中位线的综合应用
中位线的综合应用
一、对教学内容和要求的理解
本节课是在九年级下复习了三角形的中位线、四边形──平行四边形、矩形、菱形、正方形之后安排的一节专题训练课的学习。具体教学内容是：学生在复习了三角形中位线定理以及特殊四边形的性质和识别后，利用这些定理展开新一轮的探究，在整个教学过程中，学生经历了提出问题──观察──猜想──证明──问题解决的科学探索过程，探究式教学贯穿始终，体会转化的数学思想在解决实际问题中的重要性。通过教师的适当引导，学生投人探究中点四边形为什么是平行四边形这一活动中，通过这个探究活动来体验知识的获得过程。
教学目标
（一）知识目标
1、学生能利用三角形中位线定理判断中点四边形的形状；利用中位线解决问题。
2、感受中点四边形的形状取决于原四边形的两条对角线的位置长短。
3、通过图形变换使学生掌握添加辅助线的方法。
（二）能力目标
1、培养学生观察、发现、分析、探索知识的能力及创造性思维和归纳总结能力；
2、通过对图形既相互变化，又相互联系的内在规律渗透辩证唯物主
义观点，使学生领悟事物是运动、变化、相互联系和相互转化的。（三）情感目标
通过学生亲自参与、发现和证明，培养学生的参与意识及合作精神，激发学生探索数学的兴趣，体验数学学习的过程与探索成功后的喜悦。
教学重点和难点
1．重点：中点四边形的得出过程，及中位线的应用。
2．难点：适当添加辅助线证明命题。
3．课型：探究课。
教学方法：引导探究法、讨论法
教学手段
1．教具：实物投影
2．多媒体课件
课时安排：1课时
三、教学过程
（一）温故而知新
1．三角形的中位线有什么性质？
学生回答：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
如图，若D、E分别是△ABC的边AB、AB的中点。则DE∥BC， DE=1／2BC。
(利用多媒体演示图示1)
2．下面我们要探讨四边形的中点构图的一些特性。
如图2，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点。顺次连结EF、FG、GH、HE又得四边形EFGH。我们把四边形EFGH 叫做四边形ABCD的中点四边形。
图1 图2
（二）观察、猜想与论证
1、发现问题
如图2，任意四边形ABCD的中点四边形EFGH是什么形状呢？
猜想：任意四边形的中点四边形是平行四边形。
已知：如图2，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是其边AB、BC、CD、DA的中点。
求证：四边形EFGH是平行四边形。
证法一：画一条对角线，利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”进行证明。
证法二：画两条对角线，利用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”进行证明。
（对于九年级的学生以上两种证明比较容易）变式一：如图3，若把“任意四边形ABCD”改成“平行四边形ABCD”、“矩形ABCD”“菱形ABCD”或“正方形ABCD”或“等腰
梯形ABCD ”，则它的中点四边形EFGH 会是什么形状呢？（类同上面方法处理，略）
图3
2、研究问题（一般四边形）：
反之若中点四边形EFGH 分别为矩形、菱形和正方形，则四边形ABCD 是否一定分别为菱形、矩形（等腰梯形）、正方形？
图4 图5 图6
学生发表看法，教师引导归纳：
（1） 对角线相等的四边形的中点四边形是菱形．（图4）
（2） 对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形．（图5）
（3） 对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形．（图6）
3：解决问题：学生活动——发散和创新
（中位线的应用，及适当添加辅助线证明命题）
1、已知：在四边形ABCD 中，ＡＢ＝ＣＤ，E 、F 分别是对角线AC 、
BD边的中点，过EF的直线分别交AB、CD于点M、N，且BA、CD的延长线交于点P
求证：PM=PN
2、已知：在四边形ABCD中AC、BD交于点P，且AC=BD，E、F分别是AB、CD边的中点，且EF分别交AC、BD于点M、N。
求证：PM=PN
4：小结
1、本节课应用了哪些数学方法？
2、决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是四边形ABCD的
对角线的长度和位置
3、学习中应具备积极探索、勇于创新的品质。（培养学生的归纳
能力，使学生形成完整的知识结构和研究数学问题的一般方法。）5：作业
根据本节课的学习设计一道与本节课有关的几何证明题
教学后记：
1、本节课的指导思想是充分发挥学生在学习中的主体作用。从“问题提出--探讨--归纳--应用--发散和进一步研究”的过程中，同学们主动参与、积极探索，并对难的问题同学们合作研究，整个课堂学习积极性高，研究风气浓。
2、老师充分发挥在学习中的主导作用。对学习能力弱的学生积极地加以指导，并帮助学生分析问题，概括归纳新知识。
3、本节课的突出特点是利用现代技术，为学生创建一个学习、研究的学习情境。通过图形的变换，使学生很容易发现问题的规律、找出解决方法，使学生学得轻松，兴趣浓厚，精神状态极佳。
4、本节课容量较大，但由于采用了电脑辅助教学手段，使学生在老师的启发下，一步一步地探索、归纳、学习，使学生是很容易地掌握了知识，并在探索的过程中培养了学生的创新精神和创新意思。
初中数学培优提高中位线及其应用
中位线及其应用 中位线是三角形与梯形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用． 例1 如图2-53所示．△ABC中，AD⊥BC于D，E，F， △ABC的面积． 分析由条件知，EF，EG分别是三角形ABD和三角形ABC的中位线．利用中位线的性质及条件中所给出的数量关系，不难求出△ABC的高AD及底边BC的长． 解由已知，E，F分别是AB，BD的中点，所以，EF是△ABD的一条中位线，所以 由条件AD+EF=12(厘米)得 EF=4(厘米)， 从而 AD=8(厘米)， 由于E，G分别是AB，AC的中点，所以EG是△ABC的一条中位线，所以 BC=2EG=2×6=12(厘米)， 显然，AD是BC上的高，所以
