高中数学 第十一章《圆锥曲线》数学竞赛讲义 苏教版
高二数学 2.1圆锥曲线概念课件 苏教版
）的点的轨迹叫做双曲线，两个定
2
点 F 1 ，F 2 叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫
做双曲线的焦距。
双曲线形成演示
可以用数学表达式来体现: 设平面内的动点为M,有 MF1MF2 2a （0<2a< F 1 F 2 的常数）
思考：平面内到两个定点 Ｆ１，Ｆ２的距离的差的等于常数
(小于F1F2)的点的轨迹是什么？
• 是双曲线的一支。 问题２：怎样确定是哪一支？
看ＰＦ１和ＰＦ２谁大，偏向小 的一边。
抛物线的定义 :
平面内到一个定点F和一条定直线L（F不在L 上）的距离相等的点轨迹叫做抛物线，定点F叫做 抛物线的焦点，定直线L叫做抛物线的准线
抛物线形成演示
可以用数学表达式来体现:
设平面内的动点为M ,有 MF=d（d为动点M到 直线L的距离）
圆心的轨迹为（ C ）
A.椭圆
B.双曲线
例4．（1）已知F1,F2为定点，F1F2＝4，
动点M满足MF1+MF2=4,则动点的轨迹是（D）
A.椭圆
B.双曲线
（2）到两定点A(4,0),B(-4，0)的距离 之差的绝对值是8的轨迹是 两条射线
练习
1、已知∆ABC中，B（-3，0），C（3，0），且 AB，BC，AC成等差数列。
MF1 + MF2 ＝MP + MQ ＝ PQ＝定值V来自Q O2F2 F1
M
O1
P
椭圆的定义:
平面内到两定点
F
1 ，F
2
的距离和等于常数（大于 F 1
F
）
2
的点的轨迹叫做椭圆，两个定点 F 1 ，F 2 叫做椭圆的焦
点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
苏教版选修11高中数学2.5圆锥曲线的一路性质word教案
江苏省涟水县第一中学高中数学 圆锥曲线的一路性质教学案 苏教版选修1-1教学目标： 了解圆锥曲线的一路性质，理解圆锥曲线的准线的概念，掌握标准方程下的圆锥曲线准线方程． 教学重点：圆锥曲线的一路性质及其应用．教学难点：圆锥曲线的一路性质及其应用．教学进程：一、情境设计问题1 咱们明白，平面内到一个定点F 的距离和到一条定直线l （F 不在l 上）的距离的比等于1的动点P 的轨迹是抛物线，当那个比值是一个不等于1的常数时，动点P 的轨迹又是什么曲线呢？二、学生活动 运用多媒体画出常数别离为12和2的动点P 的轨迹，并判断曲线类型． 问题2 在推导椭圆的标准方程时，咱们曾取得如此一个方程：a2－cx ＝a (x －c)2＋y2 ，将其变形为(x －c)2＋y2a2c－x ＝ c a ， 你能解释那个方程的几何意义吗？三、建构数学例1 已知点P （x ，y ）到定点F （c ，0）的距离与到定直线l ：x ＝a2c 的距离之比是常数c a（a>c>0），求点P 的轨迹．由例1及其变式能够发觉圆锥曲线能够统一概念为：平面内到一个定点F 和到一条定直线l （F 不在l 上）的距离的比等于常数e 的点的轨迹．当0＜e ＜1时，它表示椭圆；当e ＞1时，它表示双曲线；当e ＝1时，它表示抛物线．其中e 是圆锥曲线的离心率，定点F 是圆锥曲线的核心，定直线l 是圆锥曲线的准线．试探1（1）椭圆和双曲线有几条准线？（2）准线方程别离是什么？试探2椭圆y2a2＋x2b2= 1 （a＞b＞0）和双曲线y2a2－x2b2＝1 （a＞0，b＞0）的准线方程别离是什么？四、知识运用：例1求下列曲线的准线方程．（1）221259x y+=；（2）22416x y+=；（3）32822=-yx；（4）422-=-yx；（5）216y x=；（6）23x y=-．例2已知椭圆1366422=+yx上一点P到左核心的距离为4，求P点到左准线的距离．变式1求点P到右准线的距离．变式2已知双曲线13622=-xy上一点P到一个核心的距离为4，求P点到此核心相应准线的距离．