新编人教版高中数学必修一：第二章单元质量评估1 含答案
(常考题)人教版高中数学必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》测试卷(含答案解析)(1)
一、选择题1．已知a >0，b >0，a +b =1，则下列等式可能成立的是（ ） A ．221a b += B ．1ab = C ．212a b +=D ．2212a b -=2．已知0a >，0b >，且1a b +=，则14a b+的最小值为（ ） A ．9B ．8C ．7D ．63．设1a b +=，0b >，则2244||ab b a a b++的最小值为（ ）A ．14B ．34C ．54D ．744．已知函数()24x x af x x++=，若对于任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，则实数a的取值范围为（ ）A ．[)5,+∞B ．()5,-+∞C ．()5,5-D ．[]5,5-5．甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测： 甲预测说：获奖者在乙、丙、丁三人中； 乙预测说：我不会获奖，丙获奖 丙预测说：甲和丁中有一人获奖； 丁预测说：乙的猜测是对的成绩公布后表明，四人的猜测中有两人的预测与结果相符.另外两人的预测与结果不相符，已知有两人获奖，则获奖的是（） A ．甲和丁 B ．乙和丁 C ．乙和丙 D ．甲和丙6．若不等式210x ax -+≥对一切[2,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的最大值为（ ） A ．0B ．2C ．52D ．37．下列命题中是真命题的是（ ）A ．y =的最小值为2；B ．当a ＞0，b ＞0时，114a b++； C ．若a 2+b 2=2，则a +b 的最大值为2；D ．若正数a ，b 满足2,a b +=则11+4+22a b +的最小值为12.8．已知A 、B 、C 为ABC 的三内角，且角A 为锐角，若tan 2tan B A =，则11tan tan B C+的最小值为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．19．已知AB AC ⊥，1AB t=，AC t =，若P 点是ABC 所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+，则·PB PC 的最大值等于（ ）. A ．13B ．15C ．19D ．2110．如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线与AB ，AD 所在直线分别交于点M ，N ，若AB ＝m AM ，AN ＝n AD （m ＞0，n ＞0），则mn的最大值为（ ）A ．22B ．1C ．2D ．211．已知1x >，则41x x +-的最小值为 A ．3B ．4C ．5D ．612．若直线20(,1)ax by a b +-=>始终把圆222220x y x y +---=的周长分为1:2．则11a b+的最大值为（ ） A ．423-B ．22-C 21D 2二、填空题13．设0b >，21a b -=，则242a a b+的最小值为_________.14．已知向量()2,1a y =-，(),3b x =，且a b ⊥，若x ，y 均为正数，则32x y+的最小值是______．15．设A .B 分别为双曲线22221x y a b-=（a >0，b >0）的左.右顶点，P 是双曲线上不同于A .B的一点，直线AP .BP 的斜率分别为m .n ，则当3b a 取最小值时，双曲线的离心率为__________.16．已知0x >，0y >，满足2126x y x y+++=，存在实数m ，对于任意x ，y ，使得2m x y ≤+恒成立，则m 的最大值为____________.17．ABC 中，点M ，N 在线段AB 上，且满足AM BM =，2BN AN =，若6C π=，||4CA CB ⋅=∣∣，则CM NC ⋅的最大值为________.18．已知关于x 的不等式()()22454130m m x m x +---+>对一切实数x 恒成立，则实数m 的取值范围为_____________. 19．已知0a >，0b >，若不等式212ma b a b+≥+恒成立，则m 的最大值为______． 20．若正数a ，b 满足2ab =，则11112M a b=+++的最小值为________. 三、解答题21．已知函数2()21f x kx kx =+-.（1）若不等式()0f x <的解集为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，求实数k 的值；（2）若方程()0f x =在[]12，有解，求实数k 的取值范围. 22．2020年11月23日，贵州宣布最后9个深度贫困县退出贫困县序列，这不仅标志着贵州省66个贫困县实现整体脱贫，这也标志着国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽，全国脱贫攻坚目标任务已经完成.在脱贫攻坚过程中，某地县乡村三级干部在帮扶走访中得知某贫困户的实际情况后，为他家量身定制了脱贫计划，政府无息贷款10万元给该农户种养羊，每万元可创造利润0.15万元.若进行技术指导，养羊的投资减少了x ()0x >万元，且每万元创造的利润变为原来的()10.25x +倍.现将养羊少投资的x 万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为()0.150.875a x -万元，其中0a >. （1）若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求x 的取值范围； （2）若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求a 的最大值. 23．已知2,()23a f x ax x ∈=+-R ．（Ⅰ）关于x 的方程()0f x =有且只有正根，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若()30f x a -≥对[1,0]a ∈-恒成立，求实数x 的取值范围．24．已知关于x 的不等式()22600kx x k k -+<≠.（1）若不等式的解集是{3x x <-或}2x >-，求k 的值；（2）若不等式的解集是R ，求k 的取值范围； （3）若不等式的解集为∅，求k 的取值范围．25．已知函数()|21||2|f x x x =---，M 为不等式()1f x <-的解集. （1）求M ；（2）当,a b M ∈且1a b +=时，4a b tab +≥恒成立，求t 的最大值.26．设2()(1)1f x m x mx m =+-+-.（1）当1m =时，解关于x 的不等式()0f x >；（2）若关于x 的不等式()0f x m ->的解集为()1,2，求m 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据已知条件由2()2a b ab +≤可求出2212a b +≥，又由完全平方公式可得221a b +<，即可判断A 、B ；由已知条件可知01b <<，则2b b >，因此22212a b a b +>+≥，可判断C ；由平方差公式可得12a b -=，与1a b +=联立可求出满足条件的a 、b ，故D 可能成立. 【详解】001a b a b >>+=，，2222211()21212()12()222a b a b a b ab ab +∴+=+-=-≥-⋅=-⨯=， 当且仅当12a b ==时等号成立， 又0ab >，222()2121b a b a ab a b +=+-=-<∴，22112a b ≤+<∴，则221a b +=不可能成立； 2211()()224a b ab ≤==+，当且仅当12a b ==时等号成立，故1ab =不可能成立；001a b a b >>+=，，，01b ∴<<，2b b ∴>，22212b a b a +>+≥∴（由A 可知），则212a b +=不可能成立； ()()2212a b a b a b a b -=+-=-=，联立112a b a b +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得31,44a b ==，满足条件，D 成立. 故选：D2．A解析：A 【分析】利用“1”的代换，转化()1414a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，结合基本不等式即可得解. 【详解】1a b +=，0a >，0b > ()1414455549b a a b a b a b a b ⎛⎫+++=++≥+=+= ⎪⎝⎭∴=， 当且仅当4b a a b =，即13a =，23b =时，等号成立. 14a b ∴+的最小值为9 故选：A. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.3．B解析：B 【分析】利用1a b +=，0b >，10b a =->，1a ∴>且0a ≠； 对a 进行分类讨论，分为10a >>和0a >，进行讨论，然后，求解即可得到2244||ab b a a b++的最小值【详解】1a b +=，0b >，10b a =->，1a ∴>且0a ≠；当10a >>，22224414||444ab b a ab b a b a a b ab a b ++++==++1544≥+=；当且仅当4b aa b =，又1b a =-，解得1a =-或13a =，又由10a >>，得13a =时，此时，23b =，2244||ab b a a b ++的最小值54；当0a >，222244134||4444ab b a ab b a b a a b ab a b ++++⎛⎫⎛⎫==-+-+-≥ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，当且仅当4b aa b -=-时，解得1a =-或13a =，又由0a >，得1a =-，此时，2b =，2244||ab b a a b ++的最小值34；综上，2244||ab b a a b ++的最小值34；故选：B 【点睛】关键点睛：解题的关键在于利用1a b +=，0b >，10b a =->，可得1a >且0a ≠，对a 进行分类讨论，难点在于利用基本不等式进行求最值，本题属于中档题4．B解析：B 【分析】根据条件将问题转化为“24a x x >--在[)1,+∞上恒成立”，再根据()2max4a x x>--求解出a 的范围. 【详解】因为对于任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，所以240x x a ++>对[)1,x ∈+∞恒成立， 所以()2max4a x x>--，[)1,x ∈+∞，又因为24y x x =--的对称轴为2x =-，所以24y x x =--在[)1,+∞上单调递减， 所以()()2max4145x x --=--=-，所以5a >-，故选：B. 【点睛】方法点睛：一元二次不等式在指定区间上恒成立求解参数范围问题的处理方法： （1）分类讨论法：根据参数的临界值作分类讨论；（2）分离参数法：将自变量和参数分离开来，自变量部分构造新函数，分析新函数的最值与参数的大小关系.5．B解析：B 【分析】从四人的描述语句中可以看出，乙、丁的表述要么同时与结果相符，要么同时与结果不符，再进行判断 【详解】若乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，推出矛盾．故乙、丙预测不成立时，推出获奖的是乙和丁 答案选B 【点睛】真假语句的判断需要结合实际情况，作出合理假设，才可进行有效论证6．C解析：C 【分析】采用参变分离法对不等式变形，然后求解变形后的函数的值域，根据参数与新函数的关系求解参数最值. 【详解】因为不等式210x ax -+≥对一切[)2,x ∈+∞恒成立，所以对一切[)2,x ∈+∞，21ax x ≤+，即21x a x+≤恒成立．令()[)()2112,x g x x x x x+==+∈+∞．易知()1g x x x=+在[)2,+∞内为增函数． 所以当2x =时，()min 52g x =，所以a 的最大值是52．故选C ． 【点睛】常见的求解参数范围的方法：（1）分类讨论法（从临界值、特殊值出发）； （2）参变分离法（考虑新函数与参数的关系）.7．B解析：BCD 【分析】利用基本不等式分别判断A 、B 、D 选项，C 选项可设,a b αα==，利用三角函数的值域求范围. 【详解】A 选项，222x +≥0>，∴2y=≥==，即221x+=±时成立，又222x≥+，故A错；B选项，当a＞0，b＞0时，1124a b+++≥⨯=，当且仅当1a b=⎧=，即1a b==时等号成立，B正确；C选项，设,a bαα==，则2sin24a bπααα⎛⎫+==+≤⎪⎝⎭，C正确；D选项，2a b+=，()212192a b⎡⎤⎛⎫∴+++=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则()121252229291111++4+22442+2242a b a baba ba b⎛⎫+⎪⎡⎤+⎛⎫⎛⎫+++=⨯++⎪⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝=+⎣+⎭⎦ ⎪⎝⎭251942⎛≥⨯+=⎝⎭，当且仅当122422aba b++=++且2a b+=时等号成立，解得1a b==，故D正确.故选：BCD【点睛】本题考查基本不等式的应用、利用三角函数的值域求范围，注意取等号的条件，属于中档题.8．C解析：C【分析】将11tan tanB C+化为关于tan A的式子，然后利用基本不等式可以求出最小值.【详解】在ABC中，()tan tanC A B=-+，111111tan tantan tan tan tan tan tan tanA BB C B A B B A B，tan 2tan B A =， 211tan tan 112tan 12tan tan tan tan 2tan 3tan 6tan 3A B AAB A B A AA ,角A 为锐角,tan 0A ∴>，12tan 12tan 226tan 36tan 33A AA A ， 当且仅当12tan 6tan 3A A ，即1tan 2A =时，等号成立，∴11tan tan B C +的最小值为23. 故选：C. 【点睛】本题考查三角形中角的互化，和的正切公式的应用，以及利用基本不等式求最值，属于中档题.9．A解析：A 【详解】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t，(0,)C t ，1AP =（，0)+4(0,1)=(1,4)，即1P（，4)，所以114)PB t=--（，，14)PC t =--（，，因此PB PC ⋅11416t t =--+117(4)t t =-+，因为114244t t t t+≥⋅=，所以PB PC ⋅的最大值等于13，当14t t =，即12t =时取等号．考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．10．B解析：B 【分析】根据向量共线的推论，结合向量的线性运算求得12m n+=，再用基本不等式即可求得结果. 【详解】 因为1122AO AB AD =+，又AB ＝m AM ，AN ＝n AD ， 故可得 122m AO AM AN n=+，又,,O M N 三点共线， 故可得1122m n +=，即12m n+=. 故211114m m m n n n ⎛⎫=⨯≤+= ⎪⎝⎭，当且仅当1m n ==时取得最大值. 故选：B . 【点睛】本题考查平面向量共线定理的推论以及基本不等式的应用，属综合中档题.11．C解析：C 【分析】由1x >，得10x ->，则441111x x x x +=-++--，利用基本不等式，即可求解． 【详解】由题意，因为1x >，则10x ->，所以44111511x x x x +=-++≥=--， 当且仅当411x x -=-时，即3x =时取等号，所以41x x +-的最小值为5，故选C ． 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的使用条件，合理构造是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12．B解析：B 【分析】由圆的方程得圆心和半径，根据圆的周长被分为1:2，可推出圆心到直线的距离为1，即1=，化简整理后，再结合基本不等式的性质可得ab 的最小值，再求出11a b+的最大值． 【详解】把圆222220x y x y +---=化成标准形式为22(1)(1)4x y -+-=，其中圆心为(1,1)，半径为2．设直线与圆交于A 、B 两点，圆心为C ， 因为直线把圆的周长分为1:2，所以13601203ACB ∠=⨯︒=︒， 所以圆心(1,1)C 到直线20ax by +-=的距离为12221a b a b+-=+，因为a ，1b >，所以202()a ab b -++=，由基本不等式的性质可知，22()4ab a b ab +=+， 当且仅当a b =时，等号成立，此时有2(22)ab +，所以21(2)1111122222(22)ab a b a b ab ab ab+++===++=+． 所以11a b +的最大值为22- 故选：B ． 【点评】本题主要考查直线与圆的综合问题，除圆的标准方程、点到直线的距离公式等基础知识外，还涉及利用基本不等式的性质求最值，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．二、填空题13．4【分析】两次应用基本不等式验证等号能同时成立即得【详解】由题意当且仅当即时上述不等式中等号同时成立故答案为：4【点睛】本题考查了基本不等式求最值考查了运算求解能力逻辑推理能力在连续运用基本不等式求解析：4 【分析】两次应用基本不等式，242a a b +≥12b b +≥，验证等号能同时成立即得． 【详解】由题意211a b =+≥，2442a a b +≥===≥， 当且仅当2142b baa b⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即21a b =⎧⎨=⎩时上述不等式中等号同时成立． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了基本不等式求最值，考查了运算求解能力，逻辑推理能力，在连续运用基本不等式求最值时，要注意等号能否同时成立．14．8【分析】由题意利用两个向量垂直的性质基本不等式求得的最大值可得要求式子的最小值【详解】解：向量且若均为正数则当且仅当时取等号则故答案为：8【点睛】本题主要考查两个向量垂直的性质基本不等式的应用属于解析：8 【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，基本不等式，求得xy 的最大值，可得要求式子的最小值． 【详解】 解：向量(2,1)a y =-，(,3)b x =，且a b ⊥，∴23(1)0a b x y =+-=．若x ，y 均为正数，则23326x y xy +=，38xy ∴，当且仅当3232x y ==时，取等号． 则32233838y xx y xy++==， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查两个向量垂直的性质，基本不等式的应用，属于中档题．15．【分析】先根据点的关系确定mn 再根据基本不等式确定最小值最后根据最小值取法确定双曲线的离心率【详解】设则因此当且仅当时取等号所以离心率是故答案为：【点睛】本题考查双曲线离心率和基本不等式求最值的简单 【分析】先根据点的关系确定mn ，再根据基本不等式确定最小值，最后根据最小值取法确定双曲线的离心率. 【详解】设11(,)P x y ，则 22111222111y y y b mn x a x a x a a =⋅==+--，因此3b a+3b a a b =+≥= 当且仅当3a b 时取等号,所以离心率是c e a ===.【点睛】本题考查双曲线离心率和基本不等式求最值的简单综合问题，属于基础题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式ce a=求解；2.公式法：c e a ===3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程.16．2【分析】首先根据题意得到从而得到即再根据恒成立即可得到的最大值【详解】因为所以所以即解得因为恒成立所以即所以的最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式同时考查了不等式的恒成立问题属于中档题解析：2 【分析】首先根据题意得到()228x y xy +≤，从而得到()8622x y y x≤+++，即224x y ≤+≤，再根据2m x y ≤+恒成立，即可得到m 的最大值.