2014年考研数学二真题与解析
2014年考研数学二真题与解析
2014年考研数学二真题与解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．当+→0x 时，若)(ln x 21+α，α11)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（ ）（A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(210【详解】αααx x 221~)(ln +，是α阶无穷小，ααα211211x x ~)cos (-是α2阶无穷小，由题意可知⎪⎩⎪⎨⎧>>121αα所以α的可能取值范围是),(21，应该选（B ）． 2．下列曲线有渐近线的是 （A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2（C ）xx y 1sin += （D ）x x y 12sin +=【详解】对于xx y 1sin +=，可知1=∞→x y x lim 且01==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y =应该选（C ）3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ）（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程．故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，从而010==≤)()()(F F x F ，即0≤-=)()()(x g x f x F ，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）4．曲线⎩⎨⎧++=+=14722t t y t x ,上对应于1=t 的点处的曲率半径是（ ）（Ａ）5010（Ｂ）10010 (Ｃ）1010 （Ｄ）105 【详解】 曲线在点))(,(x f x 处的曲率公式321)'("y y K +=，曲率半径KR 1=． 本题中422+==t dt dy t dt dx ,，所以t t t dx dy 21242+=+=，3222122tt t dx y d -=-=，对应于1=t的点处13-==",'y y ，所以10101132=+=)'("y y K ，曲率半径10101==KR ． 应该选（C ）5．设函数x x f arctan )(=，若)(')(ξxf x f =，则=→22xx ξlim（ ）（Ａ）1 （Ｂ）32 （Ｃ）21 （Ｄ）31 【详解】注意（1）211xx f +=)('，（2）)(arctan ,33310x o x x x x +-=→时． 由于)(')(ξxf x f =．所以可知x x x x f f arctan )()('==+=211ξξ，22)(arctan arctan x x x -=ξ， 313133302022=+--=-=→→→xx o x x x x x xarx x x x x x )()(lim )(arctan tan limlimξ． 6．设),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足02≠∂∂∂y x u及02222=∂∂+∂∂y ux u ，则（ ）． （A ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上；（B ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部；（C ）),(y x u 的最大值点在区域D 的内部，最小值点在区域D 的边界上；（D ）),(y x u 的最小值点在区域D 的内部，最大值点在区域D 的边界上．【详解】),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，所以),(y x u 在D 内必然有最大值和最小值．并且如果在内部存在驻点),(00y x ，也就是0=∂∂=∂∂y ux u ，在这个点处x y u y x u B yu C x u A ∂∂∂=∂∂∂=∂∂=∂∂=222222,,，由条件，显然02<-BAC ，显然),(y x u 不是极值点，当然也不是最值点，所以),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上． 所以应该选（A ）．7．行列式dc dc ba b a 0000000等于 （A ）2)(bc ad - （B ）2)(bc ad -- （C ）2222c bd a - （D ）2222c b d a +-【详解】 应该选（B ）．8．设321ααα,, 是三维向量，则对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的（A ）必要而非充分条件 （B ）充分而非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ） 非充分非必要条件 【详解】若向量321ααα,,线性无关，则（31ααk +，32ααl +）K l k ),,(),,(3213211001αααααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，对任意的常数l k ,，矩阵K 的秩都等于2，所以向量31ααk +，32ααl +一定线性无关．而当⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010001321ααα,,时，对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关，但321ααα,,线性相关；故选择（A ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．⎰∞-=++12521dx x x ．【详解】⎰⎰∞-∞-∞-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+=++=++11122832421212141521πππ)(|arctan )(x x dx dx x x ． 10．设)(x f 为周期为4的可导奇函数，且[]2012,),()('∈-=x x x f ，则=)(7f ．【详解】当[]20,∈x 时，C x x dx x x f +-=-=⎰2122)()(，由00=)(f 可知0=C ，即x x x f 22-=)(；)(x f 为周期为4奇函数，故1117==-=)()()(f f f ．11．设),(y x z z=是由方程4722=+++z y x e yz 确定的函数，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛2121,|dz ．