班级：高二（）班姓名：____________1.（06浙江）双曲线221xym-=上的点到左核心的距离与到左准线的距离的比是3，则m等于2.已知椭圆的核心到相应准线的距离为长半轴长，则椭圆的离心率是3．已知椭圆192522=+yx上一点P到左核心1F的距离为6，则点P到椭圆的右准线的距离是．4.若双曲线191622=-yx上一点P到左准线的距离是8，则点P到右核心的距离等于5.若抛物线的极点在原点，准线与椭圆18422=+yx的上准线重合，则抛物线的方程为6.以直线2x+5y=0为渐近线且一条准线为423y=的双曲线方程是7.中心在原点，准线方程是4y=±，离心率为12的椭圆方程为____________8.已知双曲线的渐近线方程为xy2±=,核心在x轴上,核心到相应准线的距离为554,则双曲线方程是9.已知动点P(,)x y到定点（3，0）的距离比它到直线5x=-的距离小2，则动点P的轨迹方程是10.已知点A（1，2）在椭圆2211612x y+=内，点P在椭圆上，F的坐标为（2，0），则使2PA PF+取最小值时Ｐ点的坐标为_____________11.按照下列条件，求曲线的方程：。
苏教版高中数学选修1-1《圆锥曲线》教学课件2
点．
|MF2－MF1| ＝| MQ－MP | ＝QP (常数)
如图，球与圆截面切于点F．设M是截
线上任意一点，则MF是由
A
点M向球所作的切线的长，
又圆锥过点M的母线与球
切于点P．
MF ＝ MP＝ MN
1、椭圆的定义：
2、双曲线的定义 ：
锥曲线
用一个平面去截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点时， 可得到两条相交直线；当平面与圆锥面的轴垂直时，截线 （平面与圆锥面的交线）是一个圆．当改变截面与圆锥面的 轴的相对位置时，观察截线的变化情况，并思考： ● 用平面截圆锥面还能得到哪些曲线？这些曲线具有哪些几 何特征？
图2-1-1
设圆锥面的母线与轴所成的角为，截π面与轴所成 的角为．通过观察可以发现，当 < < 2 ，0≤ < ， = 时，我们可以得到三种不同形状的曲线：
( 4)方程 (x 5)2 y2 (x 5)2 y2 10 表示什么曲线？ 射线：y=0（x≥5）
(5)方程 (x 5)2 y2 (x 5)2 y2 -10 表示什么曲线？ 射线：y=0（x≤-5）
(6)方程 (x 5)2 y2 (x 5)2 y2 10 表示什么曲线？线段：y=0（-5≤x≤5）
3、抛物线的定义：
• 平面内与一个定点F的距离和一条定直线l (F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物 线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫 做抛物线的准线.
说明：(1)点F不能在直线l上，
否则其轨迹是过点F且与 l垂直的直线
(2)与椭圆、双曲线不同， 抛物线只有一个焦点和一条准线
圆锥曲线:
(7)方程 (x 5)2 y2 (x 5)2 y2 8 表示什么曲线？ 无轨迹 (8)方程 (x 5)2 y2 (x 5)2 y2 12 表示什么曲线？ 椭圆
(教师用书)高中数学 2.1 圆锥曲线配套课件 苏教版选修1-1
已知 F1(－4，3)，F2(2，3)为定点，动点 P 满足 PF1－PF2 ＝2a，当 a＝2 或 a＝3 时，求动点 P 的轨迹．
【解】 由已知可得，F1F2＝6. 当 a＝2 时，2a＝4，即 PF1－PF2＝4＜F1F2，根据双曲线 的定义知，动点 P 的轨迹是双曲线的一支(对应于焦点 F2)； 当 a＝3 时，PF1－PF2＝6＝F1F2，此时动点 P 的轨迹是 射线 F2P，即以 F2 为端点向 x 轴正向延伸的射线． 故当 a＝2 时，动点 P 的轨迹是双曲线的一支(对应于焦 点 F2)；当 a＝3 时，动点 P 的轨迹是射线 F2P.
