高一数学概率练习题
高一数学概率试题答案及解析
高一数学概率试题答案及解析1.先后抛掷质地均匀的硬币三次,则至少一次正面朝上的概率是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】先后抛掷质地均匀的硬币三次产生的结果有（正正正）、（正正反）、（正反正）、（正反反）、（反正正）、（反正反）、（反反正）、（反反反）共有8个，至少一次正面朝上包含的事件有7个所以至少一次正面朝上的概率是.【考点】古典概型.2..变量X的概率分布列如右表，其中成等差数列，若，则_________.【答案】【解析】由题意得，解得，因此.【考点】离散型随机变量的方差.3.在区间上随机取一个，的值介于与之间的概率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】在区间上随机取一个，试验结果构成的长度为，当，的值介于与之间，长度为，有几何概型的概率计算公式当.【考点】几何概型的概率计算公式.4.设有关于x的一元二次方程x2+2ax+b2="0." (l)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求方程有实根的概率；(2)若a是从区间[0，t+1]任取的一个数，b 是从区间[0,t]任取的一个数，其中t满足2≤t≤3，求方程有实根的概率，并求出其概率的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）本小题为古典概型求概率的问题，先求出a与b构成的实数对(a,b)总个数即基本事件的总数，再一一进行检验符合的实数对即可求出其概率；（2）本小题为几何概型求概率的问题，由0≤a≤t+1，0≤b≤t利用线性规划的知识（a看直角坐标系中的x，b看成直角坐标系中的y）可画出如下图的矩形，又a≥b（即为y≤x区域）则符合条件的阴影部分区域为梯形，因此所求的概率为，其次根据t的范围利用不等式的性质求出P的范围即可找到其最大值.试题解析：(1)总的基本事件有12个，即a,b构成的实数对(a,b)有（0,0），（0，1），（0,2），（1,0），（1,1），（1,2），（2,0），（2,1），（2,2），（3,0），（3,1），（3,2）.设事件A为“方程有实根”,包含的基本事件有(0，0)，（1,0），（1,1），（2,0），（2,1），（2,2），（3,0），（3,1），（3,2）共9个，所以事件A的概率为P(A)==；(2)a，b构成的实数对(a，b)满足条件有0≤a≤t+1，0≤b≤t，a≥b，设事件B为“方程有实根”，则此事件满足几何概型. 如图，，∵2≤t≤3，∴3≤t+1≤4，即，所以，即≤P(B)≤，所以其概率的最大值为.【考点】古典概型的概率公式，几何概型的概率公式，一元二次方程根的判别式，线性规划问题，不等式的性质，化归思想.5.某校高三年级一次数学考试之后,为了解学生的数学学习情况, 随机抽取名学生的数学成绩, 制成下表所示的频率分布表．(1)求，，的值;(2)若从第三, 四, 五组中用分层抽样方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2名与张老师面谈，求第三组中至少有名学生与张老师面谈的概率．【答案】(1)，，；(2)0．8．【解析】(1)先由频数与频率及n的关系：，任选一组已知了频数和频率的就可求出n的值，进而再利用这个关系式就可求出a,b的值；(2)首先利用分层抽样：即各层按相同比例计算出各组中应抽取的样本数，显然第三、四、五组分别抽取3、2、1名学生，并将这六名学生用不同的字母来表示，然后用树图写出从中任抽两名的所有不同的取法，数出总数并数出第三组中的三名学生没有人抽取的种数，从而就可求出第三组中没有人与张老师面谈的事件的概率，由于第三组中至少有名学生与张老师面谈的事件与第三组中没有人与张老师面谈的事件是对立事件，所以所求概率．试题解析：(1)依题意，得，解得，，，． 3分(2)因为第三、四、五组共有60名学生，用分层抽样方法抽取6名学生，则第三、四、五组分别抽取名，名，名． 6分第三组的名学生记为，第四组的名学生记为，第五组的名学生记为，则从名学生中随机抽取名，共有种不同取法，具体如下：，，，，，，，，，，，，，，． 8分其中第三组的名学生没有一名学生被抽取的情况共有种，具体如下：，，． 10分故第三组中至少有名学生与张老师面谈的概率为． 12分【考点】1．频率分布表；2．古典概率．6.同时投掷两枚均匀的骰子，所得点数之和是8的概率是 ()．A．B．C．D．【答案】C【解析】列表如下：从列表中可以看出，所有可能出现的结果共有36种，这些结果出现的可能性相等．∵点数的和为8的结果共有5种：（2，6），（3，，5），（4，4），（5，3），（6，2）∴点数的和为8的概率P=，故选C．【考点】等可能事件的概率．7.抛掷两颗骰子，第一颗骰子向上的点数为x，第二颗骰子向上的点数为y，则“｜x-y︱>1”的概率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设两次抛掷出现的点数为事件，容易知道总事件数为36，这里可先算的情况,有,以上16种情况，所以的情况有36-16=20种，解得概率为.【考点】相互独立事件的概率乘法公式；等可能事件的概率．8.某地区为了了解70～80岁老人的日平均睡眠时间(单位：h)，随机选择了50位老人进行调查．下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表：在上述统计数据的分析中，一部分计算见程序框图，则输出的S的值是________．【答案】6.42【解析】由程序框图知，步长为1，至时，结束运行，所以，=6.42，，故答案为6.42．【考点】频率分布直方图、算法程序框图点评：中档题，利用图表获取信息时，必须认真观察、分析、研究图表，才能作出正确的判断和解决问题．程序框图功能识别，一般按程序逐次运行即可。
高一数学概率试题
高一数学概率试题1.（2014•湖北模拟）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有一个红球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“都是黑球”C．“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”D．“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”【答案】D【解析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可解：对于A：事件：“至少有一个红球”与事件：“都是黑球”，这两个事件是对立事件，∴A不正确对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B不正确对于C：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有1个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴C不正确对于D：事件：“恰有一个黑球”与“恰有2个黑球”不能同时发生，∴这两个事件是互斥事件，又由从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，得到所有事件为“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”以及“恰有2个红球”三种情况，故这两个事件是不是对立事件，∴D正确故选D点评：本题考查互斥事件与对立事件．首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事件的联系与区别．同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件．属简单题2.（2014•宜春模拟）第22届冬季奥运会于2014年2月7日在俄罗斯索契开幕，到冰壶比赛场馆服务的大学生志愿者中，有2名来自莫斯科国立大学，有4名来自圣彼得堡国立大学，现从这6名志愿者中随机抽取2人，至少有1名志愿者来自莫斯科国立大学的概率是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从6个人中随机的抽取一个人，共有15种结果，满足条件的事件是包括两种情况，根据古典概型概率公式得到结果．解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从6个人中随机的抽取二个人，共有15种结果，满足条件的事件是包括两种情况，∴P===，故选：A点评：本题考查古典概型概率计算公式，考查利用概率知识解决实际问题，本题是一个比较典型的概率题目．3.（2014•郑州一模）将一枚质地均匀的硬币连掷4次，出现“至少两次正面向上”的概率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依据题意先用列表法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可解答．解：随机掷一枚质地均匀的普通硬币两次，出现的情况如下，（正，正，正，正），（正，正，正，反），（正，正，反，正），（正，反，正，正），（反，正，正，正），（反，反，正，正），（反，正，反，正），（反，正，正，反），（正，反，反，正），（正，反，正，反），（正，正，反，反），（正，反，反，反），（反，正，反，反），（反，反，正，反），（反，反，反，正），（反，反，反，反）共有16种等可能的结果，其中至少两次正面向上情况有11种，概率是．故选：D．点评：本题主要考查古典概率模型的概率公式，即如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．4.（2014•沈阳模拟）在一个装满水的容积为1升的容器中有两个相互独立、自由游弋的草履虫，现在从这个容器中随机取出0.1升水，则在取出的水中发现草履虫的概率为（）A．0.10B．0.09C．0.19D．0.199【答案】C【解析】记：A={取出的水中有草履虫a}，B={取出的水中有草履虫b}，则P（A）=0.1，P（B）=0.1，小杯中发现草履虫为事件A+B，则由P（A+B）=P（A）+P（B）﹣P（AB），计算求得结果．解：记：A={取出的水中有草履虫a}，B={取出的水中有草履虫b}，则P（A）=0.1，P（B）=0.1，小杯中发现草履虫为事件A+B，则P（A+B）=P（A）+P（B）﹣P（AB）=0.1+0.1﹣0.12=0.19，故选：C．点评：本题主要考查互斥事件的概率加法公式的应用，属于基础题．5.（2013•奉贤区二模）设事件A，B，已知P（A）=，P（B）=，P（A∪B）=，则A，B之间的关系一定为（）A.两个任意事件B.互斥事件C.非互斥事件D.对立事件【答案】B【解析】由题意先求P（A）+P（B），然后检验P（A+B）与P（A∪B）是否相等，从而可判断是否满足互斥关系解：∵P（A）=，P（B）=，∴P（A）+P（B）==又P（A∪B）=∴P（A∪B）=P（A）+P（B）∴A．B为互相斥事件故选B点评：本题主要考查了互斥事件的概率公式的简单应用，属于基础试题6.