专题10、三角函数与数列大题-冲刺高考最后一个月之2019高考数学(理)名师押题高端精品

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冲刺高考最后一个月之2019高考数学(理)名师押题高端精品-专题03+线性规划与三角函数小题含答案

专题03 线性规划与三角函数（理）一.线性规划小题（一）命题特点和预测：分析近8年的高考试题发现，线性规划8年7考，每年1题，主要考查利用数形结合思想解简单的线性规划问题，是基础题，少数年份考线性规划应用题、斜率型规划问题和规划问题与其他知识的交汇，难度较大.2019年仍将重点考查目标函数为线性的规划问题，也可能考查含参数的线性规划问题、目标函数为斜率型和距离型的规划问题、线性规划应用题及规划与简易逻辑、几何概型的交汇问题，要做好这方面问题的复习和训练．（二）历年试题比较：年份题目答案 2018年若y x ,满足约束条件，则y x z 23+=的最大值为_____________．62017年（14）设x ，y 满足约束条件则32z x y =-的最小值为 .5-2016年（16）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料。

生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元。

该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为元.2160002015年（15）若,x y 满足约束条件，则yx的最大值为 . 42014年（9）不等式组1,24,x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集为D,有下面四个命题：，，，其中的真命题是（）BA ．23,p p B ．12,p p C ．13,p p D ．14,p p2012年（14）设x ，y 满足约束条件1300x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则2z x y =-的取值范围为 .]3,3[- 2011年(13)若变量x ，y 满足约束条件，则2z x y =+的最小值为 .-6【解析与点睛】（2018年）【解析】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示，由可得，画出直线，将其上下移动，结合的几何意义，可知当直线过点B 时，z取得最大值，由，解得，此时，故答案为6.（2017年）【解析】不等式组表示的可行域如图所示，易求得，由32z x y =-得322zy x =-在y 轴上的截距越大，z 就越小，所以，当直线32z x y =-过点A 时，z 取得最小值，所以z 的最小值为.【名师点睛】本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较截距，要注意z 前面的系数为负时，截距越大，z 值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.（2016年）【解析】设分别生产y x ,件B A ,产品，则，即，目标函数为，作出可行域如图所示，作出直线，平移直线0l ，当过A 时，z 取最大值，由解得)100,60(A ，m ax z =216000.（2015年）【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A （1,3）与原点连线的斜率最大，故yx的最大值为3.（2014年）【解析】画出可行域，如图所示，设2x y z +=，则，当直线l 过点(2,1)A -时，z 取到最小值，，故2x y +的取值范围为20x y +≥，所以正确的命题是12,p p ，选B ．（2012年）【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线0l ：2x y -=0，平移直线0l ，有图像知，:l 2z x y =-，过A （1,2）点时min z =－3，过B(3,0)时，max z =3，故2z x y =-的取值范围为[－3,3].（2011年）【解析】作出可行域与目标函数，由图知，目标函数过A 点时，2z x y =+取最小值，解239x y x y +=⎧⎨-=⎩得A(4，－5)，=－6.（三）命题专家押题题号试题1.若，满足约束条件，则的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．52.设，满足约束条件，则的最小值是__________．3若满足，则的取值范围为______．4若变量，满足约束条件，则的最大值是（）A．1 B．2 C．3 D．45已知实数满足，则的最小值是（）A．B．C．D．6已知，满足约束条件，则的最小值为_________.7设m为实数，若，则m的最大值是____．8若，满足不等式组，则成立的概率为A．B．C．D．9 某化肥厂生产甲、乙两种肥料，生产一车皮甲肥料需要磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产一车皮乙肥料需要磷酸盐1吨、硝酸盐15吨.已知生产一车皮甲肥料产生的利润是10万元，生产一车皮乙肥料产生的利润是5万元.现库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，如果该厂合理安排生产计划，则可以获得的最大利润是____万元.10若变量，满足约束条件，且最小值为7，则的值为（）A．1 B．2 C．-2 D．-1【详细解析】【解析】由题意，作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，目标函数，可化为直线，当经过点A时，直线在y轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由，解得，即，所以目标函数的的最大值为，故选D.2.【答案】4【解析】画出可行域如图（阴影部分），由得，平移直线，由图象可知当直线经过点A时，直线在y轴的截距最小，此时z最小．由，解得，即A（1，2），代入目标函数得z=2×1+2=4．即目标函数的最小值为4．3.【答案】[1，2]【解析】作出可行域如下图阴影部分所示，令，则，可知的取值范围即为直线在轴截距的取值范围由平移可知如图，当直线经过点时，截距最小；当与重合时，截距最大，，，【解析】作可行域，如图，则直线过点A(-1,-1)时取最小值-4，过点时取最大值2，因此的最大值是4,选D.5.【答案】C【解析】化简，只需求出的最小值，画出表示的可行域，如图，由可得，即，表示可行域内的点与点连线的斜率，由图可知斜率最小值为，所以最小值为，故选C.6.【答案】【解析】作出可行域如图，的几何意义为点到可行域内点的距离的平方，由图可知，到直线的距离最小为，∴z＝的最小值为 .7.【答案】【解析】设，，显然点集表示以原点为圆心，5为半径的圆及圆的内部，点集是二元一次不等式组表示的平面区域，如图所示，作图可知，边界交圆于点，边界恒过原点，要求的最大值，故直线必须单调递减，因为，所以当过图中B点时，取得最大，联立方程组，解得，故，即。

冲刺高考最后一个月之2019高考数学(理)名师押题高端精品卷全集(含答案)

专题一集合与简易逻辑小题一.集合小题（一）命题特点和预测：分析近8年的高考题发现，8年6考，每年1题，多数是与一元二次不等式解法、指数不等式、对数不等式、简单函数定义域与值域结合考查集合交并补运算与集合间的关系、集合的意义，位置多为第1题，难度为容易题，2019年高考中，仍将与不等式解法、函数定义域值域结合考查集合运算与集合间关系、集合意义，难度仍为送分题．（二）历年试题比较：，则A.B =R．B =∅）设集合，则AB = （）3(1,) D ）3(,3)2，则=B （）已知集合【解析与点睛】（2018年）【解析】解不等式得，所以，所以可以求得，故选B.（2017年）【解析】由31x <可得033x <，则0x <，即，所以{|0}x x =<，，故选A.（2016年）【解析】因为所以故选D.（2014年）【解析】由已知得，或}3x ≥，故，选A ．（2013年）【解析】∵x (x －2)＞0，∴x ＜0或x ＞2.∴集合A 与B 可用图象表示为：由图象可以看出A ∪B ＝R ，故选B.（2012年）【解析】由x ∈A ，y ∈A 得x －y ∈A ，则(x ，y )可取如下：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)，故集合B 中所含元素的个数为10个．（三）命题专家押题设集合，则集合，若，则，，则．，设集合，，则集合已知集合，，则．设集合，，则．已知集合，集合，则集合已知集合，，则实数．若集合Z中有且只有一个元素，则正实数【详细解析】1.【答案】C【解析】由题意，集合，又，全集，所以，所以，故选C．2.【答案】D【解析】由题意知∵，∴且，∴即，又∵，∴，即，∴，故选D．3.【答案】C【解析】由题知，，故选C．4.【答案】A【解析】由，即，图中阴影部分表示的集合为：，又，5.【答案】C【解析】因为集合，∴集合＝{1，，}，∴真子集个数为23﹣1＝7个，故选C．6.【答案】D【解析】由题知，∴，故A错误，∵，故B错误，∵，故C错，D正确，故选D．7.【答案】B【解析】因为，或，，故选．8.【答案】B【解析】，，，，当时，，当时，，当时，，即，即共有个元素，故选9.【答案】B【解析】∵3x﹣a0，∴，∴A＝，∵log2（x﹣2）≤1＝log22，∴0＜x﹣2≤2，∴2＜x≤4，∴B＝（2，4]，∵B⊆A，∴≤2，∴a≤6，故选B．10.【答案】【解析】∵f（x）＝x2﹣（a+2）x+2﹣a＜0，即x2﹣2x+1＜a（x+1）﹣1，分别令y＝x2﹣2x+1，y＝a（x+1）﹣1，易知过定点（﹣1，﹣1），分别画出函数的图象，如图所示：∵集合A＝{x∈Z|f（x）＜0}中有且只有一个元素，即点（0，0）和点（2,1）在直线上或者其直线上方，点（1,0）在直线下方，结合图象可得，∴，解得a二.简易逻辑小题（一）命题特点和预测：分析近8年的高考题发现，8年5考，每年1题，多数与不等式、复数等数学知识结合考查命题的判断、特称命题与全称命题的否定，难度为容易题或中档题，在19年的高考中，仍将不等式、复数等数学知识结合考查命题的判断、特称命题与全称命题的否定、充要条件的判断与应用，难度仍为基础题或中档题．（二）历年试题比较：，则，【解析与点睛】（2017年）【解析】1:p 设z a bi =+，则，得到0b =，所以z ∈R .故1p 正确；2:p 若z =-21，满足2z ∈R ，而z i =，不满足2z ∈R ，故2p 不正确；3:p 若1z 1=，2z 2=，则12z z 2=，满足12z z ∈R ，而它们实部不相等，不是共轭复数，故3p 不正确；4:p 实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p 正确；故选B6（2015年）【解析】p ⌝:，故选C.（2014年）【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线0l ：20x y +=，平移0l ，由图可知，当直线：2x y z +=过()2,1A -时，，∴0z ≥，∴命题1p 、2p 真命题，选C.（2012年）【解析】∵z =21i-+=1i --,∴|z ，22z i =，z 的共轭复数为1i -+，虚部为－1，故2p ，4p 是真命题，故选C.（2011年）【解析】由||1+>a b 得，，即∙a b ＞12-，即c o s θ=||||∙a b a b ＞12-， ∵θ∈[0,π]，∴θ∈[0,23π），由||1->a b 得，，即∙a b ＜12，即c o s θ=||||∙a b a b ＜12，∵θ∈[0,π]，∴θ∈(3π,π]，故选A. （三）命题专家押题已知命题，总有，则．，使得，使得．，使得，总有若函数．对于任意的，都有且．存在，使且．存在，使且．对于任意的，都有或，，则命题““，则”“”已知命题，命题：双曲线的离心率，则已知命题；命题，则．．对任意的正整数，不等式．．或①；，则使得是定义在上的单调递减函数，能说明一定存在使得_____【详细解析】1.【答案】B【解析】因为全称命题的否定是特称命题，∴，使得，故选B．2.【答案】C【解析】根据奇函数与偶函数的定义：对任意，，函数是偶函数；对任意，，函数是奇函数，所以，若存在，使，则函数不是奇函数；若存在，使，则函数不是偶函数；由此，函数为非奇非偶函数，则有存在，使且，故选C.3.【答案】B【解析】对于A，命题，，则命题，正确；对于B，时，成立，所以“”是“”的充分条件，B错误；对于C，命题“若，则”的逆命题是“若，则”，它是真命，此时，∴C正确；对于D，根据复合命题的真假性知，“”为假命题时，p与q均为假命题，D正确，故选B．4.【答案】A【解析】由，得或，化为或，等价于，因为命题，所以能推出，不能推出，是的充分不必要条件，故选A.5.【答案】B【解析】命题：命题是真命题，那就是假命题；命题：只有当时，才能有，即，所以命题是假命题，那是真命题。

