高考数学一轮复习第九章解析几何第一节直线与方程教案理苏教版

第一节直线与方程1．直线的倾斜角xx轴所在的直线绕着(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，把l当直线交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.与l倾斜角的取值范围是[0，π)(2)范围：直线．2．斜率公式π????kl≠α＝tan_α. (1)直线，则斜率的倾斜角为α??2yy－12klxxxPyPxyl. ≠的斜率(2))(，在直线)，，则(上，且，＝21212211xx－12 3．直线方程的五种形式名称方程适用范围[小题体验]MmNm,m的值为________．1)，，则( 4)1．若过点，(－2的直线的斜率等于答案：1aaxmym＝0过点(－2,1)，则此直线的斜率为________2．已知．≠0，直线＋－5答案：2 ABCBC边上中线所在的直线(0,2)，－3)，3．已知三角形的三个顶点，则(－5,0)，(3方程为________．13????BCBCABC，－边边上的中线过点，则的中点坐标为，且直线解析：由已知，得??223111??x??xyBCky－＋，即＝－上中线的斜率＝－，故边上的中线所在直线方程为＋13＋??213213．0.5＝yx0＝＋答案：＋135axyalaxy________. 轴和＝＝0：在＋2－－轴上的截距相等，则实数4．已知直线2xyalxly.；令＝0，2＋得直线1在解析：令＋＝0，则在轴上的截距为轴的截距为a2aaa ＝－2.＝1＝1＋，解得或依题意2＋a答案：1或－2xxy，轴的直线；两点式方程不能表示垂直于1．点斜式、斜截式方程适用于不垂直于轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．2．截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．3．求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．[小题纠偏]lAyxl的方2倍，则直线＝1．若直线3经过点＋(1,2)，且倾斜角是直线的倾斜角的程为____________．yxl的倾斜角为2α＝45°，所以所求直线因为直线＝90°，＝3＋的倾斜角为α解析：lx＝的方程为所以直线1.x＝1答案：M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________2．过点．4k＝－，解析：①若直线过原点，则 34yx，＝－所以3xy＝30. 即4＋②若直线不过原点．xyayx. ＋设＋＝1，即＝aaa－4)＝－1，(则＝3＋yx0. 1＋所以直线的方程为＋＝yyxx0＝104答案：＋3＝或＋＋考点一直线的倾斜角与斜率基础送分型考点——自主练透[题组练透]y轴上的截距为－1的直线方程是)倾斜角为135°，在1．(2019·启东中学检测________．kyxxy＋1，即，所以直线方程为＝＝－＋－解析：直线的斜率为1＝tan 135°＝－10.xy＋1＝＋0答案：xy＋2＝0的倾斜角的取值范围是sin α＋________．2．(2018·绥化一模)直线xyk＝－sin α，又－1≤sin α＋2＝0解析：因为直线的斜率sin α＋≤1，所以－kxy＋2＝0的倾斜角为θ，所以－1≤tan θ≤1，而≤1.设直线θsin α＋∈[0，π)1≤，π3π????????π，0，.∪故倾斜角的取值范围是????44π3π????????，0，π∪答案：????44ABaCa的值为________．， (4,3)，(6,5)(5，三点共线，则)．若点3a－335－kkaABCa－3＝三点共线，所以－3.由于1，解析：因为，即＝＝1，＝＝，ABAC45－－46a＝4. 答案：4PPlxmym＝0＋Q(2,2)，若直线与线4．已知线段：Q两端点的坐标分别为＋(－1,1)和Pm的取值范围是________有交点，则实数．段 Q lxmymA(0，－过定点1)＋，当解析：如图所示，直线＝：0＋13kkmk. ＝－2，≠0时，＝－lAPA Q m2Pl有交点，结合图象知，若直线Q与311.或－≥应满足－≤－2mm221mm≤或－≤；＜0＜解得032Plmx Q有交点．＝当时，直线＝00的方程为，与线段12????m，－.