2018学年数学人教A版选修2-2优化练习：第三章 章末优化总结
2017-2018学年数学人教A版选修2-1优化课件：第三章 章末优化总结
所以，n1＝(2，－2,1)是平面ADC1的一个法向量． 取平面AA1B的一个法向量为n2＝(0,1,0)， 设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为θ.
由|cos θ|＝|nn11|··n|n22|＝
2 9×
1＝23，得sin
θ＝
5 3.
因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为
如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AB⊥AC，AB＝AC ＝2，A1A＝4，点D是BC的中点． (1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值； (2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．
[解析] (1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
A-xyz，
则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，
1.如图所示，已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA＝AD， M，N分别为AB，PC的中点．求证： (1)MN∥平面PAD； (2)平面PMC⊥平面PDC. 解析：如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分 别为x，y，z轴建立空间直角坐标系A-xyz. 设PA＝AD＝a，AB＝b.则有，
(1)P(0,0，a)，A(0,0,0)，D(0，a,0)，C(b，a,0)，B(b,0,0)． ∵M，N分别为AB，PC的中点， ∴Mb2，0，0，Nb2，a2，a2. ∴M→N＝0，a2，a2，A→P＝(0,0，a)，A→D＝(0，a,0)， ∴M→N＝12A→D＋12A→P. 又∵MN⊄平面PAD， ∴MN∥平面PAD.
(1)证明：M→N＝1－ 42， 42，－1， O→P＝0， 22，－2，O→D＝－ 22， 22，－2. 设平面OCD的法向量为n＝(x，y，z)，由n·O→P＝0，n·O→D＝0，
高中数学人教A版选修-优化练习第三章章末检测含解析
7＋i 3－4i 25
＝25－2525i＝1－i
∴ ＝1＋i.
z 答案：B
5．若复数 z＝(1＋i)(x＋i)(x∈R)为纯虚数，则|z|等于( )
1
A．2 C. 2
B. 5 D．1
解析：∵z＝x－1＋(x＋1)i 为纯虚数且 x∈R，
∴Error!得 x＝1，z＝2i，|z|＝2.
答案：A
6．已知复数 z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且 z1·z2 是实数，则实数 t 等于( )
A．A C．C
B．B D．D
解析：设 z＝a＋bi(a<0，b>0)
∴ ＝a－bi 对应点的坐标是(a，－b)，是第三象限点 B.
z 答案：B
4．i 是虚数单位，复数 z＝37＋＋4ii的共轭复数z＝(
)
A．1－i
B．1＋i
C.1275＋3215i
D．－177＋275i
解析：z＝ 7＋i ＝ 3＋4i
＝sin 30°＋i cos 30°＝12＋ 23i.
1 答案：2＋
3 2i
a
b
5
13．已知复数 z＝a＋bi(a，b∈R)且1－i＋1－2i＝3＋i，则复数 z＝________.
解析：∵a，b∈R
a
b
5
且1－i＋1－2i＝3＋i，
a 1＋i b 1＋2i 3－i 即 2 ＋ 5 ＝2，
∴5a＋5ai＋2b＋4bi＝15－5i，
∵z2＝a2－b2＋2abi 为纯虚数，∴Error!
∴a＝±b，即 z 在直线 y＝±x(x≠0)上．
答案：C
8．定义运算|a b cd
|＝ad－bc，则符合条件|1z
| －1
zi
2018学年数学人教A版选修2-2优化练习：第二章 章末优化总结
章末检测(二)时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．根据偶函数定义可推得“函数f (x )＝x 2在R 上是偶函数”的推理过程是( ) A ．归纳推理 B ．类比推理 C ．演绎推理D ．非以上答案解析：根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C. 答案：C2．下面四个推理不是合情推理的是( ) A ．由圆的性质类比推出球的有关性质B ．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C ．某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分D ．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的 解析：A 是类比推理，B 、D 是归纳推理，C 不是合情推理． 答案：C3．用三段论证明命题：“任何实数的平方大于0，因为a 是实数，所以a 2>0”，你认为这个推理( ) A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．推理形式错误D ．是正确的解析：这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于0”，小前提是“a 是实数”，结论是“a 2>0”．显然结论错误，原因是大前提错误．答案：A4．设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (6)>52，f (8)>3，f (10)>72，观察上述结果，可推测出一般结论为( )A ．f (2n )＝n ＋22B ．f (2n )>n ＋22C ．f (2n )≥n ＋22D ．f (n )>n2解析：观察所给不等式，不等式左边是f (2n )，右边是n ＋22，故选B.答案：B5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，…，可归纳猜想出S n 的表达式为( )A.2n n ＋1B.3n －1n ＋1C.2n ＋1n ＋2D.2n n ＋2解析：由a 1＝1，得a 1＋a 2＝22a 2，∴a 2＝13，S 2＝43；又1＋13＋a 3＝32a 3，∴a 3＝16，S 3＝32＝64；又1＋13＋16＋a 4＝16a 4，得a 4＝110，S 4＝85；……由S 1＝22＝2×11＋1，S 2＝43＝2×22＋1，S 3＝64＝2×33＋1，S 4＝85＝2×44＋1，…，可以猜想S n ＝2nn ＋1.答案：A6．如果两个数之和为正数，则这两个数( ) A ．一个是正数，一个是负数 B ．两个都是正数 C ．至少有一个是正数 D ．两个都是负数解析：这两个数中至少有一个数是正数，否则，若这两个数都不是正数，则它们的和一定是非正数，这与“两个数之和为正数”相矛盾．答案：C7．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋1n －1＝2⎝⎛⎭⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )A ．n ＝k ＋1时等式成立B ．n ＝k ＋2时等式成立C ．n ＝2k ＋2时等式成立D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立解析：因为假设n ＝k (k ≥2为偶数)，故下一个偶数为k ＋2，故选B. 答案：B8．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n 2(n 2＋1)3时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是( )A ．(k －1)2＋2k 2B ．(k ＋1)2＋k 2C ．(k ＋1)2D.13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1] 解析：当n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2…＋22＋12，当n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，∴从n ＝k 到n ＝k ＋1，左边应添加的式子为(k ＋1)2＋k 2. 答案：B9.如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( )A.5＋12B.5－12C.5－1D.5＋1解析：如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则F (－c,0)，B (0，b )，A (a,0)．∴FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )． 又∵FB →⊥AB →，∴FB →·AB →＝b 2－ac ＝0. ∴c 2－a 2－ac ＝0.∴e 2－e －1＝0.∴e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)，故应选A.答案：A10．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324的过程中，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式左边的变化情况为( )A ．增加12(k ＋1)B ．增加12k ＋1＋12(k ＋1)C ．增加1(k ＋1)＋(k ＋1)，减少1k ＋1D ．