同方向的简谐振动的合成
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谐振动分析(三)两个同方向同频率简谐运动的合成
o
o
A1
A2
A
T
t
A A1 A2
x (A A )cos(t )
1
2
2 1 2k π
3
物理学
第五版
谐运动分析(三)
（2）相位差 (2k 1) π(k 0，1, )
2
1
x
x
A1
2 o
o
Tt
A
A2
A A1 A2
x (A2 A1)cos(t )
2
1
(2k
1)π
4
物理学
第五版
小结
（1）相位差
2
1
2k
π
A A1 A2
谐运动分析(三)
(k 0，1， ) 加强
（2）相位差
2
1
(2k 1) π
(k 0，1， )
A A A
1
2
减弱
（3）一般情况
A1 A2 A A1 A2
5
物理学
第五版
谐运动分析(三)
二 两个相互垂直的同频率的简谐
运动的合成 x A1 cos(t 1)
x 阻尼振动位移时间曲线
A
Ae t
Aet cost
O
T A
t
( 0)
21
物理学
第五版
三种阻尼的比较
谐运动分析(三)
(a)欠阻尼
2 0
2
(b)过阻尼
2 0
2
(c)临界阻尼
2 0
2
x
b
oc
t
a
22
物理学
第五版
谐运动分析(三)
例 有一单摆在空气（室温为 20C）中来 回摆动. 摆线长l 1.0 m，摆锤是半径r 5.0103 m 的铅球.求（1）摆动周期；（2）振幅减小 10％所需的时间；（3）能量减小10％所需 的时间；（4）从以上所得结果说明空气的 粘性对单摆周期、振幅和能量的影响.
简谐运动的合成
x = ( 2 A1 cos 2 π
ν 2 −ν 1
2
t ) cos 2 π
ν 2 +ν1
2
t
振幅部分 振动频率 ν = (ν 1 + ν 2 ) 2 振幅 A = 2 A1 cos 2 π
合振动频率
ν 2 −ν 1
2
振 动
Amax = 2A1
t
Amin = 0
15
第九章
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
y
ϕ （1） 2 −ϕ1 = 0或 2 π ） A2 y= x A1
A2
A1
o
x
ϕ （2） 2 − ϕ1 = π ） A2 y=− x A1
第九章 振 动
y
A2
A1
o
x
7
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
x 2 y 2 2 xy 讨 + 2− cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) 论 A12 A2 A1 A2
A
ϕ1
ϕ
A 1
O
x2
x1
xx
两个同方向同频率简谐运动合成后仍 两个同方向同频率简谐运动合成后仍 合成 频率的简谐 简谐运动 为同频率的简谐运动
第九章 振 动
2
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
（1）相位差 ∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1 = 2k π (k = 0，1，2,⋯ ） ± ± )
x
ϕ
A2
x
o
y = A2 cos(ωt + ϕ 2 )
椭圆方程） 质点运动轨迹 （椭圆方程）
x 2 y 2 2 xy + 2− cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) 2 A1 A2 A1 A2
ν 2 −ν 1
2
t ) cos 2 π
ν 2 +ν1
2
t
振幅部分 振动频率 ν = (ν 1 + ν 2 ) 2 振幅 A = 2 A1 cos 2 π
合振动频率
ν 2 −ν 1
2
振 动
Amax = 2A1
t
Amin = 0
15
第九章
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
y
ϕ （1） 2 −ϕ1 = 0或 2 π ） A2 y= x A1
A2
A1
o
x
ϕ （2） 2 − ϕ1 = π ） A2 y=− x A1
第九章 振 动
y
A2
A1
o
x
7
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
