2-2 时域数学模型

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二阶系统的时域分析二阶系统的数学模型

二阶系统的时域分析二阶系统的数学模型

二阶系统的时域分析二阶系统的数学模型二阶系统指的是系统的动态特性可以由一个二阶微分方程描述的系统。

在控制工程中,二阶系统的时域分析主要包括对系统阶跃响应、脉冲响应、频率响应等进行分析。

下面将详细介绍二阶系统的数学模型以及各种时域分析方法。

二阶系统可以由一个二阶微分方程进行描述。

一般而言,二阶系统的数学模型可以写成如下形式:\[a_2\frac{{d^2y(t)}}{{dt^2}} + a_1\frac{{dy(t)}}{{dt}} +a_0y(t) = b_2\frac{{d^2u(t)}}{{dt^2}} + b_1\frac{{du(t)}}{{dt}}+ b_0u(t)\]其中,y(t)为系统的输出,u(t)为系统的输入,a_0、a_1、a_2以及b_0、b_1、b_2分别为系统的系数。

这个方程也可以写成常用的形式:\[\frac{{d^2y(t)}}{{dt^2}} + 2ζω_n\frac{{dy(t)}}{{dt}} +ω_n^2y(t) = K_p\frac{{d^2u(t)}}{{dt^2}} +T_i\frac{{du(t)}}{{dt}} + K_cu(t)\]其中,ζ为阻尼比,ω_n为自然频率,K_p为比例增益,T_i为积分时间常数,K_c为控制器增益。

2.二阶系统的阶跃响应阶跃响应是指系统在接受一个单位阶跃信号作为输入时的响应。

通过对二阶系统的数学模型应用拉普拉斯变换,可以得到系统的传递函数。

对于一个传递函数为G(s)的系统,其阶跃响应可以通过下面的公式得到:\[y(t) = A(1 - e^{-ζω_nt}\cos(ω_d t + ϕ))\]其中,A为阶跃响应的幅度,ω_d为阻尼振荡角频率,ϕ为相位角。

3.二阶系统的脉冲响应脉冲响应是指系统在接受一个单位脉冲信号作为输入时的响应。

与阶跃响应类似,通过对二阶系统的数学模型进行拉普拉斯变换,可以得到系统的传递函数。

对于一个传递函数为G(s)的系统,其脉冲响应可以通过下面的公式得到:\[y(t) = \frac{{A(1 - e^{-ζω_nt}\cos(ω_d t + ϕ))}}{{\sqrt{1-ζ^2}}}\]其中,A为单位脉冲信号的幅度。

自动控制原理简明教材胡寿松

自动控制原理简明教材胡寿松

自动控制原理简明教材胡寿松图书目录前言第一章控制系统导论1-1 自动控制的基本原理1-2 自动控制系统示例1-3 自动控制系统的分类1-4 自动控制系统的基本要求习题第二章控制系统的数学模型2-1 傅里叶变换与拉普拉斯变换2-2 控制系统的时域数学模型2-3 控制系统的复数域数学模型2-4 控制系统的结构图与信号流图2-5 数学模型的实验测定法习题第三章线性系统的时域分析法3-1 系统的时域性能指标3-2 一阶系统的时域分析3-3 二阶系统的时域分析3-4 高阶系统的时域分析3-5 线性系统的稳定性分析3-6 线性系统的稳态误差计算习题第四章线性系统的根轨迹法4-1 根轨迹法的基本概念4-2 常规根轨迹的绘制法则4-3 广义根轨迹4-4 系统性能的分析习题第五章线性系统的频域分析法5-1 频率特性5-2 典型环节与开环系统频率特性5-3 频域稳定判据5-4 频域稳定裕度5-5 闭环系统的频域性能指标习题第六章线性系统的校正方法6-1 系统的设计与校正问题6-2 常用校正装置及其特性6-3 串联校正6-4 反馈校正习题第七章线性离散系统的分析7-1 离散系统的基本概念7-2 信号的采样与保持7-3 z变换理论7-4 离散系统的数学模型7-5 离散系统的稳定性与稳态误差7-6 离散系统的动态性能分析习题第八章非线性控制系统分析8-1 非线性控制系统概述8-2 常见非线性特性及其对系统运动的影响8-3 描述函数法习题。

