实数知识点总结及习题练习
八年级数学上册实数,实数知识点总结,典型题型归纳,同步练习题
第三课时：实数1．无理数1.1.无限不循环小数叫做无理数．如：2，π，0.1225486…等．1.2.判断方法：①定义是判断一个数是不是无理数的重要依据；②有理数都可以写成分数的形式，而无理数则不能写成分数的形式（两个整数的商）．1.3.常见的无理数：①含有开不尽方的数的方根的一类数，如3，35，1+2等；②含有π一类数，如5π，3+π等；③以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如0.2020020002…（相邻两个2之间0的个数逐渐加1）．2．实数的概念和分类2.1.概念：有理数与无理数统称为实数．2.2.实数按定义分类：2.3.按正负分类：3．实数与数轴3.1.实数与数轴上的点的对应关系：实数与数轴上的点是一一对应的．即每个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．3.2.在数轴上的两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大．4．相反数与绝对值4.1.相反数：数a 的相反数是-a ．4.2.绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即0||=000，，，a a a a a a ⎧>⎪=⎨⎪-<⎩．5．实数的运算实数运算的顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减．如果遇到括号，则先进行括号里的运算．❖ 典型题型：无理数的判断1．判断一个数是不是无理数，必须看它是否同时满足两个条件：无限小数和不循环小数这两者缺一不可． 2．带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数． 【例1】0；3π227；1.1010010001…，无理数的个数是 A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】C【解析】因为0；2273π；1.1010010001…是无限不循环小数，所以无理数有3个，故选C ．❖ 典型题型：实数的概念和分类1．实数的分类有不同的方法，但要按同一标准，做到不重不漏．2．对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据最后结果进行分类． 【例2】在5π152123140412316，，，，，.，，，----中，其中 是整数， 是无理数， 是有理数.【答案】0，41-；π55121231404132216，，，；，，.，，----【例3】将这些数按要求填入下列集合中：0.01001001…，4，122-，3.2，0，-1，-（-5），-|-5|，π2-．负数集合｛…｝；分数集合｛…｝； 非负整数集合｛…｝；无理数集合｛…｝．【解析】负数集合｛122-，-1，-|-5|，π2-…｝； 分数集合｛122-，3.2…｝；非负整数集合｛4，0，-（-5）…｝； 无理数集合｛0.01001001…，π2-…｝．❖ 典型题型：实数与数轴 两个实数比较大小：1．数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大；2．正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比较，绝对值大的反而小． 【例4】如图，数轴上点P 表示的数可能是A 7B ．7C ．–3.2D ．10【答案】B【解析】7 2.6510 3.16，设点P 表示的实数为x ，由数轴可知，–3<x <–2，∴符合题意的数为7B ．【例5】和数轴上的点成一一对应关系的数是A．自然数B．有理数C．无理数D．实数【答案】D【解析】数轴上的点不仅表示有理数，还表示所有的无理数，即实数与数轴上得点是一一对应的，故选D．【例6】已知实数m、n在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断错误的是A．m<0 B．n＞0 C．n＞m D．n<m【答案】D【解析】由数轴上的点，得m<0<n，所以m<0，n＞0，n＞m都正确，即选项A，B，C判断正确，选项D 判断错误．故选D．【例7】已知数轴上A、B两点表示的数分别为–3和5，则A、B间的距离为__________．【答案】5+3【解析】A、B两点表示的数分别为–3和5，则A、B间的距离为5–（–3）=5+3，故答案为：5+3．【例8】如图，点A、B、C在数轴上，O为原点，且BO：OC：CA=2：1：5．（1）如果点C表示的数是x，请直接写出点A、B表示的数；（2）如果点A表示的数比点C表示的数两倍还大4，求线段AB的长．【解析】（1）∵BO：OC：CA=2：1：5，点C表示的数是x，∴点A、B表示的数分别为：6x，–2x；（2）设点C表示的数是y，则点A表示的数为6y，由题意得，6y=2y+4，解得：y=1，∴点C表示的数是1，点A表示的数是6，点B表示的数是–2，∴AB=8．❖ 典型题型：相反数与绝对值求一个有理数的相反数和绝对值与求一个实数的相反数和绝对值的意义是一样的，实数a 的相反数是-a ，一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．【例9】2的相反数是A ．-2B ．2C ．D【答案】A【解析】根据相反数的定义可知：2的相反数是2-，故选A ．【例10】3-π的绝对值是A ．3-πB ．π-3C ．3D ．π【答案】B【解析】∵3−π<0，∴|3−π|=π−3，故选B ．【例11】A ．相反数B ．倒数C ．绝对值D ．算术平方根【答案】A【解析】A ．❖ 典型题型：实数的运算1．