四川省凉山州2014届高三第一次诊断性检测数学理试题 扫描版含答案
四川省绵阳市2014届高三第一次诊断性考试数学(理)试题 清晰扫描版含答案
绵阳市高2011级第一次诊断性考试数学(理)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．CBCDC ABBAD 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．912．613．514．21()e e15．①④三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．……7分若q ≠1，则S 1=b 1，q q b S --=1)1(212，qq b S --=1)1(313，于是23111(1)(1)22311b q b q b q q--⨯⨯=+--整理得：4q 2=3q +q 3，解得q =0（舍去），q =1（舍去），q =3， ………10分 ∴8031)31(244=--⨯=S ． ………………………………………………………12分 18．解：（I ）由已知A =2，且有3)0sin(2=+⋅ϕω，即23sin =ϕ， 由|ϕ|<2π得3πϕ=．又∵ 最高点为(1，2)， ∴ ，23sin(2=+πω 解得6πω=．∴ )36sin(2ππ+=x y ．…………………………………………………………6分∴ 综上知，使不等式f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |x ≤12或x =1}． ………………………………………………………………7分（II ）⎩⎨⎧<<-+≥-≤++=，，，或，1151132)(2x bx x x bx x x h若b=0时，22311()51 1.x x x h x x ⎧+≤-≥=⎨-<<⎩，或，，显然h (x )>0恒成立，不满足条件． (9)分若b ≠0时，函数ϕ(x )=bx +5在(0，1)上是单调函数， 即ϕ(x )在(0，1)上至多一个零点，不妨设0<x 1<x 2<2．①如果0<x 1<1，1≤x 2<2时，则0)1()0(<ϕϕ，且(1)(2)h h ≤0，即50(5)(211)0b b b +<⎧⎨++≤⎩，，解得112-≤5b <-． 经检验211-=b 时，)(x h 的零点为1011，2（舍去），∴112-<5b <-． ②若1≤x 1<x 2<2时224)()(4t t +----=βαβα=αβ-42+=t ．由题意知，要使原不等式恒成立，只需342<+t ，解得[t ∈．……………………………………………………………………………13分21．解：（I ）∵a x e x f x --=')(，∴ a f -='1)0(．于是由题知1-a =2，解得a =-1．∴ x x e x f x +-=221)(． ∴ (0)1f =，于是1=2×0+b ，解得b =1．……………………………………………………4分 （II ）由题意0)(>'x f 即0>--a x e x 恒成立， ∴ x e a x -<恒成立．设x e x h x -=)(，则1)(-='x e x h ．∴ ttt e et e t -⋅⋅+='21)(22ϕ )]12([22+--=tee t t ． ∵由(II)知122+>t et ，即0)12(2>+-te t， ∴ ϕ(t )<0，∴ ϕ(t )在t <0时是减函数．∴ ϕ(t )在t =0处取得极小值ϕ(0)=0． ∴ ϕ(t )>0，得证． ∴a x x 2ln 221<+．……………………………………………………………14分。
7 四川省成都市2014届高中毕业班第一次诊断性检测数学(理)试题
成都市2014届高中毕业班第一次诊断性检测数学（理工类）本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
礼答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，只将答题卡交回。
第工卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1.已知集合}3,2{-=A ，}1ln |{>=x x B ，则AB=（ ）(A ）｛-2｝ (B)｛3｝ （C)｛-2，3｝ （D ）∅ 答案 B解析 由 1ln >x ，e x >∴，∴}3{=B A .2.若复数z 满足5)21(=-i z (i 为虚数单位），则复数z 为（ ）(A)1255i + (B)i 21+ (C) i 21- (D)1255i- 答案 B解析 )R ,(∈+=b a bi a z ，5)21)((=-+∴i bi a ，⎩⎨⎧=-=+∴0252a b b a ，解得⎩⎨⎧==21b a ，i z 21+=∴.3.计算21545log -+所得的结果为（ ）(A)1 (B) 52 (C) 72 (D) 4答案 A解析 原式12121=+=.4. 在等差数列}{n a 中，158=a ，则=+++15971a a a a （ ）(A) 15 (B)30 (C) 45 (D)60答案 D 解析 数列}{n a 是等差数列，158=a ，601544815971=⨯==+++a a a a a .5.已知m ，n 是两条不同的直线，α为平面，则下列命题正确的是： (A)若m ∥α，n ∥α，则m ∥n (B)若m ⊥α，n ⊥α．则m ⊥n (C)若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n(D)若m 与α相交，n 与α相交，则m ，n 一定不相交（ ） 答案 C解析 对(A)直线m 、n 还可能相交或异面；故 (A)是假命题； 对 (B)垂直于同一个平面的两条直线平行，故 (B)时假命题； 对 (C)真命题；对 (D)直线m 、n 可能相交、平行或异面. 故真命题是(C).6.如图，在平面直角坐标系xoy 中，角βα,的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A ,B 两点,若点A ,B 的坐标为)54,53(和)53,54(-，则)cos(βα+的值为( )(A) 2524-(B)257-(C)0 (D)2524答案 A解析 依题意，53cos =α，54sin =α，54cos -=β，53sin =β， 25245354)54(53sin sin cos cos )cos(-=⨯--⨯=-=+∴βαβαβα.7、世界华商大会的某分会场有A ，B ，C ，将甲，乙，丙，丁共4名“双语”志愿者分配到这三个展台，每个展台至少1人，其中甲，乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数（ ）（A ）12种 （B ）10种 （C ）8种 （D ） 6种 答案 D解析 把甲乙看作一人再与丙丁分到三个展台有633=A 种方法. 8一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如下图所示（单位：cm)，则该几何体的体积为（ ）(A) 120 3cm (B)80 3cm (C)1003cm (D)60 3cm答案 C解析 意图以，原几何体的体积1006542131654-=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯==三棱锥长方体V V V 3cm . 9.如图①，利用斜二侧画法得到水平放置的ABC ∆的直观图C B A '''∆，其中y B A '''//轴，x C B '''//轴．若3=''=''C B B A ，设ABC ∆的面积为S ，C B A '''∆的面积为S '，记S k S '=，执行如图②的框图，则输出T 的值（ ）(A) 12 (B) 10 (C) 9 (D) 6答案 A解析 在直观图C B A '''∆中，3=''=''C B B A ，42945sin 21=⋅''⋅''⋅='∴ C B B A S ， 由斜二侧画法的画图法则，可得在ABC ∆中，6=AB ，3=BC ，且BC AB ⊥，9362121=⨯⨯=⋅⋅=∴BC AB S ，由S k S '=得22=k ，则)1(2)1(22-=-=m m k T ，故执行循环前，9=S ，22=k ，0=T ，1=m ，满足循环的条件，执行循环体后0=T ，2=m ，当0=T ，2=m ，满足循环条件，执行循环体后2=T ，3=m ； 当2=T ，3=m ，满足循环条件，执行循环体后6=T ，4=m ； 当6=T ，4=m ，满足循环条件，执行循环体后12=T ，5=m ； 当12=T ，5=m ，不满足循环条件，退出循环体后12=T . 故输出的结果为12.10.