2016-2017学年高中数学必修四人教A版练习：第三章 三

单元评估验收(三)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．2sin 215°－1的值是( ) A.12 B ．－12C.32D ．－32解析：2sin 215°－1＝－(1－2sin 215°)＝－cos 30°＝－32. 答案：D2．已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin x ，x ∈R ，则f (x )的最小正周期是( )A ．πB ．2π C.π2D ．2解析：f (x )＝sin 2x －sin x cos x ＝1－cos 2x 2－12sin 2x ＝12－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 所以T ＝2π2＝π.答案：A3．已知sin α2＝45，cos α2＝－35，则角α的终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：sin α＝2sin α2cos α2＝－2425<0，cos α＝2cos 2α2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352－1＝－725<0.所以α为第三象限角． 答案：C4.2cos 10°－sin 20°cos 20°的值为( )A. 3B.62 C ．1 D.12解析：原式＝2cos （30°－20°）－sin 20°cos 20°＝2（cos 30°cos 20°＋sin 30°sin 20°）－sin 20°cos 20°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.答案：A5．在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B的值为( )A.14B.13C.12D.53解析：△ABC 中，C ＝120°，得A ＋B ＝60°， 所以(tan A ＋tan B )＝tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＝ 3(1－tan A tan B )＝233.所以tan A tan B ＝13.答案：B6．已知sin α2＝45， cos α2＝－35，则sin α等于( )A.625B ．－2425C ．－1225D ．－625解析：sin α＝2sin α2cos α2＝2×45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2425.答案：B7．若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin θ－cos θ＝22，则cos 2θ等于( )A.32B ．－32C ．±32D ．±12解析：因为sin θ－cos θ＝22， 所以(sin θ－cos θ)2＝12，即1－2sin θcos θ＝12，所以sin 2θ＝12.因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin θ >cos θ， 所以θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－32.答案：B8．已知sin α－cos α＝－52，则tan α－1tan α的值为( )A ．－5B ．－6C ．－7D ．－8解析：将方程sin α－cos α＝－52两边平方，可得1－sin 2α＝54，即sin 2α＝－14，则tan α＋1tan α＝tan 2＋1tan α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin αcos α2＋1sin αcos α＝2sin 2α＝2－14＝－8. 答案：D9．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝35，x ∈(0，π)，则sin x 的值为( ) A.－43－310B.43－310C.12D.32解析：由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝35，且0<x <π，得0<x ＋π6<π2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝45，所以sin x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6sin π6＝45×32－35×12＝43－310. 答案：B10．在△ABC 中，cos A ＝55，cos B ＝31010，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形 解析：因为cos A ＝55，所以sin A ＝255. 同理sin B ＝1010.因为cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝ －55×31010＋255×1010＝－5050<0， 所以C 为钝角． 答案：B11．函数y ＝sin x ＋cos x ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最小值是( )A ．2－ 2B ．2＋ 2C ．3D ．1解析：由y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2，且0≤x ≤π2， 所以π4≤x ＋π4≤34π，所以22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，所以3≤y ≤2＋2. 答案：C12．(2014·天津卷)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R.在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为( )A.π2B.2π3 C ．πD ．2π解析：由题意得函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)，又曲线y ＝f (x )与直线y ＝1相邻交点距离的最小值是π3，由正弦函数的图象知，ωx ＋π6＝π6和ωx ＋π6＝5π6对应的x 的值相差π3，即2π3ω＝π3，解得ω＝2，所以f (x )的最小正周期是T ＝2πω＝π.答案：C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．若sin θ2－2cos θ2＝0，则tan θ＝________．解析：由sin θ2－2cos θ2＝0，得tan θ2＝2.所以tan θ＝2tanθ21－tan 2θ2＝2×21－2＝－43. 答案：－4314．已知向量a ＝(4，3)，b ＝(sin α，cos α)，且a ⊥b ，那么tan 2α＝________．解析：因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0， 所以4sin α＋3cos α＝0，所以tan α＝－34，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×⎝⎛⎭⎪⎫－341－⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＝－247.答案：－24715．(2015·重庆卷改编)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝________．解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5， 所以原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan α＋tanπ5tan α－tanπ5. 又因为tan α＝2tan π5，所以原式＝2tan π5＋tanπ52tan π5－tanπ5＝3.