在进行实数的运算时，有理数的运算法则、运算性质、运算顺序、运算律等同样适用．2．在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算．【例12】计算下列各式：（1）221．【解析】（1-（2）原式21+1=．基础练习1．在下列实数中，属于无理数的是A ．0B C ．3D ．132．在13.140.231.131331333133331(3π-，，，，……每两个1之间依次多一个3)中，无理数的个数是 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个3的值在 A ．0和1之间B ．1和2之间C ．2和3之间D ．3和4之间4．下列四个数中，最小的一个数是A ．B 3-．C -．D π-．5 A ．3B ．3-1C 3． 1D 3-．6．下列说法中，正确的个数有①不带根号的数都是有理数；②无限小数都是无理数；③任何实数都可以进行开立方运算；④5不是分数． A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个7．下列各组数中互为相反数的一组是A．-|-2|与38-B．-4与-2(4)-C．-32与|32-| D．-2与28．如图，数轴上点P表示的数可能是A6B．7-C． 3.4-D．11 932-的相反数是__________，绝对值是__________．10．计算：325262+-=__________．115__________．12313=__________7（17=__________．13．把下列各数填入相应的集合内：15416，233270.15，-7.5，-π，0，23.．①有理数集合：｛…｝；②无理数集合：｛…｝；③正实数集合：｛…｝；④负实数集合：｛…｝．14．已知：x是|-3|的相反数，y是-2的绝对值，求2x2-y2的值．15．已知a7b7的小数部分，|c7，求a-b+c的值．能力拓展16．已知5+5与5–5的小数部分分别是a、b，则（a+b）（a–b）=__________．17．6–5的整数部分是a，小数部分是b．（1）a=__________，b=__________．（2）求3a–b的值．18．如图，点A表示的数为–2，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位后到达点B，设点B所表示的数为n．（1）求n的值；（2）求|n+1|+（n+22–2）的值．真题实战19．（2018•鄂尔多斯）在227，–20184，π这四个数中，无理数是A．227B．–2018 C4D．π20．（2018•辽阳）在实数–2，3，0，–53中，最大的数是A．–2 B．3 C．0 D．–5 321．（201816A．14B．1±4C．12D．1±222．（2018•锦州）下列实数为无理数的是A．–5 B．72C．0 D．π23．（2018•南通）如图，数轴上的点A，B，O，C，D分别表示数–2，–1，0，1，2，则表示数2–5的点P应落在A．线段AB上B．线段BO上C．线段OC上D．线段CD上24．（2018•荆州）如图，两个实数互为相反数，在数轴上的对应点分别是点A、点B，则下列说法正确的是A．原点在点A的左边 B．原点在线段AB的中点处C．原点在点B的右边 D．原点可以在点A或点B上25．（2018•常州）已知a为整数，且35a<<，则a等于A．1 B．2 C．3 D．426．（2018•攀枝花）如图，实数–3、x、3、y在数轴上的对应点分别为M、N、P、Q，这四个数中绝对值最小的数对应的点是A．点M B．点N C．点P D．点Q27．（2018•贺州）在–1、122这四个数中，最小的数是A．–1 B．1 C2D．228．（2018•宁夏）计算：|–12|14A．1 B．12C．0 D．–129．（2018•攀枝花）下列实数中，无理数是A．0 B．–2 C3D．1 730．（20184–|–3|的结果是A．–1 B．–5 C．1 D．5 31．（2018•福建）已知m43m的估算正确的A．2<m<3 B．3<m<4 C．4<m<5 D．5<m<6 32．（2018•湖北）点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的实数分别是a，b，下列结论错误的是A．|b|<2<|a| B．1–2a＞1–2bC．–a<b<2 D．a<–2<–b33．（2018•北京）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是A．|a|＞4 B．c–b＞0 C．ac＞0 D．a+c＞0 34．（2018•南京）下列无理数中，与4最接近的是A．11B．13C．17D．19 35．（2018•枣庄）实数a，b，c，d在数轴上的位置如图所示，下列关系式不正确的是A．|a|＞|b| B．|ac|=ac C．b<d D．c+d＞036．（2018•益阳）计算：|–5|327+（–2）2+4÷（–23）．37．（2018•大庆）求值：（–1）2018+|12|38．38．（2018•台州）计算：|–2|4+（–1）×（–3）贾老师数学同步辅导班精讲精练教材——初二上册参考答案1．B ；2．C ；3．B ；4．D ；5．A ；6．C ；7. C ；8. B ；9．22；--10．11．1213．有理数集合：｛4，23，0.15，-7.5，0，23.…｝；，π-…｝；4，230.15，23.…｝； 负实数集合：｛-7.5，π-…｝．14．14．15．4或4-．16． 517．（1）a =3，b =32）18．（1）22+-；（2）319．D ；20．B ；21．C ；22．D ；23．B ；24．B ；25．B ；26．B ；27．A ；28．C ；29．C ；30．B ； 31．B ；32．C ；33．B ；34．C ；35．B ；36．0．372．38．3．。