已知1|1||2|2)(+--=x x f 和)R (||2)(2∈+-=x m x x x g 是定义在R 上的两个函数，则下列命题正确的的是（ ）（A ）关于x 的方程0)(=-k x f 恰有四个不相等的实数根的充要条件是)0,1(-∈k （B ）关于x 的方程)()(x g x f =恰有四个不相等的实数根的充要条件是]1,0[∈k （C ）当1=m 时，对]0,1[1-∈∀x ，]0,1[2-∈∃x ，)()(21x g x f <成立 （D ）若]1,1[1-∈∃x ，]1,1[2-∈x ，)()(21x g x f <成立，则),1(+∞-∈m 答案 D解析 函数⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧>+-≤<-≤≤----<+=+--=21,34210,14021,1421,341|1||2|2)(x x x x x x x x x x f 的图象如图所示，故函数)(x f 的图象关于直线0=x 对称，即①正确；由图象知，关于x 的方程)()(x g x f =恰有四个不相等的实数根的充要条件是]1,0[∈k ，故②正确；当1=m 时，1||2)(2+-=x x x g ，]0,1[-∈x 时，1)21()(=-=f x f Max ，]0,1[-∈x 时，]1,0[121||2)(22∈++=+-=x x x x x g ， 故211-=x 时，不存在]0,1[2-∈x ，使得)()(21x g x f <成立，故③错误；]1,1[-∈x 时，],1[)1(12||2)(22m m m x x m x x x g -∈-+++=+-=，若]1,1[1-∈∃x ，]1,1[2-∈∃x ，)()(21x g x f <成立，则1->m ，故④正确. 故正确的命题是D.第II 卷（非选择题，共 100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11. 若1)1()(2+-+=x a x x f 是R 上的偶函数，则实数=a . 答案 1解析 依题意，021=--a ，即1=a .12. 已知6622106)21(x a x a x a a x +⋅⋅⋅+++=+，则=+⋅⋅⋅+++6210a a a a . 答案 729（或63）解析 令1=x ，则729366210==+⋅⋅⋅+++a a a a . 13、设1x ，2x 是函数x a ax x x f 2232)(+-=的两个极值点，若212x x <<，则实数a 的 取值范围是 . 答案 )6,2(解析 ))(3(23)(22a x a x a ax x x f --=+-=' ，令0)(='x f ，即3ax =或a ，要函数)(x f 有两个极值点，212x x <<，则⎪⎩⎪⎨⎧<>232a a ，62<<∴a ，故实数a 的取值范围是)6,2(.14. 已知]2,2[ππα-∈，则212cos ≥α的概率为 .答案 31解析 由]2,2[ππα-∈，则212cos ≥α，∴66παπ≤≤-，由几何概型公式，所求的概率31)2(2)6(6=----=ππππP .15.设⊙O 为不等边ABC ∆的外接圆，ABC ∆内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ,b ,c ，p是ABC ∆所在平面内的一点，且满足2b cb bc -+∙=∙（P 与A 不重合），Q 为ABC ∆所在平面外一点，QC QB QA ==.有下列命题：①若QP QA =，90=∠BAC ，则点Q 在平面ABC 上的射影恰在直线AP 上；②若QP QA =，则PC QP PB QP ∙=∙；③若QP QA >， 90=∠BAC ，则AC ABCP BP =；④若若QP QA >，则P 在ABC ∆内部的概率为OABCS S 圆∆（ABC S ∆、O S 圆分别表示ABC ∆与圆O 的面积）.其中不正确的命题有 （写出所有不正确命题的序号）． 答案 ①③④解析 2PA b c b PC PA b c PB PA -+∙=∙,∴)(22PA PC PA b cPA PB PA -∙=-∙,AC PA b c AB PA ∙=∙∴，PAC b PA b cPAB c PA ∠⋅⋅⋅=∠⋅⋅∴cos ||cos ||，PAC PAB ∠=∠∴，即AP 是BAC ∠的平分线，QC QB QA == ，Q ∴在平面ABC 上的射影是ABC ∆的外心O ，90=∠BAC ，ABC ∆是不等边三角形，∴点Q 在平面ABC 上的射影恰在直线AP 上不正确，故①错误；QP QA = ，P ∴为BC 弧的中点，BC OP ⊥∴， OP 是QP 在平面ABC 上的射影，BC QP ⊥∴，∙=∙∴，故②正确；由于QP QA >，则点P 在圆内， 60=∠BAC ，则BC 为直径，若AC ABCP BP =，则AP 为BPC ∠的角平分线，且AP 经过点O ，与ABC ∆是不等边三角形矛盾，故③不正确；若QP QA >，AP 是BAC ∠的平分线，P ∴在ABC ∆内部的概率应该为长度的测度，故④不正确.故不正确的为 ①③④.三、解答题：本大题6小题，共75分.16.（本题满分12分）已知向量)4cos ,4cos 3(2x x =，)2,4sin 2(x=，设函数x f ∙=)(.（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且13)32(+=-πB f ，3=a ，33=b ，求A 的大小.解析 （Ⅰ） b a x f ∙=)(，1)62sin(212cos 2sin 24cos 24cos 4sin 32)(2++=++=+=∴πx x x x x x x f ，又||2ωπ=T ，π4=∴T . （5分）（Ⅱ）131sin 2)32(+=+=-B B f π ，23sin =∴B ， （8分)由正弦定理，可得B b A a sin sin =，即b Ba A sin sin =，又3=a ，33=b ， 2133333sin =⨯=∴A ，由题意知A 识锐角，6π=∴A . (12分）17. （本题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且*+∈-=N ,221n S n n .（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列}{b b 满足n nn a S b =，求数列}{n b 的前n 项和n T .解析 （Ⅰ）当2≥x 时，1--=n n n S S a ，n n a 2=∴，*∈≥N ,2n n ， 又当1=n 时，211==S a ，*∈=∴N ,2n a n n . (6分）（Ⅱ）)211(22)12(2nn n n b -=-=，)211(2)211(2)211(2)211(232321n n n b b b b T -+⋅⋅⋅+-+-+-=+⋅⋅⋅+++=∴ 2212)]211([2)]21212121([2132-+=---=+⋅⋅⋅+++-=-n n n n n n . （12分）（本题满分12分）某种特色水果每年的上式时间从4月1号开始仅能持续5个月的时间.上式初期价格呈现上涨态势，中期价格开始下跌，后期价格在原价格基础上继续下跌.现有三种价格变化的模拟函数可选择：①x q p x f ⋅=)(；②7)(2++=qx px x f ；③)(log )(p x x f q +=，其中q p ,均为常数且1>q （注：x 表示上式时间，)(x f 表示价格，记0=x 表示4月1号，1=x 表示5月1号，⋅⋅⋅，依次类推，]5,0[∈x ）.（Ⅰ）在上述三种价格模拟函数中，哪个更能体现该种水果的价格变动态势，请你选择，并简要说明理由；（Ⅱ）对（Ⅰ）所选的函数)(x f ，若11)2(=f ，10)3(=f ，记1132)()(+--=x x x f x g ，经过多年的统计发现，当函数)(x g 取得最大值时，拓展外销市场的效果最为明显，请预测明年拓展外销市场的时间是几月1号？解析 （Ⅰ）根据题意，该种水果的价格变化趋势是先单调递增后一直单调递减，基本符合开口向下的二次函数的变化趋势，故应选择②7)(2++=qx px x f ， （4分）（Ⅱ）由11)2(=f ，10)3(=f ，代入7)(2++=qx px x f 得⎩⎨⎧=++=++1073911724q p q p ，解得⎩⎨⎧=-=41q p ，即74)(2++-=x x x f ，1621132)()(2++--=+--=∴x x x x x x f x g ， （8分) 2]4)1(19[)(-≤-+++-=∴x x x g ，当且仅当31=+x 即2=x 时取等号.故明年拓展外销的事件应为6月1号. (12分） （本题满分12分）如图①，四边形ABCD 为等腰梯形，DC AE ⊥，DC AE AB 31==，F 为EC 的中点，先将DAE ∆沿AE 翻折到PAE ∆的位置，如图②，且平面⊥PAE 平面ABCD .（Ⅰ）求证：平面⊥PAF 平面PBE ； （Ⅱ）求直线PF 与平面PBC 所成角的正弦值.