从4名男生2名女生中，任选3名参加社区服务，则至少选到1名女生的概率是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】确定基本事件的个数，即可求出概率．解：从4名男生2名女生中，任选3名参加社区服务，共有种方法，至少选到1名女生，共有种方法，∴所求概率为．故选：B．点评：本题考查等可能事件的概率计算，要理解“至少”、“至多”的含义，属于基础题．7.同时掷两枚硬币，那么互为对立事件的是（）A．至少有1枚正面和恰好有1枚正面B．恰好有1枚正面和恰好有2枚正面C．最多有1枚正面和至少有2枚正面D．至少有2枚正面和恰好有1枚正面【答案】C【解析】利用对立事件的概念求解．解：至少有1枚正面和恰好有1枚正面有可能同时发生，不互为对立事件，故A错误；恰好有1枚正面和恰好有2枚正面有可能同时不发生，不互为对立事件，故B错误；最多有1枚正面和至少有2枚正面不可能同时发生，也不可能同时不发生，互为对立事件，故C正确；至少有2枚正面和恰好有1枚正面有可能同时不发生，不互为对立事件，故D错误．故选：C．点评：本题考查对立事件的判断，是基础题，解题时要注意对立事件的性质的合理运用．8.把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（）A．对立事件B．不可能事件C．互斥事件但不是对立事件D．以上答案都不对【答案】C【解析】事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”，由互斥事件和对立事件的概念可判断两事件是互斥事件，不是对立事件解：把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”由互斥事件和对立事件的概念可判断两者不可能同时发生，故它们是互斥事件，又事件“乙取得红牌”与事件“丙取得红牌”也是可能发生的，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不是对立事件，故两事件之间的关系是互斥而不对立，故选C．点评：本题考查事件的概念，考查互斥事件和对立事件，考查不可能事件，不可能事件是指一个事件能不能发生，不是说明两个事件之间的关系，这是一个基础题．9.两个事件对立是两个事件互斥的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】根据对立事件和互斥事件的意义知，两个事件是互斥事件那么这两个事件不一定是对立事件，若两个事件是对立事件，则这两个事件一定是互斥事件，即前者能够推出后者，后者不一定能够推出前者．解：根据对立事件和互斥事件的意义知，两个事件是互斥事件那么这两个事件不一定是对立事件，若两个事件是对立事件，则这两个事件一定是互斥事件，所以两个时间对立是两个事件互斥的充分不必要条件，故选A．点评：本题考查对立事件与互斥事件的关系，若把对立事件组成集合A，互斥事件组成集合B，两个集合之间的关系是B是A的子集．10.从一批产品中取出两件产品，事件“至少有一件是次品”的对立事件是（）A．至多有一件是次品B．两件都是次品C．只有一件是次品D．两件都不是次品【答案】D【解析】根据对立事件的定义，至少有n个的对立事件是至多有n﹣1个，由事件A：“至少有一件次品”，我们易得结果．解：∵至少有n个的否定是至多有n﹣1个又∵事件A：“至少有一件次品”，∴事件A的对立事件为：至多有零件次品，即是两件都不是次品．故答案为 D．点评：本题考查的知识点是互斥事件和对立事件，互斥事件关键是要抓住不可能同时发生的要点，对立事件则要抓住有且只有一个发生，可以转化命题的否定，集合的补集来进行求解．。
人教A版高一数学必修第二册第十章《概率》单元练习题卷含答案解析 (20)
高一数学必修第二册第十章《概率》单元练习题卷4（共22题）一、选择题（共10题）1. 已知 a ∈{−2,0,1,2,3}，b ∈{3,5}，则函数 f (x )=(a 2−2)e x +b 为减函数的概率是 ( ) A ．310B ． 35C ． 25D ． 152. 从 4 名男生 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛，则所选 3 人中恰有 1 名女生的概率为 ( ) A ． 15B ． 12C ． 35D ． 453. 甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为 0.6 和 0.7，在目标被击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率为 ( ) A ． 2144B ． 1522C ． 2150D ． 9254. 如果 A ，B 是互斥事件，那么以下等式中一定成立的是 ( ) A ． P (A ∪B )=P (A )⋅P (B ) B ． P (A ∪B )=P (A )+P (B ) C ． P (AB )=P (A )⋅P (B ) D ． P (A )+P (B )=15. 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为 a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为 b ，其中 a,b ∈{1,2,3,4,5,6}，若 |a −b|≤1，就称甲、乙“心有灵犀”，现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为 ( ) A ． 316B ． 29C ． 718D ． 496. 若 P (AB )=19，P(A)=23，P (B )=13，则事件 A 与 B 的关系是 ( ) A ．事件 A 与 B 互斥 B ．事件 A 与 B 对立C ．事件 A 与 B 相互独立D ．事件 A 与 B 既互斥又相互独立7. 哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 12=5+7，在不超过 18 的素数 2，3，5，7，11，13，17 中，随机选取两个不同的数，其和等于 18 的概率是 ( )A．142B．121C．221D．178.下列事件A，B是相互独立事件的是( )A．一枚硬币掷两次，A表示“第一次为正面”，B表示“第二次为反面”B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球”C．掷一枚骰子，A表示“掷出点数为奇数”，B表示“掷出点数为偶数”D．有一个灯泡，A表示“灯泡能用1000小时”，B表示“灯泡能用2000小时”9.给出如下四对事件：①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”；③从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“至少有一个黑球”与“都是红球”；④从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“没有黑球”与“恰有一个红球”．其中属于互斥但不对立的事件的有( )A．0对B．1对C．2对D．3对10.已知0≤a<2，0≤b<4，为估计在a>1的条件下，函数f(x)=x2+2ax+b有两相异零点的概率P．用计算机产生了[{0,1})内的两组随机数a1，b1各2400个，并组成了2400个有序数对(a1,b1)，统计这2400个有序数对后得到2×2列联表的部分数据如表：满足b1<a12的数对个数满足b1≥a12的数对个数合计满足a1≤12的数对个数1101200满足a1>12的数对人数550合计2400则数据表中数据计算出的概率P的估计值为( )A．1348B．1124C．1960D．712二、填空题（共6题）11.设某同学选择等级考科目时，选择物理科目的概率为0.5，选择化学科目的概率为0.6，且这两个科目的选择相互独立，则该同学在这两个科目中至少选择一个的概率是．12.思考辨析，判断正误A，B为两个事件，则P(A+B)=P(A)+P(B)．( )13.甲、乙两人做出拳（锤子、剪刀、布）游戏，则平局的概率为；甲赢的概率为．14. 甲、乙、丙三位同学上课后独立完成自我检测题，甲及格的概率为 45，乙及格的概率为 25，丙及格的概率为 23，则三人中至少有一人及格的概率为 ．15. 在一个袋中装有大小、质地均相同的 9 只球，其中红色、黑色、白色各 3 只，若从袋中随机取出两个球，则至少有一个红球的概率为 （结果用最简分数表示）．16. 古典概型．（1）定义：如果一个概率模型满足：① 试验中所有可能出现的基本事件只有 个； ② 每个基本事件出现的可能性 ．那么这样的概率模型称为古典概率模型，简称为古典概型． （2）计算公式：对于古典概型，任何事件 A 的概率为 P (A )=A 包含的基本事件的个数基本事件的总数．三、解答题（共6题）17. 某篮球爱好者做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是 60%，若该篮球爱好者连续投篮 4 次，求至少投中 3 次的概率，用随机模拟的方法估计上述概率．18. 某校高三年级一次数学考试之后，为了解学生的数学学习情况，随机抽取 n 名学生的数学成绩，制成表所示的频率分布表．(1) 求 a ，b ，n 的值；(2) 若从第三，四，五组中用分层抽样方法抽取 6 名学生，并在这 6 名学生中随机抽取 2 名与张老师面谈，求第三组中至少有 1 名学生与张老师面谈的概率．19. 已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为 240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取 7 名同学去某敬老院参加献爱心活动．(1) 应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2) 设抽出的 7 名同学分别用 A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取 2 名同学承担敬老院的卫生工作．（ⅰ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ⅰ）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．20.某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“✓”表示购买，“×”表示未购买．(1) 估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2) 估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3) 如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买了乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？21.运动会前夕，某省派两名女乒乓球运动员参加单打比赛，她们获得冠军的概率分别为37和16，所以她们的粉丝认为该省获得乒乓球女子单打冠军的概率是16+37．该种想法正确吗？为什么？22.垃圾分类，人人有责．