波的叠加
波的叠加 波的干涉
几个波相遇后，并不改变各自的原有 特征（波长、频率、 振动方向等）而继续向前传播。就好象没有与其它波相遇一 样。
2、波的叠加原理 (superposition principle of wave)
在相遇区域内，任一质点的振动是这几个波单独在该点 引起的振动的合成。即任一时刻，各质点的位移是各波在该点 引起位移的矢量和。
S1
r1
r2
P
2
P点处质点的振动位移
y y1 y2 A cos( t )
2
S2
2 A A1 A2 2 A1 A2 cos
2 A1 A2 2 A1 A2 cos 2 1 2 2
0
0
r2 r1
I A2
I I1 I 2 2 I1 I 2 cos
相干波(coherent wave)
（1）振动方向相同（不垂直）
相干波源 （2）频率相同 （3）相位差恒定
两个相干波发生干涉时， 振动加强（减弱）的条件？
水波干涉图样
二、波的干涉(interference of waves)
两个相干波发生干涉时，振动加强（减弱）的条件？
r1
S1
P
S1：
S2：
y (t ) A10 cos( t 10 )
r1 y1 r , t A1 cos[ 1(t ) 10 ] u yr, t y1 (r, t ) y2 (r, t ) r2 y2 r , t A2 cos[ 2 (t ) 2 0 ] u
二、波的干涉
两列波在空间相遇，如果叠加的结果是有的地 方的强度始终加强、有的地方的强度始终减弱，即强 度在空间有一个稳定的分布。
波的叠加与波的干涉
波的叠加与波的干涉波动现象是自然界中常见的一种物理现象，而波的叠加与波的干涉是波动现象中重要的两种基本形式。
本文将深入探讨波的叠加与波的干涉的原理、特点以及应用。
一、波的叠加波的叠加是指两个或多个波在空间和时间上交叠形成新波的现象。
它遵循以下原理：1. 波的叠加原理：当两个或多个波同时到达同一位置时，它们会按照线性叠加的原理相互影响，形成一个新的合成波。
合成波的振幅等于各个波的振幅的矢量和。
2. 波的叠加干涉：当两个具有相同频率的波相遇时，它们的振幅可能增强或减弱，这种现象被称为干涉。
当两个波的振幅相加时，称为正向干涉；当两个波的振幅相减时，称为负向干涉。
波的叠加在日常生活和科学研究中都有广泛的应用，例如水波、声波、光波等的叠加现象可以解释波浪的形成、音乐声音的合成以及干涉仪等光学仪器的工作原理。
二、波的干涉波动现象中的另一种重要形式是波的干涉。
波的干涉是指两个或多个波在空间和时间上重叠形成新波时产生的干涉现象。
波的干涉有以下特点：1. 干涉现象是波的性质之一：只有波动物体才能产生干涉现象，如水波、声波、光波等。
因此，波动物体是干涉现象的基础。
2. 干涉效应的强弱取决于波的相位：当两个波的相位差为整数倍的关系时，波的干涉效应会增强，这被称为构造性干涉；而当相位差为半整数倍的关系时，波的干涉效应会减弱，这被称为破坏性干涉。
波的干涉不仅有理论意义，而且在科学研究和工程领域也有广泛的应用。
例如，干涉仪可以用于测量光的波长和薄膜的厚度，这对材料科学和光学技术的研究起到了重要的推动作用。
三、波的叠加与波的干涉的应用波的叠加与波的干涉在许多领域都有实际应用价值。
1. 光学应用：干涉仪是一种重要的光学仪器，可以用于测量光的波长、薄膜的厚度以及空气的折射率等。
干涉现象也是光的衍射和散射的原理，这些原理在显微镜、望远镜、激光等光学仪器和光学科学研究中都有广泛的应用。
2. 声学应用：干涉现象也存在于声学领域，例如声音的叠加与干涉可以用于音乐声波合成、混音等方面。
波的叠加原理-全文可读
率和波数分别为
波速
群速度
两个频率相近 、等振幅的简谐波叠加的结果是一
个振幅缓慢变化的波,它的角频率为 ，波数为 ,波
速为
。它的振幅的变化也像一个传播的波,
它的角频率为 , 波数为 ,波速为
。
上述讨论的合成波称为波包。
3. 驻波
驻波是两列振幅相同的相干波在同一条直 线上沿相反方向传播时叠加而成的。