知识点1实数的有关概念及习题
知识点1实数的有关概念一、实数定义：有理数和无理数统称为实数二、实数分类：1.按照正负分：正实数、0、负实数2.按照定义分：有理数、无理数3.有理数相关知识（1）有理数定义：整数和份数统称为有理数（2）整数可分为：正整数、0、负整数正整数和0成为非负整数；负整数和0成为非正整数（3）分数可分为正分数和负分数。
（4）分数都可化为有限小数或无限循环小数；反之有限小数或无限循环小数都可化为分数4.无理数的相关知识（1）无理数定义：无线不循环小数（2）无理数常见的几种类型a:含π的数，比如3π，π+2等b.开放开不尽的数C.有特殊规律的数，比如0.1001000100001........注意：有理数之间的加减乘除运算的结果一定是有理数。
有理数×无理数的结果既可以是有理数也可以是无理数。
举例____________________________________________________________________ 有理数÷无理数的结果既可以是有理数也可以是无理数。
举例____________________________________________________________________ 无理数÷有理数的结果是无理数。
举例____________________________________________________________________ 无理数+无理数的结果既可以是有理数也可以是无理数。
举例____________________________________________________________________ 无理数-无理数的结果既可以是有理数也可以是无理数。
举例____________________________________________________________________ 以上问题请学生自己举例进行验证。
实数知识点总结及练习题
)(无限不循环小数负有理数正有理数无理数⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧--⎩⎨⎧---)()32,21()32,21()()3,2,1()3,2,1,0(无限循环小数有限小数整数负分数正分数小数分数负整数自然数整数有理数、、 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧实数第一章 勾股定理姓名 座号 班级一、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+二、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
三、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。
常见的勾股数组有：（3，4，5）；（5，12，13）；（8，15，17）；（7，24，25）；（6，8，10）；（9，12，15）；（这些勾股数组的倍数仍是勾股数）第二章 实数一、实数的概念及分类1、实数的分类2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；二、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。
特别地，0的算术平方根是0。
表示方法：记作“a ”，读作根号a 。
性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
2、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）。
表示方法：正数a 的平方根记做“a ±”，读作“正、负根号a ”。
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。
0≥a注意a 的双重非负性：a ≥03、立方根一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a 那么这个数x 就叫做a 的立方根（或三次方根）。
实数知识点总结及习题练习
探究一由平方根和算术平方根的意义确定字母的取值范围1．___________，根号下的被开方数必须是_____________才有意义，因此可列出不等式______________，x的取值范围是______________．2．需要列出不等式组为________________．x的取值范围是______________．3x的取值范围是______________．探究二根据非负数性质求未知数的值已知x、y为实数，且()2320y-=．1．()232y-都是非负数，()2320y-=，你能得到什么结论？_________________________________ _____________________________________ ___．2．由1，你能求出x y-的值吗？_________________________________ _____________________________________ ___．答案：1．≥，()2320y-≥，()2320y-=，∴0=，()2320y-=．2．由1得，10x-=，1x=；20y-=，2y=．∴121x y-=-=-．探究三平方根与简单的一元二次方程1．由21960x-=可得_______________，2．据1得，x是196的_______________，所以x=______________．3．由1，2的启示，请你试着求等式()2162810x+-=中的x值．_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________．探究四由平方根的意义确定字母的值322a-和23a-都是m的平方根，求a和m的值．