冲刺高考最后一个月之2019高考数学(文)名师押题高端精品卷(含答案)

专题1 集合与简易逻辑小题（文）一.集合小题（一）命题特点和预测：分析近8年的高考题发现，8年8考，每年1题，多数与一元二次不等式解法、一元一次不等式解法结合考查集合交并运算与集合间的关系、集合的意义，位置多为第1题，难度为容易题，2019年高考中，仍将与不等式解法、函数定义域值域结合考查集合运算与集合间关系、集合意义，难度仍为送分题．（二）历年试题比较：，，则BA）设集合，则B=(（D，则集合B中的元，则N=（C.)|N则P,【解析与点睛】（2018年）【解析】由题知，故选A. （2017年）【解析】由32x ->得32x <，所以，选A ．（2016年）【解析】集合A 与集合B 的公共元素有3，5，故，故选B.（2015年）【解析】由条件知，当n=2时，3n+2=8，当n=4时，3n+2=14，故A∩B={8,14},故选D.（2014年）【解析】根据集合的运算法则可得：，即选B ．（2013年）【解析】：∵B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }＝{1,4,9,16}，∴A ∩B ＝{1,4}．（2012年）【解析】A=（－1,2），故B ⊂≠A ，故选B. （20111年）【解析】因为中有两个元素，所以其子集个个数为22=4个，选B.（三）命题专家押题设集合，，则D 已知集合，集合，则集合设集合，则（．已知全集．．已知全集，，．设集合，则．．已知集合，，若则已知集合，，若，则．设集合，，则集合【详细解析】1.【答案】B【解析】；∴；∴中元素的个数为2，故选B．2.【答案】B【解析】，，，。

当时，，当时，，当时，即，即共有个元素，故选.3.【答案】D【解析】∵，，则，故选D.4.【答案】C【解析】由题知，，∴，由文氏图可得题中表示的集合为，故，故选C.5.【答案】D【解析】由题知集合与集合互相没有包含关系，故A错误；又，故B错误；，故C错误；，故D正确，故选D.6.【答案】C【解析】由题知，，∴，故选C.7.【答案】B【解析】因为，所以因此，选B.8.【答案】B【解析】因为，所以因此，选B.9.【答案】D【解析】集合，，若，则a>2，故选D.10.【答案】C【解析】因为集合，∴集合＝{1，，}，∴真子集个数为23﹣1＝7个，故选C．二.简易逻辑小题（一）命题特点和预测：分析近8年的高考题发现，8年1考，考题为与不等式、方程结合，判定全称命题与特称命题的真假及含有逻辑联结词命题的判断，难度为中档题，在19年的高考中，将会回归对简易逻辑的考查，与不等式、复数等数学知识结合考查命题的判断、特称命题与全称命题的否定、含有逻辑联结词命题的判断、充要条件的判断与应用，难度仍为基础题或中档题．（二）历年试题比较：；命题【解析与点睛】（2013年）【解析】由题意知p为假命题，q为真命题，∴p⌝∧为真⌝数真命题，∴p q命题，故选B.（三）命题专家押题设命题：，则为（．．命题存在实数的否定是．对任意的实数．对任意的实数，都有，使．存在实数已知．．，则”，则且，则或且，则或，则““D：若为锐角三角形，则；命题，若，则．则下列命题为真命题的是．下面几个命题中，假命题，则“，函数在定义域内单调递增对““，；命题，若的充分不必要条件，则实数【详细解析】1.【答案】D【解析】根据全称命题的否定是特称命题得到命题p的否定¬p：，故选D．2.【答案】B【解析】特称命题的否定是全称命题，将特称量词改变后还要对结论否定，故选B.3.【答案】D【解析】A不一定成立，如a＝1，b＝10，c＝－1，不成立；B也不一定成立，如a＝9.5，b＝10，c＝－1，不成立；C不成立，因为，，所以，恒成立，因此D必正确，故选D4.【答案】D【解析】命题“若，则且”的逆否命题是“若或，则”，故选D．5.【答案】A【解析】由对数函数的性质可得“”的充要条件是“”，当时，则是成立的，例如：，此时也成立，所以“”是“”的充分不必要条件．故选A．6.【答案】B【解析】命题p：若△ABC为锐角三角形，则0<C<∴＞A+B，因此＞A B＞0，则sin A＞sin（B）＝cos B，可知p是假命题；命题q：∀x，y∈R，若x+y≠5，则x≠﹣1或y≠6，其逆否命题：若x＝﹣1且y＝6，则x+y＝5，是真命题，因此是真命题，则下列命题为真命题的是（￢p）∧q，故选B．7.【答案】C【解析】对于选项A, “若，则”的否命题是“若，则”，因为，所以，所以该选项是真命题；对于选项B, “，函数在定义域内单调递增”是假命题，所以其否定是真命题；对于选项C，当时，成立，所以选项C错误.对于选项D, “”是“，不都是2”的充分条件，因为其逆否命题“，都是2”是“x+y=4”的充分条件是真命题，所以该命题是真命题，故选C8.【答案】【解析】当a=1时，的解为x=1,与已知不相符；当a＞1时，1≤x≤a,因为是的充分不必要条件，所以a≥2，当a＜1时，a≤x≤1,与已知不相符，故答案为：9.【答案】B【解析】因为q是p 的必要而不充分条件所以，所以，即，故选B。

2019高考数学真题(理)分类汇编三角函数及解三角形含答案解析

三角函数及解三角形专题1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x-+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，排除B ，C ，故选D ．【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案． 2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】tan255°=A ．−2B ．−C ．2D ．【答案】D【解析】tan 255tan(18075)tan 75tan(4530)︒=︒+︒=︒=︒+︒=tan 45tan 301tan 45tan 30︒+︒-︒︒12+==+故选D. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式2sin cos ++x xx x计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．3．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A −b sin B =4c sin C ，cos A =−14，则b c=A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A【解析】由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得2222214131cos ,,,422424b c a c c c A bc bc b +---==∴=-∴=3462b c ∴=⨯=，故选A ．【名师点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．先利用余弦定理推论得出a ，b ，c 关系，再结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果. 4．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】若x 1=4π，x 2=43π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω= A ．2 B ．32C ．1D ．12【答案】A【解析】由题意知，()sin f x x ω=的周期232()44T ωπππ==-=π，解得2ω=．故选A ．【名师点睛】本题考查三角函数的极值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．利用周期公式，通过方程思想解题．5．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sin α=A ．15BCD 【答案】B 【解析】2sin 2cos21αα=+，24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又sin 0α>，sin 5α∴=，故选B ．【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．6．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为 A ．2 B ．3 C ．4D ．5【答案】B【解析】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=，得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2πx ∈，0π2πx ∴=、或．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3，故选B ．【名师点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．令()0f x =，得sin 0x =或cos 1x =，再根据x 的取值范围可求得零点.7．【2019年高考北京卷文数】设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】0b =时，()cos sin cos f x x b x x =+=，()f x 为偶函数；()f x 为偶函数时，()=()f x f x -对任意的x 恒成立，即()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-，cos sin cos sin x b x x b x +=-，得sin 0b x =对任意的x 恒成立，从而0b =.从而“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件，故选C.【名师点睛】本题较易，注重基础知识、逻辑推理能力的考查.根据定义域为R 的函数()f x 为偶函数等价于()=()f x f x -恒成立进行判断.8．【2019年高考北京卷文数】如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A ．4β+4cos βB ．4β+4sin βC ．2β+2cos βD ．2β+2sin β【答案】B【解析】设圆心为O ，如图1，连接OA ，OB ，AB ，OP ，则22AOB APB ∠=∠=β，所以22242OABS ⨯==扇形ββ，因为ABP AOB OAB S S S S =+-△△阴影扇形，且AOB OAB S S △扇形，都已确定，所以当ABP S △最大时，阴影部分面积最大.观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时（如图2），阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π−β，面积S 的最大值为ABP AOB OAB S S S S =+-△△阴影扇形=4β+S △POB + S △POA =4β+12|OP ||OB |sin （π−β）+12|OP ||OA |sin （π−β）=4β+2sin β+2sin β=4β+4 sin β，故选B. 【名师点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键是观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示.9．【2019年高考天津卷文数】已知函数()sin()(0,0,||π)f x A x A ωϕωϕ=+>><是奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x .若π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．−2B ．C D ．2【答案】C【解析】∵()f x 为奇函数，∴(0)sin 0,=π,,0,f A k k k ϕϕ==∴∈∴=Z 0ϕ=； ∵()f x 的最小正周期为π，2ππ,T ∴==ω∴2ω=，∴1()sin sin ,2g x A x A x ==ω又π()4g =2A =，∴()2sin 2f x x =，3π()8f = 故选C.【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数()g x ，结合函数性质逐步得出,,A ωϕ的值即可.10．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________．【答案】4-【解析】23π()sin(2)3cos cos 23cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x =+-=--=--+ 23172(cos )48x =-++，1cos 1x -≤≤，∴当cos 1x =时，min ()4f x =-，故函数()f x 的最小值为4-．【名师点睛】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于cos x 的二次函数，从而得解.注意解答本题的过程中，部分考生易忽视1cos 1x -≤≤的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运算错误．11．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 【答案】3π4【解析】由正弦定理，得sin sin sin cos 0B A A B +=．(0,),(0,)A B ∈π∈π，sin 0,A ∴≠∴sin cos 0B B +=，即tan 1B =-，3.4B π∴=【名师点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法，利用转化与化归思想解题．本题容易忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在(0,π)范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角．12．【2019年高考江苏卷】已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ▲ .【答案】10【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1πtan 13tan 1tan 4αααααααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=，解得tan 2α=，或1tan 3α=-. πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()22222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎛⎫+-=+ ⎪+⎝⎭222tan 1tan =2tan 1ααα⎫+-⎪+⎝⎭，当tan 2α=时，上式222212==22110⎛⎫⨯+- ⎪+⎝⎭ 当1tan 3α=-时，上式=22112()1()33[]=1210()13⨯-+--⨯-+综上，πsin 2410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得tan α的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.13．【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=,5AC ，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以BD =.ππcos cos()cos cos sin sin 44ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在ABD △中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征. 14．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．【答案】（1）B =60°；（2）. 【解析】（1）由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=．因为sin A ≠0，所以sinsin 2A CB +=．由180A BC ︒++=，可得sincos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=．因为cos02B ≠，故1sin 22B =，因此B =60°．（2）由题设及（1）知△ABC的面积ABC S =△．由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2tan 2C c A a C C C ︒-===+．由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°，由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故122a <<，从而82ABC S <<△．因此，△ABC面积的取值范围是⎝⎭．【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查V ABC 是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题. 15．【2019年高考北京卷文数】在△ABC 中，a =3，–2b c =，cos B =12-．（1）求b ，c 的值；（2）求sin （B +C ）的值．【答案】（1）7b =，5c =；（2【解析】（1）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2221323()2b c c =+-⨯⨯⨯-．因为2b c =+，所以2221(2)323()2c c c +=+-⨯⨯⨯-．解得5c =．所以7b =．（2）由1cos 2B =-得sin 2B =．由正弦定理得sin sin 14a A Bb ==．在ABC △中，B C A +=π-．所以sin()sin B C A +==【名师点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角差的正弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．【2019年高考天津卷文数】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（1）求cos B 的值；（2）求sin 26πB ⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）14-；（2）716+-. 【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =，又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =．由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-⋅⋅．（2）由（1）可得sin B ==，从而sin 22sin cos B B B ==，227cos 2cos sin 8B B B =-=-，故71sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B πππ⎛⎫+=+=⨯= ⎪⎝⎭．【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．17．【2019年高考江苏卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值；（2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．【答案】（1）c =（2.【解析】（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)323c c c c+-=⨯⨯，即213c =.所以c =（2）因为sin cos 2A Ba b =，由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos B =.因此πsin cos 2B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.18．【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+.【解析】解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.'因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知10AD ==，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此，Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=；当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置. 由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，1CQ =此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3.因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25.从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34.因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-，直线PB 的方程为42533y x =--.所以P （−13，9），15PB ==.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3），所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-剟.在线段AD 上取点M （3，154），因为5OM =<=，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）；当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.【名师点睛】本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.19．【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；（2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域．【答案】（1）π2θ=或3π2；（2）[1-+．【解析】（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+，即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+，故2sin cos 0x θ=，所以cos 0θ=．又[0,2π)θ∈，因此π2θ=或3π2．（2）2222ππππsin sin 124124y f x f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 213621cos 2sin 222222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭π123x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．因此，函数的值域是[1+．【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力.20．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题】已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，则cos2=αAB ．13C ．13- D．3-【答案】B【解析】因为角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，所以cos3==-α，因此21cos 22cos 13=-=αα.故选B. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义，以及二倍角公式，熟记三角函数的定义与二倍角公式即可，属于常考题型.解答本题时，先由角α的终边过点(1)P ，求出cos α，再由二倍角公式，即可得出结果.。

