时域数学模型
二阶系统的时域分析二阶系统的数学模型
二阶系统的时域分析二阶系统的数学模型二阶系统指的是系统的动态特性可以由一个二阶微分方程描述的系统。
在控制工程中，二阶系统的时域分析主要包括对系统阶跃响应、脉冲响应、频率响应等进行分析。
下面将详细介绍二阶系统的数学模型以及各种时域分析方法。
二阶系统可以由一个二阶微分方程进行描述。
一般而言，二阶系统的数学模型可以写成如下形式：\[a_2\frac{{d^2y(t)}}{{dt^2}} + a_1\frac{{dy(t)}}{{dt}} +a_0y(t) = b_2\frac{{d^2u(t)}}{{dt^2}} + b_1\frac{{du(t)}}{{dt}}+ b_0u(t)\]其中，y(t)为系统的输出，u(t)为系统的输入，a_0、a_1、a_2以及b_0、b_1、b_2分别为系统的系数。
这个方程也可以写成常用的形式：\[\frac{{d^2y(t)}}{{dt^2}} + 2ζω_n\frac{{dy(t)}}{{dt}} +ω_n^2y(t) = K_p\frac{{d^2u(t)}}{{dt^2}} +T_i\frac{{du(t)}}{{dt}} + K_cu(t)\]其中，ζ为阻尼比，ω_n为自然频率，K_p为比例增益，T_i为积分时间常数，K_c为控制器增益。
2.二阶系统的阶跃响应阶跃响应是指系统在接受一个单位阶跃信号作为输入时的响应。
通过对二阶系统的数学模型应用拉普拉斯变换，可以得到系统的传递函数。
对于一个传递函数为G(s)的系统，其阶跃响应可以通过下面的公式得到：\[y(t) = A(1 - e^{-ζω_nt}\cos(ω_d t + ϕ))\]其中，A为阶跃响应的幅度，ω_d为阻尼振荡角频率，ϕ为相位角。
3.二阶系统的脉冲响应脉冲响应是指系统在接受一个单位脉冲信号作为输入时的响应。
与阶跃响应类似，通过对二阶系统的数学模型进行拉普拉斯变换，可以得到系统的传递函数。
对于一个传递函数为G(s)的系统，其脉冲响应可以通过下面的公式得到：\[y(t) = \frac{{A(1 - e^{-ζω_nt}\cos(ω_d t + ϕ))}}{{\sqrt{1-ζ^2}}}\]其中，A为单位脉冲信号的幅度。
《时域数学模型》PPT课件
时域模型
频域模型 方框图和信号流图 状态空间模型
➢ 微分方程 ➢ 传递函数 拉氏变换传递函数，Z变换传递函数
➢ 差分方程
➢ 其他数学工具（如Rough Set，Petri等）
2-1 时域数学模型
一、线性元件的微分方程 二、控制系统微分方程的建立 三、线性系统的特性 四、线性定常微分方程的求解（拉氏变换法） 五、非线性微分方程的线性化 六、运动的模态（振型）Mode
u(t) 1[U 0 (s)]
1[
Ui (s) s2 s 1
0.1s s2 s
1 0.5)2
0.8662 )
(s
0.1(s 0.5)2
2) 0.8662
]
1 1.15e0.5t sin(0.866t 120) 0.2e0.5t sin(0.866t 30)
)
2
增量较小时略去其高次幂项，则有
y
yo
f
(x)
f
(xo )
df (x) dx
xo
(
x
xo
)
15
y
yo
f
(x)
f
(xo )
df (x) dx
xo
(
x
xo
)
写出增量线性化微分方程
令 y y y0 f (x) f (x0), x x x0, K (df (x)/dx)x0 , 则: y K x