例2 如图 2-54 所示．△ABC中，∠B，∠C的平分线BE，CF相交于O，AG⊥BE于G，AH⊥CF 于H． (1)求证：GH∥BC； (2)若AB=9厘米，AC=14厘米，BC=18厘米，求GH． 分析若延长AG，设延长线交BC于M．由角平分线的对称性可以证明△ABG≌△MBG，从而G是AM的中点；同样，延长AH交BC于N，H是AN的中点，从而GH就是△AMN的中位线，所以GH ∥BC，进而，利用△ABC的三边长可求出GH的长度． (1)证分别延长AG，AH交BC于M，N，在△ABM中，由已知，BG平分∠ABM，BG⊥AM，所以 △ABG≌△MBG(ASA)． 从而，G是AM的中点．同理可证 △ACH≌△NCH(ASA)， 从而，H是AN的中点．所以GH是△AMN的中位线，从而，HG∥MN，即 HG∥BC． (2)解由(1)知，△ABG≌△MBG及△ACH≌△NCH，所以 AB=BM=9厘米，AC=CN=14厘米． 又BC=18厘米，所以 BN=BC-CN=18-14=4(厘米)，
初中几何中三角形中位线定理的应用
初中几何中三角形中位线定理的应用 三角形中位线定理在初中教材体系中是一个很重要的定理，学好本节内容将有助于梯形中位线定理乃至整个平面几何知识的学习。它具有两个方面的特性：（1）平行于第三边，这是位置关系； （2）等于第三边的一半，这是数量关系。就第一个特性而言，中位线定理与平行线等分线段定理中的推论2（经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边）存在着互逆关系。我们利用这两个特性，能证明（求解）许多几何问题，以下举例说明它的具体应用。 一、证明问题 1、证明角相等关系 例1、已知：如图在四边形ABCD 中 对角线AC=BD ，E 、F 分别为AB 、CD 中点，点O 为AC ，BD 的交点，M 、N 为EF 与BD ，AC 的交点。求证：OM=ON 分析：证明OM=ON 可转化成证明 ∠OMN=∠ONM ，由于E 、F 为AB 、CD 的中点这时只要取AD 中点H 作出△ABD 与 △ACD 的中位线，即可得到EH=21BD ,HF=21AC,因为AC=BD,从而 得到EH=HF 所以∠HEF=∠HFE,因为 EH//BD, FH//AC 所以∠HEF=∠OMN, ∠HFE=∠ANM 从而得到∠DMF=∠ANM 这样要求证问题就解决了。 证明：取AD 中点H 并分别连结EH 、HF ，即EF 与FH 分别为△ABD 与△DAC 的中位线。 ∴EH=21BD ，EH//BD ，HF=21AC ，FH//AC (三角形中位线定理) 而 AC=BD ，∴EH=HF ，∴∠HEF=∠HFE 又∵EH//BD ，HF//AC ，∴∠HEF=∠ DMF ，∠HFE=∠ANM ∴∠DMF=∠ANM ，∴OM=ON 例2、如图、四边ABCD 中，AB=CD ， M 、N 分别为AD 、BC 的中点，EF ⊥MN
三角形中位线定理的运用
教学案例:《三角形中位线定理教学设计》 ⒈创设问题情境,诱导学生发现结论 ⑴怎样测算操场中被一障碍物隔开的两点A、B的距离?小明测量的方法是:在AB外选一点C,连结AC、BC,取AC、BC的中点M、N。连结MN,量出MN=20m,这样能算出AB的长吗?AB与MN有何关系?经观察,你猜测 AB与MN的关系是:①②。 ⑵MN这条线段既特殊又重要,我们把它叫做△ABC的 中位线。即连结三角形两边点的线段叫三角 形的。 ⑶一个三角形有条中位线,画出图4的三角形的所有中位线,观察、测量发现: ( )∥( ),( )=( )；( )∥( ),( )= ( )；( )∥( ),( )= ( )。用语言叙述上述结论:三角形的中位 线并且 . ⑷再画出图2的△ABC的三条中线,它与中位线有何区别? 说明:⑴以上内容让学生按印发的学习提纲在课前完成。⑵三角形中位线定义的引入、定理的结论课本是直接给出的,这不符合过程性原则.我们①以“应用性问题”导入,揭示了数学知识在生产、生活中的广泛应用,强化学习动机,变“要我学”为“我要学”;②让学生通过实验操作、观察比较、估计猜测,自己发现结论,
这可培养学生对数学的内在兴趣,让学生认识到数学不是少数天才创造的,而是经过努力一般人都可以发现的,数学来源于现实世界,而又是解决实际问题的有力工具,符合从“感性到理性”的认识规律。 ⒉创设思维情境,启导学生发现证明结论的思路和方法 ⑴检查课前自学情况。教师提问有关问题,学生回答,并用多媒体展示答案。 ⑵教师指出:同学们观察发现的这些结论是否正确,还需严格证明。教师板书,学生在提纲上写已知、求证。 ⑶启导全班学生思考、讨论证法,教师巡视与学生一起研究,收集信息,了解情况。 ①本题与以前学过的哪些知识、方法有关?是什么关系?学生进行联想,回答。△ADE与△ABC有何关系?若过D作平行于BC的直线,发现什么(用多媒体演示)?②怎样证一条线段等于另一条的一半?学生回答:截(把长的平分)与补(把短的加倍)。经过探讨,学生不难发现以下三种证法:(过程略) 证法㈠:利用相似三角形证法㈡: 证法㈢: 说明:定理的证明,不拿现成的方法给学生,而是创设思维情境,启导学生“联想”到学过的有关知识和方法,使新旧知识得到顺利同化,并引导学生展开讨
中位线的综合应用
中位线的综合应用 一、对教学内容和要求的理解 本节课是在九年级下复习了三角形的中位线、四边形──平行四边形、矩形、菱形、正方形之后安排的一节专题训练课的学习。具体教学内容是：学生在复习了三角形中位线定理以及特殊四边形的性质和识别后，利用这些定理展开新一轮的探究，在整个教学过程中，学生经历了提出问题──观察──猜想──证明──问题解决的科学探索过程，探究式教学贯穿始终，体会转化的数学思想在解决实际问题中的重要性。通过教师的适当引导，学生投人探究中点四边形为什么是平行四边形这一活动中，通过这个探究活动来体验知识的获得过程。 教学目标 （一）知识目标 1、学生能利用三角形中位线定理判断中点四边形的形状；利用中位线解决问题。 2、感受中点四边形的形状取决于原四边形的两条对角线的位置长短。 3、通过图形变换使学生掌握添加辅助线的方法。 （二）能力目标 1、培养学生观察、发现、分析、探索知识的能力及创造性思维和归纳总结能力； 2、通过对图形既相互变化，又相互联系的内在规律渗透辩证唯物主