【详解】设4722-+++=z y x ez y x F yz),,(，1222122+=+==yz z yz y x ye F y ze F F ,,，当21==y x 时，0=z ，21-=-=∂∂z x F F x z ，21-=-=∂∂z y F F y z ，所以=⎪⎭⎫ ⎝⎛2121,|dz dy dx 2121--．12．曲线L 的极坐标方程为θ=r，则L 在点⎪⎭⎫⎝⎛=22ππθ,),(r 处的切线方程为 ．【详解】先把曲线方程化为参数方程⎩⎨⎧====θθθθθθθθsin sin )(cos cos )(r y r x ，于是在2πθ=处，20π==y x ,，πθθθθθθππ222-=-+=|sin cos cos sin |dx dy ，则L 在点⎪⎭⎫⎝⎛=22ππθ,),(r 处的切线方程为)(022--=-x y ππ，即.22ππ+-=x y13．一根长为1的细棒位于x 轴的区间[]10,上，若其线密度122++-=x x x )(ρ，则该细棒的质心坐标=x ．【详解】质心坐标20113512111221021023101==++-++-==⎰⎰⎰⎰dx x x dxx x x dx x dxx x x )()()()(ρρ． 14．设二次型3231222132142x x x ax x x x x x f ++-=),,(的负惯性指数是1，则a 的取值范围是 ． 【详解】由配方法可知由于负惯性指数为1，故必须要求042≥-a，所以a 的取值范围是[]22,-．三、解答题15．（本题满分10分）求极限)ln())((limxx dt t e t x tx 1112112+--⎰+∞→．【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限． 【详解】16．（本题满分10分） 已知函数)(x y y =满足微分方程''y y y x -=+122，且02=)(y ，求)(x y 的极大值和极小值．【详解】解：把方程化为标准形式得到2211x dxdyy -=+)(，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积分可得方程通解为：C x x y y +-=+333131，由02=)(y 得32=C ，即32313133+-=+x x y y ． 令01122=+-=y x dx dy ，得1±=x ，且可知3222222211212)()()(y x y y x dx y d +--+-=； 当1=x 时，可解得1=y ，01<-="y ，函数取得极大值1=y ；当1-=x时，可解得0=y ，02>="y ，函数取得极小值0=y ．17．（本题满分10分）设平面区域{}004122≥≥≤+≤=y x y x y x D .,|),(．计算⎰⎰++Ddxdy yx y x x )sin(22π【详解】由对称性可得 18．（本题满分10分）设函数)(u f 具有二阶连续导数，)cos (y e f z x=满足x x e y e z yzx z 222224)cos (+=∂∂+∂∂．若0000==)(',)(f f ，求)(u f 的表达式．【详解】设y e u xcos =，则)cos ()(y e f u f z x==，y e u f y e u f xz e u f xzxx y x cos )('cos )(",)('cos +=∂∂=∂∂2222;y e u f y e u f y z y e u f y z x x xcos )('sin )(",sin )('-=∂∂-=∂∂2222； 由条件xx e y e z yz x z 222224)cos (+=∂∂+∂∂， 可知这是一个二阶常用系数线性非齐次方程． 对应齐次方程的通解为：u u e C e C u f 2221-+=)(其中21C C ,为任意常数．对应非齐次方程特解可求得为u y 41-=*． 故非齐次方程通解为u e C eC u f u u412221-+=-)(．将初始条件0000==)(',)(f f 代入，可得16116121-==C C ,． 所以)(u f 的表达式为u e e u f u u 4116116122--=-)(． 19．（本题满分10分） 设函数)(),(x g x f 在区间[]b a .上连续，且)(x f 单调增加，10≤≤)(x g ，证明：（1） []b a x a x dt t g xa,,)(∈-≤≤⎰0；（2）⎰⎰≤⎰+badtt g a adx x g x f dx x f ba )()()()(．【详解】（1）证明：因为10≤≤)(x g ，所以[]b a x dt dt t g dx xax axa,)(∈≤≤⎰⎰⎰10．即[]b a x a x dt t g xa,,)(∈-≤≤⎰0．（2）令⎰⎰⎰-=+xa dtt g a axadu u f du u g u f x F )()()()()(，则可知0=)(a F ，且⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰x a dt t g a f x g x g x f x F )()()()()('，因为,)(a x dt t g xa-≤≤⎰0且)(x f 单调增加，所以)()()(x f a x a f dt t g a f xa =-+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰．从而0=-≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰)()()()()()()()()('x f x g x g x f dt t g a f x g x g x f x F xa ， []b a x ,∈ 也是)(x F 在[]b a ,单调增加，则0=≥)()(a F b F ，即得到⎰⎰≤⎰+badtt g a adx x g x f dx x f ba )()()()(．20．（本题满分11分） 设函数[]101,,)(∈+=x xxx f ，定义函数列 )()(x f x f =1，))(()(x f f x f 12=，ΛΛ)),(()(,x f f x f n n 1-=设n S 是曲线)(x f y n =，直线01==y x ,所围图形的面积．求极限n n nS ∞→lim ．【详解】x xxx x xx f x f x f x x x f 21111111121+=+++=+=+=)()()(,)(，Λ,)(x x x f 313+=， 利用数学归纳法可得.)(nxxx f n +=1))ln(()()(nn n dx nx n dx nx x dx x f S n n +-=+-=+==⎰⎰⎰1111111110101，111=⎪⎭⎫⎝⎛+-=∞→∞→n n nS n n n )ln(lim lim ． 21．（本题满分11分） 已知函数),(y x f 满足)(12+=∂∂y yf，且y y y y y f ln )()(),(--+=212，求曲线0=),(y x f 所成的图形绕直线1-=y 旋转所成的旋转体的体积．【详解】 由于函数),(y x f 满足)(12+=∂∂y yf，所以)(),(x C y y y x f ++=22，其中)(x C 为待定的连续函数． 