答案：316．已知A ，B ，C 皆为锐角，且tan A ＝1，tan B ＝2，tan C ＝3，则A ＋B ＋C 的值为________．解析：因为tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝1＋21－2＝－3<0，①又0<A <π2，0<B <π2，所以0<A ＋B <π，②由①②知，π2<A ＋B <π，又tan[(A ＋B )＋C ]＝tan （A ＋B ）＋tan C 1－tan （A ＋B ）tan C ＝－3＋31－（－3）×3＝0，又因为0<C <π2，所以π2<A ＋B ＋C <32π，所以A ＋B ＋C ＝π. 答案：π三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210，cos 2α＝725，求sin α及tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3. 解：因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝22(sin α－cos α)＝7210，所以sin α－cos α＝75.①因为cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α－sin α) (cos α＋sin α)＝－75(cos α＋sin α)，所以cos α＋sin α＝－15.②由①②得：sin α＝35，cos α＝－45.所以tan α＝－34.所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝tan α＋31－3tan α＝3－341＋334＝48－25311. 所以sin α＝35，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝48－25311. 18．(本小题满分12分)在斜△ABC 中，sin A ＝－cos B cos C 且tan B tan C ＝1－3，求角A .解：在三角形中，有A ＋B ＋C ＝π， 所以sin A ＝sin(B ＋C )．所以－cos B cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C .上式两边同时除以cos B cos C ，得tan B ＋tan C ＝－1.又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－11－（1－3）＝－33＝－tan A .所以tan A ＝33.又0<A <π，所以A ＝π6.19．(本小题满分12分)已知f (x )＝2cos 2ωx2＋3sin ωx ＋α的图象上相邻两对称轴的距离为π2.(1)若x ∈R ，求f (x )的递增区间；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值． 解：由f (x )＝2cos 2 ωx2＋3sin ωx ＋a ＝3sin ωx ＋cos ωx ＋a ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋a ＋1. 因为f (x )的图象上相邻对称轴的距离为π2，故T 2＝π2⇒T ＝π⇒ω＝2πT ＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1.(1)由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z)，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π(k ∈Z)，所以f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z)． (2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则π6≤2x ＋π6≤7π6，所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1， 所以f (x )max ＝2＋a ＋1＝4， 所以a ＝1.20．(本小题满分12分)已知向量m ＝(sin A ，cos A )，n ＝(3，－1)且m·n ＝1，且A 为锐角．(1)求角A 的大小；(2)求函数f (x )＝cos 2x ＋4cos A sin x (x ∈R)的值域．解：(1)由题意得m·n ＝3sin A －cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝1，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.由A 为锐角得A －π6＝π6，所以A ＝π3.(2)由(1)知cos A ＝12，所以f (x )＝cos 2x ＋2sin x ＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋32.因为x ∈R ，所以sin x ∈[－1，1]，因此，当sin x ＝12时，f (x )有最大值32，当sin x ＝－1时，f (x )有最小值－3，所以所求函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，32. 21．(本小题满分12分)设向量a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(cos x ，cos x )，x ∈R ，函数f (x )＝a ·(a ＋b )．(1)求函数f (x )的最大值与最小正周期； (2)求使不等式f (x )≥32成立的x 的取值范围．解：(1)因为f (x )＝a ·(a ＋b )＝a ·a ＋a ·b ＝sin 2x ＋cos 2x ＋sin x cos x ＋cos 2x ＝1＋12sin 2x ＋12(cos 2x ＋1)＝32＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以f (x )的最大值为32＋22，最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由(1)知f (x )≥32⇔32＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≥32⇔sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≥0⇔2k π≤2x＋π4≤2k π＋π⇔k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z)． 所以使f (x )≥32成立的x 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z .22．(2014·福建卷)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )．(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．解：法一：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4＝ －2cos π4⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4－cos π4＝2. (2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1， 所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z. 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1＝2. (2)因为T ＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z. 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.。