x 2 y 2 2 xy 讨 + 2− cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) 论 A12 A2 A1 A2
A
ϕ1
ϕ
A 1
O
x2
x1
xx
两个同方向同频率简谐运动合成后仍 两个同方向同频率简谐运动合成后仍 合成 频率的简谐 简谐运动 为同频率的简谐运动
第九章 振 动
2
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
（1）相位差 ∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1 = 2k π (k = 0，1，2,⋯ ） ± ± )
x
ϕ
A2
x
o
y = A2 cos(ωt + ϕ 2 )
椭圆方程） 质点运动轨迹 （椭圆方程）
x 2 y 2 2 xy + 2− cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) 2 A1 A2 A1 A2
振动之同方向的简谐振动的合成
取12个分振动，相差依 次为30度，分振动就构 成一个完整的正多边形， 合振幅为零。
{范例5.9} 同一直线上的简谐振动的合成
(3)求两个同一直线、频率相近的简谐振动的合振动。 [解析](3)设一个质点同时参与两个同一直线不同频率的简谐振 动，角频率分别为ω1和ω2，为了突出频率不同所产生的效果， 设分振动的振幅和初相位都相同，因此两个分振动方程为 x1 = Acos(ω1t + φ)，x2 = Acos(ω2t + φ) 可见：两个同方向不 同频率的简谐振动合 利用和差化积公式可得合振动为 成之后不是简谐振动， 2 1 2 1 x x1 x 2 2 A co s( t ) co s( t ) 也没有明显的周期性。 2 2 当两个分振动的频率比较大而差异比较小时：|ω2 - ω1| << ω2 + ω1，方程就表示了振幅按2Acos[(ω2 - ω1)t/2]变化 的角频率为(ω2 + ω1)/2的“近似”的简谐振动。 这种振动的振幅变化是周期性的， 相对于简谐振动来说是缓慢的。
矢量首尾相接形成多边形的 一部分，最后首尾相接的矢 量就是合振动，合振幅为A = 5.4ΔA ，初相为60度。
取10 个分 振动， 相差 依次 为30 度。
当各振 动逐级 叠加时， 合振幅 先增加 再变小。
合振幅为A = 1.9 ΔA，初相为135度。
如果分振动的相差为零，那 么，正多边形变成一条线。
两个振动的最大值重合的周期随着发生变化，调制线的周期增大。
拍频为fp = Δω/2π = 1/30Hz，拍频的周期为T p = 1/fp = 30s。
{范例5.9} 同一直线上的简谐振动的合成
(1)求任意两个同一直线同频率的简谐振动的合振动；(2)有N个 同一直线同频率的简谐振动，它们的振幅都是ΔA，相差都是 Δφ，第一个振动的初相为零。求N个简谐振动的振幅和初相。 (3)求两个相一直线、频率相近的简谐振动的合振动。 M ω [解析](1)如图所示，设有两个独立的同频率的简谐振动， ω 位移为x1 = A1cos(ωt + φ1)，x2 = A2cos(ωt + φ2) A2 A ω 由于两个振动在同一直线上，因此合振动为 φ2 φφ1 A1 P x = x1 + x2 = A1cos(ωt + φ1) + A2cos(ωt + φ2) x Ox x = (A cosφ + A cosφ )cosωt
同方向的简谐振动的合成
合振动的振幅随时间作缓慢的周期性的变化， 合振动的振幅随时间作缓慢的周期性的变化，振 动出现时强时弱的拍现象 拍现象。 动出现时强时弱的拍现象。 拍频:单位时间内强弱变化的次数。 拍频:单位时间内强弱变化的次数。 ω2 − ω1 γ= = γ 2 − γ1 2π
同方向不同频率的两个简谐振动的合成 拍
同方向同频率的两个简谐振动的合成
C
r A
O
r a1
r r a3 α a2
α
r a4 α
rα a5
M
X
因各个振动的振幅相同且相差依次恒为 α ，上图 为圆心的圆周上， 中各个矢量的起点和终点都在以 C为圆心的圆周上， 为圆心的圆周上 根据简单的几何关系， 根据简单的几何关系，可得
∠OCM = Nα
同方向同频率的两个简谐振动的合成
x1
t
x2
t
x
t
同方向不同频率的两个简谐振动的合成 拍
反相迭加，合振幅最小。 反相迭加，合振幅最小 当A1=A2 时，A=0。 。 (3)通常情况下，合振幅介于 通常情况下， 通常情况下 和 之间。 之间。