又因为y y y y y f ln )()(),(--+=212，从而可知y y y C ln )()(--=21，得到x x y y x C y y y x f ln )()(),(--++=++=212222． 令0=),(y x f ，可得x x y ln )()(-=+212．且当1-=y 时，2121==x x ,．曲线0=),(y x f 所成的图形绕直线1-=y 旋转所成的旋转体的体积为22．（本题满分11分）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=302111104321A ，E 为三阶单位矩阵．（1） 求方程组0=AX的一个基础解系；（2） 求满足E AB =的所有矩阵．【详解】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=310020101001310011104321134011104321302111104321A ，得到方程组0=AX同解方程组得到0=AX 的一个基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=13211ξ． （2）显然B 矩阵是一个34⨯矩阵，设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=444333222111z y x z y x z y x z y x B 对矩阵)(AE 进行进行初等行变换如下： 由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321011214321c x x x x ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321043624321c y y y y ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321011134321c z z z z ， 即满足E AB =的所有矩阵为 其中321c c c ,,为任意常数． 23．（本题满分11分）证明n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111ΛM M M ΛΛ与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100ΛM M M ΛΛ相似． 【详解】证明：设=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111ΛM M M ΛΛ，=B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100ΛM M M ΛΛ．分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：1111111111--=---------=-n n A E λλλλλλ)(ΛM M M ΛΛ，所以A 的n 个特征值为0321====n n λλλλΛ,；而且A 是实对称矩阵，所以一定可以对角化．且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00Λλ~A ； 所以B 的n 个特征值也为0321====n n λλλλΛ,；对于1-n 重特征值0=λ，由于矩阵B B E -=-)(0的秩显然为1，所以矩阵B 对应1-n 重特征值0=λ的特征向量应该有1-n 个线性无关，进一步矩阵B 存在n 个线性无关的特征向量，即矩阵B 一定可以对角化，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00Λλ~B 从而可知n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111ΛM M M ΛΛ与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100ΛM M M ΛΛ相似．。
2014年考研数学二试题及答案解析
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
（1）当x →0+时，若1ln (12),(1-cos )x x αα+均是比x 高阶的无穷小，则α的取值范围是（ ） （A ）），（∞+2 （B ）（1，2） （C ）），（121 （D ））（210， 【答案】B【解析】当x →0+时，∵()()ln12~2x x αα+，111211(1cos )~()()22x x ααα-=·2x α ，∴由2111 2.ααα>>⇔<<且（2）下列曲线有渐近线的是（ ）（A ）.sin x x y += （B ）.sin 2x x y +=（C ）.1sin x x y += （D ）21sin .y x x=+【答案】C【解析】1sin()11lim lim lim(1sin )1x x x x f x x a x x x x→∞→∞→∞+===+= 11lim[()]lim[sin ]lim sin 0x x x b f x ax x x x x→∞→∞→∞=-=+-==∴y=x 是y=x +1sin x的斜渐近线注：渐近线有3种：水平、垂直、斜渐近线。
本题中(A)(B)(D)都没有渐近线，(C)只有一条斜渐近线。
（3）设函数()f x 具有2阶导数，()()()()011g x f x f x =-+,则在区间[0，1]上（ ）(A)当0f x '≥（）时，()()f x g x ≥.(B)当0f x '≥（）时，()()f x g x ≤ (C)当0f ''≥时，()()f x g x ≥.(D)当0f ''≥时，()()f x g x ≤【答案】D【解析】方法1：（利用函数的凹凸性）当() 0f x "≥时，()f x 是凹函数，而()g x 是连接()()0,0f 与()1,1f （）的直线段，如右图 故()()f xg x ≤方法2：（利用函数的单调性）()()()h x g x f x =-令，则(0)(1)0h h ==，由洛尔定理知，(0,1)()0,h ξξ'∃∈=，使若()0f x ''≥，则()0,()h x h x '''≤单调递减， 当(0,)x ξ∈时，()()0h x h ξ''≥=，()h x 单调递增，()(0)0,g(x)()h x h f x ≥=≥即； 当(,1)x ξ∈时，()()0h x h ξ''≤=，()h x 单调递减，()(1)0,g(x)()h x h f x ≥=≥即；注：当0f x '≥（）时，只能说明()f x 是单调增加的，但增加的方式可能是以凸的形式，也可能是以凹的形式，若是前者，则()()f x g x ≥，此时(A)成立，如()f x x =；若是后者，则()()f x g x ≤，此时(B)成立，如2()f x x =.