河北省廊坊市2018-2019学年高一下学期期中考试测试卷数学试卷 含解析

高一年级第二学期期中联合调研考试数学试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡上）1.已知{}n a 是等差数列，且25a =-，646a a =+，则1a =（ ）A. -9B. -8C. -7D. -4【答案】B 【解析】 【分析】由*()(,)n m a a n m d m n N =+-∈，得n ma a d n m-=-，进而求出1a .【详解】解：{}n a 是等差数列，且25a=-，646a a =+64364a a d -∴==- 128a a d =-=-故选B.【点睛】本题考查数列的通项公式.熟练应用数列的通项公式是解题的关键.2.若实数a ，b ，c ，d 满足a b >，c d >，则下列不等式成立的是（ ） A. a c b d +>+ B. a c b d ->- C. ac bd >D.a b d c> 【答案】A 【解析】试题分析：根据不等式的性质，同向不等式相加，不等号的方向不变，故选A. 考点：不等式的性质．3.已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，若1010S =，2060S =，则40S =（ ） A. 110 B. 150 C. 210 D. 280【答案】D 【解析】【分析】由等差数列的性质可得10S ，1200S S -，3020S S -，4030S S -也成等差数列，由此求得40S 的值.【详解】解：等差数列{}n a 前n 项和为n S∴10S ，1200S S -，3020S S -，4030S S -也成等差数列故1000132020()2()S S S S S -+=- ，30=150S ∴又102040303020)(2()()S S S S S S =---+40=280S ∴故选D.【点睛】本题主要考查了等差数列的定义和性质，等差数列前n 项和公式的应用.4.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，60A =︒，43a =4b =，则B =（ ） A. 30B =︒或150B =︒ B. 150B =︒ C. 30B =︒ D. 60B =︒【答案】C 【解析】 【分析】将已知代入正弦定理可得1sin 2B =，根据a b >，由三角形中大边对大角可得：60B <︒，即可求得30B =︒. 【详解】解：60A =︒，43a =4b =由正弦定理得：sin 1sin 243b A B a === a b > 60B ∴<︒ 30B ∴=︒故选C.【点睛】本题考查了正弦定理、三角形边角大小关系，考查了推理能力与计算能力.5.不等式112x <的解集是（ ） A. (,0)(2,)-∞+∞B. (,2)-∞C. (0,2)(,0)-∞D. (2,)+∞【答案】A 【解析】 【分析】由不等式112x <可得0x <或者2x >，由此解得x 的范围. 【详解】解：由不等式112x <可得0x <或者2x >∴不等式得解集为(,0)(2,)-∞+∞故选A.【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想.6.在等比数列{}n a 中，2a ，16a 是方程2620x x ++=的两个根，则2169a a a 的值为（ ） A. 6-6 B. 2-C.2 D.2或【答案】D 【解析】 【分析】利用方程的根与等差数列的性质，求解即可.【详解】解：等比数列{}n a 中，2a ，16a 是方程2620x x ++=的两个根1622a a ∴⋅=216922a a a ⋅==∴92a ∴=±故选D.【点睛】本题考查等比数列的性质的应用，考查计算能力.7.在ABC ∆中，若sin cos cos A B Ca b c==，则ABC ∆为（ ） A. 等边三角形B. 等腰直角三角形C. 有一个内角为30°的直角三角形D. 有一个内角为30°的等腰三角形【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理及条件等式，求得B 与C 的度数，进而即可判断出三角形的形状。

【详解】因为sin cos A B a b =，而由正弦定理可知sin sin A Ba b= 所以cos sin B Bb b =，即cos sin B B =在三角形ABC 中，可得B=45°同理sin cos A C a c =，由正弦定理可知sin sinCA a b = 所以cosC sinCc c=，即cos sin C C =在三角形ABC 中，可得C=45°所以三角形ABC 为等腰直角三角形 所以选B【点睛】本题考查了正弦定理在判断三角形形状中的应用，属于基础题。