义观点，使学生领悟事物是运动、变化、相互联系和相互转化的。（三）情感目标 通过学生亲自参与、发现和证明，培养学生的参与意识及合作精神，激发学生探索数学的兴趣，体验数学学习的过程与探索成功后的喜悦。 教学重点和难点 1．重点：中点四边形的得出过程，及中位线的应用。 2．难点：适当添加辅助线证明命题。 3．课型：探究课。 教学方法：引导探究法、讨论法 教学手段 1．教具：实物投影 2．多媒体课件 课时安排：1课时 三、教学过程 （一）温故而知新 1．三角形的中位线有什么性质？ 学生回答：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。 如图，若D、E分别是△ABC的边AB、AB的中点。则DE∥BC， DE=1／2BC。 (利用多媒体演示图示1) 2．下面我们要探讨四边形的中点构图的一些特性。
三角形中位线在初中几何中的应用
1 初中几何中三角形中位线定理的应用 三角形中位线定理在初中教材体系中是一个很重要的定理，学好本节内容将有助于梯形中位线定理乃至整个平面几何知识的学习。它具有两个方面的特性：（1）平行于第三边，这是位置关系；（2）等于第三边的一半，这是数量关系。就第一个特性而言，中位线定理与平行线等分线段定理中的推论2（经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边）存在着互逆关系。我们利用这两个特性，能证明（求解）许多几何问题，以下举例说明它的具体应用。 一、证明问题 1、证明角相等关系 例1、已知：如图在四边形ABCD 中 对角线AC=BD ，E 、F 分别为AB 、CD 中点，点O 为AC ，BD 的交点，M 、N 为EF 与BD ，AC 的交点。求证：OM=ON 分析：证明OM=ON 可转化成证明 ∠OMN=∠ONM ，由于E 、F 为AB 、CD 的中点这时只要 取AD 中点H 作出△ABD 与 △ACD 的中位线，即可得到EH= 21BD ,HF=2 1 AC,因为AC=BD,从而得到EH=HF 所以∠HEF=∠HFE,因为 EH//BD, FH//AC 所以∠HEF=∠OMN, ∠HFE=∠ANM 从而得到∠DMF=∠ANM 这样要求证问题就解决了。 证明：取AD 中点H 并分别连结EH 、HF ，即EF 与FH 分别为△ABD 与△DAC 的中位线。 ∴EH= 21BD ，EH//BD ，HF=2 1 AC ，FH//AC (三角形中位线定理)而 AC=BD ，∴EH=HF ，∴∠HEF=∠HFE 又∵ EH//BD ，HF//AC ，∴∠HEF=∠DMF ，∠HFE=∠ANM ∴∠DMF=∠ANM ，∴OM=ON 例2、如图、四边ABCD 中，AB=CD ， M 、N 分别为AD 、BC 的中点，EF ⊥MN 交AB 于E ，交CD 于F ，求证： ∠AEF=∠DFE 分析：欲证：∠AEF=∠DFE 。由MN ⊥EF 想到延长BA ，CD 与MN 的延长线交于P 、Q 只需证明∠EPN=∠Q ，如何利用中点的条件？ 想到三角形的中位线，连线BD ，取BD 的中点G ，则有 12GM AB ∥，1 2 GN CD ∥，由于AB=CD ，进而有GM=GN ， ∠GMN=∠GNM 然后再转化∠EPN=∠Q ，从而证出结论。 证明：延长BA ，CD 分别与NM 的延长线交于P 、Q 连结BD ， 取BD 的中点G ，连结GM 、GN 。∵G 、M 分别为△ABD 的边BD 、AD 的中点∴ 12GM AB ∥。同理可证：12 GN AB ∥，又∵AB=CD ，∴GM=GN ，∴∠GMN=∠GNM ， ∵GM//AB ，GN=CD ，∴∠GMN=∠EPN ，∠GNM=∠Q ，∴∠EPN=∠Q ，又 EF ⊥MN ，
教案 三角形中位线的运用
教案三角形中位线的运用 【教材分析】 三角形中位线定理在初中教材体系中是一个很重要的定理，它具有两个方面的特性： (1)平行于第三边，这是位置关系；（2）等于第三边的一半，这是数量关系． 三角形中位线定理及其应用，在初中数学中占有很重要的地位，如何正确添加辅助线构造三角形中位线的基本图形，从而利用三角形中位线定理来解决问题，对每个学生来说是一个重点也是一个难点． 【学情分析】 八（1）班的学生思维活跃，但思考欠全面，思考的方向性欠佳，整体思维意识不高，思维上存在一定的惰性，做题往往局限于能做出来就好了，不去思考更多的方法来解决问题，做好题目后总结归纳的能力也有待进一步提升！因此，本节课通过三角形中位线基本图形的分析，帮助学生找到辅助线，让学生体验基本图形分析法，提升自身解决问题的能力！ 学生分析和寻找三角形中位线基本图形的过程中，一般在会出现两种情况：一是分析、找到的三角形中位线的基本图形是完整的，这样应用三角形中位线的性质就不会有什么困难，问题自然就会得到解决； 二是在分析、找到的三角形中位线的基本图形是不完整的，这样在运用三角形中位线定理时就会发生困难，因为基本图形不完整，相应的性质就不出现，就不能用.这就要求我们必须要先将不完整的基本图形补完整，这就出现了添辅助线的需要.通过添辅助线将不完整的基本图形补完整，从而帮助我们解决问题.在这个过程中多引导学生把着眼点不要聚焦在作为图形的局部的“线”上，而是着眼到一个完整的“图形”上. 当然，也要避免定势思维，引导学生了解三角形中位线的基本图形仅仅是众多基本图形中的一种而已，我们还有很多其他的基本图形，都可以帮助我们来解决问题. 【教学设计】
初中数学竞赛专题中位线