2020年12月1日，天津市正式实施《天津市生活垃圾管理条例》，根据条例，市民要把生活垃圾分类后方能够投放．已知滨海新区某校高一、高二、高三3个年级学生的环保社团志愿者人数分别为30，15，15．现按年级进行分层，采用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取4名同学参加垃圾分类知识交流活动．(1) 应从高一、高二、高三3个年级的环保社团志愿者中分别抽取多少人？(2) 设抽出的4名同学分别用A，B，C，D表示，现从中随机抽取2名同学分别在上午和下午作交流发言．（i）写出这个试验的样本空间；（ii）设事件M=“抽取的2名同学来自不同年级”，求事件M发生的概率．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【解析】若函数f(x)=(a2−2)e x+b为减函数，则a2−2<0，又a∈{−2,0,1,2,3}，故只有a=0，a=1满足题意，所以函数f(x)=(a2−2)e x+b为减函数的概率P=25．【知识点】古典概型2. 【答案】C【解析】列举出所有结果易得P=35．【知识点】古典概型3. 【答案】A【解析】根据题意，记“甲击中目标”为事件A，“乙击中目标”为事件B，“目标被击中”为事件C，则P(C)=1−P(A)P(B)=1−(1−0.6)×(1−0.7)=0.88．则在目标被击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率为P(A∩B∣C)=P(A∩B∩C)P(C)=0.6×0.70.88=2144．【知识点】事件的关系与运算4. 【答案】B【知识点】事件的关系与运算5. 【答案】D【解析】由题意知本题是一个古典概型．样本空间共包含36个样本点记“甲、乙心有灵犀”为事件A,A= {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5)(5,6),(6,5),(6,6)}，共16个样本点．所以他们“心有灵犀”的概率为P=1636=49．【知识点】古典概型6. 【答案】C【解析】因为P(A)=1−P(A)=1−23=13，所以P(AB)=P(A)P(B)，所以事件A与B相互独立．又因为P(AB)≠P(A)+P(B)，所以事件A与B并不互斥．【知识点】事件的相互独立性7. 【答案】C【解析】在不超过18的素数2，3，5，7，11，13，17中，随机选取两个不同的数，基本事件总数n=C72=21，其和等于18包含的基本事件有：(5,13)，(7,11)，共2个，所以其和等于18的概率是P=221．【知识点】古典概型8. 【答案】A【解析】B选项由于是不放回摸球，故事件A与B不相互独立，C选项中A与B为对立事件，D选项中事件B受事件A影响，故选A．【知识点】独立事件积的概率9. 【答案】C【解析】①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”两个事件不会同时发生，故为互斥事件，但还可以“射中6环”等，故不是对立事件；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”，前者包含后者，故不是互斥事件；③“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，所以这两个事件是对立事件；④“没有黑球”与“恰有一个红球”不可能同时发生，故它们是互斥事件，但还有可能“没有红球”，故不是对立事件．①④是符合要求的．【知识点】事件的关系与运算10. 【答案】C【解析】要使得函数f(x)=x2+2ax+b有两相异零点，4a2−4b>0，所以a2>b，条件中所给的共有2400对有序数对，在这些有序数对中，使得函数有两个相异的零点，共有110+(1200−550)=760，所以数据表中数据计算出的概率P的估计值是7602400=1960．【知识点】古典概型二、填空题（共6题）11. 【答案】0.8【知识点】事件的相互独立性12. 【答案】×【知识点】事件和与事件积，事件和与事件积的概率计算13. 【答案】13；13【解析】设平局（用 △ 表示）为事件 A ，甲赢（用 ⊙ 表示）为事件 B ，乙赢（用 ⋇ 表示）为事件 C ．容易得到如图．平局含 3 个基本事件（图中的 △），P (A )=39=13．甲赢含 3 个基本事件（图中的 ⊙），P (B )=39=13．【知识点】古典概型14. 【答案】 2425【解析】设甲及格为事件 A ，乙及格为事件 B ，丙及格为事件 C ，则 P (A )=45，P (B )=25，P (C )=23，所以 P(A)=15，P(B)=35，P(C)=13，则 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=15×35×13=125，所以所求概率 P =1−P(ABC)=2425． 【知识点】独立事件积的概率15. 【答案】712【解析】随机取出 2 个球的基本事件有 C 92=36 种，“至少有一个红球”的事件有 C 31C 61+C 32=21 种，所以至少有一个红球的概率为 2136=712． 【知识点】古典概型16. 【答案】有限；相等【知识点】古典概型三、解答题（共6题）17. 【答案】利用计算机或计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4，5，6表示投中，用7，8，9，0表示未投中，这样可以体现投中的概率是60%，因为投篮4次，所以每4个随机数作为1组，例如5727，7895，0123，⋯，4560，4581，4698，共100组这样的随机数，若所有数组中没有7，8，9，0或只有7，8，9，0中的一个数的数组的个数为n，则至少投中3次的概率近似值为n100．【知识点】频率与概率18. 【答案】(1) 依题意得5n =0.05，an=0.35，20n=b，解得n=100，a=35，b=0.2．(2) 因为第三、四、五组共有60名学生，用分层抽样方法抽取6名学生，则第三、四、五组分别抽取3060×6=3名，2060×6=2名，1060×6=1名．第三组的3名学生记为a1，a2，a3，第四组的2名学生记为b1，b2，第五组的1名学生记为c1，则从6名学生中随机抽取2名，共有15种不同取法，具体如下：{a1,a2}，{a1,a3}，{a1,b1}，{a1,b2}，{a1,c1}，{a2,a3}，{a2,b1}，{a2,b2}，{a2,c1}，{a3,b1}，{a3,b2}，{a3,c1}，{b1,b2}，{b1,c1}，{b2,c1}．其中第三组的3名学生a1，a2，a3没有一名学生被抽取的情况共有3种，具体如下：{b1,b2}，{b1,c1}，{b2,c1}．故第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率为1−315=0.8．【知识点】频率分布直方图、古典概型、频率与频数19. 【答案】(1) 由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3:2:2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．(2) （ⅰ）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A,B}，{A,C}，{A,D}，{A,E}，{A,F}，{A,G}，{B,C}，{B,D}，{B,E}，{B,F}，{B,G}，{C,D}，{C,E}，{C,F}，{C,G}，{D,E}，{D,F}，{D,G}，{E,F}，{E,G}，{F,G}，共21种．（ⅰ）由（ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A,B}，{A,C}，{B,C}，{D,E}，{F,G}，共5种．所以，事件M发生的概率为P(M)=521．【知识点】古典概型、分层抽样20. 【答案】(1) 从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001000=0.2．(2) 从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100+2001000=0.3．(3) 与（1）同理，可得顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001000=0.2，同时购买甲和丙的概率可以估计为100+200+3001000=0.6，同时购买甲和丁的概率可以估计为1001000=0.1．所以如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．【知识点】古典概型21. 【答案】正确．因为两个人分别获得冠军是互斥事件，所以两个人只要有一人获得冠军，则该省就获得冠军，故该省获得冠军的概率为16+37=2542．【知识点】事件的关系与运算22. 【答案】(1) 设抽取高一、高二、高三3个年级的环保社团志愿者人数分别为x，y，z，由分层抽样，得x30=y15=z15=430+15+15=115，解得x=2，y=1，z=1，所以应从高一、高二、高三3个年级的环保社团志愿者中分别抽取2人、1人、1人；(2) （i）样本空间为：Ω={(A,B),(A,C),(A,D),(B,A),(B,C),(B,D),(C,A),(C,B),(C,D),(D,A),(D,B),(D,C)}，共有12个样本点，每个样本点都是等可能发生的；（ii）由（1），不妨设抽出的4名同学中，来自高一年级的是A，B，来自高二年级的是C，来自高三年级的是D，因为M={(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,A),(C,B),(C,D),(D,A),(D,B),(D,C)}，所以n(M)=10，所以事件M发生的概率P(M)=n(M)n(Ω)=1012=56．【知识点】分层抽样、古典概型。
高一数学复习专题练习5 概率与统计