【详解】因为0x >，0y >，所以()()22221122248x y x y xy x y ++=⋅≤⨯=， 所以()()()22122862222228y x y x x y x y x y x y x y xy y x x y ++=+++=++≥++=++++. 即()8622x y y x≥+++， ()()226280x y x y +-++≤，解得224x y ≤+≤.因为2m x y ≤+恒成立，所以()min 2m x y ≤+，即2m ≤. 所以m 的最大值为2. 故答案为：2 【点睛】本题主要考查基本不等式，同时考查了不等式的恒成立问题，属于中档题.17．；【分析】由平面向量数量积的运算可知再根据平面向量的线性运算可分别得到故由基本不等式的性质可知将所得结论均代入的表达式即可得解【详解】解：根据题意作出如下图形由基本不等式的性质可知的最大值为故答案为解析：4233--； 【分析】由平面向量数量积的运算可知23CA CB =，再根据平面向量的线性运算可分别得到1()2CM CA CB =+，1(2)3NC CA CB =-+，故221(23)6CM NC CA CB CA CB =-++，由基本不等式的性质可知，22222||||CA CB CA CB +，将所得结论均代入CM NC 的表达式即可得解． 【详解】解：根据题意，作出如下图形，6C π=，||||4CA CB =，∴4cos236CA CB π=⨯=AM BM =，∴1()2CM CA CB =+，2BN AN =，∴111()(2)333NC AC AN AC AB CA CB CA CA CB =-=-=---=-+，∴22111()[(2)](23)236CM NC CA CB CA CB CA CB CA CB =+-+=-++，由基本不等式的性质可知，222222||||22||||82CA CB CA CB CA CB +=+=，∴142(82323)36CM NC -⨯⨯=∴CM NC 的最大值为423-故答案为：423- 【点睛】本题考查平面向量的线性运算和数量积运算、基本不等式的性质，熟练掌握平面向量的加法、减法、数乘和数量积的运算法则是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18．【分析】分和两种情况讨论结合题可得出关于实数的不等式组由此可解得实数的取值范围【详解】当时可得或①当时可得合乎题意；②当时可得解得不合乎题意；当时由题意可得解得综上所述实数的取值范围是故答案为：【点 解析：1,19【分析】分2450m m +-=和2450m m +-≠两种情况讨论，结合题可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】当2450m m +-=时，可得1m =或5m =-. ①当1m =时，可得30>，合乎题意；②当5m =-时，可得2430x +>，解得18x >-，不合乎题意；当2450m m +-≠时，由题意可得()()22245016112450m m m m m ⎧+->⎪⎨∆=--+-<⎪⎩，解得119m <<.综上所述，实数m 的取值范围是1,19. 故答案为：1,19. 【点睛】本题考查利用一元二次不等式在实数集上恒成立求参数，考查计算能力，属于中等题.19．9【分析】将题目所给不等式分离常数利用基本不等式求得的最大值【详解】由得恒成立而故所以的最大值为【点睛】本小题主要考查不等式恒成立问题求解策略考查利用基本不等式求最值考查化归与转化的数学思想方法属于解析：9. 【分析】将题目所给不等式分离常数m ，利用基本不等式求得m 的最大值. 【详解】 由212m a b a b +≥+得()212m a b a b ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭恒成立，而()212225a b a b a b b a ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭5549≥+=+=，故9m ≤，所以m 的最大值为9. 【点睛】本小题主要考查不等式恒成立问题求解策略，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.20．【分析】求出设（当且仅当时成立）求出的最小值即可【详解】解：设（当且仅当时成立）的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了基本不等式的性质考查转化思想属于中档题解析：23【分析】求出23154a M a a =-++，设254445259a a N a a a a a++==+++=（当且仅当2a =时“=”成立），求出M 的最小值即可． 【详解】 解：2ab =，0a >，0b >，2b a∴=， 21111114311411211414541a a M a b a a a a a a a a∴=+=+=+=+-=-++++++++++，设254445259a a N a a a a a++==+++=（当且仅当2a =时“=”成立）， 1109N ∴<，1303N--<，23113N -<， 11112M a b ∴=+++的最小值为23， 故答案为：23． 【点睛】本题考查了基本不等式的性质，考查转化思想，属于中档题．三、解答题21．（1）13；（2）11,103⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】 （1）由题意可得32-、1是方程2210kx kx +-=的两个根，利用两根之积列方程即可求解；（2）方程()0f x =在[]12，有解，可得212k x x=+在[]12，有解，利用二次函数的性质求出22y x x =+的范围，即可求解. 【详解】（1）因为2210kx kx +-<的解集是3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以32-、1是方程2210kx kx +-=的两个根， 由根与系数的关系可得：31122k -⨯=-，解得：13k =， （2）因为方程()0f x =在[]12，有解， 所以2210kx kx +-=在[]12，有解， 212k x x=+在[]12，有解， 因为22y x x =+对称轴为14x =-，在[]12，上单调递增， 所以[]223,10y x x =+∈，可得2111,2103k x x ⎡⎤=∈⎢⎥+⎣⎦，所以实数k 的取值范围11,103⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解22．（1）x 的取值范围为06x <≤；（2）a 的最大值为6.5． 【分析】（1）由题意得()()0.1510.25100.1510x x +-≥⨯，解不等式可得结果；（2）由题意得()()()0.150.8750.1510.2510a x x x x -≤+-恒成立，分离出参数a 得510 1.58x a x ≤++恒成立，只要利用基本不等式求出5108x x +的最小值即可 【详解】 解：（1）由题意，得()()0.1510.25100.1510x x +-≥⨯， 整理得260x x -≤，解得06x ≤≤，又0x >，故06x <≤． （2）由题意知网店销售的利润为()0.150.875a x x -万元， 技术指导后，养羊的利润为()()0.1510.2510x x +-万元， 则()()()0.150.8750.1510.2510a x x x x -≤+-恒成立，又010x <<，∴5101.58x a x≤++恒成立， 又51058x x+≥，当且仅当4x =时等号成立， ∴0 6.5a <≤，即a 的最大值为6.5．答：（1）x 的取值范围为06x <≤；（2）a 的最大值为6.5．【点睛】关键点点睛：此题考查利用数学知识解决实际问题，考查不等式的解法，第2问解题的关键是由()()()0.150.8750.1510.2510a x x x x -≤+-恒成立，转化为5101.58x a x≤++恒成立，然后利用基本不等式求5108x x+的最小值即可，属于中档题 23．无 24．无 25．无 26．无。
人教版高中数学必修1第二章单元测试卷(一)- Word版含答案
抖音:学生笔记本2018-2019学年必修一第二章训练卷学校: 班级: 姓名注意事项：12．选择题的作答：每小题选出答案后，用34一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数ln 1x y +=定义域为（ ） A ．()4,1--B ．()4,1-C ．(2．已知log 92a ＝-，则a 的值为（ ） A ．3-B ．13-C ．33．2log =（ ） A ．0B ．D ．62log 34．已知函数()e 1ln x f x x⎧-=⎨⎩）A ．0B ．D ．25．已知集合2log |{A y y x ＝＝A B ＝（ ） A ．1{|0}2y y <<B ．{}2D ．∅6．设05log 06a ．＝．，11log 06b ．＝．，0611c ．＝．，则（ ） c D ．c a b <<) D ．不存在y x ＝对称 轴对称）11．函数()log (1)x a f x a x ＝＋＋在[]0,1上的最大值与最小值和为a ，则a 的值为（ ） A ．14B ．12C ．2D ．412．已知函数()f x 满足：当4x ≥时，1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；当4x <时，()()1f x f x ＝＋，则22lo )g 3(f ＋＝（ ） A ．124B ．112 C ．18D ．38此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20线上）13．幂函数()f x 的图象过点14,2⎛⎫⎪⎝⎭，那么()8f ＝________．14．若01a <<，1b <-，则函数()x f x a b ＝＋的图象不经过第15．已知m 为非零实数，若函数ln 11m y x ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭m ＝________．16．对于下列结论：①函数2()R x y a x ∈＋＝的图象可以由函数01(x y a a a >≠＝，且②函数2xy ＝与函数2log y x ＝的图象关于y 轴对称； ③方程255()log 21log 2()x x ＋＝－的解集为{}1,3-； ④函数()(n )l 1ln 1y x x -=+-为奇函数．其中正确的结论是________．(把你认为正确结论的序号都填上三、解答题（本大题共6个小题，共70算步骤）17．(10分)计算下列各式： （1）10 220.5312+22 (0.01)54--⎛⎫⎛⎫⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）0.5271020.12927-⎛⎫⎛++ ⎪⎝⎭⎝lg1．抖音:学生笔记本19．(12分)已知,2[]3x∈-，求11()142x xf x=-+20．(12分)已知函数22x xy b a+＋＝（a，b是常数，且0a>，1a≠）在区间3,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦21．(12分)设a ，R b ∈，且2a ≠，定义在区间()b b -，内的函数1()lg 12axf x x+=+是奇函数．（1）求b 的取值范围； （2）讨论函数()f x 的单调性．22．(12分)设()()1 2log 10f x ax -＝，a 为常数．若()32f ＝-．（1）求a 的值；（2）求使()0f x ≥的x 的取值范围；（3）若对于区间[]3,4上的每一个x 的值，不等式1()2xf x m ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围．2018-2019学年必修一第二章训练卷基本初等函数（一）答一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】C【解析】∵10x +>，10x ->，∴11x -<<．故选C ． 2．【答案】D【解析】∵log 92a ＝-，∴22193a --⎛⎫== ⎪⎝⎭，且0a >，∴13a =3．【答案】B【解析】原式666log 2log 3log 61＝＋＝＝．故选B ． 4．【答案】B【解析】∵0ln21<<，∴()ln 2ln 2e 1211f =-=-=．故选B 5．【答案】A【解析】∵1x >，∴2log 0y x >＝，即{}|0A y y >＝．又1x >∴1122xy ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，即1{|0}2B y y =<<．∴1{|0}2AB y y =<<6．【答案】C【解析】∵050505log 1log 06log 05<<．．．．．，∴01a <<．11log 06．．即0b <．061.11>．．011＝，即1c >．∴b a c <<．故选C ．7．【答案】B 【解析】函数122xy -⎛⎫== ⎪⎝⎭12x⎫⎪⎭，递减．故2xy -＝8．【答案】D【解析】函数()f x ()x ，则函数()f x 9．【答案】D【解析】当0x >时，22log log xy x x ==，D ． ∴函数()f x 的1log 2a a a ＋＝，得12a =． 22log 24log 164>＝， 21log 2412=24， 13． 【解析】设()f x x α＝，将14,2⎛⎫⎪⎝⎭代入，求得12α=-．则12() f x x =，所以12(8)8f =． 14．【答案】一【解析】定义域是R ，函数()f x 的大致图象如图1所示，当0x <时，1x a >，则1x a b b >＋＋，由于1b <-，则10b <＋，则函数()f x 的图象经过第二、三象限；当0x ≥时，01x a <≤，则10x b a b b <≤<＋＋，则函数()f x 的图象经过第四象限，不经过第一象限．图115．【答案】2-【解析】由图象关于原点中心对称可知函数ln 11m y x ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭即有ln 1ln 111m m x x ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭对于定义域内任意x 化简并整理得()20m m ＋＝，因为m 为非零实数，因此解得m ＝16．【答案】①④【解析】2x y a ＋＝的图象可由x y a ＝的图象向左平移22x y ＝与2log y x ＝的图象关于直线y x ＝对称，②错误；由255()log 21log 2()x x ＋＝－得2221221020x x x x ⎧+=-⎪->⎨⎪->⎩∴1,312x x x x ⎧=-⎪⎪>-⎨⎪⎪><⎩或∴3x ＝．③错误；设()()()ln 1ln 1f x x x -+-＝，定义域为()1,1-，关于原点对称，()()()()[ln 1ln 1ln 1()l 1()]n f x x x x x f x -++----＝＝-＝-．∴()f x 是奇函数，④正确．故正确的结论是①④．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．【答案】（1）16；（2）100． ．3532444＝＋＝． 所以，当1x ＝-时，min 1u ＝-；当0x ＝时，max 0u ＝． 当01a <<时，满足10352a b a b -⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，即2332a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 当1a >时，满足10523a b a b -⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，即22a b =⎧⎨=⎩， 综上：23a =，32b =，或2a =，2b =．21．【答案】（1）10,2⎛⎤⎥⎝⎦；（2）见解析．【解析】（1）1()lg()12ax f x b x b x+=-<<+是奇函数等价于：对任意()x b b ∈-，都有()()1012f x f x axx⎧-=-⎪⎨+>⎪+⎩①②①式即为112lg=lg 121ax x x ax -+-+，由此可得112=121ax xx ax-+-+，也即2a x 此式对任意()xb b ∈-，都成立相当于24a ＝，因为2a ≠，所以代入②式，得12>012x x -+，即1122x -<<，此式对任意(x b b ∈-，1122b b -≤-<≤，所以b 的取值范围是10,2⎛⎤⎥⎝⎦． （2）设任意的1x ，2()x b b -∈，，且12x x <，由10,2b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，得121122b x x b -≤-<<<≤，所以2101212x x <-<-，012<+从而()()()()()()212121221112121212lglg lg 12121212x x x x x x x x f x f x -+----=<+++-＝因此()f x 在()b b -，内是减函数，具有单调性．22．【答案】（1）2；（2）9,52x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；（3）178m <-．【解析】（1）∵()32f ＝-，∴()1 2log 102ax -＝-．即103a -=（2）∵()(1 2log 10x f x a -＝，∴9,52x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．（3）设()()1 2=log 10ax g x -[]3,4上恒成立，∵()g x 在[]3,4。
人教版高中数学高一必修一：第二章单元质量评估2_word版有答案
第二章单元质量评估(二)时限：120分钟 满分：150分一、选择题(每小题5分，共60分) 1.(lg9－1)2的值等于( ) A ．lg9－1 B ．1－lg9 C ．8D ．2 22．下列函数中，在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝log2xC ．y ＝2xD ．y ＝2x 2＋x ＋13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤0，log 2x ，x >0，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18的值为( )A ．27 B.127 C ．－27D ．－1274．函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图象大致是( )5．已知a ＝212，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.5，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a6．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )7．一种放射性元素，每年的衰减率是8%，那么a kg 的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间)t 等于( )A ．lg 0.50.92B ．lg 0.920.5 C.lg0.5lg0.92D.lg0.92lg0.58．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A ．y ＝e －x B ．y ＝x 3 C ．y ＝ln xD ．y ＝|x |9．已知b >0，log 5b ＝a ，lg b ＝c,5d ＝10，则下列等式一定成立的是( ) A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝adD ．d ＝a ＋c10．已知f (x )是偶函数，它在(0，＋∞)上是减函数，若f (lg x )>f (1)，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫110，1 B.⎝⎛⎭⎪⎫0，110∪(1，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫110，10 D ．(0,1)∪(1，＋∞)11．函数f (x )＝log 2|2x －1|的图象大致是( )12．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，设a ＝f (log 26)，b ＝f (log 123)，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <b <aB ．b <c <aC ．b <a <cD ．a <b <c二、填空题(每小题5分，共20分) 13．已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________.14．