驻 波 的 形 成
P
S1和S2单独存在时,在P点引起的振动的方程为 :
波的干涉
P点的合方程为 :
振幅A和相位
f0
对于P点
为恒量，
因此A也是恒量 ，并与P点空间位置
A=A A（合振幅最大）
.当
时，得
（合振幅最小）
当 为其他值时 ，合振幅介于
和
之间
若f 10=f 20，上述条件简化为：
（合振幅最大） （合振幅最小）
波的干涉
干涉现象的强度分布
波的干涉
例题16- 10 试计算并分析两个频率相近 、振幅相等 、 同方向振 动的简谐波的叠加。
解 波动方式： 叠加后得到
y
x
波的干涉
y
令
或。
或
变化缓慢（对应包络曲线）
x
波的干涉
把
看成是一个角频率为 、波数为
的波 ，这个波的速度为：
相速度
Am (x,t)具有沿x方向传播的简谐波的形式,它的角频
波的干涉
波程差 两列相干波源为同相位时 ，在两列波的叠加的区 域内 ，在波程差于零或等于波长的整数倍的各点 ，振 幅最大；在波程差等于半波长的奇数倍的各点 ，振幅 最小。 因
若I 1=I2，叠加后波的强度：
5-(4)波的叠加
引：
声波的叠加 一般而言，波的叠加较复杂 y x
15 – 8
一、波的叠加原理
多普勒效应
第十五章 机械波
1、波的独立传播特性：当媒质中有几个波同时传播 时，各个波的振幅、波长、频率、振动方向以及传 播方向等特性并不因存在其它波而改变，表现出各 自独立传播的性质。 2、波的叠加原理：当几列波在媒质中相遇时，相遇 处质点的振动将是各个波单独引起的分振动的合成。
S2
2p
10m
4 cos(100t 6 ) 4 cos(100t )
200
y p y1 p y2 p A cos(100πt ) cos(100t )m
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos 52 42 2 5 4 cos 1m
15 – 8
讨论
多普勒效应
第十五章 机械波
(4) 非相干叠加 点P的两个分振动
y p y 1p y 2p
1 r2 y2 p A2 cos( 2 t 2 2 π ) 2
y1 p A1 cos(1t 1 2 π
r1
)
第十五章 机械波 15 例18如图所示，A、B两点为同一介质中两相干波源。 – 多普勒效应
(2)
振动始终加强 振动始终减弱
( 2k 1) π k 0,1,2,
A A1 A2
其他
A1 A2 A A1 A2
15 – 8
讨论
(3) 若
2 多普勒效应A22 2 A1 A2 cos 第十五章 A A1
机械波
则 2 π
常量
了解波的叠加与相干性
了解波的叠加与相干性波的叠加与相干性是物理学中一个重要的概念，在光学、声学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍波的叠加和相干性的基本原理和特点，以及它们在实际应用中的一些重要影响。
一、波的叠加波的叠加是指当两个或多个波同时传播到同一空间时，它们会相互叠加，形成新的波形态。
根据叠加原理，波的叠加可以分为两种情况：1. 线性叠加：当两个波的振幅叠加时，其结果是简单地将两个波的振幅相加，并保持相位不变。
这意味着，如果两个波的相位相同时，它们会增强；如果两个波的相位相差180度（即相位相反），它们会相互抵消。
这种叠加现象在光的干涉和声音的叠加中都有重要应用。
2. 非线性叠加：当波之间存在非线性关系时，其叠加结果不再满足线性叠加原理。
在非线性叠加情况下，波的振幅可能会发生变化，并且可能会产生新的频率成分。
非线性叠加在一些特殊情况下出现，例如在强光下的光学材料中，会发生光学非线性效应。
波的叠加现象在日常生活中有很多实例，比如两个水波在池塘中相遇时产生的波纹叠加效应、多个声源同时发出声音时形成的声音混响等。
二、波的相干性波的相干性是指两个或多个波之间存在稳定的相位关系。
具体而言，波的相干性可以分为两种情况：1. 完全相干：当两个波的相位差为常数时，它们称为完全相干波。
