第一章_函数与极限
第一章 函数与极限
第一章 函数与极限高等数学与初等数学的根本区别之一是初等数学的研究对象基本上是常量，而高等数学的研究对象主要是变量．在现实世界中，存在着许许多多变化着的量，它们之间有些变量是相互依赖、相互联系的，函数就是对变量之间相互依赖关系的一种抽象．极限是高等数学中的另一个主要概念，它是高等数学这门课程的基本推理工具．连续性是函数的一个重要性态，而连续函数是高等数学研究的主要对象．在初等数学的学习过程中，我们已经学习过函数、极限与连续的概念，本章将在此基础上，对函数、极限与连续进行复习、巩固和提高．第一节 函数一、函数的概念定义1 设x 和y 是两个变量，D 是一个给定的非空实数集．如果对于变量x 在数集D 中取定的每一个确定的数值，变量y 按照一定的对应法则f 都有惟一确定的数值与之对应，则称变量y 是定义在数集D 上的变量x 的函数，记作)(x f y =．数集D 称为函数)(x f y =的定义域，x 称为自变量，y 称为函数（或称因变量）． 当x 取数值D x ∈0时，由对应法则f ，与0x 对应的y 的值0y 称为函数)(x f y =在点0x 处的函数值．记作)(00x f y =．当x 取遍D 中的每个数值时，对应的函数值全体组成的数集{}D x x f y y M ∈==，)(称为函数)(x f y =的值域．函数)(x f y =中表示对应法则（或对应关系）的记号“f ”也可改用其它字母.例如“F ”或“g ”，这时函数)(x f y =就记作)(x F y =或)(x g y =．同一个函数在讨论中应取定一种记号．如果在讨论同一问题时，涉及多个函数，则应取不同的记号分别表示．为方便起见，有时可用记号)(1x f y =，)(2x f y =，…等表示函数．这种表示函数的方法也称为函数的解析法（或公式法）．函数的定义域和对应法则称为函数的两个要素.如果某两个函数)(x f y =与)(x g y =的定义域和对应法则相同，则称它们为相同的函数，否则称它们为不同的函数.对于函数)(x f y =，如果自变量x 在定义域内任意取定一个数值时，对应的函数值y 总是只有一个，这种函数称为单值函数，否则称为多值函数．注意 以后凡是没有特别说明时，本书所讨论的函数都是指单值函数.例1 设62)(3-+=x x x f ，1sin )(+-=x x x g ，求（1）)()3()1(2x f f f ，，；（2）)1()()0(+x g g g ，，π．解（1） 36121)1(3-=-⋅+=f ，276323)3(3=-⋅+=f ，626)(2)()(262322-+=-+=x x x x x f .（2） 1100sin )0(=+-=g ，ππππ-=+-=11sin )(g ，xx x x x g -+=++-+=+)1sin(1)1()1sin()1(. 例2 已知1)1(2+-=+x x x f ,求)(x f .解 令，于是，则11-==+t x t x331)1()1()(22+-=+---=t t t t t f ， 所以 33)(2+-=x x x f .例3 判断下列各对函数是否是相同的函数：（1）x x f =)(，2)(x x g =；（2）x x g x x f lg 2)(lg )(2==，.解 （1）因为x x f =)(的定义域为)(∞+-∞，， x x x g ==2)(的定义域也为)(∞+-∞，，所以，函数)()(x g x f 与是相同的函数.（2）因为2lg )(x x f =的定义域为)0()0(∞+⋃-∞，，，x x g lg 2)(=的定义域为)0(∞+，，所以，函数)()(x g x f 与是不同的函数.例4 求下列函数的定义域：（1）2312+-+=x x x y ； （2）342+-=x x y ； （3）24x y -=； （4）．)2ln(232-+-+=x x x y 解（1）由0232≠+-x x ，解得21≠≠x x 且， 因此，函数2312+-+=x x x y 的定义域为)2()21()1(∞+-∞，，， .（2）由0342≥+-x x ，解得，或31≥≤x x 因此，函数342+-=x x y 的定义域为(][)∞+∞-，，31 . （3）由042≥-x ，，解得22≤≤-x 因此，函数24x y -=的定义域为[]22，-. （4）由⎩⎨⎧>-≥-+，，020232x x x 解得32≤<x ， 因此，函数)2ln(232-+-+=x x x y 的定义域为(]32，. 给定一个函数)(x f y =时，就意味着其定义域是同时给定的.如果所讨论的函数来自于某个实际问题，则其定义域必须符合实际意义；如果不考虑所讨论的函数的实际背景，则其定义域应使函数)(x f y =在数学上有意义即可.为此要求：（1）分式中的分母不能为零；（2）偶次根式的被开方式非负；（3）对数的真数大于零；（4）正切符号下的式子不等于为整数）；k k (2ππ+（5）余切符号下的式子不等于为整数）；k k (π（6）反正弦、反余弦符号下的式子的绝对值小于等于1；（7）如果函数)(x f y =中含有上述几种情形，则应取各情形下的交集.二、函数的三种常用表示法表示函数的方法，常用的有列表法、图形法、解析法三种.1. 列表法用列出表格来表示两个变量的函数关系的方法称为列表法.例如，数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，以及银行里使用的利息表等都是用列表法表示函数关系的.2. 图形法用函数的图形来表示两个变量的函数关系的方法称为图形法.例如，气象台用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线就是用图形法表示函数关系的.3. 解析法用一个等式表示两个变量的函数关系的方法称为解析法.这个等式称为函数的解析表达式，简称解析式.例如， )0(2>=r r S π，)0(≠+=a b ax y ，)0(2≠++=a c bx ax y ， )22(42≤≤--=x x y等都是用解析法表示函数关系的.高等数学中研究的函数都是用解析法表示的函数.在许多实际问题的解决过程中，经常用到这样一类函数，在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同的解析式表示的函数，这类函数称为分段函数.分段函数是高等数学中常见的一种函数.例如，函数⎩⎨⎧<-≥==00x x x x x y ，，， 和 ⎪⎩⎪⎨⎧-<≤≤->-=11112x x x x x x y ，，，，， 都是分段函数，它们的图形如图1-1、图1-2所示.图1-1 图1-2注意 分段函数是用几个解析式合起来表示一个函数，而不是表示几个函数. 三、函数的四个简单性质1、奇偶性定义2 设函数)(x f 的定义域D 关于原点对称（即时D x ∈，D x ∈-则）.（1）如果 )()(x f x f =-，D x ∈，则称函数)(x f 为偶函数.（2）如果 )()(x f x f -=-，D x ∈，则称函数)(x f 为奇函数.（3）如果 )()(x f x f ≠-且)()(x f x f -≠-，D x ∈，则称函数)(x f 为非奇非偶函数.例如，函数2)(x x f =在)(∞+-∞，内是偶函数，因为)()()(22x f x x x f ==-=-. 函数3)(x x f =在)(∞+-∞，内是奇函数，因为)()()(33x f x x x f -=-=-=-. 注意 偶函数的图形关于y 轴是对称的；奇函数的图形关于原点是对称的.2.单调性定义3 设函数)(x f 的定义域为D ，区间D I ⊂.如果对于区间I 上的任意两点1x 、2x ，当21x x <时，恒有（1） )()(21x f x f <，则称函数)(x f 在区间I 上是单调增加的，区间I 称为单调增区间（图1-3）.（2） )()(21x f x f >，则称函数)(x f 在区间I 上是单调减少的，区间I 称为单调减区间（图1-4）.图1-3 图1-4单调增加的函数和单调减少的函数统称为单调函数，单调增区间和单调减区间统称为单调区间. 例如，函数3)(x x f =在)(∞+-∞，内是单调增加的（图1-5）.函数32)(x x f =在(]0，∞-内是单调减少的，在[)∞+，0内是单调增加的，而在()∞+∞-，内不是单调的（图1-6）.图1-5 图1-6 3.有界性定义4 设函数)(x f 的定义域为D ，区间D I ⊂.如果存在正数M ，使 I x M x f ∈≤，)(，则称函数)(x f 在区间I 上有界.如果不存在这样的正数M ，则称函数)(x f 在区间I 上无界.例如，函数x x f sin )(=在)(∞+-∞，内有界，因为1sin ≤x . 函数x x f 1)(=在[)∞+，1内有界，而在)0(∞+，内无界.4.周期性 定义5 设函数)(x f 的定义域为D .如果存在非零数T ，使得对于任意，D x ∈都有D T x ∈±，且)()(x f T x f =+，则称函数)(x f 为周期函数，T 称为周期函数)(x f 的周期.注意 通常我们所说的周期函数的周期是指最小正周期.例如 正弦函数x y sin =和余弦函数x y cos =都是周期为π2的周期函数. 正切函数x y tan =和余切函数x y cot =都是周期为π的周期函数.四、反函数定义6 设函数)(x f y =的定义域为，D 值域为M .如果对于数集M 中的每一个数值y ，数集D 中都有惟一的数值x 与之对应，也就是说变量x 是变量y 的函数，这个函数称为函数)(x f y =的反函数.记作)(1y f x -=.其定义域为M ，值域为D .习惯上自变量用x 表示，因变量用y 表示.因此，我们将定义6中，函数)(x f y =的反函数)(1y f x -=记作)(1x f y -=.注意 （1）函数)(x f y =与其反函数)(1x f y -=的图形关于直线x y =对称.（2）只有在定义区间上单调的函数才有反函数.（3）函数)(x f y =与其反函数)(1x fy -=互为反函数. 例5 求下列函数的反函数：（1）31+=x y ； （2）x x y +-=11． 解（1）由31+=x y ，解得 13-=y x ， x 与y 互换得函数31+=x y 的反函数为13-=x y . （2）由x xy +-=11，解得 y y x +-=11， x 与y 互换得函数x xy +-=11的反函数为x xy +-=11.五、初等函数1.基本初等函数（1）幂函数 αx y =（α为任意实数）.（2）指数函数 x a y = （0>a 且1≠a ，a 为常数）.（3）对数函数 x y a log = 10(≠>a a 且，a 为常数）.常用对数函数 x y lg =，自然对数函数 x y ln =.（4）三角函数正弦函数 x y sin =，余弦函数 x y cos =，正切函数 x y tan =，余切函数 x y cot =，正割函数 x y sec =，余割函数 x y csc =.（5）反三角函数反正弦函数 x y arcsin =，反余弦函数 x y arccos =，反正切函数 x y arctan =，反余切函数 x arc y cot =.定义7 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.基本初等函数的图形和性质在初等数学中已经学习过，在此就不再详述（详见附录Ⅱ）.2.复合函数在某些实际问题中，讨论的函数并非都是基本初等函数本身或仅仅由基本初等函数通过四则运算所得到的函数.例如，在自由落体运动中，物体的动能E 是速度v 的函数221mv E =，而速度v 又是时间t 的函数gt v =，因此，物体的动能E 通过速度v 而成为时间t 的函数2)(21gt m E =.对于这样的函数，我们引入复合函数的概念.定义8 设函数)(u f y =的定义域为1U ，函数)(x u ϕ=的值域为2U .如果φ≠21U U ，则y 通过变量u 成为变量x 的函数，这个函数称为由函数)(u f y =和)(x u ϕ=复合而成的复合函数.记作[])(x f y ϕ=.其中，变量u 称为中间变量.例如，由函数 221mv E = 和 gt v = 复合而成的复合函数为2)(21gt m E =.注意 不是任何两个函数都能够复合成一个复合函数的.例如，函数 u y arcsin = 和 22+=x u 就不能复合成一个复合函数.因为函数22+=x u 的值域[)∞+，2 与函数 u y arcsin = 的定义域[]11，-没有共同的元素.有时，一个复合函数可能由三个或更多的函数复合而成.例如，由函数 v u u y sin ln ==， 和 2x v = 复合而成的复合函数为2sin ln x y =.其中u 和v 都是中间变量.同时，我们还必须掌握好复合函数的复合过程，即“分解”复合函数，这对于导数、微分、不定积分及定积分的学习很有益处.例如，复合函数 10)53(+=x y 是由函数10u y = 和 53+=x u复合而成的；也是由函数2u y = 和 5)53(+=x u复合而成的；也是由函数5u y = 和 2)53(+=x u复合而成的.由此可见，一个复合函数的复合过程并不是惟一的.为了便于今后的学习，我们要求掌握第一种复合函数的复合过程.例6 指出下列复合函数的复合过程：（1）x y 5sin ln =； （2）x y 5sin 2=.解 （1）复合函数 x y 5sin ln = 是由函数x v v u u y 5sin ln ===，，复合而成的.（2）复合函数 x y 5sin 2= 是由函数x v v u u y 5sin 2===，， 复合而成的.3.初等函数定义9 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合所构成并可用一个数学解析式表示的函数称为初等函数.例如，函数15sin ln 5sin ln 12+==-=x y x y x y ，，都是初等函数.本书中所讨论的函数绝大多数都是初等函数.*六、关于函数)sin(ϕ+=wx A y 图形的学习探究在初等数学中，学习函数)sin(ϕω+=x A y （其中A>0，ω>0）的图形这一内容时，都要研究正弦函数x y sin =图形和函数)sin(ϕω+=x A y 图形的关系.在《高中数学》教材中，详细给出了解决此问题的5个步骤.然而，学生在做函数)sin(ϕω+=x A y 图形的练习和作业时，实际上大多数学生是凭记忆在机械地完成，并没有达到对此种方法真正意义上的理解、掌握和应用.究其原因是学生认为解决这一问题只有《高中数学》教材中介绍的一种方法.事实上，这是一种完全错误的认识.对于此问题，我们下面举例进行关于函数)sin(ϕω+=x A y 图形的学习探究.例 画出函数)32sin(3π+=x y ，∈x R的简图.解 根据《高中数学》教材中给出的解决此问题的如下5个步骤：我们就可以画出函数)32sin(3π+=x y ，∈x R 的简图，如图1-7（1）所示（注意图1-7（1）中的序号）.这一方法也就是《高中数学》教材中给出的方法.一、创设情境、提出问题回顾上例中画出函数)32sin(3π+=x y 图形的5个步骤并仔细观察图1-7（1）中由正弦函数x y sin =图形得到函数)32sin(3π+=x y 图形的变化过程，为启发学生思维我们将这一变化过程记为方法1：x y sin = → ？ → ？ → )32sin(3π+=x y⇒x y sin = → )3sin(π+=x y →)32sin(π+=x y →)32sin(3π+=x y .然后从原问题出发提出如下问题：⑴ 解决这一问题的方法是否惟一？ ⑵ 若不惟一，共有几种方法？⑶ 此例中给出的方法是否为最优？ 二、适当提示、猜想结论在给学生一定的时间进行思考的同时，重点提示学生们解决问题的方法是随着函数)sin(ϕω+=x A y 中A 、ω、ϕ不同顺序的依次确定而确定. 