复数域数学模型传递函数结构图

复数域数学模型传递函数结构图

t f (t ) t 1(t ) 0
其拉氏变换为
t ≥0 t0
st
斜 率 =1
O

t
0
F ( s) [ L f ( t )] 1 st te s 1 2 s
0 0
f ( t )e dt
st 0
t e st dt
1 1 e dt 0 0 s s
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
f(t)
3.等加速函数
数学表达式为
1 2 t f (t ) 2 0 t≥0 t0
其拉氏变换为
F ( s ) L [ f ( t )] 1 1 2 st t e s 2
第二章 控制系统的数学模型
2-1 拉式变换 2-2 控制系统的时域数学模型 2-3 控制系统的复数域数学模型 2-4.1 控制系统的结构图 2-4.2 控制系统的信号流图
•数学模型
描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关 系的数学表达式 静态数学模型 :在静态条件下 / 平衡条件下(即 变量各阶导数为0),描述变量之间关系的代数方程。 动态数学模型:描述变量及其各阶导数之间关系 的数学模型。
0 0
O
t
f ( t )e dt
st

0
1 2 st t e dt 2


0
t e st dt
1 1 1 0 0 2 3 s s s
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
4.指数函数e-at 数学表达式为
e f (t ) 0
•建模方法
解析法(机理分析法)

自动控制原理第二章 胡寿松ppt课件

自动控制原理第二章 胡寿松ppt课件
—线性定常二阶微分方程式
4、消去中间变量i(t),整理后得整:理版课件
22
第二章 控制系统数学模型
例2、 设一弹簧、质量块、阻
尼器组成的系统如图所示,
当外力F(t)作用于系统时,系 F(t) 统将产生运动。试写出外力
F(t)与质量块的位移y(t)之间
m
的微分方程。
解:
f
1、确立入-出,入-F(t),出—y(t); 2、根据牛顿定律,∑F=ma;
limsF(s)存在 f(0)lifm (t)lism (F s)
s
t 0
s
(6)终值定理
若: L[f(t)]F(s)
f( )lifm (t)lism (F s)
t
s 0
整理版课件
7
第二章 控制系统数学模型
例2、求下列函数的拉氏变换。
(1)f(t)2(1cot)(s2)f(t)sin5(t() 3)f (t)tnet
L[
d
2
dt
f (t) 2
]
s
2
F
(s)
L [ d n f ( t ) ] s n F ( s )整理版课件
5
dt n
第二章 控制系统数学模型
(2)积分性质
若: L[f(t)]F(s)
L [ f(t)d] t1 sF (s)1 s f(t)dt t0
当初始条件为0,则有:
L[
f
(t )dt ]
1 - 311 1 14 s 2s 1s 2 s 1s 2
f(t) L 1 [f(t) ](t) e t 4 e 2 t
整理版课件
16
第二章 控制系统数学模型
例 6 求F(s)s(s2ss11)的拉氏反变换

2-2 传递函数及方块图

2-2 传递函数及方块图
2-2
传递函数
传递函数 是经典控制最基本,最重要的概念之一。 1. 定义:线性定常系统在初始条件为零时,输出量的拉氏变
换和输入量的拉氏变换之比。 设:输入----r(t),输出----c(t),则传递函数:
L[c(t)] C(s) G(s) L[r(t)] R(s)
式中:C(s)=L[c(t)]——输出量的拉氏变换式 R(s)=L[r(t)]——输入量的拉氏变换式。 那么 C(s)=R(s)G(s) 控制系统的时间响应c(t)等于C(s)的拉氏反变换:
19
2-3
方块图
4、误差传递函数 a) 在控制量作用下系统的误差传递函数: 假设N(s)=0,则
E ( s ) R( s ) C ( s ) H ( s ) C ( s) H ( s) 1 R(s) R( s ) R( s )
G1 ( s)G2 ( s) H ( s) 1 1 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s) 1 G1 (s)G2 ( s) H ( s)
C(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
结论: 具有负反馈结构环节传递函数等于前向通 的传递函数除以1加(若正反馈为减)前向通道与反 馈通道传变换方式 A +
原方块图 + B C + B + C A BC
等效方块图
A
+ + C
+ _
A BC
1
比较点交换
X1 (s) X 2 (s) C(s)
所以
G(s)
C(s) X 1 (s) X 2 (s) X 1 (s) X 2 (s) R(s) R(s) R(s) R(s)
G 1 (s) G 2 (s)