已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝________.15．函数y ＝log a (2x －3)＋4的图象恒过定点M ，且点M 在幂函数f (x )的图象上，则f (3)＝________.16．已知0<x <y <1，且有以下关系：①3y>3x；②log x 3>log y 3；③⎝ ⎛⎭⎪⎫13y >⎝ ⎛⎭⎪⎫13x；④log 4x <log 4y ；⑤log 14x <log 4y .其中正确的关系式的序号是________．答案1．B 因为lg9<lg10＝1，所以(lg9－1)2＝|lg9－1|＝1－lg9.故选B. 2．C 函数y ＝2x 为(0，＋∞)上的减函数．故选C.3．B f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝log 218＝－3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝f (－3)＝3－3＝127. 4．A 函数过定点(0,0)，排除选项B 、D ，又f (－x )＝ln(x 2＋1)＝f (x )，所以f (x )为偶函数，排除选项C.故选A.5．A ∵a ＝212，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.5＝2 12＝2>1.∴a >b >1.又c ＝2log 52＝log 54<1， 因此a >b >c .6．D 若a >1，则函数g (x )＝log a x 的图象过点(1,0)，且单调递增，但当x ∈[0,1)时，y ＝x a 的图象应在直线y ＝x 的下方，故C 选项错误；若0<a <1，则函数g (x )＝log a x 的图象过点(1,0)，且单调递减，函数y ＝x a (x ≥0)的图象应单调递增，且当x ∈[0,1)时图象应在直线y ＝x 的上方，因此A ，B 均错，只有D 项正确．7．C 设t 年后剩余量为y kg ，则y ＝(1－8%)ta ＝0.92ta .当y ＝12a 时，12a ＝0.92ta ，所以0.92t＝0.5，则t ＝log 0.920.5＝lg0.5lg0.92.8．B A 项，函数y ＝e －x 为R 上的减函数； B 项，函数y ＝x 3为R 上的增函数； C 项，函数y ＝ln x 为(0，＋∞)上的增函数；D 项，函数y ＝|x |在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数． 故只有B 项符合题意，应选B. 9．B 由log 5b ＝a ，得lg blg5＝a ； 由5d ＝10，得d ＝log 510＝lg10lg5＝1lg5， 又lg b ＝c ，所以cd ＝a .故选B.10．C 由于f (x )是偶函数且在(0，＋∞)上是减函数，所以f (－1)＝f (1)，且f (x )在(－∞，0)上是增函数，应有⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－1<lg x <1，解得110<x <10.选C. 11．C 当0<x <1时，f (x )＝log 2(2x －1)为增函数，排除A.当x <0时，f (x )＝log 2(－2x ＋1)<0且为减函数．故选C.12．A 由f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，则f (x )在[0，＋∞)上是增函数，由b ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫log 12 3＝f (－log 23)＝f (log 23)，由0<13<log 23<log 26，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (log 23)<f (log 26)，即c <b <a .故选A.13.10解析：由4a＝2，可得a ＝log 42＝12.所以lg x ＝12，即x ＝10 12＝10.14．2解析：由已知可得，lg(ab )＝1，故f (a 2)＋f (b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝lg(a 2b 2)＝2lg(ab )＝2×1＝2.15．9解析：当2x －3＝1时y ＝4.即函数y ＝log a (2x －3)＋4图象恒过定点M (2,4)，又M 在幂函数f (x )图象上，设f (x )＝x m ，则4＝2m ，解得m ＝2，即f (x )＝x 2，则f (3)＝32＝9.16．①②④解析：∵3>1，y >x ，∴3y >3x ，故①正确． 由对数函数的图象知②正确； 由①正确知③不正确； ∵4>1，x <y ，∴log 4x <log 4y ，故④正确；log 14 x >0，log 4y <0，∴log 12x >log 4y ，故⑤不正确．————————————————————————————三、解答题(写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共70分)17．(10分)计算： (1)⎝⎛⎭⎪⎫21412 －(－0.96)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫338－ 23 ＋1.5－2＋[(－32)－4]－ 34 ；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg25÷100－ 12＋7log 72＋1.18.(12分)已知函数f (x )＝x m－2x 且f (4)＝72.(1)求m 的值； (2)判定f (x )的奇偶性；(3)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．答案17.解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫94 12 －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫278－ 23 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＋[(32)－4]－ 34＝32－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＋(32)3＝12＋2＝52.(2)原式＝－(lg4＋lg25)÷100－ 12＋14＝－2÷10－1＋14＝－20＋14＝－6. 18．解：(1)因为f (4)＝72， 所以4m－24＝72，所以m ＝1.(2)由(1)知f (x )＝x －2x ，所以函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又f (－x )＝－x ＋2x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x ＝－f (x )．所以函数f (x )是奇函数．(3)函数f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数，证明如下：设x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－2x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 2 ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫1＋2x 1x 2， 因为x 1>x 2>0，所以x 1－x 2>0,1＋2x 1x 2>0.所以f (x 1)>f (x 2)．所以函数f (x )在(0，＋∞)上为单调增函数．———————————————————————————— 19．(12分)设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，且a ≠1)，f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值和最小值．20.(12分)若函数y ＝f (x )＝a ·3x －1－a3x －1为奇函数．(1)求a 的值； (2)求函数的定义域； (3)求函数的值域．答案19.解：(1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2， ∵a >0，且a ≠1，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得x ∈(－1,3)． 故函数f (x )的定义域为(－1,3)．(2)∵由(1)知，f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数．∴函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2.∵函数y ＝－(x －1)2＋4的图象的对称轴是x ＝1，∴f (0)＝f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，∴函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最小值为f (0)＝log 23.20．解：∵函数y ＝f (x )＝a ·3x －1－a 3x －1＝a －13x －1.(1)由奇函数的定义，可得f (－x )＋f (x )＝0， 即2a －13x －1－13－x －1＝0，∴a ＝－12.(2)∵y ＝－12－13x －1，∴3x －1≠0，即x ≠0.∴函数y ＝－12－13x －1的定义域为{x |x ≠0}．(3)∵x ≠0，∴3x －1>－1.∵3x －1≠0，∴－1<3x －1<0或3x －1>0， ∴－12－13x －1>12或－12－13x －1<－12.故函数的值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪y >12或y <－12. ———————————————————————————— 21．(12分)已知函数f (x )＝2x 2－4x ＋a ，g (x )＝log a x (a >0且a ≠1)． (1)若函数f (x )在[－1,2m ]上不具有单调性，求实数m 的取值范围； (2)若f (1)＝g (1)． ①求实数a 的值；②设t 1＝12f (x )，t 2＝g (x )，t 3＝2x ，当x ∈(0,1)时，试比较t 1，t 2，t 3的大小．(12分)设函数f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫1＋x 1－ax (a ∈R )，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1. (1)求f (x )的解析式；(2)g (x )＝log 21＋x k ，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23时，f (x )≤g (x )有解，求实数k 的取值集合．答案21.解：(1)因为抛物线y ＝2x 2－4x ＋a 开口向上，对称轴为x ＝1， 所以函数f (x )在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增， 因为函数f (x )在[－1,2m ]上不单调，所以2m >1，得m >12，所以实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.(2)①因为f (1)＝g (1)，所以－2＋a ＝0，所以实数a 的值为2.②因为t 1＝12f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，t 2＝g (x )＝log 2x ，t 3＝2x ，所以当x ∈(0,1)时，t 1∈(0,1)，t 2∈(－∞，0)，t 3∈(1,2)，所以t 2<t 1<t 3. 22．解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝log 21－131＋a 3＝－1，∴231＋a 3＝12，即43＝1＋a 3，解得a ＝1.∴f (x )＝log 21＋x1－x .(2)∵log 21＋x 1－x ≤log 21＋xk＝2log 21＋x k ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x k 2，∴1＋x1－x ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x k 2.易知f (x )的定义域为(－1,1)，∴1＋x >0,1－x >0，∴k 2≤1－x 2.令h (x )＝1－x 2，则h (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上单调递减， ∴ h (x )max ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34.∴只需k 2≤34. 又由题意知k >0，∴0<k ≤32.【…、￥。
高中数学必修一单元质量评估卷及答案解析
高中数学必修一单元质量评估(一)(第一章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.集合A={0,1,2},B={x|-1<x<2},则A∩B=( )A.{0}B.{1}C.{0,1}D.{0,1,2}【解析】选C.因为A={0,1,2},B={x|-1<x<2},所以A∩B={0,1}.2.(2015·天津高一检测)设集合M={2,0,x},集合N={0,1},若N⊆M,则x的值为( ) A.2 B.0C.1D.不确定【解析】选C.因为N⊆M,所以集合N中元素均在集合M中,所以x=1.3.在下列由M到N的对应中构成映射的是( )【解析】选C.选项A中,集合M中的数3在集合N中没有数与之对应,不满足映射的定义;选项B中,集合M中的数3在集合N中有两个数a,b与之对应;选项D 中,集合M中的数a在集合N中有两个数1,3与之对应,不满足映射的定义.4.已知函数f(x)=ax3+bx(a≠0),满足f(-3)=3,则f(3)= ( )A.2B.-2C.-3D.3【解析】选 C.方法一:f(-3)=a(-3)3+b(-3)=-33a-3b=-(33a+3b)=3,所以33a+3b=-3.f(3)=33a+3b=-3.方法二:显然函数f(x)=ax3+bx为奇函数,故f(3)=-f(-3)=-3.【补偿训练】已知y=f(x)是偶函数,且f(4)=5,那么f(4)+f(-4)的值为( ) A.5 B.10C.8D.不确定【解析】选B.因为f(x)是偶函数,所以f(-4)=f(4)=5,所以f(4)+f(-4)=10. 5.已知一次函数y=kx+b为减函数,且kb<0,则在直角坐标系内它的大致图象是( )【解析】选A.选项A图象为减函数,k<0,且在y轴上的截距为正,故b>0,满足条件,而B,C,D均不满足条件.6.若f(x)=则f的值为( )A.-B.C.D.【解析】选C.因为<1,所以应代入f(x)=1-x2,即f=1-=.7.若f(g(x))=6x+3,且g(x)=2x+1,则f(x)= ( )A.3B.3xC.6x+3D.6x+1【解析】选B.由f(g(x))=f(2x+1)=6x+3=3(2x+1),知f(x)=3x.8.(2015·西城区高一检测)下列四个图形中,不是以x为自变量的函数的图象是( )【解析】选 C.由函数定义知,定义域内的每一个x都有唯一函数值与之对应,A,B,D选项中的图象都符合;C项中对于大于零的x而言,有两个不同的值与之对应,不符合函数定义.9.已知集合A={x|x2+x+1=0},若A∩R=∅,则实数m的取值范围是( )A.m<4B.m>4C.0<m<4D.0≤m<4【解析】选D.因为A∩R=∅,所以A=∅,即方程x2+x+1=0无解,所以Δ=()2-4<0,所以m<4.又因为m≥0,所以0≤m<4.10.(2015·赣州高一检测)函数f(x)=|x|和g(x)=x(2-x)的单调递增区间分别是( ) A.(-∞,0]和(-∞,1] B.(-∞,0]和[1,+∞)C.[0,+∞)和(-∞,1]D.[0,+∞)和[1,+∞)【解析】选 C.函数f(x)=|x|的单调递增区间为[0,+≦),函数g(x)=x(2-x)=-(x-1)2+1的单调递增区间为(-≦,1].11.对于任意两个正整数m,n,定义某种运算“※”如下:当m,n都为正偶数或正奇数时,m※n=m+n;当m,n中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m※n=mn.则在此定义下,集合M={(a,b)|a※b=12,a∈N*,b∈N*}中的元素个数是( )A.10个B.15个C.16个D.18个【解析】选B.若a,b同奇偶,有12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7=6+6,前面的每种可以交换位置,最后一种只有1个点(6,6),这时有2〓5+1=11;若a,b一奇一偶,有12=1〓12=3〓4,每种可以交换位置,这时有2〓2=4, 所以共有11+4=15个.12.(2015·西安高一检测)设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(1)=0,则使<0的x的取值范围为( )A.(-1,0)∪(1,+∞)B.(-∞,-1)∪(0,1)C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.(-1,0)∪(0,1)【解析】选 D.由f(x)为奇函数,可知=<0.而f(1)=0,则f(-1)=-f(1)=0.又f(x)在(0,+≦)上为增函数,所以当0<x<1时,f(x)<0=f(1),此时<0;又因为f(x)为奇函数,所以f(x)在(-≦,0)上为增函数,所以当-1<x<0时,f(x)>0=f(-1),此时<0,即所求x的取值范围为(-1,0)∪(0,1).二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2015·开封高一检测)已知集合A={x|1≤x<2},B={x|x<a},若A∩B=A,则实数a的取值范围是.【解析】因为A∩B=A,所以A B,所以a≥2.答案:a≥214.已知a是实数,若集合{x|ax=1}是任何集合的子集,则a的值是.【解析】若集合{x|ax=1}是任何集合的子集,则它是空集,即方程ax=1无解,所以a=0.答案:015.已知f(x)为偶函数,则f(x)=x1,1x0, ______,0x 1.+-⎧⎨⎩≤≤≤≤【解析】当x∈[0,1]时,-x∈[-1,0],f(-x)=-x+1,又因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=1-x.答案:1-x16.定义在R上的奇函数f(x)为减函数,若a+b≤0,给出下列不等式:①f(a)f(b)≤0;②f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b);③f(b)f(-b)≤0;④f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).其中正确的是.(把你认为正确的不等式的序号全写上).【解析】若a+b≤0,则a≤-b,b≤-a,又因为f(x)为R上递减的奇函数,所以f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a),所以f(a)+f(b)≥f(-a)+ f(-b),④正确;又因为f(-b)=-f(b),所以f(b)f(-b)=-f(b)f(b)≤0,③正确.其余错误.答案:③④三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)设全集为R,集合A={x|3≤x<6},B={x|2<x<9}.(1)分别求A∩B,(ðB)∪A.R(2)已知C={x|a<x<a+1},若C⊆B,求实数a取值构成的集合.【解析】(1)A∩B={x|3≤x<6}.因为ðB={x|x≤2或x≥9},R所以(ðB)∪A={x|x≤2或3≤x<6或x≥9}.R(2)因为C⊆B,如图所示:所以解得2≤a≤8,所以所求集合为{a|2≤a≤8}.18.(12分)已知函数f(x)=.(1)判断点(3,14)是否在f(x)的图象上.(2)当x=4时,求f(x)的值.(3)当f(x)=2时,求x的值.【解析】(1)因为f(x)=,所以f(3)==-,所以点(3,14)不在f(x)的图象上.(2)f(4)==-3.(3)令=2,即x+2=2x-12,解得x=14.19.(12分)若函数f(x)=x2+4x+a的定义域和值域均为[-2,b](b>-2),求实数a,b 的值.【解析】因为函数f(x)的对称轴方程为x=-2,所以函数f(x)在定义域[-2,b](b>-2)上单调递增,所以函数f(x)的最小值为f(-2)=a-4=-2,所以a=2.函数f(x)的最大值为f(b)=b2+4b+2=b.所以b2+3b+2=0,解得b=-1或b=-2(舍去),所以b=-1.20.