所以实数的取值范围为??2312????，－答案：??23]谨记通法[kα与斜率的关系1．倾斜角πππ????????k≠0，α增大到＋∞.时，α当∈增大到且由0的值由0????222．πππ????????k≠，πα增大到当α∈α的单调函数，当α时，在此区间内由也是关于????222kk≠0)．的值由－∞趋近于π)时，0(π(α≠2．斜率的2种求法k＝tan α或α的某种三角函数值，一般根据求(1)定义法：若已知直线的倾斜角α斜率．yy－12xxBAxyxyk)(2)公式法：若已知直线上两点≠(，，一般根据斜率公式)，((，＝)221112xx－12求斜率．重点保分型考点——师生共研直线的方程考点二][典例引领1xAy的斜率的＝－4(1)求过点的直线方程；(1,3)，斜率是直线3yxA轴上截距的(2)求经过点2(－5,2)，且在轴上的截距等于在倍的直线方程．41Akk，因此，依题意＝－4×＝－.解：(1)设所求直线的斜率为又直线经过点(1,3)334yyxx0.133＋＝－所求直线方程为(－3＝－，即－1)4 3 (2)当直线不过原点时，xy 1，＝设所求直线方程为＋aa2 将(－5,2)代入所设方程，1a解得，＝－2yx 0；所以直线方程为＋21＋＝当直线过原点时，kykx，＝2设直线方程为＝5，则－2k解得，＝－52xy＝－所以直线方程为，5yx0.5＝2即＋yxyx0.2故所求直线方程为＋5＝＋1＝20或＋][由题悟法 2求直线方程的个注意点 (1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．应先考若采用点斜式，(截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用对于点斜式、(2)．虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．[即时应用]Pxy轴上的截距大1轴上的截距比在的直线方程为(6，－2)，且在1．过点________________．yx2－6aa，则直1＝1，解得＝2或＋＝1，则＋＝解析：设直线方程的截距式为aaaa1＋＋1xyxyyxyx0.－23－6＝0或＝＋线方程为＋＝1或＋＝1，即22＋12＋1121＋yyxx0＋2＝0或－答案：22＋3＝－6xNABCABACMyBC在2．在△在中，已知(5，－2)，的中点(7,3)，且轴上，的中点MN的方程为________________轴上，则直线．xyxy＋7＋5＋3－2????0000????NyMCx，，.，)解析：设，则(，00????2222x＋50Myx＝－5.0在，所以轴上，所以＝因为点02y＋30yNxC(－5，－3)，0＝，所以因为点＝－在轴上，所以3，即025????NM，－0(1,0)所以，，??2xyyMNx0. 5－＝51＝所以直线，即的方程为＋－251－2yx0 答案：5－2－5＝题点多变型考点——多角探明直线方程的综合应用考点三][锁定考向直线方程的综合应用是常考内容之一，它常与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题．常见的命题角度有： (1)与基本不等式相结合的最值问题；与导数的几何意义相结合的问题；(2) (3)与圆相结合求直线方程的问题．][题点全练角度一：与基本不等式相结合的最值问题ByxAlP两点．，轴，的直线(2,1))．(2019·如皋检测1过点与轴正半轴分别交于lOBOA的方程；最小时，求直线·当(1)．lOBOA最小时，求直线＋(2)当2的方程．yxkxklly轴正半轴分别交于轴，－2)(与＜解：设直线0)的方程为－1＝，则(1????kAB0－，2 ，两点．(0,1－2)k??111????????????kkkOAOB－2－－＝4≥4＋8－(1)4·，＝)＋2－·(1－24)＝＋( kkk??????11kk8.，即时取得最小值当且仅当－4＝－＝－ k 21yxlyxOAOB 0.＝－2)，即·4最小时，所求直线＋的方程为1－＝－(2故当－ 2221????????????kOAOBkk－2－－＝9)≥5＋＝22 2，＋(1－2 )＝5＋－2－＋((2)2＋kkk ??????2kk ＝－1时取得最小值＝－29.，即当且仅当－ kOAOBlyxxy －3，即＝＋－1＝－(0. 