柱锥台球的体积(11月29日用)
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柱锥台球的体积与表面积
2 锥体的体积
V = 1/3πr²h
如何计算柱锥台球的体积
1
Step 1
测量柱体的半径(r)和高度(h)
Step 2
2
使用柱体的体积公式计算柱体的体积(Vc)
3
Step 3
测量锥体的半径(r)和高度(h)
Step 4
4
使用锥体的体积公式计算锥体的体积(Vc)
5
Step 5
将柱体的体积和锥体的体积相加得到柱锥台 球的总体积(V)
4
使用锥体的表面积公式计算锥体的表面积
(A c)
5
Step 5
将柱体的表面积和锥体的表面积相加得到柱 锥台球的总表面积(A)
柱锥台球的尺寸影响体积和表 面积吗？
柱锥台球的尺寸，如半径和高度，会直接影响它的体积和表面积。增加柱锥 台球的尺寸会增加其体积和表面积。
柱锥台球的体积和表面积之间 的关系
柱锥台球的体积和表面积之间是相互关联的。当柱锥台球的体积增加时，它 的表面积也会增加。
柱锥台球的表面积公式
1 柱体的表面积
A = 2πrh + 2πr²
2 锥体的表面积
A = πr(l + r)
如何计算柱锥台球的表面积径(r)和高度(h)
Step 2
2
使用柱体的表面积公式计算柱体的表面积
(A c)
3
Step 3
测量锥体的半径(r)和斜高(l)
Step 4
柱锥台球的体积与表面积
柱锥台球是一种特殊形状的台球，它由柱体和锥体两部分组成。在本演示中， 我们将讨论柱锥台球的体积和表面积，以及与数学和物理学的关系。
柱锥台球的形状
柱锥台球由一个底部较大的柱体和一个顶部较小的锥体组成。这种特殊形状 让它成为一个有趣的几何体。
柱锥台球的表面积体积
A
6
55
O•
D
B
5
6 E
5C
球的体积
祖暅原理：两等高的几何体若在所有等
高处的水平截面的面积相等，则 这两个几的体积?
球的体积
设球的半径为R,截面半径为r,平
面与截面的距离为 l
那么 r = R2 l 2
因此 S圆 = r 2
= (R2 l 2 ) = R2 l 2
r
分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知， 它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。
D A
C B
D A
C B
D1 A1
O C1
B1
D1 A1
O C1
B1
变题1.如果球O和这个正方体的六个面都相切，则有S=——。 变题2.如果球O和这个正方体的各条棱都相切，则有S=——。
关键：找正方体的棱长a与球半径R之间的关系
练习1：长方体的共顶点的三个侧面积分别 为 3 、 5 、15 ，则它的外接球的表面积 为 __________
练习：2把一个半径为R的球放在墙角，且与墙角 的三个面都相切，则球心与墙角顶点的距离（） 3在球面上有四点P, A, B,C，已知PA, PB, PC两 两垂直，且PA PB PC a,则球的表面积（）
l
R
o
lll l o
球的体积
设球的半径为R,截面半径为r,平
面与截面的距离为 l
那么 r = R2 l 2
因此 S圆 = r 2
= (R2 l 2 ) = R2 l 2
r
l
R
o
l o
o
球的体积
设球的半径为R,截面半径为r,平
面与截面的距离为 l
柱锥台球的结构特征说
柱锥台球的结构特征说
柱锥台球是一种特殊形状的台球，它具有独特的结构和设计特点。本文将介 绍柱锥台球的定义、材质、尺寸以及其不同部分的功能。
柱锥台球的定义和背景
柱锥台球是一种台球变种，起源于亚洲地区。它的形状像一个倒置的圆锥， 顶端较宽，底端较窄。柱锥台球受到许多台球爱好者的喜爱，因为它提供了 独特的挑战和游戏体验。
柱锥台球的材质和尺寸
柱锥台球通常由优质的木材制成，如硬木或竹子。它的尺寸根据比赛规则而 定，通常有标准的直径和高度要求。这种材质和尺寸选择旨在提供良好的击 球效果和稳定性。
柱锥台球的不同部分及其功能
顶部
顶部是柱锥台球的最宽部分， 它提供了更大的击球目标， 容纳了其他球的位置。
腰部
腰部是柱锥台球的中间部分， 它连接了顶部和底部，提供 了结构支撑和稳定性。
底部
底部是柱锥台球的最窄部分， 它注重稳定性和平衡，确保 柱锥台球在击球过程中不易 倒翻。
柱锥台球的装配和使用方法
1
装配
பைடு நூலகம்
将柱锥台球放置在台球桌上，确保其稳定。
2
击球