鼓励学生勇于猜想，对有思路的学生再给予进一步的提示，并同思路较为清晰的学生进行适当的讨论，而后，请其仿照方法1的写法到黑板上写出他们不同于方法1的方法.至此，问题⑴得到解决. 三、相互交流、完善结论问题的解决需要学生相互之间的合作与交流，这有利于发展学生合作交流的意识与能力.随着上述学生板书的结束，学生们的探究热情将会逐渐高涨，在此基础上，进一步鼓励全体学生继续猜想、验证、交流是否还有其它方法，并同时提醒学生找到的解决问题的方法不能重复、不能遗漏；运用分类讨论和穷举的方法引导学生完整地求得解决问题的全部方法，把成功的机会留给学生，让学生亲身经历学习探究的过程，感受真正参与合作学习、交流的快乐. 学生在求解中，不断优化策略，找到各种不同的方法，将极大地展示他们的智慧，最终引导学生们一致判定解决问题的方法有且仅有六种. 随着学生的踊跃交流、积极思考、主动探究，解决问题的6种方法逐渐明晰起来.为了体现六种方法的内在规律性，分别记为：方法1：x y sin = → )3sin(π+=x y →)32sin(π+=x y → )32sin(3π+=x y 方法2：x y sin = → )3sin(π+=x y →)3sin(3π+=x y → )32sin(3π+=x y ； 方法3：x y sin = → x y sin 3= →x y 2sin 3= → )32sin(3π+=x y ； 方法4：x y sin = → x y sin 3= →)3sin(3π+=x y → )32sin(3π+=x y ；方法5：x y sin = → x y 2sin = → )32sin(π+=x y → )32sin(3π+=x y ； 方法6：x y sin = → x y 2sin = → x y 2sin 3= → )32sin(3π+=x y .这6种方法所对应的图形变化过程分别如图1-7（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）所示.至此，问题⑵得到圆满解决.（1） （2）(3) (4)(5) (6)图1-7四、全面比较、选择最优 为了画出函数)32sin(3π+=x y 的图形，经过师生的共同探究，找到了由正弦函数x y sin =图形得到函数)32sin(3π+=x y 图形仅有的6种方法. 这些方法不要求学生、也没必要要求学生全都掌握，只是要求学生通过亲自体验，真正做到理解、掌握和应用其中的最优方法.在这6种方法中，哪种方法为最优？提出两个标准：其一是有利于学生理解、掌握和应用；其二是由正弦函数x y sin =图形得到函数)32sin(3π+=x y 图形的变化过程中，函数)32sin(3π+=x y 的图形在坐标系中的位置最为清晰、突出.让学生尝试着从所有找到的6种方法中，寻求适合学生自己的解答问题的最佳方法.根据以上两个标准，学生们经过充分的思考、实际练习、交流，对6种方法及对应图形的认真比较，最后，全体学生必将在上述6种方法中选择其中自己认为最优的的一种方法（学生选择的最优方法有可能不是教材中所给出的方法1）.为了使学生更好地观察、归纳、总结、理解、掌握和应用，我们还可以利用《几何画板》向学生演示由正弦函数x y sin =图形向函数)32sin(3π+=x y 图形变化的过程.最后，问题⑶又得到了解决. 五、严谨思维、提高能力关于函数)sin(ϕω+=x A y 图形的学习探究活动必将使学生们体会到学习探究活动的乐趣和成功的喜悦、提高学生学习《高等数学》课程的兴趣，同时，也将极大地提升学生获得数学地分析问题和解决问题能力的渴望.2006年6月，胡锦涛总书记在两院院士大会上的讲话中指出：“在尊重教师主导作用的同时，更加注重培育学生的主动精神，鼓励学生的创造性思维.”因此，在高职《高等数学》课程教学过程中，应使学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，应倡导自主探索、动手实践、合作交流等学习数学的方式，通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的过程，发展他们的创新意识.虽然问题解决的学习探究有利于学生数学能力的培养，但是由于各种条件的制约，实际教学中却不能更多地给予学生这种学习探究的机会.因此，我们高职院校师生在高职《高等数学》课程教学过程中应充分挖掘高职《高等数学》课程中具有发散性和持续性的宝贵教学资源，在高职《高等数学》课程教学时为学生提供合作学习、主动探究的机会，充分发挥学生的学习主体作用，在体验成功的的快乐氛围中激发学生学习探究热情，为学生今后持续性学习、为提高学生数学地分析问题和解决问题的能力，为提高学生创新思维能力和实践操作能力奠定基础，从而有效地培养学生的数学能力和学习探究能力.习 题 1—11.设13)(5--=x x x f ，求)1(f ，)2(f ．2.设)2)(1()1(++=+x x x x f ，求．)(x f3.判断下列各对函数是否为相同的函数： （1）2)()(x x g x x f ==，；（2）31)(-⋅=x x x f ，334)(x x x g -=；（3）1)(-=x x x f 23)(x x x g -=，；（4）1)(=x f xx x g =)(，．4.求下列函数的定义域： （1）34422+--=x x x y ；（2）42-=x y ；（3）2112++-=x x y ； （4）211x xy --=．5.判断下列函数的奇偶性： （1）)1()(22x x x f -=； （2）233)(x x x f -=；（3）)1)(1()(+-=x x x x f ； （4）1cos sin )(++=x x x f ． 6.求下列函数的反函数： （1）2+=x x y ；（2）[)∞+∈-=，，242x x x y ．7.在下列各题中,求由所给函数复合而成的复合函数： （1）x u u y sin 2==，； （2）21x u u y +==，； （3）x e u u y ==，2； （4）xv v u e y u 1sin ===，，．8.指出下列复合函数的复合过程： （1）;42+=x y（2）x e y arctan =；（3）x y 5sin =； （4）12cos +=x y ；（5）x y 2sin ln =； （6）2cos ln x y =；（7）)32(sin 2x y -=； （8）x e y sin ln =．9.利用正弦函数的图形作出下列函数的图形： （1）x y sin =； （2）x y sin =．第二节 函数的极限极限是高等数学中的一个重要概念，是由于求某些实际问题的精确解答而产生的.例如，我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，就是极限思想在几何学上的典型应用.高等数学中的连续、导数、定积分等概念都是在极限的基础上定义的.本节主要讨论当∞→x 时，函数)(x f 的极限；当0x x →时，函数)(x f 的极限两种情形.一、∞→x 时，函数)(x f 的极限我们从函数xy 1=的图形（图1-8）可以看出，当自变量x 取正值无限增大（记为+∞→x ）时，函数xy 1=的值无限趋近于常数0（记为1→x）.此时，我们称常数0为函数xy 1=当+∞→x 时的极限.记作01lim=+∞→x x .图1-8同样地，当自变量x 取负值并且它的绝对值无限增大（记为-∞→x ）时，函数xy 1=的值也无限趋近于常数0.此时，我们称常数0为函数xy 1=当-∞→x 时的极限.记作01lim=-∞→xx .定义1 如果当+∞→x 时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，则称常数A 为函数)(x f 当+∞→x 时的极限.记作.)(lim A x f x =+∞→也可记作A x f →)(（+∞→x 当）.定义2 如果当-∞→x 时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，则称常数A 为函数)(x f 当-∞→x 时的极限.记作.)(lim A x f x =-∞→也可记作A x f →)(（-∞→x 当）.定义3 如果Ax f A x f x x ==-∞→+∞→)(lim )(lim 且，则称常数A 为函数)(x f 当∞→x 时的极限.记作.)(lim A x f x =∞→也可记作A x f →)(（∞→x 当）.由定义3，我们有如下极限运算公式和定理1.c c x =∞→lim （c 为常数），01lim=∞→xx .定理1 A x f x =∞→)(lim 的充分必要条件是A x f x f x x ==-∞→+∞→)(lim )(lim . （1-1）例1 求下列极限：（1）x x 2lim -∞→； （2）x x )21(lim +∞→ ；（3）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=∞→．，，，，，，010001)()(lim x x x x f x f x解（1）由图1-9及定义2可得xx 2lim -∞→=0.（2）由图1-9及定义1可得0)21(lim =+∞→xx . （3）由图1-10及定义1、定义2可得1)(lim =+∞→x f x ，1)(lim -=-∞→x f x ，所以，由定理1得)(lim x f x ∞→不存在.图1-9 图1-10二、0x x →时，函数)(x f 的极限我们从函数1+=x y 和112--=x x y 的图形（图1-11、图1-12）可以看出，无论函数1+=x y 在点1=x 处有定义，还是函数112--=x x y 在点1=x 处无定义，当自变量x 无限趋近于1时，两个函数的值都无限趋近于常数2.此时，我们称常数2为函数1+=x y 和112--=x x y 当1→x 时的极限.分别记作2)1(lim 1=+→x x ，211lim21=--→x x x .图 1-11 图1-12定义4 设函数)(x f 在)0)(()(0000>+-δδδx x x x ，， 内有定义.如果在)()(0000δδ+-x x x x ，， 内，当0x x →时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A，则称常数A 为函数)(x f 当0x x →时的极限.记作A x f x x =→)(lim 0.也可记作A x f →)(（当0x x →）.A x f x x =→)(lim 0也称为函数)(x f 在点0x x =处的极限.由定义4可知，当0x x →时，极限)(lim 0x f x x →是否存在，与函数)(x f 在点0x 处是否有定义无关.同时，我们有如下极限运算公式.c c x x =→0lim （c 为常数）.00lim x x x x =→.有时，我们只需考虑自变量x 小于0x 而趋近于0x （记为-→0x x ）时，或自变量x 大于0x 而趋近于0x （记为+→0x x ）时，函数)(x f 的极限，因此，我们给出左极限、右极限的定义.定义5 如果当-→0x x 时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，则称常数A 为函数)(x f 当0x x →时的左极限.记作A x f x x =-→)(lim 0.定义6 如果当+→0x x 时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，则称常数A 为函数)(x f 当0x x →时的右极限.记作Ax f x x =+→)(lim 0.由定义4我们有如下定理.定理2 A x f x x =→)(lim 0的充分必要条件是A x f x f x x x x ==+-→→)(lim )(lim 0. （1-2）例2 求函数110011)(2>≤≤<⎪⎩⎪⎨⎧+=x x x x x x f ，，，，， 在点0=x 和1=x 处的极限.解 函数)(x f 的图形如图1-13所示.图1-13（1）因为1)1(lim )(lim =+=--→→x x f x x ００，0lim )(lim 2==++→→xx f x x ００，即 )(lim )(lim x f x f x x +-→→≠００，所以，)(lim x f x ０→不存在.（2）因为1lim )(lim 211==--→→xx f x x ，11lim )(lim 11==++→→x x x f ，即 )(lim )(lim 11x f x f x x +-→→=，所以 1)(lim 1=→x f x .三、无穷小与无穷大1.无穷小定义7 如果当∞→x （或0x x →）时，函数)(x f 的极限为零，则称函数)(x f 为当∞→x （或0x x →）时的无穷小量（简称无穷小）.记作0)(lim =∞→x f x （或0)(lim 0=→x f x x ）.例如，因为01lim=∞→xx ，所以，函数x1为当∞→x 时的无穷小.因为0lim 0=→x x ，所以，函数x 为当0→x 时的无穷小.因为0sin lim 0=→x x ，0tan lim 0=→x x ，所以，正弦函数x sin 、正切函数x tan 都是当0→x 时的无穷小.注意 （1）常数中只有数0是无穷小.因为0的极限是0.（2）说某个函数是无穷小，必须同时指出自变量的变化趋势.因为无穷小是用极限来定义的.（3）在定义7中，自变量x 的变化趋势可以换成如下四种情形中的任何一种情形.即+∞→x ，-∞→x ，-→0x x ，+→0x x .2.无穷大定义8 如果当∞→x （或0x x →）时，函数)(x f 的绝对值)(x f 无限增大，则称函数)(x f 为当∞→x （或0x x →）时的无穷大量（简称无穷大）.记作∞=∞→)(lim x f x （或∞=→)(lim 0x f x x ）.例如，当0→x 时，函数x1为无穷大.记作∞=→x x 1lim.当∞→x 时，函数3x 为无穷大.记作∞=∞→3lim x x .定义9 如果当∞→x （或0x x →）时，函数0)(>x f 且无限增大，则称函数)(x f 为当∞→x （或0x x →）时的正无穷大.记作+∞=∞→)(lim x f x （或+∞=→)(lim 0x f x x ）.定义10 如果当∞→x （或0x x →）时，函数0)(<x f 且)(x f -无限增大，则称函数)(x f 为当∞→x （或0x x →）时的负无穷大.记作-∞=∞→)(lim x f x （或-∞=→)(lim 0x f x x ）.例如，+∞=∞→2lim x x ， -∞=-∞→)(lim 2x x .注意 （1）常数中没有数是无穷大.（2）说某个函数是无穷大，必须同时指出自变量的变化趋势.（3）在定义8、定义9、定义10中，自变量x 的变化趋势可以换成如下四种情形中的任何一种情形.即+∞→x ，-∞→x ，-→0x x ，+→0x x .3.无穷小与无穷大之间的关系定理3 在自变量x 的同一变化趋势下， （1）如果 ∞=)(lim x f ，则0)(1lim=x f ；（2）如果 0)(lim =x f ，且0)(≠x f ，则∞=)(1limx f .四、两个重要极限1. 1sin lim=→xx x .2. ex xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim 或 ()e x x x =+→11lim .常数e 是无理数，它的值是590457182818284.2=e ….指数函数x e y =与自然对数函数x y ln =中的底e 就是这个常数e .注意 读者应掌握两个重要极限的结构形式特点：1sin lim=→， e =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→ 11lim 或 ()e =+→101lim ． 