解析 （Ⅰ）AB EF // 且ABCD EF ==31，∴四边形AEFB 为平行四边形，又AB AE = 且EC AE ⊥，∴四边形AEFB 为正方形，BE AF ⊥∴. （3分）平面⊥PAE 平面ABCE ，又AE PE ⊥，平面 PAE 平面AE ABCE =，⊥∴PE 平面ABCE ，AE PE ⊥∴，又E PE BE = ，∴平面⊥PAF 平面PBE . (6分）（Ⅱ）以E 为坐标原点，EC 、EA 、EP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图的空间直角坐标系xyz E -，设4=AB ，易知)4,0,0(P ，)0,4,0(A ，)0,4,4(B ，)0,0,8(C ，)0,0,4(F ，)4,0,4(-=∴PF ，)0,4,4(-=BC ，)4,4,4(-=PB ， （8分)设),,(z y x n =为平面PBC 的一个法向量，⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙∴00PB n ，∴⎩⎨⎧=-∙=-∙0)4,4,4(),,(0)0,4,4(),,(z y x z y x ， 即⎩⎨⎧=-+=-0444044z y x y x ，令1=x ，∴)2,1,1(=， 63|211)4(4)2,1,1()4,0,4(|||||||sin 22222=++⋅-+∙-=⋅=n PF α ，∴直线PF 与平面PBC 所成角的正弦值为63. （12分）20.（本题满分13分）我国采用的5.2PM 的标准为：日均值在35微克/立方米以下的空气为一级；在35微克/立方米-75微克/立方米之间的空气质量为二级；75微克/立方米以上的空气质量为超标.某城市环保部门随即抽取该市m 天的5.2PM 日均值，发现其茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下图所示：请据此解答如下问题：（Ⅰ）求m 的值，并分别计算：频率分布直直方图中的)95,75[和)115,95[这两个矩形的高；（Ⅱ）通过频率分布直方图估计这m 天的5.2PM 日均值的中位数（结果保留分数形（Ⅲ）从这m 天的5.2PM 日均值中随机抽取2天，记X 表示抽到的5.2PM 超标天数，求X 的分布列和数学期望.解析 （Ⅰ）200025.01⨯=m，20=∴m ，易知矩形)95,75[的高为0225.04009=，矩形]115,95[的高为01.0. （5分)（Ⅱ）其中位数为328132075=+. （8分）（Ⅲ）10021)0(22023===C C X P ，10091)1(22011313===C C C X P ，10039)2(220213===C C X P ，X ∴的分布列为：1013100393100912100211)(=⨯+⨯+⨯=∴X E . （13分）21.（本题满分14分）已知函数)1ln()(+=x a x f ，R ,21)(2∈-=a x x x g . （Ⅰ）若1-=a ，求曲线)(x f y =在3=x 出的切线方程；（Ⅱ）若对任意的),0[+∞∈x 都有)()(x g x f ≥恒成立，求a 的最小值；（Ⅲ）设)1()(-=x f x P ，0>a ，若),(11y x A ，),(22y x B 为曲线)(x P y =上的两个不同点满足210x x <<，且),(213x x x ∈，使得曲线)(x f y =在0x 处的切线与直线AB 平行，求证2213x x x +<.解析 （Ⅰ）41)3(-='=f k ，)3(212ln 2--=+∴x y ，2ln 24341-+-=∴x y .（Ⅱ）由221)1ln(x x x a -≥+恒成立等价于021)1ln(2≥+-+x x x a 恒成立， 令221)1ln()(x x x a x h +-+=，0≥x ，)0(1111)(2≥+-+=+-+='∴x x a x x x a x h ，①若1≥a ，则0)(≥'x h 恒成立.∴函数)(x h 在),0[+∞上是增函数，)0()(h x h ≥∴恒成立，又0)0(=h ，1≥∴a 符合条件.②若1<a ，由0)(='x h 可得a x -=12，解得a x -=1或a x --=1（舍去）， 当)1,0(a x -∈时，0)(<'x h ；当),1(+∞-∈a x 时，0)(>'x h ，)1()(a h x h -=∴最小值，0)1()1(=<-∴h a h ，这与0)(≥x h 恒成立矛盾. 综上所述，1≥a ，a 的最小值为1. （9分）（Ⅲ）x a a f x P ln )()(=-=，1212ln ln x x x a x a k AB --=， 又x a x P =')( ，33)(x a x P ='∴，∴31212ln ln x ax x x a x a =--， 由x ax P =')( ，易知其定义域内为单调减函数， 欲证2213x x x +<，即证明)2()(213x x P x P +'>'，即证明2112122ln ln x x a x x x a x a +=--，变形可得12122112121)1(2)(2x x xx x x x x x x +-=+->，令tx x =12，1>t ， 则1)1(2ln +->t t t 等价于)1(2ln )1(->+t t t ，构造函数)1(2ln )1()(--+=t t t x q ，1>t ， 则1,11ln )(>-+='t t t x q ，令1,11ln )(>-+=t t t t r ，当1>t 时，0111)(22>-=-='t t t t t r ，)(t q '∴在),1(+∞上为单调增函数，0)1()(='>'q t q ，0)1()(=>∴q t q ，0)(>∴t q 在),1(+∞上恒成立， )1(2ln )1(->+∴t t t 成立，∴2213x x x +<. （14分）。
2014届四川省凉山州高三第二次诊断性检测理科数学试题 (含答案详解)
启用前☆请保密 【考试时间：2014年3月15日下午15:00~17:00】凉山州市高中2014届毕业班第二次诊断性检测数 学（理科） 第I 卷（选择题 50分）一、选择题（共10个小题，每小题5分，在每小题所给出的四个选项中，只有一个符合要求）1.设集合{}0432≥+-=x x x A ，集合{}1log 2＞x x B =，则=⋂B C A B （ ）A. ()2-，∞ B.(]2-，∞ C.()2,0 D.(]2,0 2.若命题p ：,N n ∈∃使20142＞n，则p ⌝为（ ）A.,N n ∈∃20142≤nB.,N n ∈∃20142≥nC.,N n ∈∃20142≤nD.,N n ∈∃20142＜n3.如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边均为1的球体的表面积是（ ）A.21+B.222+C.31 D.22+4.从500张100元，3张200元，2张300元的冬奥会门票中任选3张，则3张相同的门票价格的概率是（ ）A.41 B.12079 C.43 D.24235.如图所示的程序框图，如果输入135,225==n m ，那么输出的值为（ ） A.45 B.5 C.15 D.906.函数x x x f sin 3log )(2-=的零点个数为（ ）A.4B.3C.2D.17.若21F F 、是双曲线15422=-y x 的两个焦点，点P 是该双曲线上一点，满足921=+PF PF ,则=∙21PF PFA.4B.5C.425D.2 8.若顶点在原点，始边为x 轴的非负半轴的钝角α的终边与圆222=+y x 相交于()11,y x A ，射线OA 绕点O 顺时针旋转30°后，与圆222=+y x 相交于()22,y x B ，当21x x -有最大值时，=αcos （ ）A.23-B.22-C.426-D.462- 9.设集合()(){}0ln 412＜n n x x x A n +---=，当n 取遍区间()3,1内的一切实数，所有的集合n A 的并集是（ ）A.()3ln 131-， B.()61， C.()∞+，1 D.()21， 10.设函数()02)(22≠--=ab x b a x f ,当11≤≤-x 时，()0≥x f 恒成立，当ba 34+取得最小值时，a 值为（ ）A.2B.3C.2±D.3±第II 卷（非选择题 100分）二、填空题（每小题5分，共5个小题，满分25分）11.若Z 是纯虚数，且2=z ，则=Z _______________. 12.在()20-1x的展开式中，系数为有理数的项共有________项.13.已知()y x P ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥≤03211y x y x ，则点P 到直线0943=--y x 的距离的最小值为_____________.14.设函数()[]()2,2,02sin 2)(2-≥∈+=a x xax x x g π的值域为[]0,2-，则实数a 的值为_____________.15.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()....3,2,12,111===+n S a a n n ，给出下列四个命题： ①数列{}n a 是等比数列；②数列{}n S 是等比数列;③∃常数0＞c ，使()+=∈≤∑N n c a ni i11恒成立；④若()()....3,2,10223=≥+-n a S n n γ恒成立，则⎪⎭⎫ ⎝⎛∞∈310-，γ.