8.已知两个等差教列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且7453n n A n B n +=+，则使得nna b 为整数的正整数n 的个数是（ ） A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列前n 项和公式可得2121n n n n a A b B --=，于是将nna b 表示为n 的关系式，分离常数后再进行讨论，最后可得所求．【详解】由等差数列的前n 项和公式可得，()()()()1211212112121121217214527191227212213112n n n n n n n n n n n a a n a a a a A n n b b b b B n n n b b -------+-+++=======+-+-++++，所以当1,2,3,,5,11n =时，121n +为整数，即n n a b 为整数，因此使得nna b 为整数的正整数n 共有5个． 故选D ．【点睛】本题考查等差数列的和与项的关系和推理论证能力，解题时要结合求和公式进行变形，然后再根据变形后的式子进行分析，本题具有一定的综合性和难度，能较好地考查学生的综合素质．9.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos 4sin a B b A C +=，则ABC ∆的外接圆面积为（ ） A. 16π B. 8πC. 4πD. 2π【答案】C 【解析】 【分析】设ABC △的外接圆半径为R ，由4acosB bcosA sinC+=，利用余弦定理化简已知可得4sin c C =，利用正弦定理可求24sin cR C==，解得2R =，从而可得结果． 【详解】设ABC 的外接圆半径为R ，4acosB bcosA sinC +=，∴由余弦定理可得：2222222c b b c 2c b c 4sinC 2c 2bc 2c a a a a +-+-⨯+⨯===，c2R 4sinC∴==，解得：R 2=， ABC ∴的外接圆面积为2S πR 4π==，故选C ．【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.10.已知函数()(1)()f x ax x b =-+，如果不等式()0f x >的解集为(1,3)-，那么不等式(2)0f x -<的解集为（ ）A. 31(,)(,)22-∞-+∞B. 31(,)22-C. 13(,)(,)22-∞-+∞D. 13(,)22-【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式()0f x >的解集为(1,3)-，可求得1,3a b =-=-，进而得到a 、b 的值；将a 、b 的值代入()f x 中，求得()f x ，即可得出(2)f x -，再利用一元二次不等式的解法进行解答. 【详解】解：由()(1)()0f x ax x b =-+>的解集是(1,3)-，则a 0< 故有11,3b a=--=，即1,3a b =-=-. 2()23f x x x ∴=-++ 2(2)443f x x x ∴-=--+由24430x x --+< 解得12x >或23x < 故不等式(2)0f x -<的解集是31(,)(,)22-∞-+∞ 故选A.【点睛】本题考查了不等式和方程的关系以及一元二次不等式的解法，还应掌握一元二次方程根与系数的关系.11.已知在数列{}n a 中，11a =，22a =，且222(1)n n n a a +-=--，*n N ∈，则2019S 的值为（ ）A. 201810111⨯-B. 10102019⨯C. 201910111⨯-D. 20191011⨯【答案】C 【解析】 【分析】在数列{}n a 中，11a =，22a =，且222(1)n n n a a +-=--，对n 的奇偶性进行讨论，然后再分组求和得出2019S 的值.【详解】解：由递推公式，可得：当n 为奇数时，24n n a a +-=，数列{}n a 的奇数项是首项为1，公差为4的等差数列； 当n 为偶数时，20n na a +-=，数列{}n a 的偶数项是首项为2，公差为0的等差数列，1320192422809110(...)(...)201910111a a a a a S a =+++++++=⨯-∴故选C.【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式、分类讨论思想.12.“大衍数列”来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.大衍数列前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则此数列第20项为（ ） A. 180 B. 200C. 128D. 162【答案】B 【解析】根据前10项可得规律：每两个数增加相同的数，且增加的数构成首项为2，公差为2的等差数列。