故当2－＋最小时，所求直线2)的方程为角度二：与导数的几何意义相结合的问题2PxCPCyx 处的切线倾斜角的取值范围3：上的点，且曲线＝在点＋2．设2为曲线＋π????P ，0横坐标的取值范围为________为．，则点 ??4yxPxy )，，2＋2，设 解析：由题意知(′＝00kx＋2.＝2则0π????kCP ，0≤1，处的切线倾斜角的取值范围为 ，所以因为曲线0≤在点 ??41xx≤－.＋2≤1，故－1≤即0≤2 0021????，－1－ 答案： ??2角度三：与圆相结合求直线方程的问题22kxyOxyAP ＝：(4,0)＋＝4)3．(2018·徐州调研已知点上的动点，点是圆，若直线kAP 的中点，求实数恰是线段1上总存在点Q ，使点Q 的取值范围．＋P θ)解：设，(2cos θ，2sinAP )，＋2，sin 则θ的中点坐标为Q(cos θkxy ＝上，＋1因为点Q 在直线1－sin θkk ＝，θ＋2)＋1，即sin 所以θ＝(cos 2θ＋cosk －2,1)连线的斜率．)θ表示单位圆上的点(cos ，sin θ与点(即xyk ，2)＋(＝1－的直线方程为2,1)－(设过点．k 1||2＋kdykxk ∈若要满足题意，则圆心到直线－≤1，解得＋2＝＋1＝0的距离2k 1＋4????0－，.??3][通法在握 处理直线方程综合应用的思路含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能(1) 够看出“动中有定”．求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再(2) 利用基本不等式求解最值．][演练冲关22layaalalaxylx 与2＝2时，直线1．已知直线＋：4－22＝，当－4，0：2＜＋，＜2211a ________.＝两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数 解析：由已知画出简图，如图所示．aylax：，－2－＝24因为1ayx所以当－＝0时，，＝2ayAl轴交于点)(0,2与－．即直线122alxay ＋4＝因为：22＋，22ayx＝，＋所以当0＝时，22alxC即直线＋与2,0)轴交于点(．2Bll易知(2,2)与．均过定点(2,2)，即两直线相交于点211151511??22a??aSSaSAOCB－.()×2＋＋则四边形＋2)×2＝的面积为＝≥＋＝(2－BOCAOB△△??24224115aS.，此时所以＝＝min241 答案：2PxPxyy的中点为上，线段＝－20上，点Q在直线Q＋3＋6＝02．已知点在直线3＋y0xyyMx＜的取值范围．＋(2，)，且，求0000x0yxxy6|＋|3＋32|－|＋0000kxyyx，＋＜2，化简得解：依题意可得＝3＋2＋＝0，又OM00001010y0kMAB，当点上时，不包括端点＝，在坐标轴上作出两直线，如图，当点位于线段()＞0OM x0．1kBMBN.点外时，位于射线＜－上除OM3y1??0??－∞，－ (0的取值范围是，＋∞)．∪所以??x30一抓基础，多练小题做到眼疾手快πxy，则所得直线的斜率为2．(2019·南通模拟)将直线绕原点逆时针旋转＝1 4 ________．πxyxy，绕原点逆时针旋转＝αα，则tan ＝2，解析：设直线将直线＝22的倾斜角是4π则倾斜角变为α＋，4π12＋????k＋α3. ＝tan＝－∴所得直线的斜率＝??4－2×113答案：－lkP．2,4)且斜率的方程为＝3的直线)2．(2018·南通中学月考过点________(－yxxly0.2)]，即310解析：由题意得，直线－的方程为＝－4＝3[＋－(－yx0答案：310－＝＋kkyxkxy的交点位于第四象限，则实数－＝－23＋3＝－＋14与直线2－．若直线34 ．的取值范围是________kkyxx，＝－2＋36＋14，＋＝????解析：解方程组得??kyxyk，＝23－2，－4＋＝－????yxkxyk－2的交点位于第四象限，＝－＋14与直线3－因为直线＝－24＋3kkk＜－2. 6＜，所以－＋2＜0所以＞＋60且答案：(－6，－2)3yxx＋5曲线＝上各点处的切线的倾斜角的取值范围为－4．(2018·南京名校联考)________．解析：设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ(θ∈[0，π))，2xy 1，≥－－1≥－1，所以tan 因为′＝3θπ3π????????