以上命题中正确的命题是__________________（写出所有正确命题的序号）. 三、解答题（共6个小题，满分75分）16.（本小题满分12分） 已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，且,11=a 又1,4,1332--+a S a 成等差数列.（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）求数列{}12log ++n n a a 的前n 项和.17.（本小题满分12分）在△ABC 中，三个内角A,B,C 所对应边分别为c b a ,,，且a Ab B A a 2cos s in s in 2=+.（I ）求ab的值； （II ）若A,B,C 成等差数列，求C cos 的大小. 18.（本小题满分12分）三棱柱111C B A ABC -，平面11ABB A ⊥平面ABC ，21==AB AA ,︒=∠601AB A ，2==BC AC .O,E 分别是1,CC AB 中点.（I ）求证：//OE 平面B C A 11;（II ）求直线1BC 与平面11A ABB 所成角的大小.19.（本小题满分12分）在学习完统计学知识后，两位同学对所在年级的1200名同学一次数学考试成绩作抽样调查，两位同学采用简单随机抽样方法抽取100名学生的成绩，并将所选的数学成绩制成如下统计表，设本次考试的最低期望分数为90分，优等生最低分130分，并且考试成绩分数在[)90,85的学生通过自身努力能达到最低期望分数.（I ）求出各分数段的频率并作出频率分布直方图；（II ）用所抽学生的成绩在各个分数段的频率表示概率，请估计该校学生数学成绩达到最低期望的学生分数和优等生人数；（III ）设考试成绩在[)90,85的学生成绩如下：80,81，83，84，86，89，从分数在[)90,85的学生中抽取2人出来检查数学知识的掌握情况，记所抽取学生中通过自身努力达到最低期望分数的人数为ξ,求ξ的分布列和期望.20.（本小题满分13分）设非零平面向量n m ,,(),=θ,规定θ=⊗.21F F ，是椭圆:C ()012222＞＞b a b y a x =+的左、右焦点,点N M ,分别是其上的顶点，右顶点，且26=⊗,离心率31=e（I ）求椭圆C 的方程；（II ）过点2F 的直线交椭圆C 于点B A ,，求：⊗的取值范围.21.（本小题满分14分）设函数ax x x f +=ln )(.（I ）当1-=a 时，求)(x f 的最大值；（II ）若)(x f 在定义域上恒为增函数，求a 取值范围；（III ）设B A ,是函数图像上任意两点，AB 的中点为M ，若直线l 是)(x f y 的切线，且切点为N ,且MN l //，证明：MN 与x 轴不可能垂直.。
四川省凉山州最新通用版 届高三第一次诊断性检测数学(理)试题(详解版)
四川省凉山州2019+届高中毕业班第一次诊断性检测数学（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}210A x x =-，集合{}1,0,1,2B =-，则A B ?（ ）A. {}1,0-B. {}0,1C. {}1,2D. {}1,1- 【答案】C 【解析】 【分析】先求得集合A 中不等式的解集，然后求集合A,B 的交集. 【详解】由210x ->得12x >，故{}1,2A B ?.故选C.【点睛】本小题主要考查一元一次不等式的解法，考查集合交集的求法，属于基础题.2.已知复数3iz i=+，则z 的共轭复数z =（ ） A. 131010i - B. 131010i + C. 1322i + D. 1322i -【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法运算可得z ，再由共轭复数的概念求z 即可. 【详解】复数()()()33113333911010i i i i z i i i i -+====+++-+， z 的共轭复数131010z i =-.故选A.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及共轭复数的概念，属于基础题.3.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1AB 、1BC 的中点，下列结论中，正确的是（ ）A. 1EF BB ^B. EF ^平面11BCC BC. //EF 平面1D BCD. //EF 平面 11ACC A 【答案】D 【解析】 【分析】连接1B C ，利用中位线证得//EF AC ，由此证得//EF 平面11ACC A .【详解】连接1B C 交1BC 于F ，由于四边形11BCC B 是平行四边形，对角线平分，故F 是1B C 的中点.因为E 是1AB 的中点，所以EF 是三角形1B AC 的中位线，故//EF AC ，所以//EF 平面11ACC A .故选D.【点睛】本小题主要考查直线和平面的位置关系，考查棱柱的侧面是平行四边形这一几何性质，还考查了三角形的中位线以及线面平行的证明.两条直线平行，在直观图中，这两条直线是平行的，通过直观感知//EF AC ，再根据线面平行的判定定理即可得出正确的选项.属于基础题. 4.已知双曲线E 的渐近线方程是2y x =?，则E 的离心率为（ ）A.2或2 B. 55 C. 5 D. 5【答案】B 【解析】 【分析】讨论双曲线的焦点在x 轴和y 轴两种情况，利用222e 1()c a b ba a a+==+.【详解】当双曲线的焦点在x 轴上时，若渐近线方程是2y x =?，则2ba=. 则离心率222e 1()5c a b ba a+=+.当双曲线的焦点在y 轴上时，若渐近线方程是2y x =?，则2ab=. 则离心率2225e 1()c a b b a a +==+55故选B.【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率公式222e 1()c a b ba a+==+，注意双曲线的焦点所在的轴是x 还是y 轴，属于易错题. 5.执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A. 32-B. 32C. 12-D. 12【答案】D 【解析】 【分析】根据程序运行的顺序，求得k 的值，代入πsin6k S =，从而求得输出S 的值. 【详解】运行程序，当5k =时，判断“是”，退出循环结构，5π1sin 62S ==，故选D.【点睛】本小题主要考查程序框图的知识，解决这类问题只需要按照程序运行的顺序，循环结束后可求得输出的值.6.设ABC D 是边长为2的正三角形，E 是BC 的中点，F 是AE 的中点，则·()AB FB FC +u u u v u u u v u u u v的值为（ ）A. 3B. 3C. 4D. 33 【答案】A 【解析】 【分析】用,AB AC u u u v u u u v 表示,FB FC u u u v u u u v ,在利用向量数量积的运算，求得()·AB FB FC +u u u v u u u v u u u v的值. 【详解】()()122AB FB FC AB FE AB AE AB AB AC?=???u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v()2211π222cos 3223AB AB AC 骣琪=+?+创=琪桫u u u v u u u v u u u v ，故选A. 【点睛】本小题主要考查平面向量的线性运算，考查平面向量数量积的计算，还考查了等边三角形的几何性质，属于基础题. 7.设函数2()sin cos()44f x x x p =--，任意x R Î都满足()()f c x f c x +=-，则c 的值可以是（ ） A.8p B. 38p C. 2p D. 58p【答案】B 【解析】 【分析】化简函数得()1sin 224f x x p 骣琪=-琪桫，由()()f c x f c x +=-，得x c =为函数的对称轴，令22,42x k k Z p pp -=+?解出对称轴即可得解. 【详解】函数()2sin cos 4f x x x p 骣琪=--琪桫 222sin 224x sinx 骣琪=-琪桫 2222sin x x =-1sin 224x p 骣琪=-琪桫，任意x R Î都满足()()f c x f c x +=-，即为x c =为函数的对称轴.令22,42x k k Z p p p -=+?，解得3,8x k k Z p p =+?. 当0k =时，38x p=.故选C.【点睛】本题主要考查了两角差的余弦展开公式、二倍角公式及三角函数的对称性，属于中档题.8.已知,x y R Î，则“22(2)8x y +-?”