只要符合上述结构形式的，极限公式总是成立的.例如 155sin lim5=→xx x ，122sin lim2=→x x x ，e x x x =⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-∞→-22211lim .习 题 1-21.设xx x f =)(，xx x g =)(，作出它们的图形，并求（1）)(lim 0x f x -→，)(lim 0x f x +→，)(lim 0x g x -→，)(lim 0x g x +→；（2）)(lim 0x f x →，)(lim 0x g x →.2.设⎪⎩⎪⎨⎧-<≤≤->--=，，，，，，11111)(2x x x x x x x f 作出)(x f 的图形，并求)(lim 1x f x -→，)(lim 1x f x →.3.下列数中，哪些数是无穷小？哪些数是无穷大？10010,100100，0，10010-，100100-.4.判断题：（1）当0→x 时，函数xx 1cos是无穷小. （ ）（2）当∞→x 时，函数x x sin +不一定是无穷大. （ ）（3）非零常数与无穷大的乘积必为无穷大. （ ） （4）无穷小与无穷大的乘积必为无穷小. （ ） （5）在自变量的同一变化趋势下，无穷大的倒数必为无穷小. （ ）第三节 极限的运算一、极限的运算法则定理1 如果B x g A x f ==)(lim )(lim ，，则（1）[]B A x g x f x g x f ±=±=±)(lim )(lim )()(lim ； （2）[]B A x g x f x g x f ⋅=⋅=⋅)(lim )(lim )()(lim ； （3）BA x g x f x g x f ==)(lim )(lim )()(lim)0(≠B .推论1 []kA x f k x kf ==)(lim )(lim (k 为常数）. 推论2 [][]n n n A x f x f ==)(lim )(lim （n 为正整数）. 由推论2可得极限运算公式：nnx x x xlim =→ （n 为正整数）， 01lim=∞→nx x(n为正整数）.定理1中的（1）、（2）可推广到有限个函数的情形.例如，如果)(lim 1x f 、)(lim 2x f 、)(lim 3x f 都存在，则[])(lim )(lim )(lim )()()(lim 321321x f x f x f x f x f x f --=--，[])(lim )(lim )(lim )()()(lim 321321x f x f x f x f x f x f ⋅⋅=⋅⋅.定理2 有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 定理3 有限个无穷小的乘积仍是无穷小.定理4 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小. 推论 常数与无穷小的乘积仍是无穷小.定义1 在自变量x 的同一变化趋势下，如果0)(lim =x f ，0)(lim =x g ，且1)()(lim=x g x f ，则称函数)(x f 与)(x g 为等价无穷小.记作)(x f ～)(x g .例如，0lim 0=→x x ，0sin lim 0=→x x ，由重要极限1sin lim=→xx x 可知，函数x sin 与x 当0→x 时为等价无穷小.记作当0→x 时，x sin ～x .定理5 设0lim =α，0lim =β，0lim ='α，0lim ='β.如果α～α'，β～β'，且αβ''lim存在，则 =αβlimαβ''lim.此定理也就是说：求两个无穷小商的极限时，分子与分母都可用其等价无穷小来代替，从而使极限的计算简化.二、极限运算的十个基本公式1.c c =lim （c 为常数）.2.n n x x x x 00lim =→ （n 为正整数）.3.01lim=∞→nx x（n 为正整数）.4.[])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f ±=±.5.[])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f ⋅=⋅.6.)(lim )(lim )()(limx g x f x g x f =（0)(lim ≠x g ）.7.[])(lim )(lim x f k x kf = （k 为常数）. 8.[][]nnx f x f )(lim )(lim = （n 为正整数）.9.1sin lim=→xx x . 10.e xxx =+∞→)11(lim 或e x x x =+→1)1(lim .三、极限运算的十个基本类型例1 求)123(lim 22+-→x x x .解 )123(lim 22+-→x x x =22221lim )2(lim )3(lim →→→+-x x x x x=1lim 2lim 3222+-→→x x x x=122232+⋅-⋅ =9.事实上，设多项式函数nn na xa x a x f +++=- 110)(，则 )(lim )(lim 1100n n n x x x x a x a x a x f +++=-→→=n x x n x x n x x a x a x a 0lim lim lim 110→-→→+++=n n n a x a x a +++- 1100=)(0x f .即 )()(lim 00x f x f x x =→. （1-3）例2 求352lim232+--→x x x x .解 由例1得03)35(lim 22≠-=+-→x x x ，6)2(lim 32=-→x x ，则 )35(lim )2(lim 352lim2232232+--=+--→→→x x x x x x x x x=22222323lim lim 5lim 2lim lim →→→→→+--x x x x x x x x=32522223+⋅--=36-=2-.例3 求93lim23--→x x x .解 由例1得0)3(lim 3=-→x x ，0)9(lim 23=-→x x ，因此，不能直接应用商的极限运算法则求此极限. 由函数93)(2--=x x x f 得092≠-x ，从而有03≠-x .因此，首先对函数93)(2--=x x x f 进行简化，然后再应用商的极限运算法则.)3)(3(3lim93lim323+--=--→→x x x x x x x=31lim 3+→x x =)3(lim 1lim 33+→→x x x=61.例4 求36443lim 323+--+∞→x x x x x .解 因为∞=-+∞→)443(lim 23x x x ，∞=+-∞→)36(lim 3x x x ，所以，不能直接应用商的极限运算法则.首先用分子、分母多项式中最高次幂3x去除分子、分母，然后再应用商的极限运算法则.323323316443lim36443limxxxx x x x x x x +--+=+--+∞→∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→∞→323316lim 443lim x x x x x x=006003+--+=21.例5 求36243lim32+--+∞→x x x x x .解 首先用分子、分母多项式中最高次幂3x 去除分子、分母，然后再应用商的极限运算法则.323232316243lim36243limxxxx xx x x x x x +--+=+--+∞→∞→ = ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→∞→3232316lim 243lim x x x x x x x=006000+--+=0.例6 求下列极限： （1）332lim2+++∞→x x x x ； （2）93lim23-+→x x x .解 （1）因为22232131lim323limxxx x x x x x x +++=+++∞→∞→=⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→22321lim 31lim x x x x x x=0100+++=0，即函数3232+++x x x 为当∞→x 时的无穷小.所以，函数3322+++x x x 为当∞→x 时的无穷大.即∞=+++∞→332lim2x x x x .（2）因为)3(lim )9(lim 39lim32323+-=+-→→→x x x x x x x=6=0，即函数392+-x x 为当3→x 时的无穷小.所以，函数932-+x x 为当3→x 时的无穷大.即∞=-+→93lim23x x x .由例4、例5、例6（1）可得，当m b a ，，0000≠≠和n 为正整数时，有．当，当，当，，，n m n m n m b a b xb x b a xa xa nn nm m m x ><=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞=++++++--∞→0lim110110 （1-4） 例7 求下列极限： （1）xx x sin lim 0→ ； （2）x x x tan lim 0→ ；（3）xkxx sin lim→ )0(≠k ； （4）bxax x sin sin lim 0→ )00(≠≠b a ，；（5）2cos 1limxxx -→.解 当0→x 时，有)0(0≠→k kx . （1） xx xx x x sin 1limsin lim0→→=xx x x sin lim1lim 0→→=11=1=.（2） xx xxx x x cos sin lim tan lim00→→= xx x x cos sin lim→=xx xx x cos lim sin lim 00→→=11=1=.（3） kx kx k xkx x x sin limsin lim→→=kx kx k kx sin lim→= kxkx k kx sin lim→=1⋅=k k=.（4） x bx x ax bxax x x sin sin limsin sin lim→→= xbx x ax x x sin limsin lim 0→→=ba)3(.又因为，当0→x 时，ax sin ～ax ，bx sin ～bx ， 所以 bxax x sin sin lim→ 5定理 bxax x 0lim→ba x 0lim→=ba =.（5） 2222sin2limcos 1limxx xxx x →→=-22222sinlim⎪⎭⎫ ⎝⎛=→x x x2022sin lim 21⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=→xx x20222sin lim 21⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=→x x x=20222sin lim21⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→x x x=2121⋅=21.例8 求下列极限：（1）xx x 211lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→； （2）xx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→21lim ；（3）xx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→21lim ； （4）xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛--∞→32lim .解 当∞→x 时，有)0(≠∞→k kx . （1） xx x 211lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→=211lim ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→xx x211lim ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→x x x 2e=.请读者自己推导：nnxx e x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim （n 为非零整数）.（2）xxxx xx⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→∞→211lim21lim22211limxx x⋅∞→⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=222211lim⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→xx x222211lim⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→xx x2e=.（3）xxxx xx⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎭⎫⎝⎛-∞→∞→211lim21lim)2(22211limxx x--∞→-⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=)2(222111limxxx-∞→-⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+==2222111lim⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-∞→-x x x=2222211lim 1lim ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-∞→-∞→-x x xx=222211lim 1⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-∞→-x x x21e=2-=e.请读者自己综合（2）、（3）推导：nxx e x n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→1lim （n 为非零整数）. （4）由（3）得221lim -∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛-e x xx ， 331lim -∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛-e x xx ， 则 xx xx x x x x ⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--∞→∞→32lim 32limxx x x ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=∞→3121limxxx x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→3121limxx xx x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→∞→31lim 21lim32--=eee =.例9 求xx x sin lim ∞→.解 因为1sin ≤x ，且01lim=∞→xx ， 即函数x sin 为有界函数，且当∞→x 时，函数x1为无穷小.所以，当∞→x 时，函数xx sin 为无穷小.即sin lim=∞→xx x .例10 求xx x -+-→222lim 2.解 因为)22(lim 2=+-→x x ，0)2(lim 2=-→x x ，所以，不能直接应用商的极限运算法则求此极限.首先进行分子有理化，然后再应用商的极限运算法则.)22)(2()22)(22(lim222lim22++-+++-=-+-→→x x x x xx x x)22)(2(2lim2++--=→x x xx=221lim2++→x x。