(12分)(2015·烟台高一检测)已知函数f(x)=ax+b,且f(1)=2,f(2)=-1.(1)求f(m+1)的值.(2)判断函数f(x)的单调性,并用定义证明.【解析】(1)由f(1)=2,f(2)=-1,得a+b=2,2a+b=-1,即a=-3,b=5,故f(x)=-3x+5,f(m+1)=-3(m+1)+5=-3m+2.(2)函数f(x)在R上单调递减,证明如下:任取x1<x2(x1,x2∈R),则f(x2)-f(x1)=(-3x2+5)-(-3x1+5)=3x1-3x2=3(x1-x2),因为x1<x2,所以f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1),所以函数f(x)在R上单调递减.【拓展延伸】定义法证明函数单调性时常用变形技巧(1)因式分解:当原函数是多项式函数时,作差后的变形通常进行因式分解.(2)通分:当原函数是分式函数时,作差后往往进行通分,然后对分子进行因式分解.(3)配方:当原函数是二次函数时,作差后可考虑配方,便于判断符号.21.(12分)(2015·葫芦岛高一检测)已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0,又f(1)=-2.(1)判断f(x)的奇偶性.(2)求证:f(x)为R上的减函数.(3)求f(x)在区间[-3,3]上的值域.【解析】(1)取x=y=0,则f(0+0)=2f(0),所以f(0)=0.取y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x),所以f(-x)=-f(x)对任意x∈R恒成立,所以f(x)为奇函数.(2)任取x1,x2∈(-≦,+≦),且x1<x2,则x2-x1>0,f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0,所以f(x2)<-f(-x1),又f(x)为奇函数,所以f(x1)>f(x2),所以f(x)是R上的减函数.(3)由(2)知f(x)在R上为减函数,所以对任意x∈[-3,3],恒有f(3)≤f(x)≤f(-3),因为f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=-2〓3=-6,所以f(-3)=-f(3)=6,所以f(x)在[-3,3]上的值域为[-6,6].22.(12分)定义在(-1,1)上的函数f(x)满足:①对任意x,y∈(-1,1),都有f(x)+f(y)=f;②f(x)在(-1,1)上是单调递减函数,f=-1.(1)求f(0)的值.(2)求证:f(x)为奇函数.(3)解不等式f(2x-1)<1.【解题指南】(1)结合已知等式利用赋值法求解.(2)利用赋值法并结合奇偶性定义判断.(3)结合(2)的结论及已知条件得f=1,再利用奇偶性和单调性脱去符号“f”,转化为一次不等式求解.【解析】(1)令x=y=0,得2f(0)=f(0),所以f(0)=0.(2)令y=-x,得f(x)+f(-x)=f(0)=0,即f(x)=-f(-x),所以f(x)为奇函数.(3)因为f=-1,f(x)为奇函数,所以f=1,所以不等式f(2x-1)<1等价于f(2x-1)<f,又因为f(x)在(-1,1)上是减函数,所以2x-1>-,-1<2x-1<1,解得<x<1.所以不等式的解集为.【误区警示】解答本题(3)时易忽视函数定义域而得出解集为的错误.单元质量评估(二)(第二章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.可用分数指数幂表示为( )A. B.a3C. D.都不对【解析】选C.====.故选C.2.(2015·怀柔高一检测)指数函数y=a x的图象经过点,则a的值是( )A. B. C.2 D.4【解析】选B.因为y=a x的图象经过点,所以a3=,解得a=.3.等于( )A.2B.2+C.2+D.1+【解析】选A.=2〓=2.4.若100a=5,10b=2,则2a+b= ( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.因为100a=102a=5,10b=2,所以100a〓10b=102a+b=5〓2=10,即2a+b=1.【一题多解】选B.由100a=5得a=log1005,由10b=2得b=lg2,所以2a+b=2〓lg5+lg2=1.5.(2015·塘沽高一检测)(log29)·(log34)= ( )A. B. C.2 D.4【解析】选D.(log29)·(log34)=·=·=4.【补偿训练】对数式lo(2-)的值是( )A.-1B.0C.1D.不存在【解析】选A.lo(2-)=lo=lo(2+)-1=-1.6.已知-1<a<0,则( )A.(0.2)a<<2aB.2a<<(0.2)aC.2a<(0.2)a<D.<(0.2)a<2a【解析】选 B.由-1<a<0,得0<2a<1,(0.2)a>1,>1,知A,D不正确.当a=-时,=<=0.,知C不正确.所以2a<<(0.2)a.【补偿训练】(2014·邢台高一检测)设a=lo3,b=,c=,则a,b,c的大小顺序为( )A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c【解析】选A.因为a=lo3<lo1=0,即a<0,0<b=<=1,即0<b<1,而c=>20=1,即c>1,所以a<b<c,选A.7.(2015·重庆高一检测)设函数y=x3与y=的图象的交点为(x0,y0),则x0所在的区间为( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【解析】选B.作出两个函数在同一坐标系内的图象如图所示,即可观察得出.8.若函数y=f的定义域是[2,4],则y= f lo x的定义域是( )A. B.C.[4,16]D.[2,4]【解析】选B.由于2≤lo x≤4,即lo≤lo x≤lo,所以≤x≤,故选B.【误区警示】本题易误认为函数y= f中的变量x也应在[2,4]上从而造成错选D.9.已知函数y=f(x)的反函数f-1(x)=lo x,则方程f(x)=1的解集是( )A. B. C. D.【解析】选D.f-1(x)=lo x,则f(x)=,f(x)=1可得x=0.【一题多解】选D.f(x)=1根据互为反函数的性质得x=f-1(1)=lo1=0.10.(2015·邢台高一检测)已知f(10x)=x,则f(5)= ( )A.105B.510C.lg 10D.lg 5【解题指南】利用换元法,先求出函数的解析式,再计算f(5)的值.【解析】选D.令10x=t>0,则x=lgt,故f(t)=lgt,所以函数f(x)=lgx(x>0),故f(5)=lg5.11.(2015·汉中高一检测)如果一个点是一个指数函数与一个对数函数的图象的公共点,那么称这个点为“好点”.在下面的五个点M,N,P,Q, G中,可以是“好点”的个数为( )A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】选 C.设此函数为y=a x(a>0,a≠1),显然不过点M、P,若设对数函数为y=log b x(b>0,b≠1),显然不过N点,故选C.12.已知函数g(x)=2x-,若f(x)=则函数f(x)在定义域内( )A.有最小值,但无最大值B.有最大值,但无最小值C.既有最大值,又有最小值D.既无最大值,又无最小值【解析】选A.当x≥0时,函数f(x)=g(x)=2x-在[0,+≦)上单调递增,设x>0,则-x<0,f(x)=g(x),f(-x)=g(x),则f(-x)=f(x),故函数f(x)为偶函数,综上可知函数f(x)在x=0处取最小值f(0)=1-1=0,无最大值.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.函数y=的定义域是.【解析】因为lo(x-1)≥0,所以0<x-1≤1,所以1<x≤2.答案:(1,2]【补偿训练】函数y=的定义域为.【解析】因为log0.5(4x-3)≥0,所以0<4x-3≤1,所以<x≤1.答案:14.(2015·沈阳高一检测)已知函数f(x)=则f的值为.【解析】因为>0,所以f=log3=log33-2=-2,所以f(-2)=2-2=.答案:15.函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是.【解析】函数f(x)的定义域为,设u=2x+1,f(x)=log5u(u>0)是单调增函数,因此只需求函数u=2x+1的单调增区间,而函数u=2x+1在定义域内单调递增.所以函数f(x)的单调增区间是.答案:16.(2015·通化高一检测)已知函数f(x)=是(-∞,+∞)上的减函数,那么a的取值范围是.【解题指南】由于函数在(-≦,+≦)上是减函数,故此分段函数应在每一段上也为减函数,且当x=1时应有3a-1+4a≥0,以此确定a的值.【解析】由于函数f(x)=是(-≦,+≦)上的减函数,则有,解得≤a<.答案:【延伸探究】若本题将函数改为“f(x)=”且在(-∞,+∞)上是增函数,又如何求解a的取值范围?【解析】由于函数f(x)=是(-≦,+≦)上的增函数,则有:,解得a>1.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)计算:(1)2log32-log3+log38-5log325.(2)log2.56.25+lg+ln(e)+log2(log216).【解析】(1)原式=log34-log3+log38-2=log3-=log39-9=2-9=-7.(2)原式=2-2++log24=.18.(12分)(2015·咸阳高一检测)已知f(x)=log a(1-x)(a>0,且a≠1)(1)求f(x)的定义域.(2)求使f(x)>0成立的x的取值范围.【解析】(1)依题意得1-x>0,解得x<1,故所求定义域为{x|x<1}.(2)由f(x)>0得log a(1-x)>log a1,当a>1时,1-x>1即x<0,当0<a<1时,0<1-x<1即0<x<1.19.(12分)(2014·十堰高一检测)已知函数f=(m2-m-1)是幂函数,且x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,求f(x)的解析式.【解析】因为f(x)是幂函数,所以m2-m-1=1,解得m=-1或m=2,所以f(x)=x-3或f(x)=x3,又易知f(x)=x-3在(0,+≦)上为减函数,f(x)=x3在(0,+≦)上为增函数.所以f(x)=x3.20.(12分)(2015·临沂高一检测)已知f是偶函数,当x≥0时,f=a x,若不等式f≤4的解集为[-2,2],求a的值.【解题指南】由已知先求出x<0的解析式,根据f≤4,利用分段函数分段求解,结合其解集为[-2,2],确定出a的值.【解析】当x<0时,-x>0,f(-x)=a-x,因为f为偶函数,所以f=a-x,所以f=(a>1),所以f≤4化为或,所以0≤x≤log a4或-log a4≤x<0,由条件知log a4=2,所以a=2.21.(12分)设a>0,f(x)=+是R上的偶函数.(1)求a的值.(2)证明f(x)在(0,+∞)上是增函数.【解题指南】(1)根据题意,利用偶函数的定义对一切x∈R有f(-x)=f成立,确定出a的值.(2)利用函数单调性的定义证明.【解析】(1)依题意,对一切x∈R有f(-x)=f成立,即+=+ae x,所以=0,对一切x∈R成立,由此得到a-=0,所以a2=1,又a>0,所以a=1.(2)设0<x1<x2,f-f=-+-=(-)<0,所以f<f,所以f(x)在(0,+≦)上是增函数.22.(12分)(2015·蚌埠高一检测)已知函数f(x)=log a(x+3)-log a(3-x),a>0且a ≠1.(1)求函数f(x)的定义域.(2)判断并证明函数f(x)的奇偶性.(3)若a>1,指出函数的单调性,并求函数f(x)在区间[0,1]上的最大值.【解析】(1)由题得解得-3<x<3,故函数f(x)的定义域为(-3,3).(2)函数f(x)为奇函数,由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称,f(-x)=log a(-x+3)-log a(3+x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.(3)当a>1时,函数f(x)为增函数,从而函数f(x)在区间[0,1]上也为增函数,最大值为f(1)=log a4-log a2=log a2.单元质量评估(三)(第三章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2015·洛阳高一检测)函数f(x)的图象如图所示,函数f(x)零点的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选D.由图象知与x轴有4个交点,则函数f(x)共有4个零点.2.(2015·宜昌高一检测)若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的是( )A.若f(a)f(b)>0,不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0B.若f(a)f(b)<0,存在且只存在一个实数c∈(a,b)使得f(c)=0C.若f(a)f(b)>0,有可能存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0D.若f(a)f(b)<0,有可能不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0【解析】选C.f(a)f(b)<0时,存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0,f(a)f(b)>0时,可能存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0.【补偿训练】下列函数中能用二分法求零点的是( )【解析】选C.在A中,函数无零点,在B和D中,函数有零点,但它们在零点两侧的函数值的符号相同,因此它们都不能用二分法来求零点.而在C中,函数图象是连续不断的,且图象与x轴有交点,并且其零点两侧的函数值异号,所以C中的函数能用二分法求其零点.3.已知方程x=3-lgx,下列说法正确的是( )A.方程x=3-lgx的解在区间(0,1)内B.方程x=3-lgx的解在区间(1,2)内C.方程x=3-lgx的解在区间(2,3)内D.方程x=3-lgx的解在区间(3,4)内【解析】选C.2<3-lg2,3>3-lg3,又f(x)=x+lgx-3在(0,+≦)上是单调递增的,所以方程x=3-lgx的解在区间(2,3)内.4.(2015·长沙高一检测)已知f(x)唯一的零点在区间(1,3),(1,4),(1,5)内,那么下面命题错误的是( )A.函数f(x)在(1,2)或[2,3]内有零点B.函数f(x)在(3,5)内无零点C.函数f(x)在(2,5)内有零点D.函数f(x)在(2,4)内不一定有零点【解析】选C.f(x)唯一的零点在区间(1,3),(1,4),(1,5)内,则区间(1,3)内必有零点,(2,5)内不一定有零点,(3,5)内无零点,所以选C.5.(2015·临川高一检测)设x0是方程lnx+x=4的解,则x0在下列哪个区间内( ) A.(3,4) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)【解析】选D.令f(x)=lnx+x-4,由于f(2)=ln2+2-4<0,f(3)=ln3+3-4>0,f(2)·f(3)<0,又因为函数f(x)在(2,3)内连续,故函数f(x)在(2,3)内有零点,即方程lnx+x=4在(2,3)内有解.6.(2015·新余高一检测)下列方程在区间(0,1)存在实数解的是( )A.x2+x-3=0B.x+1=0C.x+lnx=0D.x2-lgx=0【解题指南】先从好判断的一次方程、二次方程入手,不好求解的利用函数图象的交点进行判断.【解析】选 C.x2+x-3=0的实数解为x=和x=,不属于区间(0,1);x+1=0的实数解为x=-2,不属于区间(0,1);x2-lgx=0在区间(0,1)内无解,所以选C,图示如下:7.(2015·郑州高一检测)函数f(x)=3x-log2(-x)的零点所在区间是( )A. B.(-2,-1)C.(1,2)D.【解题指南】本题如果注意到定义域可排除C,D选项,用f(a)·f(b)<0去验证B 选项即可得到答案.【解析】选 B.f(x)=3x-log2(-x)的定义域为(-≦,0),所以C,D不能选;又f(-2)·f(-1)<0,且f(x)在定义域内是单调递增函数,故零点在(-2,-1)内. 【补偿训练】在下列区间中,函数f(x)=e x+4x-3的零点所在的区间为( ) A. B.C. D.【解析】选C.将选项代入f(x)=e x+4x-3.检验f f=(-2)(-1)<0,且f(x)=e x+4x-3的图象在上连续不断,故选C.8.某种型号的手机自投放市场以来,经过两次降价,单价由原来的2000元降到1280元,则这种手机的价格平均每次降低的百分率是( )A.10%B.15%C.18%D.20%【解析】选D.设平均每次降低的百分率为x,则2000(1-x)2=1280,解得x=0.2,故平均每次降低的百分率为20%.9.向高为H的圆锥形漏斗注入化学溶液(漏斗下方口暂时关闭),注入溶液量V与溶液深度h的函数图象是( )【解析】选A.注入溶液量V随溶液深度h的增加增长越来越快,故选A.10.若方程a x-x-a=0有两个解,则a的取值范围是( )A.(1,+∞)B.(0,1)C.(0,+∞)D.∅【解析】选A.画出y1=a x,y2=x+a的图象知a>1时成立.【补偿训练】函数f(x)=+k有两个零点,则( )A.k=0B.k>0C.0≤k<1D.k<0【解析】选D.在同一平面直角坐标系中画出y1=和y2=-k的图象:由图象知,-k>0即k<0.11.(2015·福州高一检测)若函数f的零点与g=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25,则f可以是( )A.f=4x-1B.f=(x-1)2C.f=e x-1D.f=ln【解析】选A.f=4x-1的零点为x=,f=(x-1)2的零点为x=1,f=e x-1的零点为x=0,f=ln的零点为x=.现在我们来估算g=4x+2x-2的零点,因为g(0)= -1,g=1,g<0,且g(x)在定义域上是单调递增函数,所以g(x)的零点x∈,又函数f的零点与g=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25,只有f=4x-1的零点适合.12.如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80km的两城镇间旅行的函数图象,由图可知:骑自行车者用了6小时,沿途休息了1小时,骑摩托车者用了2小时,根据这个函数图象,推出关于这两个旅行者的如下信息:①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时,晚到1小时;②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动;③骑摩托车者在出发了1.5小时后,追上了骑自行车者.其中正确信息的序号是( ) A.①②③ B.①③ C.②③ D.①②【解析】选A.由图象可得:①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时,晚到1小时,正确;②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动,正确;③骑摩托车者在出发了1.5小时后,追上了骑自行车者,正确.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2015·南昌高一检测)用“二分法”求方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内的实根,取区间中点为x0=2.5,那么下一个有根的区间是.【解析】令f(x)=x3-2x-5,f(2.5)·f(2)<0所以下一个有根的区间是(2,2.5). 答案:(2,2.5)14.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)-k=0有唯一一个实数根,则实数k的取值范围是. 【解析】关于x的方程f(x)-k=0有唯一一个实数根,等价于函数y=f(x)与y=k 的图象有唯一一个交点,在同一个平面直角坐标系中作出它们的图象.由图象可知实数k的取值范围是[0,1)∪(2,+≦).答案:[0,1)∪(2,+≦)【补偿训练】若函数f(x)=|7x-1|-k有两个零点,则实数k的取值范围是.【解析】函数f(x)=|7x-1|-k有两个零点,等价于方程k=|7x-1|有两个不等实根,即函数y=|7x-1|的图象与y=k的图象有两个公共点,结合图象知0<k<1.答案:(0,1)15.若函数f(x)=lgx+x-3的近似零点在区间(k,k+1)(k ∈Z)内,则k= .