（4）曲线⎪⎩⎪⎨⎧++=+=，t t y ，t x 14722上对应1t =的点处的曲率半径是（ ）（A ）.5010 （B ）.10010 （C ）.1010 （D ）.105 【答案】C【解析】令()27x t t ϕ==+ ()241y t t t ψ==++则2,()2t t t ϕϕ'''=（）=; ()24t t ψ'=+ ()2t ψ"=当t =1时，(1)2,(1)2(1)6,(1)2ϕϕψψ''''''====则332222|2226|811010(26)40K ⨯-⨯===+,曲率半径11010.K ρ== （5）设函数()arctan f x x =，若)()(ξf x x f '=，则22limx xξ→=（ ）（A ）1. （B ）.32 （C ）.21（D ）.31【答案】D【解析】由()()arctan , f x x f x ==()xf ξ'得21arctan 1x x ξ=⋅+ ()3322222|||()()()()|1[()()]y t t t t K y t t ϕψϕψϕψ''''''''-=='''++2arctan arctan x x x ξ-=,222232000011arctan arctan 11lim lim lim lim arctan 33x x x x x x x xx x x x xx ξ→→→→---+∴==== （6）设函数()u x y ，在有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导数，且满足0022222=∂∂+∂∂≠∂∂∂yux u y x u 及，则（ ） （A ）()u x y ，的最大值和最小值都在D 的边界上取得. （B ）()u x y ，的最大值和最小值都在D 的内部取得.（C ）()u x y ，的最大值在D 的内部取得，最小值在D 的边界上取得. （D ）()u x y ，的最小值在D 的内部取得，最大值在D 的边界上取得. 【答案】A【解析】A=22u x ∂∂，B=2u x y∂∂∂，C=22u y ∂∂，22200 0B A C AC B A B ≠+=-=--<，，，∴D 内部无极值.（7）行列式=dc dc b a ba 00000000（ ）（A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc --（C ）2222a dbc - (D)2222b c a d -【答案】B【解析】41440000004(1)00(1)00000000a ba b a ba bc bd a c d c d c dc d++-+-按第行展开 32212(1)(1)()()()()()a b a b c b d a c dc dad bc bc ad ad bc ad bc bc ad ad bc ++=-⋅-+⋅⋅-=-⋅--=--=--注：此题按其它行或列展开计算都可以。
2014考研数学2真题
2014考研数学2真题2014年考研数学2真题是考研数学考试中的一道经典题目，难度较大，涉及到了数学分析、线性代数和概率统计等多个领域的知识。
本文将对这道题目进行深入的分析和解答，帮助考生更好地理解和掌握数学知识。
首先，让我们来看一下这道题目的具体内容：已知函数f(x)在区间[0,1]上连续可导，且满足f(0)=0，f(1)=1，f'(x)>0。
定义函数g(x)=f(x)-x，求证存在ξ∈(0,1)，使得g(ξ)=0。
这道题目要求我们证明存在一个介于0和1之间的数ξ，使得函数g(x)在ξ处取得零值。
为了解决这个问题，我们可以利用介值定理来进行证明。
首先，我们需要明确介值定理的含义。
介值定理是微积分中的一个重要定理，它表明如果一个函数在一个闭区间上连续，并且在该区间的两个端点处取得不同的函数值，那么它在该闭区间上将会取得介于这两个函数值之间的任意函数值。
根据题目给出的条件，我们知道函数f(x)在区间[0,1]上连续可导，并且满足f(0)=0，f(1)=1，f'(x)>0。
根据介值定理，我们可以推断函数g(x)在区间[0,1]上也是连续的，并且g(0)=f(0)-0=0，g(1)=f(1)-1=0。
也就是说，函数g(x)在闭区间[0,1]上取得了相同的函数值0。
接下来，我们需要证明在开区间(0,1)上，函数g(x)取得了不同的函数值。
根据题目给出的条件，我们知道f'(x)>0，也就是说函数f(x)在区间(0,1)上是单调递增的。
而且，根据函数的连续可导性，我们可以得知函数f(x)在区间(0,1)上是连续的。
根据单调递增函数的性质，我们可以推断函数f(x)在区间(0,1)上的函数值是逐渐增加的。
因此，我们可以得出结论：在开区间(0,1)上，函数g(x)的函数值是逐渐增加的。
而在闭区间[0,1]上，函数g(x)的函数值是相同的。
根据这两个结论，我们可以推断在开区间(0,1)内，函数g(x)的函数值一定会超过闭区间[0,1]上的函数值。
2014年考研数二真题及解析
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2014年考研数学(二)真题
x
t
2
1
et
1
t
dt
求极限 lim 1
。
x
x2
ln
1
1 x
16．（本题满分 10 分）。
已知函数 y y x 满足微分方程 x2 y2 y 1 y ，且 y 2 0 ，求 y x 的极大值与极
小值。
17．（本题满分 10 分）。
x sin x2 y2
设平面区域 D x, y 1 x2 y2 4, x 0, y 0 ，计算 D
（A）必要非充分条件 （C）充分必要条件
（B）充分非必要条件 （D）既非充分也非必要条件
二、填空题（9—14 小题，每小题 4 分，共 24 分）
9．
1
x2
1 2x
5
dx
__________。
10 ． 设 f (x) 是 周 期 为 4 的 可 导 奇 函 数 ， 且 f '(x) = 2(x -1), x Î[0, 2] ， 则
1
1 1 x 3x2
2
1 3。
6． 【答案】A
【解析】u( x, y) 在平面有界闭区域 D 上连续，所以 u( x, y) 在 D 内必然有最大值和最小值．并
u u 0
且 如 果 在 内 部 存 在 驻 点 ( x0 , y0 ) ， 也 就 是 x y
，在这个点处
A
2u x 2
,C
2u y 2
(1 y'2 )3 10 10 ， 曲 率 半 径
R 1 10 10
K
。
5． 【答案】D
【解析】因为
f (x) x
f
'
(
)
1
2014年考研数学二真题
12．曲线 L 的极坐标方程为 r ，则 L 在点 (r, ) , 处的切线方程为
．
2 2
【详解】先把曲线方程化为参数方程
x
y
r( )cos r( )sin
cos sin
，于是在
2
处，
x
0,
y
2
，
dy dx
（B）充分而非必要条件 （D） 非充分非必要条件
【详解】若向量1,2 ,3 线性无关，则
1 （1 k3 ，2 l3 ） (1, 2 ,3 ) 0 k
0
1 (1, 2 ,3 )K ，对任意的常数 k, l ，矩阵 K 的秩都等 l
于 2，所以向量1 k3 ，2 l3 一定线性无关．
f ( x) x2 2x ； f ( x) 为周期为 4 奇函数，故 f (7) f (1) f (1) 1．
11．设 z
z( x,
y) 是由方程 e 2 yz
x
y2
z
7 4
确定的函数，则
dz
|
1
,
1
．
2 2
【详解】设 F ( x,
y, z)
e 2 yz
4x2 x3