初中数学竞赛专题中位线 一、内容提要 1. 三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。 2. 中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计 算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。 3. 运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括 作出辅助线。 4. 中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。它的逆定理就是平行线 截比例线段定理及推论， ①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等 ②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边 ③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰 5. 有关线段中点的其他定理还有： ①直角三角形斜边中线等于斜边的一半 ②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合 ③对角线互相平分的四边形是平行四边形 ④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等 因此如何发挥中点作用必须全面考虑。 二、例题 例1. 已知：△ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM 和CAN ，P 是BC 的中点。求证：PM ＝PN （1991年泉州市初二数学双基赛题） 证明：作ME ⊥AB ，NF ⊥AC ，垂足E ，F ∵△ABM 、△CAN 是等腰直角三角形 ∴AE ＝EB ＝ME ，AF ＝FC ＝NF ， 根据三角形中位线性质 PE ＝ 21AC ＝NF ，PF ＝2 1 AB ＝ME PE ∥AC ，PF ∥AB ∴∠PEB ＝∠BAC ＝∠PFC 即∠PEM ＝∠PFN ∴△PEM ≌△PFN ∴PM ＝PN P
中位线及其应用
中位线及其应用 知识定位 中位线在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，它的有关知识是今后我们学习综合题目或者三角形综合的重要基础。中位线的证明性质以及应用，必须熟练掌握。本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中中位线相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。 知识梳理 1、三角形中位线定义 （1）三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 三角形的中位线与三角形的中线区分：三角形中线是连接一顶点和它的对边中点的线 段，而三角形中位线是连接三角形两边中点的线段。 （2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。 如图，在ABC ?中，点D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，则DE 为ABC ?的中位线。 几何语言描述： 因为D 、E 分别为边AB 、AC 的中点， 所以DE//BC,且DE=1 2 BC 提示 a ：“平行且等于第三边的一半”，具体应用时要根据题目的要求灵活进行选择，并 不一定要把两个结论都写出来。 b ：一个三角形有三条中位线。 c ：经过三角形一边的中点且与另一边平行的直线，必平分第三边，这是一种重要 的作辅助线的方法。
2、三角形中位线的性质 （1）三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。 （2）中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。 （3）运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。（4）中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论， ①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等 ②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边 ③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰 补充：有关线段中点的其他定理还有： ①直角三角形斜边中线等于斜边的一半 ②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合 ③对角线互相平分的四边形是平行四边形 ④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等 因此如何发挥中点作用必须全面考虑。 3、梯形中位线的定义和性质 （1）梯形中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。 （2）条数：梯形只有1条中位线,而三角形有3条. （3）性质：梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半. 符号表示：∵四边形ABCD是梯形 ∴AD∥BC, ∵AM=BM,DN=CN ∴MN∥BC 且MN=(AD+BC)/2 例题精讲 A B D C M N
中位线的运用(2)
中位线的运用(2) 中点寻线，线构形 1.如图所示，已知四边形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（） A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减少 C．线段EF的长不变 D．线段EF的长不能确定 2.如图，点E，F，G，H分别是CD，BC，AB，DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。 3．如图，已知△ABC是锐角三角形，分别以AB，AC为边向外侧作两个等边△ABM?和△CAN．D、E、F 分别是MB，BC，CN的中点，连结DE，FE。求证：DE=EF． 4.如图，（1）E、F为△ABC的中点，G、H为AC的两个三等分点，连接EG、FH并延长交于D，连接AD、CD. 求证：四边形ABCD是平行四边形.