●教学流程
演示结束
课 标 解 读
1.了解圆锥曲线的实际背景． 2．理解椭圆、双曲线、抛物线的定 义．(重点) 3． 能依据圆锥曲线的定义判断所给 曲线的形状．(难点)
圆锥曲线
【问题导思】 1 ．平面中，到一个定点的距离为定值的点的轨迹是什 么？
【提示】 圆．
2．函数 y＝x2 的图象是什么？ 【提示】 开口向上的抛物线． 3．用刀切火腿肠时，截面会有什么形状？ 【提示】 圆、椭圆．
图 2－1－1
【思路探究】
【自主解答】 设动圆 M 的半径为 r3，则 MF1＝r1＋r3， MF2＝r2＋r3. ∴MF2－MF1＝(r2＋r3)－(r1＋r3)＝r2－r1＝1， 又∵F1F2＝2＋3＝5， ∴MF2－MF1＝1＜5. 由双曲线的定义知， 动圆 M 的轨迹是以 F1，F2 为焦点的 双曲线的一支．
【证明】 连结 MC(如右图)． ∵MD 是线段 PC 的垂直平分线， ∴MC＝MP.∴MO＋MC＝MO＋MP＝PO＝r 为定值． 又∵C 在圆 O 内， ∴OC<r. ∴点 M 的轨迹是以 O、C 为焦点的椭圆．
高考数学二轮专题复习 第11讲 圆锥曲线定义、方程与性质课件 文 苏教
第 11 讲 圆锥曲线定义、方程与性质
第 11 讲 │ 主干知识整合
主干知识整合
1．圆锥曲线的统一性 (1)从方程的形式看，在直角坐标系中，椭圆、双曲线和 抛物线这三种曲线的方程都是二元二次的，所以也叫二次曲 线． (2)从点的集合(或轨迹)的观点看，它们都是与定点和定 直线距离的比是常数 e 的点的集合(或轨迹)，这个定点是它 们的焦点，定直线是它们的准线，只是由于离心率 e 取值范 围的不同，而分为椭圆、双曲线和抛物线三种曲线． (3)这三种曲线都可以是由平面截圆锥面得到的截线，因 而才称之为圆锥曲线．
△AOB
的面积
S
＝
1 2
1＋k2 |x1|
1＋k12 |x2| ＝
1＋k22 2 1＋4k2k2＋4.
第 11 讲 │ 要点热点探究
令 1＋k2＝t(t>1)，则 S＝2 4t2＋t92t－9＝2
1 －t92＋9t ＋4.
令
g(t)
＝
－
9 t2
＋
9 t
＋
4
＝
－
9
1t －12
2
＋
25 4
(t>1)
，
第 11 讲 │ 要点热点探究
【解答】 依题意，设双曲线的半焦距为 c，由离心率 e ＝2＝ac，得 c＝2a，b＝ 3a，B(0， 3a)，F(－2a,0)．设 C(x,0)， 故B→C＝(x，－ 3a)，B→F＝(－2a，－ 3a)，由B→C·B→F＝0， 得 x＝32a，所以 C32a，0.