( x1 ax3 )2 ( x2 2x3 )2 (4 a 2 )x32
由于负惯性指数为 1，故必须要求 4 a2 0 ，所以 a 的取值范围是 2,2．
三、解答题
15．（本题满分 10 分）
1
x (t 2 (e t 1) t)dt
求极限 lim 1
2014年考研数学二真题与解析
推荐：考研数字题库与资料 2014年考研数学二真题与解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．当+→0x 时，若)(ln x 21+α，α11)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（ ）（A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(210【详解】αααx x 221~)(ln +，是α阶无穷小，ααα211211x x ~)cos (-是α2阶无穷小，由题意可知⎪⎩⎪⎨⎧>>121αα所以α的可能取值范围是),(21，应该选（B ）． 2．下列曲线有渐近线的是（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2（C ）xx y 1sin+= （D ）x x y 12sin +=【详解】对于xx y 1sin +=，可知1=∞→x y x lim 且01==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y =应该选（C ）3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ）（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程．故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，从而010==≤)()()(F F x F ，即0≤-=)()()(x g x f x F ，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）4．曲线⎩⎨⎧++=+=14722t t y t x ,上对应于1=t 的点处的曲率半径是（ ）（Ａ）5010（Ｂ）10010 (Ｃ）1010 （Ｄ）105 【详解】 曲线在点))(,(x f x 处的曲率公式321)'("y y K +=，曲率半径KR 1=． 本题中422+==t dt dy t dt dx ,，所以t t t dx dy 21242+=+=，3222122tt t dx y d -=-=，对应于1=t 的点处13-==",'y y ，所以10101132=+=)'("y y K ，曲率半径10101==KR ． 应该选（C ）5．设函数x x f arctan )(=，若)(')(ξxf x f =，则=→22xx ξlim（ ）（Ａ）1 （Ｂ）32 （Ｃ）21 （Ｄ）31 【详解】注意（1）211xx f +=)('，（2）)(arctan ,33310x o x x x x +-=→时． 由于)(')(ξxf x f =．所以可知x x x x f f arctan )()('==+=211ξξ，22)(arctan arctan x x x -=ξ， 313133302022=+--=-=→→→xx o x x x x x xarx x x x x x )()(lim )(arctan tan limlimξ． 6．设),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足02≠∂∂∂y x u及02222=∂∂+∂∂y ux u ，则（ ）． （A ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上；（B ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部；。
2014年考研数学二真题(含解析)
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、当0x +→时，若ln (12)x α+，1(1cos )x α-均是比x 高阶的无穷小，则α的取值范围是（ ）（A ）(2,)+∞ （B ）(1,2) （C ）1(,1)2 （D ）1(0,)2【答案】B【考点】等价无穷小、高阶无穷小 【详解】当0x +→时，ln (12)~(2)x x αα+，1121(1cos )~2x x αα⎛⎫-⎪⎝⎭因为它们都是比x 高阶的无穷小，故12,1>>αα，即21<<α2、下列曲线中有渐近线的是（ ）（A ）sin y x x =+ （B ）2sin y x x =+ （C ）1sin y x x =+ （D ）21sin y x x=+ 【答案】C【考点】函数的渐近线 【详解】对于选项A ， lim(sin )x x x →∞+ 不存在，因此没有水平渐近线，同理可知，选项A 没有铅直渐近线， 而sinxlimlimx x y x x x→∞→∞+=不存在，因此选项A 中的函数没有斜渐近线； 对于选项B 和D ，我们同理可知，对应的函数没有渐近线；对于C 选项，1siny x x=+.由于1sin lim lim1x x x yx x x→∞→∞+==，又()1lim 1limsin0x x y x x →∞→∞-⋅==.所以1sin y x x=+存在斜渐近线y x =.故选C.（4）设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]内（ ） （A ）当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ （B ）当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ （C ）当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥ （D ）当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤ 【答案】D【考点】函数单调性的判别、函数图形的凹凸性 【详解】 【解法一】令)()()(x f x g x F -=则)()1()0()(x f f f x F '-+-='由拉格朗日中值定理知，存在)1,0(∈ξ，使得)()()01()0()1(ξξf f f f '='-=- 即0)(='ξF又因为)()(x f x F ''-=''若()0f x ''≥，则()0F x ''≤，所以)(x F '单调递减， 当(0,),()0,()x F x F x ξ'∈>单调递增， 当(,1),()0,()x F x F x ξ'∈<单调递减，又0)1(.0)0(==F F ，所以()0F x ≥，即()()f x g x ≤，故选D 【解法二】令2()f x x =，则函数()f x 具有2阶导数，且()0f x ''≥所以()(0)(1)(1)g x f x f x x =-+= 当]1,0[∈x 时，()()f x g x ≤，故选D4、曲线227,41x t y t