问题二模型的建立与求解

1. 模型的建立生态系统是一个包含了若干生物的集合体，其中的物种之间既存在联系，也存在着激烈的竞争。

单个物种的特征及变动状况不足以描述整个生态系统的特征及变化，但是用种群之间或种群之内的相互作用的单个种的种群动态进行描述也是十分困难的。

因此，面向群落之间的种群的全局研究是及其重要的。

以下将根据附件提供的啮齿动物的数据分析这三种物种在干旱区生态系统中群落的稳定性。

用excel整理啮齿动物优势种生物量可得:根据此表格（）可得一下分布趋势图：利用SPSS软件进行spearman分析，建立各变量之间的相关关系模型：1.考虑三趾跳鼠、子午沙鼠、小毛足鼠三个啮齿动物物种的竞争系统⎝⎛---=---=---=)1()1()1(321333212232111x x x x x x x x x x x x x x x βααββα （1） 其中321,,x x x 分别表示三趾跳鼠、子午沙鼠、小毛足鼠的种群数量。

我们讨论参数β,∂取什么值时竞争系统（1）存在稳定的平衡状态，而且三趾跳鼠、子午沙鼠和小毛足鼠不致于灭绝。

当0111),(≠=βααββαβαf （2） 时有非零平衡解（且是唯一的）***321,,x x x 使得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=---=---*********010101321321321x x x x x x x x x βααββα （3） 同时有βα++===***11321x x x （4）因此平衡解聚落的三趾跳鼠、子午沙鼠和小毛足鼠有相当的地位，为了确定它的稳定性，我们考虑李雅普诺夫函数 )ln(),,(31321*=**∑--=ii i i i i x x x x x x x x V （5）)1)(()1)(()1)(()1(132133321223211131)1(x x x x x x x x x x x x x x x x x x dtdV V i ii ----+----+----=-===****∑βααββα 利用（3）则得[][][][]))()(())()(())()(()()()()()()()()()()()()()()()()1(3322331122112332222113322113333221122332211*********************--++--++--++--+--=-------+-------+-------=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x V βαβαβαβααββα这是一个二次项，依线性代数中sylvester 判别准则，如果行列式012211>++=∆βαβα 01222122212>++++++=∆βαβαβαβαβαβα 则0）1（<dtdV通过计算可得4)(121βα+-=∆ 4)(4)(31322βαβα+++-=∆ 易知当20<+<βα时，即有,0,021>∆>∆另一方面3331),(βααββα++-=f[]0)-)((434)()(43)(3)(43)(3)(43)(4334)(34)(),(2232323332≥+=-++=+-+≥+-+++=-+++-+=∆-βαβααββαβαβααββαβααββαβααββαβαβαβαf 因此，当20<+<βα时，有0),(2>∆≥βαf 用类似于)1(的方法可证)5(在区域0,0,0321>>>x x x 内关于平衡点),,(321***x x x 是正定无穷大函数，依李雅普诺夫稳定定理，当20<+<βα时，竞争系统)1(有唯一平衡点βα++===***11321x x x ，且它是全局渐进稳定的。

下面进行讨论2=+βα的情形，要求1,1≠≠βα，因为如果1==βα，将有与0),(=βαf )2(不相容，此将有无穷多个平衡点。

将模型)1(中的三个方程相加：2321321323121232221321321)()()()()()()(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x dtd++-++=+-+-+----++=++βαβαβα 令321x x x ++=ξ 则2ξξξ-=dtd 其通解为ket --+=))0(1()0()0()(ξξξξ 故有[]1)()()(lim )(lim 321=++=+∞→+∞→t x t x t x t t t ξ另方面，把)1(改写为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧---=---=---=321332123211ln 1ln 1ln xx x dtx d x x x dt x d x x x dt xd βααββα 将此三个方程相加得[]))(1(3)ln(321321x x x x x x dtd ++++-=βα 令321x x x y =，又注意ξξξξ-==11ln dtd dt d 故得)(ln 3)(ln ξdtdy dt d = 两边积分得3)0()()0(⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ξξt y y 可以有 [][][]常数）()0()0()(lim )0()0()(lim 0323C y t y t y t t ===+∞→+∞→ξξξ 这说明，当）1，1（2≠≠=+βαβα时，竞争系统)1(的满足初始条件0)0(,0)0(,0)0(321>>>x x x 的解),(),(),(321t x t x t x 当∞→t 时趋向简单的闭曲线，即从)0(),0(),0(321x x x 出发的轨线，当∞→t 时趋于闭轨线⎩⎨⎧=++=++03213211C x x x x x x 其中[]33213210)0()0()0()0()0()0(t t x x x x C =3个种群的一般情形∑==+=31)3,2,1)((ij ij i i i j x a r x x（9）其中i r 是第i 个种群的增长率，ij a 表示第i 种群和第j 种群之间的关系特征，0≠ij a 表示各种群内部有发生一定的关系，（9）又称为Volterra 型数学模型。

按照生物上的实际意义，我们对（9）只讨论0≥i x 的情形，它的平衡点就是为如下方程 ∑=**==+31)3,2,1(0)(j j ij i i i x a r x 的解，显然三维空间（),,(321***x x x 中的原点是不稳定的。

首先假设在区域（)0,0,0(321>>>x x x 内有唯一平衡点),,(321***x x x ,即存在唯一的一组数0,0,0321>>>***x x x 满足方程组： ∑=*=+31j j ij i x a r )3,2,1(=i（10）则可建立如下结论：若存在一组常数)3,2,1(,0=>i P i 使得矩阵)(21P A PA B T +=负定的，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n P P P P 21[ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 2122221121证矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n b b bb b bb b b B 212222111211 满足Sylvester 条件： 011<b,022211211>b b b b0)1(,,0333231232221131211>-<B b b b b b b b b b n 则系统（9）的平衡点),,(321***x x x ，在区域)3,2,1(0=>i x i 内全局渐近稳的。

其次假设平衡点0≥i x )3,2,1(=i 即有某些种群灭绝的情形，为了方便起见，假设下标这样排列，当k i ,,3,2 =时，有其次假设平衡点0>*j x ，而当3,,2,,1 ++=k k i 时0=*j x ，其中k 是3,2,1中的一个，于是有⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+=≤≤=+*=*∑)1(0)1(01n i k x k i x a r i k j j ij i假设系统（10）的平衡点解)1(0),1(),,(321n i k x k i x x x x i i ≤≤+=≤≤*****成立下列条件：（i ）0)(21≤+=P A PA B T （半负定）且∑=*<+kj j ij i x a r 1（ii ）0)(21<+=P A PA B T ,且∑=*≤+kj j ij i x a r 1（iii ）0)(21≤+=P A PA B T ，且∑=*≤+kj j ij i x a r 1)1(n i k ≤≤+同时集合{}0),,(321=V x x x 不包含除平衡点),,(321***x x x 之外的任何整条轨线，则系统（10）的任何满足初始条件)3,2,1(0)0(=>i x i 的)3,2,1)(()(=+∞→→*i t x t x i i 因而3,,1 +k 个种群最终将灭绝，其他物种便将稳定在),,2,1(k i x x i i ==*的平衡点。

其中∑∑+==**=>+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=n k i i j i ki i i i j j i i p x p x x x x x P x x x V 11321)3,2,1(,0ln )(),,(模型求解：依据多样性和种间关联性的分析结果过牧降低了群落的抵抗力稳定性恢复力稳定性。

轮牧可以经济有效利用草地，群落抵抗力和恢复力稳定性较弱。