高一数学复习专题练习专题5 概率与统计一、选择题1．某校有40个班，每班50人，要求每班随机选派3人参加“学生代表大会”．在这个问题中样本容量是( )A ．40B ．50C ．120D ．150【答案】 C【解析】 由于样本容量即样本的个数，故抽取的样本的个数为40×3＝120. 2.从6个篮球、2个排球中任选3个球，则下列事件中，是必然事件的是( ) A.3个都是篮球 B.至少有1个是排球 C.3个都是排球D.至少有1个是篮球【答案】 D【解析】 从6个篮球、2个排球中任选3个球，A ，B 是随机事件，C 是不可能事件，D 是必然事件，故选D.3．一个射手进行射击，记事件E 1：“脱靶”，E 2：“中靶”，E 3：“中靶环数大于4”，E 4：“中靶环数不小于5”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件共有( ) A ．1对 B ．2对 C ．3对D ．4对【答案】 B【解析】 E 1与E 3，E 1与E 4均为互斥而不对立的事件．4．袋中装有白球和黑球各3个，从中任取2个，则至多有一个黑球的概率是( ) A.15 B.45 C.13 D.12【答案】 B【解析】 把白球编号为1,3,5，黑球编号为2,4,6.从中任取2个，基本事件为12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56，共15个．其中至多一个黑球的事件有12个．由古典概型公式得P ＝1215＝45.学-科网5.某中学举办电脑知识竞赛，满分为100分，80分以上为优秀(含80分)，现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成五组：第一组[50,60)，第二组[60,70)，第三组[70,80)，第四组[80,90)，第五组[90,100]，其中第一、三、四、五小组的频率分别为0.30,0.15,0.10,0.05，而第二小组的频数是40，则参赛的人数以及成绩优秀的概率分别是( ) A.50,0.15 B.50,0.75 C.100,0.15D.100,0.75【答案】 C【解析】 由已知得第二小组的频率是1－0.30－0.15－0.10－0.05＝0.40，频数为40，设共有参赛学生x 人，则x ×0.4＝40，∴x ＝100. 成绩优秀的概率为0.15，故选C.6.如图所示，现有一迷失方向的小青蛙在3处，它每跳动一次可以等可能地进入相邻的任意一格(若它在5处，跳动一次，只能进入3处，若在3处，则跳动一次可以等机会地进入1,2,4,5处)，则它在第三次跳动后，首次进入5处的概率是( )A.12B.14C.316D.16【答案】 C7.样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均数为1，则样本方差为( ) A.65 B.65C. 2D.2 【答案】 D【解析】 ∵样本的平均数为1， 即15×(a ＋0＋1＋2＋3)＝1，∴a ＝－1. ∴样本方差s 2＝15×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.8．已知集合A ＝{－5，－3，－1,0,2,4}，在平面直角坐标系中，点(x ，y )的坐标满足x ∈A ，y ∈A ，且x ≠y ，则点(x ，y )不在x 轴上的概率( ) A.13B.12C.56D.14【答案】 C【解析】 因为x ∈A ，y ∈A ，且x ≠y ，所以x 有6种可能，y 有5种可能，所以试验的所有结果有6×5＝30(种)，且每种结果的出现是等可能的．设事件A 为“点(x ，y )不在x 轴上”，那么y ≠0，有5种可能，x 有5种可能，事件A 包含基本事件个数为5×5＝25种．因此所求事件的概率为P (A )＝2530＝56.9.为了调查某厂2 000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35]，频率分布直方图如图所示.工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人进行培训，则这2位工人不在同一组的概率是( )A.110B.715C.815D.1315【答案】 C【解析】 根据频率分布直方图，可知产品件数在[10,15)，[15,20)内的人数分别为5×0.02×20＝2,5×0.04×20＝4.设生产产品件数在[10,15)内的2人分别是A ，B ，生产产品件数在[15,20)内的4人分别为C ，D ，E ，F ，则从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人的结果有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种.2位工人不在同一组的结果有(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，共8种.故选取的2位工人不在同一组的概率为815.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)10．某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，低级职称90人，现采用分层抽样来抽取30人，则抽取的高级职称的人数为________．【答案】 3【解析】 由题意得抽样比为30150＝15，所以抽取的高级职称的人数为15×15＝3.11．一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品，从这批产品中任意抽5件，记A 为“恰有1件次品”，B 为“至少有2件次品”，C 为“至少有1件次品”，D 为“至多有1件次品”．现给出下列结论：①A ＋B ＝C ；②B ＋D 是必然事件；③A ＋C ＝B ；④A ＋D ＝C .其中正确的结论为________．(写出序号即可) 【答案】 ①②【解析】 由互斥、对立事件的概念得A ＋B ＝C ，故③错；A ＋D 表示“至多有1件次品”，所以④错． 12.为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5,6,7,8,9,10.把这6名学生的得分看成一个总体.如果用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本，则该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为________. 【答案】715三、解答题13.(12分)一个包装箱内有6件产品，其中4件正品，2件次品.现随机抽出两件产品. (1)求恰好有一件次品的概率； (2)求都是正品的概率； (3)求抽到次品的概率.解 将6件产品编号，abcd (正品)，ef (次品)，从6件产品中选2件，其包含的基本事件为ab ，ac ，ad ，ae ，af ，bc ，bd ，be ，bf ，cd ，ce ，cf ，de ，df ，ef ，共15种.(1)设恰好有一件次品为事件A ，事件A 包含的基本事件为ae ，af ，be ，bf ，ce ，cf ，de ，df ，共有8种， 则P (A )＝815.(2)设都是正品为事件B ，事件B 包含的基本事件数为6，则P (B )＝615＝25.(3)设抽到次品为事件C ，事件C 与事件B 是对立事件，则P (C )＝1－P (B )＝1－25＝35.14.已知关于x 的一元二次方程x 2－2(a －2)x －b 2＋16＝0.若a ，b 是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率；解 a ，b 是一枚骰子掷两次所得到的点数，总的基本事件(a ，b )共有36个. 设事件A 表示“方程有两正根”，则∆≥0，a －2>0，16－b 2>0，即a －2 2＋b 2≥16，a >2，－4<b <4，则事件A 包含的基本事件有(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)，共4个，故方程有两正根的概率为P (A )＝436＝19.15．(12分)先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a ，b . (1)求直线ax ＋by ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝1相切的概率；(2)将a ，b,5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．解 先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a ，b 包含的基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，…，(6,5)，(6,6)，共36个． (1)∵直线ax ＋by ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝1相切，∴5a 2＋b2＝1，整理得a 2＋b 2＝25. 由于a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，∴满足条件的情况只有a ＝3，b ＝4或a ＝4，b ＝3两种情况． ∴直线ax ＋by ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝1相切的概率是236＝118.(2)∵三角形的一条边长为5，三条线段围成等腰三角形，∴当a ＝1时，b ＝5，共1个基本事件； 当a ＝2时，b ＝5，共1个基本事件； 当a ＝3时，b ＝3,5，共2个基本事件； 当a ＝4时，b ＝4,5，共2个基本事件； 当a ＝5时，b ＝1,2,3,4,5,6，共6个基本事件； 当a ＝6时，b ＝5,6，共2个基本事件；∴满足条件的基本事件共有1＋1＋2＋2＋6＋2＝14(个)． ∴三条线段能围成等腰三角形的概率为1436＝718.学-科网16．(12分)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：组别 A B C D E人数5010015015050(1)为了调查大众评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表．组别 A B C D E人数5010015015050抽取人数 6(2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．解 (1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：组别 A B C D E50[来人数50100150150源:Z*xx*]抽取人数3699 3(2)记从A组抽到的3个评委为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手．从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有结果为：由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，共4种，故所求概率P＝418＝29.。
人教A版高一数学必修第二册第十章《概率》单元练习题卷含答案解析 (46)