高考数学备考冲刺之易错点点睛系列专题三角函数(教师版)

三角函数一、高考预测该专题是高考重点考查的部分，从最近几年考查的情况看，主要考查三角函数的图象和性质、三角函数式的化简与求值、正余弦定理解三角形、三角形中的三角恒等变换以及三角函数、解三角形和平面向量在立体几何、解析几何等问题中的应用．该部分在试卷中一般1.考小题，重在基础运用考查的重点在于基础知识：解析式、图象及图象变换、两域（定义域、值域）、四性（单调性、奇偶性、对称性、周期性）、反函数以及简单的三角变换（求值、化简及比较大小）。

2.考大题，难度明显降低有关三角函数的大题即解答题，通过三角公式变形、转换来考查思维能力的题目已经没有了，而是考查基础知识、基本技能和基本方法。

解答题的形式进行考查，且难度不大，主要考查以下四类问题：（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角三角函数的基本关系和诱导公式求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题．高考备考是紧张的、同时也是收获的前夜。

成功永远属于那些准备充分的人们．祝愿各位在2012年的高考中取得辉煌成绩。

图象上升时与x 轴的交点）为002x k ωϕπ+=+，其他依次类推即可。

3．五点法作y =A sin （ωx +ϕ）的简图：五点取法是设x =ωx +ϕ，由x 取0、2π、π、2π3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。

3．函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA 最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。

4．由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

三角函数与解三角形大题压轴练-高考数学重点专题冲刺演练(原卷版)

三角函数与解三角形大题压轴练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2022秋·广东汕头·高三统考期末）设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知cos cos a b A a B =-．(1)求证：B ＝2A ；(2)求b c a+的取值范围．2．（2022·浙江·模拟预测）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 1sin tan A A B=+.(1)若A B =，求C ；(2)求sin sin 2cos a B b A b B+的取值范围.3．（2023·浙江·统考一模）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin2sin 2C A a b C Aa c -+=++．(1)若π4A =，求B ；(2)求c c a b+的取值范围．4．（2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知sin cos tan A B C ==.(1)求2A C +；(2)证明：25c b a >>.5．（2022秋·江苏泰州·高三江苏省泰兴中学校联考阶段练习）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知()()sin =sin b c B b A C --(1)求角A ；(2)若ABC 为锐角三角形，且ABC 的面积为S ，求222a b c S++的取值范围．6．（2022·江苏盐城·盐城市第一中学校考模拟预测）如图，在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,60︒==c C ．(1)求ABC 面积的最大值；(2)若AB 边上的点D 满足2AD DB =，求线段CD 长的最大值．7．（2023秋·山西太原·高三统考期末）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足22b bc a +=．(1)求证：2A B =；(2)求62cos b c b B+的取值范围．8．（2022秋·江苏苏州·高三校考阶段练习）在ABC 中，角A ，B ，C 成等差数列，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．(1)若aa b b a b c+=++，判断ABC 的形状；(2)若ABC 不是钝角三角形，求a c的取值范围．9．（2022秋·黑龙江绥化·高三海伦市第一中学校考期中）在ABC 中，内角A ，B ，C的对边分别为a ，b ，c ，coscos A C =D 是边BC 上的一点，且sin sin 32BAD CAD b c a∠∠+=．(1)求证：3a AD =；(2)若2CD BD =，求cos ADC ∠．10．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）在ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边分別为a ，b ，c ，BC 边上的高为h ，且b c a h +=+.(1)若23h a =，且sin cos 1k A A -=，求实数k 的值；(2)求tan A 的最小值.11．（2022秋·安徽宿州·高三砀山中学校考阶段练习）在ABC 中，sin sin sin sin sin sin sin C B A B A B C-+=+，(1)求角C 的大小；(2)求sin 22πsin 4B B +⎛⎫+ ⎪⎝⎭的取值范围．12．（2022春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且满足cos cos 2cos b C c B a A +=.(1)求角A ；(2)若D 点在线段BC 上，且AD 平分BAC ∠，若2BD CD =，且AD =ABC 的面积.13．（2022·辽宁沈阳·东北育才双语学校校考一模）如图，设ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD 为BC 边上的中线，已知1c =且12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C =-+，cos BAD ∠=(1)求b 边的长度；(2)求ABC 的面积；(3)设点E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点（含端点），线段EF 交AD 于G ，且AEF △的面积为ABC 面积的16，求AG EF 的取值范围．14．（2023春·辽宁大连·高三瓦房店市高级中学校考开学考试）ABC 的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且sin sin sin A B a c C a b--=+，(1)求角B 的大小；(2)若3b =，D 为AC 边上一点，2BD =，且BD 为B ∠的平分线，求ABC 的面积．15．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知ABC 的外心为O ，,M N 为线段,AB AC 上的两点，且O 恰为MN 中点.(1)证明：||||||||AM MB AN NC ⋅=⋅(2)若||AO ||1OM =，求AMN ABCS S V V 的最大值.16．（2023·河北·高三河北衡水中学校考阶段练习）在锐角ABC 中，,,(,,BC a AC b AB c a b c ===均为已知常数），.ABC 的外接圆，内切圆半径分别为,R r .(1)求Rr ；(2)点,,D E F 分别在线段,,BC AC AB 上，DEF 的周长为0P ，请证明：()0r P a b c R≥++.17．（2023·福建泉州·高三福建省晋江市养正中学校考阶段练习）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，△ABC 的面积214S c =．(1)cos B b =-，求sin sin A B的值；(2)求a b 的取值范围．18．（2022秋·福建·高三校联考阶段练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan sin A B =.(1)证明：2222ac b c a =+-；(2)若BD DC = ，且AD AB =，求sin sin BAC C∠.19．（2023·江苏南通·模拟预测）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin cos sin a B B a C C-=-.(1)若b c ≠，证明：2a b c =+；(2)若2B C =，证明：223c b >>.20．（2022·山东烟台·统考一模）如图，四边形ABCD 中，222AB BC AB BC AC ++⋅=．(1)若33AB BC ==，求△ABC 的面积；(2)若CD =，30CAD ∠=，120BCD ∠= ，求∠ACB 的值．21．（2022秋·山东青岛·高三校考阶段练习）如图，在平面四边形ABCD 中，,90,2AD BD ADB CD BC =∠===.(1)若45BDC ∠= ，求线段AC 的长：(2)求线段AC 长的最大值．22．（2022·湖北武汉·统考模拟预测）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2cos 2c B a b =-．(1)求C ；(2)若AB AC =，D 是ABC 外的一点，且2AD =，1CD =，则当D ∠为多少时，平面四边形ABCD 的面积S 最大，并求S 的最大值．23．（2022·湖南岳阳·统考一模）D 为ABC 边AB 上一点，满足2AD =，8DB =，记ABC α∠=，CAB β∠=．(1)当CD AB ⊥时，且2βα=，求CD 的值；(2)若4παβ+=，求ACD 面积的最大值．24．（2023·湖南岳阳·统考二模）在 ABC V sin sin cos sin B C C C A ++=.(1)求A ；(2)若 ABC V 的内切圆半径2r =，求+AB AC 的最小值.25．（2022·湖南·校联考模拟预测）在ABC 中，12tan ,5A D =为BC 上一点，=AD(1)若D 为BC 的中点，求ABC 的面积的最大值；(2)若45DAB ∠=︒，求ABC 的面积的最小值．26．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足sin sin 1sin sin sin sin A b B B C b A c B+=++(1)求角C ；(2)CD 是ACB ∠的角平分线，若3CD =，ABC 的面积为c 的值.27．（2023·湖南长沙·统考一模）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c sinC a b =+．(1)求角B 的值；(2)若2a =，求ABC 的周长的取值范围．28．（2022·广东珠海·高三校联考阶段练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2π3A =．(1)若6a =，ABC 的面积为D 为边BC 的中点，求AD 的长度；(2)若E 为边BC 上一点，且AE :2:BE EC c b =，求2b c +的最小值．29．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）在PAB 中，PA PB =，点C ，D 分别在PB ，PA 边上．(1)若3APB π∠=，1CD =，求PCD 面积的最大值；(2)设四边形ABCD 的外接圆半径为R ，若,3APB π∠π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，且AB BC CD DA ⋅⋅⋅的最大值为49，求R 的值．30．（2022秋·湖北·高三校联考开学考试）如图，在平面四边形ABCD 中，2DC AD ==2BAD π∠=，6BDC π∠=．(1)若cos 3ABD ∠=，求ABD △的面积；(2)若C ADC ∠=∠，求BC ．。