在国际单位制中，m,f和k的单位分别为：kg, N.s / m, N / m
[需要讨论的问题]： 相似系统和相似量： 我们注意到例2-1的微分方程形式是完全 一样的。
这是因为：若令 q idt (电荷)，则例2-1的结果变为： d 2q dq 1 L dt2 R dt C q ui 可见，同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类 型的系统也可以有相同形式的数学模型。
时域模型
建立数学模型的途径
建立系统数学模型时，必须：
(1) 全面了解系统的特性，确定研究目的， 决定能否忽略一些次要因素而使系统数学模型 简化。
(2) 根据所应用的系统分析方法，建立相 应形式的数学模型，有时还要考虑便于计算机 求解。
建立系统的数学模型主要有两条途径： 第一种途径是采用演绎的方法建立数学模型。 第二种途径是根据对系统的观察，通过测量所 得到的大量输入、输出数据，推断出被研究系 统的数学模型。
第二节 时域模型 －调节对象的微分方程
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
数学模型的定义
❖ 描述系统各变量之间关系的数学表达 式，叫做系统的数学模型。实际存在的 系统的动态性能都可以通过数学模型来 描述（例如微分方程、传递函数等）。
❖ 控制系统的数学模型关系到对系统性 能的分析结果，所以建立合理的数学模 型是控制系统分析中最重要的事情。
电气系统数学模型
RC电路
入uc(电t下)与压图u，所r(tu示)的c(Rt方)C为电程输路关出中系电，式压R。，、输C均出为端常开值路，。要ur求(t)列为出输
＋
R
＋
ur
i(t)
C
Uc
－
－
图 RC电路
冷藏箱空气温度数学模型
（二）为简化问题，假定箱内 壁与箱内空气温度相同， 均匀分布，可视为集中参 数，箱壁不蓄热，该对象 的简化图如图所示。图中： 箱内空气温度为 ；制冷剂 蒸发温度为 ；箱外空气 温度为 ；渗入箱内热量 为；制冷剂带走的热量 为。
提示：压力系统可以用气容和气阻这两个参数来表示。 气容R和气阻C组成了阻容（RC）环节。
气阻的定义：
气容的定义：
冷藏箱空气温度数学模型
冷藏箱空气温度数学模型
2-1控制系统的时域数学模型
(2)消去中间变量 i(t) (2) (t)
duo (t ) ui (t ) = RC + uo (t ) dt
(3)标准化
duo (t ) RC + uo (t ) = ui (t ) dt
例2 对两级RC无源网络，列写以ui(t)为输入 量，uo(t)为输出量的网络微分方程式。
由基尔霍夫电压定律
机械力学系统的数学模型： 机械力学系统的数学模型：
d 2 y (t ) dy (t ) m + f + ky (t ) = F (t ) 2 dt dt
相似系统 相似系统便于用一个简单的系统去研究与其相似的 复杂系统，也为控制系统计算机仿真提供了基础。 复杂系统，也为控制系统计算机仿真提供了基础。
小结
取一次近似， 取一次近似，且令
∆y( x) = y( x) − y( x0 ) ≈ −E0 sin x0 ⋅ ( x − x0 )
既有
∆y = −E0 sin x0 ⋅ ∆x
例：单摆系统的运动方程为
试列写其线性化方程。 试列写其线性化方程。 解：运动方程中的非线性项为
预定工作点为 [θ0 ,ϕ0 ]
Class is over. ByeBye-bye!