增加12(k ＋1)，减少1k ＋1解析：当n ＝k 时，不等式的左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k ，当n ＝k ＋1时，不等式的左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1(k ＋1)＋(k ＋1)，所以1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1(k ＋1)＋(k ＋1)－(1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k )＝1(k ＋1)＋(k ＋1)－1k ＋1，所以由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式的左边增加1(k ＋1)＋(k ＋1)，减少1k ＋1.答案：C11．将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列{a n }的第2 012项与5的差，即a 2 012－5＝( )A ．2 018×2 012B ．2 018×2 011C ．1 009×2 012D ．1 009×2 011解析：由已知的图形我们可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为：n ＝1时，a 1＝2＋3＝12×(2＋3)×2；n ＝2时，a 2＝2＋3＋4＝12×(2＋4)×3……由此我们可以推断：a n ＝2＋3＋…＋(n ＋2)＝12×[2＋(n ＋2)]×(n ＋1)∴a 2 012－5＝12×[2＋(2 012＋2)]×(2 012＋1)－5＝1 008×2 013－5＝1 009×2 011，故选D.答案：D12．语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种．若A 同学每科成绩不低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好．”现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，并且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的．问满足条件的最多有多少学生( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：假设A 、B 两个同学的数学成绩一样，由题意知他们语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有人比另一个人高，语文成绩高的同学比另一个同学“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾．因此，没有任意两个同学数学成绩是相同的．同理，没有任意两个同学语文成绩是相同的．因为语文、数学两学科成绩各有3种，因而同学数量最大为3.即 3位同学成绩分别为(优秀，不合格)、(合格，合格)、(不合格，优秀)时满足条件．答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)13．已知x ，y ∈R ，且x ＋y <2，则x ，y 中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________． 解析：“至多有一个大于1”包括“都不大于1和有且仅有一个大于1”，故其对立面为“x ，y 都大于1”． 答案：x ，y 都大于114．已知f (x )＝xex ，定义f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝[f 1(x )]′，…，f n ＋1(x )＝[f n (x )]′，n ∈N.经计算 f 1(x )＝1－x e x ，f 2(x )＝x －2e x ，f 3(x )＝3－xe x，…，照此规律，则f n (x )＝________. 解析：观察各个式子，发现分母都是e x ，分子依次是－(x －1)，(x －2)，－(x －3)，(x －4)，…，括号前是(－1)n ，括号里是x －n ， 故f n (x )＝(－1)n (x －n )e x .答案：(－1)n (x －n )e x15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．解析：由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时，类比到等比数列为依次每4项的积的商成等比数列．即T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列． 答案：T 8T 4 T 12T 816．在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O -LMN ，如果用S 1、S 2、S 3表示三个侧面面积，S 表示截面面积，那么类比得到的结论是________．解析：类比如下：正方形⇔正方体；截下直角三角形⇔截下三侧面两两垂直的三棱锥；直角三角形斜边平方⇔三棱锥底面面积的平方；直角三角形两直角边平方和⇔三棱锥三个侧面面积的平方和，结论S 2＝S 21＋S 22＋S 23.证明如下：如图，作OE ⊥平面LMN ，垂足为E ，连接LE 并延长交MN 于F ，连接NE ，ME ，OF .∵LO ⊥OM ，LO ⊥ON ，∴LO ⊥平面MON ， ∵MN ⊂平面MON ，∴LO ⊥MN ，∵OE ⊥MN ，∴MN ⊥平面OFL ，∴S △OMN ＝12MN ·OF ，S △MNE ＝12MN ·FE ，S △MNL ＝12MN ·LF ，OF 2＝FE ·FL ，∴S 2△OMN ＝(12MN ·OF )2＝ (12MN ·FE )·(12MN ·FL )＝S △MNE ·S △MNL ，同理S 2△OML ＝S △MLE ·S △MNL ，S 2△ONL ＝S △NLE ·S △MNL ，∴S 2△OMN ＋S 2△OML ＋S 2△ONL ＝(S △MNE ＋S △MLE ＋S △NLE )·S △MNL ＝S 2△MNL ，即S 21＋S 22＋S 23＝S 2.答案：S 2＝S 21＋S 22＋S 23三、解答题(本大题共6小题，共74分，必要的解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)设a ，b ∈(0，＋∞)，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 证明：要证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2成立， 即需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )成立． 又因a ＋b >0，故只需证a 2－ab ＋b 2>ab 成立， 即需证a 2－2ab ＋b 2>0成立， 即需证(a －b )2>0成立．而依题设a ≠b ，则(a －b )2>0显然成立． 由此命题得证．18．(本小题满分12分)用综合法或分析法证明： (1)如果a ，b >0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b 2；(2)已知m ＞0，a ，b ∈R ，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m .证明：(1)当a ，b >0时，有a ＋b 2≥ab ，∴lg a ＋b 2≥lg ab ，∴lg a ＋b 2≥12lg ab ＝lg a ＋lg b 2.(2) ∵m ＞0，∴1＋m ＞0.所以要证原不等式成立， 只需证(a ＋mb )2≤(1＋m )(a 2＋mb 2)， 即证m (a 2－2ab ＋b 2)≥0，即证(a －b )2≥0，而(a －b )2≥0显然成立，故原不等式得证． 19. (本小题满分12分)已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)．(1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根．证明：(1)任取x 1、x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，ax 2－x 1>1且ax 1>0， ∴ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0，又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0， ∴x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝(x 2－2)(x 1＋1)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)， 于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0，故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数． (2)设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0，则ax 0＝－x 0－2x 0＋1，且0<ax 0<1.∴0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2，与假设x 0<0矛盾．故方程f (x )＝0没有负数根．20．(本小题满分12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解析：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.21．(本小题满分13分) 设数列a 1，a 2，…，a n ，…中的每一项都不为0.证明{a n }为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N *，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝na 1a n ＋1.证明：先证必要性．设数列{a n }的公差为d .