高一数学必修第二册第十章《概率》单元练习题卷9（共22题）一、选择题（共10题）1.若事件A与B相互独立，则P(B∣A)与P(B)的大小关系是( )A．P(B∣A)=P(B)B．P(B∣A)<P(B)C．P(B∣A)>P(B)D．不能确定2.甲、乙两人同时报考同一所大学，甲被录取的概率是0.6，乙被录取的概率是0,7．如果两人是否被录取互不影响，那么至少有1人被该大学录取的概率是( )A．0.42B．0.46C．0.58D．0.883.设某厂产品的次品率为2%，估算该厂8000件产品中合格品的件数大约为( )A．160B．7840C．7998D．78004.同时掷两个质地均匀的骰子，向上点数之积为12的概率是( )A．13B．19C．118D．1365.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )A．134石B．169石C．338石D．1365石6.甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是( )A．0.216B．0.36C．0.432D．0.6487.经检验，某厂的产品合格率为98%，估算该厂8000件产品中次品的件数为( )A．7840B．160C．16D．7848.甲和乙两个箱子中各装有10个大小相同的球，其中甲箱中有6个红球、4个白球，乙箱中有8个红球、2个白球．现掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，则从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，则从乙箱子中随机摸出1个球，那么摸出红球的概率为( )A．730B．1115C．715D．7109.袋中装有3个白球和4个黑球，从中任取3个球，则：①恰有1个白球和全是白球；②至少有 1 个白球和全是黑球；③至少有 1 个白球和至少有 2 个白球；④至少有 1 个白球和至少有 1 个黑球．在上述事件中，是对立事件的为 ( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④10. 下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是 ( ) A ．频率就是概率B ．频率是随机的，与试验次数无关C ．概率是稳定的，与试验次数无关D ．概率是随机的，与试验次数有关二、填空题（共6题）11. 某学校组织学生参加劳动实践活动，其中 4 名男生和 2 名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与 6 名同学站成一排合影留念，则 2 名女生互不相邻，且农场主站在中间的概率等于 ．（用数字作答）12. 若随机事件 A ，B 互斥，且 A ，B 发生的概率均不为 0，P (A )=2−a ，P (B )=3a −4，则实数a 的取值范围为 ．13. 从 3 男 3 女共 6 名学生中任选 2 名（每名同学被选中的机会相等），则 2 名都是女同学的概率等于 ．14. 甲、乙、丙三位同学上课后独立完成自我检测题，甲及格的概率为 45，乙及格的概率为 25，丙及格的概率为 23，则三人中至少有一人及格的概率为 ．15. 若掷一颗质地均匀的骰子，则出现向上的点数大于 4 的概率是 ．16. 从 1，2，3，4，5 中任意取出两个不同的数，其和为 5 的概率是 ．三、解答题（共6题）17. 在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有 3 只黄色，3 只白色的乒乓球（其体积、质地完全相同），旁边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随机摸出 3 个球，若摸得同一颜色的 3 个球，摊主送给摸球者 5 元钱；若摸得非同一颜色的 3 个球，摸球者付给摊主 1 元钱． (1) 摸出的 3 个球为白球的概率是多少？(2) 摸出的 3 个球为 2 个黄球 1 个白球的概率是多少？(3) 假定一天中有 100 人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按 30 天计）能赚多少钱？18.设S为满足下列两个条件的实数所构成的集合：∈S．① 1∉S；②若a∈S，则11−a解答下列问题：(1) 若数列{2⋅(−1)n}中的项都在S中，求S中所含元素个数最少的集合S∗；(2) 在集合S∗中，任取三个元素a，b，c，求使a⋅b⋅c=−1的概率；(3) 集合S中所含元素的个数一定是3n(n∈N∗)吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由．19.从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，连续取两次．(1) 若每次取出后不放回，连续取两次，求取出的产品中恰有一件是次品的概率；(2) 若每次取出后又放回，求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率．20.2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．(1) 应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2) 抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F．享受情况如下表，其中“○”表示享受”ד表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件"抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同"，求事件M发生的概率．21.某市政府为减轻汽车尾气对大气的污染，保卫蓝天，鼓励广大市民使用电动交通工具出行，决定为电动车（含电动自行车和电动汽车）免费提供电池检测服务．现从全市已挂牌照的50000辆电动车中随机抽取100辆委托专业机构免费为它们进行电池性能检测，电池性能分为需要更换、尚能使用、较好、良好四个等级，并分成电动自行车和电动汽车两个群体分别进行统计，统计结果如图所示．(1) 采用分层随机抽样的方法从电池性能较好的电动车中随机抽取9辆，再从这9辆车中随机抽取2辆，求至少有1辆为电动汽车的概率；(2) 为进一步提高市民对电动车的使用热情，市政府准备为所有电动车车主发放补助，标准如下：①每辆电动自行车补助300元；②每辆电动汽车补助500元；③对电池需要更换的电动车每辆额外补助400元．试求抽取的100辆电动车执行此方案的预算，并用样本估计总体，估计市政府执行此方案的预算．22.有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就座时．(1) 求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；(2) 求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率；(3) 求这四人恰好有1位坐在自己的席位上的概率．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】A【知识点】事件的相互独立性2. 【答案】D【知识点】事件的相互独立性3. 【答案】B【解析】8000×(1−2%)=7840（件）．【知识点】频率与概率4. 【答案】B【解析】同时掷两个质地均匀的骰子，共有6×6=36种不同的结果，其中向上点数之积为12的基本事件有(2,6)，(3,4)，(4,3)，(6,2)共4个，所以P=436=19．【知识点】古典概型5. 【答案】B【知识点】古典概型6. 【答案】D【知识点】事件的相互独立性7. 【答案】B【解析】该厂产品的不合格率为2%，按照概率的意义，8000件产品中次品的件数约为8000×2%=160．【知识点】频率与概率8. 【答案】B【解析】由题可知，摸出红球有两种情况，第一种：从甲箱中摸出红球，概率为610×26=15，第二种：从乙箱中摸出红球，概率为810×46=815，所以摸出红球的概率为15+815=1115，故选：B．【知识点】古典概型9. 【答案】B【解析】至少有 1 个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生．故②中两事件是对立事件．③④不是互斥事件，①是互斥事件，但不是对立事件，因此是对立事件的只有②． 【知识点】事件的关系与运算10. 【答案】C【解析】频率指在相同条件下重复试验，事件 A 出现的次数除以总数，它是变化的．概率指在大量重复进行同一个实验时，事件 A 发生的频率总接近于某个常数，这个常数就是事件 A 发生的概率，它是不变的． 故选C ．【知识点】频率与概率二、填空题（共6题） 11. 【答案】 11105【知识点】古典概型12. 【答案】 (43,32]【解析】由题意可得 {0<P (A )<1,0<P (B )<1,P (A )+P (B )≤1,所以 {0<2−a <1,0<3a −4<1,2a −2≤1,解得 43<a ≤32．【知识点】事件的关系与运算13. 【答案】 15【解析】记三名男生分别为 A 1，A 2，A 3，三名女生分别为 B 1，B 2，B 3，从 6 名学生中任选 2 名共有 15 种不同的结果，其中 2 名都是女生的结果有 3 种，故概率为 315=15． 【知识点】古典概型14. 【答案】 2425【解析】设甲及格为事件 A ，乙及格为事件 B ，丙及格为事件 C ，则 P (A )=45，P (B )=25，P (C )=23，所以 P(A)=15，P(B)=35，P(C)=13，则 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=15×35×13=125， 所以所求概率 P =1−P(ABC)=2425． 【知识点】独立事件积的概率15. 【答案】 13【解析】掷一颗质地均匀的骰子，基本事件总数 n =6， 则出现向上点数大于 4 包含的基本事件个数 m =2， 所以出现向上点数大于 4 的概率为 P =m n=26=13．【知识点】古典概型16. 【答案】0.2【知识点】古典概型三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) 把 3 个黄色乒乓球标记为 A ，B ，C ，3 个白色的乒乓球标记为 1，2，3．从 6 个球中随机摸出 3 个的基本事件为：ABC ，AB1，AB2，AB3，AC1，AC2，AC3，A12，A13，A23，BC1，BC2，BC3，B12，B13，B23，C12，C13，C23，123，共 20 个． 事件 E =‘‘摸出的 3 个球为白球"，事件 E 包含的基本件有 1 个，即摸出 1，2，3 号 3 个球， 所以 P (E )=120=0.05．(2) 事件 F =‘‘摸出的 3 个球为 2 个黄球 1 个白球"， 事件 F 包含的基本事件有 9 个， 所以 P (F )=920=0.45．(3) 事件 G =‘‘摸出的 3 个球为同一颜色"=‘‘摸出的 3 个球为白球或摸出的 3 个球为黄球"， 事件 G 包含的基本事件有 2 个， 所以 P (G )=220=0.1，假定一天中有 100 人次摸奖，由摸出的 3 个球为同一颜色的概率可估计事件 G 发生 10 次，不发生 90 次．则摊主一天可赚 90×1−10×5=40 元，每月可赚 30×40=1200 元． 【知识点】古典概型18. 【答案】(1) 因为 a n =2⋅(−1)n ， 所以 a 1=−2，a 2=2，a 3=−2， 即 S 中必有元素 2，−2， 因为 2∈S ， 所以11−2=−1∈S ；因为 −1∈S ， 所以 11−(−1)=12∈S ； 因为 12∈S ， 所以11−12=2∈S ，所以 S 中至少含有元素 2，−1，12， 同理，由 −2∈S ，可得，13∈S ，32∈S ，所以 S 中至少含有元素 −2，13，32，综上，S 中所含元素个数最少的集合 S ∗={2,−1,12,−2,13,32}．(2) 在 S ∗ 中任取 3 个元素 a ，b ，c ，共有 C 63=20（种）取法，而使 a ⋅b ⋅c =−1 的只有 2，−1，12 和 −2，13，32 两种取法， 所以使 a ⋅b ⋅c =−1 的概率为220=110．