1．当322a-与23a-相等时，求a和m的值．______________________________________________________________________．2．当322a-与23a-互为相反数时，求a和m的值．_________________________________ ____________________________________．3．讨论总结：m的值为____________．探究五利用被开方数非负性求未知数的值已知x、y都是有理数，且3y=，求1x y+的平方根．1．表示3x-的_________________，则x的范围是______________．2．表示3x-的_________________，则x的范围是______________．3．由1，2，得x=______________，y=_______________．4．讨论总结：1x y+的平方根是多少？_________________________________ ________________________________．探究六算术平方根与绝对值相综合题已知20090a a-=，求1a的取值范围是什么？_________________________________ _______________________________________．2．由1，你能将等式2009a a-=中的绝对值去掉吗？_________________________________ _____________________________________ _．3．由2，你能求出22009a-的值吗？_________________________________ _____________________________________ _．4．讨论总结：_________________________________ _____________________________________ _．探究七平方根的实际应用一个开口的长方体盒子，是从一块正方形的马口铁的每个角剪掉一个36cm2的正方形后，再把它的边折起来做成的，如图，量得这个盒子的容积是150cm2，求原正方形的边长是多少？1．由题意可知剪掉正方形的边长为______________cm．2．设原正方形的边长为x cm，请你用x 表示盒子的容积．________________________________．3．由1，2的分析，请你列出方程，并解答，求原正方形的边长．_________________________________________________________________________． 随堂反馈1．25121的平方根的数学表达式是（ ）A511=±B511=-C．511=D．511=±2．9的算术平方根是（ ） A ．3-B ．3C ．3±D ．813．当5x =-） A ．5B ．5-C ．5±D ．254．正方形M 的面积是正方形N 的面积的64倍，那么正方形M 的边长是正方形N 的边长的（ ）A ．4倍B ．8倍C ．16倍D ．2倍5．一个数的算术平方根是它的本身，则这个数是______________．6．=则xy 的算术平方根为______________．7．代数式5-的最大值为______________．8．已知a，b满足310b a +--=，求25b a -的平方根．9．如果a为整数，的最大值及此时a 的值．10．已知21a -的平方根为3±，31a b +-的平方根为4±，求2a b +的平方根．平方根跟踪练习（一）一、选择题1．下列各式中无意义的是（）A ．7-B ．7 C.7- D ．()27--2.41的算术平方根是（） A ．161 B ．81 C ．21 D ．21±3.下列运算正确的是（）A ．33-= B ．33-=-C =D 3=-二、填空题4.若一个正方形的面积为13，则正方形的边长为___________.5.小明房间的面积为10.8米2，房间地面恰好由120块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是_________.6.⑵=25___________;⑶()=-22________;=_______;⑸2=_______.7．若下列各式有意义，在后面的横线上写出x 的取值范围：⑵x -5_______8．若20a -+=，则2a b -=_________．9．一个正方形的面积扩大为原来的4倍，它的边长变为原来的倍，面积扩大为原来的9倍，它的边长变为原来的倍，面积扩大为原来的n 倍，它的边长变为原来的_______倍. 10._______的算数平方根是它本身. 三、解答题11．求下列各数的算术平方根:⑴169 ⑵0.0256 ⑶24125⑷()22-12.要种一块面积为615.442m 的圆形草地以美化家庭，它的半径应是多少米？（π取3.14）平方根跟踪练习（二）一、选择题1．下列说法中不正确的是（）A.2-是2的平方根B.2是2的平方根C.2的平方根是2D.2的算术平方根是22．41的平方根是（） A.161 B.81 C.21 D.21± 3．“254的平方根是52±”，用数学式子可以表示为（）A.52254±= B.52254±=±C.52254=D.52254-=- 4．下列各式中，正确的个数是（） ①3.09.0=; ②34971±=;③23-的平方根是－3; ④()25-的算术平方根是－5; ⑤67±是36131的平方根.A.1个B.2个C.3个D.4个 5.若a 是()24-的平方根，b 的一个平方根是2，则代数式a ＋b 的值为（）A.8B.0C.8或0D.4或－4 二、填空题6.如果某数的一个平方根是-6，那么这个数为________．7.如果正数m 的平方根为3，则m 的值是．8．16的平方根是.9．若411+-+-=a a b ，则ab 的平方根是. 三、解答题10．求下列各式的值:⑴225 ⑵0004.0- ⑶4112± ⑷()21.0-- ⑸04.081.0- ⑹224041-。