若d ＝0，则所述等式显然成立．若d ≠0，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 1a 1a 2＋a 3－a 2a 2a 3＋…＋a n ＋1－a n a n a n ＋1 ＝1d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 2＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a n ＋1＝a n ＋1－a 1da 1a n ＋1＝n a 1a n ＋1. 再证充分性． (直接证法)依题意有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝na 1a n ＋1，① 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＋1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2.② ②－①得1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2－n a 1a n ＋1，在上式两端同乘a 1a n ＋1a n ＋2，得a 1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2.③ 同理可得a 1＝na n －(n －1)a n ＋1(n ≥2)，④ ③－④得2na n ＋1＝n (a n ＋2＋a n )， 即a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，⑤又由①当n ＝2时，得等式1a 1a 2＋1a 2a 3＝2a 1a 3，两端同乘a 1a 2a 3，即得a 1＋a 3＝2a 2，知a 3－a 2＝a 2－a 1，故⑤对任意n ∈N *均成立．所以{a n }是等差数列．22．(本小题满分13分)(2014·高考北京卷)对于数对序列P ：(a 1，b 1)，(a 2，b 2)，…，(a n ，b n )，记T 1(P )＝a 1＋b 1，T k (P )＝b k ＋max{T k －1(P )，a 1＋a 2＋…＋a k }(2≤k ≤n )，其中max{T k －1(P )，a 1＋a 2＋…＋a k }表示T k －1(P )和a 1＋a 2＋…＋a k 两个数中最大的数．(1)对于数对序列P ：(2,5)，(4,1)，求T 1(P )，T 2(P )的值；(2)记m 为a ，b ，c ，d 四个数中最小的数，对于由两个数对(a ，b )，(c ，d )组成的数对序列P ：(a ，b )，(c ，d )和P ′：(c ，d )，(a ，b )，试分别对m ＝a 和m ＝d 两种情况比较T 2(P )和T 2 (P ′)的大小；(3)在由五个数对(11,8)，(5,2)，(16,11)，(11,11)，(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使T 5(P )最小，并写出T 5(P )的值．(只需写出结论)．解析：(1)T 1(P )＝2＋5＝7，T 2(P )＝1＋max{T 1(P )，2＋4}＝1＋max{7,6}＝8. (2)T 2(P )＝max{a ＋b ＋d ，a ＋c ＋d }， T 2(P ′)＝max{c ＋d ＋b ，c ＋a ＋b }．当m ＝a 时，T 2(P ′)＝max{c ＋d ＋b ，c ＋a ＋b }＝c ＋d ＋b .因为a ＋b ＋d ≤c ＋b ＋d ，且a ＋c ＋d ≤c ＋b ＋d ，所以T 2(P )≤T 2(P ′)．当m＝d时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋a＋b.因为a＋b＋d≤c＋a＋b，且a＋c＋d≤c＋a＋b，所以T2(P)≤T2(P′)．所以无论m＝a还是m＝d，T2(P)≤T2(P′)都成立．(3)数对序列P：(4,6)，(11,11)，(16,11)，(11,8)，(5,2)的T5(P)值最小，T1(P)＝10，T2(P)＝26，T3(P)＝42，T4(P)＝50，T5(P)＝52.赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321DAC1F B正方形ABCD中，∠EAF=45°∠1=12∠BAD推导说明：1.1在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠FAE＝45°，求证：EF＝BE+DF45°DBa+b-aa 45°A BE1.2在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF＝BE+DF，求证：∠FAE＝45°DBa +b-aa45°ABE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DEa +b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM .（1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．DE3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.DC变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．DAB CFEDCDC。
2018年数学同步优化指导选修2-2练习：2-3 数学归纳法 含解析 精品
第二章 2.31．用数学归纳法证明1＋122＋132＋…＋1(2n －1)2＜2－12n －1(n ≥2)(n ∈N *)时，第一步需要证明( )A ．1＜2－12－1B ．1＋122＜2－122－1C ．1＋122＋132＜2－122－1D ．1＋122＋132＋142＜2－122－1解析：第一步需验证第一个n 值应为n ＝2，此时不等式为：1＋122＋132＜2－122－1. 答案：C2．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1(n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( ) A.13n ＋2B ．13n ＋13n ＋1C .13n ＋1＋13n ＋2D ．13n ＋13n ＋1＋13n ＋2解析：要注意末项与首项，所以f (n ＋1)－f (n )＝13n ＋13n ＋1＋13n ＋2. 答案：D3．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，当第二步假设n ＝2k －1(k ∈N *)命题为真时，进而需证n ＝______时，命题亦真．解析：n 为正奇数，假设n ＝2k －1时命题成立后，需证明的应为n ＝2k ＋1时，命题也成立．答案：2k ＋14．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋ n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上的项为____________________．解析：当n ＝k 时左端为1＋2＋3＋…＋k ＋(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋k 2，则当n ＝k ＋1时，左端为1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，故增加的项为(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.答案：(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)25．用数学归纳法证明：1＋3＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，即1＋3＋…＋(2k－1)＝k2，那么，当n＝k＋1时，1＋3＋…＋(2k－1)＋[2(k＋1)－1]＝k2＋[2(k＋1)－1]＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2.这就是说，当n＝k＋1时等式成立．根据(1)和(2)，可知等式对任意正整数n都成立．。
2017-2018学年高中新课标数学人教A版选修2-2：第三章
解析：因为z2＝(cosθ－isinθ)2＝cos2θ－isin2θ，又z2＝－1，所以 再由选择项验证得θ＝ .
答案：B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知复数z＝1＋i，则 －z＝__________.
解析： －z＝ －1－i＝ × －1－i＝－2i.
C．－ － i D. － i
解析：z＝ ＝ ＝ ＝ ＝－ ＋ i.
答案：A
10．已知i为虚数单位，a为实数，复数z＝(a－2i)(1＋i)在复平面内对应的点为M，则“a＝1”是“点M在第四象限”的()
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：z＝(a－2i)(1＋i)＝(a＋2)＋(a－2)i，则点M的坐标为(a＋2，a－2)，当a＝1时，坐标为(3，－1)，即点M在第四象限，若点M在第四象限，而a＝1却不一定成立，故“a＝1”是“点M在第四象限”的充分而不必要条件．
18．(本小题满分12分)已知虚数z满足|z|＝1，z2＋2z＋ ＜0，求z.
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R且y≠0)，所以x2＋y2＝1，
则z2＋2z＋ ＝(x＋yi)2＋2(x＋yi)＋
＝(x2－y2＋3x)＋y(2x＋1)i.
因为z2＋2z＋ ＜0且y≠0，
所以 又x2＋y2＝1，
解得 故z＝－ ± i.
答案：C
5．复数 2的共轭复数是()
A．－3－4i B．－3＋4i
C．3－4i D．3＋4i
解析： 2＝ ＝ ＝－3＋4i，所以 2的共轭复数为－3－4i.