【解题指南】由lgx+x-3=0,可得lgx=-x+3,令y 1=lgx,y 2=-x+3,结合两函数的图象,可大体判断零点所在的范围,然后结合零点的存在性定理来进行判断.【解析】由lgx+x-3=0,可得lgx=-x+3,令y 1=lgx,y 2=-x+3,结合两函数的图象,可大体判断零点在(1,3)内,又因为f(2)=lg2-1<0,f(3)=lg3>0,f(x)=lgx+x-3是单调递增函数,所以k=2.答案:216.定义在R 上的偶函数y=f(x),当x ≥0时,y=f(x)是单调递减的,f(1)·f(2)<0,则y=f(x)的图象与x 轴的交点个数是 .【解析】f(1)·f(2)<0,y=f(x)在区间(1,2)内有一个零点,由偶函数的对称性知,在区间(-2,-1)内也有一个零点,所以共有2个零点.答案:2三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2015·杭州高一检测)已知函数f(x)的图象是连续的,有如下表格,判断函数在哪几个区间上有零点.【解析】因为函数的图象是连续不断的,并且由对应值表可知f ·f <0,f ·f(0)<0,f ·f <0,所以函数f 在区间(-2,-1.5),(-0.5,0)以及(0,0.5)内有零点.18.(12分)设f(x)=ax 2+(b-8)x-a-ab 的两个零点分别是-3,2.(1)求f(x).(2)当函数f(x)的定义域为[0,1]时,求其值域.【解析】(1)因为f(x)的两个零点分别是-3,2,所以即解得a=-3,b=5,f(x)=-3x2-3x+18.(2)由(1)知f(x)=-3x2-3x+18的对称轴x=-,函数开口向下,所以f(x)在[0,1]上为减函数,f(x)的最大值f(0)=18,最小值f(1)=12,所以值域为[12,18]. 19.(12分)用二分法求方程2x+x-8=0在区间(2,3)内的近似解.(精确度为0.1,参考数据:22.5≈5.657,22.25≈4.757,22.375≈5.187,22.4375≈5.417,22.75≈6.727) 【解析】设函数f(x)=2x+x-8,则f(2)=22+2-8=-2<0,f(3)=23+3-8=3>0,所以f(2)·f(3)<0,说明这个函数在区间(2,3)内有零点x0,即原方程的解.用二分法逐次计算,列表如下:由表可得x0∈(2,2.5),x0∈(2.25,2.5),x0∈(2.375,2.5),x0∈(2.4375,2.5).因为|2.4375-2.5|=0.0625<0.1,所以方程2x+x-8=0在区间(2,3)内的近似解可取为2.4375.20.(12分)(2015·潍坊高一检测)已知二次函数f(x)的图象过点(0,3),它的图象的对称轴为x=2,且f(x)的两个零点的平方和为10,求f(x)的解析式.【解题指南】设出解析式,利用根与系数的关系求出未知量.【解析】设二次函数为f(x)=ax2+bx+c(a≠0).由题意知:c=3,-=2.设x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两根,则+=10,所以(x1+x2)2-2x1x2=10,所以-=10,所以16-=10,所以a=1.代入-=2中,得b=-4.所以f(x)=x2-4x+3.21.(12分)(2015·徐州高一检测)在经济学中,函数f(x)的边际函数为Mf(x),定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x),某公司每月最多生产100台报警系统装置,生产x台的收入函数为R(x)=3000x-20x2(单位:元),其成本函数为C(x)=500x+4000(单位:元),利润的函数等于收入与成本之差.求出利润函数p(x)及其边际利润函数Mp(x);判断它们是否具有相同的最大值;并写出本题中边际利润函数Mp(x)最大值的实际意义.【解析】p(x)=R(x)-C(x)=-20x2+2500x-4000,x∈[1,100],x∈N,所以Mp(x)=p(x+1)-p(x)=[-20(x+1)2+2500(x+1)-4000]-(-20x2+2500x-4000),=2480-40x,x∈[1,100],x∈N;所以p(x)=-20+74125,x∈[1,100],x∈N,故当x=62或63时,p(x)max=74120(元),因为Mp(x)=2480-40x为减函数,当x=1时有最大值2440.故不具有相等的最大值.边际利润函数取最大值时,说明生产第二台机器与生产第一台的利润差最大. 22.(12分)A地某校准备组织学生及学生家长到B地进行社会实践,为便于管理,所有人员必须乘坐在同一列火车上;根据报名人数,若都买一等座单程火车票需17010元,若都买二等座单程火车票且花钱最少,则需11220元;已知学生家长与教师的人数之比为2∶1,从A到B的火车票价格(部分)如下表所示:(1)参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人?(2)由于各种原因,二等座火车票单程只能买x张(x小于参加社会实践的人数),其余的须买一等座火车票,在保证每位参与人员都有座位坐的前提下,请你设计最经济的购票方案,并写出购买火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式.(3)请你做一个预算,按第(2)小题中的购票方案,购买单程火车票至少要花多少钱?最多要花多少钱?【解析】(1)设参加社会实践的老师有m人,学生有n人,则学生家长有2m人,若都买二等座单程火车票且花钱最少,则全体学生都需买二等座火车票,依题意得:解得则2m=20,答:参加社会实践的老师、家长与学生各有10人、20人与180人.(2)由(1)知所有参与人员总共有210人,其中学生有180人,①当180≤x<210时,最经济的购票方案为:学生都买学生票共180张,(x-180)名成年人买二等座火车票,(210-x)名成年人买一等座火车票.所以火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式为:y=51〓180+68(x-180)+81(210-x),即y=-13x+13950(180≤x<210).②当0<x<180时,最经济的购票方案为:一部分学生买学生票共x张,其余的学生与家长、老师一起购买一等座火车票共(210-x)张.所以火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式为:y=51x+81(210-x),即y=-30x+17010(0<x<180).(3)由(2)小题知,当180≤x<210时,y=-13x+13950,由此可见,当x=209时,y的值最小,最小值为11233元,当x=180时,y的值最大,最大值为11610元.当0<x<180时,y=-30x+17010,由此可见,当x=179时,y的值最小,最小值为11640元,当x=1时,y的值最大,最大值为16980元.所以可以判断按(2)小题中的购票方案,购买单程火车票至少要花11233元,最多要花16980元.综合质量评估(第一至第三章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2015·大庆高一检测)设集合U=,集合M=,N=,则M ∩(ðN)等于( )UA. B.C. D.【解析】选B.因为ðN=,M=,所以M∩(UðN)=.U【补偿训练】设全集U={x|x<6且x∈N*},集合A={1,3},B={3,5},则ð(A∪B)U= ( )A.{1,4}B.{1,5}C.{2,4}D.{2,5}【解析】选C.由题意知U={1,2,3,4,5},又A∪B={1,3,5},所以ð(A∪B)={2,4}.U2.(2015·淮南高一检测)函数y=的定义域为( )A.(1,+∞)B.[1,+∞)C.(1,2)∪(2,+∞)D.(1,2)∪[3,+∞)【解析】选C.要使函数y=有意义,必须解得,故函数的定义域为(1,2)∪(2,+≦).【补偿训练】函数y=+的定义域是( )A.[-1,2)B.[-1,2)∪(2,+∞)C.(2,+∞)D.[-1,+∞)【解析】选B.要使函数y=+有意义,必须,解得x≥-1且x ≠2,故函数的定义域为[-1,2)∪(2,+≦).3.下列图形中,不是函数图象的是( )【解析】选B.由函数的定义可知:选项B中存在给定某一实数,有两个值与之对应.【补偿训练】下列各组函数是同一函数的是( )A.y=与y=1B.y=|x-1|与y=C.y=|x|+|x-1|与y=2x-1D.y=与y=x【解析】选D.A定义域不同,故不是同一函数.B定义域不同,故不是同一函数.C对应法则不同,故不是同一函数.D定义域与对应法则均相同,所以是同一函数.4.下列函数在其定义域内既是奇函数,又是增函数的是( )A.y=B.y=3xC.y=lg|x|D.y=x3【解析】选D.选项A中函数的定义域为x≥0,故不具备奇偶性;选项B是增函数但不是奇函数;选项C是偶函数;而选项D在R上是奇函数并且单调递增.5.已知函数f(x)=,则有( )A.f(x)是奇函数,且f=-f(x)B.f(x)是奇函数,且f=f(x)C.f(x)是偶函数,且f=-f(x)D.f(x)是偶函数,且f=f(x)【解析】选C.因为f(x)=,{x|x≠〒1},所以f====-=-f(x),又因为f(-x)===f(x),所以f(x)为偶函数.【误区警示】解答本题在推导f与f(x)的关系时容易出现分式变形或符号变换错误.6.(2015·绍兴高一检测)函数f(x)=若f(x)=2,则x的值是( ) A. B.± C.0或1 D.【解析】选A.当x+2=2时,解得x=0,不满足x≤-1;当x2=2时,解得x=〒,只有x=时才符合-1<x<2;当2x=2时,解得x=1,不符合x≥2.故x=.7.已知a=log20.3,b=20.3,c=0.30.2,则a,b,c三者的大小关系是( )A.b>c>aB.b>a>cC.a>b>cD.c>b>a【解析】选A.由于a=log20.3<log21=0,0<0.30.2<0.30=1,20.3>20=1,故log20.3<0.30.2<20.3,即a<c<b.【补偿训练】已知函数f(x)=lo|x+2|,若a=f(lo3),b=f,c=f(ln3),则( )A.c<b<aB.b<c<aC.c<a<bD.a<b<c【解题指南】作出函数f(x)=lo|x+2|的图象判断此函数的单调性,利用中间量0,1比较lo3,,ln3的大小,最后利用函数单调性比较a,b,c的大小. 【解析】选A.函数y=lo|x|的图象如图(1),把y=lo|x|的图象向左平移2个单位得到y=lo|x+2|的图象如图(2),由图象可知函数y=lo|x+2|在(-2,+≦)上是减函数,因为lo3=-log23<-log22=-1,0<<=1,ln3>lne=1.所以-2<lo3<<ln3,所以f(lo3)>f>f(ln3),即c<b<a.8.(2015·鹰潭高一检测)函数f(x)=2x-1+x-5的零点所在的区间为( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【解析】选C.利用根的存在性定理进行判断,由于f(2)=2+2-5=-1,f(3)=4+3-5=2,所以f(2)·f(3)<0,又f(x)为单调递增函数,所以函数f(x)=2x-1+x-5的零点所在的区间为(2,3).【补偿训练】函数f(x)=lnx+x3-9的零点所在的区间为( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【解析】选C.由题意知x>0,且f(x)在其定义域内为增函数,f(1)=ln1+13-9=-8<0,f(2)=ln2+23-9=ln2-1<0,f(3)=ln3+33-9=ln3+18>0,f(4)=ln4+43-9>0,所以f(2)f(3)<0,说明函数在区间(2,3)内有零点.9.某品牌电脑投放市场的第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好反映销售量y与投放市场月数x之间的关系的是( )A.y=100B.y=50x2-50x+100C.y=50×2xD.y=100log2x+100【解析】选C.对于A中的函数,当x=3或4时,误差较大.对于B中的函数,当x=4时误差也较大.对于C中的函数,当x=1,2,3时,误差为0,x=4时,误差为10,误差很小.对于D中的函数,当x=4时,据函数式得到的结果为300,与实际值790相差很远.综上,只有C中的函数误差最小.10.(2015·临川高一检测)已知函数f(x)=满足对任意x1≠x2,都有<0成立,则a的范围是( )A. B.(0,1)C. D.(0,3)【解析】选A.由于x1≠x2,都有<0成立,即函数在定义域内任意两点的连线的斜率都小于零,故函数在定义域内为减函数,所以有解得0<a≤.【补偿训练】若函数f(x)=log m(m-x)在区间[3,5]上的最大值比最小值大1,则实数m=( )A.3-B.3+C.2-D.2+【解析】选 B.由题意知m>5,所以f(x)=log m(m-x)在[3,5]上为减函数,所以log m(m-3)-log m(m-5)=1,log m=1,即=m,m2-6m+3=0,解得m=3+或m=3-(舍去).所以m=3+.11.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=(1+x),则当x<0时,f(x)的表达式是( )A.f(x)=(1-x)B.f(x)=-(1-x)。
(常考题)人教版高中数学必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》检测卷(包含答案解析)
一、选择题1．已知a >0，b >0，a +b =1，则下列等式可能成立的是（ ） A ．221a b += B ．1ab = C ．212a b +=D ．2212a b -=2．若正数a ，b 满足1a >，1b >，且3a b +=，则1411a b +--的最小值为（ ） A ．4B ．6C ．9D ．163．设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ） A ．0B ．3C ．94D ．14．若正实数,x y 满足x y 1+=，则41x 1y++的最小值为( ) A ．447B ．275 C ．143D ．925．已知正实数,a b 满足1a b +=，则11b a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值是（ ） A ．112B ．5C ．222+D ．32+6．当4x >时，不等式44x m x +≥-恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．8m ≤B ．8m <C ．8m ≥D ．8m >7．已知AB AC ⊥，1AB t=，AC t =，若P 点是ABC 所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+，则·PB PC 的最大值等于（ ）. A ．13B ．15C ．19D ．218．若实数,x y 满足0xy >，则的最大值为（ ） A ．22B ．22+C ．422+D ．422- 9．已知1x >，则41x x +-的最小值为 A ．3B ．4C ．5D ．610．若a ，b 为正实数，直线2(23)20x a y +-+=与直线210bx y +-=互相垂直，则ab 的最大值为（ ）A ．32B ．98C ．94D ．411．已知关于x 的不等式()()224210a x a x -+--≥的解集为空集，则实数a 的取值范围是（ ） A ．62,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．62,5⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．6,25⎛⎤-⎥⎝⎦D ．(][),22,-∞+∞12．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知6B π=且1ABC S =△，则2a c ac a c+-+的最小值（ ） A ．12B ．2C ．14D ．4二、填空题13．对于实数m ，若两函数()f x ，()g x 满足：①[,)x m ∀∈+∞，()0f x <或()0<g x ；②(,]x m ∃∈-∞，()()0f x g x <，则称函数()f x 和()g x 互为“m 相异”函数.若2()1f x ax ax =+-和()1g x x =-互为“1相异”函数，则实数a 的取值范围是___________.14．已知正数,x y 满足10xy y -+=，则4y x+的最小值为___________． 15．已知函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________. 16．设函数4()f x x x=-对任意[2,)x ∈+∞，()()0f ax af x +<恒成立，则实数a 的取值范围是____________.17．若1a 2-<<，21b -<<，则-a b 的取值范围是 ．18．若关于x 的不等式2410x x m -+->的区间[]1,4内有解，则实数m 的取值范围为______．19．设2020a b +=，0b >，则当a =____________时，12020a a b+取得最小值.20．已知函数3()3f x x x =-，若对任意的实数x ，不等式()()(0)f x t f x t t +>+≠恒成立，则实数t 的取值范围__________．三、解答题21．已知二次函数()f x 满足(1)8f -=且(0)(4)3f f == （1）求()f x 的解析式；（2）若[],1x t t ∈+，试求()y f x =的最小值.22．已知a 、b 都是正实数，且.bb a a=- （1）求证:a >1； （2）求b 的最小值.23．已知命题p ：方程240x mx ++=无实数根：命题q ：不等式()2310x m x +-+>在x ∈R 上恒成立.（1）如果命题p 是假命题，请求出实数m 的取值范围；（2）如果命题p q ∨为真命题，且命题p q ∧为假命题，请求出实数m 的取值范围.24．解下列不等式： （1）2340x x -->； （2）122x x -≤+．25．已知二次函数()f x 满足()01f =，()()125f x f x x +-=+. （1）求()f x 的解析式；（2）若[]3,1x ∈-，若()25f x m m ≤-恒成立，求实数m 的取值范围.26．若关于x 的不等式（1－a ）x 2－4x ＋6<0的解集是x| x<－3或x> 1}． （1）求实数a 的值；（2）解关于x 的不等式2x 2＋（2－a ）x －a>0．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据已知条件由2()2a b ab +≤可求出2212a b +≥，又由完全平方公式可得221a b +<，即可判断A 、B ；由已知条件可知01b <<，则2b b >，因此22212a b a b +>+≥，可判断C ；由平方差公式可得12a b -=，与1a b +=联立可求出满足条件的a 、b ，故D 可能成立.001a b a b >>+=，，2222211()21212()12()222a b a b a b ab ab +∴+=+-=-≥-⋅=-⨯=， 当且仅当12a b ==时等号成立， 又0ab >，222()2121b a b a ab a b +=+-=-<∴，22112a b ≤+<∴，则221a b +=不可能成立； 2211()()224a b ab ≤==+，当且仅当12a b ==时等号成立，故1ab =不可能成立；001a b a b >>+=，，，01b ∴<<，2b b ∴>，22212b a b a +>+≥∴（由A 可知），则212a b +=不可能成立； ()()2212a b a b a b a b -=+-=-=，联立112a b a b +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得31,44a b ==，满足条件，D 成立. 故选：D2．C解析：C 【分析】由等式3a b +=可以得到111a b -+-=，由1411a b +--乘以111a b -+-=所求得式子和基本不等式进行求解即可. 【详解】由3a b +=，可得111a b -+-=，10,10a b ->->， 所以()141414(1)511111111a b a a b b a b a b --⎛⎫+=+=++ ⎪------⎝⎭-+-59≥+= 当且仅当12(1)b a -=-，即54,33b a ==时等号成立. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题注意观察待求式的分母，1,1a b --，结合已知条件，可变形为关于分母的式子111a b -+-=，这样就转化为“1”的常规技巧的应用.3．D【分析】利用22340x xy y z -+-=可得143xy x y z y x =+-，根据基本不等式最值成立的条件可得22,2x y z y ==，代入212x y z++可得关于y 的二次函数，利用单调性求最值即可.