使用球杆将其他球击打到柱锥台球上，目标是使其他球稳定地停留在柱锥台球的不同部分。
3
计分
根据比赛规则和不同部分的计分方式，计算得分并确定赢家。
单人对战或团队对抗 根据击球结果和不同部分的计分规则 通常为一定的局数或时间限制
柱锥台球的未来发展和趋势
技术革新
随着科技的不断进步，柱锥台球 可能会发展出新的材料和装配方 式，提供更好的游戏体验。
全球影响
社交媒体传播
柱锥台球的受欢迎程度正在增加， 可能会出现更多的全球比赛和专 业选手。
通过社交媒体平台的推广，柱锥 台球有望吸引更多的玩家和观众。
柱锥台球是一种特殊形状的台球，它具有独特的结构和设计特点。本文将介 绍柱锥台球的定义、材质、尺寸以及其不同部分的功能。
柱锥台球的定义和背景
柱锥台球是一种台球变种，起源于亚洲地区。它的形状像一个倒置的圆锥， 顶端较宽，底端较窄。柱锥台球受到许多台球爱好者的喜爱，因为它提供了 独特的挑战和游戏体验。
柱锥台球的材质和尺寸
柱锥台球通常由优质的木材制成，如硬木或竹子。它的尺寸根据比赛规则而 定，通常有标准的直径和高度要求。这种材质和尺寸选择旨在提供良好的击 球效果和稳定性。
柱锥台球的不同部分及其功能
顶部
顶部是柱锥台球的最宽部分， 它提供了更大的击球目标， 容纳了其他球的位置。
腰部
腰部是柱锥台球的中间部分， 它连接了顶部和底部，提供 了结构支撑和稳定性。
底部
底部是柱锥台球的最窄部分， 它注重稳定性和平衡，确保 柱锥台球在击球过程中不易 倒翻。
柱锥台球的装配和使用方法
1
装配
பைடு நூலகம்
将柱锥台球放置在台球桌上，确保其稳定。
2
击球
使用球杆将其他球击打到柱锥台球上，目标是使其他球稳定地停留在柱锥台球的不同部分。
3
计分
根据比赛规则和不同部分的计分方式，计算得分并确定赢家。
单人对战或团队对抗 根据击球结果和不同部分的计分规则 通常为一定的局数或时间限制
柱锥台球的未来发展和趋势
技术革新
随着科技的不断进步，柱锥台球 可能会发展出新的材料和装配方 式，提供更好的游戏体验。
全球影响
社交媒体传播
柱锥台球的受欢迎程度正在增加， 可能会出现更多的全球比赛和专 业选手。
通过社交媒体平台的推广，柱锥 台球有望吸引更多的玩家和观众。
课件5：1.1.7 柱、锥、台和球的体积
[跟踪训练] 1．已知某圆台的上、下底面面积分别是 π，4π，母线长为 2，则这个圆台的 体积是________．
解析：设圆台的上、下底面半径分别为 r 和 R，高为 h，
则 S 上＝πr2＝π，S 下＝πR2＝4π，∴r＝1，R＝2，∵l＝2，
∴h＝
3，∴V＝13π(12＋22＋1×2)×
3＝7
所以体积为13×(
2)2×
3＝2
3 3，所以该几何体的体积为
2π＋2
3
3 .
[答案] C
【规律方法】 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 (1)求简单几何体的体积．若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则 可直接利用公式求解． (2)求以三视图为背景的几何体的体积．应先根据三视图得到几何体 的直观图，然后根据条件求解．
(×)
(2)锥体的体积等于底面面积与高之积
( ×)
(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差
(√ )
2. 如图所示，正方体 ABCD -A1B1C1D1 的棱长为 1，
则三棱锥 D1-ACD 的体积是
()
1 A. 6
1 B. 3
1 C. 2
D．1
答案：A
3．若圆锥的底面半径为 3，母线长为 5，则圆锥的体积是________． 解析：由已知圆锥的高 h＝4， 所以 V 圆锥＝13π×32×4＝12π. 答案：12π 4．若一个球的直径是 12 cm，则它的体积为________ cm3. 解析：由题意知其半径为 R＝122＝6(cm)， 故其体积为 V＝43πR3＝43×π×63＝288 π(cm3)． 答案：288π
故球的表面积 S 表＝4πR2＝16π.
2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点都在一个球面
课件8：1.1.7 柱、锥、台和球的体积
设 O1M＝x，易知 O1M⊥AB，则 O1A＝ 22＋x2，
O1C＝CM－O1M＝ 62－22－x.
又 O1A＝O1C，∴ 22＋x2＝ 62－22－x.