答案：A
6．已知下列命题：
①复数a＋bi不是实数；
2018年数学同步优化指导(人教版选修2-2)练习：综合质量评估+Word版含解析
综合质量评估(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设i 是虚数单位，复数i 3＋2i1＋i＝( ) A ．1 B ．－1 C ．iD ．－i解析：复数i 3＋2i1＋i ＝－i ＋2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝－i ＋i(1－i)＝1.故选A.答案：A2．曲线y ＝x 2上的点P 处的切线的倾斜角为π4，则点P 的坐标为 ( )A ．(0,0)B ．(2,4) C.⎝⎛⎭⎫14，116D ．⎝⎛⎭⎫12，14解析：因为y ＝x 2，所以y ′＝2x ，tan π4＝2x ，∴x ＝12，代入y ＝x 2，得y ＝14，因此点P的坐标为⎝⎛⎭⎫12，14，故选D.答案：D3．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A.94e 2 B ．2e 2 C ．e 2D ．e 22解析：∵f ′(x )＝e x ，∴曲线在点(2，e 2)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝e 2，切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即e 2x －y －e 2＝0，切线与x 轴和y 轴的交点坐标分别为A (1,0)，B (0，－e 2)，则切线与坐标轴围成的△OAB 的面积为12×1×e 2＝e 22. 答案：D4．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－1处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )解析：由题意知f ′(－1)＝0，当x ＜－1时f ′(x )＜0； 当x >－1时f ′(x )>0， ∴当x ＜－1时，x ·f ′(x )>0， 当－1＜x ＜0时，x ·f ′(x )＜0， 当x >0时，x ·f ′(x )>0. 答案：C5．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )，n ∈N ，则f 2 013(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x解析：f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ， f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ， f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ， f 5(x )＝(sin x )′＝cos x ＝f 1(x )， f 6(x )＝(cos x )′＝－sin x ＝f 2(x )， 故可猜测f n (x )以4为周期， 有f 4n ＋1(x )＝f 1(x )＝cos x ， f 4n ＋2(x )＝f 2(x )＝－sin x ， f 4n ＋3(x )＝f 3(x )＝－cos x ， f 4n ＋4(x )＝f 4(x )＝sin x ，所以f 2 013(x )＝f 503×4＋1(x )＝f 1(x )＝cos x ，故选C. 答案：C6．函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( ) A ．a ≤0 B ．a ＜1 C ．a ＜2D ．a ≤13解析：由题意可知f ′(x )＝3ax 2－1≤0在R 上恒成立，则a ≤0. 答案：A7.⎠⎛0π|cos x |d x 等于( ) A ．－2 B ．0 C ．2D ．1解析：∵|cos x |＝⎩⎨⎧cos x ，0≤x ≤π2，－cos x ，π2≤x ≤π，∴⎠⎛0π|cos x |＝⎠⎛0π2cos x d x ＋⎠⎜⎛π2 π(－cos x )d x ＝sin x ⎪⎪⎪π20＋(－sin x ) ⎪⎪⎪ππ2＝1＋1＝2.答案：C8．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n ＝k 时成立推导n ＝k ＋1时成立时，f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n －1增加的项数是( ) A ．1 B ．2k ＋1 C ．2k －1D ．2k解析：∵f (k )＝1＋12＋13＋……＋12k －1，又f (k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1.从f (k )到f (k ＋1)是增加了(2k ＋1－1)－2k ＋1＝2k 项．答案：D9．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且(x －1)f ′(x )>0，a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．b >a >cD ．c >b >a解析：因为(x －1)f ′(x )>0，所以当x >1，f ′(x )>0，即函数y ＝f (x )在(1，＋∞)上是增函数，又f (x )＝f (2－x )，所以a ＝f (0)＝f (2)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，所以c >a >b .答案：B10．若a ，b 在区间[0, 3]上取值，则函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋ax 在R 上有两个相异极值点的概率是( )A. 12 B ．33C.36D ．1－36解析：易得f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋a .函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋ax 在R 上有两个相异极值点的充要条件是a ≠0，且其导函数的判别式大于 0，即a ≠0，且4b 2－12a 2>0，又a ，b 在区间[0，3]上取值，则a >0，b >3a ， 点(a ，b )满足的区域如图中阴影部分所示， 其中正方形区域的面积为3，阴影部分的面积为32， 故所求的概率是36. 答案：C11．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c ，类比这个结论可知：四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球半径为R ，四面体S －ABC 的体积为V ，则R ＝( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 B ．2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D ．4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4解析：四面体中以内切球的球心为顶点，四面体的各个面为底面，可把四面体分割成四个高均为R 的三棱锥，从而有13S 1R ＋13S 2R ＋13S 3R ＋13S 4R ＝V .即(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ＝3V .∴R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.答案：C12．若函数f (x )＝－1b e ax (a ＞0，b ＞0)的图象在x ＝0处的切线与圆x 2＋y 2＝1相切，则a＋b 的最大值是( )A ． 4B ．2 2C ．2D ． 2解析：求导数，可得f ′(x )＝－ab e ax ，令x ＝0，则f ′(0)＝－ab .又f (0)＝－1b，则切线方程为y ＋1b ＝－ab x ，即ax ＋by ＋1＝0.∵切线与圆x 2＋y 2＝1相切，∴1a 2＋b2＝1，∴a 2＋b 2＝1， ∵a ＞0，b ＞0，∴2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2，∴a ＋b ≤ 2. ∴a ＋b 的最大值是2，故选D. 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上) 13．如果复数1，a ＋i,3＋a 2i(a ∈R )成等比数列，那么a 的值为______． 解析：由题意知，(a ＋i)2＝1×(3＋a 2i)， 即a 2－1＋2a i ＝3＋a 2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝3，2a ＝a 2，解得a ＝2. 答案：214．若a 1，a 2，a 3，a 4∈R ＋，有以下不等式成立： a 1＋a 22≥a 1a 2，a 1＋a 2＋a 33≥3a 1a 2a 3， a 1＋a 2＋a 3＋a 44≥4a 1a 2a 3a 4.由此推测成立的不等式是____________．(要注明成立的条件)答案：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n n≥n a 1a 2a 3…a n (a 1，a 2，a 3，…，a n ∈R ＋)15．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋27在x ＝1处有极大值，在x ＝3处有极小值，则a －b ＝________.解析：∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，则1,3是方程3x 2＋2ax ＋b ＝0的两根，∴1＋3＝－2a3，1×3＝b3，∴a ＝－6，b ＝9，∴a －b ＝－15.答案：－1516．已知f (x )＝(2x －x 2)e x ，给出以下几个结论：①f (x )>0的解集是{x |0＜x ＜2}；②f (－2)是极小值，f (2)是极大值；③f (x )没有最小值，也没有最大值；④f (x )有最大值，没有最小值．其中判断正确的是__________．(填序号)解析：f (x )>0，又e x >0，∴2x －x 2>0.∴0＜x ＜2，故①正确．由f (x )＝(2x －x 2)e x ，得f ′(x )＝(2－x 2)e x ，令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝ 2.∵当x ＜－2或x >2时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当－2＜x ＜2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．∴f (－2)是极小值，f (2)为极大值，故②正确．∵x ＜0时，f (x )＜0，x >2时，f (x )＜0且单调递减.∴f (2)为最大值，没有最小值，故③错，④正确．