5.如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点。求证： AF=F C 6.已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是DC、AB边的中点，FE的延长线分别与AD、BC的延长线交于H、G点．求证：∠AHF＝∠BGF．
7.如图1，D 、E 、F 分别是△ABC 三边的中点．G 是AE 的中点，BE 与DF 、DG 分别交于P 、Q 两点.求PQ:BE 的值. 8.如图1，已知：△ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM 和CAN ，P 是BC 的中点． 求证：PM ＝PN 9'.如图，折叠矩形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知折痕A E =5cm ，FC EC ＝43，求 矩形ABCD 的周长. \ 10.如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点P 为AB 边上任一点，过P 分别作PE ⊥AC 于E ， PF ⊥BC 于F ，则线段EF 的最小值是 ．
三角形中位线定理的应用2
三角形中位线定理的应用 三角形中位线定理是平面几何中十分重要的性质，它说明中位线的位置与第三边平行，长度是第三边的一半，应用它可解许多几何题，如：1．说明线段的倍分关系 例1如图1，AD是△ABC的中线，E为AD的中点，BE交AC于F， AF=1 3 AC．试说明EF= 1 4 BF． 解：取CF的中点H，联结DH，则DH为△CBF的中位线． 又因为AF=1 3 AC，即F为AH的中点，则EF为△ADH的中位线，故DH＝ 1 2BF，EF= 1 3 DH，所以EF= 1 4 BF． 2．说明两线平行 例2如图2，自△ABC的顶点A向∠B和∠C的平分线作垂线，D、E为 垂足．试说明DE∥BC． 解：延长AE、AD交BC与BC的延长线于N、M．由∠1=∠2，BD⊥AM，可得AD=DM．同理可得AE=EN．故DE为△ANM的中位线．所以DE∥MN，即DE∥BC．
3．说明线段相等 例3如图3，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且BD=CE，M、N分别为BE、CD的中点，直线MN分别交AB、AC于P、Q．试说明AP=AQ． 解：取BC中点F，联结MF与NF． 因为BM=ME，BF=FC． 所以MF∥CE，且MF＝1 2 CE． 同理可得NF∥BD，且NF＝1 2 BD．且又BD=CE，所以MF=NF，故∠3=∠4， 又∠1=∠4，∠2=∠3，所以∠1=∠2，故AP=AQ． 4．说明两角相等 例4如图4，在△ABC中，M、N分别在AB、AC上，且BM=CN，D、E 分别为MN与BC的中点，AP∥DE交BC于P．试说明∠BAP=∠CAP． 解：联结BN并取中点Q，联结DQ与EQ，则DQ∥BM，且DQ＝1 2 BM， EQ∥CN，且EQ＝1 2 CN，又BM＝CN，所以DQ=EQ，故∠1=∠2，因为AB∥DQ， DE∥AP，所以∠1=∠BAP．因为QE∥NC，DE∥AP，所以∠2=∠CAP，所以∠BAP=∠CAP．
四边形中三角形的中位线的应用
四边形中三角形的中位线的应用 例1. 已知点E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 四边的中点，试问四边形EFGH 是平行四边形吗？ 分析：这是个引子问题，也是个基础问题。只要连结四边形ABCD 的一条对角线，再利用三角形中位线性质和平行四边形的判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可解决问题。它也有许多引伸。如：当四边形ABCD 满足什么样条件时，连结它四边中点所得到的四边形是菱形？答案是对角线相等。想想为什么？ 例3. 已知：如图，四边形ABCD ，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，试说明AD BC EF +>2。 分析：本题看条件很简单，如何得结论似乎无处入手。但只要想到三角形中位线，知道构造三角形，这问题也不难。 解：连结BD ，取BD 中点为H ，连结EH 、FH 。 因为点E 、F 分别是AB 、CD 的中点 所以EH AD FH BC = =1212， 又EH FH EF +>，所以1212AD BC EF +> 即AD BC EF +>2 例4. 已知：如图，四边形ABCD ，AC 、BD 交于点O ，且AC ＝BD ，点E 、F 分别是AB 、CD 中点，连结EF 交AC 、BD 于G 、H ，试说明OG ＝OH 。
分析：本题看条件比例3多了一个条件，但解题仍比较困难，这时经验与想象力就很重要了。 解：取BC 中点为M ，连结ME 、MF 因为点E 、F 分别是AB 、CD 的中点 所以ME AC MF BD ==1212， ME ∥AC ，MF ∥BD 又AC ＝BD ，所以ME ＝MF 则∠MEF ＝∠MFE 又ME ∥AC ，MF ∥BD 所以∠1＝∠MEF ，∠2＝∠MFE 所以∠1＝∠2，OG ＝OH
三角形中位线性质的应用
三角形中位线性质的应用 三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．三角形中位线性质，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度． 例1如图1，已知：△ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM 和CAN ，P 是BC 的中点．求证：PM ＝PN 证明：作ME ⊥AB ，NF ⊥AC ，垂足E ，F 因为△ABM 、△CAN 是等腰直角三角形 所以AE ＝EB ＝ME ，AF ＝FC ＝NF ， 根据三角形中位线性质，可知， PE ＝ 2 1AC ＝NF ，PF ＝2 1AB ＝ME PE ∥AC ，PF ∥AB 所以∠PEB ＝∠BAC ＝∠PFC 所以∠PEB+ ∠MEB ＝∠PFC+ ∠NFC 即∠PEM ＝∠PFN 所以△PEM ≌△PFN 所以PM ＝PN ． 例2如图2，已知：△ABC 中，AD 是角平分线，BE ＝CF ，M 、N 分别是BC 和EF 的中点．求证：MN ∥AD ． 证明：连结EC ，取EC 的中点P ，连结PM 、PN 根据三角形中位线性质，可知， MP ∥AB ，MP ＝ 2 1BE ，NP ∥AC ，NP ＝2 1CF 因为BE ＝CF ，所以MP ＝NP ， 所以∠3=∠4= 1802 M PN -∠ ， ∠MPN ＋∠BAC ＝180 （两边分平行的两个角相等或互补） 所以∠1=∠2=1802 M PN -∠ ， 所以∠2=∠3． 因为NP ∥AC ， 所以MN ∥AD ． 练一练： 1．如图3，已知E 、F 、G 、H 是四边形ABCD 各边的中点． 则①四边形EFGH 是 形； ②当AC ＝BD 时，四边形EFGH 是 形； ③当AC ⊥BD 时，四边形EFGH 是 形； ④当AC 和BD 时，四边形EFGH 是正方形形． 2．如图4，已知△ABC 中，AB ＝10，AC ＝7，AD 是角平分线，CM ⊥AD 于M ，且N 是BC N P 图1 C M 图 2 图3
