人教版初三数学导学案锐角三角函数
濠知教育初三数学锐角三角函数导学案
学 生教 师 吴老师 日 期 2013/12/22 年 级 初三学 科数学时 段10:10-11:40学 情 分 析 锐角三角函数在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在20%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。
课 题 锐角三角函数学习目标与 考点分析 本节知识的考查一般以填空题和选择题的形式出现，主要考查锐角三角函数的意义，即运用sin a 、cos a 、tan a 、cot a 准确表示出直角三角形中两边的比（a 为锐角），考查锐角三角函数的增减性，特殊角的三角函数值以及互为余角、同角三角函数间的关系。
学习重点 难 点让学生熟练掌握解题的方法，会运用知识灵活计算，并能正确地进行相关题目的运算教学方法 讲练结合、互动启发教学过程【例1】在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝12，BC ＝15。
（1）求AB 的长；（2）求sinA 、cosA 的值； （3）求A A 22cos sin +的值； （4）比较sinA 、cosB 的大小。
变式：（1）在Rt △ABC 中，∠C ＝900，5=a ，2=b ，则sinA ＝ 。
（2）在Rt △ABC 中，∠A ＝900，如果BC ＝10，sinB ＝0.6，那么AC ＝ 。
濠知教育学科导学案【例2】计算：020045sin 30cot 60sin +⋅【例3】已知，在Rt △ABC 中，∠C ＝900，25tan =B ，那么cosA （ ） A 、25 B 、35C 、552 D 、32变式：已知α为锐角，且54cos =α，则ααcot sin +＝ 。
【例4】已知3cot tan =+αα，α为锐角，则αα22cot tan +＝ 。
评注：由锐角三角函数定义不难推出1cos sin 22=+A A ，1cot tan =⋅αα，它们是中考中常用的“等式”。
锐角三角函数(1)
雨母山中学 九年级数学导学案 主备人 .周扬清
锐角三角函数（1）
课型 ：预+展 班级 小组 小主人姓名 编号sx 09031
【抽测】
【目标要求】
1 认识锐角三角函数及它们的值的取值范围。
（重点）
2 在利用相似三角形知识测量、计算物体高度的过程中，联想函数概念，观察、发现、建立锐角三角函数概念。
（难点）
3
在运用知识解决问题的过程中，观察、联想、分析、推断可以获得数学发现，体验数学活动充满探索性和创造性。
【自主探究】
知识点一：锐角三角形函数的概念
在△ABC 中，∠C=900，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足a:b =3:4，求∠B 的四个三角函数。
知识点二：同角三角函数关系及互余角的三角函数的关系
如图，在△ABC 中，∠C=900，AC,BC 均为直角边，AB 为斜边，求2
2
sin cos A A +与
sin tan cos A A A
-
的值。
【小试牛刀】。
1 在△ABC 中，∠C=900，AC=9，BC=12，则sin A +sin B = 。
2 在△ABC 中，∠C=900，AB=2，AC=1，则tan B = 。
3 在△ABC 中，∠C=900，BC=4，sin A =23，求AC 边的长。
【整理评价】
1 整理今天所学内容，展示 次，质疑 次，参与 次。
2 反思我这节课的表现，学习状态（ ）
A 很认真，值得表扬
B 还可以，继续努力
C 还得加油
【课后作业】
课本P80 复习题 第2、3、7题 P81 第10题.。
(初三数学教案)人教版初中九年级数学下册第28章锐角三角函数28.2.2 应用举例第3课时教学设计
28.2 解直角三角形及其应用28.2.2 应用举例（第3课时）一、教学目标【知识与技能】1.正确理解方向角、坡度、坡角的概念；2.能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题；3.能够解决与解直角三角形有关的实际问题,如航海航空、建桥修路、测量技术、图案设计等.【过程与方法】通过实际问题的求解，总结出用解直角三角形的知识解决问题的一般过程，增强分析问题和解决问题的能力。
【情感态度与价值观】渗透数形结合的思想方法，增强学生的数学应用意识和能力.二、课型新授课三、课时第3课时共3课时四、教学重难点【教学重点】用三角函数有关知识解决方位角问题.【教学难点】学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型.五、课前准备教师：课件、直尺、三角板等.学生：直尺、三角板.六、教学过程（一）导入新课（出示课件2）宜宾是国家级历史文化名城,大观楼是其标志性建筑之一(如图①).喜爱数学的小伟决定用所学的知识测量大观楼的高度,如图②所示,他站在点B处利用测角仪测得大观楼最高点P的仰角为45°,又前进了12 m到达点A处,测得点P的仰角为60°.请你帮助小伟算一算大观楼的高度(测角仪的高度忽略不计,结果保留整数).（二）探索新知知识点1 方向角的有关问题（出示课件4）方向角的定义：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角.