高数红宝书——第一章_函数与极限
同理：在连续，在左连续。 在分界点： 所以为第一类跳跃间断点。
【】
解：
【】 解：
【】 解：
【例12】 求 的反函数。（提示：设） 解
故
【例13】 设 解：令
技巧：利用函数表示法的无关特性。 【例14】 设 （x≠0,1） 求。
解：令
………………① 再令 ………………② 由原式和①、②联立即可得到
1.4 复合函数，一般形式为：，指自变量为函数的函数。
1.4 反函数，存在一一映射的情况下，二者互为反函数，关于反函数 具有下列重要性质：
★ 若为的反函数，则在某些场合，常把的反函数记为或，此时已重新 把视为自变量，在反函数记号的使用中，一定要分清是否需要换变量记
号。
★ 改变记号后，互为反函数的两个函数和的曲线关于直线对称；没有 改变记号，互为反函数的两个函数和的曲线重合。
考试要求
1. 理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系。 2. 了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。 3. 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4. 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。 5. 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极
第一篇 高等数学
第一章 函数与极限
考试内容
函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数 和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限和右极限 无穷小量和无穷大量的概念及 其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有 界准则和夹逼准则 两个重要极限： 函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质
高等数学第一章《函数与极限》
第一章 函数与极限一、内容提要（一）主要定义【定义 1.1】 函数 设数集,D R ⊂如果存在一个法则，使得对D 中每个元素x ,按法则f ,在Y 中有唯一确定的元素y 与之对应，则称:f D R →为定义在D 上的函数,记作(),y f x x D =∈.x 称为自变量,y 称为因变量,D 称为定义域.【定义1.2】 数列极限 给定数列{}x n 及常数a ,若对任意0ε>,总存在正整数N ,使得当n N >时,恒有x a n -<ε成立,则称数列{}x n 收敛于a ,记为a x n n =∞→lim .【定义1.3】 函数极限（1）对于任意0ε>,存在()0δε>,当δ<-<00x x 时,恒有()ε<-A x f .则称A 为()f x 当0x x →时的极限,记为A x f x x =→)(lim 0.（2） 对于任意0ε>,存在0X >,当x X >时,恒有f x A ()-<ε.则称A 为()f x 当x →∞时的极限,记为lim ()x f x A →∞=.（3）单侧极限左（右）极限 任意0ε>,存在()0δε>,使得当000(0)x x x x δδ-<-<<-<时,恒有()ε<-A x f .则称当00()x x x x -+→→时)(x f 有左（右）极限A ,记为00lim ()(lim ())x x x x f x A f x A -+→→== 或00(0)((0))f x A f x A -=+=.单边无穷极限 任意0ε>,存在0X >,使得当x X >（x X <-）时, 恒有f x A ()-<ε, 则lim ()x f x A →+∞=（lim ()x f x A →-∞=） .【定义1.4 】 无穷小、无穷大 若函数()f x 当0x x →(或x →∞)时的极限为零（|()|f x 无限增大）,那么称函数()f x 为当0x x →(或x →∞)时的无穷小（无穷大）.【定义1.5】 等价无穷小 若lim 0,lim 0,lim 1βαβα===,则α与β是等价的无穷小.【定义 1.6】 连续 若)(x f y =在点0x 附近有定义,且)()(lim 00x f x f x x =→,称()y f x =在点0x 处连续.否则0x 为()f x 的间断点.（二）主要定理【定理1.1】极限运算法则 若a x u =)(lim , b x v =)(lim ,则 （1）()lim u v ±存在,()lim lim lim u v u v a b ±=±=±且; （2）()lim u v ⋅存在,()lim lim lim u v u v a b ⋅=⋅=⋅且; （3）当0≠b 时, limu v 存在,lim lim lim u u a v v b==且 推论 ⑴ lim lim Cu C u Ca ==; ⑵ ()lim lim nnnu u a ==. 【定理1.2】极限存在的充要条件⇔=→A x f x x )(lim 0lim ()x x f x -→=0lim ()x x f x A +→=.lim ()x f x A →∞=⇔lim ()x f x →-∞=lim ()x f x A →+∞=【定理1.3】极限存在准则 (1) 单调有界数列必有极限(2) 夹逼准则: 设数列{}n x 、{}n y 及{}n z 满足① n n n y x z ≤≤, ② lim =lim n n n n y z a →∞→∞=,则lim n n x →∞存在,且lim n n x a →∞=.【定理1.4】极限与无穷小的关系 若lim (),f x A =则(),f x A α=+其中lim 0.α=【定理1.5】两个重要极限 1sin lim0=→x x x ,e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim .【定理1.6】 初等函数的连续性 初等函数在其定义区间内连续. 【定理1.7】闭区间上连续函数的性质（1）最值定理 闭区间上连续函数在该区间上一定有最大值M 和最小值m . （2）有界定理 闭区间上连续函数一定在该区间上有界.（3）介值定理 闭区间上连续函数必可取介于最大值M 与最小值m 之间的任何值. （4）零点存在定理 设函数()x f 在[]b a ,上连续,()a f ()0<⋅b f ,则至少存在一个ξ∈()b a ,,使 ()0f ξ=.二、典型题解析函数两要素：定义域，对应关系定义域：使表达式有意义的自变量的全体，方法为解不等式 对应关系：主要方法用变量替换（一）填空题【例1.1】 函数23arccos2xy x =+的定义域是 . 解 由arccos y u =的定义域知11u -≤≤,从而23112xx -≤≤+, 即 (][][),21,12,-∞--+∞.【例1.2】 设()()()2sin ,1f x x f x xφ==-,则函数()x φ的定义域为 .解 由已知()()2sin[()]1fx x xφφ==-，所以()2sin(1)x arc x φ=-，则2111,x -≤-≤即x ≤.【例1.3】设1()(0,1),()([...()])1n n f x x x f x f f f x x =≠≠=+次,试求()n f x 解 由()1xf x x =-,则21()[()]11xx f x f f x x x x -===--，显然复合两次变回原来的形式，所以,2(),211n x n k f x x n k x =⎧⎪=⎨=+⎪-⎩（二）选择题【例 1.9】设函数()f x 在(),-∞+∞上连续,又0a >且1a ≠,则函数()()()sin 2sgn sin F x f x x =-是 [ ](A) 偶函数 (B) 奇函数 (C) 非奇非偶函数 (D) 奇偶函数. 解 因为()()sgn sin sgn sin x x -=-⎡⎤⎣⎦,所以()sgn sin x 为奇函数.而()sin 2f x -为偶函数,故()()sin 2sgn sin f x x -⋅为奇函数,故选 B .【例 1.10】设()f x 是偶函数,当[]0,1x ∈时,()2f x x x =-,则当[]1,0x ∈-时,()f x = [ ](A) 2x x -+(B) 2x x + (C) 2x x - (D) 2x x --.解 因为()()f x f x -=，取[]1,0x ∈-，则[0,1]x -∈，所以()()()22f x x x x x -=---=--, 故选 D .（三）非客观题 1.函数及其性质【例1.16】 求函数()lg(1lg )f x x =-的定义域. 解 要使()f x 有意义，x 应满足0,1lg 0x x >⎧⎨->⎩ 即010x <<，所以()f x 的定义域为 (0,10).【例1.17】 设函数()f x 的定义域是［0,1］,试求()f x a +＋()f x a -的定义域（0a >）.解 由()f x 的定义域是［0,1］,则0101x a x a ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩,故1a x a ≤≤-,则当1a a =-时,即12a =时,函数的定义域为12x =； 当1a a ->时,即12a <时,函数的定义域为[],1a a -； 当1a a -<时,即12a >时,函数的定义域为空集. 【例1.18】设()2,x f x e =()()1f x x ϕ=-并且()0x ϕ≥,求()x ϕ及其定义域.解 因为()()2[()]1,x fx e x φϕ==-且()0x ϕ≥，故()x ϕ=,为使此式有意义,ln(1)0x -≥，所以函数()x ϕ的定义域为{}0x x ≤.【例1.19】 设()2422x xf x x ++=-,求()2f x -.解（ 法一）配方法 ()2(2)422(2)2x f x x +-+=-++,所以()24224.x xf x x --=-+解（法二） 变量代换法 令2x t =-,代入得()2422t f t t -=-+,即()2422xf x x -=-+，则()24224xxf x x --=-+.【例1.20】 设()22,01,12x x f x x x ≤≤⎧=⎨<≤⎩,()ln g x x =,求()f g x ⎡⎤⎣⎦. 解 ()[]ln f g x f x =⎡⎤⎣⎦ 22ln ,0ln 1ln ,1ln 2x x x x ≤≤⎧=⎨<≤⎩[]()()222ln ,1,0, ln , ,0,x x e x x e e ⎧∈+∞⎪=⎨⎡⎤∈+∞⎪⎣⎦⎩[]222ln ,1,ln , ,x x e x x e e ⎧∈⎪=⎨⎡⎤∈⎪⎣⎦⎩【例1.21】 设()1,10,1x x x ϕ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,()22,12,1x x x x ψ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩,求 ()x ϕϕ⎡⎤⎣⎦,()x ϕψ⎡⎤⎣⎦. 解 ⑴ 当(),x ∈-∞+∞时，()01x ϕ≤≤ ，所以 ()()1,,x x ϕϕ≡∈-∞+∞⎡⎤⎣⎦.⑵ 因为 ()()()1,10,1x x x ψϕψψ⎧≤⎪=⎡⎤⎨⎣⎦>⎪⎩, 且 ()()1,12,1x x x x ψψ⎧==⎪⎨<≤≠⎪⎩ 1,故 ()1,10,1x x x ϕψ⎧=⎪=⎡⎤⎨⎣⎦≠⎪⎩. 【例1.22】 求函数()2312,1,121216,2x x f x x x x x ⎧-<-⎪=-≤≤⎨⎪->⎩的反函数.解 当21121,x y x <- -<-时，=则x =， 当312=8,x y x -≤≤ ≤≤时，-1则x =当212168,x y x > =->时， 则16,12y x +=所以()f x 的反函数为 ()111816,812x y f x x x x -⎧<-⎪⎪⎪==-≤≤⎨⎪+⎪>⎪⎩.【例 1.23】设()f x 在(,)-∞+∞上有定义,且对任意,(,)x y ∈-∞+∞有()()f x f y x y -<-,讨论()()F x f x x =+在(,)-∞+∞上的单调性.解 任取12,(,)x x ∈-∞+∞,不妨设21x x >,则由条件有()()()()21212121f x f x f x f x x x x x -<-<-=-，所以()()1221f x f x x x -<-,则可变形为()()1122f x x f x x +<+,即()()12F x F x <，故()F x 在(,)-∞+∞上单调增加.【例1.24】 求c 的一个值,使()sin()()sin()0b c b c a c a c ++-++=,这里b a >,且均为常数.解 令()sin f x x x =,则()f x 是一个偶函数,则有[]()()f b c f b c +=-+要使()(),()f b c f a c a b +=+≠成立,则有1()()()2a cbc c a b +=-+⇒=-+.极限与连续：不定式，等价关系，特殊极限 极限待定系数的确定原理 连续待定系数确定的原理【例1.4】 设2lim 8xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭,则a = . 解 因为 233lim lim lim 1x x xx x x x a x a a a x a x a x a →∞→∞→∞+-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭3333lim 1x a axa x aa x a e x a --→∞⎛⎫=+= ⎪-⎝⎭再由3ln83ln 28ln 2aee e a ===⇒=.【例1.5】（2004数三）若()0sin lim cos 5x x xx b e a→-=-,则a = ,b = .解 因()0sin limcos 5x x xx b e a→-=-,而()0limsin cos 0x x x b →-=，则0lim 0x x e a →-=, 所以1a =,又0x →时，sin ,1x xx e x -，则()()000sin limcos lim cos limcos51x x x x x x x b x b x b x e →→→-=-=-=-,154b b -=⇒=-. 【例 1.6】 已知当0x →时，123(1)1ax +-与1cos x -是等价无穷小，则常数a = .解 由1230(1)1lim1,1cos x ax x→+-=-而1222ln(1)3112ln(1)2333220000(1)112limlim limlim1cos 1cos 32ax ax ax x x x x ax e a xx x x ++→→→→+--====--，故3.2a = 【例1.7】 （2004数二）设()()21lim1n n x f x nx →∞-=+,则()f x 的间断点为x = .解 ()()()22111limlim ,0110,0n n n x n x x f x xnx nx x →∞→∞⎧--=⋅=≠⎪=⎨++⎪=⎩而 ()001lim lim(0)x x f x f x→→===∞≠，故()f x 的间断点（无穷）为0x =.