同方向同频率的两个简谐振动的合成
个同方向、同频率的简谐振动，它们的振幅相等， 例15-4 N个同方向、同频率的简谐振动，它们的振幅相等， 15初相分别为0, , 2a, 依次差一个恒量a， 初相分别为0, a, 2 , ..., 依次差一个恒量 ，振动表达式可 写成
求它们的合振动的振幅和初相。 求它们的合振动的振幅和初相。
采用旋转矢量法可使问题得到简化， 解:采用旋转矢量法可使问题得到简化，从而避开 烦琐的三角函数运算。 烦琐的三角函数运算。 根据矢量合成法则， 个简谐振动对应的旋转矢 根据矢量合成法则，N个简谐振动对应的旋转矢 量的合成如下图所示： 量的合成如下图所示：
同方向不同频率的两个简谐振动的合成 拍
同方向同频率的两个简谐振动的合成
C
r A
O
r a1
r r a3 α a2
α
r a4 α
rα a5
M
X
因各个振动的振幅相同且相差依次恒为 α ，上图 为圆心的圆周上， 中各个矢量的起点和终点都在以 C为圆心的圆周上， 为圆心的圆周上 根据简单的几何关系， 根据简单的几何关系，可得
∠OCM = Nα
同方向同频率的两个简谐振动的合成
x1
t
x2
t
x
t
同方向不同频率的两个简谐振动的合成 拍
反相迭加，合振幅最小。 反相迭加，合振幅最小 当A1=A2 时，A=0。 。 (3)通常情况下，合振幅介于 通常情况下， 通常情况下 和 之间。 之间。
同方向同频率的两个简谐振动的合成
个同方向、同频率的简谐振动，它们的振幅相等， 例15-4 N个同方向、同频率的简谐振动，它们的振幅相等， 15初相分别为0, , 2a, 依次差一个恒量a， 初相分别为0, a, 2 , ..., 依次差一个恒量 ，振动表达式可 写成
求它们的合振动的振幅和初相。 求它们的合振动的振幅和初相。
采用旋转矢量法可使问题得到简化， 解:采用旋转矢量法可使问题得到简化，从而避开 烦琐的三角函数运算。 烦琐的三角函数运算。 根据矢量合成法则， 个简谐振动对应的旋转矢 根据矢量合成法则，N个简谐振动对应的旋转矢 量的合成如下图所示： 量的合成如下图所示：
简谐振动的合成
x1 (t ) = a cosωt x2 (t ) = a cos(ωt + δ ) x3 (t ) = a cos(ωt + 2δ )
C
Nδ
R
A
aN
⋮ x N ( t ) = a cos[ ω t + ( N − 1)δ ]
O
δ
a3
a1 P
在∆COM中：A = 2 R sin( N δ / 2 ) 中 上两式相除得： 上两式相除得： 在∆OCP中： a = 2R sin(δ / 2) 中
2
A2 y= x 为直线方程 A1
利用旋转矢量合成
∆ϕ = 0
2 1
y
8 7 6
4 4
y
1 2
3
3 7 6
4Байду номын сангаас
8
x
5
5 3
2 1
播 放 动 画
16
5 6 7
x
8
2. |ϕ 2
− ϕ1 | π =
2 2
反相位
y
x y 2xy =0 + + A1 A2 A1 A2
3
利用旋转矢量法求合振动也可得到相同的结果。 •利用旋转矢量法求合振动也可得到相同的结果。 取质点振动的平衡位置O为 取质点振动的平衡位置 为 坐标原点，振动方向沿OX轴。A 坐标原点，振动方向沿 轴 2 点作两个长度分别为A 从O点作两个长度分别为 1、 点作两个长度分别为 ϕ2 ϕ A2的矢量 A1 , A2 ，它们在 它们在t=0时 时 与X轴的夹角分别为ϕ1、ϕ2。 轴的夹角分别为ϕ 轴的夹角分别为
x1 = 4 cos 3t ,
= A cos(3t + ϕ )
二、同方向不同频率两个简谐振动的合成剖析
2 A cos 2 1
2
t
cos 1 2 t 2
位
移x
合振动 分振动1
振幅周期性变化
分振动2
2 21
oLeabharlann TT23T
2T
2
t
为一复杂振动
着重研究1
,
相近情况
2
——拍现象（Beat)
即 1- 2 << 1 or 2
x 2Acos 2 1 t cos 1 2 t
声音强弱的变化快 6秒中变化了6次，有6 拍
声音强弱的变化慢6秒中变化了3次，有3 拍
x 2Acos 2 1 t cos 1 2 t
2 2
x x x1 x2 x1 x2 o
| 振幅2变化缓慢1 |
2
一个强弱变化所需的时间
A A12 A22 2A1 A2 A1 A2
(2)两个振动反相
x
20 10 (2k 1) , k o,1,2,...