教师强调：（出示课件5）（1）因为方向角是指北或指南方向线与目标方向线所成的角，所以方向角通常都写成“北偏……”,“南偏……”,的形式.（2）解决实际问题时，可利用正南、正北、正西、正东方向线构造直角三角形来求解.（3）观测点不同，所得的方向角也不同，但各个观测点的南北方向线是互相平行的，通常借助于此性质进行角度转换.考点1 有关方向角的实际问题——距离.（出示课件6）例如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？学生独立思考后师生共同解决：（出示课件7）解：如图，在Rt△APC中，PC=PA·cos（90°－65°）=80×cos25°≈80×0.91=72.505.在Rt△BPC中，∠B=34°，sinPCBPB=，()72.505130n mile.sin sin34PCPBB∴==≈因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130n mile．教师强调：利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（出示课件8）（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案．出示课件9，学生独立解决，一生板演，教师订正.考点2 有关方向角的实际问题——预测路线.（出示课件10）例海中有一个小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？学生独立思考后，师生共同解决：（出示课件13～14）解：过A 作AF ⊥BC 于点F ，则AF 的长是A 到BC 的最短距离.∵BD ∥CE ∥AF ，∴∠DBA=∠BAF=60°，∠ACE=∠CAF=30°，∴∠BAC=∠BAF －∠CAF=60°－30°=30°.又∵∠ABC=∠DBF －∠DBA=90°－60°=30°=∠BAC ，∴BC=AC=12海里，∴cos 30?AF AC ==海里)，，故渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．出示课件13～14，学生独立解决，一生板演，教师订正. 知识点2 坡度、坡角有关的问题解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝或山的高度h时，8392.1036>≈我们无法直接测量，我们又该如何呢？（出示课件15）教师问：如图，从山脚到山顶有两条路AB 与BC ，问哪条路比较陡？如何用数量来刻画哪条路陡呢？（出示课件16）学生思考后，师生共同总结：（出示课件17）坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示.坡度（坡比）：坡面的铅直高度h 和水平距离l 的比叫做坡度，用字母i 表示，如图，坡度通常写成tan h i lα==的形式.教师强调：坡度越大，坡角越大，坡面越陡.出示课件18，学生独立解决并口答，教师订正.考点1 利用坡度、坡角解答大坝问题例 如图，防洪大堤的横截面是梯形 ABCD ，其中AD ∥BC ，α=60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β=45°．若原坡长AB=20m ，求改造后的坡长AE ．(结果保留根号)（出示课件19）学生独立思考后，师生共同解答：（出示课件20）解：过点A 作AF ⊥BC 于点F ，在Rt △ABF 中，∠ABF=∠α=60°，则AF=AB ·sin60°=，在Rt △AEF 中，∠E=∠β=45°，则sin 45AF AE ==故改造后的坡长AE 为m.出示课件21～22，学生独立解决，一生板演，教师订正. 考点2 利用坡度、坡角解答山坡问题例 如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A 出发，沿山坡向上走了240m 到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确到0.01°，长度精确到0.1m ）？（出示课件23）学生独立思考后，师生共同解答：（出示课件24） 解：用α表示坡角的大小，由题意可得1tan 0.52α==，因此α≈26.57°.在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠A=26.57°，AC=240m ， 因此sin 240BC BC AC α==， 从而BC=240×sin26.57°≈107.3（m ）．答：这座山坡的坡角约为26.57°，小刚上升了约107.3m ． 出示课件25，学生独立解决，教师订正.（三）课堂练习（出示课件26-36）练习课件26-36页题目，巩固所学知识点，约用时20分钟。
锐角三角函数的定义 导学案
锐角三角函数的定义导学案姓名：一、引入直角三角形中的定理BD CBA二、三角函数定义B三、解直角三角函数例1:△ABC中，∠C＝90°.已知：c＝ 83，∠A＝60°，求∠B、a、b．1、△ABC中，∠C＝90°，已知：a＝36，∠A＝30°，求∠B、b、c.2、在△ABC中，∠C=90°，BC=2，2sin3A ，求解直角三角形另两条边3、在△ABC 中，∠ACB ＝90°，cosA=33，AB ＝8cm ，则△ABC 的面积为4、由下列条件解直角三角形：在Rt △ABC 中，∠C=90°：（1）已知a=4，c=24， （2）已知b=10，∠B=60°．例2：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝2，b ＝3，则cosA ＝ ，sinB ＝ ，tanB ＝ 。
