，后面我们还是采用焦半径的提法．但是要注重理解．实际上，上述结论是椭圆第二定义的延伸，抓住椭圆第二定义，及点与直线位置关系极易推导和记住，使用时，前面冠以“根据椭圆第二定义，得”即可应用．|PF1|=a＋ex，|PF2|=a－ex，例13分析：只要解方程组即可．此种方法，思路自然，但计算量较大，需要换一个角度，寻求新的解法．解：由椭圆第二定义，得评注：充分理解椭圆第二定义，可记忆有关结论．。
高中数学人教新课标A版选修1-1(文科)第二章2.1.2椭圆的简单几何性质同步练习A卷
高中数学人教新课标A版选修1-1（文科）第二章2.1.2椭圆的简单几何性质同步练习A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分） (2015高二上·宝安期末) 已知圆C1：x2+y2=b2与椭圆C2： =1，若在椭圆C2上存在一点P，使得由点P所作的圆C1的两条切线互相垂直，则椭圆C2的离心率的取值范围是（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二下·温州期中) 椭圆与双曲线有相同的焦点坐标，则（）A . 3B .C . 5D .3. （2分）如图,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,当时,其离心率为此类椭圆被称为“黄金椭圆”,类比“黄金椭圆”,可推算出”黄金双曲线”的离心率e等于（）A .B .C .D .4. （2分） (2018高二上·鹤岗期中) 已知 ,是椭圆的两个焦点，是上的一点，若且 ,则的离心率为（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高二上·太原期末) 已知椭圆 =1（0＜b＜2）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ，直线l过F2且与椭圆相交于不同的两点A，B，那么△ABF1的周长（）A . 是定值4B . 是定值8C . 不是定值，与直线l的倾斜角大小有关D . 不是定值，与b取值大小有关6. （2分） (2017高二上·河北期末) 设过抛物线y2=4x的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，若以AB为直径的圆过点P（﹣1，2），且与x轴交于M（m，0），N（n，0）两点，则mn=（）A . 3B . 2C . ﹣3D . ﹣27. （2分） (2018高二上·吉林期中) 若中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是（）A .B .C .D .8. （2分）若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则n=（）A .B .C .D .二、填空题 (共3题；共4分)9. （1分） (2017高二上·越秀期末) 已知F1、F2是椭圆 =1的焦点，点P在椭圆上，若∠F1PF2=，则△F1PF2的面积为________．10. （1分） (2016高二上·福田期中) 过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：（a＞b ＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．11. （2分）已知直线x﹣2y+2=0经过椭圆的一个顶点和一个焦点，那么这个椭圆的方程为________，离心率为________。
人教新课标版(A)高二选修1-1 2.1.1椭圆及其标准方程(一)同步练习题
人教新课标版（A ）高二选修1-1 2.1.1 椭圆及其标准方程（一）同步练习题【基础演练】题型一：椭圆的定义平面内与两个定点1F 、2F 距离的和等于常数（大于|F F |21）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，请根据以上知识解决以下1~4题。
1. 到两定点1F （-2，0）和2F （2，0）的距离之和为4的点M 的轨迹是A. 椭圆B. 线段C. 圆D. 以上都不对2. 椭圆125y 9x 22=+的焦点为1F 、2F ，AB 是椭圆过焦点1F 的弦，则△2ABF 的周长是A. 20B. 12C. 10D. 6 3. 椭圆1y 25x 22=+上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为A. 5B. 6C. 7D. 84. 命题甲：动点P 到两定点A 、B 的距离之和()为常数且a ,0a a 2|PB ||PA |>=+； 命题乙：P 点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分且必要条件D. 既不充分又不必要条件题型二：椭圆的标准方程椭圆的两种标准方程1b y a x 2222=+，1bx a y 2222=+中都有：（1）0b a >>；（2）222b a c -=或222c b a +=；（3）焦点坐标（c ±，0）或（0，c ±）；（4）2x 与2y 所对应的分母，哪个大，焦点就在哪个轴上，请用以上知识解决以下5~8题。
5. 椭圆116y 32x 22=+的焦距等于A. 312B. 8C. 6D. 46. 若方程1a y ax 222=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则a 的取值范围是A. 0a <B. 0a 1<<-C. 1a <D. 无法确定7. 椭圆0ab by ax 22=++（0b a <<）的焦点坐标是A. ()0,b a -±B. ()0,a b -±C. ()b a ,0-±D. ()a b ,0-±8. 椭圆112y 13x 22=+上一点到两个焦点的距离和为A. 26B. 24C.134D. 132题型三：椭圆的标准方程的应用 紧扣标准方程的两种方式，焦点位置取决于两个分母哪个大，特别注意看似非标准形式的标准形式，如11k y kx 222=--，这说明01k <-，另外注意c 2|PF ||PF |21>+的约束条件，请用以上知识解决以下9~10题。
数学椭圆的综合应用 同步练习3人教版选修1-1(A文)
椭圆的综合应用 同步练习一、 单选题(每道小题 4分 共 108分 )1.以圆的圆心为右焦点，坐标原点为中心，长轴长是短轴长的倍，那么该椭圆方程是 ．．．．x +y 4x +1=02[A +5y =1 B +y =1C +3y =1D +y =1222222-]51643843164842222x x x x2. 以直线在两坐标轴上的截距的绝对值为椭圆的长轴与短轴， 那么中心在原点，对称轴是坐标轴的椭圆方程是 [ ]A +y =1B +y =1C +y =1y +x =1D +y =1y +x =122222222．．．或．或x x x x 2222643616964366436169169 3.椭圆上的一点到左准线的距离为，则到右焦点的距离是 ．．．．x +y =1P P [ ]A B C D 8222595225892163 4.从椭圆长轴的一个端点看椭圆短轴所成的视角是，则该椭圆的离心率为 ．．．．π36326[ ]A B 33 C 3 D5.若椭圆的离心率为，左焦点到左顶点的距离为，则椭圆的长轴长是 ． ． ． ．121[ ]A 2 B 4 C D 2336.如果椭圆的长轴等于，焦点到相应准线的距离是，那么该椭圆的离心率等于 ．．．．652[ ]A B C D 23352515 7. 以焦点F 1、F 2为直径两端点的圆，恰好过短轴的两端点，则这椭圆的 离心率e 等于 [ ] A B C D ．．．．122232258. 椭圆一焦点坐标是(0，6)，中心在原点，两条准线间的距离为20，则椭 圆的方程是 [ ]A +x =1B +x =1C +x =1D +x =12222．．． ．y y y y 2222602412084100362199. 直线y=x+1被椭圆x +2y =4所截得线段中点的坐标是 [ ]A B C D ．，．，．，．，()()()()2312132323131323--- 10. 椭圆的一个顶点和一个焦点分别是直线与两坐标轴的交点， 则椭圆标准方程为 [ ]A +y =1y +x =1B +y =1 y +x =1C +y =1y +x =1D +y =1y +x =1222222222222．或．