《时域数学模型》课件

《时域数学模型》课件

《时域数学模型》PPT课 件
《时域数学模型》是一份介绍时域数学模型的PPT课件。本课件旨在探讨时域 数学模型的定义、特点、应用领域以及建立步骤和方法,并通过实例分析帮 助读者更好地理解和应用该模型。
研究目的和意义
通过研究时域数学模型,我们可以深入了解其在科学、工程和其他领域中的 重要作用。该模型能够帮助我们分析和解决各种实际问题,为决策和优化提 供支持,并推动科学和技术的发展。
时域数学模型的建立步骤和方法
1
问题定义
明确问题和目标,确定所需的模型类型
模型建立
2

方程或模型描述系统的动态行为。
3
参数估计
通过实验或数据分析,估计模型中的参
模型验证
4
数值以使其能够准确地描述系统的行为。
通过实际测试或比较模拟结果与实际数 据,验证模型的准确性和适用性。
时域数学模型的实例分析
通过具体的案例分析,我们将展示时域数学模型在不同领域中的应用,如电 路分析、信号处理和控制系统设计等。这些实例将帮助读者更好地理解和应 用时域数学模型。
总结和展望
时域数学模型是一种强大的工具,它能够帮助我们理解和解决复杂的实际问 题。通过不断的研究和应用,我们可以进一步发展和改进时域数学模型,为 科学和工程领域的发展做出贡献。
时域和频域的基本概念
时域是指信号随时间变化的情况,频域是指信号在频率上的特性。了解时域 和频域的基本概念对于理解和分析时域数学模型至关重要。时域数学模型将 信号的时域特性与其它变量联系起来,帮助我们揭示信号的内在规律。
时域数学模型的定义和特点
时域数学模型是利用数学方法描述和表示系统或现象在时域上的行为和特性 的模型。其特点是能够准确地描述和预测系统的动态响应和行为,具有优秀 的可解释性和可视化性。

信号与系统讲义-2

信号与系统讲义-2


f (t) u 3 10
p
u pf (t) 2p 10
u(t) (Ae5t B)U(t)
2 du(t) 10u(t) df (t)
dt
dt
u(t) 5Ae5t U(t) (A B)(t)
2(A B) 1 B0
u(t) 1 e5tU(t)V 2
H
(
p)

2p2 8p 3 ( p 1)( p 3)2
求系统的响应 y(t)。
解: D(p) (p 1)(p 3)2 0 p1 1 p2 p3 3
y0 (t) K1e t K 2e3t K 3te3t
y0 (0 ) K1 K2 =2 y0 (0 ) K1 3K 2 K3=1
3、共轭复根:(欠阻尼) 即 R 2 L C
uc Aet cos(dt ) Us


R 2L
,
d

02 2 , 0
1 LC
4
三、 RLC串联电路全响应
d 2uc dt 2

R L
duc dt

1 LC
uc

1 LC Us
(二阶常系数线性非齐次微分方程)
t<0 , K在2,有 uc (0 ) U0
C
uc Aep1t Be p2t Us
2、重根:(临界阻尼) 即
R2
L C
(自然频率、固有频率)
uc (A Bt)ept Us
3、共轭复根:(欠阻尼) 即 R 2 L C
uc Aet cos(dt ) Us
R 2L
d 02 2

自动控制原理-第二章 控制系统的数学模型

自动控制原理-第二章 控制系统的数学模型
dn dtn f ( t )
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt

Raia (t)

Ea (t)

ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt

fmm (t)

Mm

MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量,
消去中间变量,直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换:
u c
t