(3) 一定是 3n (n ∈N ∗)．理由如下： 因为由 a ∈S 且 1∉S ⇒a ≠1， 所以由 a ∈S ⇒11−a ∈S ⇒11−11−a∈S ⇒1−1a∈S ⇒11−(1−1a)∈S ⇒a ∈S ，即当 a ∈S 时，11−a ∈S ，1−1a ∈S ． 下面证明：a ，11−a ，1−1a 互不相等，若 a =11−a ，则 a −a 2=1，即 a 2−a +1=0，无解，所以 a ≠11−a ；若a=1−1a ，则a2−a+1=0，无解，所以a≠1−1a；若11−a =1−1a，则a2−a+1=0，无解，所以11−a∉1−1a．综上，a，11−a ，1−1a互不相等，所以集合S中所含元素的个数一定是3n(n∈N∗)．【知识点】古典概型、元素和集合的关系19. 【答案】(1) 每次取一件，取后不放回地连续取两次，样本空问Ω={(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品，由6个样本点组成，而且这些样本点的出现是等可能的．用A表示“取出的两件中恰好有一件次品”这一事件，则A={(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}．事件A由4个样本点组成，所以P(A)=46=23．(2) 有放回地连续取出两次，样本空间Ω={(a1,a1),(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,a2),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2),(b1,b1)}，共9个样本点，由于每一件产品被取到的机会均等，因此这些样本点的出现是等可能的．用B表示“恰有一件次品”这事件，则B={(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}．事件B由4个样本点组成，因而P(B)=49．【知识点】古典概型20. 【答案】(1) 由已知，得老、中、青员工人数之比为6:9:10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人．(2) （i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,E)，(A,F)，(B,C)，(B,D)，(B,E)，(B,F)，(C,D)，(C,E)，(C,F)，(D,E)，(D,F)，(E,F)共15种．（ii）由题中表格知，符合题意的所有可能结果为(A,B)，(A,D)，(A,E)，(A,F)，(B,D)，(B,E)，(B,F)，(C,E)，(C,F)，(D,F)，(E,F)，共11种．所以事件M发生的概率为1115．【知识点】古典概型、分层抽样21. 【答案】(1) 根据分层随机抽样的原理，电动自行车应抽取2020+25×9=4（辆），分别记为a1，a2，a3，a4，电动汽车应抽取2520+25×9=5（辆），分别记为b1，b2，b3，b4，b5．从9辆电动车中抽取2辆，共有36种抽法，其中2辆均为电动自行车的有a1a2，a1a3，a1a4，a2a3，a2a4，a3a4，共6种．设“从这9辆车中随机抽取2辆，至少有1辆为电动汽车”为事件A，则P(A)=1−P(A)=1−636=56.(2) 由题图可知，抽取的这100辆电动车中电动自行车有60辆，电动汽车有40辆，其中电池需要更换的电动自行车有8辆，电动汽车有1辆．由补助方案可知，这100辆电动车共需补助60×300+40×500+9×400=41600（元）．由样本估计总体，市政府执行此方案的预算为41600100×50000=20800000（元）．【知识点】古典概型、概率的应用22. 【答案】(1) 将A，B，C，D四位贵宾就座情况用下面图形表示出来：如图所示，本题中的样本点的总数为24．设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A只包含1个样本点，所以P(A)=124．(2) 设事件B为“这四个人恰好都没有坐在自己的席位上”，则事件B包含9个样本点，所以P(B)=924=38．(3) 设事件C为“这四个人恰有1位坐在自己席位上”，则事件C包含8个样本点，所以P(C)=824=13．【知识点】古典概型。
高一数学概率试题答案及解析
高一数学概率试题答案及解析1.点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离|PA|＜1的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】此题属于几何概型概率问题，在正方形ABCD内到点A距离|PA|＜1的区域是以A为圆心，半径为1的圆面，所以所求事件的概率为.2.面积为S的△ABC中，D是BC的中点，向△ABC内部投一点，那么点落在△ABD内的概率为()A．B．C．D．【答案】A【解析】向△ABC内部投一点的结果有无限个，属于几何概型．设点落在△ABD内为事件M，则P(M)＝＝.3.x是[－4,4]上的一个随机数，则x满足x2＋x－2≤0的概率是()A．B．C．D．0【答案】B【解析】求出x2＋x－2≤0的解集为[－2,1]，区间[－2，1]的长度为3，区间[－4,4]的长度为8，长度之比即是所求的概率为.故选B.4.设A为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，则弦长超过半径的概率为() A．B．C．D．【答案】D【解析】选D.如图所示，图中AB＝AC＝OB(半径)，则弦长超过半径，即是动点落在阴影部分所在的扇形圆弧上，由几何概型的概率计算公式，得P＝＝.故选D.5.有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．【答案】【解析】：先求点P到点O的距离小于1或等于1的概率，圆柱的体积V圆柱＝π×12×2＝2π，以O为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球＝×π×13＝π.则点P到点O的距离小于1或等于1的概率为：＝，故点P到点O的距离大于1的概率为：1－＝.答案：6.将[0,1]内的均匀随机数转化为[－2,6]内的均匀随机数，需要实施的变换为()A．a＝a1*8B．a＝a1*8+2C．a＝a1*8-2D．a＝a1*6【答案】C【解析】设变换式为a＝a1k＋b，则有.解之得，故实施的变换为a＝a1]7.从甲地到乙地有一班车在9∶30到10∶00到达，若某人从甲地坐该班车到乙地转乘9∶45到10∶15出发的汽车到丙地去，问他能赶上车的概率是多少？【答案】【解析】解：记事件A＝{能赶上车}．(1)利用计算机或计算器产生两组均匀随机数，x1＝RAND，y1＝RAND.(2)经过平移和伸缩变换，x＝x1](3)统计试验总次数N及赶上车的次数N1(满足x<y的点(x，y)数)．(4)计算频率fn(A)＝即为能赶上车的概率的近似值．8. (2011年云南一模)从集合{1,3,6,8}中任取两个数相乘，积是偶数的概率是()A．B．C．D．【答案】A【解析】任取两个数相乘，共有1×3,1×6,1×8,3×6,3×8,6×8,6种结果，积为偶数的有5种结果，故概率为.9.已知集合A＝{－1,0,1}，点P的坐标为(x，y)，其中x∈A，y∈A.记点P落在第一象限为事件M，则P(M)等于()A．B．C．D．【答案】C【解析】略点P的坐标可能为(－1，－1)，(－1,0)，(－1，1)，(0,0)，(0,1)，(1,0)，(1，－1)，(0，－1)，(1,1)共9种，其中落在第一象限的点的坐标为(1,1)，故选C.10.下课以后，教室里最后还剩下2位男同学，2位女同学．如果没有2位同学一块儿走，则第2位走的是男同学的概率是()A．B．C．D．【答案】A【解析】已知有2位女同学和2位男同学，所有走的可能顺序有(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，所以第2位走的是男同学的概率是P＝＝.11.从含有3个元素的集合的子集中任取一个，则所取得的子集是含有2个元素的集合的概率是________．【答案】【解析】{a，b，c}的所有子集共有8个：∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，含有2个元素的子集共有3个．故所求概率为.12.同时抛掷两颗骰子，求：(1)点数之和是4的倍数的概率；(2)点数之和大于5小于10的概率；(3)点数之和大于3的概率．【答案】(1) (2) (3)【解析】解：从图中容易看出基本事件与所描点一一对应，共36个．(1)记“点数之和是4的倍数”的事件为A，从图中可以看出，事件A包含的基本事件共有9个：(1,3)，(2,2)，(2,6)，(3,1)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(6,6)．所以P(A)＝＝.(2)记“点数之和大于5小于10”的事件为B，从图中可以看出，事件B包含的基本事件共有20个，即(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(3,6)，(4,5)，(5,4)，(6,3)．所以P(B)＝＝.(3)点数之和小于或等于3的基本事件有(1,1)，(1,2)，(2,1)，其概率为＝，“由点数之和大于3”其对立事件为“点数之和小于或等于3”，所以点数之和大于3的概率为1－＝.13.已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1.设集合P＝{－1,1,2,3,4,5}和Q＝{－2，－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中任取一个数作为a和b的值，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．【答案】【解析】解：函数f(x)＝ax2－4bx＋1的图象的对称轴为x＝，要使函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a>0且≤1，即a≥2b且a>0.若a＝1，则b＝－2，－1；若a＝2，则b＝－2，－1,1；若a＝3，则b＝－2，－1,1；若a＝4，则b＝－2，－1,1,2；若a＝5，则b＝－2，－1,1,2.∴事件包含的基本事件的个数是2＋3＋3＋4＋4＝16，又所有基本事件的个数是6×6＝36，∴所求事件的概率为＝.14.用随机模拟方法估计概率时，其准确程度决定于()A．产生的随机数的大小B．产生的随机数的个数C．随机数对应的结果D．产生随机数的方法【答案】B【解析】随机数容量越大，概率越接近实际数．15.某银行储蓄卡上的密码是一种含4位数字的号码，每位上的数字可以在0～9这10个数字中选取，某人未记住密码的最后一位数字，如果按密码的最后一位数字时随意按下一位，则恰好按对密码的概率为()A．B．C．D．【答案】D【解析】只考虑最后一位数字即可，从0至9这10个数字中随机选择一个作为密码的最后一位数字，则恰好按对密码的概率为.16.一枚硬币连续投掷三次，至少出现一次正面向上的概率为()A．B．C．D．【解析】连掷三次硬币，所有情况共8种：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正，)，(反，正，反，)，(反，反，正)，(反，反，反)，其中至少出现一次正面向上的情况共7种．17.有6张写有数字的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上（如右图），从中任意一张是数字3的概率是（）A．1/6B．1/3C．1/2D．2/3【答案】B【解析】本题考查了简单随机抽样，思路分析：每一张被抽中的概率均为，其中数字3的卡片有两张，所以，从中任意一张是数字3的概率是1/318.如图,一飞镖游戏板,其中每个小正方形的大小相等,则随意投掷一个飞镖,击中黑色区域的概率是 ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】本题考查了几何概率模型中，事件A发生的概率思路分析：黑色区域占飞镖游戏板的=，故随意投掷一个飞镖,击中黑色区域的概率是比较简单的几何概率模型19.一个均匀的立方体六个面上分别标有数1，2，3，4，5，6．右图是这个立方体表面的展开图．抛掷这个立方体，则朝上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的的概率是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】本题考查了学生的观察能力以及对概率概念的理解。