【详解】由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，2234z x xy y ∴=-+．∴2211434432?xy xy x y zx xy y x y y x===-++-， 当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =．∴222122121(1)1122x y z y y y y+-=+-=--+，当且仅当1y =时取等号， 即212x y z+-的最大值是1． 故选：D 【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质和二次函数的单调性，考查了最值取得时等号成立的条件，属于中档题.4．D解析：D 【分析】将1x y +=变成12x y ++=，可得41141121x y x y x y ⎛⎫+++=⋅+ ⎪++⎝⎭，展开后利用基本不等式求解即可． 【详解】0x ，0y >，1x y +=，12x y ∴++=，(41141141191451212122x y y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++++=⋅+=+++≥+= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭(当且仅当13x =，23y =取等号)，故选D ． 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.5．C解析：C 【分析】将原式变形为()2211b a b b a b ab++⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：()222111b a b b b a b ab ab+++⎛⎫+== ⎪⎝⎭)()222222222a abab b a ab ababab++++==≥=，当且仅当a =时取等号，即2a =1b =时等号成立，故选：C ． 【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于中档题.6．A解析：A 【分析】 由题可得444444x x x x +=-++--，且40x ->，利用基本不等式解答即可． 【详解】解：∵4x >，∴40x ->，∴44444844x x x x +=-++≥=-- 当且仅当444x x -=-，即6x =时取等号， ∵当4x >时，不等式44x m x +≥-恒成立， ∴只需min484m x x ⎛⎫≤+= ⎪-⎝⎭． ∴m 的取值范围为：(8],-∞． 故选A ． 【点睛】本题主要考查基本不等式，解题的关键是得出444444x x x x +=-++--，属于一般题．7．A解析：A 【详解】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t，(0,)C t ，1AP =（，0)+4(0,1)=(1,4)，即1P （，4)，所以114)PB t=--（，，14)PC t =--（，，因此PB PC ⋅11416t t =--+117(4)t t =-+，因为114244t t t t+≥⋅=，所以PB PC ⋅的最大值等于13，当14t t =，即12t =时取等号．考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．8．D解析：D 【解析】试题分析：由实数,x y 满足0xy >，，设{2m x y n x y=+=+，解得2{x m ny n m =-=-，则2222224()424222x y m n n m n m n mx y x y m n m n m n--+=+=-+≤-⋅=-++，当且仅当2n mm n=，及2n m =时等号成立，所以的最大值为422-，故选D.考点：基本不等式的应用.9．C解析：C 【分析】由1x >，得10x ->，则441111x x x x +=-++--，利用基本不等式，即可求解． 【详解】由题意，因为1x >，则10x ->，所以44111511x x x x +=-++≥=--， 当且仅当411x x -=-时，即3x =时取等号，所以41x x +-的最小值为5，故选C ． 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的使用条件，合理构造是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10．B解析：B 【分析】由两直线垂直求出23a b +=，再利用基本不等式求出ab 的最大值． 【详解】解：由直线2(23)20x a y +-+=与直线210bx y +-=互相垂直 所以22(23)0b a +-= 即23a b +=又a 、b 为正实数，所以2a b +≥即229224a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当a 34=，b 32=时取“＝”；所以ab 的最大值为98． 故选：B 【点睛】本题主要考查了由直线垂直求参数，基本不等式求最值的应用，属于中档题.11．C解析：C 【分析】由题意得出关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R ，由此得出240a -=或2400a ⎧-<⎨∆<⎩，在240a -=成立时求出实数a 的值代入不等式进行验证，由此解不等式可得出实数a 的取值范围. 【详解】由题意知，关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R .（1）当240a -=，即2a =±．当2a =时，不等式()()224210a x a x -+--<化为10-<，合乎题意；当2a =-时，不等式()()224210a x a x -+--<化为410x --<，即14x >-，其解集不为R ，不合乎题意；（2）当240a -≠，即2a ≠±时．关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R .2400a ⎧-<∴⎨∆<⎩，解得265a -<<．综上可得，实数a 的取值范围是6,25⎛⎤- ⎥⎝⎦．故选C ．【点睛】本题考查二次不等式在R 上恒成立问题，求解时根据二次函数图象转化为二次项系数和判别式的符号列不等式组进行求解，考查化归与转化思想，属于中等题.12．A解析：A 【分析】由已知条件和三角形的面积公式得4ac =，再根据基本不等式可得+4a c ≥，令24a c y a c +=-+，+a c t =，24t y t =-（4t ≥），由此函数的单调性可得选项. 【详解】 由已知6B π=且1ABC S =△，得1sin 126ac π=，解得4ac =， 所以2+42a c ac ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，即+4a c ≥，当且仅当a c =时取等号， 所以224a c a c ac a c a c ++-=-++，令24a c y a c +=-+，+a c t =，则24t y t =-（4t ≥），而24t y t =-在[)4+∞，单调递增，所以24214442t y t =-≥-=，所以2a c ac a c+-+的最小值为12. 故选：A. 【点睛】本题考查三角形的面积公式，基本不等式的应用，以及运用函数的单调性求最值的问题，属于中档题.二、填空题13．【分析】根据两个函数互为相异函数可得有恒成立且在上有解利用参变分离先讨论前者再结合二次函数的图象和性质可得所求的取值范围【详解】因为当时当时当时结合互为相异函数故有恒成立且在上有解先考虑有恒成立则在 解析：(),4-∞-【分析】根据两个函数互为“1相异”函数可得[1,)x ∀∈+∞，有()0f x <恒成立，且()0f x >在(),1-∞上有解，利用参变分离先讨论前者，再结合二次函数的图象和性质可得所求的取值范围. 【详解】因为当1x >时，()0g x >，当1x =时，()0g x =，当1x <时，()0g x <， 结合()(),f x g x 互为“1相异”函数，故[1,)x ∀∈+∞，有()0f x <恒成立，且()0f x >在(),1-∞上有解. 先考虑[1,)x ∀∈+∞，有()0f x <恒成立，则210ax ax 在[1,)+∞上恒成立，故2+1a x x<在[1,)+∞上恒成立， 因为22+x x ≥，故2+1102x x <≤，故0a ≤. 再考虑()0f x >在(),1-∞上有解，若0a =，则()10f x =-<，故()0f x >在(),1-∞上无解， 若0a <，()f x 的对称轴为12x =-，且开口向下，由()0f x >在(),1-∞上有解可得240a a ∆=+>， 故4a或0a >（舍）.故实数a 的取值范围是(),4-∞-， 故答案为：(),4-∞-. 【点睛】方法点睛：对于新定义背景下的函数性质的讨论，一般是先根据定义得到含参数的函数的性质，对于不等式的恒成立或有解问题，可优先考虑参变分离的方法，也可以结合函数图象的性质处理.14．9【分析】由已知条件得出将代数式与相乘展开后利用基本不等式可求得的最小值【详解】因为正数满足所以即所以当且仅当即时等号成立故答案为：9【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条解析：9【分析】 由已知条件得出11x y +=，将代数式1x y +与4y x+相乘，展开后利用基本不等式可求得4y x+的最小值. 【详解】因为正数,x y 满足10xy y -+=， 所以1xy y +=，即11x y+=，所以4144()()559y x y xy x y x xy +=++=++≥+=， 当且仅当2xy =，即3y =，23x =时，等号成立. 故答案为：9【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.15．【分析】因为函数的定义域为即不等式恒成立需按二次项系数：为零与不为零分类讨论当系数不为零时只需让系数大于零且根的判别式小于零解此不等式组即可求出的取值范围【详解】∵函数的定义域为∴对于任意恒有①若则 解析：2(,)[2,)3-∞⋃+∞ 【分析】因为函数的定义域为R ，即不等式22(32)(2)10m m x m x -++-+>恒成立，需按二次项系数：232m m -+为零与不为零，分类讨论，当系数不为零时，只需让系数大于零且根的判别式小于零，解此不等式组，即可求出m 的取值范围.【详解】∵ 函数()f x 的定义域为R ，∴ 对于任意x ∈R ，恒有22(32)(2)10m m x m x -++-+>，① 若2320m m -+=，则2m =或1，当1m =时，不等式即为101x x -+>⇒<，不符合题意，当2m =时，不等式即为10>，符合题意，∴ 2m =符合题意；② 若2320m m -+≠，由题意得()22232024(32)0m m m m m ⎧-+>⎪⎨∆=---+<⎪⎩， 解得：2m >或23m <； 综上可得，m 的取值范围是2m ≥或23m <． 故答案为：2(,)[2,)3-∞⋃+∞.【点睛】关键点睛：本题主要考查二次不等式的恒成立问题．讨论二次项系数为零与不为零，当系数不为零时，只需让系数大于零且根的判别式小于零是解决本题的关键. 16．【分析】由题意可得在恒成立运用参数分离和讨论结合恒成立思想和不等式的解法即可得到所求范围【详解】函数对任意恒成立即有即有在恒成立当时由于不满足题意；当时由于可得解得或即有成立则的取值范围是故答案为： 解析：(,1)-∞-【分析】 由题意可得212ax a a<+在[2，)+∞恒成立，运用参数分离和讨论0a >，0a <，结合恒成立思想和不等式的解法，即可得到所求范围．【详解】 函数4()f x x x =-，对任意[2x ∈，)+∞，()()0f ax af x +<恒成立， 即有440a ax ax ax x-+-<， 即有212ax a a ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭在[2，)+∞恒成立， 当0a >时，22121x a ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，由于2[4x ∈，)+∞，不满足题意； 当0a <时，22121x a ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，由于2[4x ∈，)+∞，可得21214a ⎛⎫+< ⎪⎝⎭， 解得1a >或1a <-，即有1a <-成立．则a 的取值范围是(,1)-∞-．故答案为：(,1)-∞-．【点睛】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和单调性，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题．17．(-24)【分析】根据条件得到的范围然后与的范围相加得到的取值范围【详解】因为所以而所以故答案为【点睛】本题考查不等式的基本性质属于简单题 解析：(-2,4)【分析】根据条件，得到b -的范围，然后与a 的范围相加，得到-a b 的取值范围.【详解】因为21b -<<，所以12b -<-<而1a 2-<<所以24a b -<-<故答案为()2,4-.【点睛】本题考查不等式的基本性质，属于简单题.18．【分析】不等式在区间内有解等价于然后求出的值域即可【详解】不等式在区间内有解等价于因为函数在上单调递减在单调递增所以的值域为所以故答案为：【点睛】本题考查的是不等式存在性问题考查了学生对基本方法的掌 解析：(],1-∞【分析】不等式2410x x m -+->在区间[]1,4内有解等价于()2max 4+1x x m ≤-，然后求出()24+1f x x x =-的值域即可.【详解】不等式2410x x m -+->在区间[]1,4内有解等价于()2max 4+1x x m ≤-，因为函数()24+1f x x x =-在()1,2上单调递减，在()2,4单调递增，()()()12,23,41f f f =-=-=，所以()f x 的值域为[]31-，，所以1m ≤， 故答案为：(],1-∞.【点睛】本题考查的是不等式存在性问题，考查了学生对基本方法的掌握情况，属于中档题. 19．【分析】根据题中所给的式子结合已知条件将式子进行整理结合绝对值的意义以及基本不等式求得结果【详解】由已知有：当且仅当时等号成立即故答案为：【点睛】该题考查的是有关求最值的问题涉及到的知识点有基本不等解析：20202019-【分析】 根据题中所给的式子，结合已知条件，将式子进行整理，结合绝对值的意义以及基本不等式求得结果.【详解】由已知有：22212020202020202020a a a a b a b a b a b a a b++=+=++212020≥-+ 221140392202020202020=-+⨯=， 当且仅当0a <，22020a b a b=时，等号成立. 即222202020192020a a b ⇒=-=. 故答案为：20202019-. 【点睛】该题考查的是有关求最值的问题，涉及到的知识点有基本不等式，属于简单题目. 20．【分析】代入函数解析式可得不等式等价于任意的实数恒成立利用判别式小于0即可求解【详解】不等式恒成立即恒成立整理得恒成立可知则任意的实数恒成立解得（舍去）或实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查一 解析：()4,+∞【分析】代入函数解析式可得不等式等价于223340x tx t 任意的实数x 恒成立，利用判别式小于0即可求解.【详解】 3()3f x x x =-，不等式()()(0)f x t f x t t +>+≠恒成立，即()()3333x t x t x x t +-+>-+恒成立，整理得2233340tx t x t t 恒成立，可知0t >，则223340x tx t 任意的实数x 恒成立，2234340t t ，解得4t <-（舍去）或4t >， ∴实数t 的取值范围是()4,+∞.故答案为：()4,+∞.【点睛】本题考查一元二次不等式的恒成立，属于基础题.三、解答题21．（1）2()43f x x x =-+；（2）2min243,2()1,122,1t t t f x t t t t ⎧-+≥⎪=-<<⎨⎪-≤⎩. 【分析】（1）设二次函数()f x 的解析式为：2()(0)f x ax bx c a =++≠，由(1)8f -=、(0)(4)3f f ==列方程组即可求出,,a b c 得值进而可得()f x 的解析式；（2）由（1）知2()43f x x x =-+，对称轴为2x =，分情况讨论对称轴和区间的关系即可求解.【详解】（1）设二次函数()f x 的解析式为：2()(0)f x ax bx c a =++≠，因为(1)8f -=，且(0)(4)3f f ==，则有813416433a b c a c b a b c c -+==⎧⎧⎪⎪=⇒=-⎨⎨⎪⎪++==⎩⎩， 于是二次函数解析式为：2()43f x x x =-+（2）由（1）知2()43f x x x =-+，对称轴为2x =，若2t ≥，则()f x 在[],1t t +上单调递增，所以2min ()()43f x f t t t ==-+； 若12t +≤，即1t ≤时，()f x 在[],1t t +上单调递减，所以22min ()(1)(1)4(1)32f x f t t t t t =+=+-++=-； 若21t t <<+，即12t <<时，2min ()(2)24231f x f ==-⨯+=-综上，2min243,2()1,122,1t t t f x t t t t ⎧-+≥⎪=-<<⎨⎪-≤⎩【点睛】 方法点睛：求函数解析式的方法（1）待定系数法：已知函数类型，可用待定系数法求解，先设出()f x ，再利用题目中给的已知条件，列出关于待定系数的方程组，进而求出待定的系数；（2）换元法：主要用于解决已知复合函数()f g x ⎡⎤⎣⎦的表达式求()f x 的解析式的问题，令()g x t =，解出x ，然后代入()f g x ⎡⎤⎣⎦中即可求得()f t ，从而求得()f x ，要注意新元的取值范围；（3）配凑法：配凑法是将()f g x ⎡⎤⎣⎦右端的代数式配凑成关于()g x 的形式，进而求出()f x 的解析式；（4）构造方程组法（消元法）：主要解决已知抽象函数关系式求解函数解析式的问题.方法是根据不同的变量之间的关系，利用变换形式构造不同的等式，通过解方程组求解. 22．无23．无24．无25．无26．无。
人教版高中数学必修1第二章单元测试(一)- Word版含答案