L1 U C
S


L1
S
2
1 S
1
1 S

S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
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机械系统
机械系统和电路系统具有相同的数学模型, 机械系统和电路系统具有相同的数学模型, 他们为相似系统 相似系统。 即电路系统为机械系统 他们为相似系统。(即电路系统为机械系统 的等效网络) 的等效网络 相似系统揭示了不同物理现象之间的相似 关系。 关系。 相似系统为我们利用简单、 相似系统为我们利用简单、易实现的系统 去研究复杂系统提供了方法(仿真) 去研究复杂系统提供了方法(仿真)。因为一 般来说,电的或电子的系统更容易, 般来说,电的或电子的系统更容易,通过试 验进行研究。 验进行研究。......
串联电路如图所示, 例2-8:RLC串联电路如图所示,列写以 i(t) : 串联电路如图所示 列写以u 为输入, 为输出的微分方程。 为输入,以uo(t)为输出的微分方程。 为输出的微分方程 可得: 解:由KVL可得: 可得
L + R i(t) + C u0(t) ui(t) di (t ) 1 L + Ri (t ) + ∫ i (t )dt = ui (t ) dt C
2-2 时域数学模型
线性、定常、集总参数控 制系统微分方程的建立和求解
烟台大学光电信息学院
数学模型的几种表示方式
数学模型
时域模型
频域模型
方框图
信号流图
脉冲响应函数
状态空间模型
2.2.1 控制系统微分方程的建立
微分方程的编写应根据组成系统各元件工作 过程中所遵循的物理定理来进行。 过程中所遵循的物理定理来进行。 例如:电路中的基尔霍夫电路定理,力学中 例如:电路中的基尔霍夫电路定理, 的牛顿定理,热力学中的热力学定理等。 的牛顿定理,热力学中的热力学定理等。
1 又:uo (t ) = ∫ i (t )dt C 消去i(t)可得 可得RLC串联电路输入输出方程为: 串联电路输入输出方程为: 消去 可得 串联电路输入输出方程为
d uo (t ) duo (t ) + RC + uo (t ) = ui (t ) LC 2 dt dt
2
例2-10:弹簧-阻尼器组成的机械系统如图 :弹簧- 所示,列写以外力F(t) 为输入,以位移 为输入,以位移x(t) 所示,列写以外力 为输出的微分方程。 为质量 为质量。 为输出的微分方程。m为质量。
u 所以设特解为: 所以设特解为: oh (t ) = B
代入微分方程
d 2uo (t ) duo (t ) +3 + 2uo (t ) = 2ui (t ) 2 dt dt
2 即: B = 2ui (t ) = 2 ×1 = 2
所以: 所以:B=1 所以特解为: 所以特解为:uoh (t ) = 1
t 2 → At 2 + Bt e − at → Ae − at
(全响应)=(自由响应)+(强迫响应) 全响应)=(自由响应)+(强迫响应) )=(自由响应)+(强迫响应
自由响应:与系统本身的特性引起的响应, 自由响应:与系统本身的特性引起的响应,与外 界输入无关。 界输入无关。 强迫响应:由外界输入引起的响应。 强迫响应:由外界输入引起的响应。
①齐次解。系统特征方程为 齐次解。
p2 + 3 p + 2 = 0
特征根为: 特征根为:p1=-1,p2=-2
uop (t ) = A1e p1t + A2 e p2t = A1e − t + A2 e −2t 齐次解为: 齐次解为:
特解。因为输入u ②特解。因为输入 i(t)=1V,特解的形式与输 , 入的形式一致。 入的形式一致。
(忽略了-阻尼器 电路系统和弹簧- 比较以上 电路系统和弹簧 机械系统: 机械系统:
d 2uo (t ) duo (t ) LC + RC + uo (t ) = ui (t ) 电路系统 2 dt dt
d 2 x(t) dx(t) m +f +Kx(t ) = F (t ) 2 dt dt
全响应: 全响应:
uo (t ) = uozs (t ) + uozi (t ) = 1 − 1.71 e − t + 0.8e −2t
(V )
3. 微分方程解的组成 全响应= 齐次解) 特解) 全响应=自由响应(齐次解)+强迫响应(特解)
由系统本身引起 由输入引起
=零状态响应+零输入响应 零状态响应+