在这种情况下，波的相位关系保持不变，并且它们的叠加结果具有明显的干涉效应。
完全相干波的干涉现象在光的干涉和干涉仪的实验中经常出现。
2. 部分相干：当两个波的相位差随时间变化时，它们称为部分相干波。
在这种情况下，波的相位关系是随机的，并且它们的叠加结果往往无规律可循。
部分相干波的叠加现象在光的散射、声音的多普勒效应等实际场景中都有应用。
由于波的相干性直接影响波的叠加效应，因此它在很多领域都具有重要的应用价值。
例如，光的干涉和衍射是基于波的相干性原理设计的激光干涉仪、光栅等光学器件。
三、波的叠加与相干性的应用1. 光学领域：在光学中，波的叠加和相干性是很重要的概念。
波的叠加原理
y1 A1 cos w t + ( j 1
y2合振A动2 c的os振w幅t + ( j 2
相干振动合成
A1
A
A2
2pr1 )
l
2pr2 )
l
合振动
y y1 + y2
A cos (w t + j )
A
A12 A22
2 A1 A2 cos ( j 2 j 1
2p
r2
l
r1
)
j
A1 sin( j 1 合振动的初A1相c位os ( j 1
则合成振动 的振幅最小
)时
波程差为半波长的奇数倍时， 各质点的振幅最小，干涉相消。
波的干涉:
在两相干波的交叠区域内，有的 地方振动始终加强，有的地方振动始终 削弱，而其它位置的振动的强弱介乎二 者之间，形成振动强弱稳定分布的叠加 现象，称为波的干涉现象。
总结：波的干涉
(1) 相干波源的条件 ①频率相同; ②振动方向相同; ③相位差恒定。
能产生干涉现象的波称为相干波.
2. 波的干涉:
在两相干波的交叠区域内，有的地方振动始终加强，有 的地方振动始终削弱，而其它位置的振动的强弱介乎二者之 间，形成振动强弱稳定分布的叠加现象，称为波的干涉现象
3. 两列相干波的叠加：
两相干波源的振动方程:
y10 A1 cos (w t + j 1) y20 A2 cos (w t + j 2)
一 驻波的产生
驻波
振幅、频率、传播速度都相同的两列相干波，在
同一直线上沿相反方向传播时叠加而形成的一种特殊
的干涉现象.
驻波的形成
二 驻波方程
波的叠加
k 0,1,2,3,... 干涉相长
k 0,1,2,3,... 干涉相消
初位相相同的两个相干波源，在两列波叠加的 区域内，当波程差为零或波长的整数倍时，合振动 的振幅最大，干涉相长；当波程差为半波长的奇数 倍时合振幅最小，干涉相消。
r1 r2 (2k 1) , 2
相对于介质，波源不动，观察者在运动。 u vR u vR ' vs 0, vR 0 u vS u u vR ' 观察者背着波源运动， vR 0 u u vR ' 观察者向着波源运动， vR 0 u
Vs 表示波源相对于介质的运动速度。
u 声波的速度—只与介质性质有关，与波 源、观 察者运动无关。
(1)考虑波源(声源)的运动 声源以速度VS运动，在一个 周期T内由S点运动到S’点。
S
v sT
S'
uT
A
x
因为声速和声源的运动无关，S’和A两个振动状 态相同（同相）。 这相当于把声源静止时的波长，由于声源的运动 而被压缩在S’A之间了，
二、波的干涉
1.波的干涉现象 频率相同、振动方向相同、有恒定位相差的两 列波（或多列波）相遇时，在介质中某些位置的点 振幅始终最大，另一些位置振幅始终最小，而其它 位置，振动的强弱介乎二者之间，保持不变。称这 种稳定的叠加图样为干涉现象。
源满 2.相干条件 称足 为相 1.两列波振动方向相同； 相干 干条 波件 2.两列波频率相同； 源的 3.两列波有稳定的相位差。 。 波
u vs vs T v v u vs v
波长变为：
uT
S
Vs VsT
波的叠加——精选推荐
波的叠加学习目标：(1)知道波的叠加原理①知道两列机械波在传播过程中相遇，会按照各自的方向传播而互不干扰。
②知道两列机械波在相遇的区域内的介质质点同时参与两列波所引起的振动，质点的位移等于两列波所引起的位移的矢量和。