或．或．或x x x x 222240440440440364036403640364024 11.椭圆长轴在轴上，中心在原点，是焦点，点、为长轴的端点，是椭圆上一点，⊥，若││││，且，则椭圆方程为． ．． ．x F A B P PF FA PF =OB OA =a [ ]A 4x +y =a B x +4y =a C 2x +y =a D x +2y =a 22222222 2 2221212.若椭圆＞＞的长轴被圆与轴的两个交点三等分，则椭圆的离心率为 ．．．．x +y =1(a b 0)x +y =b x [ ]A 2B 3C 2D 22222a b 2223131213513. 设p 为椭圆焦点到相应准线的距离，a 、b 、c 依次表示椭圆的半长轴、 半短轴和半焦距，则它们之间的关系是 [ ]A p =aB p =bC p =bD p =a 2222．．．．c c a b14. 椭圆的短轴长、焦距、长轴长成等差数列，则此椭圆的离心率是[ ]A B C D ．．．．3345353215.已知短轴长为，离心率为的椭圆的两个焦点、，过的弦为，则△的周长等于 ． ．．．4523F F F AB ABF [ ]A 48 B 12+4 C 24 D 121212516. 椭圆的对称轴是坐标轴，过圆x 2+y 2与x 轴的公共点，离心率为 12，则该椭圆方程为[]A 3+y =1x +3=1B 4+y =1 x +3y 4=1C x +4y =1x +3y =1D x +3y =1 y +4x =12222222222222．或．或．或．或4433443222x y x17.以二次函数的图象与轴的交点为焦点，顶点为椭圆一个顶点，那么这个椭圆的方程是 ．．．．y =18x +2x [ ]A +y =1 B +y =1C +y =1D +y =122222x x x x 2222842044154201618.中心在原点，一个焦点为，，截直线所得弦的中点横坐标为的椭圆方程为．．．．()[]052321225751752512752251225275122222222y x A x y B x y C x y D x y =-+=+=+=+=19.椭圆上一点与椭圆两焦点、，已知，则△的面积的值是．．．．x y P F F F PF F PF A B C D 22121212492419048243230+=∠=︒[]20.椭圆，，的焦点坐标是．，．，．，．，x ty tt A t B t C t D t 222210402200220cos sin ()[](cos )(cos )(cos )(cos )+=∈±±±-±-π21.已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，一个顶点是，，那么该椭圆方程是 ．．．或．或22(05)[ ]A +2y =1 B +x =1C +2y =1y +x =1D +2x =1x +y =122222222x y x y 2222252550252525502525255025 22.椭圆与椭圆∶有相同的焦点，且的短轴与的长轴的长度相等，则的方程为 ．．．．C C 81+y =1C C C [ ]A +y 81=1 B +y =1C +y =1D +y =11221212222x x x x x 2222264982268147812098123.圆心在椭圆的长轴上，与椭圆的短轴相切，且与椭圆有唯一公共点的圆的方程是 ．．．或．或 x +y =1[ ]A x +y +5x =0 B x +y 5x =0C x +y +5x =0 x +y 5x =0D x +y 5x =0x +y 245x =022222222222222259--±±24. 过椭圆的焦点作长轴的垂线交椭圆于两点，若两点间的距离为10，且 短轴长和焦距长相等，则中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆方程是 [ ]A +y =1B +x 50=1C +y =1D +x =1x +y =122222．．．．或x y x y 22222151100100100501005010050 25.椭圆＞＞的一条弦过它的右焦点且垂直于轴，以线段为直径作圆，则点，与圆的位置关系是 x +y =1(a b 0)PQ x PQ C A(a 0)C [ ]22a b22A ．点A 在圆C 内B ．点A 在圆C 上C ．点A 在圆C 外D ．以上三种情况都可能26.椭圆内有两点，，，，为椭圆上的点，若要求最小，则这最小值是．．．．x y A B P PA PB A B C D 22251612230102910424522+=+--+()()[]27.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是．或．或且．．且x k y k x k A k k B k k k C k D k k 22223121432432343243212()()[]+++=<-><->≠--<<-<<≠-二、 填空题(每道小题 4分 共 16分 )1.椭圆上一点，到左、右焦点的距离之比为∶，则点到左准线的距离为 ；到右准线的距离为 ．x +y =113P 2210036P2.直线被椭圆截得的弦长为，则椭圆方程是．240410222x y x y k --=+=3.椭圆中心在原点，长轴和短轴之和为，离心率为，则椭圆标准方程为 ．36354. 若P(x ，y)是椭圆4x +y =4上的点，那么x+y 的最小值是___，最大值是___．三、 解答题( 10分 )设椭圆的中心为原点，它在X 轴上的一个焦点与短轴两端连线互相垂直， 且此焦点和长轴较近的端点距离是，求这椭圆方程．105-答案一、 单选题1. C2. D3. D4. A5. B6. A7. B8. A9. C 10. B 11. D 12. A 13. B 14. B 15. C 16. C 17. B 18. A 19. B 20. B 21. D 22. A 23. C 24. D 25. A 26. A 27. D 二、 填空题1.254754；2. 4x +y =93.x 2100641100641222+=+=y y x 或 4.-55；三、 解答题解：设椭圆方程为则顶点分别为，，，和，，，焦点，∵，∴①又∵②由①，②得，得方程x a y bA a A aB b B b F a b BF B F BF B F a a b FA a a b a b x y 2222112211222210000021051051051+=---⊥====--=-==+=()()(,)()()。
高中新人教A版数学选修1-1单元综合测试 椭圆双曲线 含答案
椭圆、双曲线综合能力测试时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．椭圆x 23＋y 22＝1的焦点坐标是( ) A ．(±5，0) B ．(0，±5)C ．(±1,0) D ．(0，±1)2．已知双曲线方程为x 220－y 25＝1，那么它的半焦距是( ) A ．5 B ．2.5C.152D.15 3．平面内两定点的距离为10，则到这两个定点的距离之差的绝对值为12的点的轨迹为( )A ．双曲线B ．线段C ．射线D ．不存在4．设P 是椭圆x 2169＋y 225＝1上一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，若|PF 1|等于4，则|PF 2|等于 ( )A ．22B ．21C ．20D ．135．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( ) A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 6．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( )A ．－14B ．－4C ．4 D.147．双曲线的虚轴长为4，离心率e ＝62，F 1、F 2分别为它的左、右焦点，若过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，且|AB |是|AF 2|与|BF 2|的等差中项，，则|AB |等于( )A ．82B ．42C ．22D ．88．已知动圆P 过定点A (－3,0)，并且与定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64内切，则动圆的圆心P 的轨迹是( )A ．