由A A12 A22 2A1 A2 cos(20 10 )
o
A A12 A22 2A1 A2 A1 A2
2010
x20
0
x10
AM
A1
x0
t o .P x
同方向同频率两个简谐振动的合成仍为简谐振动。
讨论两个特例
x
(1)两个振动同相
20 10 2k , k 0,1,2,...
由 A A12 A22 2A1 A2 cos(20 10 ) o
2 2
振幅随时间的变化非常缓慢
x
第二节 两个简谐振动的合成
A12 A22 2A1A2 cos(02 01)
A A12 A22 2A1A2 cos
[注：cos( ) cos cos sin sin ]
A值的讨论，有三种情况：
(1) 2k
cos 1
A A1 A2
A值最大
(2) (2k 1) cos 1
A A1 A2 (3) 为其它值
波器显示屏上出现合成结果的图形，见右图。求x ?
解：
x y
m n
Y方向切点数 X方向切点数
x 3 x y 2 1000
x 1500 Hz
本节小结
同方向
1
2
简谐振动 A A12 A22 2A1A2 cos
同方向 1 2 拍 2 1
垂直方向
x m y n
李萨如图
x y
两个简谐振动的步调比较
同相：若两个简谐振动的频率相同、初相位相同，则两个简谐 振动的位移同时达到最大和最小。
x
1
2
t3
t1
t2
t4
t
0 ,同相
反相：若两个简谐振动的频率相同、初相位相差π，则一个振
动到达最大位移处时，另一个振动到达反向最大位移处。
1
x
t1
t2
t3
t4
t
2
,反相
超前与落后：若两个简谐振动的频率相同，初相位之差为
Y2 B2
1
X 0 t1 0 Y B
t2
2
X A Y 0
X 0 t3 Y B
t4
3 2
X A Y 0
t4 t3
t2
t1 Y超前π/2
右旋振动
t1 t2
t3
t4 Y落后π/2
振动合成(1)
简谐振动合成 §6-5 简谐振动合成 一、两个同方向、同频率谐振动的合成 两个同方向、
x1 = A cos(ωt +ϕ1) 1 x2 = A cos(ωt +ϕ2 ) 2
vv AA 2 2
v Av A
ω
X
x = x1 + x2 r A： 大小不变
ϕ2 ϕ
O
v A v 1 A 1
ϕ1
以角速度ω绕 点旋转 以角速度 绕O点旋转
O
A 1
X
(2) ϕ2 −ϕ1 = (2k +1)π k = 0，1 ± 2L（反相） ±， 反相） r ω A2 A = A − A2 1
合振幅最小 振动减弱！ 振动减弱！
O
r 若A1=A2 ，则A=0，质点静止。 A ，质点静止。 1
X
例1、两个同方向、同频率的简谐振动合成后， 、两个同方向、同频率的简谐振动合成后， 合振动的振幅为20cm,相位与第一振动的相位 合振动的振幅为 相位与第一振动的相位 之差为π ， 之差为π/6，若第一振动的振幅为 10 3cm ， 试求第二振动的振幅及第一第二振动的相位差。 试求第二振动的振幅及第一第二振动的相位差。 解：
离开原点位移： 离开原点位移：
2 1 2 2
A 1
S = A + A cos(ωt + ϕ )
A1
X
ϕ = ϕ1 = ϕ2 合振动是谐振动
(2) ϕ2 −ϕ1 = π
A2 y =− x A 1
2 2
A2 Y A1 X
类似,合振动是谐振动 与(1)类似 合振动是谐振动 类似
(3) ϕ2 −ϕ1 =
π
A2 = A + A − 2A Acosϕ 1