(2)知道波的干涉现象①知道什么是波的干涉现象。
②知道要得到稳定的干涉现象，叠加的两列波的波长必须相等。
③会用波的叠加原理解释干涉现象，知道到两振源的距离之差等于波长的整数倍的点是振动加强点；到两振源的距离之差等于半波长的奇数倍的点是振动减弱点。
(3)知道波的衍射现象①知道什么是波的衍射现象。
②知道能观察到明显衍射现象的条件是：障碍物或孔的大小可以与波长相比拟。
(4)知道波的干涉现象和衍射现象都是波的特有现象。
重点难点：重点：重点理论是波的叠加原理，重点知识是波的干涉和衍射，这是波的标志现象。
难点：对波的干涉和衍射的理解。
知识讲解：一、波的反射和折射波遇到障碍物返回来继续传播的现象叫做波的反射现象。
波的反射现象是很普遍的现象，如回声是声波的反射现象。
对水来说深水区与浅水区是不同的两种介质，由于水波在这两种介质中传播速度不同，当波由一种介质进入另一种介质时，在两种介质的界面上传播方向发生改变，这种现象叫做波的折射现象。
二、波的叠加原理几列波相遇时，能够保持各自原来的运动状态而互相不干扰，只是在它们重叠的区域里，介质中每个质点同时参与这几列波引起的振动，质点的位移等于这几列波分别引起的振动位移的矢量和，这就是波的叠加原理。
三、波的干涉波长相同的两列波叠加，使某些区域的振动加强，某些区域的振动减弱，并且振动加强和振动减弱的区域互相间隔并处于稳定状态，这种现象叫做波的干涉(interference)，形成的图样叫干涉图样。
干涉条件：要得到稳定的干涉现象，叠加的两列波的波长必须相同（也就是频率相同）。
机械波的叠加规律适用于一切波。
所以，一切波都能发生干涉，干涉是波的特有现象之一。
关于波的干涉应注意理解以下几点：①任何两列波相遇时都可以叠加，而两列波要发生干涉必须具备一定的条件（两列波的波长必须相同），通常把符合干涉条纹的两列波的波源叫相干波源。
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波的叠加 孤子
问题的提出：[实验]在一根水平长绳的两端分别向上抖动一下，就分别有两个突起状态1和2在绳上传播。
我们看到，两列波相遇后，彼此穿过，继续传播，波形状和传播的情形都跟相遇前一样，也就是说，相遇后，它们都保持各自的运动状态，彼此都没有受到影响。
仔细观测两列相遇的水波，也可以看到两列水波相遇后，彼此穿过，仍然保持各自的运动状态继续传播，就像没有跟另一列水波相遇一样。
（见：全日制普通高级中学教科书（必修加选修） 物理 第二册 人民教育出版社
第十章 机械波 第五节 波的干涉 第55页）
相关知识：几列波同时在媒质中传播，不管它们是否相遇，都各自以原有的振幅、波长和频率独立传播，彼此互不影响。
例如，房间里人们在交谈，同时播放音乐，但决不会因此改变说话人的声音；同样，欣赏音乐的人也不会由于旁边有人说话而使音乐旋律发生变化。
两列波互相独立的传播，在两波相遇处体元的位移等于各列波单独传播是在该处引起的位移的矢量和，叫做波的叠加原理。
这一原理最初是从实验和观察总结出来的。
下面从理论上解释叠加原理。
以横波为例。
横波的波动方程2222x y N t
y ∂∂=∂∂ρ，其中，N 表示媒质的剪切模量，ρ表示媒质密度。
注意，该方程为线性方程。
线性方程有一个特点，即若1y 和2y 分别是它的解，则21y y +也是方程的解。
这一点容易看出：将波动方程写作2
2222x y a t y ∂∂=∂∂，因1y 和2y 为其解，有恒等式 2122212x y a t y ∂∂=∂∂，2222222x
y a t y ∂∂=∂∂ 显然，进一步由恒等式
即21y y +同样是方程的解。
而21y y +即两波的叠加。
可见波的叠加原理和波动方程的线性有密切关系。
有关弹性波的波动方程是根据牛顿第二定律和关于物体弹性的胡克定律推导出来的。
形变很小时，胡克定律指出应变为应力的线性函数，这时质点动力学方程为一线性方程。
