黑龙江省大庆市2015届高三第二次教学质量检测(二模)数学(理)试题(WORD版)

大庆市高三年级第二次教学质量检测试题数 学（理科）201501注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{}2320A x x x =-+=，集合{}log 42x B x ==，则A B ⋃=（A ）{}2,1,2- （B ）{}1,2 （C ）{}2,2- （D ）{}2（2）11i-的共轭复数为 （A ）1i +（B ）1i -（C ）1122i +（D ）1122i - （3）已知tan 2α=，则2sin 2cos αα的值为（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）6（4）如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的表面积为 （A ）324π+ （B ）244π+ （C ）4123π+ （D ）4243π+（5）执行如图所示的程序框图，输出的T = （A ）29 （B ）44 （C ）52 （D ）62（6）下列说法不正确的是（A ）命题”若00x y >>且，则0x y +>” 的否命题是假命题（B ）命题“0x R ∃∈，20010x x --<”的否定是“x R ∀∈，210x x --≥” （C ）“2πϕ=”是“sin(2)y x ϕ=+为偶函数”的充要条件（D ）0α<时，幂函数y x α=在(0,)+∞上单调递减（7）已知某线性规划问题的约束条件是34y xy x x y ≤⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则下列目标函数中，在点(3,1)处取得最小值是（A ）2z x y =- （B ）2z x y =+ （C ）1z x y =-- （D ）2z x y =-+（8）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2312a a a =，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（A ）29 （B ）31 （C ）33 （D ）36（9）函数cos 622x xxy -=-的图像大致为（10）已知函数()x f x a =，若11162a <<，则()f x 零点所在区间为 （A ）1(0,)4 （B ）11(,)164 （C ）11(,)42 （D ）1(,1)2（11）如图，已知椭圆C 的中心为原点O ,(F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足||||||4OP OF PF ==且，则椭圆的方程为（A ）221255x y += （B ）2213616x y += （C ）2213010x y += （D ）2214525x y += （12）设函数223()cos 4sin3(),| t |1,2x f x x t t t x R =++-∈≤其中将()f x 的最小值记为()g t ，则函数()g t 的单调递增区间为（A ）1(,]3-∞-和[1,)+∞ （B ）1[1,]3-- （C ）1[,)3+∞ （D ）1[,1]3-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题～（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答.第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求做答. 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分） （13）10(2)x e x dx +=⎰_______．（14设两个非零向量a 与b ，满足||||2||a b a b a +=-=，，则向量a b +与a b -的夹角等于_______． （15）函数log (2)1(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线20mx ny ++=上，则22m n +的最小值为_______．（16）若实数,x y 满足方程112x y x y x ee +--+=+（e 是自然对数的底），则xye =_______．三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）已知公差不为0的等差数列{}n a 满足777S =，且1a ，3a ，11a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．（18）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，226cos a b ab C +=，且2s i n 2s i n s i n C A B =．（1）求角C 的值； （2）设函数()sin()cos (0)6f x x x πωωω=-->，且()f x 图象上相邻两最高点间的距离为π，求()f A 的取值范围．（19）如图，平面ABEF ABC ⊥平面,四边形ABEF 底面为矩形，AC BC = ，O 为AB 的中点，OF EC ⊥．