线段B ．直线C ．圆D ．椭圆9．3<m <5是方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示的图形为双曲线的( ) A ．充分但非必要条件B ．必要但非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件10．已知椭圆的长轴长为20，短轴长为16，则椭圆上的点到椭圆中心距离的取值范围是( )A ．[6,10]B ．[6,8]C ．[8,10]D ．[16,20]11．双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y ＝－x ，则双曲线方程为( )A ．x 2－y 2＝96B ．y 2－x 2＝160C ．x 2－y 2＝80D ．y 2－x 2＝2412．(2010·辽宁文，9)设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( ) A.2B.3C.3＋12 D.5＋12二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上) 13．与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，并且经过点(－3,32)的双曲线方程为__________． 14．双曲线x 24－y 23＝1的焦点到渐近线的距离为______． 15．若椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率为e ＝22，则实数m 的值等于________．17．(本题满分12分)求下列双曲线的标准方程． (1)与椭圆x 216＋y 225＝1共焦点，且过点(－2，10)的双曲线； (2)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线．18．(本题满分12分)方程x 2sin α－y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围．[分析] 根据焦点在y 轴上的椭圆的标准方程的特点，先将条件方程化为标准式，得到关于α的关系式，再求α的取值范围．19．(本题满分12分)已知动圆M 与⊙O 1：x 2＋(y －1)2＝1和⊙O 2：x 2＋(y ＋1)2＝4都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．20．(本题满分12分)如图，点A 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴位于x 轴下方的端点，过A 作斜率为1的直线交椭圆于B 点，P 点在y 轴上，且BP ∥x 轴，AB →·AP →＝9.(1)若P 的坐标为(0,1)，求椭圆C 的方程；(2)若P 的坐标为(0，t )，求t 的取值范围．21．(本题满分12分)设F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，点P 在双曲线上，若PF 1→·PF 2→＝0，且|PF 1→|·|PF 2→|＝2ac ，其中c ＝a 2＋b 2，求双曲线的离心率．22．(本题满分14分)若椭圆的中心为原点，焦点在x 轴上，点P 是椭圆上的一点，P 在x 轴上的射影恰为椭圆的左焦点，P 与中心O 的连线平行于右顶点与上顶点的连线，且左焦点与左顶点的距离等于10－5，试求椭圆的离心率及其方程．1[答案] C[解析] ∵a 2＝3，b 2＝2，∴c 2＝1.又焦点在x 轴上，故选C.2[答案] A[解析] ∵a 2＝20，b 2＝5，∴c 2＝25，∴c ＝5.3[答案] D[解析] 设两定点为A 、B ，则平面内到两定点A 、B 的距离的差的绝对值小于或等于这两定点的距离．4[答案] A[解析] 由椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝26，因为|PF 1|＝4，所以|PF 2|＝22.5[答案] D[解析] 将x 24－y 212＝－1化为y 212－x 24＝1，易知双曲线的焦点在y 轴上，焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)，所以椭圆的a ＝4，c ＝23，因此b 2＝16－12＝4，所以椭圆方程为x 24＋y 216＝1.6[答案] A[解析] 双曲线mx 2＋y 2＝1的方程可化为：y 2－x 2－1m ＝1， ∴a 2＝1，b 2＝－1m，由2b ＝4a ， ∴2－1m ＝4，∴m ＝－14. 7[答案] A[解析] ∵c a ＝62，2b ＝4，∴a 2＝8，a ＝22， |AF 2|－|AF 1|＝2a ＝42，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝42，两式相加得|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝82，又∵|AF 2|＋|BF 2|＝2|AB |，|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |，∴|AB |＝8 2.8[答案] D[解析] 如下图，设动圆P 和定圆B 内切于M ，则动圆的圆心P 到两点，即定点A (－3,0)和定圆的圆心B (3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|P A |＋|PB |＝|PM |＋|PB |＝|BM |＝8.∴点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，故选D.9[答案] A[解析] 当3<m <5时，m －5<0，m 2－m －6>0，∴方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示双曲线． 若方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示双曲线，则 (m －5)(m 2－m －6)<0，∴m <－2或3<m <5，故选A.10[答案] C[解析] 由题意知a ＝10，b ＝8，设椭圆上的点M (x 0，y 0)，由椭圆的范围知，|x 0|≤a ＝10，|y 0|≤b ＝8，点M 到椭圆中心的距离d ＝x 20＋y 20，又因为x 20100＋y 2064＝1，所以y 20＝64⎝⎛⎭⎫1－x 20100＝64－1625x 20，则d ＝x 20＋64－1625x 20＝925x 20＋64，因为0≤x 20≤100，所以64≤925x 20＋64≤100，所以8≤d ≤10.故选C.11[答案] D[解析] ∵椭圆x 216＋y 264＝1的焦点(0，±43)为双曲线焦点，又它的一条渐近线为y ＝－x ， ∴双曲线方程为y 2－x 2＝24.12[答案] D[分析] 考查双曲线的渐近线方程及如何用a ，b ，c 三者关系转化出离心率[解析] 设F (－c,0) B (0，b )则K FB ＝b c与直线FB 垂直的渐近线方程为y ＝－b ax ∴b c ＝a b，即b 2＝ac 又b 2＝c 2－a 2，∴有c 2－a 2＝ac两边同除以a 2得e 2－e －1＝0∴e ＝1±52∵e ＞1，∴e ＝1＋52，选D. 13[答案] y 22－8x 29＝1 [解析] 设双曲线方程为：x 29－y 216＝λ(λ≠0) 又点(－3,32)在双曲线上，∴λ＝－18. 故双曲线方程为y 22－8x 29＝1. 14[答案] 3[解析] 双曲线x 24－y 23＝1的一条渐近线方程为：y ＝32x ，焦点F (7，0)到该渐近线的距离为：3×73＋4＝ 3. 15[答案] 10或52[解析] 若m <5，则e ＝22＝5－m 5，解得m ＝52；若m >5，则e ＝22＝m －5m ，解得m ＝10.16．F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2的值是________．16[答案] 2 3[解析] 由题意可知12×c ×32c ＝3，∴c ＝2， 故P (1，3)在椭圆x 2b 2＋4＋y 2b 2＝1上，即1b 2＋4＋3b2＝1，解得b 2＝2 3. 