【点评】 本题的“几何味”特别浓，这就为本题 注入了活力．圆锥曲线的有关问题常常与平面几何知 识相结合，这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的 重视，也只有这样才能挖掘出丰富 │ 规律技巧提炼
高二数学圆锥曲线课件_苏教版
定义： 定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长 的点的轨迹叫做椭圆 椭圆。 的点的轨迹叫做椭圆。
D H G E
A
Q F C P
B
EF>AD
EF>PQ
用一个平面去截一个圆柱， 用一个平面去截一个圆柱， 当平面与圆柱两底面平行时 截面是一个圆 当平面与圆柱两底面平行时，截面是一个圆； 平行 不平行时 截面是一个椭圆 椭圆。 当平面与两底面不平行 当平面与两底面不平行时，截面是一个椭圆。
正圆锥面 正圆锥面 截痕为抛物线 截痕为抛物线 H 底为圆
截痕为双曲线 截痕为双曲线
正圆锥面 正圆锥面
截面 截痕为双曲线 截痕为双曲线
底面圆 底面圆
2、椭圆的定义： 、椭圆的定义： 的定义
平面内到两定点 、 的距离之和等于 平面内到两定点F1、F2的距离之和等于 到两定点 常数(大于 大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆． 的点的轨迹叫做椭圆 常数 大于 的点的轨迹叫做椭圆． 这两个定点叫做椭圆的焦点 焦点， 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点 间的距离叫做焦距 焦距． 间的距离叫做焦距．
3、双曲线的定义 ： 、双曲线的定义
平面内与两定点 、 的距离的 的距离的差 平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对 与两定点 是常数(小于 小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双 值是常数 小于 的点的轨迹叫做双 曲线．这两个定点F1、 叫做双曲线的 曲线．这两个定点 、F2叫做双曲线的 焦点，两个焦点之间的距离叫做焦 焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．
l′
l
σ
(1) θ > σ ,平面 与 平面π与 平面 圆锥的交线为椭圆 椭圆; 圆锥的交线为椭圆 (2) θ =σ ,平面 与 平面π与 平面 圆锥的交线为抛物 圆锥的交线为抛物 线; (3)θ < σ,平面 与 平面π与 平面 圆锥的交线为双曲 圆锥的交线为双曲 线。
苏教版学高中数学选修圆锥曲线与方程章末复习课讲义
圆锥曲线的定义及应用（）Ａ．椭圆Ｂ．双曲线Ｃ．抛物线Ｄ．以上都不对（２）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F１，F２在x轴上，离心率为错误!.过F１的直线l交C于A，B两点，且△ABF２的周长为１6，那么C的方程为________．（１）C （２）错误!＋错误!＝１[（１）把轨迹方程５错误!＝|３x＋４y—１２|写成错误!＝错误!.∴动点M到原点的距离与它到直线３x＋４y—１２＝0的距离相等．∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线３x＋４y—１２＝0为准线的抛物线．（２）设椭圆方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0），因为AB过F１且A，B在椭圆上，如图所示，则△ABF２的周长为|AB|＋|AF２|＋|BF２|＝|AF１|＋|AF２|＋|BF１|＋|BF２|＝４a＝１6，∴a＝４．又离心率e＝错误!＝错误!，∴c＝２错误!，∴b２＝a２—c２＝8，∴椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１．]“回归定义”解题的三点应用应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；应用三：在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．提醒：应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件．１．点P是抛物线y２＝8x上的任意一点，F是抛物线的焦点，点M的坐标是（２,３），求|PM|＋|PF|的最小值，并求出此时点P的坐标．[解] 抛物线y２＝8x的准线方程是x＝—２，那么点P到焦点F的距离等于它到准线x＝—２的距离，过点P作PD垂直于准线x＝—２，垂足为D，那么|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.如图所示，根据平面几何知识，当M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小，且最小值为|MD|＝２—（—２）＝４，所以|PM|＋|PF|的最小值是４．此时点P的纵坐标为３，所以其横坐标为错误!，即点P的坐标是错误!.圆锥曲线的方程【例２】C的方程是（）Ａ．错误!＋错误!＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１（２）已知抛物线y２＝8x的准线过双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的一个焦点，且双曲线的离心率为２，则该双曲线的方程为________．（１）D （２）x２—错误!＝１[（１）由题意得错误!，解得错误!