11多缝夫琅和费衍射ok

E = E0单
sinα
2π
α
λ
θ
d sinθ 的多光束干涉
p
θ
E1 = E p 2 E p = Ee i∆ϕ 3 E p = Ee 2 i∆ϕ ⋅ ⋅ ⋅ N E p = Ee i ( N −1) ∆ϕ
E
1 p
d
0
N Ep
dsinθ
E p = E0单
sin α
α
(1 + e i∆ϕ + e 2 i∆ϕ + ⋅ ⋅ ⋅ + e i ( N −1) ∆ϕ )
极小值的位置 双缝干涉的极小（两束光位相相反） 双缝干涉的极小（两束光位相相反）
d sin θ = ( 2 k + 1)
λ
2
L k = 0 , ± 1, ± 2 min( 1)
单缝衍射的极小 a sin θ = mλ L m = ±1,±2 L min L ( 2) 极大值的位置 双缝干涉的极大
d sin θ = kλ Lk = 0,±1,±2LmaxL(3)
相邻缝在 相邻缝在p点的相位差
∆ϕ =
p点合振幅为
2π
λ
d sin θ
Ep
N ∆ϕ Ap = 2 R sin 2
∆ϕ sin N 2 = E ⋅ sin α ⋅ sin Nβ ∴Ap = Ep单 ⋅ 0单 ∆ϕ α sin β sin 2
sinα sin Nβ I p = I0单 ⋅ α sinβ
E p = E0单
= E0单
sin α
α sin α 1 − ( e i ∆ϕ ) N sin α 1 − e iN ∆ϕ ⋅ = E0单 ⋅ i∆ϕ α α 1− e 1 − e i∆ϕ
sin α 1 − e iN ∆ϕ 1 − e − iN ∆ϕ )2 ⋅ α 1 − e i∆ϕ 1 − e − i∆ϕ
每两个主极强之间有（ 每两个主极强之间有（N-1）条暗线（零点） 条暗线（零点） 相邻暗线间有一个次极强，故共有（ 相邻暗线间有一个次极强，故共有（N-2）个次极强
1 5
N =4
1. 25
1 0
7. 5
5
2. 5
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
（4）主极强特别明亮而且尖细，是因为缝多。 主极强特别明亮而且尖细，是因为缝多。 特别明亮而且尖细
（3）主极强是各缝出来的衍射光干涉而成的，其位置： 主极强是各缝出来的衍射光干涉而成的， 位置： 干涉而成的
sin β = 0 and sin( Nβ ) = 0
d sin θ = k λ， = 0, ±1, ±2 ⋅⋅⋅) max (k
光栅方程
主极强是各缝出来的衍射光干涉而成的← 主极强是各缝出来的衍射光干涉而成的←缝间干涉因子决定
≈ (sin θ k )′ = cos θ k ⋅ ∆θ k =
λ ∆ k= θ N cosθk d
为缝间距， N为缝数, d为缝间距，∆θk为k级主极大的半角宽度 为缝数, d为缝间距
中央主极大（偏离屏中 中央主极大（ 心点不远的主极强） 心点不远的主极强）
cos θ ≈ 1 ∴∆θ 0 =
λ
Nd
是光栅空间周期性的表示
d = a+b
普通光栅刻线为数十条/mm 数千条/mm 普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm 用电子束刻制可达数万条/mm 用电子束刻制可达数万条/mm
N很大
光谱分析
光栅的夫琅和费 光栅的夫琅和费衍射 夫琅和费衍射
光栅各缝衍射光 光栅各缝衍射光的叠加 各缝衍射光的叠加 是多束衍射光的干涉， 多束衍射光的干涉， p 点的光强决定于各束 光的光程差 由于各单缝的衍射， 由于各单缝的衍射 ， θ 不同时由各缝发出的光 强也不同
−4
− 2 −1
0 1
2
4
1.光栅的概念 1.光栅的概念
任何具有周期性的空间结构或光学性能（透射率、折射率） 任何具有周期性的空间结构或光学性能（透射率、折射率） 的衍射屏→光栅。 的衍射屏→光栅。
2. 光栅的种类
透射光栅 反射光栅 黑白光栅 正弦光栅 一维,二维, 一维,二维,三维
3. 光栅常数
双缝夫琅和费 双缝夫琅和费衍射 夫琅和费衍射
学习了单缝衍射以后, 质疑： 学习了单缝衍射以后, 质疑：
1、回顾杨氏实验的讨论
x sin θ ≈ d
∆ϕ I = 4I0 cos = 4I0 cos2 β 2
2
∆ϕ π d sin θ (β = = ) λ 2