中位线及其定理应用(人教版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题 问题1：三角形的中位线是什么？三角形中位线定理是什么？ 问题2：每个三角形有几条中位线？ 问题3：梯形的中位线是什么？梯形中位线定理是什么？ 以下是问题及答案，请对比参考: 问题1：三角形的中位线是什么？三角形中位线定理是什么？ 答：三角形中位线：连接三角形两边中点的线段是三角形的中位线； 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半． 问题2：每个三角形有几条中位线？ 答：三条． 问题3：梯形的中位线是什么？梯形中位线定理是什么？ 答： 梯形的中位线：连接梯形两腰中点的线段． 梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半． 中位线及其定理应用（人教版） 一、单选题(共8道，每道12分) 1.已知，在长方形ABCD中，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点．当P在BC的中点，点R从点D向点C移动时，那么下列结论成立的是( ) A.线段EF的长逐渐增大 B.线段EF的长逐渐减小
C.线段EF的长不改变 D.线段EF的长不能确定 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三角形中位线定理 2.如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD=BC，∠PEF=30°，则∠EPF的度数是( ) A.30° B.100° C.120° D.140° 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三角形中位线定理 3.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是BC的中点．若OE=3cm，则AB的长为( ) A.12cm B.9cm C.6cm D.3cm 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三角形中位线 4.如图，在直角梯形ABCD中，P是下底BC上一动点，点E，F，G分别是AB，PE，DP的中点，AB=AD=4，则FG的长为( )
四边形——三角形的中位线在四边形中的常见应用
四边形——三角形的中位线在四边形中的常见应用 单纯的三角形中位线问题并不复杂，但把它放到四边形中就难多了。下面通过一些例子来有序地讨论这些问题。 例1.已知点E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 四边的中点，试问四边形EFGH 是平行四边形吗？ 分析：这是个引子问题，也是个基础问题。只要连结四边形ABCD 的一条对角线，再利用三角形中位线性质和平行四边形的判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可解决问题。它也有许多引伸。如：当四边形ABCD 满足什么样条件时，连结它四边中点所得到的四边形是菱形？答案是对角线相等。想想为什么？ 例2.已知：如图，四边形ABCD ，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，试说明AD+BC ＞2EF 。 分析：本题看条件很简单，如何得结论似乎无处入手。但只要想到三角形中位线，知道构造三角形，这问题也不难。 解：连结BD ，取BD 中点为H ，连结EH 、FH 。 因为点E 、F 分别是AB 、CD 的中点 所以EH= 21AD,FH=2 1 BC, 又EH+FH>EF ，所以21AD+2 1 BC>EF, 即AD+BC ＞2EF 。 例3.已知：如图，四边形ABCD ，AC 、BD 交于点O ，且AC ＝BD ，点E 、F 分别是AB 、CD 中点，连结EF 交AC 、BD 于G 、H ，试说明OG ＝OH 。 分析：本题看条件比例3多了一个条件，但解题仍比较困难，这时经验与想象力就很重要了。 解：取BC 中点为M ，连结ME 、MF
因为点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，所以ME=21AC,MF=2 1 BD ， ME ∥AC ，MF ∥BD ， 又AC ＝BD ，所以ME ＝MF ， 则∠MEF ＝∠MFE. 又ME ∥AC ，MF ∥BD ，所以∠1＝∠MEF ，∠2＝∠MFE ， 所以∠1＝∠2，OG ＝OH. 下面两道题留给同学们思考。 （1）已知：四边形ABCD ，点M 、N 分别是AD 、BC 的中点，点P 、Q 分别是AC 、BD 的中点，且AC ＝BD ，试说明MN ⊥PQ 。 （2）已知：如图，四边形ABCD ，AB ＝CD ，点E 、F 分别 是AD 、BC 的中点，BA 、CD 的延长线交EF 的延长线于点 G 、H ，试说明∠BGF ＝∠CHF 。 三角形中位线辅助线的应用 三角形的中位线定理是几何中一个重要定理，它不仅反映了图形间线段的位置关系，而且还揭示了线段间的数量关系，利用三角形中位线定理可以解决许多相关的问题. 一、借助中位线定理选择结论 例1如图1，已知四边形ABCD 中，R 、P 分别是BC 、CD 上的点，E 、F 分别是AP 、RP 的中点，当点P 在CD 上从C 向D 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是（ ）. （A ）线段EF 的长逐渐增大 （B ）线段EF 的长逐渐减小 （C ）线段EF 的长不变 （D ）线段EF 的长与点P 的位置有关
“三角形的中位线”教学设计案例