初二(下)实数的知识点与练习题
第十三章 实数知识要点一： 1．实数的性质（1）实数范围内仍然适用在有理数范围内定义的一些概念（如倒数，相反数）；（2）两实数的大小关系：正数大于0，0大于负数；两个正实数，绝对值大的实数大；两个负实数，绝对值大的实数反而小；（3）在实数范围内，加、减、乘、除（除数不为零）、乘方五种运算是畅通无阻的，但是开方运算要注意，正实数和零总能进行开方运算，而负实数只能开奇次方，不能开偶次方；（4）有理数范围内的运算律和运算顺序在实数范围内仍然相同． 2．实数与数轴的关系每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反之，数轴上每一个点都表示一个实数，即数轴上的点与实数是一一对应关系．3．实数的分类（1）按实数的定义分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 （2）按实数的正负分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负分数负整数负有理数负实数负数）零（既不是正数也不是正无理数正分数正整数正有理数正实数实数4．实数的大小比较两实数的大小关系如下：正实数都大于0，负实数都小于0，正数大于一切负数；两个正实数，绝对值大的实数较大；两个负实数，绝对值大的实数反而小．实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个实数，右边的数总大于左边的数．【典型例题】2-1C B A 例1若a 为实数,下列代数式中,一定是负数的是( ) A. －a 2 B. －( a +1)2 C.－2a D.－(a -+1)分析：本题主要考查负数和非负数的概念,同时涉及考查字母表示数这个知识点.由于a 为实数, a 2、( a +1)2、2a 均为非负数，∴－a 2≤0，－( a +1)2≤0，－2a ≤0．而0既不是正数也不是负数，是介于正数与负数之间的中性数．因此，A 、B 、C 不一定是负数．又依据绝对值的概念及性质知－(a -+1)﹤0．故选D例2 实数a 在数轴上的位置如图所示, 化简:2)2(1-+-a a =分析：这里考查了数形结合的数学思想,要去掉绝对值符号,必须清楚绝对值符号内的数是正还是负.由数轴可知:1﹤a ﹤2,于是,22)2(,112a a a a a -=-=--=-所以, 2)2(1-+-a a =a －1+2－a =1.例3 如图所示,数轴上A 、B 两点分别表示实数1，5，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的实数为（ ） A. 5－2 B. 2－5 C.5－3 D.3－5分析：这道题也考查了数形结合的数学思想,同时又考查了对称的性质．B 、C 两点关于点A 对称，因而B 、C 两点到点A 的距离是相同的，点B 到点A 的距离是5－1，所以点C 到点A 的距离也是5－1，设点C 到点O 的距离为a ，所以a +1=5－1，即a =5－2．又因为点C 所表示的实数为负数，所以点C 所表示的实数为2－5．例4 已知a 、b 是有理数，且满足（a －2）2+3-b =0，则a b 的值为分析：因为（a －2）2+3-b =0，所以a －2=0，b －3=0。
实数知识点归纳及典型例题
第十三章实数----知识点总结一、算术平方根1.算术平方根的定义：一般地，如果的等于a ，即，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为，读作“根号a ”，a 叫做．规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式a x =2(x ≥0)中，规定a x =。
理解：a x =2(x ≥0)a x =a 是x 的平方x 的平方是ax 是a 的算术平方根a 的算术平方根是x 2.a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数；当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。
3.当被开方数扩大(或缩小)时，它的算术平方根也扩大(或缩小)；4.夹值法及估计一个（无理）数的大小（方法：）二、平方根1.平方根的定义：如果的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的．即：如果，那么x 叫做a 的． 理解：a x =2<—>a x ±=a 是x 的平方x 的平方是ax 是a 的平方根a 的平方根是x2.开平方的定义：求一个数的的运算，叫做．开平方运算的被开方数必须是才有意义。
3.平方与开平方：±3的平方等于9，9的平方根是±34.一个正数有平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数平方根，即负数不能进行开平方运算5.符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根；正数a 的负的平方根可用-a 表示．6.平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个； 联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。
三、立方根1.立方根的定义：如果的等于a ，这个数叫做a 的（也叫做），即如果，那么x 叫做a 的立方根。