（1）求证：OE FC ⊥；（2）若2,AB AC ==F CE B --的余弦值（20）抛物线2:2(0)M y px p =>准线过椭圆:N 22415x y +=的左焦点，以原点为圆心，以(0)t t >为半径的圆分别与抛物线M 在第一象限的图像以及y 轴的正半轴相交于点A B 和，直线AB 与x 轴相交于点C (1)求抛物线M 的方程(2)设点A 的横坐标为a ，点C 的横坐标为c ，抛物线M 上点D 的横坐标为2a +，求直线CD 的斜率 （21）已知函数2()ln(1),f x x ax x a R =++-∈． （1）当14a =时，求函数()y f x =的极值 （2）若对任意实数(1,2)b ∈，当(1,]x b ∈-时，函数()f x 的最大值为()f b ，求a 的取值范围请考生在第（22）～（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中. （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，ABC ∆为圆的内接三角形，AB AC =，BD 为圆的弦，且//BD AC ，过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F ．（1）求证：四边形ACBE 为平行四边形； （2）若6AE =，5BD =，求线段CF 的长． （23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知圆锥曲线2cos :x C y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）和定点A ，1F 、2F 是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线2AF 的直角坐标方程；（2）经过点1F 且与直线2AF 垂直的直线l 交此圆锥曲线于M 、N 两点，求11||||MF NF -的值．（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|2|f x x =-，()|3|g x x m =-++．（1）若关于x 的不等式()0g x ≥的解集为[5,1]--，求实数m 的值； （2）若()f x 的图象恒在()g x 图象的上方，求实数m 的取值范围．大庆市高三年级第二次教学质量检测理科数学参考答案13．e 14．120︒ 15．2 16．1 三．解答题（本题共6大题，共70分） 17（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由等差数列{}n a 满足777S =知，4777a =，所以1311a d +=. ①因为1311,,a a a 成等比数列，所以23111a a a =，整理得2123d a d =，又因为数列{}n a 公差不为0，所以123d a =. ② ……………………2分 联立①②解得12,3a d ==. ……………………4分 所以31n a n =-. ……………………6分（Ⅱ）因为2n an b =，所以311282n nn b -==⋅， ……………………8分 所以数列{}n b 是以4为首项，8为公比的等比数列， ……………………10分由等比数列前n 项和公式得，324(18)24187n n n T +--==-. ……………………12分18.（本小题满分12分）解：（I ）因为C ab b a cos 622=+，由余弦定理知C ab c b a cos 2222+=+,所以abc C 4cos 2=，…1分又因为B A C sin sin 2sin 2=，则由正弦定理得ab c 22=， ……………………2分所以21424cos 2===ab ab ab c C ， ……………………4分因为(0,)C π∈， ……………………5分所以3π=C . ……………………6分（Ⅱ）3()sin()cos cos )6223f x x x x x x ππωωωωω=--=-=-， ……………………8分由已知2,2==ωπωπ， ……………………9分则()),3f A A π=-因为2sin 2sin sin C A B =，3π=C ，所以232sin sin()34A A π⋅-=，整理得1sin(2)64A π-=. 因为203A π<<，所以72666A πππ-<-<，所以cos(2)64A π-=±. ……………………10分()))366f A A A πππ=-=--1)cos(2)]662A A ππ=---⋅①11()3()42f A ==②11()3()42f A == 故()f A的取值范围是33{,}88-+. ……………………12分19（本小题满分12分）（I ）证明：连接OC ，因为AC BC =，O 是AB 的中点，故OC AB ⊥.又因为平面ABEF ⊥平面ABC ，面ABEF ⋂面ABC AB =，OC ⊂面ABC ，故OC ⊥平面ABEF .因为OF ⊂面ABEF ，于是OC OF ⊥. ……………………2分又OF EC ⊥，OC EC C ⋂=，所以OF ⊥平面OEC ，所以OF OE ⊥. ……………………4分 又因为OC OE ⊥，OF OC O ⋂=，故OE ⊥平面OFC ， ……………………5分所以OE FC ⊥. ……………………6分（Ⅱ）由（I ）得，2AB AF =，不妨设1,2AF AB ==，取EF 的中点D ，以O 为原点，,,OC OB OD 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系。