答案：①②④三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知复数z 满足：|z |＝1＋3i －z ，求(1＋i )2(3＋4i )22z 的值．解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，而|z |＝1＋3i －z ， 即a 2＋b 2－1－3i ＋a ＋b i ＝0，则⎩⎨⎧a 2＋b 2＋a －1＝0，b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝3，z ＝－4＋3i ，(1＋i )2(3＋4i )22z ＝2i (－7＋24i )2(－4＋3i ) ＝24＋7i 4－3i ＝3＋4i.18．(本小题满分12分) 已知sin 2 30°＋sin 2 90°＋sin 2 150°＝32，sin 2 5°＋sin 2 65°＋sin 2 125°＝32，通过观察上述两个等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出证明． 解：一般形式：sin 2 α＋sin 2(α＋60°)＋sin 2(α＋120°)＝32.证明如下：左边＝1－cos 2α2＋1－cos (2α＋120°)2＋1－cos (2α＋240°)2＝ 32－12[cos 2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)] ＝32－12(cos 2α＋cos 2αcos 120°－sin 2αsin 120°＋cos 2αcos 240°－sin 2αsin 240°) ＝32－12(cos 2α－12cos 2α－32sin 2α－12cos 2α＋32sin 2α) ＝32＝右边． (将一般形式写成sin 2(α－60° )＋sin 2 α＋sin 2(α＋60°)＝32等均正确)19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax (a >0)，设F (x )＝f (x )＋g (x )．(1)求函数F (x )的单调区间；(2)若以函数y ＝F (x )(x ∈(0,3])图象上任意一点P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的最小值．解：(1)F (x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋ax(x >0)，则F ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax2(x >0)，∵a >0，由F ′(x )>0，得x ∈(a ，＋∞)， ∴F (x )在(a ，＋∞)上单调递增； 由F ′(x )＜0，得x ∈(0，a )， ∴F (x )在(0，a )上单调递减．∴F (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞)． (2)由(1)知F ′(x )＝x －ax 2(0＜x ≤3)，则k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12(0＜x 0≤3)恒成立，即a ≥(－12x 20＋x 0)max，当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12， ∴a ≥12，∴a min ＝12.20．(本小题满分12分)(1)在△ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC 2.(2)在四面体A －BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由． (1)证明：如图所示，由射影定理AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ， AC 2＝BC ·DC ，∴1AD 2＝1BD ·DC ＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝ BC 2AB 2·AC 2，又BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2. ∴1AD 2＝1AB 2＋1AC 2. (2)解：猜想：类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC 猜想在四面体A －BCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD .则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2.如图，连接BE 并延长交CD 于F ，连接AF .∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ， ∴AB ⊥平面ACD .而AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF . 在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AF 2. 易知在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ， ∴1AF 2＝1AC 2＋1AD 2， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2，故猜想正确． 21．(本小题满分12分)(2017·高考全国卷Ⅰ)设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1≠x 2，y 1＝x 214，y 2＝x 224，x 1＋x 2＝4，于是直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝1.(2)由y ＝x 24，得y ′＝x2.设M (x 3，y 3)，由题设知x 32＝1，解得x 3＝2，于是M (2,1)．设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (2,2＋m )，|MN |＝|m ＋1|. 将y ＝x ＋m 代入y ＝x 24得x 2－4x －4m ＝0.当Δ＝16(m ＋1)＞0，即m ＞－1时，x 1,2＝2±2m ＋1. 从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝42(m ＋1).由题设知|AB |＝2|MN |，即42(m ＋1)＝2(m ＋1)，解得m ＝7.所以直线AB 的方程为y ＝x＋7.22．(本小题满分12分) (2017·高考全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝(1－x2)e x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≤ax＋1，求a的取值范围．解：(1)f′(x)＝(1－2x－x2)e x.令f′(x)＝0得x＝－1－2或x＝－1＋ 2.当x∈(－∞，－1－2)时，f′(x)＜0；当x∈(－1－2，－1＋2)时，f′(x)＞0；当x∈(－1＋2，＋∞)时，f′(x)＜0.所以f(x)在(－∞，－1－2)，(－1＋2，＋∞)单调递减，在(－1－2，－1＋2)单调递增．(2)f(x)＝(1＋x)(1－x)e x.当a≥1时，设函数h(x)＝(1－x)e x，则h′(x)＝－x e x＜0(x＞0)，因此h(x)在[0，＋∞)单调递减．而h(0)＝1，故h(x)≤1，所以f(x)＝(x＋1)h(x)≤x＋1≤ax ＋1.当0＜a＜1时，设函数g(x)＝e x－x－1，则g′(x)＝e x－1＞0(x＞0)，所以g(x)在[0，＋∞)单调递增．而g(0)＝0，故g(x)≥0，所以e x≥x＋1.当0＜x＜1时，f(x)＞(1－x)(1＋x)2，(1－x)(1＋x)2－ax－1＝x(1－a－x－x2)，取x0＝5－4a－12，则x0∈(0,1)，(1－x0)(1＋x0)2－ax－1＝0，故f(x0)＞ax0＋1.当a≤0时，取x0＝5－12，则x0∈(0,1)，f(x0)＞(1－x0)(1＋x0)2＝1≥ax＋1.综上，a的取值范围是[1，＋∞)．。
高中数学人教A版选修2-3优化练习第三章章末检测含解析
章末检测时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的是()A．相关关系是一种不确定的关系，回归分析是对相关关系的分析，因此没有实际意义B．独立性检验对分类变量关系的研究没有100%的把握，所以独立性检验研究的结果在实际中也没有多大的实际意义C．相关关系可以对变量的发展趋势进行预报，这种预报可能会是错误的D．独立性检验如果得出的结论有99%的可信度，就意味着这个结论一定是正确的解析：相关关系虽然是一种不确定关系，但是回归分析可以在某种程度上对变量的发展趋势进行预报，这种预报在尽量减小误差的条件下可以对生产与生活起到一定的指导作用，独立性检验对分类变量的检验也是不确定的，但是其结果也有一定的实际意义．故选C.答案：C2．对变量x，y有观测数据(x i，y i)(i＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v有观测数据(u i，v i)(i＝1,2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断()A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关解析：图(1)中随x增大y减小，图(2)中随u增大v增大．答案：C3．如图是调查某地区男、女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图可以看出()A．性别与喜欢理科无关B ．女生中喜欢理科的比例约为80%C ．男生比女生喜欢理科的可能性大些D ．男生中不喜欢理科的比例约为60%解析：由图可知，女生中喜欢理科的比例约为20%，男生中喜欢理科的比例约为60%，因此男生比女生喜欢理科的可能性大些． 答案： C4．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到列联表：由K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )算得K 2的观测值k ＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.8.附表：A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 解析：因为k ≈7.8>6.635，所以相关的概率大于1－0.010＝0.99，所以选A. 答案：A5．下表给出5组数据(x ，y )，为选出4组数据使其线性相关程度最大，且保留第1组数据(－5，－3)，则应去掉( )A.第2组 C ．第3组D ．第5组解析：通过散点图选择，画出散点图如图．