【例1.8】 设()1sin , 02, 0x x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩,在0x =处连续,则a = . 解 要使()f x 在0x =处连续,应有()()0lim 0,x f x f a →==而()0001sin1122lim lim sin lim 222x x x xx f x x x →→→===, 所以12a =.（二）选择题 【例1.11】()1, 10,01x x f x x x --<≤⎧=⎨<≤⎩ ,则()0lim x f x →= [ ](A) -1 (B) 0 (C) 不存在 (D) 1. 解 ()0lim lim 0x x f x x →+→+==, ()()0lim lim 11x x f x x →-→-=-=-.因为()()0lim lim x x f x f x →+→-≠,所以()0lim x f x →不存在，故选 C.【例1.12】 下列结论正确的是 [ ] (A) 若1lim1n n na a +→∞=,则lim n n a →∞存在;(B) 若lim n n a A →∞=,则11lim lim1lim n n n n nn n a a A a a A ++→+∞→∞→∞===; (C) 若lim n n a A →∞=,若lim n n b B →∞=,则()lim n bB n n a A →+∞=;(D) 若数列{}2n a 收敛且()2210n n a a n --→→∞,则数列{}n a 收敛.解 (A)不正确,反例{}n a n =,(B)不正确,因为只有当lim 0n n a →∞≠时，才能运用除法法则:11lim lim lim n n n n nn n a a a a ++→+∞→∞→∞= ,(C)不正确,只有0A ≠时,()lim n b B n n a A →+∞=成立.故选 D.注意无穷大与有界量的乘积关系 【例1.13】 当0x →时,变量211sin x x是 [ ] (A) 无穷小; (C) 有界的,但不是无穷小量; (B) 无穷大; (D) 无界的,但不是无穷大量. 解 M ∀,1,22n x n ππ∃=+只要,2M n π⎡⎤>⎢⎥⎣⎦则()2,2n f x n M ππ=+> 所以211sin x x 无界.再令 12x k π=,()0,1,2,k =±±，则()20lim lim(2)x k f x k π→→∞=⋅ sin 20k π≡,故()lim x f x →∞≠∞.故选 D.趋向无穷大主要是最高次项 趋向无穷小主要是最低次项【例1.14】 当0x →时，下列4个无穷小关于x 的阶最高的是 [ ](A) 24x x + (B)1 (C)sin 1xx- (D)-解 242200lim lim(1)1x x x x x x→→+=+=，所以24x x +是x 的2阶无穷小. 当0x →111sin 22x x ，故（B ）是x 的同阶无穷小. 311000sin 11sin 6lim lim lim k k k x x x x x x xx x xx ++→→→---==，要使极限存在2k =，故（C ）是x 的2阶无穷小.0x x →→= 3001sin (1cos )1lim lim 24cos k k x x x x x x xx →→-==, 同理（D ）是x 的3阶无穷小.故选D.指数函数的极限要注意方向【例1.15】（2005数二）设函数()111xx f x e-=-,则 [ ](A) 0x =,1x =都是()f x 的第一类间断点; (B) 0x =,1x =都是()f x 的第二类间断点;(C) 0x =是()f x 的第一类间断点,1x =是()f x 的第二类间断点; (D) 0x =是()f x 的第二类间断点,1x =是()f x 的第一类间断点. 解 因为()0lim x f x →=∞,则0x =是()f x 的第二类间断点;而()()11111111lim lim 0,lim lim 111xx x xx x x x f x f x ee++--→→→→--====---, 所以1x =是()f x 的第一类（跳跃）间断点,故选 D. （三）非客观题 求极限的各种方法（1） 用N ε-定义证明数列极限定义证明的关键是利用n x A ε-<倒推找正整数N （与ε有关）,这个过程常常是通过不等式适当放大来实现.【例1.25】求证lim1n n→∞=. 证明 对0ε∀>,1ε-<成立,则需1-n n =n a n n +-<a nε=<只要1an n ⎡⎤>+⎢⎥⎣⎦,取1a N n ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦,当n N >时,1ε<.证毕. 【例1.26】 设常数1,a >用N ε-定义证明lim 0!nn a n →∞=. 证明 对0ε∀>,要使0!na n ε-<成立,则需[]0!1[]([]1)[]1n a n a a a a a aa k n a a n a ε-⎛⎫⋅⋅⋅⋅-=<⋅< ⎪⋅⋅+⋅⋅+⎝⎭，(其中1[]a ak a ⋅⋅=⋅⋅)只要lg []lg[]1k n a a a ε>++,为保证0,N >取lg max 1,[]lg []1k N a a a ε⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎢⎥=+⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎢⎥+⎪⎪⎣⎦⎩⎭,当n N >时,有 0!na n ε-<，证毕. （2）通过代数变形求数列极限 逐项平方差【例1.27】求极限2421111lim(1)(1)(1)(1)2222nn →∞++++解 2421111lim(1)(1)(1)(1)2222n n →∞++++=2111(1)(1)(1)222lim n →∞-++2n 1（1+）211-22(1)12lim(1)22n n +→∞=-=平方差公式【例1.28】求极限lim )n n n →∞.解lim )nn n →∞n =limn →∞=limn =12=. 等比求和【例1.29】 求极限221112333lim 111555nn n →∞+++++++. 解 由等比数列的求和公式2(1)1n nq q q q q q-+++=-将数列变形，则221113211113213333lim lim 11111155551515n n n n n n →∞→∞-+⨯++++-=+++-⨯-112123lim 11145n x n →∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭1221014+==. 分项求和【例1.30】 求[]31lim(21)2(23)3(25)n n n n n n →∞-+-+-++.解 []31lim (21)2(23)3(25)n n n n n n →∞-+-+-++()311lim 221nn k k n k n →∞==-+∑()23111lim 212n nn k k n k k n →∞==⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦∑∑()()()()32111211lim 226n n n n n n n n →∞++++⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦()()312111lim63n n n n n →∞++==.拆分原理【例1.31】 求极限2111lim()31541n n →∞+++-.解 因为()()1111212122121n n n n ⎛⎫=-⎪-+-+⎝⎭,则 2111lim()31541n n →∞+++-111111lim [(1)()()]23352121n n n →∞=-+-++--+ 111lim (1)2212n n →∞=-=+. 求和后拆分【例1.32】 求极限111lim(1)1212312n n→∞+++++++++.解 111lim(1)1212312n n→∞+++++++++（由等差数列的前n 项和公式）222lim 12334(1)n n n →∞⎡⎤=++++⎢⎥⨯⨯+⎣⎦ （逐项拆分） 111111lim 12()23341n n n →∞⎡⎤=+-+-++-⎢⎥+⎣⎦2lim 221n n →∞⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭（3）利用夹逼准则求数列极限 【例1.33】求lim n解 11111n n ≤+<+，而1lim(1)1n n→∞+=，∴ 由夹逼准则得 lim 1n →∞=. 掌握扩大和缩小的一般方法 【例1.34】 求22212lim()12n nn n n n n n n →∞+++++++++. 解212n n n n +++++2221212nn n n n n n n<+++++++++2121n n n +++<++ 且 2121lim,2n n n n n →∞+++=++ 2121lim 21n n n n →∞+++=++， 由夹逼准则得 22212lim()12n nn n n n n n n →∞+++++++++=12. 【例1.35】 求极限226n nn →∞++.解≤≤，则2221nnnk k k===≤≤且 22111limlim 3nnn nk k →∞→∞====,由夹逼准则得原式21lim3nn k→∞===.以下两题了解一下即可 【例1.36】 证明 1;1(0)n n a ==>证明 1） 1n h =+，则22(1)(1)(1)122n nn n n n n n n n n n h nh h h h --=+=+++>，即 0n h <<由夹逼准则 lim 0,n n h →∞=从而lim(1) 1.n n n h →∞=+=2）当1a >时，0<<由夹逼准则1n =；当01a <<，令11b a=>，则lim lim 1n n →∞→∞==，从而1(0).n a =>注 【例1.36】的结果以后直接作为结论使用. 【例1.37】 求极限nk n a ++.（12,,,0k a a a >,k N ∈）解 记{}12max ,,,k aa a a =,则nk a≤++≤.且,n n n a a a ==⋅=,由夹逼准则得{}12max ,,,nk k n a a a a a ++==.（4）利用单调有界准则求数列极限给出前后项的关系，证明其单调，有界，设出极限解方程数列单调性一般采用证明110,1,nn n n x x x x ---≥≥或函数的单调性；数列的有界性方法比较灵活.【例1.38】 求lim n n a a a a →∞++++个根号.解 设n x a =++,则12x x ==…,n x =,从而 1n nx x -<,数列{}n x 单调增加；又n x =,21n nx a x -=+,111n n n n x a x x x -=+<+=,数列有上界,故{}n x 有极限.不妨设lim n n x A →∞=,将21n n x ax -=+两边取极限，有2A a A =+,故12A ±=【例1.39】 求33n .（共有n 个根号）解 设33n x =，显然1n n x x ->,{}nx单调增加；且1n x x =2x =3n x <,{}n x 有上界，所以数列极限存在.不妨设lim n n x A →∞=,将213n n x x -=两边取极限，有23A A =,则()3,0A A ==舍.【例1.40】 设2110,0,,1,2,2n n nx aa x x n x ++>>==,证明数列{}n x 收敛,并求极限.解 2102nn n na x x x x +--=≤，数列{}n x 单调递减；且21122n n n n n x a a x x x x +⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭≥=,{}n x 有界,所以数列{}n x 收敛.令lim n n x A →∞=,对212n n nx a x x ++=两边取极限,有12a A A A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则A =. （5）利用无穷小的性质求数列极限 【例1.41】 求下列极限（1）（2）题的方法化为指数形式常用，（3）要说明无穷小乘有界量为无穷小 （1） lim 1)(0)n n a →∞-> （2）1121lim (33)n n n n +→∞- （3）2lim 1n nn →∞+解 （1）当1ln 11ln a nn e a n→∞-时， ，则 1ln lim 1)lim (1)a nn n n n e→∞→∞-=-1lim ln ln n n a a n→∞=⋅=（2）当n →∞时， 1ln 331nn-（n+1）（n+1），则11112211lim (33)lim3(31)nnn n n n n n ++→∞→∞-=-（n+1）121ln 3lim 3lim ln 3n n n n n+→∞→∞⋅=⋅=（n+1）（3）因为0n →∞=，而sin 1n ≤，由于无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小，所以2lim 01n nn →∞=+ 注 limsin n n →∞不存在，故不能写成lim sin 0n n n n →∞→∞→∞=⋅=. 综合题了解一下即可【例1.42】 求())()22211131lim arctan !22311n n nn n n n →∞⎡⎤⎛⎫+⨯-+++⎢⎥ ⎪ ⎪⨯--⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 解()arctan !2n π≤,()221=()2limarctan !0n n →∞∴=,有界量乘无穷小()1111lim lim 112231n n n n n →∞→∞⎡⎤⎛⎫+++=-=⎢⎥ ⎪⨯-⎝⎭⎣⎦，拆分求和2231lim 31n n n →∞+=-, 则 ()2211131lim 322311n n n n n →∞⎡⎤++++=⎢⎥⨯--⎣⎦ )()222131lim arctan !lim 1lim 1n n x n n n n n →∞→∞→∞+⎛⎫⎡⎤-- ⎪⎢⎥⎣⎦-⎝⎭故原式＝ 033=-=-.两极限都存在用四则运算法则注利用函数极限求数列极限见第三章；利用定积分定义求数列极限见第六章； 利用级数收敛的性质求极限见第十一章. 3．函数的极限（1）用εδ-定义或X ε-定义证明极限用εδ-定义证明函数极限关键是用倒推法适当放缩找到0x x -与ε的关系，确定()δε；而X ε-定义证明函数极限关键是用倒推法适当放缩找到x 与ε的关系，确定()X ε.【例1.43】 证明 22lim 4x x →= 此题典型要搞清楚自变量的约束范围的确定证明 对于0ε∀>，不妨设21,x -<则222225,x x x +≤+<-++< 要使242252x x x x ε-=+⋅-<⋅-<，只要取min{1,}5εδ=，当02x δ<-<时，有24x ε-<.证毕.注 函数在0x 的极限只与函数在0(,)U x δ的定义有关，与函数的整个定义范围无关.因此上例作了假设2 1.x -<也可假设122x -<等. 【例1.44】 用X ε-定义证明：232lim .33x x x →∞+=证明 对于0ε∀>，要使2322321333x x x x x xε++--==<，只要1.x ε>故取11,X ε=+当x X >时，均有23233x x ε+-<，即232lim .33x x x →∞+=（2）用极限存在的充要条件研讨极限 含有,xxe e-的表达式x →∞的极限；含有[]11,,,xxe e x x -的表达式0x →的极限；分段函数在分段点的极限，一般来说用极限存在的充要条件讨论.