三角函数--2024年数学高考真题和模拟好题分类汇编(解析版)

专题三角函数1(新课标全国Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m,tanαtanβ=2，则cos(α-β)=()A.-3mB.-m3C.m3D.3m【答案】A【分析】根据两角和的余弦可求cosαcosβ,sinαsinβ的关系，结合tanαtanβ的值可求前者，故可求cosα-β的值.【详解】因为cosα+β=m，所以cosαcosβ-sinαsinβ=m，而tanαtanβ=2，所以=12×2b×kb×sin A2+12×kb×b×sin A2，故cosαcosβ-2cosαcosβ=m即cosαcosβ=-m，从而sinαsinβ=-2m，故cosα-β=-3m，故选：A.2(新课标全国Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时，曲线y=sin x与y=2sin3x-π6的交点个数为() A.3 B.4 C.6 D.8【答案】C【分析】画出两函数在0,2π上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数y=sin x的的最小正周期为T=2π，函数y=2sin3x-π6的最小正周期为T=2π3，所以在x∈0,2π上函数y=2sin3x-π6有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C3(新课标全国Ⅱ卷)设函数f(x)=a(x+1)2-1，g(x)=cos x+2ax，当x∈(-1,1)时，曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点，则a=()A.-1B.12C.1D.2【分析】解法一：令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，分析可知曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得a =2，并代入检验即可；解法二：令h x =f (x )-g x ,x ∈-1,1 ，可知h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即可得a =2，并代入检验即可.【详解】解法一：令f (x )=g x ，即a (x +1)2-1=cos x +2ax ，可得ax 2+a -1=cos x ，令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，原题意等价于当x ∈(-1,1)时，曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，注意到F x ,G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得F 0 =G 0 ，即a -1=1，解得a =2，若a =2，令F x =G x ，可得2x 2+1-cos x =0因为x ∈-1,1 ，则2x 2≥0,1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，可得2x 2+1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，则方程2x 2+1-cos x =0有且仅有一个实根0，即曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，所以a =2符合题意；综上所述：a =2.解法二：令h x =f (x )-g x =ax 2+a -1-cos x ,x ∈-1,1 ，原题意等价于h x 有且仅有一个零点，因为h -x =a -x 2+a -1-cos -x =ax 2+a -1-cos x =h x ，则h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即h 0 =a -2=0，解得a =2，若a =2，则h x =2x 2+1-cos x ,x ∈-1,1 ，又因为2x 2≥0,1-cos x ≥0当且仅当x =0时，等号成立，可得h x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，即h x 有且仅有一个零点0，所以a =2符合题意；故选：D .4(全国甲卷数学(理)(文))已知cos αcos α-sin α=3，则tan α+π4=()A.23+1 B.23-1C.32D.1-3【答案】B【分析】先将cos αcos α-sin α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos αcos α-sin α=3，所以11-tan α=3，⇒tan α=1-33，所以tan α+π4 =tan α+11-tan α=23-1，故选：B .5(新高考北京卷)已知f x =sin ωx ω>0 ，f x 1 =-1，f x 2 =1，|x 1-x 2|min =π2，则ω=()A.1B.2C.3D.4【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：x 1为f x 的最小值点，x 2为f x 的最大值点，则x 1-x 2 min =T 2=π2，即T =π，且ω>0，所以ω=2πT=2.故选：B .6(新高考天津卷)已知函数f x =sin3ωx +π3 ω>0 的最小正周期为π．则函数在-π12,π6 的最小值是()A.-32B.-32C.0D.32【答案】A【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得f x =-sin2x ，再整体求出x ∈-π12,π6时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】f x =sin3ωx +π3 =sin 3ωx +π =-sin3ωx ，由T =2π3ω=π得ω=23，即f x =-sin2x ，当x ∈-π12,π6 时，2x ∈-π6,π3，画出f x =-sin2x 图象，如下图，由图可知，f x =-sin2x 在-π12,π6上递减，所以，当x =π6时，f x min =-sin π3=-32故选：A7(新高考上海卷)下列函数f x 的最小正周期是2π的是()A.sin x +cos xB.sin x cos xC.sin 2x +cos 2xD.sin 2x -cos 2x【答案】A【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .【详解】对A ，sin x +cos x =2sin x +π4，周期T =2π，故A 正确；对B ，sin x cos x =12sin2x ，周期T =2π2=π，故B 错误；对于选项C ，sin 2x +cos 2x =1，是常值函数，不存在最小正周期，故C 错误；对于选项D ，sin 2x -cos 2x =-cos2x ，周期T =2π2=π，故D 错误，故选：A ．8(新课标全国Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin2x和g(x)=sin2x-π4，下列说法正确的有() A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期D.f(x)与g(x)的图像有相同的对称轴【答案】BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A选项，令f(x)=sin2x=0，解得x=kπ2,k∈Z，即为f(x)零点，令g(x)=sin2x-π4=0，解得x=kπ2+π8,k∈Z，即为g(x)零点，显然f(x),g(x)零点不同，A选项错误；B选项，显然f(x)max=g(x)max=1，B选项正确；C选项，根据周期公式，f(x),g(x)的周期均为2π2=π，C选项正确；D选项，根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x=kπ+π2⇔x=kπ2+π4,k∈Z，g(x)的对称轴满足2x-π4=kπ+π2⇔x=kπ2+3π8,k∈Z，显然f(x),g(x)图像的对称轴不同，D选项错误.故选：BC9(新课标全国Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ=4，tanαtanβ=2+1，则sin(α+β)=.【答案】-22 3【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得tanα+β=-22，再缩小α+β的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【详解】法一：由题意得tanα+β=tanα+tanβ1-tanαtanβ=41-2+1=-22，因为α∈2kπ,2kπ+π2,β∈2mπ+π,2mπ+3π2，k,m∈Z，则α+β∈2m+2kπ+π,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，又因为tanα+β=-22<0，则α+β∈2m+2kπ+3π2,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，则sinα+β<0，则sinα+βcosα+β=-22，联立sin2α+β+cos2α+β=1，解得sinα+β=-223.法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cosα>0,cosβ<0,cosα=cosαsin2α+cos2α=11+tan2α，cosβ=cosβsin2β+cos2β=-11+tan2β，则sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=cosαcosβ(tanα+tanβ)=4cosαcosβ=-41+tan2α1+tan2β=-4(tanα+tanβ)2+(tanαtanβ-1)2=-442+2=-223故答案为：-22 3.10(全国甲卷数学(文))函数f x =sin x-3cos x在0,π上的最大值是．【答案】2【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【详解】f x =sin x -3cos x =2sin x -π3 ，当x ∈0,π 时，x -π3∈-π3,2π3，当x -π3=π2时，即x =5π6时，f x max =2.故答案为：2一、单选题1(2024·宁夏石嘴山·三模)在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P 1,2 ，则7cos 2θ-2sin2θ=()A.-15B.15C.-2D.2【答案】A【分析】由题意可知：tan θ=2，根据倍角公式结合齐次化问题分析求解.【详解】由题意可知：tan θ=2，所以7cos 2θ-2sin2θ=7cos 2θ-4sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=7-4tan θtan 2θ+1=7-4×222+1=-15.故选：A .2(2024·广东茂名·一模)已知cos α+π =-2sin α，则sin 2α-3cos α+π2cos αcos2α+1=()A.-1B.-25C.45D.78【答案】D【分析】根据给定条件，求出tan α，再结合诱导公式及二倍角的余弦公式，利用正余弦齐次式法计算得解.【详解】由cos α+π =-2sin α，得cos α=2sin α，则tan α=12，所以sin 2α-3cos α+π2 cos αcos2α+1=sin 2α+3sin αcos α2cos 2α=12tan 2α+32tan α=18+34=78.故选：D3(2024·河北保定·二模)函数f (x )=1-e x1+e xcos2x 的部分图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【分析】根据函数的奇偶性判断即可.【详解】设g x =1-e x1+e x，则g-x=1-e-x1+e-x=e x-11+e x=-g x ，所以g x 为奇函数，设h x =cos2x，可知h x 为偶函数，所以f x =1-e x1+e xcos2x为奇函数，则B，C错误，易知f0 =0，所以A正确，D错误．故选：A.4(2024·山东济宁·三模)已知函数f(x)=(3sin x+cos x)cos x-12，若f(x)在区间-π4,m上的值域为-3 2,1，则实数m的取值范围是()A.π6,π2B.π6,π2C.π6,7π12D.π6,7π12【答案】D【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数f(x)，再借助正弦函数的图象与性质求解即得.【详解】依题意，函数f(x)=3sin x cos x+cos2x-12=32sin2x+12cos2x=sin2x+π6，当x∈-π4,m时，2x+π6∈-π3,2m+π6，显然sin-π3=sin4π3=-32,sinπ2=1，且正弦函数y=sin x在π2,4π3上单调递减，由f(x)在区间-π4,m上的值域为-32,1，得π2≤2m+π6≤4π3，解得π6≤m≤7π12，所以实数m的取值范围是π6,7π12.故选：D5(2024·江西景德镇·三模)函数f x =cosωx x∈R在0,π内恰有两个对称中心，fπ=1，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数g x 的图象.若fα +gα =35，则cos4α+π3=()A.725B.1625C.-925D.-1925【答案】A【分析】根据y轴右边第二个对称中心在0,π内，第三个对称中心不在0,π内可求得32≤ω<52，结合fπ=1可得ω=2，再利用平移变换求出g x ，根据三角变换化简fα +gα =35可得sin2α+π6=35，然后由二倍角公式可解.