t ⎧=+⎪⎨=++⎪⎩上对应于1t =的点处的曲率半径是（ ） （A（B（C）（D）【答案】C【考点】参数方程求导、曲率及曲率半径 【详解】2223212133222233222242222(24)8(2)2(2)3,1"1(1')(13)1(13)10t t dy dy t dt dx dx tdtt t d y t dx t t dy d y dx dx y k y R k==+==⋅-+-==∴==-∴==++∴==+==Q5、设函数()arctan f x x =，若()()f x xf ξ'=，则22limx x ξ→=（ ）（A ）1 （B ）23 （C ）12（D ）13【答案】D【考点】函数求导、函数求极限 【详解】2()arctan 11f x x x x ξ==+Q.2arctan arctan x xx ξ-∴=.22230arctan arctan limlimlim rctan x x x x x x xx x a x x ξ→→→--∴==⋅22222001111limlim 33(1)3x x x x x x x →→-+===+. 6、设函数(,)u x y 在有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导数，且满足20ux y ∂≠∂∂及22220u ux y ∂∂+=∂∂，则（ ） （A ）(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的边界上取得 （B ）(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的内部取得（C ）(,)u x y 的最大值在D 的内部取得，(,)u x y 的最小值在D 的边界上取得 （D ）(,)u x y 的最小值在D 的内部取得，(,)u x y 的最大值在D 的边界上取得 【答案】A【考点】二元函数极值的充分条件 【详解】因为22220u u x y ∂∂+=∂∂，故22u A x ∂=∂与22uC y∂=∂异号.又20u B x y ∂=≠∂∂， 则20AC B -<，所以函数(,)u x y 在区域D 内没有极值.又连续函数在有界闭区域内有最大值和最小值，故最大值和最小值在D 的边界点取到.7、行列式0000000ab a bcd c d=（ ）（A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc --（C ）2222a d b c - （D ）2222b c a d - 【答案】B【考点】分块矩阵的行列式运算、行列式的性质、行列式按行（列）展开定理 【详解】 【解法一】132320000000000000000000000()()()a b b a b a a b a b d c c c r r c dd c a b c dc dc db a a b bc ad ad bc ad bc d c c d↔-↔=⋅=--=--故选B 【解法二】2141332320a 0000000(1)0(1)00000(1)(1)()()b a b c d c d a ba ba c dc bd c d a b a ba d cbcd c da b a b adbc c d c da b bc ad c d ad bc ++++=⨯-+⨯-=-⨯⨯--⨯⨯-=-+=-=--8、设123,,ααα为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（ ）（A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件 （C ）充分必要条件（D ）既非充分也非必要条件 【答案】A【考点】向量组的线性相关性 【详解】1231132231122123121213231323123123+k )()0++k )00+k ++k +100=0=1=0000l l k l l l αααλααλααλαλαλλαλλλλαααααααααααααα++=+=⇒==+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭已知，，无关设（即（从而，无关反之，若，无关，不一定有，，无关例如，，，二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 9、12125dx x x -∞=++⎰ .【答案】π83【考点】无穷限的反常积分 【详解】()11221211125141111221()21113arctan |[()]222428dx dx x x x xd x x πππ-∞-∞-∞-∞=+++++=+++==--=⎰⎰⎰ 10、设)(x f 是周期为4的可导奇函数，且]2,0[),1(2)(∈-='x x x f ，则=)7(f【答案】1【考点】一阶微分方程、周期函数【详解】()22'2(1)[0,2]()2()(0)00()2[0,2]()4(7)(3)(1)(1)(12)1f x x x f x x x c f x f c f x x x x f x f f f f =-∈∴=-+∴=∴=∴=-∈∴==-=-=--=Q 又是奇函数的周期为11、设(,)z z x y =是由方程22274yzex y z +++=确定的函数，则11(,)22dz = . 【答案】)(21dy dx +-【考点】隐函数求偏导、全微分 【详解】221111(,)(,)222211(,)2211,022,(2)20(22)2011,221()2yzyz x y z x y z z e y x x x z z e z y y y y z z x y dz dx dy ===∂∂⎧⋅++=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪+++=∂∂⎪⎩∂∂=-=-∂∂=-+当时，代入方程解得方程两边对分别求偏导得，解得：故12、曲线L 的极坐标方程是r θ=，则L 在点(,)(,)22r ππθ=处的切线的直角坐标方程是 . 【答案】22ππ+-=x y【考点】参数方程求导、极坐标与直角坐标的转化、切线方程 【详解】把极坐标方程化为直角坐标方程令cos cos sin sin x r y r θθθθθθ==⎧⎨==⎩2sin cos cos sin 1022012cos 02sin 22()(0)222dy dy d dx dx d dy dxx y y x y x πθθθθθθθθθπππθθπθπθθππππ=+==-+⋅==--⋅==⎧⎪=⎨==⎪⎩-=--=-+则当时，则切线方程为:化简为: 13、一根长为1的细棒位于x 轴的区间[0,1]上，若其线密度2()21x x x ρ=-++，则该细棒的质心坐标x = . 【答案】2011 【考点】质心坐标 【详解】质心横坐标公式：⎰⎰=b aba dxx dx x x x )()(ρρ 所以：43212123201121()(21)4320111201(21)()30x x x x x x dx x x x dx x x x -++-++===-++-++⎰⎰14、设二次型22123121323(,,)24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数为1，则a 的取值范围是 .