可得从第11项到20项为60，72,84,98,112,128,144,162,180,200.所以此数列第20项为200.故选B 。

【点睛】从前10个数观察增长的规律。

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.在等比数列{}n a 中，198a =，13n a =，公比23q =，则n =______. 【答案】4 【解析】 【分析】等比数列的通项公式为11n n a a q -=⋅，将题目已知条件代入11n n a a q -=⋅中，即可求出项数n.【详解】解：等比数列的通项公式为11n n a a q -=⋅，得1192()383n -=⋅， 即1322()()33n -=4n ∴=【点睛】本题考查了等比数列的通项公式.解答此类题的关键是熟记数列的通项公式.14.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1cos 3B =，4b =，ABC S ∆=，则ABC ∆的周长为______. 【答案】434 【解析】 【分析】 先根据1cos 3B =求出sin B ，再由42ABC S ∆=求出ac ，最后再由余弦定理可求出22a c +，进而可求出a c ，的值，即可求出周长.【详解】由1cos 3B =，得2sin 3B =，由三角形面积公式可得1122sin 223ac B ac =⋅=，则12ac =①，结合余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得221162123a c =+-⨯⨯，则2224a c +=②，由①②联立可得23a c ==ABC ∆的周长为434.故答案为434【点睛】本题主要考查解三角形，熟记余弦定理和面积公式即可，属于基础题型.15.在等差数列{}n a 中，100a <，110a >，且1110a a >，则满足0nS <的n 的最大值为______.【答案】19 【解析】 【分析】 由题意可得，100a <，110a >，11100a a +>，根据等差数列的性质判断191019S a =⋅ ，20101110()S a a =⋅+的符号，即可得出结论.【详解】解：在等差数列{}n a 中，100a <，110a >，1110a a >∴11100a a +>则1910190S a =⋅<，20101110()0S a a =⋅+> 故0nS <时，n 的最大值为19.【点睛】本题考查了等差数列的性质.根据等差数列的性质判断191019S a =⋅ ，20101110()S a a =⋅+的符号是解答本题的关键.16.已知16k >，若对任意正数x ，y ，不等式1322k x ky xy ⎛⎫-⋅+≥ ⎪⎝⎭k 的最小值为______. 【答案】12【解析】 【分析】根据x ，y 为任意整数可得已知不等式等价于1322x y k y x⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭式易得(3)2221k k -≥k 的取值范围，从而得出k 的最小值，注意所得k 的值还要满足16k >. 【详解】解：0x >，0y >1322k x ky xy ⎛⎫∴-⋅+≥ ⎪⎝⎭恒成立等价于1322x yk y x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭. 16k >1321(3)2x y k x y k y x y k x ⎛⎫∴-⋅ ⎪⎝-⋅⎭1(32)22k k -∴≥解得13k ≤-（舍去）或12k ≥k ∴的最小值为12【点睛】本题考查了基本不等式的应用，体现了转化的数学思想.三、解答题：（本大题共6小题，共70分）17.在ABC ∆中，角A ，B ，C对边分别为a ，b ，c ，已知2cos cos cos b C a C c A =+.（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若2b =，c =a 及ABC ∆的面积.【答案】（1）C=3π；（2）332. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将变换为角得cosC=12，从而得解； （2）由余弦定理可得a 的值，进而利用面积公式即可得解. 【详解】（1）∵2bcosC=acosC+ccosA，∴由正弦定理可得：2sinBcosC=sinAcosC+cosAsinC ， 可得：2sinBcosC=sin （A+C ）=sinB ，∵s inB ＞0，∴cosC=12， ∵C∈（0，π），∴C=3π（2）∵b=2，2，C=3π，∴由余弦定理可得：7=a 2+4﹣2×a 122⨯⨯，整理可得：a 2﹣2a ﹣3=0， ∴解得：a=3或﹣1（舍去）， ∴△ABC 的面积S=12absinC=133332222⨯⨯⨯= 【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用及面积公式，属于基础题.18.已知等比数列{}n a 是递增数列，且1517a a +=，2416a a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若*()n n b na n =∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）22n n a -=；（2）111222n n n S n --=-+⋅. 【解析】 【分析】()1根据{}n a 是递增等比数列，15172a a +=，24 4.a a =列方程即可求出1a ，q ，问题得解。