如媒介中振幅很大，以至形变和应力之间不再有线性关系，则将得非线性波动方程，叠加原理就不再正确。
221222212)()(x y y a t y y ∂+∂=∂+∂
那么，对于非线性波动呢？
非线性波动有两大类，一种是大家常谈到的孤立波（Solitary wave ），又称孤粒子（也称为孤子），另一种是耗散系统的波，这类波的波形多种多样，研究方法与前者颇不同。
这里我们关心的是前者。
今年来，在数学物理问题中以KdV （Korteweg de Vries ）方程为中心所展开的关于所谓孤粒子（solitary ）的研究，显得十分活跃。
什么叫孤粒子呢？虽然在许多物理学的分支中，已广泛使用了这个术语，但数学上还没有一个统一的定义。
这里就以KdV 方程为例，给一个尽可能完善的描述。
为此首先定义孤立波。
KdV 方程
0=++xxx x i u uu u （1）
的形如
)()(),(ξϕϕ=-=vt x t x u （2）
的特解称为行进波，其中v 为常数，称为行进速度。
一个局部性的行进波)(),(ξϕ=t x u 就叫孤立波。
即当±∞→ξ时，)(ξϕ及其一、二阶导数都趋于零。
把（2）式代入（1）式进行三次积分，不难取定函数)(ξϕ。
于是（2）式便可具体写为
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=)(2sec 3),(2vt x v h v t x u （3）
上式就称为KdV 方程（1）的孤立波。
从（3）式可以看出，孤立波的波幅与它的行进速度成正比，而波的“宽度”（局部性程度）与行进速度的平方根成反比。
这是KdV 方程的孤立波的一个基本性质。
如果一个个立波与其他孤立波发生碰撞（相遇）之后，仍保持碰撞前的形状和速度而离开，并继续前进（碰撞不变性），则称这种孤立波为孤立子。
上述KdV 方程（1）的孤立波（3）就是一个孤立子。
罗素（J.Scott--Russell ）1844年在“关于波的报道”中谈及它在狭窄的爱丁堡—格拉斯哥运河（Edinburgh —Glasgow canal ）于1834年观察到有两匹马拉着一条船迅速前进。
当船突然停下时，在船前面被船推动的水团形成一个光滑孤立的波峰，在河道中行进。
最后高度逐渐减小而消失。
罗素还在约30cm 宽6m 长的水槽中做过有关水槽中孤立子的研究。
直到1895年，荷兰的科尔泰沃赫（D.J.Korteweg ）和德弗希斯（G.de.Vries ）才提出该水波的动力学方程，即KdV （Korteweg de Vries ）方程：
)3132(/2333x
y x y y x y h g t y ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂σα， 式中g Th h ρσ/3/3
-=，T 和ρ分别表示表面张力和液体密度，α为一常数。
上面方程
的波形解为
[]
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+-=t h gh x h t x y )2/1(/21sec ),(2αραα 而波速为 )2/1(h gh v α+=。
从此式可知，振幅越大，波速越高。
当KdV 方程被提出来之后，在很长时间内未引起人们的兴趣。
一方面是由于人们以为孤立波只不过是某种特殊的方程具有的特殊的街，是一种稀有现象。
另一方面也是由于非线性数学有待进一步发展以便对非线性方程作更深入的研究。
20世纪60年代以来，关于孤立子的研究有了巨大进展。
世界上不少物理学家和数学家，如李政道、Lax ，都对之很感兴趣。
孤立子普遍存在于粒子物理、等离子物理、超导理论、场论和非线性光学等许多学科中，许多方程有孤立解。
在分子生物学领域，DNA 螺旋结构的孤子提出一种描述结构转变的方法，它可能解决控制基因表达机制的途径。
孤子在技术上也得到应用，例如应用光导纤维传播光学孤子可用以非常迅速地传递信息等。