2.一个数a “三次根号a ”，其中a 叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。
理解：a x =3<—>3a x =a 是x 的立方x 的立方是ax 是a 的立方根a 的立方根是x3.一个正数有一个正的立方根；0有一个立方根，是它本身；一个负数有一个负的立方根；任何数都有唯一的立方根。
实数知识点总结及练习题
复习：实数知识点总结一、平方根：如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根（或二次方根）。
记作a x ±=性质：（1）平方根号里的数是非负数，即0≥a（2）正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
例 1、36的平方根是 ；16的算术平方根是 .2、如果102=x ，则x 是一个 数，x 的整数部分是 .3、=22 ，()23-= ，213= ，()=-225 ，20= ， 综上所述，=2a .4、()=29 ，()=236 ，()=⎪⎭⎫ ⎝⎛-227 ，()=20 ， 综上所述，()=2a .二、立方根：如果a x =3，那么x 叫做a 的立方根（或三次方根）。
记作3a x =性质：（1）立方根号里的数是任意实数（2）任意实数的立方根只有一个，且符号相同例 1、8的立方根是 ；327-＝ .2、=-3343 ，=-3343 ，则33433a3、37-的相反数是 .4、=33a ，()=33a .三、实数分类⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧ 0无限不循环小数负无理数正无理数无理数无限不循环小数有限小数或负分数正分数分数负整数正整数整数有理数实数说明：（1）实数与数轴上的点一一对应。
（2）相反数：a ，b 是实数且互为相反数b a b a -==+⇔,0（3）绝对值：设a 表示一个实数，则⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=时当时当时当0 000 a a a a a a例 1、把下列各数分别填入相应的集合里：()2,2,3.0,1010010001.0,125,722,0,123-----•π 有理数集合：｛ ｝；无理数集合：｛ ｝；负实数集合：｛ ｝；2、2-的绝对值是，11-的绝对值是 .3+的相反数是，-的相反数的绝对值是 .4、计算：22322+-测试题：一、选择题：1、实数38 2π 34 310 25 其中无理数有（）A 、 1个B 、 2个C 、 3个D 、 4个2、如果162=x ，则的值是（）A 、 4B 、 -4C 、 4±D 、 2±3、下列说法正确的是（）A 、 25的平方根是5B 、22-的算术平方根是2C 、 8.0的立方根是2.0D 、65是3625的一个平方根 4、下列说法其中错误的有（ ）个⑴无限小数都是无理数 ⑵无理数都是无限小数 ⑶带根号的数都是无理数⑷两个无理数的和还是无理数 （5）两个无理数的积还是无理数A 、 3B 、 1C 、 4D 、 25、如果x x -=2成立的条件是（）A 、0≥xB 、0≤xC 、0>xD 、0<x6、下列说法错误的是（）A 、2a 与2)(a -相等 B 、a 与a -互为相反数C 、3a 与3a -是互为相反数D 、a 与a -相等 7、b a ,的位置如图所示，则下列各式中有意义的是（ ）.A 、b a +B 、b a -C 、abD 、a b - 8、16的平方根是（ ） A. 4 B. -4 C. 4± D. 2±9、下列说法：① 任意一个数都有两个平方根； ② 3的平方根是3的算术平方根 ； ③ -125的立方根是5±； ④23是一个分数； ⑤ 32-无意义。
第六章--实数(知识点+知识点分类练习)
【知识要点】被开放数扩大（或缩小）n倍，算术平方根扩大（或缩小）n倍，例如.25 5, 2500 50.一、算数平方根算数平方根的定义：一般的，如果一个非负数x的平方等于a,即x2=a ，（a>0），那么这个非负数x叫做a的算术平方根。
a的算术平方根记为谄，读作“根号a”，a叫做被开方数。
求一个正数a的平方根的运算叫做开平方。
1.0的算术平方根是02. 被开方数越大，对应的算术平方根也越大（对所有正数都成立）。
3. 一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相反数。
显然，如果我们知道了这两个平方根的一个，那么就可以及时的根据相反数的概念得到它的另一个平方根。
4. 负数在实数系内不能开平方。
二、平方根平方根的定义：如果一个数x的平方等于a ,即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根，求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
平方根的性质：一个正数有2个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根就是这个数的算数平方根；0只有1个平方根，它是0;负数没有平方根。
开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
三、立方根立方根的定义：如果一个数x的立方等于a，即x3=a,那么这个数x就叫做a的立方根或三次方根，求一个数的立方根的运算叫做开立方，a的立方根记为鴛读作“三次根号a”，其中a是被开方数。
立方根的性质：每个数a都只有1个立方根。
正数的立方根是正数；0的立方根是0;负数的立方根是负数。
四、实数1. 无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数。
2. 实数的定义：有理数和无理数统称实数。