π0，，.结合正切函数的图象可知，θ∪的取值范围为????42．ππ3????????，0，π∪答案：????42xyaa，若这条直线不经过第二象限，－5．(2019·无锡模拟)已知直线(－－2)1)＝(31a．则实数________的取值范围是1xaa，此时直线不经过第二象限，满2解析：若时，直线方程可化为－2＝0，即＝＝5a131－xya＝足条件；若，此时若直线不经过第二象限，－2≠0，直线方程可化为－aa2－－2a1－13a2. ≥0，解得＞则≥0，aa2－－2a的取值范围是[2综上，满足条件的实数，＋∞)． [2，＋∞)答案：ππ????xx????faxbxffx＋－，则直cos ＝＝sin ．(2018·南京调研6)已知函数，若(－)????44cbyax＋．＝－0的倾斜角为线________πππ????xx????ffffxx＋－＝对称，所以解析：由)的图象关于直线知函数(0)(＝＝????444π????f，??2a π3caxbyba.，故其倾斜角为1，则直线0－的斜率为＋所以－＝－＝＝b4π3 答案：4二保高考，全练题型做到高考达标x________倾斜角为120°，在．轴上的截距为－1的直线方程是)1．(2019·泰州模拟yk，所以直线方程为1,0)又直线过点＝－3.(解析：由于倾斜角为120°，故斜率－yxx0.3，即＝＋＝－3(＋＋1)3yx0＋3答案：3＝＋PlyxP的Q，Q2．(2018·泗阳中学检测)若直线与直线，且线段＝1，7＝分别交于点l．，则直线________的斜率为中点坐标为(1，－1)yx17＋＋PxyyPx,－(＝－3＝－解析：设(，1)Q(7，)，则1，所以，即＝－5，＝1，22113－－kl.＝－，－Q(73)，故直线＝的斜率5,1)，357＋1 答案：－3yx的倾斜角的取值范围是0＝1＋3－θsin 则直线，R∈θ已知)(2019·苏州调研．3．________．3 ，sin α，则tan αθ＝解析：设直线的倾斜角为333≤，∵－1≤sin θ≤tan ≤1，∴－α33π5π或≤α＜π. 又α∈[0，π)，∴0≤α≤66π5π????????，，π0∪答案：????66ABykxABk的1)＝与线段(4．已知两点总有公共点，则实数(0,1)，(1,0)，若直线＋取值范围是________．1－0ykxPkk＝＝1，＝0，( ＋1)是过定点(－1,0)解析：的直线，＝PAPB－－0k的取值范围是所以实数[0,1]．[0,1]答案：22yyxxPxy－4＝0上，则5．已知点________(＋，)在直线．＋的最小值是2222xxyyxxyPxyx)－4＝0＝4－＋＋，所以(4＋解析：因为点上，所以(－，在直线)＝222yxxx8.＋取得最小值＝2＝2(时，－2)＋8，当8答案：P为方程的直线轴上的截距相等京6．(2019·南模拟)过点且(2,3)在两坐标．________________xy23Pa＝5，，直线代入，得(2,3)＋＝1解析：若直线的截距不为0，可设为＋＝1，把aaaaxy－5＝方程为0.＋3ykxPkkx－，直线方程为，3＝＝，把(2,3)代入，得3＝若直线的截距为0，可设为22y＝20.xyxy＝0. 32＋－－5＝0综上，所求直线方程为或xyxy＝0－25＝0或答案：3＋－lykxABlAB相交，则与线段(4，－2)＋1与两点－(1,5)，7．已知直线，若直线：＝k的取值范围是______________．实数lykxP(0,1)，的方程恒过点：＝＋1解析：易知直线3kk，＝－4，如图，∵＝－PBPA43????k，＋∞－. －∞，－∴实数的取值范围是(4]∪??4．3????，＋∞－ (－∞，－4]∪答案：??4yxylxlab轴上的截距之＋＝1(在＞0，轴和＞0)经过点(1,2)8．若直线，则直线：ba．和的最小值是________yxyaabxl轴上的截距，轴上的截距为＞0)由直线解析：可知直线在：＋＝1(，在＞0babyabx(1,2)为由直线经过点.求直线在＋轴和的最小值．轴上的截距之和的最小值，即求ababab2122122????baba＋2·＝2＋(＝＋＋，因为)·＋≥2＝＋得＝1.于是3＋ba??babababaab2????yabxl 时取等号当且仅当＝轴上的截距之和的最＋2≥3＋2，故直线轴和，所以在ba??2＋2. 