应除去第3组，对应点是(－3,4)．故选C.答案：C6．对于一组具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归方程中的截距为( ) A ．a ＝y ＋b ^x B ．a ＝y ＋b ^x C ．a ＝y －b ^xD ．a ＝y －b ^x解析：由回归直线方程恒过(x －，y －)定点． 答案：D7．假设有两个分类变量X 和Y ，它们的可能取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其2×2列联表如下：( ) A ．a ＝9，b ＝8，c ＝7，d ＝6 B ．a ＝9，b ＝7，c ＝6，d ＝8 C ．a ＝8，b ＝6，c ＝9，d ＝7 D ．a ＝6，b ＝7，c ＝8，d ＝9解析：对于同一样本|ad －bc |越小，K 2越小，说明X 与Y 之间的关系越弱，|ad －bc |越大，K 2越大，说明X 与Y 之间的关系越强． 答案：B8．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下面一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )A.y ＝2x －2 B ．y ＝12(x 2－1)C ．y ＝log 2 xD ．y ＝(12)x解析：把x 的值分别代入A 、B 、C 中的函数，得函数值与真实值比较易知B 中的函数最接近． 答案：B9．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( ) 表1表2表3表4A ．成绩B ．视力C ．智商D ．阅读量解析：根据K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，代入题中数据计算得D 选项K 2最大．故选D.答案：D10．某调查机构调查教师工作压力大小的情况，部分数据如表：( ) A ．0.01 B ．0.05 C ．0.10D ．0.005解析：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(a ＋c )(c ＋d )(d ＋b )＝100×(53×1－12×34)287×13×65×35≈4.9＞3.841，因此，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为工作压力大与不喜欢教师职业有关系． 答案：B11．如表及图是某同学记载的5月1日至5月12日每天某市某种传染病患者治愈者数据及根据这些数据绘制出的散点图.下列说法中，正确的有( )①根据此散点图可以判断日期与人数具有线性相关关系； ②根据此散点图可以判断日期与人数具有一次函数关系；③根据此散点图可以判断日期与人数具有非线性相关关系． A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：只有①正确．故选B. 答案：B12．对具有线性相关关系的变量x ， y ，有一组观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，8)，其回归直线方程为y ^＝13x ＋a ，且x 1＋x 2＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋…＋y 8)＝6，则实数a 等于( )A.116B.18C.14D.12 解析：由x 1＋x 2＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋…＋y 8)＝6，得x ＝34，y ＝38.由于回归直线方程y ^＝13x ＋a 过样本点(x ，y )，则y ＝13x ＋a ，解得a ＝18.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)13．对于线性回归方程y ^＝a ^＋b ^x ，当x ＝3时，对应的y 的估计值是17，当x ＝8时，对应的y 的估计值是22，那么，该回归直线方程是________，根据回归直线方程判断当x ＝________时，y 的估计值是38.解析：首先把两组值代入回归直线方程得⎩⎪⎨⎪⎧ 3b ^＋a ^＝17，8b ^＋a ^＝22⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝1，a ^＝14.所以回归直线方程是y ^＝x ＋14.令x ＋14＝38，可得x ＝24.即当x ＝24时，y 的估计值是38. 答案：y ^＝x ＋14 2414．对有关数据的分析可知，每立方米混凝土的水泥用量x (单位：kg)与28天后混凝土的抗压度y (单位：kg/cm 2)之间具有线性相关关系，其线性回归方程为y ^＝0.30x ＋9.99.根据建设项目的需要，28天后混凝土的抗压度不得低于89.7 kg/cm 2，每立方米混凝土的水泥用量最少应为________kg.解析：∵y ^≥89.7，∴0.30x ＋9.99≥89.7， ∴x ≥265.7，故水泥用量最少应为265.7 kg. 答案：265.715．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A ，B 两个变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如表：则这四位同学中， 解析：由题表可知，丁同学的相关系数最大且残差平方和最小，故丁同学的试验结果体现A ，B 两变量有更强的线性相关性． 答案：丁16. 下列说法正确的有________(填写你认为正确的序号)．①线性回归方法就是利用样本点去寻找一条贴近这些样本点的直线的数学方法； ②利用样本的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可用线性关系表示；③通过线性回归方程y ^＝b ^＋a ^x 及回归系数b ^，可以估计和预测变量的取值及变化规律． 解析：样本的散点图可以直观判断两个变量是否线性相关，只有线性相关才能用线性回归的方法找到回归直线，并预测变量的取值及变化规律，故正确的答案是①②③. 答案：①②③三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)x 与y 有五组数据，试分析x 与y 解析：作出散点图，如图所示：由散点图可以看出，x 与y 不具有线性相关关系．18．(12分)有两个分类变量x 与y ，其一组观测值如下面的2×2列联表所示：其中a,15－a 均为大于50.1的前提下认为x 与y 之间有关系？解析：查表可知，要使在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为x 与y 之间有关系，则k ≥2.706，而k ＝65×[a (30＋a )－(20－a )(15－a )]220×45×15×50＝65×(65a －300)220×45×15×50＝13×(13a －60)260×90. 由k ≥2.706得a ≥7.19或a ≤2.04.又a >5且15－a >5，a ∈Z ，解得a ＝8或9，故a 为8或9时，在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为x 与y 之间有关系．19．(12分)随机询问某大学40名不同性别的大学生在购买食物时是否读营养说明，得到性别与读营养说明的列联表营养说明之间有关系？注：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量．解析：由表中数据，得k ＝40×(16×12－8×4)224×16×20×20≈6.67>6.635.因此，能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为性别与读营养说明有关． 20．(12分)在研究一种新药对小白鼠得病的防治效果时，得到如表数据.解析：由公式得K 2的观测值 k ＝339×(43×121－162×13)2205×134×56×283≈7.469.由于7.469>6.635，所以我们有99%的把握认为这种新药对小白鼠得病的防治效果是有效的． 21．(13分)以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y 和房屋的面积x 的数据：(1)(2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线； (3)据(2)的结果估计当房屋面积为150 m 2时的销售价格．解析：(1)数据对应的散点图如图所示．(2)x ＝1551i =∑x i ＝109，l xx ＝51i =∑(x i －x )2＝1 570，y ＝23.2，l xy ＝51i =∑(x i －x )(y i －y )＝308.设所求回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则b ^＝l xy l xx ＝3081 570≈0.196 2，a ^＝y －b ^x ≈1.814 2.故所求回归直线方程为y ^＝0.196 2x ＋1.814 2. (3)据(2)，当x ＝150 m 2时，销售价格的估计值为 y ^＝0.196 2×150＋1.814 2＝31.244 2(万元)．22．(13分)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如表数据：(1)求回归直线方程y ＝bx ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本) 解析：(1)由于x －＝16(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6)＝8.5，y －＝16(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6)＝80.所以a ＝y －－b x －＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ^＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得 L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250) ＝－20x 2＋330x －1 000 ＝－20(x －334)2＋361.25.当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．。
( 人教A版)2017-2018学年高中数学选修2-3：第三章统计案例章末优化总结课件 (共21张PPT)
(2)依题意有 P＝(－3x＋161.5)(x－30) ＝－3x2＋251.5x－4 845 ＝－3x－2561.52＋25112.52－4 845. ∴当 x＝2561.5≈42 时，P 有最大值，约为 426. 即预测当销售单价为 42 元时，才能获得最大日销售利润．
2．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的 生产能耗 y(吨标准煤)的几组对照数据.