3. 实数的分类：整数宀拓有理数八”有限小数或无限循环小数 实数 分数无理数无限不循环小数像有理数一样，无理数也有正负之分。
例如2 ,3 3 , 是正无理数， 2， 3 3， 是负无理数。
由于非0有理数和无理数都有正负之分，所以实数也可以这样分类：4. 实数与数轴上的点的对应关系：实数与数轴上的点是 -- 对应的。
5. 有关概念：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的意义相同。
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实数知识点总结平方根、算数平方根和立方根 （3—10分）1、平方根如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。
一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数a 的平方根记做“a ±”。
2、算术平方根正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
a （a ≥0） 0≥a==a a 2 ；注意a 的双重非负性：-a （a <0） a ≥03、立方根如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
实数（平方根）单元习题练习思维启动如图是一块由两个正方形并排放在一起而成的硬纸板，请你用两刀把它裁成四块，然后拼成一个正方形，拼后的正方形边长为多少综合探究探究一 由平方根和算术平方根的意义确定字母的取值范围1中被开方数为___________，根号下的被开方数必须是_____________才有意义，因此可列出不等式______________，x 的取值范围是______________．2________________．x 的取值范围是______________．3x 的取值范围是______________． 答案：1．2x ，非负数，20x ≥，0x ≥． 2．10,0.x x -≥⎧⎨≥⎩01x ≤≤．3．1x >-．探究二 根据非负数性质求未知数的值已知x 、y ()2320y -=．1()232y -都是非负数，结合已知()2320y -=，你能得到什么结论_________________________________________________________________________． 2．由1，你能求出x y -的值吗_________________________________________________________________________．答案：1．∵0≥，()2320y -≥()2320y -=，∴0=，()2320y -=．2．由1得，10x -=，1x =；20y -=，2y =．∴121x y -=-=-． 探究三 平方根与简单的一元二次方程 1．由21960x -=可得_______________，2．据1得，x 是196的_______________，所以x =______________． 3．由1，2的启示，请你试着求等式()2162810x +-=中的x 值．_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________．答案：1．2196x =． 2．平方根，14x =±．3．由()2162810x +-=，得()281216x +=，∴924x +=±，∴14x =或174-．探究四 由平方根的意义确定字母的值322a -和23a -都是m 的平方根，求a 和m 的值．1．当322a -与23a -相等时，求a 和m 的值．______________________________________________________________________． 2．当322a -与23a -互为相反数时，求a 和m 的值．_____________________________________________________________________． 3．讨论总结：m 的值为____________．答案：1．32223a a -=-，得19a =，3223192235a -=⨯-=，2335a -=，2351225m ==．2．322230a a -+-=，得5a =，32235227a -=⨯-=-，232537a -=⨯-=，()227749m =-==．3．m 的值为1225或49．探究五 利用被开方数非负性求未知数的值已知x 、y 都是有理数，且3y =，求1x y +的平方根．13x -的_________________，则x 的范围是______________．23x -的_________________，则x 的范围是______________． 3．由1，2，得x =______________，y =_______________． 4．讨论总结：1x y+的平方根是多少_________________________________________________________________． 答案：1．算术平方根，3x ≥．2．算术平方根，x ≤3． 3．3x =，3y =． 4．∵14381x y+==，∴1x y +的平方根为9±．探究六 算术平方根与绝对值相综合题已知20092010a a a -+-=，求2200915a -+的值． 1．由式子2010a -可以得出a 的取值范围是什么________________________________________________________________________． 2．由1，你能将等式20092010a a a -+-=中的绝对值去掉吗_______________________________________________________________________． 