【答案】]2,2[-【考点】二次型的规范形、矩阵的特征值、配方法化二次型为标准形 【详解】 【解法一】二次型对应的系数矩阵为：O a a ≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0221001，记特征值为321,,λλλ则0011)(321=+-==++A tr λλλ，即特征值必有正有负，共3种情况； 因二次型的负惯性指数为⇔1特征值1负2正或1负1正1零；0402210012≤+-=-⇔a aa ，即]2,2[-∈a【解法二】221231213232222221133223322221323322221232(,,)2424()(2)(4)(4)140[2,2]f x x x x x ax x x x x ax x a x x x x a x x ax x x a x y y a y a a =-++=++-+-=+--+-=-+--≥∈-若负惯性指数为，则，三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分）求极限1212[(1)]lim1ln(1)xtx t e t dt x x→+∞--+⎰【考点】函数求极限、变限积分函数求导、等价无穷小、洛必达法则 【详解】111221221122200((1))((1))(1)1limlimlim lim (1)111ln(1)1111lim lim 22xxttxx x x x x t t t t t e t dtt e t dtx e x x e xx x x xe t e t x t t ++→+∞→+∞→+∞→+∞→→------===--+⋅---===⎰⎰令16、（本题满分10分）已知函数()y y x =满足微分方程221x y y y ''+=-，且(2)0y =，求()y x 的极大值与极小值.【考点】微分方程、函数的极值 【详解】22222222333322'1'1'1(1)(1),(1)(1)11332(2)031123331'0,11(,1),'0,(11),'0,(1+),'0,x y y y x y y y dy x dx y dy x dx y y x x c y c y y x x x y x y x y x y x y +=--∴=+∴+=-+=-∴+=-+=∴=∴+=-+-===±+∈-∞-<∈->∈∞<⎰⎰Q 积分得又 令得时函数单调递减，时函数单调递增，时函数单调递减所以函11(1)0,(1)1()1,0x x y y y x =-=-==数在时取得极小值，在时取得极大值由函数方程解得：故：的极大值是极小值是17、（本题满分10分）设平面区域{}22(,)14,0,0D x y x y x y =≤+≤≥≥，计算D.【考点】二重积分的计算、轮换对称性 【详解】积分区域D 关于y x =对称，利用轮对称行，121sin(2D D D Ddxdy ==+=⎰⎰222011221111sin()d cos()2411cos()|cos()d 44113244d r r r rd r r r r r πθππππ==-=-+=--=-⎰⎰⎰⎰18、（本题满分10分）设函数()f u 具有2阶连续导数，(cos )xz f e y =满足22222(4cos )x x z z z e y e x y∂∂+=+∂∂.若(0)0f =，(0)0f '=，求()f u 的表达式.【考点】多元函数求偏导、二阶常系数非齐次线性微分方程【详解】 令y e u xcos =xx x xx x x xx x xe u uf y e u f y e u f e y e z yzx z y e u f y e u f y z y e u f y z y e u f y e u f x z y e u f x z 222222222222222222])(4[sin )(cos )()cos 4(cos )(sin )(),sin ()(cos )(cos )(,cos )(+=⋅''+⋅''∴+=∂∂+∂∂⋅'-⋅''=∂∂-⋅'=∂∂⋅'+⋅''=∂∂⋅'=∂∂∴Θ 即：u u f u f =-'')(4)(对应的齐次微分方程的特征方程为：042=-r 解得：2,221-==r r故齐次微分方程的通解为：u u e C e C u f 2221)(-+=设b au u f +=)(*，则0)(,)(**="='u f a u f ，代入微分方程解得：0,41=-=b a ，即u u f 41)(*-= 故u e C e C u f xx 41)(2221-+=-所以uu u u e C e C u f e C e C u f 2221222144)(,4122)(--+=''--='因为(0)0f =，(0)0f '=，代入解得：161,16121-==C C所以22111()16164x x f u e e u -=--19、（本题满分10分）设函数()f x ，()g x 在区间[,]a b 上连续，且()f x 单调增加，0()1g x ≤≤. 证明：（Ⅰ）（I ）a x dt t g xa-≤≤⎰)(0，],[b a x ∈；（II ）⎰⎰⎰≤+badtt g a abadx x g x f dx x f )()()()(【考点】定积分中值定理、不等式的证明 【详解】（I ）【解法一】因为函数)(x g 在区间],[b a 上连续，且1)(0≤≤x g . 所以⎰⎰⎰≤≤xax axadt dt t g dt 1)(0即a x dt t g x a-≤≤⎰)(0【解法二】由定积分中值定理知：存在),(b a ∈ξ，使得)()()(ξg a x dt t g xa-=⎰，又因为],[b a x ∈时1)(0≤≤x g ， 所以)()()(0a x g a x -≤-≤ξ 即a x dt t g xa-≤≤⎰)(0【解法三】[][]11111222222()()()0'()()0(),()0()()'()()10()1'()0()()0,()0xaxa h x g t dth a h x g x h x x a b h x h x g t dt x ah x g x g x h x h x h a x a b h x ===≥∴∴∈≥=-+=-≤≤∴≤∴=∴∈≤⎰⎰Q 单调增加当时，单调减少，又当时，（II ）令()()()()()xa xa g t dt aaF x f u g u du f u du +⎰=-⎰⎰()'()()()[()]()()[()]()I (),()()[()]'()0()0()0()()()ba xxaa x axa ba g t dt a aF x f x g x f a g t dt g x f x f a g t dt g x a g t dt a x a x f x f x f a g t dt F x F x F a F b f x g x dx f x dx+⎡⎤∴=-+⋅=-+⎢⎥⎣⎦+≤+-=∴≥+∴≥∴=∴≥⎰≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰由（）知又单调增加单调增加又（）即20、（本题满分11分） 设函数()1xf x x=+，[0,1]x ∈.