三、解答题(共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17[解析] (1)∵椭圆x 216＋y 225＝1的焦点为(0，±3)， ∴所求双曲线方程设为：y 2a 2－x 29－a 2＝1， 又点(－2，10)在双曲线上，∴10a 2－49－a 2＝1，解得a 2＝5或a 2＝18(舍去)． ∴所求双曲线方程为y 25－x 24＝1. (2)∵双曲线x 216－y 24＝1的焦点为(±25，0)， ∴设所求双曲线方程为：x 2a 2－y 220－a 2＝1， 又点(32，2)在双曲线上，∴18a 2－420－a2＝1，解得a 2＝12或30(舍去)， ∴所求双曲线方程为x 212－y 28＝1. 18[解析] ∵x 2sin α－y 2cos α＝1，∴x 21sin α＋y 2－1cos α＝1. 又∵此方程表示焦点在y 轴上的椭圆，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1sin α>0－1cos α>01sin α<－1cos α，即⎩⎨⎧sin α>00<－cos α<sin α，∴2k π＋π2<α<2k π＋34π(k ∈Z )． 故所求α的范围为⎝⎛⎭⎫2k π＋π2，2k π＋3π4(k ∈Z )． 19[解析] 设动圆圆心M 的坐标为(x ，y )，半径为r ，由题意得|MO 1|＝1＋r ，|MO 2|＝2＋r ，∴|MO 2|－|MO 1|＝2＋r －1－r ＝1<|O 1O 2|＝2，由双曲线定义知，动圆圆心M 的轨迹是以O 1、O 2为焦点，实轴长为1的双曲线的上支，双曲线方程为：4y 2－43x 2＝1.(y ≥34) 20[解析] (1)A (0，－b )，l 的方程为y ＋b ＝x ，P (0,1)，则B (1＋b,1)， AB →＝(1＋b,1＋b )，AP →＝(0，b ＋1)，又∵AB →·AP →＝9，∴(1＋b,1＋b )·(0，b ＋1)＝9，即(b ＋1)2＝9，∴b ＝2，∴点B (3,1)在椭圆上，∴9a 2＋14＝1，∴a 2＝12， 所求的椭圆方程为x 212＋y 24＝1. (2)P (0，t )，A (0，－b )，B (t ＋b ，t )，AB →＝(t ＋b ，t ＋b )，AP →＝(0，t ＋b )，AB →·AP →＝9，∴(t ＋b )2＝9，∴b ＝3－t ，B (3，t )，代入椭圆9a 2＋t 2(3－t )2＝1，∴a 2＝3(t －3)23－2t， ∵a 2>b 2，∴3(t －3)23－2t>(3－t )2，∴0<t <32. 21[解析] 由双曲线定义知，||PF 1|－|PF 2||＝2a ，∴|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，∴|PF 1|·|PF 2|＝2b 2，又|PF 1→|·|PF 2→|＝2ac ，∴2ac ＝2b 2，∴b 2＝c 2－a 2＝ac ，∴e 2－e －1＝0，∴e ＝1＋52， 即双曲线的离心率为1＋52. 22[解析] 令x ＝－c 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，得y 2＝b 2(1－c 2a 2)＝b 4a 2，∴y ＝±b 2a. 设P ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，而椭圆的右顶点A (a,0)，上顶点B (0，b )． ∵OP ∥AB ，∴k OP ＝k AB ，∴－b 2ac ＝－b a， ∴b ＝c ；而a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，∴a ＝2c ，∴e ＝c a ＝22. 又∵a －c ＝10－5，解得a ＝10，c ＝5，∴b ＝5，∴所求的椭圆方程为：x 210＋y 25＝1.。
最新精编高中人教A版选修1-1高中数学椭圆 同步检测题和答案
椭圆同步测试一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中有只有一项是符合题目要求的.） 1．椭圆63222=+y x 的焦距是（ ）A ．2B ．)23(2-C ．52D ．)23(2+2．F 1、F 2是定点，|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则点M 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．直线C ．线段D ．圆3．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是（ ） A ．14822=+x yB ．161022=+x yC ．18422=+x yD ．161022=+y x4．方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是 （ ）A ．),0(+∞B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1）5. 过椭圆12422=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点2F 构成2ABF ∆，那么2ABF ∆的周长是（ ） A. 22 B. 2 C.2 D. 16．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为（ ） A ．41B ．22 C ．42 D ．217. 已知k ＜4，则曲线14922=+y x 和14922=-+-k y k x 有（ ） A. 相同的准线 B. 相同的焦点 C. 相同的离心率 D. 相同的长轴 8．已知P 是椭圆13610022=+y x 上的一点，若P 到椭圆右准线的距离是217，则点P 到左焦点的距离是（ ） A ．516B ．566 C ．875 D ．877 9．若点P 在椭圆1222=+y x 上，1F 、2F 分别是椭圆的两焦点，且 9021=∠PF F ，则21PF F ∆的面积是（ ）A. 2B. 1C.23D. 2110．椭圆1449422=+y x 内有一点P （3，2）过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程为（ ）A ．01223=-+y xB ．01232=-+y xC ．014494=-+y xD ． 014449=-+y x 11．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ） A ．3B ．11C ．22D ．1012．在椭圆13422=+y x 内有一点P （1，－1），F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M ，使|MP|+2|MF|的值最小，则这一最小值是（ ）A ．25 B ．27C ．3D ．4二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.）13．椭圆2214x y m+=的离心率为12，则m = 。
人教A版选修1-1椭圆(3)试卷.docx