解得
x＝7 4
2.则
O1A＝O1B＝O1C＝9
4
2 .
在 Rt△OO1A 中，O1O＝R2，∠OO1A＝90°，OA＝R.
由勾股定理得(R2)2＋(9
1.1.7 柱、锥、台和球的体积
1．长方体的体积 (1)若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么它的体积 为V长方体＝ abc . (2)若长方体的底面积和高分别为S、h，那么它的体积 V长方体＝ Sh .
2．祖暅原理：幂势既同，则积不容异 这就是说：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行 于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的 面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．应用祖暅 原理可说明： 等底面积、等高 的两个柱体或锥体的体 积相等．
4
2)2＝R2.解得
R＝3
2
6 .
故 S 球＝4πR2＝54π，V 球＝43πR3＝27 6π.
[通一类]
4．如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球
的体积是其余两个球的体积之和的
()
A．1倍
B．2倍
C．3倍
D．4倍
【解析】半径大的球的体积也大，设三个球的半径分 别为 x,2x,3x， 则最大球的半径为 3x，其体积为43π×(3x)3， 其余两个球的体积之和为34πx3＋43π×(2x)3， ∴43π×(3x)3÷[43πx3＋43π×(2x)3]＝3.
[通一类] 2．一个边长为2的正三角形，绕它的对称轴旋转一周，如 图，求所得几何体的体积．
解：正三角形 SAB 绕对称轴 SO 旋转一周，得到
07课题：1.1.7柱、锥、台、球的体积
2.若预习完可对合作探究部分认真审题，做不完的正课再做，对于选作部分BC层可以不做；
3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑；
4.必须记住的内容：柱锥台球的体积公式.
预习案
1.祖暅原理的内容是什么？
思考：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积有什么关系？
2.柱体（棱柱、圆柱）的体积公式是？圆柱体的体积又可表示为？
A.6 B.12 C.24 D.48
3.一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积相等，则这个正方体和圆柱的体积之比为
4.一个球的大圆的面积增为原来的100倍，则这个球的体积增为原来的倍.
【我的疑惑】
பைடு நூலகம்探究案
探究点一:体积公式的应用
【例1】 如图所示，在长方体 中，用截面截下一个棱锥 ,求棱锥 的体积与剩余部分的体积之比.
【变式】在△ABC中，AB=2，AC=1.5，∠BAC= .若将△ABC绕直线AC旋转一周，求形成的旋转体的体积．
【小结】
探究点二：实际问题
【例2】有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重5.8kg．已知底面六边形的边长是12mm，高是10mm，内孔直径是10mm．那么约有毛坯多少个？(铁的比重为7.8g/cm3)
3.锥体（棱锥、圆锥）的体积公式是什么？圆锥的体积公式又可表示为？
思考：同底等高的三棱柱和三棱锥的体积有什么关系？
4.棱台、圆台、球体的体积公式分别是什么？
【预习自测】
1.正四棱锥的侧棱长为 ，侧棱与底面正方形对角线夹角为 ，则该棱锥的体积是( )
A.3 B.6 C.9 D.18
2.长方体的过一个顶点的三条棱长的的比是1:2:3，体对角线的长为 ，则这个长方体的体积是（）
【变式】有一个正四棱台形状的油槽，最多装油190L,假如它的两底面边长分别等于60cm和40cm.求它的深度。
3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑；
4.必须记住的内容：柱锥台球的体积公式.
预习案
1.祖暅原理的内容是什么？
思考：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积有什么关系？
2.柱体（棱柱、圆柱）的体积公式是？圆柱体的体积又可表示为？
A.6 B.12 C.24 D.48
3.一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积相等，则这个正方体和圆柱的体积之比为
4.一个球的大圆的面积增为原来的100倍，则这个球的体积增为原来的倍.
【我的疑惑】
பைடு நூலகம்探究案
探究点一:体积公式的应用
【例1】 如图所示，在长方体 中，用截面截下一个棱锥 ,求棱锥 的体积与剩余部分的体积之比.