，则b２＝a２—c２＝３，故椭圆方程为错误!＋错误!＝１．（２）由题意得错误!，解得错误!，则b２＝c２—a２＝３，因此双曲线方程为x２—错误!＝１．]求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤．（１）定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．（２）定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx２＋ny２＝１（m>0，n>0）．（３）定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小．２．（１）以x轴为对称轴，通径长为8，顶点为坐标原点的抛物线方程是（）Ａ．y２＝8xＢ．y２＝—8xＣ．y２＝8x或y２＝—8xＤ．x２＝8y或x２＝—8yC[由题意知２p＝8，故选Ｃ．]（２）焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为２，到左顶点的距离为３的椭圆的标准方程是（）Ａ．错误!＋错误!＝１Ｂ．错误!＋y２＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．x２＋错误!＝１A[依题意，得a＝２，a＋c＝３，故c＝１，b＝错误!＝错误!，故所求椭圆的标准方程是错误!＋错误!＝１．]圆锥曲线的几何性质【例３】（１）如图所示，F１，F２是椭圆C１：错误!＋y２＝１与双曲线C２的公共焦点，A，B分别是C１，C２在第二、四象限的公共点．若四边形AF １BF２为矩形，则C２的离心率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误! D.错误!（２）已知a>b>0，椭圆C１的方程为错误!＋错误!＝１，双曲线C２的方程为错误!—错误!＝１，C１与C２的离心率之积为错误!，则C２的渐近线方程为________．[思路探究] （１）由椭圆可求出|AF１|＋|AF２|，由矩形求出|AF１|２＋|AF２|２，再求出|AF２|—|AF１|即可求出双曲线方程中的a，进而求得双曲线的离心率．（２）根据离心率的关系列出关于a，b的方程，求出错误!，再求渐近线方程．（１）D （２）x±错误!y＝0 [（１）由椭圆可知|AF１|＋|AF２|＝４，|F１F２|＝２错误!.因为四边形AF１BF２为矩形，所以|AF１|２＋|AF２|２＝|F１F２|２＝１２，所以２|AF１||AF２|＝（|AF１|＋|AF２|）２—（|AF１|２＋|AF２|２）＝１6—１２＝４，所以（|AF２|—|AF１|）２＝|AF１|２＋|AF２|２—２|AF１|·|AF２|＝１２—４＝8，所以|AF２|—|AF１|＝２错误!，因此对于双曲线有a＝错误!，c＝错误!，所以C２的离心率e＝错误!＝错误!.（２）设椭圆C１和双曲线C２的离心率分别为e１和e２，则e１＝错误!，e２＝错误!.因为e１·e２＝错误!，所以错误!＝错误!，即错误!４＝错误!，所以错误!＝错误!.故双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x＝±错误!x，即x±错误!y＝0．]求解离心率的三种方法（１）定义法：由椭圆（双曲线）的标准方程可知，不论椭圆（双曲线）的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a２—b２＝c２（a２＋b２＝c２）以及e＝错误!，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．（２）方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．（３）几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆（双曲线）的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．３．已知椭圆错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的半焦距是c，A，B分别是长轴、短轴的一个端点，O 为原点，若△ABO的面积是错误!c２，则这一椭圆的离心率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!A[错误!ab＝错误!c２，即a２（a２—c２）＝１２c４，所以（a２＋３c２）（a２—４c２）＝0，所以a ２＝４c２，a＝２c，故e＝错误!＝错误!.]直线与圆锥曲线的位置关系【例４】，左、右焦点分别为F１（—c,0），F２（c,0）．（１）求椭圆的方程；（２）若直线l：y＝—错误!x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F１F２为直径的圆交于C，D两点，且满足错误!＝错误!，求直线l的方程．[思路探究] （１）利用定义解题．（２）利用勾股定理和弦长公式来解．[解] （１）由题设知错误!解得a＝２，b＝错误!，c＝１，∴椭圆的方程为错误!＋错误!＝１．（２）由（１）知，以F１F２为直径的圆的方程为x２＋y２＝１，∴圆心到直线l的距离d＝错误!，由d<１得|m|< 错误!.（*）∴|CD|＝２错误!＝２错误!＝错误!错误!.设A（x１，y１），B（x２，y２），由错误!得x２—mx＋m２—３＝0，由根与系数的关系可得x１＋x２＝m，x１x２＝m２—３．∴|AB|＝错误!＝错误!错误!.由错误!＝错误!，得错误!＝１，解得m＝±错误!，满足（*）．∴直线l的方程为y＝—错误!x＋错误!