1、直角三角形ABC 的面积为24cm 2，直角边AB 为6cm ，∠A 是锐角，则sinA ＝ 。
2、如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD ＝2，AC ＝3，则sinB 的值是（ ）3、在△ABC 中，∠C=90°，AB=5，AC=4，则cosB ＝ ，sinA ＝ ，tanA ＝ 。
cosA ＝ ，sinB ＝ ，tanB ＝ 。
4、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，tan ∠BCD=，AC=12，则BC= ．5、在Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=3，BC=1，则sinA="______," tanA=" _______," cosA=_______ SinB="______," tanB=" _______," cosB=_______6、如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ， 垂足为E ， DE =8cm ， ， 则菱形ABCD 的面积是__________．7、如图，正方形网格中，每一个小正方形的边长都是 ， 四边形的四个顶点都在格点上，为边的中点，若把四边形绕着点顺时针旋转．【小题1】画出四边形旋转后的图形；【小题2】设点旋转后的对应点为 ， 则；【小题3】求点在旋转过程中所经过的路径长．例3：已知tan α＝125，α是锐角，则sin α＝ 。
精品!九年级数学锐角三角函数整章导学案教案含答案解析
知识点：锐角三角函数的概念问题情境1:求一个锐角的正弦问题模型：已知锐角*,求它的正弦.求解模型：(1)找出(或构造)锐角★所在的直角三角形(2)确定锐角★的对边和斜边的长(3)求出★的正弦值例题：如图，在Rt^ABC中，/ C=90° ,求sinA和sinB的值.分析：要求sinA和sinB的值，只需求出/ A、/ B的对边以及斜边的长解：⑴在Rt^ABC中，AC=4,BC=3贝U AB=；AC2+ BC2 =5BC 3 故sinA=——=一AB 5 sinB= AC 4 AB 5(2)在RtzXABC中，AB=13,BC=5RJ ACK,AB2— BC2 =12士A* ,八BC 5故sinA=——=—,sinB=AB 13 AC 12 AB 13练习：1.如图，已知直线11 // I2 // I3 // I4 ,相邻两条平行直线间的距离都是的四个顶点分别在四条直线上，则sina=.5【答案】—51 ,如果正方形ABCDAB =4, AC =2,则 sin B 的值是（ ）5 7A. ----- 14 3.在 Rt△ ABC 中，/ C=90 sinA= 1 ,则 BC ： AC ： AB 等于（ 2 A.1 ： 2 ： 5B.1 ： <3<5 C.1 ： V 3 ： 2 D.1 ： 2 ： J 3 【答案】C 4.把RtAABC 的三边都扩大十倍，关于锐角 A 的正弦值：甲同学说扩大十倍；乙同学说不 变；丙同学说缩小十倍.那么你认为正确的说法应是( C.丙 D.都不正确AC=12 ,求 sinA 、sinB 的值。
A.甲B.乙 【答案】B 1 _【答案】：如图，过点 B 作BDL BC 于D,过点 A 作A 已BC 于E,贝U BD=- AC=6), 在 Rt^ABC 中, BD sin / BAC= ---AB•.S A ABC= 1 AC- 248 AE=—5AB=10, AD=6 故 BD=8,_ _8 _ 4一 10 一 51八BD- BC- AE2AE• • sin Z ABE= ---------- AB48 51024 25问题情境2:求一个锐角的余弦 问题模型：已知锐角支,求它的余弦. 求解模型：2.在^ ABC 中，/ A = 120°,找出(或构造)锐角★所在的直角三角形(1)找出(或构造)锐角★所在的直角三角形(2)确定锐角★的邻边和斜边的长(3)求出★的余弦值例题：如图，直径为10的。
人教版初三数学下册锐角三角函数——余弦、正切 教案
∠A的邻边b∠A的对边a斜边cC
B
A
(1)34C
B
A
长沙市中（小）学教师统一备课用纸 科目 数学 年级 九年级 班级 时间 年 月 日 课题 锐角三角函数——余弦、正切 教学目标
1、感知当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实。
2、培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算。
教材分析 重点：余弦、正切的概念； 难点：锐角三角函数的运用。
实 施 教 学 过 程 设 计
【课前热身】 如图1，在直角△ABC中，∠C＝90o，若AB＝5，AC＝4，则sinA＝______,sinB＝______.