【变式】在△ABC中，AB=2，AC=1.5，∠BAC= .若将△ABC绕直线AC旋转一周，求形成的旋转体的体积．
【小结】
探究点二：实际问题
【例2】有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重5.8kg．已知底面六边形的边长是12mm，高是10mm，内孔直径是10mm．那么约有毛坯多少个？(铁的比重为7.8g/cm3)
3.锥体（棱锥、圆锥）的体积公式是什么？圆锥的体积公式又可表示为？
思考：同底等高的三棱柱和三棱锥的体积有什么关系？
4.棱台、圆台、球体的体积公式分别是什么？
【预习自测】
1.正四棱锥的侧棱长为 ，侧棱与底面正方形对角线夹角为 ，则该棱锥的体积是( )
A.3 B.6 C.9 D.18
2.长方体的过一个顶点的三条棱长的的比是1:2:3，体对角线的长为 ，则这个长方体的体积是（）
【变式】有一个正四棱台形状的油槽，最多装油190L,假如它的两底面边长分别等于60cm和40cm.求它的深度。
柱锥台球的体积预习案
课题柱锥台球的体积预习案
一、自学指导
阅读教材28——31页
【知识链接】
1.正方体的体积公式
2.长方体的体积公式
学习探究一、取一摞书放在桌面上，并改变它们的位置，观察改变前后的体积是否发生变化？
学习探究二、两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）的体积如何？学习探究三、棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系？
二、自测自评（通过自己的预习来检查一下自己的预习效果）
1将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD=a,则三棱锥
D ABC
的体积为（）
（A）
3
6
a
（B）
3
12
a
（C）3
3
12
a（D）3
2
12
a
2正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为（）
A ．32
2 B ．2 C ．32
D ．32
4
．3正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为 ．
．4已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出
的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积
是 ．
20
20
正视图 20侧视图 10
10
20俯视图。
11.柱、锥、台和球的体积
从以上事实中你得到什么启发？
公理2、夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行 于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截 面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
β S1
α S2
祖暅原理
祖暅原理是推导柱、锥、台和球体积公 式的基础和纽带，原理中含有三个条件， 条件一是两个几何体夹在两个平行平 面之间； 条件二是用平行于两个平行平面的任 何一平面可截得两个平面； 条件三是两个截面的面积总相等，这 三个条件缺一不可，否则结论不成立.
1.1.7柱、锥、台和球体的体积
一、体积的概念与公理:
几何体占有空间部分的大小叫做它的体积
公理1、长方体的体积等于它的长、宽、高的积。
V长方体= abc
推论1 、长方体的体积等于它的底面积s和高h的积。
V长方体= sh
推论2 、正方体的体积等于它的棱长a 的立方。
V正方体= a3
思考：
取一摞纸张放在桌面上(如图所示) ， 并改变它们的放置方法，观察改变前后 的体积是否发生变化？
证明：
4 V球 R3 ,V柱 R2 2 R 2 R3 3
2 V球 V柱 3
例2. 如图所示，在长方体ABCD－ A’B’C’ D’中，用截面截下一个棱锥 C－A’DD’，求棱锥C－A’DD’的体 积与剩余部分的体积之比。
D A'
例3:
已知:边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1. C1
二：柱体的体积
定理1： 柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它 的底面积 s 和高 h 的积。
V柱体= sh
推论 ： 底面半径为r，高为h圆柱的体积是
V圆柱= r2h
三:锥体体积
D1
如图：三棱柱AD1C1-BDC,底面积为S,高为h. 问：（1）从 A 点出发棱柱能分割成几个三棱锥？ D C
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1 3
(S
S S S ) h
V锥体=
1 3
Sh
5、球的体积
V球 =
4 3
πR
3
例 1：如图，在长方体 A B C D A B C D 中， 截下一个棱锥 C A D D ,求棱锥的体积与剩 余部分的体积之比。 D'
C'
解： 长方体可以看成直四棱柱 ADD 设它的底面 ADD 则它的体积为V 的底面面积为 的体积
（429年～500年）
问题：两个底面积相等、高也相等的柱 体或锥体的体积如何？
棱柱和圆柱的体积
h
s S S
底面积相等，高也相等的柱体的体积也相等
二、几何体的体积 1．柱体的体积
V柱体= sh
V圆柱= r2h
等底面积、等高的锥体间的体积有何关系? 类似的,底面积相等,高也相等的两个锥体的体积也相等.