【详解】由x∈0,π得ωx∈0,ωπ，因为函数f x 在0,π内恰有两个对称中心，所以3π2≤ωπ5π2>ωπ，解得32≤ω<52，又fπ=cosωπ=1，所以ωπ=kπ,k∈Z，即ω=k,k∈Z，所以ω=2，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数y=cos2x-π3=cos2x-2π3，即g x =cos2x-2π3，因为fα +gα =cos2α+cos2α-2π3=32sin2α+12cos2α=sin2α+π6=35，所以cos4α+π3=1-2sin22α+π6=1-2×35 2=725.故选：A6(2024·安徽马鞍山·三模)已知函数f(x)=sin2ωx+cos2ωx(ω>1)的一个零点是π2，且f(x)在-π6,π16上单调，则ω=()A.54B.74C.94D.114【答案】B【分析】整理可得f(x)=2sin2ωx+π4，以2ωx+π4为整体，根据单调性分析可得1<ω≤2，再结合零点分析求解.【详解】因为f(x)=sin2ωx+cos2ωx=2sin2ωx+π4，x∈-π6,π16，且ω>1时，可得2ωx+π4∈-π3ω+π4,π8ω+π4，且-π3ω+π4<0<π8ω+π4，若f(x)在-π6,π16上单调，则-π3ω+π4≥-π2π8ω+π4≤π2，解得1<ω≤2，又因为f(x)的一个零点是π2，则πω+π4=kπ,k∈Z，解得ω=k-14,k∈Z，所以k=2,ω=7 4 .故选：B.7(2024·山东临沂·二模)已知函数f x =sin2x+φϕ <π2图象的一个对称中心为π6,0，则()A.f x 在区间-π8,π3上单调递增B.x=5π6是f x 图象的一条对称轴C.f x 在-π6,π4上的值域为-1,32D.将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称【答案】D【分析】借助整体代入法结合正弦函数的性质可得A、B；结合正弦函数最值可得C；得到平移后的函数解析式后借助诱导公式即可得D.【详解】由题意可得2×π6+φ=kπk∈Z，解得φ=-π3+kπk∈Z，又ϕ <π2，故φ=-π3，即f x =sin2x-π3；对A：当x∈-π8 ,π3时，2x-π3∈-7π12,π3，由函数y=sin x在-7π12,π3上不为单调递增，故f x 在区间-π8 ,π3上不为单调递增，故A错误；对B：当x=5π6时，2x-π3=4π3，由x=4π3不是函数y=sin x的对称轴，故x=5π6不是f x 图象的对称轴，故B错误；对C：当x∈-π6 ,π4时，2x-π3∈-2π3,π6，则f x ∈-1,1 2，故C错误；对D：将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，可得y=sin2x+2×5π12-π3=sin2x+π2=cos2x，该函数关于y轴对称，故D正确.故选：D.8(2024·广东广州·二模)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，若将函数f(x)的图象向右平移θ(θ>0)个单位后所得曲线关于y轴对称，则θ的最小值为()A.π8B.π4C.3π8D.π2【答案】A【分析】根据给定的图象特征，结合五点法作图列式求出ω和φ，再根据图象的平移变换，以及图象的对称性即可得解.【详解】由fπ4=1，得sinπ4ω+φ=22，又点π4,1及附近点从左到右是上升的，则π4ω+φ=π4+2kπ,k∈Z，由f5π8=0，点5π8,0及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图象相邻，得5π8ω+φ=π+2kπ,k∈Z，联立解得ω=2，φ=-π4+2kπ,k∈Z，而|φ|<π2，于是φ=-π4，f(x)=2sin2x-π4，若将函数f(x)的图像向右平移θ(θ>0)个单位后，得到y=sin2x-2θ-π4，则-2θ-π4=π2-kπ,k∈Z，而θ>0，因此θ=-3π8+kπ2,k∈N，所以当k=1时，θ取得最小值为π8 .故选：A9(2024·四川雅安·三模)已知函数f x =sin ωx +3cos ωx (ω>0)，则下列说法中正确的个数是()①当ω=2时，函数y =f x -2log πx 有且只有一个零点；②当ω=2时，函数y =f x +φ 为奇函数，则正数φ的最小值为π3；③若函数y =f x 在0,π3 上单调递增，则ω的最小值为12；④若函数y =f x 在0,π 上恰有两个极值点，则ω的取值范围为136,256.A.1 B.2C.3D.4【答案】B【分析】利用辅助角公式化简函数，由图象分析判断①；由正弦函数的性质判断②③；由极大值的意义结合正弦函数的性质判断④.【详解】依题意，ω>0，函数f (x )=212sin ωx +32cos ωx =2sin ωx +π3，对于①：f (x )=2sin 2x +π3，令y =f x -2log πx =0，即f x =2log πx ，作出函数y =f (x )和函数y =2log πx 的图象，如图，观察图象知，两个函数在0,7π12 上只有一个零点，f 13π12 =2sin 5π2=2，当x =13π12时，y =2log π13π12=2log π1312+2log ππ=2+2log π1312>2，当x >13π12时，2log πx >2≥f (x )，因此函数y =f x 与函数y =2log πx 的图象有且只有一个交点，①正确；对于②：f (x +φ)=2sin 2x +2φ+π3 为奇函数，则2φ+π3=k π,k ∈Z ，φ=-π6+k π2,k ∈Z ，即正数φ的最小值为π3，②正确；对于③：当x ∈0,π3 时，ωx +π3∈π3,π(ω+1)3，由y =f x 在0,π3 上单调递增，得π(ω+1)3≤π2ω>0，解得0<ω≤12，正数ω有最大值12，③错误；对于④：当x ∈(0,π)时，ωx +π3∈π3,ωπ+π3，而y =f x 在(0,π)上恰有两个极值点，由正弦函数的性质得3π2<ωπ+π3≤5π2，解得76<ω≤136，因此ω的取值范围是76,136，④错误.综上，共2个正确，故选：B .10(2024·河北保定·二模)已知tan α=3cos αsin α+11，则cos2α=()A.-78B.78C.79D.-79【答案】B【分析】利用切化弦和同角三角函数的关系，解出sin α，再结合二倍角公式即可求解.【详解】因为sin αcos α=3cos αsin α+11，所以4sin 2α+11sin α-3=0，解得sin α=14或sin α=-3(舍去)，所以cos2α=1-2sin 2α=78．故选：B .11(2024·河北衡水·三模)已知sin (3α-β)=m sin (α-β)，tan (2α-β)=n tan α，则m ，n 的关系为()A.m =2nB.n =m +1mC.n =m m -1D.n =m +1m -1【答案】D【分析】利用和差角的正弦公式化简，结合已知列出方程即可求解.【详解】依题意，sin (3α-β)=sin [(2α-β)+α]=sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α，sin (α-β)=sin [(2α-β)-α]=sin (2α-β)cos α-cos (2α-β)sin α，则sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α=m sin (2α-β)cos α-m cos (2α-β)sin α，即sin (2α-β)cos αcos (2α-β)sin α=m +1m -1，即tan (2α-β)tan α=m +1m -1=n .故选：D12(2024·辽宁沈阳·三模)已知tan α2=2，则sin 2α2+sin α的值是()A.25B.45C.65D.85【答案】D【分析】利用二倍角公式和同角之间的转化，进行求解判断选项【详解】当tan α2=2，则sin 2α2+sin α=sin 2α2+2sin α2cos α2sin 2α2+cos 2α2=tan 2α2+2tan α2tan 2α2+1=22+2×222+1=85故选：D13(2024·贵州黔东南·二模)已知0<α<β<π，且sin α+β =2cos α+β ，sin αsin β-3cos αcos β=0，则tan α-β =()A.-1 B.-32C.-12D.12【答案】C【分析】找出tan α和tan β的关系，求出tan α和tan β即可求解.【详解】∵sin αsin β-3cos αcos β=0，∴sin αsin β=3cos αcos β，∴tan αtan β=3①，∵sin α+β =2cos α+β ，∴tan α+β =2⇒tan α+tan β1-tan αtan β=2⇒tan α+tan β1-3=2，∴tan α+tan β=-4②，由①②解得tan α=-1tan β=-3或tan α=-3tan β=-1 ，∵0<α<β<π，∴tan α<tan β，∴tan α=-3tan β=-1 ，∴tan α-β =tan α-tan β1+tan αtan β=-12.故选：C .二、多选题14(2024·河北张家口·三模)已知函数f (x )=23cos 2x +2sin x cos x ，则下列说法正确的是()A.函数f (x )的一个周期为2πB.函数f (x )的图象关于点π3,0 对称C.将函数f (x )的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的最小值为5π12D.若f 12α-5π24 -3=12，其中α为锐角，则sin α-cos α的值为6-308【答案】ACD【分析】利用三角恒等变换公式化简，由周期公式可判断A ；代入验证可判断B ；根据平移变化求g (x )，由奇偶性可求出φ，可判断C ；根据已知化简可得sin α-π12 =14，将目标式化为2sin α-π12 -π6 ，由和差角公式求解可判断D .【详解】对于A ，因为f (x )=31+cos2x +sin2x =2sin 2x +π3+3，所以f (x )的最小值周期T =2π2=π，所以2π是函数f (x )的一个周期，A 正确；对于B ，因为f π3 =2sin 2×π3+π3 +3=3，所以，点π3,0 不是函数f (x )的对称中心，B 错误；对于C ，由题知，g x =f (x -φ)=2sin 2(x -φ)+π3 +3=2sin 2x +π3-2φ +3，若函数g (x )为偶函数，则π3-2φ=π2+k π,k ∈Z ，得φ=-π12-k π2,k ∈Z ，因为φ>0，所以φ的最小值为5π12，C 正确；对于D ，若f 12α-5π24-3=2sin 212α-5π24 +π3 =2sin α-π12 =12，则sin α-π12 =14，因为α为锐角，-π12<α-π12<5π12，所以cos α-π12 =154，所以sin α-cos α=2sin α-π4 =2sin α-π12 -π6=232sin α-π12 -12cos α-π12=232×14-12×154=6-308，D 正确.故选：ACD 15(2024·辽宁鞍山·模拟预测)已知函数f x =sin x ⋅cos x ，则()A.f x 是奇函数B.f x 的最小正周期为2πC.f x 的最小值为-12D.f x 在0,π2上单调递增【答案】AC【分析】首先化简函数f x =12sin2x ，再根据函数的性质判断各选项.【详解】f x =sin x ⋅cos x =12sin2x ，函数的定义域为R ，对A ，f -x =-12sin2x =-f x ，所以函数f x 是奇函数，故A 正确；对B ，函数f x 的最小正周期为2π2=π，故B 错误；对C ，函数f x 的最小值为-12，故C 正确；对D ，x ∈0,π2 ，2x ∈0,π ，函数f x 不单调，f x 在0,π4 上单调递增，在π4,π2上单调递减，故D 错误.故选：AC16(2024·安徽·三模)已知函数f x =sin x -3cos x ，则()A.f x 是偶函数B.f x 的最小正周期是πC.f x 的值域为-3,2D.f x 在-π,-π2上单调递增【答案】AC【分析】对于A ，直接用偶函数的定义即可验证；对于B ，直接说明f 0 ≠f π 即可否定；对于C ，先证明-3≤f x ≤2，再说明对-3≤u ≤2总有f x =u 有解即可验证；对于D ，直接说明f -5π6>f -2π3 即可否定.【详解】对于A ，由于f x 的定义域为R ，且f -x =sin -x -3cos -x =-sin x -3cos x =sin x -3cos x =f x ，故f x 是偶函数，A 正确；对于B ，由于f 0 =sin0 -3cos0=-3，f π =sinπ -3cosπ=3，故f 0 ≠f π ，这说明π不是f x 的周期，B 错误；对于C ，由于f x =sin x -3cos x ≤sin x +3cos x =sin x +3cos x 2≤sin x +3cos x 2+3sin x -cos x 2=sin 2x +3cos 2x +23sin x cos x +3sin 2x +cos 2x -23sin x cos x =4sin 2x +4cos 2x =4=2，且f x =sin x -3cos x ≥-3cos x ≥-3，故-3≤f x ≤2.而对-3≤u ≤2，有f 0 =-3≤u ，f 5π6 =2≥u ，故由零点存在定理知一定存在x ∈0,5π6使得f x =u .所以f x 的值域为-3,2 ，C 正确；对于D ，由于-π<-5π6<-2π3<-π2，f -5π6 =2>3=f -2π3 ，故f x 在-π,-π2上并不是单调递增的，D 错误.故选：AC .17(2024·山西太原·模拟预测)已知函数f x =sin 2x +φ 0<φ<π2 的图象关于直线x =π12对称，且h x =sin2x -f x ，则()A.φ=π12B.h x 的图象关于点π6,0中心对称C.f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称 D.h x 在区间π6,5π12内单调递增【答案】BCD【分析】根据正弦函数的对称性求解φ判断A ，先求出h x =sin 2x -π3，然后利用正弦函数的对称性求解判断B ，根据对称函数的性质判断C ，结合正弦函数的单调性代入验证判断D .