o xP A D F E y y2015—2016学年度安陆一中选修1-1椭圆（3）试卷1.椭圆22122:1,,43x y C A A P C PA +=的左、右顶点分别为点在上且直线斜率的取值范围是[]12,1,PA --那么直线斜率的取值范围是 ( ) A.1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B.3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.112⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D.314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2.椭圆的短半轴长为3，焦点到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆的离心率为 ( )A.513B.35C.45D.12133.如图，若D 为椭圆的右顶点，直线AD 、PD 交直线3=x 于,E F 两点，则EF 的最小值为 ．4.已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，两个焦点分别为F 1和F 2，椭圆G 上一点到F 1和F 2的距离之和为12.则椭圆G 的方程为________．5.求椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．12422=+y x6.求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)长轴长是短轴长的2倍，且经过点A (2,3)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3.7. P 为椭圆上一动点，为其两焦点，从的外角的平分线作垂线，垂足为M ，交F 2P 的延长线于N ，求M 的轨迹方程．8.设椭圆1122=++y m x 的两个焦点是)0)(0,(),0,(21>-c c F c F ，且椭圆上存在一点P ，使得直线PF 1与PF 2垂直，求实数m 的取值范围.9.已知点A B 、的坐标分别是(0,1)-、(0,1),直线AM BM 、相交于点M ,且它们的斜率之积为12-. (1)求点M 轨迹C 的方程; (2)若过点(0,2)D 的直线l 与(1)中的轨迹C 交于不同的两点E F 、,试求OEF ∆面积的取值范围(O 为坐标原点).。
人教A版高中数学选修1-1：2.1.2-1椭圆的简单几何性质 同步课时练习
2．1.2 椭圆的简单几何性质第一课时 椭圆的简单几何性质填一填1.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的简单几何性质(1)范围易知y 2b 2＝1－x 2a 2≥0，故x 2a ≤1，即－a ≤x ≤a ；同理－b ≤y ≤b .故椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 所围成的矩形框里． (2)对称性在方程中，以－y 代替y 或以－x 代替x 或以－y 代替y 、以－x 代替x ，方程都不改变，故椭圆关于x 轴、y 轴和原点都对称．原点为椭圆的对称中心，也称为椭圆的中心．(3)顶点椭圆与x 轴、y 轴分别有两个交点，这四个交点即为椭圆与它的对称轴的交点，叫做椭圆的顶点．其中x 轴上两个顶点的连线段称为椭圆的长轴，y 轴上两个顶点的连线段称为椭圆的短轴，长轴长为2a ，短轴长为2b .说明：依据椭圆的四个顶点，可以确定椭圆的具体位置． (4)离心率椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率．离心率能够刻画椭圆的扁平程度．椭圆的扁平程度由离心率的大小确定，与椭圆的焦点所在的坐标轴无关，e 越大椭圆越扁，e 越小椭圆越圆．2．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的几何性质比较标准 方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 图形范围－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b－b ≤x ≤b ，－a ≤y ≤a对称 性 对称轴：x 轴、y 轴；对称中心：原点焦点左焦点F 1 (－c,0)，右焦点F 2 (c,0)下焦点F 1 (0，－c )，上焦点F 2 (0，c )顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0)， B 1(0，－b )，B 2(0，b ) A 1(0，－a )，A 2(0，a )， B 1(－b,0)，B 2(b,0)轴 线段A 1A 2，B 1B 2分别是椭圆的长轴和短轴；长轴长|A 1A 2|＝2a ，短轴长|B 1B 2|＝2b ，长半轴长为a ，短半轴长为b离心 率e e ＝2c 2a ＝ca(0<e <1)判一判1.若点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 2＝1上，则实数m 的取值范围是[－1,1]．(×)解析：椭圆焦点在x 轴上，且a ＝3，所以－3≤m ≤3.故错误．2．已知点(3,2)在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上，则点(－3，－2)不在椭圆上．(×)解析：根据椭圆的对称性可知点(－3，－2)，(3，－2)，(－3,2)均在椭圆上，故错误． 3．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是10,6,0.8.(√)解析：将方程25x 2＋9y 2＝225化为椭圆的标准方程为x 232＋y 252＝1，所以a ＝5，b ＝3，c ＝4，所以e ＝c a ＝45＝0.8，长轴长2a ＝10，短轴长2b ＝6.4．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m ＝23.(×)解析：由题椭圆x 22＋y 2m ＝1焦点在x 轴上，且离心率为12，故e ＝2－m 2＝12⇒m ＝32，故错误．5．若点P (a,1)在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，则a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－233，233.(×)解析：因为点P 在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，所以a 22＋123>1，解得a >233或a <－233，故错误．6．已知椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是x 216＋y 27＝1.(×)解析：因为a ＝4，e ＝34，所以c ＝3.所以b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.所以椭圆的标准方程是x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1.故错误．想一想1.提示：一般的步骤(通常采用待定系数法)：①确定焦点位置；②设出相应椭圆的方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；③根据已知条件构造关于a ，b ，c 的关系式，利用方程(组)求出a ，b ，c .带入②即可．2．如何求解椭圆的离心率？ 提示：求解方法一般有两种：①易求a ，c ，代入e ＝c a 求解；易求b ，c ，由e ＝cb 2＋c 2求解；易求a ，b ，由e ＝a 2－b 2a 求解．②列出含a ，c 的齐次方程，列式时常用公式b ＝a 2－c 2代替式子中的b ，然后将等式两边同时除以a 的n 次方(一般除以a 或a 2)，从而利用e ＝ca转化为含e 的方程，解方程即可．但应注意0<e <1.思考感悟：练一练1．椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴的端点坐标是( ) A ．(－1,0)，(1,0) B ．(－6,0)，(6,0)C ．(－6，0)，(6，0)D ．(0，－6)，(0，6) 解析：因为椭圆的焦点在y 轴上，且a 2＝6，所以长轴的两个端点坐标为(0，－6)，(0，6)．故选D. 答案：D2．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m >0)，则此椭圆的离心率为( ) A.13 B.33 C.22 D.12解析：因为2x 2＋3y 2＝m (m >0)⇒x 2m 2＋y 2m 3＝1，所以c 2＝m 2－m 3＝m 6，故e 2＝13，解得e ＝33.故选B.答案：B3．椭圆以两坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________．解析：由题意知椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)答案：(0，±69)4．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为________．