人教A版高一数学必修第二册第十章《概率》单元练习题卷含答案解析 (45)
高一数学必修第二册第十章《概率》单元练习题卷4（共22题）一、选择题（共10题）1.从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于 4.8g的概率是0.3，质量不小于4.85g的概率是0.32，那么质量在[4.8,4.85)范围内的概率是( )A．0.62B．0.38C．0.7D．0.682.设集合A={1,2}，B={1,2,3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a,b)，记“点P(a,b)落在直线x+y=n上”为事件C(2≤n≤5,n∈N)，若事件C n的概率最大，则n的所有可能值为( )A．3B．4C．2和5D．3和43.一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球，从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，则两次摸出的球恰好颜色相同的概率为( )A．25B．35C．1225D．13254.从一批苹果中随机抽取50个，其质量（单位：克）的频数分布表如下：分组[80,85)[85,90)[90,95)[95,100]频数5102015用分层随机抽样的方法从质量在[80,85)和[95,100]内的苹果中共抽取4个，再从抽取的4个苹果中任取2个，则有1个苹果的质量在[80,85)内的概率为( )A．14B．13C．12D．165.某英语初学者在拼写单词“steak”时，对后三个字母的记忆有些模糊，他只记得由“a”，“e”，“k”三个字母组成并且“k”只可能在最后两个位置，如果他根据已有信息填入上述三个字母，那么他拼写正确的概率为( )A．16B．14C．13D．126.宁波古圣王阳明的《传习录》专门讲过易经八卦图，如图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“”表示一根阳线，“”表示根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率为( )A．514B．314C．328D．5287.从1，2，⋯，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是( )A．59B．49C．1121D．11218.下列说法正确的是( )A．任何事件的概率总是在(0,1)之间B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率D．概率是随机的，在试验前不能确定9.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现双方各出上，中，下等马各一匹分组分别进行一场比赛，胜两场及以上者获胜，若双方均不知道对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为( )A．13B．14C．15D．1610.我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》《缉古算经》等10部专著，有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选 2 部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为 ( ) A ．1415B ．115C ． 29D ． 79二、填空题（共6题）11. 甲射击一次，中靶的概率是 P 1，乙射击一次，中靶的概率是 P 2，已知1P 1，1P 2是方程 x 2−5x +6=0 的根，且 P 1 满足方程 x 2−x +14=0．则甲射击一次，不中靶的概率为 ；乙射击一次，不中靶的概率为 ．12. 若事件 A ，B 满足 P (A )=12，P (B )=45，P (AB )=25，则 P(AB)−P(AB)= ．13. 从 2 名男生和 2 名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为 ．14. 甲小组有 2 个男生和 4 个女生，乙小组有 5 个男生和 3 个女生，现随机从甲小组中抽出 1 人放入乙小组，然后从乙小组中随机抽出 1 人，则从乙小组中抽出女生的概率是 ．15. 某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别 13，12，p ，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，恰好投中两次的概率为 718，则 p 的值为 ．16. 已知随机事件 A 和 B 相互独立，若 P (AB )=0.36，P(A)=0.6（A 表示事件 A 的对立事件），则 P (B )= ．三、解答题（共6题）17. 为了促进学生的全面发展，某市某中学开始加强学生社团文化建设，现用分层随机抽样的方法从“话剧社”“创客社”“演讲社”三个金牌社团中抽取 6 人组成社团管理小组，有关数据如表：社团名称成员人数抽取人数话剧社50a 创客社150b 演讲社100c(1) 求 a ，b ，c 的值；(2) 若从“话剧社”“创客社”“演讲社”已抽取的 6 人中再任意抽取 2 人担任管理小组组长，求这 2人来自不同社团的概率．18.某中学组织了一次高二文科学生数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取80人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图．(1) 估计男生成绩的平均分；(2) 若所得分数大于等于90分认定为优秀，在优秀的男生、女生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率，19.在一个不透明的袋中有大小相同的4个小球，其中有2个白球，1个红球，1个蓝球，每次从袋中摸出一球，然后放回搅匀再摸，在摸球试验中得到下列表格中部分数据：摸球次数105080100150200250300出现红球的频数220273650出现红球的频率30%26%24%(1) 请将表中数据补充完整；(2) 如果按照此方法再摸球300次，所得频率与表格中摸球300次对应的频率一定一样吗？为什么？(3) 试估计红球出现的概率．20.盒子中放有10个分别标有号码1，2，⋯⋯，10的小球，从中随机抽取3个球，试分别对“无放回抽取”和“有放回抽取”的方式求3个球的号码都不大于7的概率．21.某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了10个智力题，每个题10分，然后作了统计，结果如图：贫困地区参加测试的人数3050100200500800得60分以上的人数162752104256402得60分以上的频率发达地区参加测试的人数3050100200500800得60分以上的人数172956111276440得60分以上的频率(1) 完成上面的表格；(2) 求两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率；(3) 分析贫富差距为什么会带来人的智力的差别．22.一个盒子里装有标号为1，2，4，8的4张标签．(1) 从盒中不放回地随机取两张标签，求取出的标签上的数字之和不大于5的概率．(2) 从盒中有放回地随机取两张标签，求第一次取出的标签上的数字小于第二次取出的标签上的数字的概率．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】B【解析】记“质量小于 4.8 g ”为事件 A ，“质量不小于 4.85 g ”为事件 B ，“质量不小于 4.8 g ，小于 4.85 g ”为事件 C ，易知三个事件彼此互斥，且三个事件的并事件为必然事件， 所以 P (C )=1−0.3−0.32=0.38． 【知识点】事件的关系与运算2. 【答案】D【解析】分别从 A 和B 中各取 1 个数，则有 6 种可能的取法，点 P (a,b ) 恰好落在直线 x +y =2 上的取法只有 1 种：(1,1)；恰好落在直线 x +y =3 上的取法共有 2 种：(1,2)，(2,1)；恰好落在直线 x +y =4 上的取法共有 2 种：(1,3)，(2,2)；恰好落在直线 x +y =5 上的取法只有 1 种：(2,3)，故事件 C n 的概率分别为 16，13，13，16(n =2,3,4,5)，故当 n =3,4 时概率最大．【知识点】古典概型3. 【答案】D【解析】从口袋中摸取一个白球的概率为 25， 摸取一个黑球的概率为 35，则两次都是白球的概率是 25×25=425，两次都是黑球的概率是 35×35=925．则两次摸球颜色恰好相同的概率是 425+925=1325． 【知识点】古典概型4. 【答案】C【解析】设从质量在 [80,85) 内的苹果中抽取 x 个， 则从质量在 [95,100] 内的苹果中抽取 (4−x ) 个，因为频数分布表中 [80,85)，[95,100] 两组的频数分别为 5，15， 所以 5:15=x:(4−x )，解得 x =1，即抽取的 4 个苹果中质量在 [80,85) 内的有 1 个， 记为 a ，质量在 [95,100] 内的有 3 个，记为 b 1，b 2，b 3 任取 2 个有 ab 1，ab 2，ab 3，b 1b 2，b 1b 3，b 2b 3 共 6 个样本点， 其中有 1 个苹果的质量在 [80,85) 内的样本点有 ab 1，ab 2，ab 3，共 3 个，所以所求概率为36=12．【知识点】古典概型5. 【答案】B【知识点】古典概型6. 