1
C1
D A1 A
1
C B
1
B
D
D
D1 A1 A D B
C1
C
B
1
A
B
B
1．用一张长12cm、宽8cm的矩形铁皮围成圆柱形的侧面，
求这个圆柱的体积．
288
2．已知一个铜质的五棱柱的底面积为16cm2，高为 4cm， 现将它熔化后铸成一个正方体的铜块，那么铸成的铜 块的棱长为多少（不计损耗）？4 c m 3．若一个六棱锥的高为10cm，底面是边长为6cm大的正
a
3
B
a
3
所以多面体A1D1C1-ABCD的体积为
练习4:
(方法1)
D1
已知:边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1. 求：棱锥C1-BA1D的体积？ C1源自A1B1D
O
C
A
B
练习4:
(方法2)
D1
已知:边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1. 求：棱锥C1-BA1D的体积？ C1 D1 C
V
C A DD
'
'
'
A
'
S
面积为S，高为h， Sh 因为棱锥 C A DD
'
A BCC B A'
'
'
'
'
B' D B C
1 2
高是h,所以棱锥
1 2 Sh 1 6 Sh
A' C A DD
'
1 3
余下的体积
Sh
1 6
Sh
5 6
Sh
所以体积比为
1:5
【例2】有一堆形状规格的六角螺帽毛坯共重5.8kg，已知底面六边形边长为 12mm，高为10mm，内孔直径是10mm，那么约有毛坯多少个？（铁的比重是 7.8 g/cm3） 解： 六角螺帽的体积V是一个正六棱柱的体积V1与一个圆柱的 体积V2的差
V V P ABCD V P A B C D
1 3 (S S S S ) h
两个底面积相等、高也相等的棱台（圆台）的体积 相等
Ｖ圆台＝ 3 πh ( r1
1
2
r1 r2 r2 )
2
柱、锥、台体积的关系：
S S
S 0
V柱体=Sh
V 台体
长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么它的体积为
V长方体=abc
或
V长方体=Sh
这里，S，h分别表示长方体的底面积和高。
取一摞书放在桌面上(如图所示) ，并改变它们 的放置方法，观察改变前后的体积是否发生变化？
作图验证
祖暅原理 ：幂势既同，则积不容异。
两等高的几何体,若在所有等高处的水平截面的面积相等 ，则这两个几何体的体积相等．
1 3
Sh
S=S'
S'
S'=0
S
S
S
约有毛坯
3
3
mm
2 .9 6 c m
3
5 .8 1 0 7 .8 2 .9 6 2 5 0（个）
答：这堆毛坯约有250个．
柱体 V S h
S S'
1.柱体、锥体、
台体的体积
台体 V
1
3 S ' 0
(S
S S S ) h
锥体 V 1 S h
我国古代著名数学家祖冲之在计算圆周 率等问题方面有着光辉的成就。祖冲之的儿 子祖暅也在数学上有突出贡献。祖暅在实践 的基础上，于5世纪末提出了这个体积计算原 理。 祖暅提出这个原理，要比其他国家的数 学家早一千多年。在欧洲直到17世纪，才有 意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri .B， 1598年--1647年）提出上述结论。
解 V: A D C ABCD
1 1 1
已知:边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1. D1 C1
求：(2）多面体A1D1C1-ABCD的体积？
A1
V 正方体
B1
A1 B 1 D 1 C 1 ABCD
V 棱锥
B A1 B 1 C 1
a
5 6
3
1 6
a
3
D A
5 6
C
V1 3 4 12 6 10
2
2
3 .7 4 1 0
3
mm
3
10 V 2 3 .1 4 10 2 所以一个毛坯的体积为
3
0 .7 8 5 1 0
3
mm
3
3
3
V 3 .7 4 1 0 0 .7 8 5 1 0 2 .9 6 1 0
求：(1）棱锥B1-A1BC1的体积 。
解:
V 棱锥
B 1 A1 BC
1
V 棱锥
1 B1C 1
A1
B A1 B 1 C 1
B1
O
1 3
1
S A
BB
a
1
1 a 3 2
2
D A B
1 6
a
3
所以棱锥B1-A1BC1的体积为
1 6
a
3
例4:
S为底面积,h为高.
s
s
2．锥体体积
A1
B1
以三棱柱为例
C1
A B
C
如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是Ｓ， 高是ｈ，那么它的体积是：
V 锥体 1 3 Sh
如果圆锥的底面半径是ｒ，高是ｈ，那么它的 体积是： 1
Ｖ圆锥＝
3
πｒ２ｈ
h
h
S
S
S
3．台体的体积
设棱台上底面积为S‘， 下底面积为S，高为h， 大棱锥的高为h1，小 棱锥的高为h2，则
3
2.球的体积公式
V球 = 4 3 πR
3
1 3
4 R R
2
3.计算组合体的体积时，通常将其转化为计算柱、锥、 台、球等常见的几何体的体积和.
作业
11月29日（周二） 1。状元之路 预习效果展示 2。白皮书95页 11月30日（周三） 白皮书96页（去掉6题）
例4:
已知:边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1. D1 C1
cm
3
或
192
cm
3
六边形，求这个六棱锥的体积．1 8 0
3cm
3
4．一个正四棱台形油槽可以装没有190升，假如它的上、 下底边长分别等于60cm和40cm，求它的深度． 75cm
V 柱体 Sh
S = S'
V 台体
1
S 3
SS ' S ' h
S' = 0
V锥体