是“60x y -+>”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 【答案】D 【解析】 【分析】画出两个不等式所表示的区域，根据其中的包含关系得出正确选项. 【详解】不等式()2228x y +-?表示圆内和圆上，不等式60x y -+>表示直线的右下方.画出图像如下图所示，由图可知，A 点在圆上，而不在直线右下方，故两个部分没有包含关系，故为不充分不必要条件.【点睛】本小题主要考查对于圆内、圆上和圆外的表示，考查二元一次不等式表示的区域，还考查了充要条件的判断.属于基础题.9.在ABC D 中，,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，若6a =2b c =，7cos 8A =，则ABC D 的面积等于（ ） A. 3 B. 15C. 15D. 17【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理可得222222467cos 248b c a c c A bc c +-+-===，可得c ，进而得b ，利用面积公式12ABC S bcsinA D =即可得解.【详解】在ABC D 中，由余弦定理可得222222467cos 248b c a c c A bc c +-+-===. 解得2c =.所以24b c ==. 又215sinA 18cos A =-=. 所以1152ABC S bcsinA D =故选B.【点睛】本题主要考查了余弦定理求解三角形及面积公式的应用，属于基础题. 10.一个弹性小球从100m 高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的23再落下，设它第n 次着地时，经过的总路程记为n S ，则当2n ³时，下面说法正确的是（ ）A. 500n S <B. 500n S £C. n S 的最小值为100D. n S 的最大值为400 【答案】A 【解析】 【分析】通过归纳得到第n 次着地时,共经过了21222[1001002100()2100)2m 333n -纟ç+创+创++创úçú棼L ，从而得12100400[1)3n n S -纟ç=+-úçú棼，从而可得数列单调递增，有最小值，再根据有界性可得500n S <.【详解】第一次着地时,共经过了100,第二次着地时,共经过了21001002m 3骣琪+创琪桫,第三次着地时,共经过了222[1001002100)2m 33纟ç+创+创úçú棼,以此类推,第n 次着地时,共经过了21222[1001002100()2100)2m 333n -纟ç+创+创++创úçú棼L . 所以114002[1)233100100400[1)2313n n n S --纟-?úç纟ú棼ç=+=+-úçú棼-， 则n S 是关于n 的单调增函数，所以当2n ³时，2n =，n S 有最小值为27003S =. 又12100400[1)1004005003n n S -纟ç=+-<+=úçú棼.故选A.【点睛】本题主要考查数列的前项和的取值范围的求法,考查等比数列的性质.11.十七世纪法国数学家费马提出猜想：“当整数2n >时，关于,,x y z 的方程n n n x y z +=没有正整数解”.经历三百多年，于二十世纪九十年中期由英国数学家安德鲁·怀尔斯证明了费马猜想，使它终成费马大定理，则下面说法正确的是（ ） A. 存在至少一组正整数组(,,)x y z 使方程333x y z +=有解 B. 关于,x y 的方程331x y +=有正有理数解 C. 关于,x y 的方程331x y +=没有正有理数解D. 当整数3n >时，关于,,x y z 的方程n n n x y z +=没有正实数解 【答案】C 【解析】 【分析】由于B,C 两个命题是对立的，故正确选项是这两个选项中的一个.利用反证法，先假设有正有理数解，然后推出跟题目所给费马大定理矛盾，由此得出方程没有正有理数解. 【详解】由于B,C 两个命题是对立的，故正确选项是这两个选项中的一个.假设关于,x y 的方程331x y +=有正有理数解，故,x y 可写成整数比值的形式，不妨设,m bx y n a==，其中,m n 为互质的正整数，,a b 为互质的正整数.代入方程得33331m b n a+=，两边乘以33a n 得()()()333am bn an +=，由于,,am bn an 都是正整数，这与费马大定理矛盾，故假设不成立，所以关于,x y 的方程331x y +=没有正有理数解.故选C.【点睛】本小题主要考查对新概念的理解和运用，考查了反证法证明命题成立，考查了有理数的概念与性质.有理数是有限小数或者无限循环小数.另一种说法是有理数是可比数，即可以写成两个整数比值的数.根据有理数的性质，利用反证法，推出和费马大定理矛盾的结果，由此得出正确选项.属于难题.12.若120x x a <<<都有211212ln ln x x x x x x -<-成立，则a 的最大值为（ ） A.12B. 1C. eD. 2e 【答案】B 【解析】 【分析】将题目所给不等式转化为12121ln 1ln x x x x ++<，构造函数()1ln xf x x+=，利用导数研究函数()f x 的单调性，由此得出正确的选项. 【详解】原不等式可转化为12121ln 1ln x x x x ++<，构造函数()1ln xf x x+=，()2ln xf x x -=¢，故函数在()0,1上导数大于零，单调递增，在()1,+?上导数小于零，单调递减.由于12x x <且()()12f x f x <，故12,x x 在区间()0,1上，故a 的最大值为1，所以选B.【点睛】本小题主要考查利用导数求解不等式恒成问题，考查了化归与转化的数学思想方法.属于中档题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.二项式43x x 骣琪-琪桫的展开式中常数项为__________．【答案】-4 【解析】 【分析】首先写出二项式展开式的通项公式，然后确定其常数项即可.【详解】由二项式展开式的通项公式可知二项式43x x 骣琪-琪桫展开式的通项公式为：()444314431rr rr rr r T C x C xx--+骣=-=-，令4403r -=可得：3r =，则展开式的常数项为：()33414C -=-. 【点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解． 14.已知正数,m n 满足21m n +=，则2log ()mn 的最大值是__________． 【答案】-3 【解析】 【分析】由基本不等式222m n mn +?mn 有最大值18，从而得解.【详解】正数,m n 满足21m n +=， 又222m n mn +?18mn £. 当且仅当122m n ==，即11,42m n ==时，mn 有最大值18. 从而()2log mn 有最大值21log 38=-.故答案为：-3.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，属于基础题.15.设ABO D （O 是坐标原点）的重心、内心分别是,G I ，且//BO GI u u u v u u v，若(0,4)B ，则cos OAB Ð的最小值是__________．【答案】12【解析】 【分析】由//BO GI u u u v u u v，所以3A x r =，（r为ABO D 内切圆的半径），再由()1122ABO A S AB AO OB r OB x =++=n n ，从而得8AB AO +=，再由余弦定理222|cos 2AB AO OBOABAB AO+-?n ，结合基本不等式即可得最值.【详解】因为重心、内心分别是,G I ，且//BO GI u u u v u u v，所以3A x r =，（r 为ABO D 内切圆的半径）， 又()1113r 222ABO A S AB AO OB r OB x OB =++==n n n .且4OB =. 解得8AB AO +=. 所以22222|()21624241cos 11222()2AB AO OBAB AO AB AO OABAB AO AB AOAB AOAB AO+-+--?==-?=+n n n n .当且仅当4AB AO ==时，即ABO D 为等边三角形cos OAB Ð有最小值12. 【点睛】本题考查了三角形的重心与内心的性质、三角形的面积计算公式，余弦定理与基本不等式，综合性较强，难度较大.16.定义函数{}()max ,f x x x l l =-，x R Î，其中0l >，符号{}max ,a b 表示数,a b 中的较大者，给出以下命题： ①()f x 是奇函数；②若不等式(1)(2)1f x f x -+-?对一切实数x 恒成立，则1l ³③=1l 时，()()(1)(2)(100)F x f x f x f x f x =+-+-++-L 最小值是2450 ④“0xy >”是“()()()f x f y f xy +?”成立的充要条件以上正确命题是__________．