2-2 时域数学模型

机械系统
机械系统和电路系统具有相同的数学模型， 机械系统和电路系统具有相同的数学模型， 他们为相似系统 相似系统。 即电路系统为机械系统 他们为相似系统。(即电路系统为机械系统 的等效网络) 的等效网络 相似系统揭示了不同物理现象之间的相似 关系。 关系。 相似系统为我们利用简单、 相似系统为我们利用简单、易实现的系统 去研究复杂系统提供了方法(仿真) 去研究复杂系统提供了方法(仿真)。因为一 般来说，电的或电子的系统更容易， 般来说，电的或电子的系统更容易，通过试 验进行研究。 验进行研究。......
串联电路如图所示， 例2-8：RLC串联电路如图所示，列写以 i(t) ： 串联电路如图所示 列写以u 为输入， 为输出的微分方程。 为输入，以uo(t)为输出的微分方程。 为输出的微分方程 可得： 解：由KVL可得： 可得
L + R i(t) + C u0(t) ui(t) di (t ) 1 L + Ri (t ) + ∫ i (t )dt = ui (t ) dt C
2-2 时域数学模型
线性、定常、集总参数控 制系统微分方程的建立和求解
烟台大学光电信息学院
数学模型的几种表示方式
数学模型
时域模型
频域模型
方框图
信号流图
脉冲响应函数
状态空间模型
2.2.1 控制系统微分方程的建立
微分方程的编写应根据组成系统各元件工作 过程中所遵循的物理定理来进行。 过程中所遵循的物理定理来进行。 例如：电路中的基尔霍夫电路定理，力学中 例如：电路中的基尔霍夫电路定理， 的牛顿定理，热力学中的热力学定理等。 的牛顿定理，热力学中的热力学定理等。
1 又：uo (t ) = ∫ i (t )dt C 消去i(t)可得 可得RLC串联电路输入输出方程为： 串联电路输入输出方程为： 消去 可得 串联电路输入输出方程为
d uo (t ) duo (t ) + RC + uo (t ) = ui (t ) LC 2 dt dt
2
例2-10：弹簧－阻尼器组成的机械系统如图 ：弹簧－ 所示，列写以外力F(t) 为输入，以位移 为输入，以位移x(t) 所示，列写以外力 为输出的微分方程。 为质量 为质量。 为输出的微分方程。m为质量。
u 所以设特解为： 所以设特解为： oh (t ) = B
代入微分方程
d 2uo (t ) duo (t ) +3 + 2uo (t ) = 2ui (t ) 2 dt dt
2 即： B = 2ui (t ) = 2 ×1 = 2
所以： 所以：B＝1 所以特解为： 所以特解为：uoh (t ) = 1
t 2 → At 2 + Bt e − at → Ae − at
（全响应）＝（自由响应）＋（强迫响应） 全响应）＝（自由响应）＋（强迫响应） ）＝（自由响应）＋（强迫响应
自由响应：与系统本身的特性引起的响应， 自由响应：与系统本身的特性引起的响应，与外 界输入无关。 界输入无关。 强迫响应：由外界输入引起的响应。 强迫响应：由外界输入引起的响应。
①齐次解。系统特征方程为 齐次解。
p2 + 3 p + 2 = 0
特征根为： 特征根为：p1=－1，p2=－2
uop (t ) = A1e p1t + A2 e p2t = A1e − t + A2 e −2t 齐次解为： 齐次解为：
特解。因为输入u ②特解。因为输入 i(t)=1V，特解的形式与输 ， 入的形式一致。 入的形式一致。
（忽略了－阻尼器 电路系统和弹簧－ 比较以上 电路系统和弹簧 机械系统： 机械系统：
d 2uo (t ) duo (t ) LC + RC + uo (t ) = ui (t ) 电路系统 2 dt dt
d 2 x(t) dx(t) m ＋f ＋Kx(t ) = F (t ) 2 dt dt
全响应： 全响应：
uo (t ) = uozs (t ) + uozi (t ) = 1 − 1.71 e − t + 0.8e −2t
(V )
3. 微分方程解的组成 全响应＝ 齐次解) 特解) 全响应＝自由响应(齐次解)＋强迫响应(特解)
由系统本身引起 由输入引起
＝零状态响应＋零输入响应 零状态响应＋
duo (t ) 1 1 |t =0 = i (t ) |t =0 = i (0) = 0.1 dt C C