解析：(1)2×2 列联表：
合格品数 次品数 总计
甲在生产现场
982
8 990甲不在生产现场 4 Nhomakorabea317 510
总计
1 475
25 1 500
由列联表可得|ad－bc|＝|982×17－493×8|＝12 750，相差较大，可在某种程度上认为
“质量监督员甲是否在生产现场与产品质量有关系”．
(2)相应的等高条形图如图所示．
章末优化总结
网络 体系构建 专题 归纳整合
章末检测
专题一 回归分析 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤是 先画出两个变量的散点图，然后利用常见的函数模型去拟合样本点，拟合的效果如何 借助于相关指数去分析(或利用残差图去分析)．
[典例 1] 一台机器使用时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机 械零件有一些会有缺陷，每小时生产有缺陷零件的多少随机器运转的速度而变化，如 表为抽样试验结果：
[典例 2] 在对人们休闲方式的一次调查中，共调查了 56 人，其中女性 28 人，男性 28 人．女性中有 16 人主要的休闲方式是看电视，另外 12 人是运动；男性中有 8 人 主要的休闲方式是看电视，另外 20 人是运动． (1)根据以上数据建立一个 2×2 列联表； (2)能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为性别与休闲方式的选择有关系？
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章末检测(三)时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( ) A.34 B.43 C ．－43D ．－34解析：z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i)＝(3t ＋4)＋(4t －3)i.因为z 1·z 2是实数，所以4t －3＝0，所以t ＝34.因此选A.答案：A2．已知f (x )＝x 2，i 是虚数单位，则在复平面中复数f (1＋i )3＋i 对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因为函数f (x )＝x 2，所以f (1＋i)＝(1＋i)2，化简得f (1＋i)＝2i ， 所以f (1＋i )3＋i ＝2i 3＋i ＝2i (3－i )(3＋i )(3－i )＝2＋6i 10＝1＋3i 5＝15＋35i.根据复数的几何意义知，f (1＋i )3＋i所对应的点的坐标为(15，35)，所以其对应的点在第一象限．故应选A.答案：A3．(2014·高考辽宁卷)设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝( ) A ．2＋3i B ．2－3i C ．3＋2iD ．3－2i解析：由(z －2i)(2－i)＝5得z ＝52－i ＋2i ＝5(2＋i )(2－i )(2＋i )＋2i ＝5(2＋i )5＋2i ＝2＋3i ，选A.答案：A4．已知复数z ＝－12＋32i ，则z ＋|z |＝( )A ．－12－32iB ．－12＋32iC.12＋32i D.12－32i 解析：因为z ＝－12＋32i ，所以z ＋|z |＝－12－32i ＋⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫322＝12－32i.答案：D5．若z ＝cos θ＋isin θ(i 为虚数单位)，则使z 2＝－1的θ值可能是( )A.π6B.π4C.π3D. π2解析：∵z 2＝cos 2θ＋isin 2θ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos 2θ＝－1，sin 2θ＝0.∴2θ＝2k π＋π(k ∈Z)，∴θ＝k π＋π2.令k ＝0知，D 正确．答案：D6．若关于x 的方程x 2＋(1＋2i)x ＋3m ＋i ＝0有实根，则实数m 等于( ) A.112 B.112i C ．－112D ．－112i解析：设方程的实数根为x ＝a (a 为实数)，则a 2＋(1＋2i)·a ＋3m ＋i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a ＋3m ＝0，2a ＋1＝0， ∴⎩⎨⎧a ＝－12，m ＝112.故选A.答案：A7．实数x ，y 满足(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，则xy 的值是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：由题意得x ＋y ＋(x －y )i ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1， ∴xy ＝1. 答案：B8．设O 为原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2＋3i ，－3－2i ，那么向量BA →对应的复数为( ) A ．－1＋i B ．1－i C ．－5－5iD ．5＋5i解析：∵由已知OA →＝(2,3)，OB →＝(－3，－2)， ∴BA →＝OA →－OB →＝(2,3)－(－3，－2)＝(5,5)， ∴BA →对应的复数为5＋5i. 答案：D9．已知复数z ＝(x －2)＋y i(x 、y ∈R)在复平面内对应的向量的模为3，则yx 的最大值是( )A.32B.33C.12D. 3解析：因为|(x －2)＋y i|＝3，所以(x －2)2＋y 2＝3，所以点(x ，y )在以C (2,0)为圆心，以3为半径的圆上，如图，由平面几何知识知－3≤yx≤ 3.答案：D数ab∈R ，则实10．已知复数a ＝3＋2i ，b ＝4＋x i(其中i 为虚数单位，x ∈R)，若复数x 的值为( )A ．－6B ．6 C.83D ．－83解析：a b ＝3＋2i 4＋x i ＝(3＋2i )(4－x i )16＋x 2＝12＋2x 16＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫8－3x 16＋x 2·i ∈R ，∴8－3x 16＋x 2＝0，∴x ＝83. 答案：C11．设z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R ，则以下结论正确的是( ) A ．z 对应的点在第一象限 B ．z 一定不为纯虚数 C.z 对应的点在实轴的下方 D ．z 一定为实数解析：∵t 2＋2t ＋2＝(t ＋1)2＋1>0，∴z 对应的点在实轴的上方． 又∵z 与z 对应的点关于实轴对称，∴C 项正确． 答案：C12．(2013·高考陕西卷)设z 是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若z 2≥0，则z 是实数 B ．若z 2<0，则z 是虚数 C ．若z 是虚数，则z 2≥0 D ．若z 是纯虚数，则z 2<0 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，选项A ，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ≥0，则⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝0，a 2≥b 2，故b ＝0或a ，b 都为0，即z 为实数，正确．选项B ，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i<0，则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝0，a 2<b 2，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ≠0，故z 一定为虚数，正确．