（写出所有正确命题的序号）【答案】② 【解析】 【分析】函数()f x 等价于()f x x l =.利用奇偶性排除①，利用利用分离常数法，判断②正确.利用倒序相加法判断③错误.【详解】函数()f x 等价于()f x x l =，.这是一个偶函数，故命题①错误.对于命题②，不等式等价于()121x x l-+-?，即max112x x l 骣琪³琪-+-桫由于12x x -+-()()121x x ?--=，故max1112x x 骣琪=琪-+-桫，所以1l ³，故命题②是真命题.对于③，当1l =时，()1100F x x x x =+-++-L ，()10099F x x x x=-+-++L 两式相加得()()()()2100199100F x x x x x x x =+-+-+-++-+L ，而()100100100x x xx +-?-=，()19919998x x x x -+-?--=，以此类推，可得()()()2210098962,100989622550F x F x >++++>++++=L L .故③为假命题.对于④()()()f x f y x y l+=+，()f x y x y l+=+，即x y x y +?，这对任意的,x y 都成立，故0xy >不是它的充要条件.命题④错误.故填②.【点睛】本小题主要考查对于新定义概念的理解.将新定义的概念，转化为绝对值不等式来解决，属于化归与转化的数学思想方法.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，如下表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）将学生日均课外体育运动时间在[40,60)上的学生评价为“课外体育达标”.（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面22´列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该校高三学生中，抽取3名学生，记被抽取的3名学生中的“课外体育达标”学生人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求2X=时的概率(2)P X=及X的数学期望.参考公式：22()()()()()n ad bcka b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.参考数据：【答案】(1)见解析;（2）34.【解析】试题分析：（1）根据所给的数据列出列联表，再代入公式计算得出2K，与临界值比较即可得出即结论；（2）由题意，用频率代替概率可得出抽到“课外体育达标”学生的频率为0.25，由于13,4X B 骣琪~琪桫，由公式计算出期望与方差即可.试题解析：（1）列出列联表， 课外体育不达标 课外体育达标 合计 男 60 30 90 女 90 20 110 合计 15050200()22200602030902006.060 6.635150509011033K 创-?==?创?, 所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关. （2）由表中数据可得，抽到“课外体育达标”学生的概率为0.25， 将频率视为概率，∴13,4X B 骣琪~琪桫，∴()13344E X =?. 18.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，14CC =，2AB =，22AC =，045BAC ?，点M 是棱1AA 上不同于1,A A 的动点.（1）证明：1BC B M ^；（2）若平面1MB C 将棱柱111ABC A B C -分成体积相等的两部分，求此时二面角1M B C B --的余弦值.【答案】（1）见解析； （26【解析】 【分析】（1）先由余弦定理可求得2BC =，再由勾股定理可得090ABC ?，然后由BC AB ^和1BC BB ^即可证得BC ^平面11ABB A ，从而得证；（2）由题设知，111112C ABB ABC A B C V V --=，结合柱体的体积可得2AM =，所以M 是1AA 的中点，以B 为坐标原点，1,,BA BC BB 的方向为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，进而利用法向量求解二面角即可.【详解】（1）证明：（方法一）在ABC D 中，由余弦定理2220||||2cos 482222cos454BC AB AC AB AC BAC =+-?+-创=.∴2BC =，则222||8||AB BC AC +==，∴090ABC ?.∴BC AB ^，又1BC BB ^，1=BB AB B Ç， ∴BC ^平面11ABB A 又1B M Ì平面11ABB A ， ∴1BC B M ^证明：（方法二）在ABC D 中，0|AC|cos BAC=22cos452AB ?=，∴090ABC?，∴BC AB ^又1BC BB ^，1=BB AB B Ç， ∴BC ^平面11ABB A 又1B M Ì平面11ABB A ， ∴1BC B M ^（2）11111·22482ABC A B C ABC V S CC -D ==创?由题设知，1111118422C ABBABC A B C V V --==?又11112433C ABB ABB ABB V S BC S -D D === 2AM =，∴M 是1AA 的中点.∴以B 为坐标原点，1,,BA BC BB 的方向为x 轴，y 轴，z 轴建立如图的空间直角坐标，∴()2,0,2A ，()0,0,0B ，()10,0,4B ，()0,2,0C ，()10,2,4CB =-u u u v ，()12,0,2B M =-u u u u v设()1111,,n x y z =u v是平面1ACB 的法向量，11·0·0n CB n B M ì=ïí=ïîu u u v v u u u uv v ，1111240220y z x z ì-+=ïí-=ïî，令11x =，12y =，11z = ∴()11,2,1n =u v平面1B BC 的法向量()21,0,0n =u u v，121212·6cos ,66n n n n n n ===u v u u vu v u u v u v u u v . 所以二面角1M B C B --的余弦值为66. 【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明及柱体和椎体的体积公式，利用空间向量求解二面角问题，属于常规题型.19.设有三点,,A B P ，其中点,A P 在椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上，(0,2)A ，(2,0)B ，且6OA OB +=u u u v u u u vu u uv . （1）求椭圆C 的方程；（2）若过椭圆C 的右焦点的直线l 倾斜角为045，直线l 与椭圆C 相交于,E F ，求三角形OEF 的面积.【答案】（1）22184x y +=； （2）83.【解析】 【分析】（1）先求得b 的值.设出P 点坐标，代入62OA OB +=u u u v u u u vu u uv ，化简后可求得P 点坐标，将P 点坐标代入椭圆方程，由此求得a 的值，并求出椭圆方程.（2）由（1）求得椭圆焦点的坐标，利用点斜式得到直线l 的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，利用两点间距离公式求得EF 的长度，利用点到直线的距离公式求得O 到直线l 的距离，由此求得三角形OEF 的面积.【详解】（1）解：由题意知，2b =， 设(),P x y ，()0,2A ，()2,0B ，由62OA OB +=u u u v u u u vu u u v ，∴())62,2,2x y =， ∴66x y ì=ïïíï=ïî设椭圆方程22214x ya +=②，将①代入②，216166614a +=∴28a =，∴椭圆方程为22184x y +=（2）222c a b -=，∴L 的方程2y x =-代入22184x y +=，整理得2380x x -=，∴0x =或83x =， ∴交点坐标为()0,2-和82,33骣琪琪桫228882333EF 骣骣琪琪+琪琪桫桫O 到l 的距离为222d -==所以18822233OEF S D =创=， 所以三角形OEF 的面积为83.【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆标准方程的求法，考查了向量加法和减法的坐标运算，以及两点间的距离公式和点到直线距离公式.有关直线和椭圆相交所得的弦长，往往通过联立直线的方程和椭圆的方程，求出交点坐标或者利用韦达定理和弦长公式来求解.20.设各项为正数列{}n a 满足：213212n n a a a a a a n l +---=+L （l 是常数）. （1）判断是否存在l ，使数列{}n a 满足对任意正整数n ，有122n n n a a a ++=+恒成立？