解析：由题意得|PF 2|＝|F 1F 2|，所以2⎝⎛⎭⎫32a －c ＝2c ，所以3a ＝4c ，所以e ＝34. 答案：34知识点一由椭圆方程研究简单几何性质 1.A ．|x |≤5，|y |≤3B ．|x |≤15，|y |≤13C ．|x |≤3，|y |≤5D ．|x |≤13，|y |≤15解析：椭圆方程可化为x 2125＋y 219＝1，所以a ＝13，b ＝15，又焦点在y 轴上，所以|x |≤15，|y |≤13.故选B.答案：B2．已知椭圆C 1：x 212＋y 24＝1，C 2：x 216＋y 28＝1，则( )A ．C 1与C 2顶点相同B ．C 1与C 2长轴长相等 C ．C 1与C 2短轴长相等D ．C 1与C 2焦距相等解析：由两个椭圆的标准方程，可知C 1的顶点坐标为(±23，0)，(0，±2)，长轴长为43，短轴长为4，焦距为42；C 2的顶点坐标为(±4,0)，(0，±22)，长轴长为8，短轴长为42，焦距为4 2.故选D.3.已知直线2x ＋y －2＝0经过椭圆x a 2＋y b2＝1(a >0，b >0)的上顶点与右焦点，则椭圆的方程为( )A.x 25＋y 24＝1B.x 24＋y 2＝1 C.x 29＋y 24＝1 D.x 26＋y 24＝1 解析：直线2x ＋y －2＝0与坐标轴的交点坐标为(1,0)，(0,2)， 由题意得c ＝1，b ＝2， 所以a ＝b 2＋c 2＝5，所以椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.答案：A4．已知椭圆中心在原点，一个焦点为(－3，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是( )A.x 24＋y 2＝1 B ．x 2＋y 24＝1 C.x 23＋y 2＝1 D ．x 2＋y 23＝1 解析：∵一个焦点为(－3，0)， ∴焦点在x 轴上且c ＝ 3.∵长轴长是短轴长的2倍，∴2a ＝2·2b ，即a ＝2b ， ∴(2b )2－b 2＝3.∴b 2＝1，a 2＝4，故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.答案：A5．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，两个焦点恰好将长轴三等分，则该椭圆的标准方程是________．解析：由2a ＝18，得a ＝9.又因为2c ＝183＝6，所以c ＝3.所以b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72.所以所求椭圆的标准方程为x 281＋y 272＝1.答案：x 281＋y 272＝1知识点三椭圆的离心率问题6.椭圆x 2A.32 B.34 C.22 D.23 解析：将椭圆方程x 2＋4y 2＝1化为标准方程得x 2＋y 214＝1，则a 2＝1，b 2＝14，c ＝a 2－b 2＝32，离心率e ＝c a ＝32. 答案：A7．如图所示，F 是椭圆的左焦点，P 是椭圆上一点，PF ⊥x 轴，OP ∥AB ，则椭圆的离心率为________．解析：方法一：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则k AB ＝－ba.又PF ⊥x 轴，∴P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，∴k OP ＝－b 2ac .∵OP ∥AB ，∴k AB ＝k OP ，即－b a ＝－b 2ac，∴b ＝c ，a 2＝2c 2，因此，a ＝2c ，∴e ＝22.方法二：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则P ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a .又OP ∥AB ，∴∠POF ＝∠BAO ， ∴Rt △OPF ∽Rt △ABO ，∴|PF ||BO |＝|OF ||AO |，即b 2a b ＝c a ， 即b a ＝c a ，∴b ＝c ，∴a ＝2c ，∴e ＝c a ＝22. 答案：228．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，若椭圆上存在一点P ，使得∠F 1PF 2＝π3，求椭圆离心率的取值范围． 解析：在△F 1PF 2中，∠F 1PF 2＝π3，由余弦定理，可得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos π3＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1||PF 2|，由于|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以4c 2＝4a 2－3|PF 1|·|PF 2|.结合基本不等式，可得4a 2－4c 2＝3|PF 1||PF 2|≤3⎝⎛⎭⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝3a 2(当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝a 时等号成立)，即a 2≤4c 2，可得e ≥12，又∵e <1，∴椭圆离心率的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，1.基础达标一、选择题1．椭圆x 24＋y 23＝1的离心率为( )A ．2 B. 3C.32D.12解析：由椭圆的方程x 24＋y 23＝1可得a ＝2，b ＝3⇒c ＝1，所以椭圆x 24＋y 23＝1的离心率为e ＝c a ＝12，故选D.答案：D2．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( ) A.x 22＋y 24＝1 B ．x 2＋y 26＝1 C.x 26＋y 2＝1 D.x 28＋y25＝1 解析：椭圆方程9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，可知焦点在y 轴上，焦点坐标为(0，±5)，故可设所求椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，则c ＝ 5.又2b ＝2，即b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝6，则所求椭圆的标准方程为x 2＋y 26＝1.答案：B3．已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，离心率是63，则椭圆C 的方程为( )A.x 23＋y 2＝1 B ．x 2＋y 23＝1 C.x 23＋y 22＝1 D.x 22＋y 23＝1 解析：由题可知，椭圆的焦点在x 轴上，可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．因为c a ＝63，c ＝2，所以a ＝3，b ＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.故选A.答案：A4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 解析：由题可知e ＝c a ＝33，又△AF 1B 的周长为43，所以4a ＝43，所以a ＝3，所以c ＝1.所以b 2＝a 2－c 2＝2.故C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选A. 答案：A5．点P 为椭圆x 25＋y 24＝1上一点，以点P 及焦点F 1、F 2为顶点的三角形的面积为1，则P点的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫±152，1B.⎝⎛⎭⎫152，±1C.⎝⎛⎭⎫152，1D.⎝⎛⎭⎫±152，±1 解析：设P (x 0，y 0)，∵a 2＝5，b 2＝4，∴c ＝1，∴S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y 0|＝|y 0|＝1，∴y 0＝±1，∵x 205＋y 204＝1，∴x 0＝±152.