定义数列 1()()f x f x =，21()(())f x f f x =，L ，1()(())n n f x f f x -=，L记n S 是由曲线()n y f x =，直线1x =及x 轴所围平面图形的面积，求极限lim n n nS →∞.【考点】定积分求面积、函数求极限 【详解】1213222(),()()11()(())121112()(())13112(),[0,1]111()0(1)(1)()(0)=0()0[0,1]n n n n n xf x f x f x xxxx f x f f x x x x xxx f x f f x x x x xf x x nxnx nx f x nx nx f x f f x x ==++∴===++++∴===+++=∈++-'==>++∴∴≥∈Q Q Q 由归纳法知：单调递增，，1120021111=(1)=ln(1)1111ln(1)lim lim [ln(1)]1lim ln(1)11lim 1lim 11n n n n n x x x S dx dx n nx n nx n nn nS n n n n nx xx →∞→∞→∞→∞→∞∴=--++++=-+=-+=-=-=+⎰⎰21、（本题满分11分） 已知函数(,)f x y 满足2(1)fy y∂=+∂，且2(,)(1)(2)ln f y y y y y =+--.求曲线(,)0f x y =所围图形绕直线1y =-旋转所成旋转体的体积. 【考点】偏积分、隐函数、旋转体的体积 【详解】由函数(,)f x y 满足2(1)fy y∂=+∂可知：)(2),(2x y y y x f ϕ++= 又22(,)2()(1)(2)ln f y y y y y y y y ϕ=++=+-- 所以()1(2)ln y y y ϕ=--所以x x y x x y y x y y y x f ln )2()1(ln )2(12)(2),(222--+=--++=++=ϕ 令1+=y z ，则(,)0f x y =对应的曲线方程为：x x z ln )2(2-=，定义域为]2,1[则曲线(,)0f x y =所围图形绕直线1y =-旋转，即x x z ln )2(2-=绕0=z 旋转，所成的旋转体体积πππππ)452ln 2()412(ln )212()212(ln ln )2(212221221212-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=-=-==⎰⎰⎰x x x x x x x xd xdxx dx z V x22、（本题满分11分）设E A ,302111104321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=为3阶单位矩阵.（I ）求方程组0=Ax 的一个基础解系； （II ）求满足E AB =的所有矩阵B . 【考点】解线性方程组 【详解】1234100()011101012030011205412301021310013141100126101021310013141A E --⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪-⎝⎭--⎛⎫ ⎪→--- ⎪ ⎪--⎝⎭-⎛⎫ ⎪→--- ⎪ ⎪---⎝⎭M M M M M M M M M M （I ） 方程组0=Ax 的同解方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-=4443424132x x x x xx x x ，即基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1321（II ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001Ax 的同解方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=-=+-=01312244434241x x x x x x x x ，即通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011213211k⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010Ax 的同解方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=-=+-=04332644434241x x x x x x x x ，即通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-043613212k⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100Ax 的同解方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=--=01312144434241x x x x x x x x ，即通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011113213k ，123123123123261212321313431k k k k k k B k k k k k k -+-+--⎛⎫⎪--+ ⎪∴= ⎪--+ ⎪⎝⎭，321,,k k k 为任意常数23、（本题满分11分）证明：n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111ΛM O M M ΛΛ与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100ΛM M M ΛΛ相似. 【考点】矩阵的特征值、相似对角化 【详解】设⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L L L L111111111A ，⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L L L L L0001000200n B 因为1)(,1)(==B r A r所以A 的特征值为：n A tr n n ======-)(,0121λλλλΛB 的特征值为：n B tr n n =='='=='='-)(,0121λλλλΛ 关于A 的特征值0，因为1)()()0(==-=-A r A r A E r ，故有1-n 个线性无关的特征向量，即A 必可相似对角化于⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00O同理，关于B 的特征值0，因为1)()()0(==-=-B r B r B E r ，故有1-n 个线性无关的特征向量，即B 必可相似对角化于⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00O由相似矩阵的传递性可知，A 与B 相似.。