或y＝—错误!x—错误!.直线与圆锥曲线的三种位置关系将直线方程与圆锥曲线方程联立，化简后得到关于x（或y）的一元二次方程，则直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：１．相交：Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ>0⇒直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有Δ>0，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故Δ>0是直线与双曲线相交的充分不必要条件；Δ>0⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有Δ>0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故Δ>0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，而不是必要条件．２．相切：Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ＝0⇔直线与双曲线相切；Δ＝0⇔直线与抛物线相切．３．相离：Δ<0⇔直线与椭圆相离；Δ<0⇔直线与双曲线相离；Δ<0⇔直线与抛物线相离．４．已知椭圆E：错误!＋错误!＝１（a＞b＞0），其焦点为F１，F２，离心率为错误!，直线l：x＋２y—２＝0与x轴，y轴分别交于点A，B.（１）若点A是椭圆E的一个顶点，求椭圆的方程；（２）若线段AB上存在点P满足|PF１|＋|PF２|＝２a，求a的取值范围．[解] （１）由椭圆的离心率为错误!，得a＝错误!c，由A（２,0），得a＝２，∴c＝错误!，b＝错误!，∴椭圆方程为错误!＋错误!＝１．（２）由e＝错误!，设椭圆方程为错误!＋错误!＝１，联立错误!得6y２—8y＋４—a２＝0，若线段AB上存在点P满足|PF１|＋|PF２|＝２a，则线段AB与椭圆E有公共点，等价于方程6y２—8y ＋４—a２＝0在y∈[0,１]上有解．设f（y）＝6y２—8y＋４—a２，∴错误!即错误!∴错误!≤a２≤４，故a的取值范围是错误!≤a≤２．。
高中数学竞赛教材讲义 第十一章 圆锥曲线讲义
第十一章 圆锥曲线一、基础知识1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c).第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0<e<1)的点的轨迹（其中定点不在定直线上），即e dPF =||(0<e<1). 第三定义：在直角坐标平面内给定两圆c 1: x 2+y 2=a 2, c 2: x 2+y 2=b 2, a, b ∈R +且a ≠b 。
从原点出发的射线交圆c 1于P ，交圆c 2于Q ，过P 引y 轴的平行线，过Q 引x 轴的平行线，两条线的交点的轨迹即为椭圆。
2．椭圆的方程，如果以椭圆的中心为原点，焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系，由定义可求得它的标准方程，若焦点在x 轴上，列标准方程为12222=+b y a x (a>b>0)， 参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数）。
若焦点在y 轴上，列标准方程为12222=+b y a y (a>b>0)。
3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆12222=+by a x ， a 称半长轴长，b 称半短轴长，c 称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a, 0), (0, ±b), (±c, 0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为c a x 2-=，与右焦点对应的准线为ca x 2=；定义中的比e 称为离心率，且ac e =，由c 2+b 2=a 2知0<e<1. 椭圆有两条对称轴，分别是长轴、短轴。
4．椭圆的焦半径公式：对于椭圆=+2222by a x 1(a>b>0), F 1(-c, 0), F 2(c, 0)是它的两焦点。
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第十一章 圆锥曲线一、基础知识1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c).第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0<e<1)的点的轨迹（其中定点不在定直线上），即e dPF =||(0<e<1). 第三定义：在直角坐标平面内给定两圆c 1: x 2+y 2=a 2, c 2: x 2+y 2=b 2, a, b ∈R +且a ≠b 。
从原点出发的射线交圆c 1于P ，交圆c 2于Q ，过P 引y 轴的平行线，过Q 引x 轴的平行线，两条线的交点的轨迹即为椭圆。
2．椭圆的方程，如果以椭圆的中心为原点，焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系，由定义可求得它的标准方程，若焦点在x 轴上，列标准方程为12222=+b y a x (a>b>0)， 参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数）。