“三角形的中位线”教学设计案例 发表时间：2009-10-23T13:24:57.607Z 来源：《中学课程辅导·教学研究》第19期供稿作者：王雪枫[导读] 本文从设计思路、教学过程、板书设计和课后反思四个方面介绍了“三角形的中位线”教学设计案例。 摘要：本文从设计思路、教学过程、板书设计和课后反思四个方面介绍了“三角形的中位线”教学设计案例。关键词：三角形中位线；设计思路；教学过程；板书设计；课后反思 作者简介：王雪枫，任教于甘肃省兰州市第四中学。 授课班级：甘肃省兰州市第四中学九年级（5）班 授课教材：义务教育课程标准实验教科书《数学》（北师大版）九年级上册第三章《证明（三）》第一节平行四边形（第三课时）。 一、设计思路 （一）教材分析 本课时所要探究的三角形中位线定理是学生以前从未接触过的内容。因此，在教学中通过创设有趣的情境问题，激发学生的学习兴趣，注重新旧知识的联系，强调直观与抽象的结合，鼓励学生大胆猜想，大胆探索新颖独特的证明方法和思路，让学生充分经历“探索—发现—猜想—证明”这一过程，体会合情推理与演绎推理在获得结论的过程中发挥的作用，同时渗透归纳、类比、转化等数学思想方法。通过本节课的学习，应使学生理解三角形中位线定理不仅指出了三角形的中位线与第三边的位置关系和数量关系，而且为证明线段之间的位置关系和数量关系（倍分关系）提供了新的思路，从而提高学生分析问题、解决问题的能力。（二）学情分析 本班学生基础知识比较扎实，接受新知识的意识较强，对于本章有关平行四边形的性质和判定的内容掌握较好，但知识迁移能力较差，数学思想方法运用不够灵活。因此，本节课着眼于基础，注重能力的培养，积极引导学生首先通过实际操作获得结论，然后借助于平行四边形的有关知识进行探索和证明。在此过程中注重知识的迁移同时重点渗透转化、类比、归纳的数学思想方法，使学生的优势得以发挥，劣势得以改进，从而提高学生的整体水平。 三）教学目标 1.知识目标 1）了解三角形中位线的概念。 2）掌握三角形中位线定理的证明和有关应用。 2.能力目标 1）经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，进一步发展推理论证能力。 2）能够用多种方法证明三角形的中位线定理，体会在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法。 3）能够应用三角形的中位线定理进行有关的论证和计算，逐步提高学生分析问题和解决问题的能力。 3.情感目标 通过学生动手操作、观察、实验、推理、猜想、论证等自主探索与合作交流的过程，激发学生的学习兴趣，让学生真正体验知识的发生和发展过程，培养学生的创新意识。 （四）教学重点与难点 教学重点：三角形中位线的概念与三角形中位线定理的证明. 教学难点：三角形中位线定理的多种证明。 （五）教学方法与学法指导 对于三角形中位线定理的引入采用发现法，在教师的引导下，学生通过探索、猜测等自主探究的方法先获得结论再去证明。在此过程中，注重对证明思路的启发和数学思想方法的渗透，提倡证明方法的多样性，而对于定理的证明过程，则运用多媒体演示。（六）教具和学具的准备 教具：多媒体、投影仪、三角形纸片、剪刀、常用画图工具。 学具：三角形纸片、剪刀、刻度尺、量角器。 二、教学过程 1.一道趣题——课堂因你而和谐 问题：你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗？这四个全等三角形能拼凑成一个平行四边形吗？（板书）（这一问题激发了学生的学习兴趣，学生积极主动地加入到课堂教学中，课堂气氛变得较为和谐，课堂也鲜活起来了。）学生想出了这样的方法：顺次连接三角形每两边的中点，看上去就得到了四个全等的三角形．如图中，将△ADE绕E点沿顺（逆）时针方向旋转180°可得平行四边形ADFE。 问题：你有办法验证吗？ 2.一种实验——课堂因你而生动 学生的验证方法较多，其中较为典型的方法如下： 生1：沿DE、DF、EF将画在纸上的△ABC剪开，看四个三角形能否重合。 生2：分别测量四个三角形的三边长度，判断是否可利用“SSS”来判定三角形全等。 生3：分别测量四个三角形对应的边及角，判断是否可用“SAS、ASA或AAS”判定全等。引导：上述同学都采用了实验法，存在误差，那么如何利用推理论证的方法验证呢？ 3.一种探索——课堂因你而鲜活 师：把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．（板书） 问题：三角形的中位线与第三边有怎样的关系呢？在前面图1中你能发现什么结论呢？
三角形中位线的定义及应用
中小学1对1课外辅导专家 三角形中位线的定义及应用 教学目标 三角形中位线的定义及应用。 教学重点和难点 三角形中位线的应用。 参考教材 教学流程及授课详案 例题精讲 例1如图1，D 、E 、F 分别是△ABC 三边的中点．G 是AE 的中点，BE 与DF 、DG 分别交于P 、Q 两点.求PQ:BE 的值.（平行线分线段成比例定理） 例2如图2，在△ABC 中，AC>AB ，M 为BC 的中点．AD 是∠BAC 的平分线，若CF ⊥AD 交AD 的延长线于F .求证：()12 MF AC AB =-. 例3如图3，在△ABC 中，AD 是△BAC 的角平分线，M 是BC 的中点，ME ⊥AD 交AC 的延长线于E ．且12 CE CD =.求证：∠ACB =2∠B .
巩固基础练 1. 已知△ABC 周长为16，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则△ADE 的周长等于 ( ) A .1 B. 2 C. 4 D. 8 2. 在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，P 是BC 上任意一点，那么△PDE 面积是△ABC '面积 的 ( ) A .12 B. 13 C. 1 4 D. 18 3. 如图4，在四边形ABCD 中，E 、F 分别为AC 、BD 的中点，则EF 与AB +CD 的关系是 ( ) A .2EF A B CD =+ B. 2EF AB CD >+ C. 2EF AB CD <+ D. 不确定 F E D C B A 4. 如图5，AB ∥CD ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，且AB=a ,CD=b ，则EF 的长为 . 5. 如图6，四边形ABCD 中，AD=BC ，F 、E 、G 分别是AB 、CD 、AC 的中点，若∠DAC=200，∠ACB=600， 则∠FEG= . 6. (呼和浩特市中考题)如图7，△ABC 的周长为1，连接△ABC 三边的中点构成第二个三角，再连接 第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形的周长为 .