2018-2019学年必修一第二章训练卷基本初等函数（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数ln 11x y x+=-定义域为（ ） A ．()4,1--B ．()4,1-C ．()1,1-D ．(]1,1-2．已知log 92a ＝-，则a 的值为（ ） A ．3-B ．13-C ．3D ．133．3662log 2+3log 3=（ ） A ．0B ．1C ．6D ．62log 34．已知函数()e 11ln 1x x f x xx ⎧-≤=⎨>⎩，那么()ln2f 的值是（ ）A ．0B ．1C ．()ln ln 2D ．25．已知集合2log |1{}A y y x x >＝＝，，1|,>1}2xB y y x ⎛⎫={= ⎪⎝⎭，则A B I ＝（ ） A ．1{|0}2y y <<B ．{}1|0y y <<C ．1{|1}2y y << D ．∅6．设05log 06a ．＝．，11log 06b ．＝．，0611c ．＝．，则（ ） A ．a b c << B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<7．函数2xy -＝的单调递增区间是（ ）A ．()-∞∞，+B ．()0-∞，C ．(0)∞，+D ．不存在8．函数41()2x x f x +=的图象（ ）A ．关于原点对称B ．关于直线y x ＝对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称9．函数2log ||||xy x x =的大致图象是（ ）10．定义运算aa ba b ba b≤⎧⊕=⎨>⎩则函数()12x f x ⊕＝的图象是（ ） 此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号11．函数()log (1)xa f x a x ＝＋＋在[]0,1上的最大值与最小值和为a ，则a 的值为（ ）A ．14B ．12C ．2D ．412．已知函数()f x 满足：当4x ≥时，1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；当4x <时，()()1f x f x ＝＋，则22lo )g 3(f ＋＝（ ） A ．124B ．112 C ．18D ．38二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．幂函数()f x 的图象过点14,2⎛⎫⎪⎝⎭，那么()8f ＝________．14．若01a <<，1b <-，则函数()x f x a b ＝＋的图象不经过第________象限． 15．已知m 为非零实数，若函数ln 11m y x ⎛⎫=-⎪-⎝⎭的图象关于原点中心对称，则m ＝________．16．对于下列结论：①函数2()R x y a x ∈＋＝的图象可以由函数01()x y a a a >≠＝，且的图象平移得到；②函数2x y ＝与函数2log y x ＝的图象关于y 轴对称； ③方程255()log 21log 2()x x ＋＝－的解集为{}1,3-； ④函数()(n )l 1ln 1y x x -=+-为奇函数．其中正确的结论是________．(把你认为正确结论的序号都填上)三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．(10分)计算下列各式： （1）1220.5312+22 (0.01)54--⎛⎫⎛⎫⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）2 30.5207103720.12 392748--⎛⎫⎛⎫+++π+⎪⎪⎝⎭⎝⎭18．(12分)求值：（1）112 23312+2|.064| 2 54-⎛⎫⎛⎫⋅0- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）21 239483(log 2log 2)(log 3log 3)log 3lg1⎛⎫+⋅+++ ⎪⎝⎭．19．(12分)已知,2[]3x∈-，求11()142x xf x=-+的最小值与最大值．20．(12分)已知函数22x xy b a+＋＝（a，b是常数，且0a>，1a≠）在区间3,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有max3y＝，min52y=，试求a和b的值．21．(12分)设a ，R b ∈，且2a ≠，定义在区间()b b -，内的函数1()lg 12axf x x +=+是奇函数．（1）求b 的取值范围； （2）讨论函数()f x 的单调性．22．(12分)设()()1 2log 10f x ax -＝，a 为常数．若()32f ＝-．（1）求a 的值；（2）求使()0f x ≥的x 的取值范围；（3）若对于区间[]3,4上的每一个x 的值，不等式1()2xf x m ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围．2018-2019学年必修一第二章训练卷基本初等函数（一）答 案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】C【解析】∵10x +>，10x ->，∴11x -<<．故选C ． 2．【答案】D【解析】∵log 92a ＝-，∴22193a --⎛⎫== ⎪⎝⎭，且0a >，∴13a =．故选D ．3．【答案】B【解析】原式666log 2log 3log 61＝＋＝＝．故选B ． 4．【答案】B【解析】∵0ln21<<，∴()ln 2ln 2e 1211f =-=-=．故选B ． 5．【答案】A【解析】∵1x >，∴2log 0y x >＝，即{}|0A y y >＝．又1x >，∴1122xy ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，即1{|0}2B y y =<<．∴1{|0}2A B y y =<<I ．故选A ．6．【答案】C【解析】∵050505log 1log 06log 05<<．．．．．，∴01a <<．1111log 06log 10<．．．＝， 即0b <．061.11>．．011＝，即1c >．∴b a c <<．故选C ．7．【答案】B 【解析】函数122x xy -⎛⎫== ⎪⎝⎭，当0x <时为2x y ＝，递增，当0x >时为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，递减．故2xy -＝的单调增区间为()0-∞，．故选B ．8．【答案】D【解析】函数()f x 的定义域是R ，4144414()()2242x x x x xx x x x f x f x ----+⨯++-====⨯，则函数()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称．故选D ． 9．【答案】D【解析】当0x >时，22log log xy x x x ==，当0x <时，22log ()l ()og xy x xx =---＝-，分别作图象可知选D ． 10．【答案】A【解析】据题意20()121x xx f x x ⎧≤=⊕=⎨>⎩，故选A ．11．【答案】B【解析】∵函数x y a ＝与()log 1a y x ＝＋在[]0,1上具有相同的单调性，∴函数()f x 的最大值、最小值应在[]0,1的端点处取得，由01log 1log 2a a a a a ＋＋＋＝，得12a =． 故选B ． 12．【答案】A【解析】222222log 3log 4log 3log 12log 164<＋＝＋＝＝，22log 24log 164>＝， 由于当4x <时，()()1f x f x ＝＋， 则()()22222log 3log 121log 12log 2()4()f f f f ＋＝＝＋＝， 又当4x ≥时，1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以22log 241log 24211(log 24)2=224f ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 所以21(2log 3)24f +=．故选A ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．【解析】设()f x x α＝，将14,2⎛⎫⎪⎝⎭代入，求得12α=-．则12() f x x =，所以12(8)8f =． 14．【答案】一【解析】定义域是R ，函数()f x 的大致图象如图1所示，当0x <时，1x a >，则1x a b b >＋＋，由于1b <-，则10b <＋，则函数()f x 的图象经过第二、三象限；当0x ≥时，01x a <≤，则10x b a b b <≤<＋＋，则函数()f x 的图象经过第四象限，不经过第一象限．图115．【答案】2-【解析】由图象关于原点中心对称可知函数ln 11m y x ⎛⎫=-⎪-⎝⎭为奇函数， 即有ln 1ln 111m m x x ⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭对于定义域内任意x 恒成立， 化简并整理得()20m m ＋＝，因为m 为非零实数，因此解得2m ＝-． 16．【答案】①④【解析】2x y a ＋＝的图象可由x y a ＝的图象向左平移2个单位得到，①正确； 2x y ＝与2log y x ＝的图象关于直线y x ＝对称，②错误；由255()log 21log 2()x x ＋＝－得2221221020x x x x ⎧+=-⎪->⎨⎪->⎩∴1,312x x x x ⎧=-⎪⎪>-⎨⎪⎪><⎩或∴3x ＝．③错误；设()()()ln 1ln 1f x x x -+-＝，定义域为()1,1-，关于原点对称，()()()()[ln 1ln 1ln 1()l 1()]n f x x x x x f x -++----＝＝-＝-．∴()f x 是奇函数，④正确．故正确的结论是①④．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．【答案】（1）1615；（2）100． 【解析】（1）原式1211116114310061015⎛⎫⎛⎫+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝-＝＋－＝． （2）原式122322564375937 +10 3+1003+=1009274831648⎛⎫⎛⎫+-=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．18．【答案】（1）25-；（2）2．【解析】（1）原式1232=1+4525⨯-=-．（2）原式lg3lg3113lg 25lg3353·022lg 23lg 2422lg36lg 24lg 2lg 2lg3234g 4l ⎛⎫⎛⎫+-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭＝＋＋＝＋＝＋＝． 19．【答案】34，57． 【解析】设12x t =，即12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∵,2[]3x ∈-，∴184t ≤≤．∴2213()124f t t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭．又∵184t ≤≤，∴当12t =，即1x =时，()f x 有最小值34；当8t =，即3x ＝-时，()f x 有最大值57． 20．【答案】2a =，2b =．【解析】令22(211)u x x x ++-＝＝，3,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以，当1x ＝-时，min 1u ＝-；当0x ＝时，max 0u ＝．当01a <<时，满足10352a b a b -⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，即2332a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 当1a >时，满足10523a b a b -⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，即22a b =⎧⎨=⎩， 综上：23a =，32b =，或2a =，2b =． 21．【答案】（1）10,2⎛⎤⎥⎝⎦；（2）见解析．【解析】（1）1()lg()12axf x b x b x+=-<<+是奇函数等价于：对任意()x b b ∈-，都有()()1012f x f x axx ⎧-=-⎪⎨+>⎪+⎩①②①式即为112lg=lg 121ax x x ax -+-+，由此可得112=121ax x x ax-+-+，也即2224a x x ＝， 此式对任意()x b b ∈-，都成立相当于24a ＝，因为2a ≠，所以2a ＝-， 代入②式，得12>012x x -+，即1122x -<<，此式对任意()x b b ∈-，都成立相当于 1122b b -≤-<≤，所以b 的取值范围是10,2⎛⎤⎥⎝⎦． （2）设任意的1x ，2()x b b -∈，，且12x x <，由10,2b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，得121122b x x b -≤-<<<≤，所以2101212x x <-<-，1201212x x <+<+．从而()()()()()()212121221112121212lglg lg lg1012121212x x x x x x x x f x f x -+----=<=+++-＝．因此()f x 在()b b -，内是减函数，具有单调性．22．【答案】（1）2；（2）9,52x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；（3）178m <-．【解析】（1）∵()32f ＝-，∴()1 2log 102ax -＝-．即211032a -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴2a =．（2）∵()()1 2log 100x f x a -≥＝，∴1021x -≤．又1020x ->，∴9,52x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．（3）设()()1 21=log 102xax g x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．由题意知()g x m >在[]3,4x ∈上恒成立，∵()g x 在[]3,4上为增函数，∴17(3)8m g <=-．。
必修一数学第二章测试卷(含答案)
必修一基本初等函数（I）测试题姓名：_______________班级：_______________考号：_______________题号一、选择题二、填空题三、简答题四、综合题总分得分一、选择题1、已知函数，若函数有四个零点，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．2、若函数在（，）上既是奇函数又是增函数，则函数的图象是（）3、D已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2+x)=f(－x)，当0≤x≤1时，f(x)=x2，则f(2015)= （）A.－1 B.1 C.0 D.201524、已知函数为自然对数的底数)与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．5、下图可能是下列哪个函数的图象( )评卷人得分. .. .6、已知，，，则的大小关系是（）A ．B ．C ．D ．7、设，，，则的大小关系是A. B. C. D.8、下列函数中值域为（0，）的是（）A. B. C. D.9、已知函数为自然对数的底数)与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．10、已知函数，若，则的取值范围是（）A． B． C． D．11、已知函数的最小值为（）A．6 B．8 C．9D．1212、已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=那么的值是( )A． B．－ C． D．－13、下列函数中，反函数是其自身的函数为A． B．C． D．14、对于函数，令集合，则集合M为A．空集 B．实数集 C．单元素集 D．二元素集15、函数y=定义域是A ．B ．C ．D ．二、填空题评卷人得分16、函数为奇函数，则实数 .17、设函数，给出下列四个命题：①函数为偶函数；②若其中，则；③函数在上为单调增函数；④若，则。
则正确命题的序号是．.18、若,则定义域为 .19、若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是20、定义函数，若存在常数，对于任意，存在唯一的，使得，则称函数在上的“均值”为，已知，则函数在上的“均值”为．21、在R+上定义一种运算“*”：对于、R+，有*=，则方程*=的解是= 。
高中数学必修第一册第二章综合测试01含答案解析(1)
加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！第二章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列结论正确的是（ ） A .若ac bc ＞，则a b ＞B .若22a b ＞，则a b ＞C .若a b ＞，0c ＜，则a c b c ++＜D ，则a b ＜2.若++，则a ，b 必须满足的条件是（ ） A .0a b ＞＞ B .0a b ＜＜C .a b ＞D .0a ≥，0b ≥，且a b ≠3.已知关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是（ ） A .01k ≤≤ B .01k ＜≤ C .0k ＜或1k ＞D .0k ≤或1k ≥4.已知“x k ＞”是“311x +＜”的充分不必要条件，则k 的取值范围是（ ） A .2k ≥B .1k ≥C .2k ＞D .1k -≤5.如果关于x 的不等式2x ax b +＜的解集是{}|13x x ＜＜，那么a b 等于（ ） A .81-B .81C .64-D .646.若a ，b ，c 为实数，且0a b ＜＜，则下列命题正确的是（ ） A .22ac bc ＜B .11a b＜C .b aab＞D .22a ab b ＞＞ 7.关于x 的不等式210x a x a -++（）＜的解集中恰有3个整数，则a 的取值范围是（ ）A .45a ＜＜B .32a --＜＜或45a ＜＜C .45a ＜≤D .32a --≤＜或45a ＜≤8.若不等式210x ax ++≥对一切02x ＜＜恒成立，则实数a 的最小值是（ ） A .0B .2-C .52-D .3-9.已知全集=U R ，则下列能正确表示集合{}=012M ，，和{}2=|+2=0N x x x 关系的Venn 图是（ ）A BCD10.若函数1=22y x x x +-（＞）在=x a 处取最小值，则a 等于（ ）A .1+B .1或3C .3D .411.已知ABC △的三边长分别为a ，b ，c ，且满足3b c a +≤，则ca 的取值范围为（ ） A .1c a＞B .02c a＜＜C .13c a ＜＜D .03c a＜＜12.已知a b ＞，二次三项式220ax x b ++≥对一切实数x 恒成立，又0x ∃∈R ，使202=0ax x b ++成立，则22a b a b+-的最小值为（ ）A .1BC .2D .二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）13.已经1a ＜，则11a+与1a -的大小关系为________. 14.若不等式22210x ax -+≥对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围是________.15.已知三个不等式：①0ab ＞，②c da b--＜，③bc ad ＞.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成________个正确命题. 16.若不等式2162a bx x b a++＜的对任意0a ＞，0b ＞恒成立，则实数x 的取值范围是________. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知集合{2=|31=0A x ax x ++，}x ∈R ，（1）若A 中只有一个元素，求实数a 的值；（2）若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围.18.（本小题满分12分）解下列不等式. （1）2560x x --+＜；（2）20a x a x --()()＞.19.（本小题满分12分）已知集合23=|=12A y y x x ⎧-+⎨⎩，324x ⎫⎬⎭≤≤，{}2=|1B x x m +≥.p x A ∈:，q x B ∈:，并且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围.20.（本小题满分12分）已知集合{}2=|30A x x x -≤，{=|23B x a x a +≤≤，}a ∈R .（1）当=1a 时，求A B ；（2）若=A B A ，求实数a 的取值范围.21.（本小题满分12分）设a 、b 为正实数，且11a b+. （1）求22a b +的最小值；（2）若234a b ab -（）≥（），求ab 的值.22.（本小题满分12分）已知函数=1y ax a -+（）.（1）求关于x 的不等式0y ＜的解集；（2）若当0x ＞时，2y x x a --≤恒成立，求a 的取值范围.第二章综合测试答案解析一、 1.【答案】D【解析】当0c ＜时，A 选项不正确；当0a ＜时，B 选项不正确；两边同时加上一个数，不等号方向不改变，故C 选项错误.故选D . 2.【答案】D【解析】2=()=a b +-+-+（.+ ，a ∴，b 必须满足的条件是0a ≥，0b ≥，且a b ≠.故选D .3.【答案】A【解析】当=0k 时，不等式2680kx kx k -++≥化为80≥，恒成立，当0k ＜时，不等式2680kx kx k -++≥不能恒成立，当0k ＞时，要使不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，需22=36480k k k ∆-+（）≤，解得01k ≤≤，故01k ＜≤.综上，k 的取值范围是01k ≤≤.故选A . 4.【答案】A【解析】由311x +＜，得3101x -+＜，201x x -++，解得1x -＜或2x ＞.因为“x k ＞”是“311x +”的充分不必要条件，所以2k ≥.5.【答案】B【解析】不等式2x ax b +＜可化为20x ax b --＜，其解集是{}|13x x ＜＜，那么由根与系数的关系得13=13=a b +⎧⎨-⎩⨯，，解得=4=3a b ⎧⎨-⎩，，所以4=3=81a b -（）.故选B . 6.【答案】D【解析】选项A ，c 为实数，∴取=0c ，此时22=ac bc ，故选项A 不成立；选项B ，11=b a a b ab--，0a b ＜＜，0b a ∴-＞，0ab ＞，0b a ab -∴，即11a b＞，故选项B 不成立；选项C ，0a b ＜＜，∴取=2a -，=1b -，则11==22b a --，2==21a b --，∴此时b aa b ，故选项C 不成立；选项D ，0a b ＜＜，2=0a ab a a b ∴--（）＞，2=0ab b b a b --（）＞，22a ab b ∴＞＞，故选项D 正确.7.