故选D. 答案：D6．如图所示，直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F 1和一个顶点B ，该椭圆的离心率为( )A.15B.25C.55D.255解析：由条件知：F 1(－2,0)，B (0,1)，所以b ＝1，c ＝2，所以a ＝22＋12＝5，所以e ＝c a ＝25＝255.故选D. 答案：D7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且满足AF ⊥BF ，设∠ABF ＝α，且α∈⎣⎡⎦⎤π12，π6，则该椭圆的离心率e 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－12，32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－12，63 C.⎣⎡⎦⎤3－1，63 D.⎣⎡⎦⎤3－1，32解析：如图，因为AF ⊥BF ，所以点F 在以AB 为直径的圆上，则|OA |＝|OB |＝|OF |＝c .根据图形的对称性知，|AF |＋|BF |＝2a .又因为∠ABF ＝α，所以|AF |＋|BF |＝|AB |·cos α＋|AB |·sin α＝2c (sin α＋cos α)＝2a ，因此e ＝c a ＝1sin α＋cos α＝12sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4.又因为α∈⎣⎡⎦⎤π12，π6，所以e ∈⎣⎡⎦⎤3－1，63，故选C. 答案：C 二、填空题8．比较椭圆①x 2＋9y 2＝36与②x 29＋y 25＝1的形状，则________更扁(填序号)．解析：x 2＋9y 2＝36化为标准方程得x 236＋y 24＝1，故离心率e 1＝426＝223；椭圆x 29＋y 25＝1的离心率e 2＝23.因为e 1>e 2，故①更扁．答案：①9．若椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率e ＝13，则k 的值为________．解析：由题意得c a ＝13⇒a 2＝9c 2⇒a 2b 2＝98，即k ＋89＝98或k ＋89＝89，解得k ＝0或k ＝178.答案：0或17810．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e ≤32.则长轴长的取值范围为________．解析：∵b ＝1，∴c 2＝a 2－1， 又c 2a 2＝a 2－1a 2＝1－1a 2≤34，∴1a 2≥14，∴a 2≤4， 又∵a 2－1>0，∴a 2>1，∴1<a ≤2，故长轴长为2<2a ≤4. 答案：(2,4]11．已知以坐标原点为中心的椭圆，一个焦点的坐标为F (2,0)，给出下列四个条件：①短半轴长为2；②长半轴长为22；③离心率为22；④一个顶点坐标为(2,0)．其中可求得椭圆方程为x 28＋y24＝1的条件有________(填序号)．解析：只需保证a ＝22，b ＝2，c ＝2即可，而椭圆的顶点坐标为(0，±2)，(±22，0)，故①②③可求得椭圆方程为x 28＋y 24＝1.答案：①②③12．与椭圆y 24＋x 23＝1有相同的离心率，且长轴长与x 28＋y 23＝1的长轴长相等的椭圆方程为________．解析：椭圆y 24＋x 23＝1的离心率为e ＝12，椭圆x 28＋y 23＝1的长轴长为4 2.所以⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，2a ＝42，解得a ＝22，c ＝2，故b 2＝a 2－c 2＝6.又因为所求椭圆焦点既可在x 轴上，也可在y 轴上，故方程为x 28＋y 26＝1或y 28＋x 26＝1.答案：x 28＋y 26＝1或y 28＋x26＝1三、解答题13．求椭圆9x 2＋y 2＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．解析：椭圆的标准方程为x 29＋y 281＝1，则a ＝9，b ＝3，c ＝a 2－b 2＝62，长轴长：2a ＝18；短轴长：2b ＝6；焦点坐标：(0,62)，(0，－62)；顶点坐标：(0,9)，(0，－9)，(3,0)，(－3,0)．离心率e ＝c a ＝223.14．如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程．解析：(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有|OA |＝|OF 2|，即b ＝c .所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22.(2)由题知A (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)， 其中，c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )． 由AF 2→＝2F 2B →⇔(c ，－b )＝2(x －c ，y )，解得x ＝3c 2，y ＝－b2，即B ⎝⎛⎭⎫3c 2，－b 2. 将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b2＝1，得94c 2a 2＋b 24b 2＝1，即9c 24a 2＋14＝1， 解得a 2＝3c 2.①又由AF 1→·AB →＝(－c ，－b )·⎝⎛⎭⎫3c 2，－3b 2＝32 ⇒b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1.② 由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2.所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1.能力提升15. (1)离心率e ＝34，椭圆上一点P 到两焦点距离的和是8；(2)椭圆过定点A ⎝⎛⎭⎫2，212、B ⎝⎛⎭⎫－3，74. 解析：(1)∵P 到两焦点的距离和为8，∴2a ＝8，a ＝4，又∵e ＝c a ＝34，c ＝3，b 2＝16－9＝7，∴椭圆方程为x 216＋y 27＝1或y 216＋x 27＝1. (2)设椭圆方程为x 2m ＋y 2n＝1(m ≠n ≠0)， ∵椭圆过点A ⎝⎛⎭⎫2，212、B ⎝⎛⎭⎫－3，74， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4m ＋214n ＝19m ＋4916n ＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝16n ＝7， ∴椭圆的方程为x 216＋y 27＝1. 16．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦点为F 1(－3，0)、F 2(3，0)，且该椭圆过点⎝⎛⎭⎫3，12. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若椭圆C 上的点M (x 0，y 0)满足MF 1⊥MF 2，求y 0的值．解析：(1)由题意得，(3)2a 2＋⎝⎛⎭⎫122b2＝1，且a 2－b 2＝3， 解得a 2＝4，b 2＝1，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)点M (x 0，y 0)满足MF 1⊥MF 2，则有MF 1→·MF 2→＝0且y 0≠0，即(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3＝0 ①，而点M (x 0，y 0)在椭圆C 上，则x 204＋y 20＝1 ②， 取立①②消去x 20，得y 20＝13≠0， 所以y 0＝±33.。