式中：
T1 = R1C1
T2 = R2C2
T3 = R1C2
牛顿定律约束
机械系统
例3 一个由弹簧、质量、 阻尼器组成的做直线运动的 力学系统。图中，m为物体 的质量，k为弹簧系数，f为 粘性摩擦系数，F(t)为物体受 到的外作用力，y(t)为物体的 位移。试列写质量m在外力 F(t)作用下，位移y(t)的运动 方程。
元件约束
d 2uo (t ) duo (t ) R1C1 R2C2 + ( R1C1 + R2C2 + R1C2 ) + uo (t ) = ui (t ) 2 dt dt dt
第二章_控制系统的数学模型
R
a
La
Ea
+
if -
i a (t ) U a (t )
m Mm
Jm fm
MC
dia ( t ) R a i a (t) E a dt E a C e m ( t ) u a La M m (t) M c (t) J m M m (t) C mi a (t) dm ( t ) f m m ( t ) dt
2.2 控制系统的复数域数学模型
1、传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变 换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统 的传递函数。 即，
传递函数与输入、输出之间的关系，可用结构图表示:
若已知线性定常系统的微分方程为 dnc(t ) dn 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 anc(t ) n n 1 dt dt dt m m 1 d r(t ) d r(t ) dr (t ) b0 b1 b m 1 b mr(t ) m m 1 dt dt dt
设 c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上 式取拉氏变换，得
(a0s a1s
n m
n 1
an 1s an )C(s)
(b 0s b1s
m 1
bm 1s bm )R(s)
则系统的传递函数为
C(s) b 0sm b1sm 1 bm 1s bm G (s ) R(s) a0sn a1sn 1 an 1s an
L[f (t )] e sF(s)
F ( s ) f ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) L[ f (t )dt ] , f (0) f (t )dt t 0 s s
1.连续系统的时域分析模型
一、连续系统的时域分析1.连续系统的时域分析模型在系统的时域分析方法，连续系统的基本数学模型是用微分方程来表示。
引入特殊的算子(即运算符号)后，可以根据系统的微分方程得到连续系统另外一种重要的时域模型，称为传输算子。
此外，系统还可以用图形化的模型来表示其内部结构和功能,称为系统的方框图。
这里还将借助于算子得到系统方框图的算子模型（1）微积分算子在连续系统中，对连续信号的求导和求积分分别用微分算子p和积分算子1/p表示，强调一点，用微积分算子表示信号的微积分时，算子必须写在信号的前面，例如pf(t)不能写为f(t)p。
（2）连续系统的算子模型将系统微分方程中的求导用微分算子表示后，得到系统的算子方程，进一步得到系统的传输算子H(p)。
传输算子是系统时域分析中采用的基本数学模型，本章介绍系统的零输入响应和单位冲激响应都是根据系统的传输算子直接求解，而不是用数学方法通过微分方程求解。
2.连续系统的方框图方框图是用一些基本运算单元的组合表示系统对输入信号的运算和变换功能，是系统一种图形化的模型。
必须熟悉连续系统中各基本运算单元的表示符号及其代表的运算，能正确分析方框图中各信号之间的运算关系。
为了对系统进行分析，求解其响应，必须根据方框图求得系统的数学模型(传输算子、微分方程等)。
为了简化数学模型的求取，将方框图中所有的基本运算单元用其算子模型表示，从而得到方框图的算子模型。
其中主要是将方框图中的所有积分器用1/p表示。
3.连续系统的零输入响应零输入响应指的是在系统当前输入为零时，由t=0~时刻系统的初始状态引|起的响应。
系统的初始状态一般以零输入响应yx(t)及其各阶导数在t=0-时刻的取值表示,即y x(0-)、y’x(0-)、y’’x(0-)...这些取值作为已知数据，用于确定零输入响应中的待定系数。
零输入响应的具体函数形式完全决定于系统的特征根。
特征根根据系统传输算子的分母多项式求得。