duo (t ) 1 1 |t =0 = i (t ) |t =0 = i (0) = 0.1 dt C C
= 2U i ( s )
2U i ( s ) 0.1s + 0.4 U o ( s) = 2 + 2 s + 3s + 2 s + 3s + 2
1 U 所以: 又:ui(t)=1V 所以: i ( s) = s 2 0.1s + 0.4 U o ( s) = + 2 2 s ( s + 3s + 2) s + 3s + 2 2 −1 −1 1 u0 ] 零状态响应: 零状态响应: zs (t ) = L [U 0 zs ( s)] = L [ ⋅ 2 s ( s + 3s + 2)
解:弹力与位移成正比 阻尼力与速度成正比 物体质量为m,位移x。 物体质量为 ,位移 。
弹力 阻尼力
K
外力
F(t) m x(t) f
d 2 x(t) dx(t) ∴m = F (t ) − f − Kx(t ) 2 dt dt
合力 外力 阻尼力 弹力
d 2 x(t) dx(t) 即:m +f +Kx(t ) = F (t ) 2 dt dt
2.2.2 线性定常微分方程的求解 线性定常微分方程的求解 定常
列写出系统微分方程以后, 列写出系统微分方程以后,给定系统 输入量和初始条件, 输入量和初始条件,就可以对微分方程求 得到系统输出随时间变化的特性。 解,得到系统输出随时间变化的特性。 A → B 1.经典时域法解线性微分方程 经典时域法解线性微分方程 线性:均匀性,叠加性 线性:均匀性, 全解 = 齐次解 + 特解
(零状态响应 零输入响应 零状态响应)+(零输入响应 零状态响应 零输入响应)
0.1s + 0.4 零输入响应: 零输入响应: ozi (t ) = L [U ozi ( s)] = L [ 2 ] u s + 3s + 2 = 0.3e− t − 0.2e −2t
−1 −1
= 1 − e − t + e −2t
③全解 uo (t ) = uop (t ) + uoh (t ) = A1e + A2 e = A1e − t + A2 e −2t + 1 因为: 因为:i(0)=0.1A, uo(0)=0.1V 所以: uo (0) = A1 + A2 + 1 = 0.1 所以:
i (0) = −CA1e − 2CA2 e
起始状态为0, 起始状态为 , 由输入引起 激励为0 激励为 由起始状态引起
=暂态响应+稳态响应 暂态响应+
t→∞时, 时 消失的响应 t→∞时, 时 保留下来的响应
−t −2 t
−t
−2 t
+B
duo (t ) i (t ) = C dt
|t =0 = − A1 − 2 A2 = 0.1
所以: 所以:A1=-1.7,A2=0.8 全解: 全解: uo (t ) = −1.7e + 0.8e
−t −2 t
+ 1(V )
2.变换域解微分方程 拉普拉斯变换 ★ 变换域解微分方程(拉普拉斯变换 变换域解微分方程 拉普拉斯变换) 例4:电路如图所示 i(0)=0.1A, uo(0)=0.1V, 。 :电路如图所示, L=1H R=3Ω ui(t)=1V。K在t=0时 。 在= 时 + K i(t) 闭合, 闭合,求uo(t)。 。 u (t) + 解:系统微分方程为: 系统微分方程为:
ui(t) C=1F
0
-
d 2uo (t ) duo (t ) +3 + 2uo (t ) = 2ui (t ) 2 dt dt
两边取单边拉斯变换得: 两边取单边拉斯变换得:
, [ s 2U o ( s ) − suo (0) − uo (0)] + 3[ sU o ( s ) − uo (0)] + 2U o ( s )
例:电路如图所示, i(0)=0.1A, uo(0)=0.1V。 电路如图所示 。 L=1H R=3Ω ui(t)=1V。求K突然闭 。 突然闭 + K i(t) 合时u 。 合时 o(t)。 u0(t) + ui(t) C=1F 系统微分方程为: 解:系统微分方程为: d 2uo (t ) duo (t ) LC + RC + uo (t ) = ui (t ) 2 dt dt 2 d uo (t ) duo (t ) + 2uo (t ) = 2ui (t ) 即: 2 + 3 dt dt
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