若焦点在y 轴上，列标准方程为12222=+b y a y (a>b>0)。
3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆12222=+by a x ， a 称半长轴长，b 称半短轴长，c 称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a, 0), (0, ±b), (±c, 0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为c a x 2-=，与右焦点对应的准线为c a x 2=；定义中的比e 称为离心率，且ac e =，由c 2+b 2=a 2知0<e<1.椭圆有两条对称轴，分别是长轴、短轴。
4．椭圆的焦半径公式：对于椭圆=+2222by a x 1(a>b>0), F 1(-c, 0), F 2(c, 0)是它的两焦点。
若P(x, y)是椭圆上的任意一点，则|PF 1|=a+ex, |PF 2|=a-ex.5．几个常用结论：1）过椭圆上一点P(x 0, y 0)的切线方程为12020=+byy a x x ；2）斜率为k 的切线方程为222b k a kx y +±=； 3）过焦点F 2(c, 0)倾斜角为θ的弦的长为θ2222cos 2c a ab l -=。
6．双曲线的定义，第一定义：满足||PF 1|-|PF 2||=2a(2a<2c=|F 1F 2|, a>0)的点P 的轨迹；第二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(>1)的点的轨迹。
7．双曲线的方程：中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线方程为12222=-by a x ， 参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕtan sec b y a x （ϕ为参数）。
焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为12222=-bx a y 。
8．双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线12222=-b y a x (a, b>0), a 称半实轴长，b 称为半虚轴长，c 为半焦距，实轴的两个端点为(-a, 0), (a, 0). 左、右焦点为F 1(-c,0), F 2(c, 0)，对应的左、右准线方程分别为.,22c a x c a x =-=离心率a c e =，由a 2+b 2=c 2知e>1。
两条渐近线方程为x a ky ±=，双曲线12222=-by a x 与12222-=-b y a x 有相同的渐近线，它们的四个焦点在同一个圆上。
若a=b ，则称为等轴双曲线。
9．双曲线的常用结论，1）焦半径公式，对于双曲线12222=-by a x ，F 1（-c,0）, F 2(c, 0)是它的两个焦点。
设P(x,y)是双曲线上的任一点，若P 在右支上，则|PF 1|=ex+a, |PF 2|=ex-a ；若P （x,y ）在左支上，则|PF 1|=-ex-a ，|PF 2|=-ex+a.2) 过焦点的倾斜角为θ的弦长是θ2222cos 2c a ab -。
10．抛物线：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫焦点，直线l 叫做抛物线的准线。
若取经过焦点F 且垂直于准线l 的直线为x 轴，x 轴与l 相交于K ，以线段KF 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，设|KF|=p ，则焦点F 坐标为)0,2(p，准线方程为2p x -=，标准方程为y 2=2px(p>0)，离心率e=1. 11．抛物线常用结论：若P(x 0, y 0)为抛物线上任一点， 1）焦半径|PF|=2p x +； 2）过点P 的切线方程为y 0y=p(x+x 0)； 3）过焦点倾斜角为θ的弦长为θ2cos 12-p。
12．极坐标系，在平面内取一个定点为极点记为O ，从O 出发的射线为极轴记为Ox 轴，这样就建立了极坐标系，对于平面内任意一点P ，记|OP|=ρ,∠xOP=θ，则由（ρ，θ）唯一确定点P 的位置，（ρ，θ）称为极坐标。
13．圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数e 的点P ，若0<e<1，则点P 的轨迹为椭圆；若e>1，则点P 的轨迹为双曲线的一支；若e=1，则点P 的轨迹为抛物线。
这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为θρcos 1e ep-=。
二、方法与例题1．与定义有关的问题。
例1 已知定点A （2，1），F 是椭圆1162522=+y x 的左焦点，点P 为椭圆上的动点，当3|PA|+5|PF|取最小值时，求点P 的坐标。
例2 已知P ，'P 为双曲线C ：12222=-by a x 右支上两点，'PP 延长线交右准线于K ，PF 1延长线交双曲线于Q ，（F 1为右焦点）。
求证：∠'P F 1K=∠KF 1Q.2．求轨迹问题。
例3 已知一椭圆及焦点F ，点A 为椭圆上一动点，求线段FA 中点P 的轨迹方程。
例4 长为a, b 的线段AB ，CD 分别在x 轴，y 轴上滑动，且A ，B ，C ，D 四点共圆，求此动圆圆心P 的轨迹。
例5 在坐标平面内，∠AOB=3π，AB 边在直线l: x=3上移动，求三角形AOB 的外心的轨迹方程。