【详解】由题意得2×π12+φ=π2+k π，k ∈Z ，解得φ=π3+k π，k ∈Z ，又因为0<φ<π2，所以φ=π3，A 错误；由φ=π3可知f x =sin 2x +π3，则h x =sin2x -sin 2x +π3 =12sin2x -32cos2x =sin 2x -π3，令2x -π3=k π，k ∈Z ，解得x =π6+k π2，k ∈Z ，令k =0，得x =π6，所以点π6,0 是曲线y =h x 的对称中心，B 正确；因为f π2-x =sin 2π2-x +π3 =sin 4π3-2x =sin 2x -π3=h x ，所以f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称，C 正确；当x ∈π6,5π12 时，2x -π3∈0,π2 ，故h x 在区间π6,5π12内单调递增，D 正确.故选：BCD 18(2024·浙江金华·三模)已知函数f x =sin2ωx cos φ+cos2ωx sin φω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示，则()A.φ=π6B.ω=2C.f x +π6为偶函数 D.f x 在区间0,π2的最小值为-12【答案】ACD【分析】先由正弦展开式，五点法结合图象求出f x =sin 2x +π6，可得A 正确，B 错误；由诱导公式可得C 正确；整体代入由正弦函数的值域可得D 正确.【详解】由题意得f x =sin 2ω+φ ，由图象可得f 0 =12⇒sin φ=12，又0<φ<π2，所以φ=π6，由五点法可得ω×4π3+π6=3π2⇒ω=1，所以f x =sin 2x +π6 .A ：由以上解析可得φ=π6，故A 正确；B ：由以上解析可得ω=1，故B 错误；C ：f x +π6 =sin 2x +π6 +π6=cos2x ，故C 正确；D ：当x ∈0,π2 ⇒2x +π6∈π6,7π6 时，sin 2x +π6 ∈-12,1，所以最小值为-12，故D 正确；故选：ACD .19(2024·浙江温州·二模)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，P -3,4 为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，则()A.cos π+α =35B.β=2k π+π2+2αk ∈Z C.tan β=724D.角β的终边在第一象限【答案】ACD【分析】根据三角函数的定义，可求角α的三角函数，结合诱导公式判断A 的真假；利用二倍角公式，求出2α的三角函数值，结合三角函数的概念指出角2α的终边与单位圆的交点，由对称性确定角β终边与单位圆交点，从而判断BCD 的真假.【详解】因为角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P -3,4 ，所以：OP =5，所以sin α=45，cos α=-35，所以cos π+α =-cos α=35，故A 对；又sin2α=2sin α⋅cos α=2×45×-35 =-2425，cos2α=cos 2α-sin 2α=-35 2-45 2=-725，所以2α的终边与单位圆的交点坐标为：-725,-2425 ，因为角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，所以角β的终边与单位圆的交点为2425,725，所以tan β=724，且β的终边在第一象限，故CD 正确；又因为终边在直线y =-x 的角为：k π-π4,k ∈Z ，角2α的终边与角β的终边关于y =-x 对称，所以2α+β2=k π-π4⇒β=2k π-π2-2αk ∈Z ，故B 错误.故选：ACD20(2024·广东佛山·二模)已知函数f x =sin x +cos2x 与g x =sin2x +cos x ，记h x =λf x +μg x ，其中λ，μ∈R 且λ2+μ2≠0．下列说法正确的是()A.h x 一定为周期函数B.若λ⋅μ>0，则h x 在0,π2上总有零点C.h x 可能为偶函数 D.h x 在区间0,2π 上的图象过3个定点【答案】ABD【分析】对于A ：计算h x +2π ，化简即可；对于B ：求出h x ，然后计算h 0 h π2的正负即可；对于C ：计算h x ,h -x 是否恒相等即可；对于D ：令f x =0g x =0，求解x 即可.【详解】对于A ，∀x ∈R ，h x +2π =λf x +2π +μg x +2π =λf x +μg x =h x ，A 正确；对于B ，h x =λcos x -2sin2x +μ2cos2x -sin x ，则h 0 =λ+2μ，h π2=-3μ，因为λμ>0，即λ，μ同号，所以h 0 h π2<0，由零点存在定理知h x 在0,π2上总有零点，故B 正确；对于C ，h x =λsin x +λcos2x +μsin2x +μcos x ，h -x =-λsin x +λcos2x -μsin2x +μcos x ，由h x =h -x 得2λsin x +2μsin2x =2λsin x +2μ⋅2sin x cos x =2sin x λ+2μcos x =0对x ∈R 恒成立，则λ=μ=0与题意不符，故C 错误；对于D ，令f x =0g x =0 ，则sin x +cos2x =1-2sin 2x +sin x =-sin x -1 2sin x +1 =0sin2x +cos x =cos x 2sin x +1 =0 ⇒sin x =1或sin x =-12cos x =0或sin x =-12，即x ∈-π6+2k π,π2+2k π,7π6+2k π ，k ∈Z ，故所有定点坐标为-π6+2k π,0 ，π2+2k π,0 ，7π6+2k π,0 ，k ∈Z ，又因为x ∈0,2π ，所以函数h x 的图象过定点π2,0 ，7π6,0 ，11π6,0 ，故D 正确；故选：ABD ．21(2024·湖南·二模)已知函数f x =12cos 2x -π3 ，把y =f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x 的图象，以下说法正确的是()A.x =π6是y =f x 图象的一条对称轴B.f x 的单调递减区间为k π+π6,k π+2π3k ∈Z C.y =g x 的图象关于原点对称D.f x +g x 的最大值为12【答案】ABD【分析】根据题意，求得g x =-12cos2x 的图象，结合三角函数的图象与性质，以及两角差的正弦公式，逐项判定，即可求解.【详解】将函数f x =12cos 2x -π3 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x =12cos 2x -π =-12cos2x 的图象，对于A 中，令x =π6，求得f x =12，即为函数y =f x 最大值，所以直线x =π6是函数f x 图象的一条对称轴，所以A 正确；对于B 中，令2k π≤2x -π3≤2k π+π,k ∈Z ，解得k π+π6≤x ≤k π+2π3,k ∈Z ，可得f x 的单调减区间为k π+π6,k π+2π3,k ∈Z ，所以B 正确.对于C 中，由于g x =-12cos2x 是偶函数，可得函数g x 的图象关于y 轴对称，所以C 错误.对于D 中，由f x +g x =12cos 2x -π3 +-12cos2x =1212cos2x +32sin2x -12cos2x =34sin2x -14cos2x =12sin 2x -π6 ≤12，即f x +g x 的最大值为12，所以D 正确.故选：ABD .22(2024·广东江门·一模)已知函数f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3(ω>0)，则下列结论正确的是()A.若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则ω=2B.当ω=1，x ∈0,π2时，f x 的值域为-3,2 C.当ω=1时，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为y =2cos 2x +π6D.若f x 在区间0,π6上有且仅有两个零点，则5≤ω<8【答案】BCD【分析】根据三角恒等变换化简f x =2sin 2ωx +π3，进而根据周期可判断A ，根据整体法求解函数的值域判断B ，根据函数图象的平移可判断C ，根据零点个数确定不等式满足的条件可判断D .【详解】f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3=sin2ωx cos π3+cos2ωx sin π3+sin2ωx cos π3-cos2ωx sin π3+3cos2ωx=sin2ωx +3cos2ωx =2sin 2ωx +π3，对于A ，若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则T =2×π2=π=2π2ω,故ω=1，A 错误，对于B ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3 ，当x ∈0,π2 时，2x +π3∈π3,4π3，则f x 的值域为-3,2 ，B 正确，对于C ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为f x +π6 =2sin 2x +π6 +π3 =2sin 2x +2π3 =2cos 2x +π6，C 正确，对于D ，当x ∈0,π6 时，2ωx +π3∈π3,2ωπ6+π3，若f x 在区间0,π6 上有且仅有两个零点，则2π≤2ωπ6+π3<3π，解得5≤ω<8，故D 正确，故选：BCD 三、填空题23(2024·北京·三模)已知函数f (x )=sin x cos ωx ,x ∈R ．①若ω=1，则f (x )的最小正周期是；，②若ω=2，则f (x )的值域是．【答案】π[-1,1]【分析】把ω=1代入，t 明智二倍角的正弦，结合正弦函数的周期求出f (x )的最小正周期；把ω=2代入，利用二倍角的余弦公式，借助换元法，利用导数求出f (x )的值域.【详解】当ω=1时，f (x )=sin x cos x =12sin2x ，函数f (x )的最小正周期为2π2=π；当ω=2时，f (x )=sin x cos2x =sin x (1-2sin 2x )，令sin x =t ∈[-1,1]，g (t )=t (1-2t 2)=-2t 3+t ，求导得g (t )=-6t 2+1，当-1≤t <-66或66<t ≤1时，g (t )<0，当-66<t <66时，g (t )>0，函数g (t )在-1,-66 ，66,1 上单调递减，在-66,66上单调递增，g (-1)=1,g 66 =69，g (1)=-1,g -66 =-69，所以g (t )min =-1,g (t )max =1，f (x )的值域是[-1,1].故答案为：π；[-1,1]24(2024·北京·模拟预测)已知函数f (x )=sin ωx -2cos ωx (ω>0)，且f α+x =f α-x .若两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，则sin4α=.【答案】-45/-0.8【分析】利用辅助角公式化简f (x )的解析式，再由题意可得函数关于x =α对称，且最小正周期T =π，即可求出ω的值，从而得到2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得．【详解】因为f (x )=sin ωx -2cos ωx =5sin ωx -φ ，其中tan φ=2，由f α+x =f α-x ，可得f x 关于x =α对称，又两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，所以f x 的最小正周期T =π，又ω>0，所以2πω=π，解得ω=2，所以f x =5sin 2x -φ ，所以2α-φ=π2+k π,k ∈Z ，则2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，所以sin4α=sin2φ+π2+k π =sin 2φ+π+2k π =-sin2φ=-2sin φcos φsin 2φ+cos 2φ=-2tan φtan 2φ+1=-2×222+1=-45.故答案为：-4525(2024·湖北荆州·三模)设0<α<β<π2，tan α=m tan β，cos α-β =35，若满足条件的α与β存在且唯一，则m =，tan αtan β=.【答案】191【分析】由tan α=m tan β得到sin αcos β=m cos αsin β，再结合cos α-β =35，利用sin α-β =-45，得到cos αsin β=-45m -1 ，sin αcos β=-4m5m -1 ，从而sin α+β =-4m +1 5m -1，再由满足条件的α与β存在且唯一，得到α+β唯一，从而sin α+β =-4m +15m -1=1，求得m 即可.【详解】解：由tan α=m tan β，得sin αcos α=m sin βcos β，即sin αcos β=m cos αsin β，因为0<α<β<π2，tan α=m tan β，所以-π2<α-β<0，0<m <1，又cos α-β =35，所以sin α-β <0，从而sin α-β =sin αcos β-cos αsin β=m -1 cos αsin β=-45，所以cos αsin β=-45m -1，所以sin αcos β=m cos αsin β=-4m5m -1，所以sin α+β =sin αcos β+cos αsin β=-4m +15m -1，因为α,β∈0,π2，所以α+β∈0,π ，因为满足条件的α与β存在且唯一，所以α+β唯一，所以sin α+β =-4m +1 5m -1=1，所以m =19，经检验符合题意，所以tan α=19tan β，则tan α-β =-43=tan α-tan β1+tan αtan β=tan α-9tan α1+9tan 2α，解得tan α=13，所以tan αtan β=9tan 2α=1.故答案为：19，1【点睛】关键点点睛：关键是结合已知得出sin α+β =-4m +15m -1 =1，求出m ，由此即可顺利得解.。