注意指数函数的极限，一般要考虑两边趋势【例1.45】 讨论极限 lim x xx xx e e e e --→∞-+.解 221lim lim 11x x x xx x x x e e e e e e --→-∞→-∞--==-++； 221lim lim 11x x xx x x x x e e e e e e--→+∞→+∞--==++. 所以 lim x xx xx e e e e --→∞-+不存在.【例1.46】 求1402sin lim 1x x x e x x e →⎡⎤+⎢⎥+⎢⎥+⎢⎥⎣⎦. 解 1402sin lim 1x x x e x x e +→⎡⎤+⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦43402sin lim 0111x xx xe e x x e +--→-⎡⎤+⎢⎥=+=+=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦； 1402sin lim 2111x x x e x x e -→⎡⎤+⎢⎥-=-=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦； 所以 1402sin lim 1x x x e x x e →⎡⎤+⎢⎥+⎢⎥+⎢⎥⎣⎦1=. 【例1.47】 []x 表示不超过x 的最大整数，试确定常数a 的值，使[]210ln(1)lim ln(1)x x x e a x e →⎧⎫+⎪⎪+⎨⎬⎪⎪+⎩⎭存在，并求出此极限.解 由[]x 的定义知，[][]0lim 1,lim 0,x x x x -+→→=-=故所给极限应分左、右极限讨论. []22211110000ln(1)ln(1)lim lim lim lim .ln(1)ln(1)x x x x x x x x x x xe e e a x a a e a a e e e ----→→→→⎧⎫++⎪⎪+=-=-=-=-⎨⎬⎪⎪++⎩⎭[]222211110002ln(1)ln(1)ln (1)lim lim 0lim 01ln(1)ln (1)ln(1)x xxxx x x x x x xe e e e x a x e e e e x+++--→→→--⎧⎫+++⋅+⎪⎪+=+=+⎨⎬⎪⎪+⋅+++⎩⎭212ln(1)lim 21ln(1)xx xe e +-→-++==++.所以，当2a =-时所给极限存在，且此时极限为2.【例1.48】设21,1,()23, 1.x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪+<⎩试求点1x =处的极限.解 211(10)lim ()lim(23)5x x f f x x --→→-==+=; 111(10)lim ()lim 1x x f f x x++→→+===; 即(10)(10)f f -≠+，1lim ()x f x →∴不存在.（3）通过代数变形求函数极限 【例1.49】求下列极限（1）22232lim 2x x x x x →-+++- （2）422123lim 32x x x x x →+--+ （3）11lim ,()1n x x n Z x +→-∈- 解 （1）原式222(1)(2)(1)(2)limlim (1)(1)(1)(11)x x x x x x x x x x →-→-++++==-+--++211lim.13x x x →-+==-（2）原式22211(1)(3)(1)(3)limlim 8.(2)(1)2x x x x x x x x x →→-+++===---- （3）原式121(1)(1)lim1n n x x x x x x --→-++++=- (提零因子)121lim(1)n n x xx x n --→=++++=.注 分子分母都为0必有共同的0因子① 因为分母极限为零，所以不能直接用计算法则； ② 当0x x →时，0x x ≠. 【例1.50】求下列极限注意多项式商的三种形式的规律0x x x a →∞→→，，，最高项，最低项，零因子（1）247lim 52x x x x x →∞-+++ （2）()()()3020504192lim 61x x x x →∞++- （3） 3225lim 34x x x x →∞-++解（1）原式234341170lim 0.5211x x x x x x→∞-+==++（2）原式3020501249lim 16x x x x →∞⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭1030205049263⋅⎛⎫== ⎪⎝⎭. （3）3225lim 34x x x x →∞-=∞++ (因为2334lim 025x x x x →∞++=-) 注 x →∞时有理函数求极限，分子、分母同时除以x 的最高幂次.即抓“大头”.综合题也可直接用结论 0101101,lim0,,m m m n n x n a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞⎧=⎪⎪+++⎪=>⎨+++⎪∞<⎪⎪⎩. 【例1.51】求下列极限了解共轭因式，尤其是N 方差公式 （1）)0lim 0x aa +→>. （2）0x → （3）limx解 ⑴原式0lim x a+→=limx a+→=lim x a+→==⑵ 原式=2x x →x →=32=⑶ 原式2limx=2123lim 1x --==.（4）利用两个重要极限求极限利用0sin lim 1x x x →=，1lim 1nn e n →∞⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦求极限，则有0sin 1lim 1,lim(1)e →→∞=+=（此两式中的形式必须相同）.【例1.52】 求下列极限 （1）201cos limx xx →-）（2）22sin sin lim x a x a x a→--（3）31lim sin ln(1)sin ln(1)x x x x→∞⎡⎤+-+⎢⎥⎣⎦解 （1）原式22200212sin sin1222limlim 2()2x x x xx x →→==.（2）原式()()sin sin sin sin limx ax a x a x a→-+=-()2limsin cos sin sin 22x a x a x a x a x a →-+=+-()sin2limcos sin sin 22x a x ax a x a x a →-+=⋅+-1cos 2sin sin 2a a a =⨯⨯=. （3）3lim sin ln(1)x x x →∞+ 3sin ln(1)33lim ln(1)0 limln(1)3ln(1)x x x x x x x→∞→∞++=⋅++ 33333lim ln 1ln lim[(1)]3x x x x x x⋅→∞→∞⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭同理 1lim sin ln(1)1x x x→∞+=,所以 31lim sin ln(1)sin ln(1)x x x x →∞⎡⎤+-+⎢⎥⎣⎦312=-=.【例1.53】 求下列极限 趋向常数的极限通常会做变量替换 （1）1lim(1)tan2x xx π→- （2）22sin lim1x xx ππ→- 解 （1）令1,t x =-则 原式02lim tan()lim cotlimlim222tan22t t t t ttt tt t ttππππππ→→→→=⋅-=⋅===（2） 令,x t π=-则原式2222200002sin()sin sin lim lim lim lim .()2(2)221t t t t t t t t t t t t t ππππππππππ→→→→-====----- 【例1.54】 求下列极限（1）32lim 22xx x x →∞-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ （2）cot 0lim tan 4xx x π→⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦解 （1）原式1222111lim 1lim 11222222x xx x x x x --→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦1e e =⋅=（2）原式11tan t 001tan 1t lim()lim()1tan 1t x x t x x →→--==++122t 102t lim(1)1tt t t +-⋅-+→-=++02lim1122t02tlim(1)1t t ttt e →-++--→⎡⎤-=+=⎢⎥+⎣⎦.注 1∞型极限的计算还可用如下简化公式：设(),(),u u x v v x ==且lim 1,lim u v ==∞，则lim(1)lim .u vvu e-=（因为 (1)1lim(1)1lim lim [1(1)]u vu vvu u u e---⎧⎫⎪⎪=+-=⎨⎬⎪⎪⎩⎭）和ln lim lim .v v uu e=【例1.55】 求下列极限 （1）lim hx kx ax b ax c +→∞+⎛⎫⎪+⎝⎭（2）1sin sin 20cos lim cos 2x xx x x →⎛⎫⎪⎝⎭解 （1） 原式＝()()lim 1lim x x ax b b c hx k hx k ax c ax c e e→∞→∞+-⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭=()b c hae-＝（2） 原式22000cos 1cos cos 211cos cos 2lim 1lim limcos 2sin sin 2cos 2cos 222x x x x x x x xxx xx xxx eee→→→--⎛⎫⎛⎫-⋅⎪⎪⎝⎭⎝⎭===2222220011(2)1cos 21cos 322lim []lim []22224x x x x x xx x x xeee →→----===.（5）利用函数的连续性求极限① 设()f x 在x a =连续，按定义则有 lim ()()x af x f a →=.因此对连续函数求极限就是用代入法求函数值.② 一切初等函数在它的定义域上连续.因此，若()f x 是初等函数，a 属于它的定义域，则lim ()()x af x f a →=.③ 设lim ()x ag x A →=，若补充地定义()g a A =，则()g x 在x a =连续.若又有()y f u =在u A =连续，则由复合函数的连续性得 lim (())(lim ())()x ax af g x f g x f A →→==.【例1.56】 求下列极限（1）3225lim243x x x x →+++ （2）3x →解 利用函数的连续性得 （1）332252251lim243224233x x x x →+⨯+==++⨯+⨯+，（2）x →==（6）利用无穷小的性质求极限常用的几个重要等价无穷小代换(当0→x 时)有: sin arcsin tan arctan 1ln(1)x xx x x xe x -+x cos 1-～22x , 1-xa ～)0(ln >a a x , )1(log x +α～ln x a.1)1(-+αx ～x α(α为任意实数), 3tan sin ,2x x x -3sin .6x x x - 利用等价无穷小代换时，通常代换的是整个分子、分母或分子、分母的因子. 【例1.57】求下列极限（1）201lim sin 3x x e x →- （2）cos 0lim sin x x e e x x →- （3）0x →解 （1）当0x →时，212,sin 33xex x x -,∴200122limlim sin 333x x x e x x x →→-==. （2）当0x →时，1cos 0x -→，1cos 11cos xex -∴--.原式cos 1cos 1cos cos 22000(1)(1)lim lim lim x x x xx x x e e e e x x--→→→--==⋅20(1cos )1lim2x x x→-==(因为当210,1cos 2x x x →-). （3）原式0x →=0x x →→=012x →=201112lim 1222x xx x →==⋅.【例1.58】 已知()0ln 1sin lim 231x x f x x →⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=-,求()20lim x f x x →. 解 由()0lim 310x x →-=及()0ln 1sin lim 231x x f x x →⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=-，必有()0limln 10sin x f x x →⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦, 所以 ()ln 1sin f x x ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦～()sin f x xln3311x x e -=-～ln 3x 原式()0sin lim ln 3x f x x x →=()201lim ln 3sin x f x x x x →=⋅ ()201lim ln 3x f x x→==2，则 ()2lim2ln 3x f x x→=.【例1.59】 求 30sin tan limsin x x xx→- 解 原式33001sin (1)sin (cos 1)cos limlim sin cos sin x x x x x x x x x →→--==⋅23001()1lim lim cos 22x x x x x x→→⋅-=⋅=-⋅.注 3300sin tan limlim 0.sin sin x x x x x xx x→→--≠= 【例1.60】 求 213sin 2sin lim x x xx x→∞+解 213sin 2sin lim x x xx x→∞+=13sin 1lim2lim sin 1x x x x x x→∞→∞+， 1sin1lim1;lim 0,sin 1,1x x x x x x→∞→∞==≤ 则1lim sin 0x x x →∞=， ∴原式=303+=.（7）利用其它方法求极限① 利用导数定义求极限(见第二章) 利用导数定义=')(0x f 00)()(limx x x f x f x x --→可以将某些求极限问题转化为求导数;② 利用罗必达法则(详见第三章); ③ 利用微分中值定理(详见第三章); 【例1.61】 设()()00,0f f '=存在,求()limx f x x→. 解 因为()()00,0f f '=存在,所以()0limx f x x →()()()00lim 0x f x f f x→-'== *【例1.62】 求lim x→+∞解 令()f t =,显然当0x >时,()f t 在[,1]x x +上满足拉格朗日中值定理,所以有,()()()()f b f a f b a ξ'-=⋅-.所以,原式=cos ξ 其中1x x ξ≤≤+故lim lim cos 0x ξξ→+∞→+∞==4.