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椭圆的综合应用 同步练习一、 单选题(每道小题 4分 共 108分 )1.以圆的圆心为右焦点，坐标原点为中心，长轴长是短轴长的倍，那么该椭圆方程是 ．．．．x +y 4x +1=02[A +5y =1 B +y =1C +3y =1D +y =1222222-]51643843164842222x x x x2. 以直线在两坐标轴上的截距的绝对值为椭圆的长轴与短轴， 那么中心在原点，对称轴是坐标轴的椭圆方程是 [ ]A +y =1B +y =1C +y =1y +x =1D +y =1y +x =122222222．．．或．或x x x x 2222643616964366436169169 3.椭圆上的一点到左准线的距离为，则到右焦点的距离是 ．．．．x +y =1P P [ ]A B C D 8222595225892163 4.从椭圆长轴的一个端点看椭圆短轴所成的视角是，则该椭圆的离心率为 ．．．．π36326[ ]A B 33 C 3 D5.若椭圆的离心率为，左焦点到左顶点的距离为，则椭圆的长轴长是 ． ． ． ．121[ ]A 2 B 4 C D 2336.如果椭圆的长轴等于，焦点到相应准线的距离是，那么该椭圆的离心率等于 ．．．．652[ ]A B C D 23352515 7. 以焦点F 1、F 2为直径两端点的圆，恰好过短轴的两端点，则这椭圆的 离心率e 等于 [ ] A B C D ．．．．122232258. 椭圆一焦点坐标是(0，6)，中心在原点，两条准线间的距离为20，则椭 圆的方程是 [ ]A +x =1B +x =1C +x =1D +x =12222．．． ．y y y y 2222602412084100362199. 直线y=x+1被椭圆x +2y =4所截得线段中点的坐标是 [ ]A B C D ．，．，．，．，()()()()2312132323131323--- 10. 椭圆的一个顶点和一个焦点分别是直线与两坐标轴的交点， 则椭圆标准方程为 [ ]A +y =1y +x =1B +y =1 y +x =1C +y =1y +x =1D +y =1y +x =1222222222222．或．或．或．或x x x x 222240440440440364036403640364024 11.椭圆长轴在轴上，中心在原点，是焦点，点、为长轴的端点，是椭圆上一点，⊥，若││││，且，则椭圆方程为． ．． ．x F A B P PF FA PF =OB OA =a [ ]A 4x +y =a B x +4y =a C 2x +y =a D x +2y =a 22222222 2 2221212.若椭圆＞＞的长轴被圆与轴的两个交点三等分，则椭圆的离心率为 ．．．．x +y =1(a b 0)x +y =b x [ ]A 2B 3C 2D 22222a b 2223131213513. 设p 为椭圆焦点到相应准线的距离，a 、b 、c 依次表示椭圆的半长轴、 半短轴和半焦距，则它们之间的关系是 [ ]A p =aB p =bC p =bD p =a 2222．．．．c c a b14. 椭圆的短轴长、焦距、长轴长成等差数列，则此椭圆的离心率是[ ]A B C D ．．．．3345353215.已知短轴长为，离心率为的椭圆的两个焦点、，过的弦为，则△的周长等于 ． ．．．4523F F F AB ABF [ ]A 48 B 12+4 C 24 D 121212516. 椭圆的对称轴是坐标轴，过圆x 2+y 2与x 轴的公共点，离心率为 12，则该椭圆方程为[]A 3+y =1x +3=1B 4+y =1 x +3y 4=1C x +4y =1x +3y =1D x +3y =1 y +4x =12222222222222．或．或．或．或4433443222x y x17.以二次函数的图象与轴的交点为焦点，顶点为椭圆一个顶点，那么这个椭圆的方程是 ．．．．y =18x +2x [ ]A +y =1 B +y =1C +y =1D +y =122222x x x x 2222842044154201618.中心在原点，一个焦点为，，截直线所得弦的中点横坐标为的椭圆方程为．．．．()[]052321225751752512752251225275122222222y x A x y B x y C x y D x y =-+=+=+=+=19.椭圆上一点与椭圆两焦点、，已知，则△的面积的值是．．．．x y P F F F PF F PF A B C D 22121212492419048243230+=∠=︒[]20.椭圆，，的焦点坐标是．，．，．，．，x ty tt A t B t C t D t 222210402200220cos sin ()[](cos )(cos )(cos )(cos )+=∈±±±-±-π21.已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，一个顶点是，，那么该椭圆方程是 ．．．或．或22(05)[ ]A +2y =1 B +x =1C +2y =1y +x =1D +2x =1x +y =122222222x y x y 2222252550252525502525255025 22.椭圆与椭圆∶有相同的焦点，且的短轴与的长轴的长度相等，则的方程为 ．．．．C C 81+y =1C C C [ ]A +y 81=1 B +y =1C +y =1D +y =11221212222x x x x x 2222264982268147812098123.圆心在椭圆的长轴上，与椭圆的短轴相切，且与椭圆有唯一公共点的圆的方程是 ．．．或．或 x +y =1[ ]A x +y +5x =0 B x +y 5x =0C x +y +5x =0 x +y 5x =0D x +y 5x =0x +y 245x =022222222222222259--±±24. 过椭圆的焦点作长轴的垂线交椭圆于两点，若两点间的距离为10，且 短轴长和焦距长相等，则中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆方程是 [ ]A +y =1B +x 50=1C +y =1D +x =1x +y =122222．．．．或x y x y 22222151100100100501005010050 25.椭圆＞＞的一条弦过它的右焦点且垂直于轴，以线段为直径作圆，则点，与圆的位置关系是 x +y =1(a b 0)PQ x PQ C A(a 0)C [ ]22a b22A ．点A 在圆C 内B ．点A 在圆C 上C ．点A 在圆C 外D ．以上三种情况都可能26.椭圆内有两点，，，，为椭圆上的点，若要求最小，则这最小值是．．．．x y A B P PA PB A B C D 22251612230102910424522+=+--+()()[]27.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是．或．或且．．且x k y k x k A k k B k k k C k D k k 22223121432432343243212()()[]+++=<-><->≠--<<-<<≠-二、 填空题(每道小题 4分 共 16分 )1.椭圆上一点，到左、右焦点的距离之比为∶，则点到左准线的距离为 ；到右准线的距离为 ．x +y =113P 2210036P2.直线被椭圆截得的弦长为，则椭圆方程是．240410222x y x y k --=+=3.椭圆中心在原点，长轴和短轴之和为，离心率为，则椭圆标准方程为 ．36354. 若P(x ，y)是椭圆4x +y =4上的点，那么x+y 的最小值是___，最大值是___．三、 解答题( 10分 )设椭圆的中心为原点，它在X 轴上的一个焦点与短轴两端连线互相垂直， 且此焦点和长轴较近的端点距离是，求这椭圆方程．105-答案一、 单选题1. C2. D3. D4. A5. B6. A7. B8. A9. C 10. B 11. D 12. A 13. B 14. B 15. C 16. C 17. B 18. A 19. B 20. B 21. D 22. A 23. C 24. D 25. A 26. A 27. D 二、 填空题1.254754；2. 4x +y =93.x 2100641100641222+=+=y y x 或 4.-55；三、 解答题解：设椭圆方程为则顶点分别为，，，和，，，焦点，∵，∴①又∵②由①，②得，得方程x a y bA a A aB b B b F a b BF B F BF B F a a b FA a a b a b x y 2222112211222210000021051051051+=---⊥====--=-==+=()()(,)()()。