2021年新高考数学总复习练习题：函数的性质

2021年新高考数学总复习练习题：函数的性质
一、选择题（共16小题；共80分）
1. 已知函数 f (x )={x 2+1,x >0,
cosx,x ≤0,
则下列结论正确的是 ( )
A. f (x ) 是偶函数
B. f (x ) 是增函数
C. f (x ) 是周期函数
D. f (x ) 的值域为 [−1,+∞)
2. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是 ( )
A. y =cosx
B. y =sinx
C. y =lnx
D. y =x 2+1 3. 设 f (x ) 为定义在 R 上的奇函数，当 x ≥0 时，f (x )=2x +m （m 为常数），则 f (−1)= ( ) A. 3
B. 1
C. −1
D. −3
4. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 ( )
A. y =x +sin2x
B. y =x 2−cosx
C. y =2x +1
2x
D. y =x 2+sinx
5. 已知函数 f (x ) 是定义在 (−∞,+∞) 上的偶函数，当 x ∈(−∞,0) 时，f (x )=x −x 4，则当 x ∈(0,+∞) 时，f (x ) 等于 ( ) A. x +x 4
B. −x −x 4
C. −x +x 4
D. x −x 4
6. 若函数 f (x )，g (x ) 分别是 R 上的奇函数、偶函数，且满足 f (x )−g (x )=e x ，则有 ( )
A. f (2)<f (3)<g (0)
B. g (0)<f (3)<f (2)
C. f (2)<g (0)<f (3)
D. g (0)<f (2)<f (3) 7. 函数 f (x ) 的定义域为 R ，“f (x ) 是奇函数”是“存在 x ∈R ，f (x )+f (−x )=0”的 ( )
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
8. 当 x 1≠x 2 时，有 f (x 1+x 22
)<
f (x 1)+f (x 2)
2
，则称函数 f (x ) 是“严格下凸函数”，下列函数是严格下
凸函数的是 ( )
A. y =x
B. y =∣x∣
C. y =x 2
D. y =log 2x
9. 下列函数中，在区间 (2,+∞) 上为增函数的是 ( )
A. y =−3x
B. y =1
2−x C. y =−(x −2)2
D. y =log 12
x
10. 下列函数中既是奇函数，又在区间 (0,+∞) 上单调递减的函数为 ( )
A. y =√x
B. y =−x 3
C. y =log 12
x
D. y =x +1
x
11. 下列函数 f (x ) 中，满足“对任意 x 1,x 2∈(0,+∞)，当 x 1<x 2 时，都有 f (x 1)>f (x 2)”的是
( )
A. f (x )=1
x
B. f (x )=(x −1)2
C. f (x )=e x
D. f (x )=ln (x +1) 12. 已知 f (x ) 是 R 上的奇函数，则“x 1+x 2=0”是“f (x 1)+f (x 2)=0”的 ( )
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
13. 如果函数 f (x ) 在 [a,b ] 上是增函数，那么那于任意的 x 1，x 2∈[a,b ] (x 1≠x 2)，下列结论中不
正确的是 ( ) A.
f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2
>0
B. (x 1−x 2)[f (x 1)−f (x 2)]>0
C. 若 x 1<x 2，则 f (a )<f (x 1)<f (x 2)<f (b )
D. x 1−x
2
f (x 1
)−f (x 2
)
>0
14. 已知定义在 R 上的函数 f (x ) 满足① f (2−x )=f (x )；② f (x +2)=f (x −2)；③ x 1，x 2∈
[1,3] 时，
f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2
<0，则 f (2014)，f (2015)，f (2016) 大小关系为 ( )
A. f (2014)>f (2015)>f (2016)
B. f (2016)>f (2014)>f (2015)
C. f (2016)=f (2014)>f (2015)
D. f (2014)>f (2015)=f (2016)
15. 已知对任意的 a ∈[−1,1]，函数 f (x )=x 2+(a −4)x +4−2a 的值总大于 0，则 x 的取值范围
是 ( )
A. 1<x <3
B. x <1 或 x >3
C. 1<x <2
D. x <2 或 x >3
16. 设函数 f (x ) 是定义在 R 上的偶函数，且对任意的 x ∈R 恒有 f (x +1)=f (1−x )，已知当 x ∈
[0,1] 时，f (x )=(12)
1−x
，则：
① f (x +2)=f (x )；②函数 f (x ) 在 (1,2) 上递减，在 (2,3) 上递增； ③函数 f (x ) 的最大值是 1，最小值是 0；④当 x ∈(3,4) 时，f (x )=(12)
x−3
．
其中正确结论的个数是 ( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题（共6小题；共30分） 17. 设 f (x ) 是以 2 为周期的函数，且当 x ∈[1,3) 时， f (x )=x −2 ， 则 f (−1)= ．
18. 凸函数的性质定理为：如果函数 f (x ) 在区间 D 上是凸函数，则对于区间 D 内的任意
x 1,x 2,⋯,x n ，有 f (x 1)+f (x 2)+⋯+f (x n )
n
≤f (x 1+x 2+⋯+x n
n
)，已知函数 y =sinx 在区间 (0,π) 上是凸函
数，则在 △ABC 中，sinA +sinB +sinC 的最大值为 ． 19. 函数 y =1
∣x∣+2 的最大值是 ．
20. 函数 f (x )=x 2+(m −1)x −1 是偶函数，则实数 m = ．
21. 已知函数 f (x )=(12
)x
的图象与函数 g (x ) 的图象关于直线 y =x 对称，令 ℎ(x )=g (1−∣x ∣)，
则关于 ℎ(x ) 有下列命题： （1）ℎ(x ) 的图象关于原点对称；（2）ℎ(x ) 为偶函数； （3）ℎ(x ) 的最小值为 0；（4）ℎ(x ) 在 (0,1) 上为减函数．
其中正确命题的序号为 ．（将你认为正确的命题的序号都填上） 22. 有下列命题：
①函数 y =f (−x +2) 与 y =f (x −2) 的图象关于 y 轴对称； ②若函数 f (x )=e x ，则 ∀x 1,x 2∈R ，都有 f (
x 1+x 22
)≤
f (x 1)+f (x 2)
2
；
③若函数 f (x )=log a ∣x∣, (a >0,a ≠1) 在 (0,+∞) 上单调递增，则 f (−2)>f (a +1)； ④若函数 f (x +2010)=x 2−2x −1 (x ∈R )，则函数 f (x ) 的最小值为 −2．
其中真命题的序号是 ．
三、解答题（共4小题；共52分）
23. 函数 f (x )=k ⋅a −x （k ，a 为常数，a >0，且 a ≠1）的图象过点 A (0,1)，B (3,8)．
（1）求函数 f (x ) 的解析式； （2）若函数 g (x )=f (x )−1
f (x )+1
，试判断函数 g (x ) 的奇偶性并给出证明．
24. 研究函数f(x)=x2+3
的性质，并作出其图象．
x2−4
25. 已知定义域为R的函数f(x)=2x−b
是奇函数．
2x+a
（1）求a，b的值；
（2）利用定义判断函数y=f(x)的单调性；
（3）若对任意t∈[0,1]，不等式f(2t2+kt)+f(k−t2)>0恒成立，求实数k的取值范围．
26. 已知函数f(x)对一切x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x>0时，f(x)<0，f(1)=
−2．
（1）求证：f(x)是奇函数．
（2）判断f(x)的单调性，并说明理由．
（3）求f(x)在[−3,3]上的最大值和最小值．。