【合作探究】 •在Rt△ABC中，∠C=90°，当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比是 ，
则：∠A的邻边与斜边的比呢？ ∠A的对边与邻边的比呢？
【知识归纳】 1、余弦、正切定义：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的____，记作cosA，即cosA=A的邻边斜边=ac；
把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的____，记作tanA，即tanA=AA的对边的邻边=ab． 2、锐角A的正弦、余弦、正切统称为∠A的 ． 【合作探究】 知识点一 已知直角三角形的边长，求锐角的三角函数 例1: 求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值、正切值，发现什么规律？
sin A= sin B= cos A= cos B= tan A= tan B=
6C
B
A
知识点二 已知直角三角形中一个锐角的三角函数值，求其他三角函数值 例2：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=•6，sinA=35，求cosA、tanB的值．
变式1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=135，求cosA、tanB的值． 【针对训练】 1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D。
则sinA=CD==
九年级数学下册锐角三角函数(3)《特殊角三角函数值》导学案
28.1 锐角三角函数（3）——特殊角三角函数值【学习目标】⑴: 能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数。
⑵: 能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式【学习重点】熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式【学习难点】根据函数值说出对应的锐角度数 【学法指导】小组合作 教师点拨学习过程：一、新课引入1、在Rt △ACB 中， ∠C=90°，∠A=30 °若BC=1,则AB=____，AC= ____，∠B=_____2、在Rt △ACB 中，若∠A =45°，BC=1，则AB=____，AC= ____，∠B=_____。
3、让学生回忆 正弦、余弦、正切的定义 sinA=斜边的对边A ∠,cosA=斜边的邻边A ∠,tanA=的邻边的对边A A ∠∠ 二、自学指导一：阅读课本P65中的探究，并完成下面问题1、一副三角板中有几个不同的锐角？2、如何求出这几个锐角的正弦值、余弦值、正切值。
请写出推导过程。
提示：设每块三角尺较短的边长均为1，利用勾股定理和锐角三角函数的定义可以求出这些锐角三角函数值.1、特殊角的三角函数值表：请用五分钟熟记这些三角函数值，再跟同学分享你牢记的方法。
自学检测一：1.请快速回答出下列三角函数值sin45°＝ sin60°＝ sin30°＝cos45°= cos60°= cos30°=tan45°= tan60°＝ tan30°＝2.根据函数值说出对应的锐角度数Sin___°＝ sin___°＝ sin___°＝ Cos___°=cos___°= cos____°= tan___°= tan___°＝ tan____°＝3.同桌之间互相出题,一人出题,两人回答,看谁回答得又快又对.三、自学指导二：P66例31.cos 260°表示什么意思？ 锐角θ 三角函数 30° 45° 60° sin θ cos θ tan θ C B A B A2.如何计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式自学检测二：1、计算:(1)2sin30°（2）cos245°（3）2sin30°-cos45°（4）sin60°·cos60°（5）cos230°+sin230°．（6）co s45sin45︒︒（7）co s45sin45︒︒-tan45°2.P67 1四、阅读课本66页例41.如何求出直角三角形中锐角的度数？同桌之间互相讨论得出解题方法。
锐角三角函数3——特殊角的三角函数值
3、思考 P83 第 9、10 题
忻州市十二中学
九年级 （数学）导学案 （教师版）
主备人：王小平 审核人：刘文华
授课人： 学生姓名：
授课时间： 小组： 课时
班级： 得分： 备注 （教师复备栏及学 生笔记）
课题 ：28．1 锐角三角函数（3） 【学习目标】
1、 能推导并熟记 30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这 些值说出对应锐角度数。 2、 能熟练计算含有 30°、45°、60°角的三角函数的运算式。 【重点】熟记 30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有 30°、45°、60°角的三角函数的运算式 【难点】30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程。 【自学指导】仔细看：课本 P79—P80 例 4 结束。 想一想：1、30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程。测】 课本 P80 练习 1、2。