选项C ，若z 为虚数，则b ≠0，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ，由于a 的值不确定，故z 2无法与0比较大小，错误．选项D ，若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ≠0则z 2＝－b 2<0，正确．答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 13．已知x ＋1x ＝－1，则x 2 014＋1x 2 014的值为________．解析：∵x ＋1x ＝－1，∴x 2＋x ＋1＝0.∴x ＝－12±32i ，∴x 3＝1.∵2 014＝3×671＋1，∴x 2 014＝x ，∴x 2 014＋1x 2 014＝x ＋1x ＝－1.答案：－114．已知复数z 1＝cos α＋isin α，z 2＝cos β＋isin β，则复数z 1·z 2的实部是________． 解析：z 1·z 2＝(cos α＋isin α)(cos β＋isin β)＝cos αcos β－sin αsin β＋(cos αsin β＋sin αcos β)i ＝cos(α＋β)＋sin(α＋β)i. 故z 1·z 2的实部为cos(α＋β)． 答案：cos(α＋β)15．若(3－10i)y ＋(－2＋i)x ＝1－9i ，则实数x 、y 的值分别为x ＝________，y ＝________. 解析：原式可以化为(3y －2x )＋(x －10y )i ＝1－9i ，根据复数相等的充要条件，有⎩⎪⎨⎪⎧ 3y －2x ＝1，x －10y ＝－9.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.答案：1 116．已知复数z 1＝m ＋(4＋m )i(m ∈R)，z 2＝2cos θ＋(λ＋ 3cos θ)i(λ∈R)，若z 1＝z 2，则λ的取值范围是________．解析：因为z 1＝z 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2 cos θ，4＋m ＝λ＋3 cos θ.消去m 得λ＝4－cos θ.又因为－1≤cos θ≤1，所以3≤4－cos θ≤5，所以λ∈[3,5]． 答案：[3,5]三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)复数z ＝(a 2＋1)＋a i (a ∈R)对应的点在第几象限？复数z 对应的点的轨迹方程是什么？解析：因为a 2＋1≥1>0，复数z ＝(a 2＋1)＋a i 对应的点为(a 2＋1，a )，所以z 对应的点在第一、四象限或实轴的正半轴上．设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2＋1，y ＝a ，消去a 可得x ＝y 2＋1，所以复数z 对应的点的轨迹方程是y 2＝x －1. 18．(本小题满分12分)(1)已知复数z 在复平面内对应的点在第四象限，|z |＝1，且z ＋z ＝1，求z ； (2)已知复数z ＝5m 21－2i－(1＋5i)m －3(2＋i)为纯虚数，求实数m 的值．解析：(1)设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，2a ＝1.解得a ＝12，b ＝±32.∵复数z 在复平面内对应的点在第四象限， ∴b ＝－32.∴z ＝12－32i. (2)z ＝5m 21－2i－(1＋5i)m －3(2＋i)＝(m 2－m －6)＋(2m 2－5m －3)i ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6＝0，2m 2－5m －3≠0.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝3，m ≠－12且m ≠3.∴m ＝－2. 19. (本小题满分12分)虚数z 满足|z |＝1，z 2＋2z ＋1z ＜0，求z .解析：设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R ，y ≠0)，∴x 2＋y 2＝1.则z 2＋2z ＋1z ＝(x ＋y i)2＋2(x ＋y i)＋1x ＋y i ＝(x 2－y 2＋3x )＋y (2x ＋1)i.∵y ≠0，z 2＋2z ＋1z<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝0，①x 2－y 2＋3x <0，② 又x 2＋y 2＝1.③由①②③得⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝±32.∴z ＝－12±32i.20．(本小题满分12分)满足z ＋5z 是实数，且z ＋3的实部与虚部是相反数的虚数z 是否存在？若存在，求出虚数z ，若不存在，请说明理由．解析：存在．设虚数z ＝x ＋y i(x 、y ∈R ，且y ≠0)．z ＋5z ＝x ＋y i ＋5x ＋y i ＝x ＋5xx 2＋y 2＋⎝⎛⎭⎫y －5y x 2＋y 2i.由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y －5y x 2＋y 2＝0，x ＋3＝－y .∵y ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝5，x ＋y ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1.∴存在虚数z ＝－1－2i 或z ＝－2－i 满足以上条件． 21．(本小题满分13分)已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i ，(x ，y ∈R)，设z ＝z 1－z 2＝13－2i ，求z 1，z 2. 解析：z ＝z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i] ＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ， 又∵z ＝13－2i ，且x ，y ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i ， z 2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.22．(本小题满分13分)将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1、2、3、4、5、6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b .(1)设复数z ＝a ＋b i(i 为虚数单位)，求事件“z －3i 为实数”的概率； (2)求点P (a ，b )落在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋2≥0，0≤a ≤4，b ≥0.表示的平面区域内(含边界)的概率．解析：(1)z ＝a ＋b i(i 为虚数单位)，z －3i 为实数，则a ＋b i －3i ＝a ＋(b －3)i 为实数，则b ＝3. 依题意得b 的可能取值为1、2、3、4、5、6，故b ＝3的概率为16.即事件“z －3i 为实数”的概率为16.(2)连续抛掷两次骰子所得结果如下表：1 2 34 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)由上表知，连续抛掷两次骰子共有36种不同的结果． 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)．由图知，点P (a ，b )落在四边形ABCD 内的结果有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6)，共18种．所以点P (a ，b )落在四边形ABCD 内(含边界)的概率为P ＝1836＝12.。