2020高考数学复习专题10+三角函数与数列大题-冲刺高考最后一个月(理科数学)名师押题高端精品

专题十三角函数与数列大题（一）命题特点和预测：分析近8年全国Ⅰ卷数列与三角函数大题，发现三角函数与数列大题都是放在17题位置且每年只考一个，8年5考利用正余弦定理解三角形或平面图形问题，3年考数列，主要考查等差数列、等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式、求数列通项及数列求和，试题难度为基础题，2019年仍将在数列与解三角形二者中考一题，主要考查等比数列、等差数列的定义、通项公式、前n 项和公式、求数列通项及数列求和或利用正余弦定理解三角形，难度为基础题．（二）历年试题比较：年份题目2018年【2018新课标1，理 17】在平面四边形中，，，，.（1）求；（2）若，求.2017年【2017新课标1，理17】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A .（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长.2016年【2016高考新课标理数1】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知（1）求C ；（2）若的面积为332，求ABC △的周长． 2015年【2015高考新课标1，理17】n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，2n n a a +=43n S +. （1）求{n a }的通项公式；（2）设11n n n b a a +=,求数列{n b }的前n 项和. 2014年【2014课标Ⅰ，理17】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，0na ≠，，其中λ为常数，（1）证明：；（2）是否存在λ，使得{}n a为等差数列？并说明理由.2013年【2013课标全国Ⅰ，理17】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝1，P为△ABC 内一点，∠BPC＝90°.(1)若PB＝12，求P A；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.2012年【2012全国，理17】已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a cos C＋3a sin C －b－c＝0．(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c．2011年【2011全国新课标，理17】等比数列{an }的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，23239a a a=.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝log3a1＋log3a2＋…＋log3a n，求数列1{}nb的前n项和．【解析与点睛】（2018）（17）【解析】（1）在中，由正弦定理得. 由题设知，，所以.由题设知，，所以.（2）由题设及（1）知，.在中，由余弦定理得.所以.点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、同角三角函数关系式、诱导公式以及余弦定理，在解题的过程中，需要时刻关注题的条件，以及开方时对于正负号的取舍要从题的条件中寻找角的范围所满足的关系，从而正确求得结果.（2017年）【解析】（1）由题知∴∵由正弦定理得，由sin 0A ≠得. （2）由（1）得，∵∴又∵()0πA ∈，∴60A =︒，3sin A =，1cos 2A =由余弦定理得 ① 由正弦定理得，∴②由①②得33b c +=∴，即ABC △周长为333+【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.（2016年）【解析】（1）由正弦定理及得，，即，即，因为π<<C 0，所以0sin ≠C ，所以21cos =C ，所以3π=C .（2）由余弦定理得：∴6ab = ∴5a b +=∴ABC △周长为【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式,,这是常用的结论,另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边”.（2015年）【解析】（1）当1n =时，，因为0n a >，所以1a =3，当2n ≥时， ==4n a ，即，因为0n a >，所以1n n a a --=2，所以数列{n a }是首项为3，公差为2的等差数列，所以n a =21n +；（2）由（1）知，n b =，所以数列{n b }前n 项和为==11646n -+. （2014年）【解析】（1由题设，，．两式相减得，．由于10n a +≠，所以．（2）由题设，11a =，，可得21a λ=-，由（I ）知，31a λ=+．令，解得4λ=．故，由此可得，{}21n a -是首项为1，公差为4的等差数列，；＝0．因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0．由于sin C ≠0，所以．又0＜A ＜π，故π3A =． (2)△ABC 的面积，故bc ＝4．而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8．解得b ＝c ＝2．（2011年）【解析】：(1)设数列{a n }的公比为q .由23269a a a =得22349a a =，所以219q =.由条件可知q ＞0，故13q =. 由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1，所以113a =.（三）命题专家押题题号试题 1.在中，三边所对应的角分别是.已知成等比数列.（1）若，求角的值；（2）若外接圆的面积为，求面积的取值范围. 2. 已知数列是公差不为零的等差数列，，且存在实数满足，.（1）求的值及通项；（2）求数列的前项和.3.已知数列满足.（1）求和的通项公式；（2）记数列的前项和为，若对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．4. 已知数列是正项等比数列，,数列满足条件.(Ⅰ) 求数列、的通项公式；(Ⅱ) 设,记数列的前项和.①求；②求正整数，使得对任意，均有.5. 已知数列中，且．（1）并证明是等比数列；（2）设，求数列的前项和．6 中角，，的对边分别为，，，己如.（1）求的值：（2）若，，求的面积.7 已知是的内角，分别是角的对边.若.（1）求角的大小；（2）若，的面积为，为的中点，求8 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acos C＋asin C－b－c＝0.(1)求A；(2)若AD为BC边上的中线，cos B＝，AD＝，求△ABC的面积．9 如图，在中，是边上一点，，，.（1）求的长；（2）若，求的面积.10如图，在四边形中，，连接.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的面积最大值.【详细解析】1.【解析】（1），又∵成等比数列，得，由正弦定理有，∵，∴，得，即，由知，不是最大边，∴.（2）∵外接圆的面积为，∴的外接圆的半径，由余弦定理，得，又，∴，当且仅当时取等号，又∵为的内角，∴，由正弦定理，得.∴的面积，∵，∴，∴.2.【解析】（1）设等差数列的公差为，由……①得……②，①-②得，，又因为，解得；将代入①可得，即，又因为，所以.（2）由（1）可得，所以.3.【解析】(1)由题意得，所以得由,所以（），相减得，得也满足上式.所以的通项公式为.(2)数列的通项公式为是以为首项,公差为的等差数列,若对任意的正整数恒成立，等价于当时,取得最大值,所以解得所以实数的取值范围是4.【解析】（1）设数列是正项等比数列的公比为，因为，所以有，所以（2）①因为，所以，，，②令，由于比变化的快，所以，得，即,递增而递减，是最大，即当时，对任意，均有.5.【解析】（1）由题意知，①当时，，②当时，．数列是以为首项，为公比的等比数列．（2）由（1），可知：，．．．③-④，可得：，，③ ④6.【解析】（1）因为，所以．化简得．即．因在中，，则．从而．由正弦定理，得．所以．（2）由（1）知，且，所以．因为，所以．即所以．．所以所以△的面积为．7.【解析】（1）由得由正弦定理，得．，即所以又，则（2）因为，所以 .所以为等腰三角形，且顶角.因为所以 .在中，，，，所以解得.8.【解析】(1)acos C＋ asin C－b－c＝0，由正弦定理得 sin Acos C＋ sin Asin C＝sin B＋sin C，即 sin Acos C＋ sin Asin C＝sin(A＋C)＋sin C，又 sin C≠0，所以化简得 sin A－cos A＝1，所以 sin(A－30°)＝ . 在△ ABC 中，0°＜A＜180°，所以 A－30°＝30°，得 A＝60°.(2)在△ ABC 中，因为 cos B＝，所以 sin B＝ .所以 sin C＝sin(A＋B)＝ × ＋ × ＝ .由正弦定理得，.设 a＝7x，c＝5x(x＞0)，则在△ ABD 中，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos B，即＝25x2＋ ×49x2－2×5x× ×7x× ，解得 x＝1，所以 a＝7，c＝5，故 S△ ABC＝ acsin B＝10 .9.【解析】（1）在中，由正弦定理，得，在中，由正弦定理，得因为，，所以.（2）在中，由余弦定理，得，，，，在中，由余弦定理，得因为所以，，，，， . ，解得，所以.所以.10.【解析】（1）在中，由正弦定理得，∴．∵，∴，∴为锐角，∴．（2）在 ∴中，在中，由余弦定理得∴∴，∴ 即面积的最大值为．， .，，当且仅当时等号成立，，。