每个特征根决定零输入响应中的一项，具体根据特征根是单根还是重根,按以下两式得到零输入响应函数表达式，即4.连续系统的单位冲激响应单位冲激响应简称单位响应，指的是在单位冲激信号d (t)作用下系统的零状态响应，记为h(t)。
《时域数学模型》课件
《时域数学模型》PPT课 件
《时域数学模型》是一份介绍时域数学模型的PPT课件。本课件旨在探讨时域 数学模型的定义、特点、应用领域以及建立步骤和方法，并通过实例分析帮 助读者更好地理解和应用该模型。
研究目的和意义
通过研究时域数学模型，我们可以深入了解其在科学、工程和其他领域中的 重要作用。该模型能够帮助我们分析和解决各种实际问题，为决策和优化提 供支持，并推动科学和技术的发展。
时域数学模型的建立步骤和方法
1
问题定义
明确问题和目标，确定所需的模型类型
模型建立
2
学
方程或模型描述系统的动态行为。
3
参数估计
通过实验或数据分析，估计模型中的参
模型验证
4
数值以使其能够准确地描述系统的行为。
通过实际测试或比较模拟结果与实际数 据，验证模型的准确性和适用性。
时域数学模型的实例分析
通过具体的案例分析，我们将展示时域数学模型在不同领域中的应用，如电 路分析、信号处理和控制系统设计等。这些实例将帮助读者更好地理解和应 用时域数学模型。
总结和展望
时域数学模型是一种强大的工具，它能够帮助我们理解和解决复杂的实际问 题。通过不断的研究和应用，我们可以进一步发展和改进时域数学模型，为 科学和工程领域的发展做出贡献。
时域和频域的基本概念
时域是指信号随时间变化的情况，频域是指信号在频率上的特性。了解时域 和频域的基本概念对于理解和分析时域数学模型至关重要。时域数学模型将 信号的时域特性与其它变量联系起来，帮助我们揭示信号的内在规律。
时域数学模型的定义和特点
时域数学模型是利用数学方法描述和表示系统或现象在时域上的行为和特性 的模型。其特点是能够准确地描述和预测系统的动态响应和行为，具有优秀 的可解释性和可视化性。
电容的时域表达式
电容的时域表达式
纯电阻电路
只有含有电阻（纯电阻负载）的交流电路成为纯电阻电路。
例：白炽灯、电阻炉、电烙铁等。
时域数学模型： u(t)=R i(t)
电容电路
如果把电接到交流电源上，由于交变电压时刻在变化，电极板上的电荷也就时刻在交替发生充放电，使电路中有电流流通，即呈通路状态。
电容量不同，电流也不相同。
时域数学模型： q(t)=Cu(t)
u(t)=\frac{1}{C} \int_{0}^{t}i(t) dt
电感电路
电感线圈是电工电子技术中最常用的元件之一，象电动机、变压器、交流接触器、断路器、继电器等等电气设备。
如果线圈中通过电流，电流会产生磁场，就会有磁通穿过线圈，当电流发生变化时，穿过线圈的磁通也随着发生变化，
从而在线圈的自身引起感应电动势——自感电动势。
自感电动势具有对抗电流变化的性质。
时域数学模型： \phi(t)=Li(t)
u(t)=L\frac{di(t)}{dt}
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牛顿定律 F ma
加速度a
d 2 x( t dt 2
)
1.外力F( t ),方向见图
2.弹簧恢复力与位移成正比kx( t ),方向与x( t )相反
3.阻尼器阻力与位移速度成正比f dx( t ) ,方向与x( t )相反 dt
F(t) kx(t)
f
dx(t) dt
m
d
2 x(t dt 2
Tm
dm (t)
dt
m (t)
K1ua (t)
K2M c (t)
13
当电枢回路的电感可以忽略不计
Tm
dm (t)
dt
m (t)
K1ua (t)
K2MC
(t)
Tm Ra J m (Ra fm CmCe ) , K2 Ra (Ra fm CmCe )
K1 Cm (Ra fm CmCe )
程的右侧，与输出有关的各项放在方程的左侧，方程两边 各阶导数按降幂排列，最后将系数整理规范为具有一定物 理意义的形式。
9
【例2-1】 试列写如图2-1所示的RLC无源网络的 微分方程。ui(t)为输入变量，uo(t)为输出变量。
L di(t) Ri(t) dt
L
di(t dt
)
Ri(t
)
uo
(t
8
2.1.1 线性元件微分方程的建立 用解析法列写线性元件微分方程的一般步骤如下： (1)根据元件的工作原理，确定元件的输入、输出变量。 (2) 依据各变量所遵循的物理或化学定律，列写出系
统中元件的动态方程，一般为微分方程组。 (3)消去中间变量，得到只含有输入变量和输出变量的
微分方程。 (4)将微分方程标准化： 即将与输入有关的各项放在方
3