3．由2，你能求出22009a -的值吗_______________________________________________________________________． 4．讨论总结：求2200915a -+的值．_______________________________________________________________________． 答案：1．∵20100a -≥，∴2010a ≥．2．原式变形为20092010a a a -+-=，即20102009a -=． 3．220102009a -=，220092010a -=．4．22009152010152025a -+=+=，∴220091545a -+=．探究七 平方根的实际应用一个开口的长方体盒子，是从一块正方形的马口铁的每个角剪掉一个36cm 2的正方形后，再把它的边折起来做成的，如图，量得这个盒子的容积是150cm 2，求原正方形的边长是多少1．由题意可知剪掉正方形的边长为______________cm ．2．设原正方形的边长为x cm ，请你用x 表示盒子的容积．________________________________．3．由1，2的分析，请你列出方程，并解答，求原正方形的边长．_________________________________________________________________________． 答案：1．6． 2．()266x -．3．()266150x -=，()2625x -=，65x -=±．∴11x =或1x =（舍去）．即原正方形的边长为11cm ． 随堂反馈1．25121的平方根的数学表达式是（ ）A 511=± B 511=- C 511= D ．511=± 2．9的算术平方根是（ ） A ．3-B ．3C ．3±D ．813．当5x =- ） A ．5B ．5-C ．5±D ．254．正方形M 的面积是正方形N 的面积的64倍，那么正方形M 的边长是正方形N 的边长的（ ）A ．4倍B ．8倍C ．16倍D ．2倍5．一个数的算术平方根是它的本身，则这个数是______________．6=xy 的算术平方根为______________．7．代数式5-的最大值为______________．8．已知a ，b 310b a --=，求25b a -的平方根．9．如果a 的最大值及此时a 的值．10．已知21a -的平方根为3±，31a b +-的平方根为4±，求2a b +的平方根．参考答案1．D 2．B 3．A 4．B 5．0，1 6．4 7．5- 8．∵0≥，310b a --≥，310b a --=，0=，1a =-；310b a --=，310b a --=，∴2b =-．∴259b a -=，25b a -的平方根为3±． 9．∵a 为正数，∴2929a -≤5．的最大值为5，此时a 的值为4．10．由题意，得219,3116.a a b -=⎧⎨+-=⎩解得5,2.a b =⎧⎨=⎩ ∴29a b +=，2a b +的平方根为±3．平方根跟踪练习（一）一、选择题1．下列各式中无意义的是（） A ．7- B ．7 C.7- D ．()27--2.41的算术平方根是（）A ．161 B ．81 C ．21 D ．21±3.下列运算正确的是（）A ．33-=B ．33-=-C =D 3=- 二、填空题4.若一个正方形的面积为13，则正方形的边长为___________.5.小明房间的面积为10.8米2，房间地面恰好由120块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是_________.6.⑵=25___________;⑶()=-22________;=_______;⑸2=_______.7．若下列各式有意义，在后面的横线上写出x 的取值范围：⑵x -5_______8．若20a -=，则2a b -=_________．9．一个正方形的面积扩大为原来的4倍，它的边长变为原来的倍，面积扩大为原来的9倍，它的边长变为原来的倍，面积扩大为原来的n 倍，它的边长变为原来的_______倍. 的算数平方根是它本身. 三、解答题11．求下列各数的算术平方根:⑴169 ⑵ ⑶24125⑷()22-12.要种一块面积为2m 的圆形草地以美化家庭，它的半径应是多少米（π取）平方根跟踪练习（二）一、选择题1．下列说法中不正确的是（） A.2-是2的平方根 B.2是2的平方根的平方根是2 的算术平方根是22．41的平方根是（） A.161 B.81 C.21 D.21± 3．“254的平方根是52±”，用数学式子可以表示为（）A.52254±= B.52254±=± C.52254= D.52254-=- 4．下列各式中，正确的个数是（） ①3.09.0=; ②34971±=;③23-的平方根是－3; ④()25-的算术平方根是－5; ⑤67±是36131的平方根.个 个 个 个5.若a 是()24-的平方根，b 的一个平方根是2，则代数式a ＋b 的值为（） .0 C 或0 或－4 二、填空题6.如果某数的一个平方根是-6，那么这个数为________．7.如果正数m 的平方根为1x +和3x -，则m 的值是．8．16的平方根是.9．若411+-+-=a a b ，则ab 的平方根是.三、解答题10．求下列各式的值:⑴225 ⑵0004.0- ⑶4112±⑷()21.0-- ⑸04.081.0- ⑹224041-跟踪练习一答案一、选择题1．C．2．C．3．A．二、填空题45．6．3；5；2；－4；37．x≥0；x≤58．19．2；3和1三、解答题11．13；；75；212．14跟踪练习二答案一、选择题1．C2．D3．B4．A二、填空题6．367．4或-39．2或-2三、解答题10．⑴15⑵⑶7 2⑷⑸⑹9。