若存在，求出l ；若不存在，请说明理由.（2）当1l =-，10a =时，求数列{}2n a 前n 项和n S 的表达式.【答案】（1）存在0l =，使122n n n a a a ++=+成立； （2）4313215n n S -+=.【解析】 【分析】 （1）由213212n n a a a a a a n l+---=+L 和()2132121n n a a a a a a n l ----=-+L ()2n ³作差可得14n n a a +-=()2n ³，然后只需()22124a a l -=+=即可得解；（2）根据条件可得1,1216,2128n a n n n ì=ï=íï³ïî，当2n ³时，()2311161616128n n S =++++L ，利用等比数列求和公式求解即可，再验证1n =时也成立即可. 【详解】（1213212n n a a a a a a n l +---=+L ①()2132121n n a a a a a a n l ----=-+L ()2n ³ ②①-12n n a a +-=，即14n n a a +-= ()2n ³ 当1n =212a a l -=+，()2212a a l-=+又122n n n a a a ++=+，所以数列{}n a 为等差数列， 所以()22124a a l-=+=，所以0l =，所以存在0l =，使122n n n a a a ++=+成立.（2）由（1）可知，当1l =-，10a =时，0,147,2n n a n n ì=ï=í-?ïî 所以1,1216,2128n a n n n ì=ï=íï³ïî，所以，当2n ³时，()2311161616128n n S =++++L ()2143161161132112811615n n ---+=+?-， 当1n =时，11132115S +==，所以1n =也成立，所以4313215n n S -+=.【点睛】本题主要考查了由数列的递推求数列的通项公式及等比数列求和，注意运算过程中，数列下标的变化及范围，属于易错题型.. 21.设函数()23ln f x x a x =+.（1）当1a =-时，求函数()f x 的单调减区间； （2）若()()()3F x f x f x 轾=-臌有三个不同的零点，求a 的取值范围；（3）设()()12H x f x x =-，若()H x 无极大值点，有唯一的一个极小值点l ，求证：()12H l ?.【答案】（1）函数()f x 在6骣琪琪桫上单调递减，在6骣琪+?琪桫上单调递增； （2）6a e=-或0a =； （3）见解析 【解析】 【分析】（1）求函数导数，由()'0f x >得增区间，由()'0f x <得减区间；（2）设()f x t =，则()30F x t t =-=，则0t =或1t =或1t =-，讨论a 和0的大小关系，由()f x 的单调性及最值，分析()01f x =?，时是否有三个根即可； （3）由题意可知，令()'0H x =，即26120x x a -+=在()0,+?内有唯一的一个正根，由求根公式得方程两个根12x x ，，因为只能有一个正跟，从而得0a <，所以[)22,x l =??，由()0H l ¢=，得2126a l l=-，代入()H l ，求导利用单调性即可证得.【详解】（1）当1a =-时，()23ln f x x x =-，()2161'6(0)x f x x x x x-=-=>.当()'0f x >时，6x ()'0f x <时，60x < 所以函数()f x 在6骣琪琪桫上单调递减，在6骣琪+?琪桫上单调递增.（2）设()f x t =，则()30F x t t =-=，则0t =或1t =或1t =-，()26'6(0)a x af x x x x x+=+=>.01当0a >时，()'0f x >恒成立，∴()f x 在()0,+?上为增函数，且0x +®时，()f x ??；x ??时，()f x ??，则()f x t =的零点有3个，符合题意.02当0a =时，()23(0)f x x x =>，此时()f x t =只有一个零点，不合题意.03当0a <时，若()'0f x >，则6a x >-()'0f x <时，06a x <-， 函数()f x 在6a 骣琪-琪桫上单调递减，在,6a 骣琪-+?琪桫上单调递增. 又且0x +®时，()f x ??；x ??时，()f x ??，所以()1f x =或()1f x =-或()0f x =要有三个零点，则06a f 骣琪-=琪桫即3ln 066a a a 骣骣琪琪-+-=琪琪桫桫，所以6a e =- 综上所述，6a e =-或0a =.（3）()()2123ln 12H x f x x x a x x =-=+- ()2612'612(0)a x x a H x x x x x-+=+-=>. 因为()H x 在()0,+?无极大值点，有唯一的一个极小值点l即()'0H x =，即26120x x a -+=在()0,+?内有唯一的一个正根. 所以144240a D=->，即6a < 又1121442412a x --=，2121442412a x -=， 又因为只有唯一的一个正根，所以10x <即0a <.当0a <时，()H x 在()20,x 上单调递减，在()2,x +?上单调递增. 此时()H x 无极大值，有唯一一个极小值点2x ， 所以[)22,x l =??，所以()()2612'02a H l l l l l-+==? 所以2126a l l =-所以()()()2223ln 123126ln 122H a l l l l l l l l l l =+-=+--?()()()2126'61212ln 12121ln 0H l l l l l l l l l-=+-+-=-=. 所以()H x 在[)2,+?上单调递减，所以()()2122412H H l ?-=- 综上，()12H l ?.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值及单调性以及方程的实数根问题，解题过程中用到了分类讨论的思想，分类讨论的思想也是高考的一个重要思想，要注意体会其在解题中的运用，属难题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin r q =，直线l 的极坐标方程为0()R q q r =?，曲线C 与直线l 相交于,A B 两点.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）当0=3p q 时，求|AB|. 【答案】（1）2220x y y +-=； （23.【解析】【分析】（1）对曲线C 的极坐标方程两边乘以r ，可转化为直角坐标方程.（2）将π3q =代入圆的极坐标方程，直接求得AB 的长度.【详解】（1）由2sin r q =，即22sin r r q =，所以222x y y +=，所以曲线C 的直角坐标系方程为2220x y y +-=，（2）解一：3p q =时，2sin 33AB p r ==解二：曲线C 的标准方程为()2211x y +-=，直线l 的方程为3y x ，212132AB 骣琪=-=琪桫【点睛】本小题主要考查极坐标和直角坐标相互转化，考查利用极坐标方程来求弦长的方法，基础题.23.已知函数()21f x x a x =+++.（1）当1a =时，解关于x 的不等式()2f x ³；（2）当1a =-时，求()f x 的最小值.【答案】（1）4(,][0,)3-???； （2）32. 【解析】【分析】（1）当1a =时，利用零点分段法，将函数的绝对值去掉，变为分段函数的形式，再解不等式组，求得x 的范围.（2）利用零点分段法，将()f x 的绝对值去掉，变为分段函数的形式，由此求得函数的最小值.【详解】（1）1a =时，()2f x ³，即2112x x +++?， 所以1322x x ì?ïí--?ïî或1122x x ì-<<-ïíï-?î或12322x x ì>-ïíï+?î，解得43x £或0x ³ 所以不等式的解集为][4,0,3骣琪-???琪桫.（2）1a =-时，()3,112,1213,2x x f x x x x x ìï-<-ïïï=--＃íïïï>ïî， ()min 1322f x f 骣琪==琪桫()f x 的最小值为32. 【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法.主要的方法就是零点分段法，将函数转化为分段函数来解决，属于基础题.。
四川省绵阳市2014届高三第一次诊断性考试数学(理)试题 清晰扫描版含答案