引言 1.定义：描述系统的输入、输出变量以及系统内 部各个变量之间关系的数学表达式就称为控制系 统的数学模型。 2.为什么要建立数学模型：对于控制系统的性能， 只是定性地了解系统的工作原理和大致的运动过 程是不够的，希望能够从理论上对系统的性能进 行定量的分析和计算。要做到这一点，首先要建 立系统的数学模型。它是分析和设计系统的依据。
本章主要采用解析法建立系统的数学模型， 关于实验法将在后续章节和课程中进行介绍。
7
2.1 控制系统的时域数学模型 ——微分方程
微分方程是描述各种控制系统动态特性的最 基本的数学工具，也是后面讨论的各种数学模 型的基础。因此，本节将着重介绍描述线性定 常控制系统的微分方程的建立和求解方法，以 及非线性微分方程的线性化问题。
若电枢回路电阻和电动机的转动惯量都很小，可忽略 不计，则上式可进一步简化
m
(t)
1 Ce
ua
(t)
14
比较: R-L-C电路运动方程与 M-S-D机械系统 运动方程
LC
d
2uo (t) dt 2
RC
duo (t) dt
uo
(t)
ui
(t)
d 2 x(t) dx(t)
m
f Kx(t) F(t)
)
ui
(t
)
i(t) C duo (t) dt
图2-1
LC
d
2uo (t) dt 2
RC
duo (t) dt
uo (t)
ui (t)
10
【例2-2】 图2-2是弹簧-质量-阻尼器组成的机械位移系统。 其中，k为弹簧的弹性系数，f为阻尼器的阻尼系数。试列 写以外力F(t)为输入，以位移x(t)为输出的系统微分方程。
dt
fmm (t)
M c (t)
M m (t)
La J m
d 2m ( t dt 2
)
(
La
fm
Ra J m
)
dm ( dt
t
)
(ห้องสมุดไป่ตู้
Ra
fm
CmCe
)m ( t
)
Cmua ( t
)
La
dMc ( t dt
)
Ra Mc ( t
)
忽略La可得下式：
Tm
K1
电机的时间常数
电机的传递系数
)
m
d
2 x(t dt 2
)
f
dx(t) dt
kx(t)
F (t)
11
【例2-3】 试列写如图所示的电枢控制直流电动机的
微分方程。电枢电压ua为输入量，电动机转速ωm为输出量。 Ra和La分别是电枢电路的电阻和电感，Mc为折合到电动机 轴上的总负载转矩。
+
-
12
电枢回路电压平衡方程：
ua (
输入
黑盒
输出
6
无论是用解析法还是用实验法建立数学模型， 都存在着模型精度和复杂性之间的矛盾，即控制 系统的数学模型越精确，它的复杂性越大，对控 制系统进行分析和设计也越困难。因此，在工程 上，总是在满足一定精度要求的前提下，尽量使 数学模型简单。为此，在建立数学模型时，常做 许多假设和简化，最后得到的是具有一定精度的 近似的数学模型。
自动控制原理
1
自动控制原理
山东科技大学信息与电气工程学院 高宏岩
2
第二章 控制系统的数学模型
引言 2.1 控制系统的时域数学模型 2.2 控制系统的复数域数学模型 2.3 结构图及其等效变换 2.4 信号流图与梅森公式 2.5 闭环系统的传递函数 2.6 数学模型的MATLAB实现 2.7 控制系统建模实例
t
)
La
dia ( t dt
)
Raia ( t
)
Ea
+
电枢反电势：Ea C em ( t )
Ce——电动机电势常数
-
电磁转矩方程：Mm ( t ) Cmia ( t )
Cm——电动机转矩常数
电机轴上转矩平衡方程：
Jm fm
电机轴上总的转动惯量
电机轴上总的粘性摩擦系数Jm
dm (t)
4
分析和设计控制系统时，常用的数学模型有 微分方程、差分方程、传递函数、结构图、信号 流图、频率特性等。本章着重讨论微分方程、传 递函数、结构图、信号流图等数学模型的建立及 应用。
5
数学模型建立方法
a.解析法 解析法是根据支配系统的内在运动规律以及系统的结
构和参数，推导出输入量和输出量之间的数学表达式，从 而建立数学模型——适用于简单的系统。 b. 实验法 实验法是利用系统的输入--输出信号来建立数学模型的方 法。通常在对系统一无所知的情况下，采用这种建模方法。
dt 2
dt
不同类型的系统也可以有相同形式的数学模型，揭示了不 同物理现象之间的相似关系。便于用简单系统去研究相似 的复杂系统。
15
2.1.2 控制系统微分方程的建立
用解析法列写控制系统微分方程的一般步骤如下： (1) 确定系统的输入、输出变量。 (2)从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量 所遵循的物理或化学定律，依次列写出系统中各元件的动 态方程，一般为微分方程组。 (3)消去中间变量，得到只含有系统输入变量和输出变 量的微分方程。 (4)标准化。