3．定值问题。
例6 过双曲线12222=-by a x (a>0, b>0)的右焦点F 作B 1B 2x ⊥轴，交双曲线于B 1，B 2两点，B 2与左焦点F 1连线交双曲线于B 点，连结B 1B 交x 轴于H 点。
求证：H 的横坐标为定值。
注：本例也可借助梅涅劳斯定理证明，读者不妨一试。
例7 设抛物线y 2=2px(p>0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在准线上，且BC//x 轴。
证明：直线AC 经过定点。
例8 椭圆12222=+by a x 上有两点A ，B ，满足OA ⊥OB ，O 为原点，求证：22||1||1OB OA +为定值。
4．最值问题。
例9 设A ，B 是椭圆x 2+3y 2=1上的两个动点，且OA ⊥OB （O 为原点），求|AB|的最大值与最小值。
例10 设一椭圆中心为原点，长轴在x 轴上，离心率为23，若圆C ：=-+22)23(y x 1上点与这椭圆上点的最大距离为71+，试求这个椭圆的方程。
5．直线与二次曲线。
例11 若抛物线y=ax 2-1上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点，试求a 的取值范围。
例12 若直线y=2x+b 与椭圆1422=+y x 相交，（1）求b 的范围；（2）当截得弦长最大时，求b 的值。
三、基础训练题1．A 为半径是R 的定圆⊙O 上一定点，B 为⊙O 上任一点，点P 是A 关于B 的对称点，则点P 的轨迹是________.2．一动点到两相交直线的距离的平方和为定值m 2(>0)，则动点的轨迹是________.3．椭圆13610022=+y x 上有一点P ，它到左准线的距离是10，它到右焦点的距离是________. 4．双曲线方程152||22=-+-ky k x ，则k 的取值范围是________. 5．椭圆16410022=+y x ，焦点为F 1，F 2，椭圆上的点P 满足∠F 1PF 2=600，则ΔF 1PF 2的面积是________.6．直线l 被双曲线1422=-y x 所截的线段MN 恰被点A （3，-1）平分，则l 的方程为________. 7．ΔABC 的三个顶点都在抛物线y 2=32x 上，点A （2，8），且ΔABC 的重心与这条抛物线的焦点重合，则直线BC 的斜率为________.8．已知双曲线的两条渐近线方程为3x-4y-2=0和3x+4y-10=0，一条准线方程为5y+4=0，则双曲线方程为________.9．已知曲线y 2=ax ，与其关于点（1，1）对称的曲线有两个不同的交点，如果过这两个交点的直线的倾斜角为450，那么a=________. 10.P 为等轴双曲线x 2-y 2=a 2上一点，||||||21PO PF PF +的取值范围是________.11．已知椭圆1212212=+b y a x 与双曲线1222222=-b y a x 有公共的焦点F 1，F 2，设P 是它们的一个焦点，求∠F 1PF 2和ΔPF 1F 2的面积。
12．已知（i ）半圆的直径AB 长为2r ；（ii ）半圆外的直线l 与BA 的延长线垂直，垂足为T ，设|AT|=2a(2a<2r)；（iii ）半圆上有相异两点M ，N ，它们与直线l 的距离|MP|，|NQ|满足.1||||==ANNQ AM MP 求证：|AM|+|AN|=|AB|。
13．给定双曲线.1222=-y x 过点A （2，1）的直线l 与所给的双曲线交于点P 1和P 2，求线段P 1P 2的中点的轨迹方程。
四、高考水平测试题1．双曲线与椭圆x 2+4y 2=64共焦点，它的一条渐近线方程是y x 3+=0，则此双曲线的标准方程是_________.2．过抛物线焦点F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，若A ，B 在抛物线准线上的射影分别是A 1，B 1，则∠A 1FB 1=_________.3．双曲线12222=-by a x 的一个焦点为F 1，顶点为A 1，A 2，P 是双曲线上任一点，以|PF 1|为直径的圆与以|A 1A 2|为直径的圆的位置关系为_________. 4．椭圆的中心在原点，离心率31=e ，一条准线方程为x=11，椭圆上有一点M 横坐标为-1，M 到此准线异侧的焦点F 1的距离为_________.5．4a 2+b 2=1是直线y=2x+1与椭圆12222=+by a x 恰有一个公共点的_________条件.6．若参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+=+=tm y tm x 22222（t 为参数）表示的抛物线焦点总在一条定直线上，这条直线的方程是_________.7．如果直线y=kx+1与焦点在x 轴上的椭圆1522=+m y x 总有公共点，则m 的范围是_________. 8．过双曲线16922=-y x 的左焦点，且被双曲线截得线段长为6的直线有_________条. 9．过坐标原点的直线l 与椭圆126)3(22=+-y x 相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆恰好通过椭圆的右焦点F ，则直线l 的倾斜角为_________.10．以椭圆x 2+a 2y 2=a 2(a>1)的一个顶点C （0，1）为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形ABC ，这样的三角形最多可作_________个.11．求椭圆12222=+by a x 上任一点的两条焦半径夹角θ的正弦的最大值。