函数的连续性（1）函数的连续性与间断点的讨论【例1.63】 设()2,0sin ,0a bx x f x bx x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在点0x =处连续,求常数a b 与的关系.解 ()00sin sin lim lim lim x x x bx bx f x b b x bx+++→→→==⋅= ()()200lim lim x x f x a bx a --→→=+=. 因为函数在点0x =连续,所以()0lim x f x +→b =()0lim x f x a -→==,故a b =. *【例1.64】 设()2122lim 1n n n x ax bxf x x +→∞++=+,当,a b 取何值时,()f x 在(),-∞+∞处连续.解 ()2,1,11,121,12a bx x x x ab f x x a b x ⎧+ <⎪>⎪⎪--=⎨=-⎪⎪++⎪=⎩,由于()f x 在()()(),1,1,1,1-∞--+∞上为初等函数,所以是连续的,只要选取适当的,a b ,使()f x 在1x =±处连续即可. 即11lim ()lim ()(1)x x f x f x f -+→→==; ()()()11lim lim 1x x f x f x f -+→-→-==-. 得 1011a b a a b b +==⎧⎧⇒⎨⎨-=-=⎩⎩. 【例1.65】 研究函数(),111,11x x f x x x -≤≤⎧=⎨<->⎩或的连续性,并画出函数的图形.解 ()f x 在(),1-∞-与()1,-+∞内连续, 在1x =-处间断,但右连续,因为在1x =-处,()()11lim lim 11x x f x x f ++→-→-==-=-,但()11lim lim 11x x f x --→-→-==，即()()11lim lim x x f x f x +-→-→-≠.【例1.66】 指出函数22132x y x x -=-+的间断点,说明这些间断点的类型.解 ()22132x f x x x -=-+在1x =、2x =点没有定义，故1x =、2x =是函数的间断点.因为 ()()()()2211111lim lim3212x x x x x x x x x →→-+-=-+--11lim 22x x x →+==--,所以1x =为第一类可去间断点.因为2lim x y →=∞,所以2x =为第二类无穷间断点.【例1.67】 讨论函数()221lim 1nnn x f x x →∞-=+的连续性,若有间断点,判别其类型.解 ()22 11lim0 1 1 1nnn x x x f x x x x x →∞⎧->⎪-===⎨+⎪<⎩, ()11lim lim 1x x f x x ++→→=-=-,()11lim lim 1x x f x x --→→==,()()11lim lim x x f x f x +-→→≠; ()11lim lim 1x x f x x ++→-→-==-,()11lim lim 1x x f x x --→-→-=-=,()()11lim lim x x f x f x +-→-→-≠.故 1x =±为第一类跳跃间断点.（2）闭区间上连续函数的性质【例1.68】 证明方程3910x x --=恰有三个实根. 证明 令()391f x x x =--，则()f x 在[]3,4-上连续，且()()310,290,f f -=-<-=> ()()010,4270f f =-<=>所以()f x 在()()()3,2,2,0,0,4---各区间内至少有一个零点,即方程3910x x --=至少有三个实根. 又它是一元三次方程,最多有三个实根.证毕【例1.69】 若n 为奇数,证明方程110n n n x a x a -+++=至少有一个实根.证 令()11n n n f x x a x a -=+++，则()1(1)nnn a a f x x xx=+++， 于是 lim (),lim ()x x f x f x →-∞→+∞=-∞=+∞，故存在1,x 使()10f x A =>；存在2,x 使()20f x B =<.所以()f x 在[]12,x x 至少有一个零点,即方程至少有一个实根.【例1.70】 设()f x 在[],a b 上连续,且()(),f a a f b b <>,试证:在(),a b 内至少有一点ξ,使得()fξξ=.证 令()()F x f x x =-,()F x 在[],a b 连续,且()0,()0,F a F b <>由介值定理得在(),a b 内至少存在一点ξ,使得()0F ξ=,即()fξξ=.【例1.71】 设()f x 在[]0,2a ()0a >上连续,且()()02f f a =,求证存在()0,a ξ∈,使()()ff a ξξ=+.证 构造辅助函数()()()g x f x a f x =+-,则()()()00g fa f =-,()()()2g a f a f a =-()()0f a f =--⎡⎤⎣⎦()0g =-,即()0g 与()g a 符号相反,由零点存在定理知存在()0,a ξ∈,使()0g ξ=,即()()ff a ξξ=+.【例1.72】 设()f x 在[],a b 上连续,且a c d b <<<,证明：在[],a b 内至少存在一点ξ，使得()()()()pf c qf d p q f ξ+=+，其中,p q 为任意正常数.证()f x 在[],a b 上连续,∴ ()f x 在[],a b 上有最大值M 和最小值m ，则()m f x M ≤≤.由于,[,]c d a b ∈，且,0p q >，于是有(),()pm pf c pM qm qf d qM ≤≤≤≤.⇒ ()()()()p q m pf c qf d p q M +≤+≤+， ⇒()()pf c qf d m M p q+≤≤+.由介值定理，在[],a b 内至少存在一点ξ，使得()()()pf c qf d f p qξ+=+，即()()()()pf c qf d p q f ξ+=+ 5．综合杂例【例1.73】 已知lim 2003,(1)ab bn n n n →∞=--求常数,a b 的值.解 lim lim lim 11(1)[1(1)](1)1aaa bbb n n n b b b n n n n n n n n-→∞→∞→∞-==------ 1lim lim 1a b a b n n n n bb n--+→∞→∞-==- 为使极限为2003，故10,a b -+=且12003,b =所以12002,.20032003b a ==- 【例1.74】 已知221lim2,sin(1)x x ax bx →++=-求常数,a b 的值. 解 由221lim 2,sin(1)x x ax bx →++=-则分子的极限必为0，即21lim()0x x ax b →++=， 从而 10a b ++=；另一方面，当1x →时，22sin(1)1x x --，因此2222221111lim lim 10lim sin(1)11x x x x ax b x ax b x ax a a b x x x →→→+++++--=++=--- 1(1)(1)lim2(1)(1)x x x a x x →-++==-+，从而11211a ++=+，即2,a =又10a b ++=， 得 3.b =【例1.75】已知lim ())0,x ax b →+∞+=求常数,a b 的值.解lim ())lim ())0,x x bax b x a x→+∞→+∞-+=+=而lim ,x x →+∞=∞要使原式极限为0，则lim()0,x ba x→+∞-+=所以 1.a =1lim )lim )lim.2x x x b ax x →+∞→+∞=-===【例1.76】 若 30sin 6()lim 0,x x xf x x →+=求206()lim .x f x x→+ 解 因为30sin 6()lim0,x x xf x x→+=由极限存在与无穷小的关系，得 3sin 6()0,x xf x x α+=+其中0lim 0.x α→=从而 2236()6sin 6,f x xx x x α+=-+ 所以 32233300006()6sin 66sin 6(6)lim lim()lim lim 366x x x x f x x x x x x x x x xα→→→→+-=-+=== 【例1.77】 已知0()lim4,1cos x f x x →=-求10()lim 1.xx f x x →⎛⎫+ ⎪⎝⎭解 因为200()2()limlim 4,1cos x x f x f x x x→→==-则20()lim 2x f x x →=.从而 221()()lim()200()()lim 1lim 1x x f x f x xf x x x x x f x f x e e x x →⋅→→⎛⎫⎛⎫+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭注 此题也可用极限存在与无穷小的关系求解.【例1.78】 当0x →x 的几阶无穷小量. 解3255x-=则203limx xx→→==∴x 的23阶无穷小.三、综合测试题。
高等数学定理
数学基础知识总结第一部分高数第一章函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。
函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。
2、函数的单调性、奇偶性、周期性（指最小正周期）3、数列的极限定理(极限的唯一性) 数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。
定理（收敛数列的有界性）如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。
如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，（-1）n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。
定理（收敛数列与其子数列的关系）如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a。
●如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，（-1）n +1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。
4、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0,所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。
定理（极限的局部保号性）如果lim (x→x0)时f(x)=A，而且A>0（或A<0），就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x) >0（或f(x) >0），反之也成立。
●函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)= f(x 0+0)，若不相等则lim f(x)不存在。
●一般的说，如果lim（x→∞）f(x)=c，则直线y=c是函数y= f(x)的图形水平渐近线。
如果lim（x →x0）f(x)=∞，则直线x=x0是函数y= f(x)图形的铅直渐近线。
大学高数第一章函数和极限
x1
x1
x1
x1
3lim x2 2 lim x 1
x1
x1
312 2 11 2
可见，上例求极限，可以直接用定理 1.1 中的(1).
只须将 x x0 之 x0 代入函数中的 x 处运算即可。
例 求 limx(x 2) x2 x2 1
解：lx im 2 x(xx2 12)
limx(x2) xl i2m (x2 1)
必经过点(0,1)
f(x)log2 x
f (x)log0.5 x
正弦、余弦函数基本性质
解析式: ysinx/cosx
基本特征:定义域为实数集R，值域为[-1,1]，最小正
周期T为 2
正切、余切函数基本性质
解析式: ytanx/cotx
基本性质:正切函数定义域为 {x|x2k,,余kZ}
医用高等数学
第1章 函数和极限
1.1 函数 1.1.1函数的概念
定义 1.1 设 X ,Y 是非空数集，对于集合 X 中的任意一个数 x ， 在集合 Y 中均有确定值 y 与其对应，则称 y 是 x 的函数，记为：
y f (x) ，其中 x 称为自变量， y 称为因变量，
其中，集合 X 称为定义域，集合 Y 称为值域。
无界的。
如:函数 y sin x ，在 ,内有界,且：| y | 1
1.1.3复合函数
定义 1.2 如变量 y 是变量 u 的函数，变量 u 又是 变量 x 的函数，即： y f (u)， u (x) ， 且 u (x) 的值域与 y f (u) 的定义域有公共部分， 则称 y 是 x 的复合函数，记作： y f [(x)]
例 讨论函数 f (x) | x | 当 x 0 时的极限. x
第一章 函数与极限
第一章 函数与极限第一节 函数§1.1 函数内容网络图区间定义域 不等式 定义 集合 对应法则 表格法表达方法 图象法初等函数 解析法 非初等函数 单调性函数的特性 奇偶性函数 周期性 有界性 定义 反函数 重要的函数 存在性定理 复合函数符号函数：⎪⎩⎪⎨⎧>=<-=.0,1,0,0,0,1sgn x x x x几个具体重要的函数 取整函数：()][x x f =，其中[x ]表示不超过x 的最大整数.狄里克雷函数：()⎩⎨⎧=.,0,,1为无理数为有理数x x x D§1.2 内容提要与释疑解难一、函数的概念定义:设A 、B 是两个非空实数集，如果存在一个对应法则f ，使得对A 中任何一个实数x ，在B 中都有唯一确定的实数y 与x 对应，则称对应法则f 是A 上的函数，记为 B A f yx f →-::或.y 称为x 对应的函数值，记为 ()A x x f y ∈=,.其中x 叫做自变量，y 又叫因变量，A 称为函数f 的定义域，记为D （f ），{}A x x f A f ∈=∆)()(, 称为函数的值域，记为R （f ），在平面坐标系Oxy 下，集合{}D x x f y y x ∈=),(),(称为函数y=f(x)的图形。
函数是微积分中最重要最基本的一个概念，因为微积分是以函数为研究对象，运用无穷小及无穷大过程分析处理问题的一门数学学科。
1、由确定函数的因素是定义域、对应法则及值域，而值域被定义域和对应法则完全确定，故确定函数的两要素为定义域和对应法则。
从而在判断两个函数是否为同一函数时，只要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同，至于自变量、因变量用什么字母，函数用什么记号都是无关紧要的。
2、函数与函数表达式的区别：函数表达式指的是解析式子，是表示函数的主要形式，而函数除了用表达式来表示，还可以用表格法、图象法等形式来表示，不要把函数与函数表达式等同起来。
高等数学-第一章-函数与极限-函数的极限-同济大学
经过不等式的变形, 得到关系
f (x) A M x x0 ,
其中 M是一个与x无关的常量. 再取 , 则当
0 x x0 时, 有:
M
f (x) A M x x0 ,
此即说明 lim f (x) A. x x0
例1 证明下列极限
⑴ lim(2x 1) 5; x2
xn
是函数 f
x
xx0
定义域中的一个任意数列,
xn
x0 ,
且
lim
n
xn
x0,
则相应的数列 f xn 收敛, 且
lim
n
f
(xn )
lim
x x0o
f
(x).