【答案】D【解析】210x a x a -++ （）＜，10x x a ∴--（）（）＜，当1a ＞时，1x a ＜＜，此时解集中的整数为2，3，4，故45a ＜≤.当1a ＜时，1a x ＜＜，此时解集中的整数为2-，1-，0，故32a --≤＜.故a 的取值范围是32a --≤＜或45a ＜≤.故选D . 8.【答案】B【解析】不等式210x ax ++≥对一切02x ＜＜恒成立，1a x x∴--≥在02x ＜＜时恒成立.11=2x x x x ---+-- （（当且仅当=1x 时取等号），2a ∴-≥，∴实数a 的最小值是2-.故选B . 9.【答案】A【解析】由题知{}=20N -，，则{}=0M N .故选A . 10.【答案】C【解析】2x ＞，20x ∴-＞.11==222=422y x x x x ∴+-+++--（）≥，当且仅当12=2x x --，即=3x 时等号成立.=3a ∴. 11.【答案】B【解析】由已知及三角形三边关系得3a b c a a b c a c b +⎧⎪+⎨⎪+⎩＜≤，＞，＞，即1311b ca abc a a c b a a⎧+⎪⎪⎪+⎨⎪⎪+⎪⎩＜，＞＞1311b c a ac b a a ⎧+⎪⎪∴⎨⎪--⎪⎩＜≤，＜，两式相加得024c a ⨯＜＜.c a ∴的取值范围为02ca＜＜.12.【答案】D【解析】 二次三项式220ax x b ++≥对一切实数x 恒成立，0a ∴＞，且=440ab ∆-≤，1ab ∴≥.又0x ∃∈R ，使2002=0ax x b ++成立，则=0∆，=1ab ∴，又a b ＞，0a b ∴-＞.22222==a b a b ab a b a b a b a b +-+∴-+---（）（），当且仅当a b -时等号成立.22a b a b+∴-的最小值为D .二、 13.【答案】111a a-+ 【解析】由1a ＜，得11a -＜＜.10a ∴+＞，10a -＞.2111=11a a a +--.2011a - ＜≤，2111a∴-，111a a∴-+≥.14.【答案】a【解析】不等式22210x ax -+≥对一切实数x 都成立，则2=44210a ∆-⨯⨯≤，解得a ，∴实数a 的取值范围是a .15.【答案】3【解析】若①②成立，则cd ab ab a b --（（），即bc ad --＜，bc ad ∴＞，即③成立；若①③成立，则bc ad ab ab＞，即c d a b ＞，c d a b ∴--＜，即②成立；若②③成立，则由②得c d a b ＞，即0bc adab-＞， ③成立，0bc ad ∴-＞，0ab ∴＞，即①成立.故可组成3个正确命题.16.【答案】42x -＜＜ 【解析】不等式2162ab x x b a ++＜对任意0a ＞，0b ＞恒成立，等价于2162a bx x b a++min ＜（）.因为16a b b a +≥（当且仅当=4a b 时等号成立）.所以228x x +＜，解得42x -＜＜. 三、17.【答案】（1）当=0a 时，31=0x +只有一解，满足题意；当0a ≠时，=94=0a ∆-，9=4a . 所以满足题意的实数a 的值为0或94.（5分）（2）若A 中只有一个元素，则由（1）知实数a 的值为0或94. 若=A ∅，则=940a ∆-＜，解得94a ＞.所以满足题意的实数a 的取值范围为=0a 或94a ≥.（10分） 18.【答案】（1）2560x x --+ ＜，2560x x ∴+-＞，160x x ∴-+()()＞，解得6x -＜或1x ＞，∴不等式2560x x --+＜的解集是{|6x x -＜或}1x ＞.（4分）（2）当0a ＜时，=2y a x a x --()()的图象开口向下，与x 轴的交点的横坐标为1=x a ，2=2x ，且2a ＜，20a x a x ∴--()()＞的解集为{}|2x a x ＜＜.（6分）当=0a 时，2=0a x a x --()()，20a x a x ∴--()()＞无解.（8分）当0a ＞时，抛物线=2y a x a x --()()的图象开口向上，与x 轴的交点的横坐标为=x a ，=2x .当=2a 时，原不等式化为2220x -（）＞，解得2x ≠.当2a ＞时，解得2x ＜或x a ＞. 当2a ＜时，解得x a ＜或2x ＞.（10分）综上，当0a ＜时，原不等式的解集是{}|2x a x ＜＜； 当=0a 时，原不等式的解集是∅；当02a ＜＜时，原不等式的解集是{|x x a ＜或}2x ＞； 当=2a 时，原不等式的解集是{}|2x x ≠；当2a ＞时，原不等式的解集是{|2x x ＜或}x a ＞.（12分）19.【答案】23=12y x x -+， 配方得237=416y x -+（）. 因为324x ≤≤，所以min 7=16y ，max =2y .所以7216y ≤.所以7=|216A y y ⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤≤.（6分） 由21x m +≥，得21x m -≥， 所以{}2=|1B x x m -≥.（8分） 因为p 是q 的充分条件， 所以A B ⊆. 所以27116m -≤，（10分） 解得实数m 的取值范围是34m ≥或34m -≤.（12分） 20.【答案】（1）由题意知{}=|03A x x ≤≤，{}=|24B x x ≤≤， 则{}=|23A B x x ≤≤.（3分） （2）因为=A B A ，所以B A ⊆.①当=B ∅，即23a a +＞，3a ＞时，B A ⊆成立，符合题意.（8分）②当=B ∅，即23a a +≤，3a ≤时， 由B A ⊆，有0233a a ⎧⎨+⎩≤，≤，解得=0a .综上，实数a 的取值范围为=0a 或3a ＞.（12分）21.【答案】（1）a 、b 为正实数，且11a b+.11a b ∴+（当且仅当=a b 时等号成立）， 即12ab ≥.（3分）2221122=a b ab +⨯ ≥≥（当且仅当=a b 时等号成立），22a b ∴+的最小值为1.（6分）（2）11a b+，a b ∴+.234a b ab - （）≥（）， 2344a b ab ab ∴+-（）≥（），即2344ab ab -（）≥（）， 2210ab ab -+（）≤， 210ab -（）≤，a 、b 为正实数，=1ab ∴.（12分）22.【答案】（1）当=0a 时，原不等式可化为10-＜，所以x ∈R .当0a ＜时，解得1a x a +＞. 当0a ＞时，解得1a x a+＜.综上，当=0a 时，原不等式的解集为R ； 当0a ＜时，原不等式的解集为1|a x x a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭＞； 当0a ＞时，原不等式的解集为1|a x x a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭＜.（6分） （2）由21ax a x x a -+--（）≤，得21ax x x -+≤.高中数学 必修第一册 6 / 6 因为0x ＞，所以211=1x x a x x x-++-≤， 因为2y x x a --≤在0+∞（，）上恒成立， 所以11a x x +-≤在0+∞（，）上恒成立. 令1=1t x x+-，只需min a t ≤， 因为0x ＞，所以1=11=1t x x +-≥，当且仅当=1x 时等式成立. 所以a 的取值范围是1a ≤.（12分）。
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新编人教版精品教学资料第二章单元质量评估(一)时限：120分钟 满分：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．集合M ＝{x |lg x <0}，N ＝{y |y ＝2x －1}，则M ∩N 等于( ) A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(－1,0)D ．(－∞，1)2．212＋log 29的值是( ) A ．12 2 B ．9＋ 2 C ．9 2D ．8＋ 2 3．函数y ＝1log 2(x －2)的定义域是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞)4．设a >0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂的形式，其结果是( )A ．a 12B ．a56C ．a 76D ．a 325．函数y ＝(13)x 2－2x的值域是( ) A ．[－3,3]B ．(－∞，3]C ．(0,3]D ．[3，＋∞)6．三个数60.7，(0.7)6，log 0.76的大小顺序是( ) A ．(0.7)6<log 0.76<60.7 B ．(0.7)6<60.7<log 0.76 C ．log 0.76<60.7<(0.7)6 D ．log 0.76<(0.7)6<60.77．已知0<a <1，则a 2,2a ，log 2a 的大小关系是( ) A ．a 2>2a >log 2a B ．2a >a 2>log 2a C ．log 2a >a 2>2a D ．2a >log 2a >a 28．函数f (x )＝ln(x －1x )的大致图象是( )9．已知指数函数y ＝f (x )的反函数的图象过点(2，－1)，则此指数函数的反函数为( )A ．y ＝(12)xB ．y ＝2xC ．y ＝log 12xD ．y ＝log 2x10．设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( ) A ．a >c >b B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b11．已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )A ．0<1a <b <1 B ．0<b <1a <1 C ．0<1b <a <1 D ．0<1a <1b <112．若f (x )＝lg(10x＋1)＋ax 是偶函数，g (x )＝4x －b 2x 是奇函数，那么a ＋b 的值为( )A ．1B ．－1C ．－12D.12二、填空题(每小题5分，共20分)13．若f (x )＝⎩⎨⎧12x ，x ≥4，f (x ＋1)，x <4，则f (log 23)的值是________．14．如图，在第一象限内，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝log 22 x ，y ＝x12，y ＝(32)x 的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点A 的纵坐标是2，则点D 的坐标是________．15．下列区间中，函数f (x )＝|ln(2－x )|在其上为增函数的是________．(填序号)①(－∞，1]；②[－1，43]；③[0，32)；④[1,2)16．函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，a ≠1)在区间[－1,1]上有最大值14，则a 的值是________．答案1．B ∵lg x <0，∴0<x <1， ∴M ＝(0,1)，N ＝(－1，＋∞)， ∴M ∩N ＝(0,1)．故选B. 2．C 212＋log 29 ＝212·2log 29＝2·9＝92，选C.3．C 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，x －2≠1，所以x >2且x ≠3，故选C.4．Ca2a ·3a 2＝a2a ·a 23＝a 2a 53＝a 2a 53 × 12 ＝a 2·a － 56 ＝a 2－ 56 ＝a 76 .5．C 由y ＝(13)x 2－2x ＝(13)(x －1)2－1，故0<y ≤3.选C. 6．D 由于60.7>1,0<(0.7)6<1，log 0.76<0，故选D.7．B 由于0<a <1，所以2a >20＝1,0<a 2<1，log 2a <log 21＝0，因此2a >a 2>log 2a ，故答案为B.8．B f (x )＝ln(x －1x )的定义域为{x |x －1x >0}＝(－1,0)∪(1，＋∞)，所以排除A 、D ；当x >1时，易知f (x )＝ln(x －1x )为增函数，排除C ，故选B.9．C 指数函数的反函数为对数函数，设对数函数的解析式为y ＝log a x (a >0，a ≠1)，其图象经过点(2，－1)，所以log a 2＝－1，解得a ＝12.所以此指数函数的反函数为y ＝log 12x .10．D 易知log 23>1，log 32∈(0,1)，log 52∈(0,1)，在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝log 3x 与y ＝log 5x 的图象(图略)，观察可知log 32>log 52，所以c >a >b .11．A 由图象知函数单调递增，所以a >1，又－1<f (0)<0，f (0)＝log a (20＋b －1)＝log a b ，即－1<log a b <0，所以0<1a <b <1，故选A.12．D 函数f (x )＝lg(10x ＋1)＋ax 是偶函数，所以f (x )＝f (－x )，即lg(10x ＋1)＋ax ＝lg(10－x ＋1)－ax ，化简得(2a ＋1)x ＝0对所有的x 都成立，所以a ＝－12；函数g (x )＝4x －b 2x 是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，即4－x －b 2－x ＝－4x －b2x ，化简得(b －1)(4x ＋1)＝0，所以b ＝1，故a ＋b ＝12.13.124解析：∵log 23<4， 则f (log 23)＝f (log 23＋1)＝f (log 26＋1)＝f (log 212＋1)＝f (log 224)， ∵log 224>4，∴f (log 224)＝12log 224＝124.14．(12，916)解析：由2＝log 22x 可得点A (12，2)，由2＝x 12得点B (4,2)，又(32)4＝916，即点C (4，916)，所以点D 的坐标为(12，916)．15．④解析：将函数f (x )化为分段函数，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln (2－x )，x <1，－ln (2－x )，1≤x <2，作出函数的图象如图所示，根据图象可知f (x )在[1,2)上为增函数，其他三个区间都不满足题意．16．3或13解析：令t ＝a x ，则t >0，函数y ＝a 2x ＋2a x －1可化为y ＝(t ＋1)2－2.当a >1时，∵x ∈[－1,1]，∴1a ≤a x≤a ，即1a ≤t ≤a ，∴当t ＝a 时，y max ＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3或a ＝－5(舍去)； 当0<a <1时，∵x ∈[－1,1]，∴a ≤a x≤1a ，即a ≤t ≤1a ，∴当t ＝1a 时，y max ＝(1a ＋1)2－2＝14，解得a ＝13或a ＝－15(舍去)．故a 的值是3或13.三、解答题(写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共70分)17．(10分)(1)已知lg2＝a ，lg3＝b ，试用a ，b 表示log 215； (2)化简求值： 614＋382＋0.027－23×(－13)－2.18．(12分)设x ，y ，z ∈(0，＋∞)，且3x ＝4y ＝6z . (1)求证：1z －1x ＝12y ； (2)比较3x,4y,6z 的大小．答案17.解：(1)由对数的运算性质以及换底公式可得 log 215＝lg15lg2＝lg (3×102)lg2 ＝lg3＋lg10－lg2lg2＝b ＋1－a a . (2)614＋382＋0.027－ 23×(－13)－2＝5222＋3(23)2＋[(10－1×3)3]－23×(－3－1)－2＝52＋22＋102×3－2×32＝106.5.18．解：设3x ＝4y ＝6z ＝k ，因为x ，y ，z ∈(0，＋∞)，所以k >1，且x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k .(1)证明：因为1z －1x ＝1log 6k －1log 3k ＝log k 6－log k 3＝log k 2＝12log k 4＝12log 4k ＝12y ，所以1z －1x ＝12y .(2)因为3x －4y ＝3log 3k －4log 4k ＝3log k 3－4log k 4＝3log k 4－4log k 3log k 3·log k 4＝log k 64－log k 81log k 3·log k 4<0，所以3x <4y .因为4y －6z ＝4log 4k －6log 6k ＝4log k 4－6log k 6＝4log k 6－6log k 4log k 4·log k 6＝2(log k 36－log k 64)log k 4·log k 6<0，所以4y <6z .综上可知，3x <4y <6z .19．(12分)抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次？(lg2≈0.301 0)20．(12分)已知f (x )是R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝(12)x＋1. (1)求函数f (x )的解析式；(2)画出函数f (x )的图象，并依据图象解不等式|f (x )|≤1.答案19.解：设抽n 次可使容器内的空气少于原来的0.1%，则a ·(1－60%)n <0.1%·a (设原来容器中的空气体积为a )．即0.4n <0.001，两边取常用对数，得n ·lg0.4<lg0.001.所以n >lg0.001lg0.4(因为lg0.4<0)．所以n >－32lg2－1≈7.5.故至少需要抽8次，才能使容器内的空气少于原来的0.1%.20．解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝(12)－x＋1.因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (x )＝－f (－x )，从而f (x )＝－(12)－x －1，此即x <0时f (x )的解析式．因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，从而函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x ＋1，x >00，x ＝0－(12)－x－1，x <0(2)因为指数函数y ＝(12)x 为减函数，且图象过点(0,1)，因此可以先画出x >0时f (x )的图象，再关于原点作对称图形即得到x <0时的图象．注意不能漏掉点(0,0)，画出图象如图所示．依据图象可知不等式|f (x )|≤1的解集为{x |x ＝0}． 21．(12分)已知函数f (x )＝4x －2x ＋1＋3.(1)当f (x )＝11时，求x 的值；(2)当x ∈[－2,1]时，求f (x )的最大值和最小值．22．(12分)定义在[－1,1]上的奇函数f (x )，当x ∈[－1,0]时，f (x )＝14x －a2x (a ∈R )．(1)写出f (x )在[0,1]上的解析式；(2)求f (x )在[0,1]上的最大值．答案21.解：令2x ＝t ，则t >0，且f (x )＝4x －2x ＋1＋3＝(2x )2－2·2x ＋3＝t 2－2t ＋3.(1)当f (x )＝11时，即t 2－2t ＋3＝11⇔(t －4)(t ＋2)＝0，由t >0可解得t ＝4，即2x ＝4，解得x ＝2.(2)当x ∈[－2,1]时，t ∈[14，2]，因此t 2－2t ＋3＝(t －1)2＋2且14<1<2且2－1>1－14，可知当t ＝1时，f (x )取得最小值2，当t ＝2时，f (x )取得最大值3.22．解：(1)设x ∈[0,1]，则－x ∈[－1,0]．f (－x )＝14－x －a 2－x ＝4x －a ·2x由于f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝a ·2x －4x ，x ∈[0,1]．(2)∵由(1)得f (x )＝a ·2x －4x ，x ∈[0,1] 令t ＝2x ，t ∈[1,2]，∴g (t )＝at －t 2＝－(t －a 2)2＋a 24.当a 2<1时，即a <2时，g (t )max ＝g (1)＝a －1；当1≤a 2≤2，即2≤a ≤4时，g (t )max ＝g (a 2)＝a 24；当a 2>2，即a >4时，g (t )max ＝g (2)＝2a －4， 综上：当a <2时，f (x )最大值为a －1；当2≤a ≤4时，f (x )最大值为a 24； 当a >4时，f (x )最大值为2a －4.。