sinα I = I0 α
每个主极强的宽度是以它两侧的暗线为界，它的中心到邻 每个主极强的宽度是以它两侧的暗线为界， 近的暗线之间的角距离， 近的暗线之间的角距离，为该级的半角宽度 ∆θ k
sin θ k = k
λ
d
1 λ sin(θ k + ∆θ k ) = (k + ) N d
∆θk
λ
Nd
θk
sin(θ k + ∆θ k ) − sin θ k
2
sin ( N ∆ ϕ 2) ) ⋅ I p = I 0单 ( 2 α sin( ∆ ϕ 2)
2 2
sin α
sinα sin(Nβ) = I0单 α sin β
2
2
∆ϕ π d β= = sinθ 2 λ
πa α= sin θ λ
sin α :单缝衍射因子 α 2 sin Nβ :缝间干涉因子 sin β
单缝衍射的极大在此无意义
注意：若两束光既满足（ 注意：若两束光既满足（3）式，又满足（2）式，即： 又满足（
a sin θ = mλ LL m = ±1, ±2 LL min L (2) d sin θ = k λ LL k = 0, ±1, ±2 L max L (3)
m衍射级 k干涉级
这种调制表现在以变化的I 这种调制表现在以变化的I0单衍 代替了不变的I0 代替了不变的I
（2）在a<<λ时，双缝衍射的强度分布情况变为理想的杨氏 <<λ时 干涉的强度分布情况
π asinθ α= ⇒0 λ
Iθ双衍 = 4I0 (
sin α
α
)2 cos2 β
⇒
Iθ = 4I0 cos2 β
双缝衍射明暗条纹的位置
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
光栅衍射的特点
（1）光栅衍射的强度 ） 被单缝图样调制
双缝衍射强度分布
光栅衍射强度分布
sin N β 2 ) ( ) Iθ = I 0单 ( α sin β
2
sin α
（2）主极强是明亮纤细的亮纹 ， 相邻亮纹间是一片宽广的 ） 主极强是明亮纤细的亮纹， 暗区，暗区中存在一些微弱的明条纹，称次极强。 微弱的明条纹 暗区，暗区中存在一些微弱的明条纹，称次极强。
强度为零的衍射光相干，相长干涉的强度仍为零—缺级。 相干， 缺级。 缺级
为整数比n 为整数比n时,缺n级 (2) m a 缺级条件： 缺级条件： d = = ⇒ k = m 缺级条件(m,k都为整数) 缺级条件(m,k都为整数) (m,k都为整数 (3) k d a
if :
m a 1 = = 级明纹， 12…… k d 3 缺第 3 级明纹，还缺 6、9、12……
πa sinθ λ
0.4
0.2
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
4
干涉因子
3
cos2 β
π d sinθ β= λ
-6 -5 -4 -3 -2 -1
2
1
1
4
2
3
4
5
6
3
sinα ×cos2 β α
2
-6 -5 -4 -3 -2 -1
2
1
1
2
3
4
5
6
双缝干涉
单缝衍射
双缝衍射 结论： 结论：（1）双缝衍射的强度曲线是单缝衍射强度对双缝干涉强 度进行调制的结果
2
多光束干涉因子
缝间干涉因子的特点
4 3
sin Nβ sin β
β=
1 2 3 4 5 6
2
N =2
- 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1
2
1
πd sinθ λ
8
N =3
6
4
2
-6
-5
-4
-3
-2
-1
15 12. 5
1
2
3
4
5
6
N =4
-6 -5 -4 -3 -2
10 7.5 5 2.5 -1 1 2 3 4 5 6
2
2
3
2
πa α = sinθ λ
πd β = sinθ λ
1 2 3 4 5 6
1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
d = 3a
N =3
8
6
4
2
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
d sinθ → λ
3
4
5
6
N =4
15
12.5
10
7.5
5
2.5
-6
-5
-4
-3
-2
-1
50