中位线及其应用
第五讲：中位线及其应用 【知识梳理】 1、三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。 2、中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。 3、运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。 4、中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论， ①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等 ②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边 ③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰 5、有关线段中点的其他定理还有： ①直角三角形斜边中线等于斜边的一半 ②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合 ③对角线互相平分的四边形是平行四边形 ④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等 因此如何发挥中点作用必须全面考虑。 【例题精讲】 【例1】已知△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，AE⊥CD于E，F是BC的中点，试说明BD=2EF。 【巩固】已知在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点. 求证： 1 2 DM AB A B D B
【例2】已知E 、F 、G 、H 是四边形ABCD 各边的中点 则①四边形EFGH 是__________形 ②当AC ＝BD 时，四边形EFGH 是__________形 ③当AC ⊥BD 时，四边形EFGH 是__________形 ④当AC 和BD __________时，四边形EFGH 是正方形。 【巩固】如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，E 、F 分别是BM 、CM 的中点。 （1）求证：四边形MENF 是菱形； （2）若四边形MENF 是正方形，请探索等腰梯形ABCD 的高和底边BC 的数量关系，并证明你的结论。 【例3】梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M 、N 分别是AC 、BD 的中点。求证：MN ＝2 1 （AB －CD ） F E N M D C B A A B D C M N
三角形的中位线教案设计
三角形的中位线教案设计 重难点分析: 本节的重点是中位线定理.三角形中位线定理和梯形中位线定理不但给出了三角形或梯形中线段的位置关系，而且给出了线段的数量关系，为平面几何中证明线段平行和线段相等提供了新的思路. 本节的难点是中位线定理的证明.中位线定理的证明教材中采用了同一法，同一法学生初次接触，思维上不容易理解，而其他证明方法都需要添加2条或2条以上的辅助线，添加的目的性和必要性，同以前遇到的情况对比有一定的难度. 教法建议 1．对于中位线定理的引入和证明可采用发现法，由学生自己观察、猜想、测量、论证，实际掌握效果比应用讲授法应好些，教师可根据学生情况参考采用 2．对于定理的证明，有条件的教师可考虑利用多媒体课件来进行演示知识的形成及证明过程，效果可能会更直接更易于理解 教学设计示例 一、教学目标 1．掌握中位线的概念和三角形中位线定理 2．掌握定理“过三角形一边中点且平行另一边的直线平分第三边” 3．能够应用三角形中位线概念及定理进行有关的论证和计算，进一步提高学生的计算能力 4．通过定理证明及一题多解，逐步培养学生的分析问题和解决问题的能力
5. 通过一题多解，培养学生对数学的兴趣 二、教学设计 画图测量，猜想讨论，启发引导. 三、重点、难点 1．教学重点：三角形中位线的概论与三角形中位线性质. 2．教学难点：三角形中位线定理的证明. 四、课时安排 1课时 五、教具学具准备 投影仪、胶片、常用画图工具 六、教学步骤 【复习提问】 1．叙述平行线等分线段定理及推论的内容（结合学生的叙述，教师画出草图，结合图形，加以说明）． 2．说明定理的证明思路． 3．如图所示，在平行四边形ABCD中，M、N分别为BC、DA中点，AM、CN分别交BD于点E、F，如何证明？
三角形的中位线习题归类(绝对经典,绝对震撼)
三角形的中位线习题归类 一、 直接应用 1． 如图1所示，EF 是△ABC 的中位线，若BC=8cm ， 则EF=_______cm ． 2．三角形的三边长分别是3cm ，5cm ，6cm ，则连结三边中点 所围成的三角形的周长是_________cm ． 3．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=?5，?BC=?12，?则连结两条直角 边中点的线段长为_______． 4．若三角形的三条中位线长分别为2cm ，3cm ，4cm ， 则原三角形的周长为_______． 5．如图2所示，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端， 小聪想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，一 位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到 达A ，B 的点C ，找到AC ，BC 的中点D ，E ，并且测出DE 的长为10m ，则A ，B 间的距离为_______． 6.已知△ABC 的周长为1，连结△ABC 的三边中点构成第二个三角形， ?再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推， 第2010个三角形的周长是（ ） A 、20081 B 、20091 C 、220081 D 、2 20091 7．如图4,在△ABC 中，E ，D ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，AB=6， AC=4，则四边形AEDF?的周长是（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．40 8.如图所示，□ ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AE=EB ，求证：OE ∥BC ． 9.如图所示，在△ABC 中，点D 在BC 上且CD=CA ， CF 平分∠ACB ，AE=EB ，求证：EF= 12 BD ．
三角形中位线辅助线的应用
三角形中位线辅助线的应用 三角形的中位线定理是几何中一个重要定理，它不但反映了图形间线段的位置关系，而且还揭示了线段间的数量关系，利用三角形中位线定理能够解决很多相关的问题. 例1如图1，已知四边形ABCD 中，R 、P 分别是BC 、CD 上的点，E 、F 分别是AP 、RP 的中点，当点P 在CD 上从C 向D 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是（ ）. （C ）线段EF 的长不变 （D ）线段EF 的长与点P 的位置相关 分析：由E ，F 分别为AP ，RP 的中点，由此可联想三角形的中位线，故连接AR ，因为已知条件可知EF 为ARP 的中位线，根据中位线定理可知EF=21AR ， 因为点P 从点C 到点D 移动的移动过程中，AR 始终不变，∴EF 的长度也不变. 解：连接AR ，∵E ，F 分别是PA ，PR 的中点，∴EF= 21AB ， ∵AR 不变，∴线段EF 的长不变.故选（C ）. 点评：本题通过巧妙地连接AR ，把问题转化为三角形中位线问题，借助于中位线的性质俩来解决. 二、借助中位线定理求长度 例2某花木场有一块如四边形ABCD 的空地(如图2)，两对角线相等，各边的中点分别是E 、F 、G 、H ，用篱笆围成的四边形EFGH 场地的周长为40cm ，则对角线AC= cm
分析：根据E 、F 分别为BA ，BC 的中点，可知EF 为△ABC 的中位线，根据中位线定理可得EF=21AC ，同理可得HG=21AC ，HE=21BD ，FG=2 1BD ，根据两对角线相等可得EF=FG=GH=HE ，由此可求到EF 的长，也就求到AC 的长. 解：∵E ，F 分别是BA ，BC 的中点，∴EF= 21AC ，同理可得HG=2 1AC ， ∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点，∴EH=21BD ，同理可得FG=21BD ， ∵AC=BD ，∴EF=FG=GH=HE ， ∵EF+FG+GH+HE=40cm ，∴EF=10cm ， ∴AC=2EF=20cm. 点评：根据已知条件的特点，本题是将四边形问题转化为三角形问题，通过多次利用三角形中位线的性质，确定EF 的长，进而求到AC 的长. 三、借助中位线定理说理 例3 如图3，在△ABC 中，BC>AC ，点D 在BC 上，且DC ＝AC,∠ACB 的平分线CF 交AD 于F ，点E 是AB 的中点，连结EF. 说明EF ∥CB 理由 分析：根据E 为AB 的中点，要说明EF//BC ，可说明EF 为△ABC 的中位线，为此，需要证明F 为AD 的中点.