【合作探究】
忻州市十二中学
九年级 （数学）导学案 （教师版）
【总结反思】
【当堂训练】 1、课本 P82 第 3 题
2、若（ 3 tanA-3）2+│2cosB- 3 │=0，则△ABC（ ） ． A．是直角三角形 B．是等边三角形 C． 是含有 60°的任意三角形 D． 是顶角为钝角的等腰三角形
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1
学 生 教 师 吴老师 日 期
2015/12/05
年 级 初三 学 科 数学 时 段
学 情
分 析
针对初三下册所学的知识点进行简要系统的复习与预习。
课 题 锐角三角函数
学习目标与
考点分析
1、使学生了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角
2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．
3、巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题．
学习重点
难 点
重点：用三角函数有关知识解决方位角问题
难点：学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型
教学方法 讲练结合、互动启发
【知识回顾】
例1热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋离楼底部的俯角为60°，热
气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?
分析：在中，，.所以可以利用解直角三角形的知识求出BD;类似地可以求
出CD，进而求出BC.
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2
（三）巩固再现
1、为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角∠ACD=52°，已知人的高度
是1.72米，求树高(精确到0.01米)．（tan52=1.28）
2、在宽为30米的街道东西两旁各有一楼房，从东楼底望西楼顶仰角为45°，从西楼顶望东楼顶，俯角为
10°，求西楼高(精确到0.1米)．
3、上午10时，我军驻某海岛上的观察所A发现海上有一艘敌军舰艇正从C
处向海岛驶来，当时的
俯角，经过5分钟后，舰艇到达D处，测得俯角。已知观察所A距水面高度为
80
米，我军武器射程为100米，现在必须迅速计算出舰艇何时驶入我军火力射程之内，以便及时还击。
(1/tan5.71=10, 1/tan7.59=7.5 )
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（二）教学互动
1、上午10点整，一渔轮在小岛O的北偏东30°方向，距离等于10海里的A处，正以每小时10海里的速
度向南偏东60°方向航行．那么渔轮到达小岛O的正东方向是什么时间？(精确到1分)．
3、如图6-32，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，
在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛
A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？
1． 坡度与坡角
坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。即ｉ＝，常写成i=1：
m的形式如i=1:2.5 把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．
i＝hl＝tan 这一关系在实际问题中经常用到．
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练习(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______； ______，坡角______度．
坡面铅直高度一定，其坡角、坡度和坡面水平宽度有什么关系？
坡面水平宽度一定，铅直高度与坡度有何关系
如图，铅直高度AB一定，水平宽度BC增加，α将变小， 坡度减小，因为 tan＝ABBC，AB不变，tan
随BC增大而减小（2）与(1)相反，水平宽度BC不变，α将随铅直高度增大而增大，tanα 也随之增大，
因为tan=BCAB不变时，tan随AB的增大而增大
例：
利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图6-35阴影部分是挖去部分)，已知渠道内
坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：
①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；
②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．