x1 = A cos(ωt +ϕ1) 1 x2 = A cos(ωt +ϕ2 ) 2
vv AA 2 2
v Av A
ω
X
x = x1 + x2 r A： 大小不变
ϕ2 ϕ
O
v A v 1 A 1
ϕ1
以角速度ω绕 点旋转 以角速度 绕O点旋转
O
A 1
X
(2) ϕ2 −ϕ1 = (2k +1)π k = 0，1 ± 2L（反相） ±， 反相） r ω A2 A = A − A2 1
合振幅最小 振动减弱！ 振动减弱！
O
r 若A1=A2 ，则A=0，质点静止。 A ，质点静止。 1
X
例1、两个同方向、同频率的简谐振动合成后， 、两个同方向、同频率的简谐振动合成后， 合振动的振幅为20cm,相位与第一振动的相位 合振动的振幅为 相位与第一振动的相位 之差为π ， 之差为π/6，若第一振动的振幅为 10 3cm ， 试求第二振动的振幅及第一第二振动的相位差。 试求第二振动的振幅及第一第二振动的相位差。 解：
离开原点位移： 离开原点位移：
2 1 2 2
A 1
S = A + A cos(ωt + ϕ )
A1
X
ϕ = ϕ1 = ϕ2 合振动是谐振动
(2) ϕ2 −ϕ1 = π
A2 y =− x A 1
2 2
A2 Y A1 X
类似,合振动是谐振动 与(1)类似 合振动是谐振动 类似
(3) ϕ2 −ϕ1 =
π
A2 = A + A − 2A Acosϕ 1
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x
t
O
Hale Waihona Puke A A A 2 A1 A2 A1 A2
2 1 2 2
第十一章 机械振动和电磁振荡
§11-3 同方向的简谐振动的合成 二、同方向不同频率的两个谐振动的合成拍 两个谐振动
x1 A cos(1t 0 )
x2 A cos( 2t 0 )
x x1 x2 A cos(1t 0 ) A cos( 2t 0 )
拍
2 2 1 2 1 1
第十一章 机械振动和电磁振荡
§11-3 同方向的简谐振动的合成
第十一章 机械振动和电磁振荡
第十一章 机械振动和电磁振荡
§11-3 同方向的简谐振动的合成
x 2 A cos(
2 1
2
t ) cos(
2 1
2
t 0 )
合运动可看成是角频率为(1 2 ) 2 1 2
振幅为 2 A cos( 2 1 )t 2 的简谐振动。 拍频：合振动振幅变化的频率。
§11-3 同方向的简谐振动的合成 两个特例 两振动同相
x
O
20 10 2k (k 0， 1， 2 ， )
A A A 2 A1 A2 A1 A2
2 1 2 2
t
x
t
O
两振动反向
20 10 (2k 1) (k 0， 1， 2， )
第十一章 机械振动和电磁振荡
§11-3 同方向的简谐振动的合成
合振动仍是简谐振动
式中
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos( 20 10 )
A1 sin 10 A2 sin 20 tan 0 A1 cos 10 A2 cos 20
第十一章 机械振动和电磁振荡
§11-3 同方向的简谐振动的合成
一 、同方向同频率的两个简谐振动的合成
x1 A1 cos(t 10 )
x2 A2 cos(t 20 )
合位移 x
x x1 x2
A1 cos( t 10 ) A2 cos( t 20 ) A cos( t 0 )