o
证
设 lim f (x) A, xx0
则存在U (x0, ), 当x U (x0, ), 有
f (x) A ,
o
又因
lim
n
x
证令
xn
1,
1
2n
2
yn
1
2n
,
则
lim
n
xn
lim
n
yn
0,
且 xn
0, yn , 0,
但
lim
n
f
(xn )
1, lim n
f
( yn )
0,
所以 lim sin π 不存在.
x0
x
对于数列, 相应的归并性定理为
定理
设数列
lim
n
xn 存在,
则对于
xn
的任一子列(xnk )
有
lim
2x 2(x2 1)
1 x
高等数学第一章：函数与极限
第一章：函数与极限第一节：函数1、函数的性质：单调性，有界性（包括有界与无界），奇偶性，周期性。
（重点在于单调性与奇偶性）单调性：)()(,,212121x f x f x x X x x <⇒<∈∀单调增加。
)()(,,212121x f x f x x X x x >⇒<∈∀单调减少 有界性：M x f X x M ≤∈∀>∃)(,,0 无界性：M x f X x M >∈∃>∀)(,,0奇偶性：)()(x f x f -=偶，)()(-x f x f -=奇。
奇函数如果连续则一定经过0点，值为0周期性：)()(T x f x f +=，注意，a T x f a x f ++=+)()(， 如果)()(b ax f x f +=，T 为)(x f 的周期，则周期为aT第二节：极限1、数列极限定义：εε<->>∃>∀⇔=∞→A x N n N A x n n n ,,0,0limM x N n N M x n n n >>>∃>∀⇔∞=∞→,,0,0lim性质：1) 唯一性：收敛数列极限唯一 2) 有界性：收敛数列必有界3) 子数列收敛：注意震荡数列并不是，一个数列收敛，则它的所有子数列都收敛。
4) 保号性：A x n n =∞→lim ，当A>0时，存在从某个N 开始，n x > 0.5) 有序性: n n y x ≤，则n n n n y x ∞→∞→≤lim lim 。
四则运算：1) b a y x n n n +=+∞→）（lim2) b a y x n n n ⋅=⋅∞→）（lim3) bay x n n n =∞→）（lim ，（b ≠0） 2、函数极限定义：εε<->>∃>∀⇔=∞→a x f X x X a x f x )(,0,0)(lim 时，当εδδε<-<-<>∃>∀⇔=→a x f x x a x f x x )(0,0,0)(lim 00，当性质：1) 唯一性，左极限等于右极限。
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第一章 函数与极限2008考试内容2008考试要求1. 理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系。
2. 了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
3. 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4. 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。
5. 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系。
6. 掌握极限的性质及四则运算法则。
7. 掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8. 理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。
9. 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
10. 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
一、函数的类型1．类 型：1.1 有界函数，如： ||1y x x =≤，()1lim sinx f x x x →∞=等等；无界函数，如()1lim cos x f x x x→∞=。
注意无界量与无穷大量的区别。
1.2 单调函数（12x x >，12()()f x f x ><或），注意单调函数一般指严格单调函数，注意它与单调不增函数或单调不减函数的区别。
1.3 周期函数，满足：()()f x T f x +=，注意T 一般指最小的正周期。
1.4 复合函数，一般形式为：()()y f g x =，指自变量为函数的函数。
1.4 反函数，, x y 存在一一映射的情况下，二者互为反函数，关于反函数具有下列重要性质：★ 若()x g y =为()y f x =的反函数，则在某些场合，常把()y f x =的反函数记为()1f x -或()g x ，此时已重新把x 视为自变量，在反函数记号的使用中，一定要分清是否需要换变量记号。
★ 改变记号后，互为反函数的两个函数()y f x =和()()1y g x f x -==的曲线关于直线y x =对称；没有改变记号，互为反函数的两个函数()y f x =和()1x f y -=的曲线重合。
★()y f x =与反函数()g x 的定义域与值域具有对偶性，即()y f x =的定义域必为()g x 的值域，而()y f x =的值域必为()g x 的定义域，并且 ()()()()g f x f g x x == 1.5 分段函数，如：()[], 11, 12n n x n f x x n n x n ≤<+⎧==⎨++≤<+⎩ ()[][), 010, 21, 12x x f x x x x x x ≤<⎧=-=∈⎨-≤<⎩(){}2233, <1max 1, , 1, 1, 1x x f x x x x x x ⎧-⎪==≤⎨⎪>⎩1.6 隐函数，如2sin y x e =。
1.7 奇偶函数与对称性★ 若()y f x =的图形有对称轴x a =，则有()()()()2a x tf a x f a x f t f a t -=-=+−−−→=-，且()f a x -为偶函数。
★ 若()y f x =的图形有对称中心(), 0a ，则有()()()()2a x t f a x f a x f t f a t -=-=-+−−−→=--，且()f a x -为基函数。
★ 若()y f x =的图形有对称中心(), 0a 和(), 0b ，且a b <则 ()()()()()()()()()()22, 22222, a t uf t f a t f t f b t f a t f b t f u f u b a T b a -==--=--⇒-=-−−−→=+-⇒=-但不一定是最小的正周期。
可见，()f x 为周期为()2b a -的周期函数。
2．两个特性： ①定义域与对应法则 ②自变量表示法的无关性；3．表示方法：数学式（参数表示、方程表示、分段表示）；表格式；图形；文字叙述。
还可 以是极限形式、导数、积分或级数等形式表示。
二、七个基本初等函数①幂函数 y x α= [α是常数，(), x ∈-∞∞] ②指数函数 x y a = [a>0, a ≠1，(), x ∈-∞∞] ③对数函数 log a y x = [a>0, a ≠1，()0, x ∈∞]④三角函数()()sin , ,; cos ,,; tan ,;2cot ,; sec ,; csc ,.2y x x x x x x k x x k x x k x x k ππππππ=∈-∞+∞∈-∞+∞≠+≠≠+≠⑤ 反三角函数 a r c s i n y x = [()1, 1x ∈-，, 22y ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦],a r c c os y x = [()1, 1x ∈-，[]0, y π∈], a r c t a n y x = [(), x ∈-∞∞，, 22y ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭]c o t y a r c x = [(), x ∈-∞∞，()0, y π∈]⑥ 双曲函数与反双曲函数((ln ;2ln 211x t t ln21xx xx xx x x x e e shx arshx x e e chx archx x e e hx ar hx e e -----=←=+=→=+-+=→=+-⑦ 常数函数 .y const =初等函数：由7个初等函数经有限次四则运算和有限次复合并能用一个式子表达出来的函 数。
非初等函数：如，()[][), 010, 21, 12x x f x x x x x x ≤<⎧=-=∈⎨-≤<⎩七个基本初等函数的定义域与值域及其图形，读者必须掌握，是考试重点。
三、函数的连续与间断1、函数的连续要求① )(x f 在x o 的邻域内有定义； ② 0lim ()x x f x → 存在；③ 00lim ()()x x f x f x →=2、函数的间断点① )(x f 在x o 邻域无定义；② 0lim ()x x f x → 不存在，包括00()()f x f x -+和至少有一个不存在的情形；③ 00lim ()x x f x →≠● 单极限()()00lim lim x x x x f x f x +-→→⎛⎫ ⎪⎝⎭或不存在时的不连续点称为：第Ⅰ类间断点。
分为以下两类： )()()(000x f x f x f ≠=⇔+- 可去间断点（通过改变函数在0x 点的定义值） )()(00x f x f +-≠ 跳跃间断点● 单极限()()00lim lim x x x x f x f x +-→→⎛⎫ ⎪⎝⎭或存在时的不连续点称为：第Ⅱ类间断点。
分为以下两类： )()(00x f x f +-⇔和至少有一个不存在，包含振荡间断点1siny x=与无穷间断点。
四、重要结论：1．分段函数不一定是非初等函数，如(), 0, 0x x y f x y x x ≥⎧==⇔=⎨-<⎩就是初等函数。
2．周期函数定义域不一定是一个区间，如y =定有最少的周期，如1, rational0, irrational x y x ∈⎧=⎨∈⎩没有最小正周期。
3．无穷小是指以0为极限的函数；无穷大是指函数的绝对值无限增大，不是一个函数。
等价无穷小是当0x →时二者比的极限为1，在求极限时，只有在因式情况下可作部分代换。
4．初等函数在其定义域内不一定连续，如2y x n π=⇒=，没有一点存在邻域，故不连续。
而初等函数在其定义子区间内一定连续。
五、分段函数的复合与连续性及反函数题型研究【例1】 设()()1, 1, 0, 11, 1x x g x e f x x x ⎧<⎪===⎨⎪->⎩ 求()()()(), f g x g f x 。
解：一般方法：如求()()f g x ，先将()f x 的表达式及区间段中的x 改写成()g x ，再解关于()g x 的不等式，确定x 的取值范围（由()g x 的值域确定x 所在区段）。
函数代入定义域后变成值域，由该值域找到对应的定义域。
()()()()()1, 1100, 1101, 110xx x g x e x fg x gx e x g x e x ⎧<→<→<⎪⎪==→=→=⎨⎪->→>→>⎪⎩()()()1, 11, 1, 1f x e xg f x e x e x -⎧<⎪===⎨⎪>⎩【例2】 设()()21, 12, 1 ; 0, 12, 1x x x f x g x x x ⎧⎧≤-≤⎪⎪==⎨⎨>>⎪⎪⎩⎩ 求()()()(), f g x g f x 。
解：()()()()1, 10, 1g x f g x g x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩()()()21, 11121, 110, 1x g x x x x x f g x x ⎧=⎪≤≤→-≤≤⇒=⇒=⎨≠⎪⎩只在可能成立()()()()()()222, 1 1, 122, 12, 1 f x f x x g f x f x x f x ⎧-≤⎧≤⎪⎪==-=⎨⎨>>⎪⎪⎩⎩恒成立不成立【例3】 设()()()2, 0, 01 ; 0, 02, 0x x x x x f x x x g x x e x -⎧≥≥⎧⎪=+==⎨⎨<<⎪⎩⎩ 求()()()(), f g x g f x 。
解：()()()()()()()()()()()()()2222, 0, 0, 00, 0, 0, 00, 0, 0xf xg x g x x x f g x g x e x g x f x f x x x g f x f x x ef x --⎧≥⎧≥⎪⎪===⎨⎨<<⎪⎩⎪⎩⎧≥⎧≥⎪===⎨⎨<<⎩⎪⎩恒成立不成立恒成立不成立【例4】 ()()22, 0, 1; , 11, 0x x x e x f x g x x x x x +<⎧⎧<==⎨⎨≥-≥⎩⎩ 求()()f g x . 解：()()()()()(), 1, 1g x e g x f g x g x g x ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩当()()()()1g x g x f g x e <⇒=要么0,x < ()21g x x =+<1x ⇒<-要么0x ≥， ()2110g x x x =-<⇒≤<当()()()()1g x f g x g x ≥⇒=要么0,x < ()2110g x x x =+≥⇒-≤<要么0x ≥，()211g x x x =-≥⇒≥所以：()()2212, 12, 10, 01, x x e x x x f g x e x x x +-⎧<-⎪+-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪-≥⎩【例5】 ()()()2, 2, 1; 21, 251, 13, 5x x x x f x g x x x x x x x ≤⎧⎧≤⎪==-<≤⎨⎨->⎩⎪+>⎩讨论()()f g x 的连续性。