= 2U i ( s )
2U i ( s ) 0.1s + 0.4 U o ( s) = 2 + 2 s + 3s + 2 s + 3s + 2
1 U 所以： 又：ui(t)=1V 所以： i ( s) = s 2 0.1s + 0.4 U o ( s) = + 2 2 s ( s + 3s + 2) s + 3s + 2 2 −1 −1 1 u0 ] 零状态响应： 零状态响应： zs (t ) = L [U 0 zs ( s)] = L [ ⋅ 2 s ( s + 3s + 2)
解：弹力与位移成正比 阻尼力与速度成正比 物体质量为m，位移x。 物体质量为 ，位移 。
弹力 阻尼力
K
外力
F(t) m x(t) f
d 2 x(t) dx(t) ∴m = F (t ) − f − Kx(t ) 2 dt dt
合力 外力 阻尼力 弹力
d 2 x(t) dx(t) 即：m ＋f ＋Kx(t ) = F (t ) 2 dt dt
2.2.2 线性定常微分方程的求解 线性定常微分方程的求解 定常
列写出系统微分方程以后， 列写出系统微分方程以后，给定系统 输入量和初始条件， 输入量和初始条件，就可以对微分方程求 得到系统输出随时间变化的特性。 解，得到系统输出随时间变化的特性。 A → B 1.经典时域法解线性微分方程 经典时域法解线性微分方程 线性：均匀性，叠加性 线性：均匀性， 全解 ＝ 齐次解 ＋ 特解
(零状态响应 零输入响应 零状态响应)+(零输入响应 零状态响应 零输入响应)
0.1s + 0.4 零输入响应： 零输入响应： ozi (t ) = L [U ozi ( s)] = L [ 2 ] u s + 3s + 2 = 0.3e− t − 0.2e −2t
−1 −1
= 1 − e − t + e −2t
③全解 uo (t ) = uop (t ) + uoh (t ) = A1e + A2 e = A1e − t + A2 e −2t + 1 因为： 因为：i(0)=0.1A， uo(0)=0.1V 所以： uo (0) = A1 + A2 + 1 = 0.1 所以：
i (0) = −CA1e − 2CA2 e
起始状态为0， 起始状态为 ， 由输入引起 激励为0 激励为 由起始状态引起
＝暂态响应＋稳态响应 暂态响应＋
t→∞时， 时 消失的响应 t→∞时， 时 保留下来的响应
−t −2 t
−t
−2 t
+B
duo (t ) i (t ) = C dt
|t =0 = − A1 − 2 A2 = 0.1
所以： 所以：A1＝－1.7，A2＝0.8 全解： 全解： uo (t ) = −1.7e + 0.8e
−t −2 t
+ 1(V )
2.变换域解微分方程 拉普拉斯变换 ★ 变换域解微分方程(拉普拉斯变换 变换域解微分方程 拉普拉斯变换) 例4：电路如图所示 i(0)=0.1A, uo(0)=0.1V, 。 ：电路如图所示, L=1H R=3Ω ui(t)=1V。K在t＝0时 。 在＝ 时 + K i(t) 闭合， 闭合，求uo(t)。 。 u (t) + 解：系统微分方程为： 系统微分方程为：
ui(t) C=1F
0
-
d 2uo (t ) duo (t ) +3 + 2uo (t ) = 2ui (t ) 2 dt dt
两边取单边拉斯变换得： 两边取单边拉斯变换得：
， [ s 2U o ( s ) − suo (0) − uo (0)] + 3[ sU o ( s ) − uo (0)] + 2U o ( s )
例：电路如图所示, i(0)=0.1A, uo(0)=0.1V。 电路如图所示 。 L=1H R=3Ω ui(t)=1V。求K突然闭 。 突然闭 + K i(t) 合时u 。 合时 o(t)。 u0(t) + ui(t) C=1F 系统微分方程为： 解：系统微分方程为： d 2uo (t ) duo (t ) LC + RC + uo (t ) = ui (t ) 2 dt dt 2 d uo (t ) duo (t ) + 2uo (t ) = 2ui (t ) 即： 2 + 3 dt dt