2019高考数学(理)解答题考前60天冲刺：数列

3 ，求证 5
1 an
是等比数列并求出 { an} 的通项公式； 1
〔 2〕假设 an 1 a n 对一切 n N * 都成立，求 t 的取值范围。
26 、数列 an 满足： a1 1 ； an 1 an 1， n N 。数列 bn 的前 n 项和为 Sn , 且
Sn bn 2, n N 。
⑴求数列 an 、 bn 的通项公式；⑵令数列 cn 满足 cn a n bn，求其前 n 项和为 Tn 。
∴
Tn
15n
n( n 1)
( 10)
20n
、
5n2
2
2、数列
an
的首项
a1
1 的等比数列，其前 n 项和 Sn 中 S3 4
满足
a1
1,an
、
*
x), n N
1 f
an 1
n
N* ,且n
。
2
⑴求数列
的通项公式；
an
⑵设
Tn a1a2 a2 a3 a3 a4 a4a5
1
n
1
an an
，假设
1
Tn
tn 2 对 n
N* 恒成立，求
实数 t 的取值范围；
⑶是否存在以 a1为首项，公比为 q 0 q 5,q N * 的等比数列 a n k ， k N * ，使得数
2t
1
，从而 t 3
1、
t
〔II 〕设 { bn } 的公差为 d，由 T3 15 得 b1 b2 b3 15 ，于是 b2 5 ，
故可设 b1 5 d , b3 5 d ，又 a1 1 , a2 3 , a3 9 ，
由题意可得 (5 d 1)( 5 d 9) (5 3) 2 ，

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专题十三角函数与数列大题（一）命题特点和预测：分析近 8 年全国Ⅰ卷数列与三角函数大题，发现三角函数与数列大题都是放在 17 题位置且每年只考一个，8 年 5 考利用正余弦定理解三角形或平面图形问题，3 年考数列，主要考查等差数列、等比数列的定义、通项公式、前 n 项和公式、求数列通项及数列求和，试题难度为基础题，2019 年仍将在数列与解三角形二者中考一题，主要考查等比数列、等差数列的定义、通项公式、前 n 项和公式、求数列通项及数列求和或利用正余弦定理解三角形，难度为基础题．（二）历年试题比较：年份题目2018 年 2017 年【2018 新课标 1，理 17】在平面四边形中，，，，.（1）求；（2）若，求 .【2017 新课标 1，理 17】△ ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知△ ABC 的面积为2016 年a2 3sin A .（1）求 sin Bsin C; （2）若 6cos Bcos C=1，a=3，求△ ABC 的周长.【 2016 高考新课标理数 1 】 △ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知（1）求 C；（2）若的面积为 3 3 ，求△ABC 的周长． 22015 年【2015 高考新课标 1，理 17】 Sn 为数列{ an }的前 n 项和.已知 an ＞0， an2 an = 4Sn 3 .（1）求{ an }的通项公式；（2）设 bn1 an an 1,求数列{ bn }的前 n 项和.2014 年【2014 课标Ⅰ，理 17】已知数列an 的前 n 项和为 Sn ， a1 1， an 0 ，，其中为常数，2013 年（1）证明：；（2）是否存在，使得an 为等差数列？并说明理由.【2013 课标全国Ⅰ，理 17】如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝ 3 ，BC＝1，P 为△ABC内一点，∠BPC＝90°.2012 年(1)若 PB＝ 1 ，求 PA； 2(2)若∠APB＝150°，求 tan∠PBA.【2012 全国，理 17】已知 a，b，c 分别为△ABC 三个内角 A，B，C 的对边，acosC＋ 3 asinC－b－c＝0． (1)求 A；(2)若 a＝2，△ABC 的面积为 3 ，求 b，c．2011 年【2011 全国新课标，理 17】等比数列{an}的各项均为正数，且 2a1＋3a2＝1， a32 9a2a3 .(1)求数列{an}的通项公式；(2)设 bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{ 1 } 的前 n 项和． bn【解析与点睛】（2018）（17）【解析】（1）在中，由正弦定理得.由题设知，，所以.由题设知，，所以.（2）由题设及（1）知，.在中，由余弦定理得.所以.点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、同角三角函数关系式、诱导公式以及余弦定理，在解题的过程中，需要时刻关注题的条件，以及开方时对于正负号的取舍要从题的条件中寻找角的范围所满足的关系，从而正确求得结果.（2017 年）【解析】（1）由题知∴∵由正弦定理得，由 sin A 0 得.（2）由（1）得，∵∴又∵ A0，π∴ A 60 ， sin A 3 ， cos A 122由余弦定理得①由正弦定理得，∴②由①②得 b c 33∴，即 △ABC 周长为 3 33【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.（2016 年）【解析】（1）由正弦定理及得，，即，即，因为 0 C ，所以 sin C 0 ，所以cosC1 2，所以C 3.（2）由余弦定理得：∴ ab 6 ∴ ab5 ∴ △ABC 周长为【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式,,这是常用的结论,另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边”.（2015 年）【解析】（1）当 n 1时，，因为 an 0 ，所以 a1 =3，当 n 2 时，== 4an ，即，因为 an 0 ，所以 an an1 =2，所以数列{ an }是首项为 3，公差为 2 的等差数列，所以 an = 2n 1；（2）由（1）知， bn =，所以数列 { bn } 前 n 项和为==1 1 . 6 4n 6（2014 年）【解析】（1 由题设，，．两式相减得，．由于 an1 0 ，所以．（2）由题设，a1 1，，可得 a2 1，由（I）知，a3 1 ．令故，由此可得， a2n1 是首项为 1，公差为 4 的等差数列，，解得 4 ．；＝0．因为 B＝π－A－C，所以 3 sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0．由于 sinC≠0，所以．又 0＜A＜π，故 A π ． 3(2)△ABC 的面积解得 b＝c＝2．，故 bc＝4．而 a2＝b2＋c2－2bccosA，故 b2＋c2＝8．（2011年）【解析】：(1)设数列{an}的公比为q.由 a329a2a6得 a329a42 ，所以 q21 9.由条件可知q＞0，故 q 1 . 3由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a 1q＝1，所以a11 3.（三）命题专家押题题号试1. 在中，三边题所对应的角分别是.已知成等比数列.（1）若，求角的值；（2）若外接圆的面积为，求面积的取值范围.2.已知数列是公差不为零的等差数列，，且存在实数满足（1）求的值及通项；（2）求数列的前项和 .3.已知数列满足.，.（1）求和的通项公式；（2）记数列的前项和为，若4.已知数列是正项等比数列，(Ⅰ) 求数列、的通项公式；对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．,数列满足条件.(Ⅱ) 设,记数列的前项和 .①求；②求正整数，使得对任意，均有.5.已知数列中，且．（1）并证明是等比数列；（2）设，求数列的前项和．6中角，，的对边分别为，，，己如.（1）求的值：（2）若，，求的面积.7已知是的内角，分别是角.（1）求角的大小；的对边.若（2）若，的面积为，为的中点，求8已知 a，b，c 分别为△ ABC 三个内角 A，B，C 的对边，且 acos C＋ asin C－b－c＝0.(1)求 A；(2)若 AD 为 BC 边上的中线，cos B＝，AD＝，求△ ABC 的面积．9如图，在中，是边上一点，，，.（1）求的长；（2）若，求的面积.10如图，在四边形中，，连接.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若【详细解析】，求的面积最大值.1.【解析】（1），又∵ 成等比数列，得，由正弦定理有，∵，∴，得，即，由知，不是最大边，∴ .（2）∵外接圆的面积为，∴的外接圆的半径，由余弦定理，得，又，∴，当且仅当时取等号，又∵ 为的内角，∴，由正弦定理，得.∴的面积，∵，∴，∴2.【解析】（1）设等差数列的公差为，由……①得①-②得，，又因为，解得；将代入①……②，可得，即，又因为，所以.（2）由（1）可得. ，所以 .3.【解析】(1)由题意得所以由所以得 ,（，），相减得，得也满足上式.所以的通项公式为.(2)数列的通项公式为是以为首项,公差为的等差数列,若对任意的正整数恒成立，等价于当时, 取得最大值,所以解得所以实数的取值范围是4.【解析】（1）设数列是正项等比数列的公比为，因为，所以有，所以（2）①因为，所以，，，②令由于即即当比 ,递增而时，对任意变化的快，所以，得递减，是最大，，均有.，，5.【解析】（1）由题意知，①当时，，②当时，．数列是以为首项，为公比的等比数列．（2）由（1），可知：，．．．③-④，可得：，③ ④，6.【解析】（1）因为，所以．化简得．即．因在中，，则．从而．由正弦定理，得．所以．（2）由（1）知，且，所以．因为，所以．即．所以．所以．所以△的面积为．7.【解析】（1）由得由正弦定理，得，即所以又，则（2）因为，所以.所以为等腰三角形，且顶角.因为所以.在中，，，，所以解得.8.【解析】(1)acos C＋asin C－b－c＝0，由正弦定理得sin Acos C＋sin Asin C＝sin B＋sin C，即sin Acos C＋sin Asin C＝sin(A＋C)＋sin C，又sin C≠0，所以化简得sin A－cos A＝1，所以sin(A－30°)＝.在△ABC中，0°＜A＜180°，所以A－30°＝30°，得A＝60°.(2)在△ABC中，因为cos B＝，所以sin B＝.所以sin C＝sin(A＋B)＝×＋×＝.由正弦定理得，.设a＝7x，c＝5x(x＞0)，则在△ABD中，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos B，即＝25x2＋×49x2－2×5x××7x×，解得x＝1，所以a＝7，c＝5，故S△ABC＝acsin B＝10.9.【解析】（1）在中，由正弦定理，得，在中，由正弦定理，得，因为，，，，所以.（2）在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，因为，，，，.所以，解得，所以.所以.10.【解析】（1）在中，由正弦定理得，∴．∵，∴，∴为锐角，∴．（2）在中，，∴.在中，由余弦定理得，∴，当且仅当时等号成立，∴，∴，即面积的最大值为．。