因为AC AB =，所以，OC =，于是有(0,1,1),(0,1,1),(0,1,0),(2,0,0)F E B C -，从而(,1,)CE =，(0,2,0)EF =-，设平面FCE 的法向量(,,)n x y z =，由0n CE n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得020y z y ⎧++=⎪⎨-=⎪⎩得(1,0,2)n =， …………………………9分同理，可求得平面BCE 的一个法向量(1,2,0)m =，设,m n 的夹角为θ，则1cos 3m nm n θ⋅==， …………………………11分 由于二面角F CE B --为钝二面角，所以所求余弦值为13-. …………………………12分20（本小题满分12分）解：（I ）因为椭圆224:15x N y +=的左焦点为1(,0)2-，所以122p -=-，可得1p =， 故抛物线方程为22y x =. …………………………4分（II ） 由题意知，(A a ，因为OA t =，所以222a a t +=，由于0t >，故有t =① …………………………6分 由点(0,),(,0)B t C c 的坐标知，直线BC 的方程为1x yc t+=，又因为点A 在直线BC 上，故有1a c t+=， …………………………8分将①代入上式，得1a c =，解得2c a =+ …………………………10分又因为(D a +或(2,D a +， 所以直线CD 的斜率1CD k ====-或1CD k ====. ………………12分21（本小题满分12分） （I ）当14a =时，()()21ln 1,4f x x x x =++-，则11'()112f x x x =+-+， 整理得(1)'()(1)2(1)x x f x x x -=>-+， …………………………1分令'()0f x =得0x =，1x =，当x 变化时，'(),()f x f x 变化如下表：x (1,0)-(0,1)1(1,)+∞'()f x+ 0-0 +()f x极大值 极小值…………………………3分计算得(0)0f =，3(1)ln 24f =-， 所以函数()y f x =在0x =处取到极大值0，在1x =处取到极小值3ln 24-. ………………………4分（II ）由题意(2(12))'()1x ax a f x x --=+，（1）当0a ≤时，函数()f x 在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，此时，不存在实数(1,2)b ∈，使得当(1,]x b ∈-时，函数()f x 的最大值为()f b . ………………………6分 （2）当0a >时，令'()0f x =，有10x =，2112x a=-， （i ）当12a =时，函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增，显然符合题意. ………………………7分 （ii ）当1102a ->即102a <<时，函数()f x 在(1,0)-和1(1,)2a -+∞上单调递增，在1(0,1)2a-上单调递减，()f x 在0x =处取得极大值且(0)0f =，只需(1)0f ≥，解得1ln 2a ≥-，又11ln 22-<，所以此时实数a 的取值范围是11ln 22a -≤<. ………………………9分（iii ）当1102a -<即12a >时，函数()f x 在1(1,1)2a --和(0,)+∞上单调递增， 在1(1,0)2a -上单调递减，要存在实数(1,2)b ∈，使得当(1,]x b ∈-时，函数()f x 的最大值为()f b ，需1(1)(1)2f f a-≤， 代入化简得1ln 2ln 210,(*)4a a++-≥令11()ln 2ln 21()42g a a a a =++->，因为11'()(1)04g a a a =->恒成立， 故恒有11()()ln 2022g a g >=->，所以12a >时，(*)恒成立，综上，实数a 的取值范围是[1ln 2,)-+∞. ………………………12分（22）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）因为AE 与圆相切于点A ，所以BAE ACB ＝行． 因为AB AC ＝，所以ABC ACB ＝行，所以ABC BAE ＝行， 所以AE BC ∥． ……………………… 3分 因为BD AC ∥，所以四边形ACBE 为平行四边形． ……………………… 5分（Ⅱ）因为AE 与圆相切于点A ，所以2()AE EB EBBD =?，即26(5)EB EB=?，解得4BE =， ………………………7分根据（Ⅰ）有4,6AC BE BC AE ====， 设CF x =，由BD AC ∥，得AC CF BD BF =，即456x x =-，解得83x =，即83CF =.…10分（23）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）曲线2cos :x C y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩可化为22143x y +=， ………………………2分 其轨迹为椭圆，焦点为12(1,0),(1,0)F F -. ………………………3分经过A 和2(1,0)F的直线方程为11x +=,0y +=. ………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线2AF的斜率为2l AF ⊥，所以l30︒， 所以l的参数方程为112x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （t 为参数）， ………………………7分 代入椭圆C的方程中，得213360t --=. ………………………8分 因为,M N 在点1F的两侧，所以1112MFNF t t -=+=. ………………………10分 （24）（本小题满分10分）（Ⅰ）因为()30g x x m =-++≥，所以3x m +≤，所以33m x m --≤≤-，……………3分由题意知3531m m --=-⎧⎨-=-⎩，所以2m =. ………………………5分（Ⅱ）因为()f x 图象总在()g x 图象上方，所以()()f x g x >恒成立，即23x x m -++>恒成立， ………………………7分因为23(2)(3)5x x x x -++≥--+=，当且仅当(2)(3)0x x -+≤时等式成立，…9分 所以m 的取值范围是(,5)-∞. ………………………10分。