绵阳市高2011级第一次诊断性考试数学(理)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．CBCDC ABBAD 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．912．613．514．21()e e， 15．①④三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：（Ⅰ） cos x ≠0知x ≠k π，k ∈Z ，即函数f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠k π，k ∈Z }．………………………3分 又∵ x xx x x x x x x x x f 2sin 22cos 12cos sin 2sin 2cos )cos (sin cos sin 2)(2--⨯=-=-=)2cos 2(sin 1x x +-= )42sin(21π+-=x ，∴ 21)(max +=x f ． ……………………………………………………………8分（II ）由题意得1)4πx +≥0，即sin(2)4πx + 解得324πk π+≤24πx +≤924πk π+，k ∈Z ，整理得4πk π+≤x ≤k ππ+，k ∈Z ．结合x ≠k π，k ∈Z 知满足f (x )≥0的x 的取值集合为 {x |4πk π+≤x <k ππ+，k ∈Z }．………………………………………………12分 17．解：（I ）设{a n }的公差为d ，则由题知⎩⎨⎧=+++=+，，4874143111d a d a d a 解得a 1=2，d =4． ……………………………………4分 ∴a n =2+4(n -1)=4n -2．…………………………………………………………6分 （II ）设{b n }的公比为q ，若q =1，则S 1=b 1，S 2=2b 1，S 3=3b 1，由已知312322S S S +=⨯，代入得8b 1=4b 1，而b 1≠0，故q =1不合题意．…………………………………………………………7分若q ≠1，则S 1=b 1，q q b S --=1)1(212，qq b S --=1)1(313，于是23111(1)(1)22311b q b q b q q--⨯⨯=+--，整理得：4q 2=3q +q 3，解得q =0（舍去），q =1（舍去），q =3， ………10分 ∴8031)31(244=--⨯=S ． ………………………………………………………12分 18．解：（I ）由已知A =2，且有3)0sin(2=+⋅ϕω，即23sin =ϕ， 由|ϕ|<2π得3πϕ=．又∵ 最高点为(1，2)， ∴ ，2)3sin(2=+πω 解得6πω=．∴ )36sin(2ππ+=x y ．…………………………………………………………6分（II ）∵ B 点的横坐标为3，代入函数解析式得2sin(3)63B ππy =⨯+=1， ∴ 2)34(122=-+=BD ．…………………………………………………8分 在△BCD 中，设∠CBD =θ，则∠BDC =180º-120º-θ=60º-θ．由正弦定理有)60sin(sin 120sin θθ-︒==︒BCCD BD ，∴ θsin 362=CD ，)60sin(362θ-︒=BC ， …………………………………9分 ∴ )]60sin([sin 362θθ-︒+=+CD BC ]sin 21cos 23[sin 362θθθ-+=)3sin(362πθ+=． ∴ 当且仅当6πθ=时，折线段BCD 最长，最长为362千米．…………12分19．解：（I ）由于f (3+x )=f (-x )知函数f (x )关于23=x 对称， 即232=-b ，解得b =-3，于是 f (x )=x 2-3x +2．………………………………3分 22111()111x x x g x x x ⎧-≤-≥⎪=⎨--<<⎪⎩，或，，， 当x ≤-1，或x ≥1时，由f (x )≥g (x )有x 2-3x +2≥x 2-1，解得x ≤1， ∴ 此时x 的范围为x ≤-1，或x =1．当-1<x <1时，由f (x )≥g (x )有x 2-3x +2≥1-x 2，解得x ≤12或x ≥1， ∴ 此时x 的范围为-1<x ≤21． ∴ 综上知，使不等式f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |x ≤12或x =1}． ………………………………………………………………7分（II ）⎩⎨⎧<<-+≥-≤++=，，，或，1151132)(2x bx x x bx x x h若b=0时，22311()51 1.x x x h x x ⎧+≤-≥=⎨-<<⎩，或，，显然h (x )>0恒成立，不满足条件． (9)分若b ≠0时，函数ϕ(x )=bx +5在(0，1)上是单调函数， 即ϕ(x )在(0，1)上至多一个零点，不妨设0<x 1<x 2<2．①如果0<x 1<1，1≤x 2<2时，则0)1()0(<ϕϕ，且(1)(2)h h ≤0，即50(5)(211)0b b b +<⎧⎨++≤⎩，，解得112-≤5b <-． 经检验211-=b 时，)(x h 的零点为1011，2（舍去），∴112-<5b <-． ②若1≤x 1<x 2<2时2(1)1(2)0124240h h b b ≥⎧⎪>⎪⎪⎨<-<⎪⎪->⎪⎩，，，， 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-<<->+≥+，或，，，626248011205b b b b b 得：-5≤b <- ∴ 综上所述b的取值范围为112b -<<- ……………………………12分 20．解：（I ）由02312>-+x x 解得221<<-x ．即)221(，-=M ．……………2分∵x x x x x f 24)2(3243)(22⋅-⋅=-⋅=+，令2x =t ，则422<<t ， 34)32(343)()(22+-=-==t t t t g x f ， ∴ g (t )在)422(，上是增函数． ∴ g (t )在)422(，上无最小值，即f (x )在M 上无最小值． ……………………………………………………7分（II ）∵0)1()1(2)(222>+-+='x x tx x g ，∴ g (x )在M 上是增函数． ……………………………………………………8分 设1+tx -x 2=0的两根为α，β(α<β)，则α+β=t ，αβ=-1，M =(α，β)． 于是1212)()(22+--+-=-ααββαβt t g g )1)(1()1)(2()1)(2(2222+++--+-=βαβααβt t 12)()())(()(2)(222+-+++-----=αββααββαβαβαβααβt 224)()(4t t +----=βαβα=αβ-αββα4)(2-+=42+=t ．由题意知，要使原不等式恒成立，只需342<+t ，解得[t ∈．……………………………………………………………………………13分21．解：（I ）∵a x e x f x --=')(，∴ a f -='1)0(．于是由题知1-a =2，解得a =-1． ∴ x x e x f x +-=221)(． ∴ (0)1f =，于是1=2×0+b ，解得b =1．……………………………………………………4分 （II ）由题意0)(>'x f 即0>--a x e x 恒成立， ∴ x e a x -<恒成立．设x e x h x -=)(，则1)(-='x e x h ．min ∴ a <1．…………………………………………………………………………9分（III ）由已知ax ax e x ax ax x e x g x x --=+---=22222121)(，∴ a ax e x g x --='2)(．∵ x 1，x 2是函数g (x )的两个不同极值点（不妨设x 1<x 2），∴ a >0（若a ≤0时，0)(>'x g ，即g (x )是R 上的增函数，与已知矛盾），且0)(1='x g ，0)(2='x g ．∴ 0211=--a ax e x ，0222=--a ax e x ． 两式相减得：21212x x e e a x x --=，于是要证明a xx 2ln 221<+，即证明2122121x x e e ex x x x --<+， 两边同除以2x e，即证21212121x x e e x x x x --<--，即证(x 1-x 2)221x x e ->121--x x e ，即证(x 1-x 2)221x x e --121x x e -+>0，令x 1-x 2=t ，t <0．即证不等式012>+-t te te 当t <0时恒成立．设2()1t t φt te e =-+， ∴ t tt e e t e t -⋅⋅+='21)(22ϕ t te e t-+=2)12( )]12([22+--=te e t t ． ∵由(II)知122+>t e t，即0)12(2>+-te t， ∴ ϕ(t )<0，∴ ϕ(t )在t <0时是减函数．∴ ϕ(t )在t =0处取得极小值ϕ(0)=0． ∴ ϕ(t )>0，得证． ∴ a x x 2ln 221<+．……………………………………………………………14分。