小值为3答案：3＋22ll ，分别求满足下列条件的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为9．已知直线3的方程：A(－3,4)过定点； (1)1(2)斜率为.64lykxxyk3,3轴，－3)＋＋解：(1)设直线4的方程为，它在＝轴上的截距分别是－(k＋4，4????k3＋＝±6，由已知，得(3 ＋4)k??28kk＝－.＝－解得或2133lxyxy＋12＝8＋3＋30.－6＝0故直线或的方程为21lyblyxb，＋在＝轴上的截距为，则直线的方程是(2)设直线6xb，6它在轴上的截距是－bbb＝±1. ＝－66·，所以|由已知，得|lxyxy－6＝或0.所以直线－的方程为6－6＋6＝022mmmyxmlm0. ＝1)＋610．已知直线的方程为(2－－－3)＋(2＋2－m(1)求实数的取值范围；ml的斜率不存在，求实数的值；(2)若直线mlx轴上的截距为－3，求实数的值；(3)若直线在ml的值．45°，求实数的倾斜角是若直线(4)．yx，当的系数不同时为零时，方程表示一条直线，解：(1)2mmmm＝33＝0，解得；＝－令1－2或－12mmmm.＝1－1＝0，解得令2或＋＝－2m－1，＋∞)．所以实数1)的取值范围是(－∞，－∪(1m＝时，方程表示的直线的斜率不存在．(2)由(1)易知，当2m62－2mm＝30(3)依题意，有－4，－15＝－3，所以2mm3－2－55mmm.(1)知所求＝3或＝－＝－所以，由33l1.的倾斜角是45°，所以斜率为(4)因为直线2mm4－3－2mm舍去)＝或．＝－1(由－＝1，解得ml.2mm32－＋1445°时，所以直线＝的倾斜角为3三上台阶，自主选做志在冲刺名校BxyAl，轴的正半轴分别交于与轴的正半轴，1．(2018·无锡期末)过点(2,3)的直线lAOBO ________________为坐标原点)面积最小时，直线两点，当△．(的方程为yxkxkklykl－－0，所以直线2)的方程为＝－解析：设直线3的斜率为，即，且(＜33????AxkykkxyB02－，.所以＝所以2(0，3－2－)；令＝0，＋3－2得＝0.令＝0，得－＝32，，k??k39??1119????k??????kAOBS4－＋2－6－6k＝＝2≥则△的面积为)＝(3－4－2－12＋kk????k222??39yxklk0. ＝－4＝－＋，即2＝－时等号成立，所以直线12的方程为312，当且仅当－k2yx012＋2＝答案：3－1y，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的＝2．已知曲线x1e＋ ________．面积为x11－1－e xxx y e·≥2＝2(当且仅当e，＝因为e＞0解析：′＝，所以＋xxx2e＋e1x2＋＋exyx＝0(当且仅当时＋2≥4，故)＝e，即＝0时取等x e11－11xx号，所以e＋′＝≥－xx4e1e x e＋＋2x e ．)取等号．1????x，0，切线的方程所以当时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为＝0??2111yxxyxy轴上的截距为，2＝0.该切线在(，在－0)，即轴上的截距为＋4－为2－＝－242111S＝×2×＝.所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积2221答案：2lkxykk∈R)．2．已知直线：＝－0(＋1＋3l过定点； (1)证明：直线lk的取值范围；不经过第四象限，求(2)若直线lxAyBOAOB的面(3)若直线轴正半轴于点交为坐标原点，设△轴负半轴于点，，交SSl的方程．积为的最小值及此时直线，求lykxkl总过定取何值，直线＋的方程可化为＝1(，故无论＋解：(1)证明：直线2)点(－2,1)．lykxklykl不，要使直线，则直线1＋(2)直线在的方程为1＝轴上的截距为＋22＋k≥0，??[)，＋∞0kk.≥0，故解得的取值范围是经过第四象限，则?k≥0，1＋2??k2＋1lxyk，＋轴上的截距为－，在2(3)依题意，直线轴上的截距为在1kk2＋1????AkB－，0所以，)(0,1＋2．k??k21＋kk＞0.＞0，所以＜0且1＋2又－kk2＋111SOAOBk )2×||×(1＋|故＝＝|k22111??k??4＋4＋≥(4＋4)＝4，＝k??2211kk＝时，取等号．4 ＝，即当且仅当k2Slxy＋4＝0. 24故的最小值为，此时直线的方程为－。