【答案】B【解析】由题意可知，八卦中含1根与2根阴线的卦各有3种，含0根与3根阴线的卦各有1种，故从8种卦中取2卦的取法总数为C82种．因为2卦中恰含4根阴线的取法为C32+C31⋅1=6种，所以所求概率P=6C82=314．故选B．【知识点】古典概型7. 【答案】C【知识点】古典概型8. 【答案】C【解析】必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，所以任何事件发生的概率总在[0,1]之间，故A错误，B、D混淆了频率与概率的概念，错误．【知识点】频率与概率9. 【答案】D【解析】设齐王的下等马，中等马，上等马分别记为a1，a2，a3，田忌的下等马，中等马，上等马分别记为b1，b2，b3，齐王与田忌赛马，其情况有：(a1,b1)，(a2,b2)，(a3,b3)，齐王获胜；(a1,b1)，(a2,b3)，(a3,b2)，齐王获胜；(a2,b1)，(a1,b2)，(a3,b3)，齐王获胜；(a2,b1)，(a1,b3)，(a3,b2)，齐王获胜；(a3,b1)，(a1,b2)，(a2,b3)，田忌获胜；(a3,b1)，(a1,b3)，(a2,b2)，齐王获胜，共6种等可能结果，其中田忌获胜的只有一种(a3,b1)，(a1,b2)，(a2,b3)，则田忌获胜的概率为16，故选D．【知识点】古典概型10. 【答案】A【解析】从10部专著中选择2部的所有可能情况有C102=45（种）．设“所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著”为事件A，则A包含的基本事件个数为C71C31+C72=42．由古典概型概率公式可得P(A)=4245=1415．【知识点】古典概型二、填空题（共6题）11. 【答案】12；23【解析】由P1满足方程x2−x+14=0知，P12−P1+14=0，解得P1=12，因为1P1，1P2是方程x2−5x+6=0的根，所以1P1⋅1P2=6，所以P2=13，因此甲射击一次，不中靶的概率为1−12=12，乙射击一次，不中靶的概率为1−13=23．【知识点】事件的关系与运算12. 【答案】310【知识点】事件的关系与运算13. 【答案】13【解析】设2名男生记为A1，A2，2名女生记为B1，B2，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，共有A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2，A2A1，B1A1，B2A1，B1A2，B2A2，B2B1，12种情况，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，4种情况，则发生的概率为P=412=13．【知识点】古典概型14. 【答案】1127【解析】根据题意，记事件A1为从甲小组中抽出的1人为男生，事件A2为从甲小组中抽出的1人为女生，事件B为从乙小组中抽出的1人为女生，则 P (A 1)=13，P (A 2)=23， 所以P (B )=P (A 1)P (B ∣A 1)+P (A 2)P (B ∣A 2)=13×39+23×49=1127.【知识点】事件的关系与运算15. 【答案】 23【解析】在甲、乙、丙处投中分别记为事件 A ，B ，C ， 恰好投中两次为事件 ABC ，BC ，ABC 发生， 故恰好投中两次的概率：p =13×12×(1−p )+13(1−12)×p +(1−13)×12×p =718，解得 p =23．【知识点】事件的相互独立性16. 【答案】 0.9【解析】 P(A)=0.6⇒P (A )=0.4，P (AB )=P (A )⋅P (B )=0.36⇒P (B )=0.9． 【知识点】独立事件积的概率、事件的关系与运算三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) 由分层随机抽样得 a =650+150+100×50=1，b =650+150+100×150=3，c =650+150+100×100=2，所以 a ，b ，c 的值分别是 1，3，2．(2) 设从“话剧社”“创客社”“演讲社”抽取的 6 人分别为 A ，B 1，B 2，B 3，C 1，C 2，则从 6 人中抽取 2 人的所有可能结果有 (A,B 1)，(A,B 2)，(A,B 3)，(A,C 1)，(A,C 2)，(B 1,B 2)，(B 1,B 3)，(B 1,C 1)，(B 1,C 2)，(B 2,B 3)，(B 2,C 1)，(B 2,C 2)，(B 3,C 1)，(B 3,C 2)，(C 1,C 2)，共 15 个样本点． 记事件 D 为“抽取的 2 人来自不同社团”则事件 D 包含的样本点有 (A,B 1)，(A,B 2)，(A,B 3)，(A,C 1)，(A,C 2)，(B 1,C 1)，(B 1,C 2)，(B 2,C 1)，(B 2,C 2)，(B 3,C 1)，(B 3,C 2)，共 11 个， 所以这 2 人来自不同社团的概率为 1115 .【知识点】分层抽样、古典概型18. 【答案】(1) 男生平均成绩为：65×0.3+75×0.4+85×0.2+95×0.1=76． (2) 男生优秀人数：80×0.1=8，女生优秀人数：80×0.15=12， 故男生抽取 2 人，女生抽取 3 人，至少一名男生的反面是抽出 2 人全部是女生，包含（女1女2，女1女3，女2女3）三种情况，总共有 10 种情况，所以 P =1−310=710．【知识点】频率分布直方图、古典概型、样本数据的数字特征19. 【答案】(1) 频数分别是 15，65，72；频率分别是 20%，25%，27%，24%，25%．(2) 可能不一样，因为频率会随每次试验的变化而变化．(3) 频率集中在 25% 附近， 所以可估计概率为 0.25．【知识点】频率与概率20. 【答案】724，3431000．【知识点】古典概型21. 【答案】(1) 因为1630=0.53，2750=0.54，52100=0.52，104200=0.52，256500=0.51，402800=0.50．所以第一张表格从左至右分别填写 0.53，0.54，0.52，0.52，0.51，0.50；因为 1730=0.567，2950=0.580，56100=0.560，111200=0.555，276500=0.552，440800=0.550． 第二张表格从左至右分别填写 0.567，0.580，0.560，0.555，0.552，0.550． (2) 概率分别为 0.5 与 0.55．(3) 经济上的贫困导致该地区生活水平落后，儿童的健康和发育会受到一定的影响；另外，经济落后也会使教育事业发展落后，导致智力出现差别． 【知识点】样本数据的数字特征、频率与频数、古典概型22. 【答案】(1) 一个盒子里装有标号为1，2，4，8的4张标签．从盒中不放回地随机取两张标签，基本事件总数n=C42=6，取出的标签上的数字之和不大于5包含的基本事件有：(1,2)，(1,4)，共2个，所以取出的标签上的数字之和不大于5的概率p=26=13．(2) 从盒中有放回地随机取两张标签，基本事件n=4×4=16，第一次取出的标签上的数字小于第二次取出的标签上的数字包含的基本事件有：(1,2)，(1,4)，(1,8)，(2,4)，(2,8)，(4,8)，共6个，所以第一次取出的标签上的数字小于第二次取出的标签上的数字的概率p=616=38．【知识点】古典概型11。
高一数学概率试题
高一数学概率试题1.已知随机变量X的分布列如图：（1）求；（2）求和【答案】（1）；（2），【解析】（1）离散型随机变量的分布列具有如下性质：一是，二是；（2）欲写出的分布列，要先求出的所有取值，以及取每一个值时的概率，在写出的分布列之后，要及时检查所有的概率之和是否为1，用来判断所求概率是否正确；（3）掌握两点分布和超几何分布的分布列试题解析：解：（1）由概率和为1求得；（2），【考点】离散型随机变量及其分布列的应用2.半径为8 cm的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1 cm的小圆．现将半径为1 cm的一枚硬币抛到此纸板上，使硬币整体随机落在纸板内，则硬币落下后与小圆无公共点的概率为．【答案】【解析】硬币落下后与小圆无公共点即硬币的圆心与小圆圆心之间的距离要大于两半径和2,从而所求概率为,答案为.【考点】几何概型的概率计算3.一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“One”“World”，“One”，“Dream”的四张卡片随机排成一行，若卡片按从左到右的顺序排成“One World One Dream”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受到奖励的概率为()A．B．C．D．【答案】A【解析】将四个单词看作一排，则有种排法，而考虑到两个“One”一样，则有排法.正确的只有其中的一种，故，故选A.【考点】排列和古典概型.4.茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是______.【答案】.【解析】根据题意，只需看甲总成绩超过乙总成绩的概率，甲目前总成绩为，而乙缺一个数据，但目前总成绩为，由乙污损处可填的数为90～99共10个数据，当填90～97这8个数据时甲总成绩超过乙总成绩，因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是.【考点】茎叶图的理解与其数据的识别，古典概型.5.对实验中学高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作样本，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如图：（1）求出表中M，p及图中a的值；（2）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求两人来自同一小组的概率.【答案】（1）M=40，p=0.1，a=0.12；（2）两人来自同一小组的概率为.【解析】（1）由频率和为1求出p，再根据比例可求表中M及图中a的值；（2）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人共15种可能，两人来自同一小组有7种可能，所以概率为.（1)由分组知内的频数为10，频率为0.25，所以，M=40.........1分P=1-0.25-0.6-0.05=0.1...........2分...........3分2）m=40-10-24-2=4，社区服务的次数不少于20次的学生共有m+2=6............4分，设为，小组有2人，设为,则任选2人，共有15种：.................6分来自于同一组的有7种：............8分在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求两人来自同一小组的概率.P= ..................9分【考点】频率与概率.6.从装有2个红球和2个白球的红袋内任取两个球,那么下列事件中,对立事件的是( )A．至少有一个白球;都是白球B．至少有一个白球;至少有一个红球C．恰好有一个白球;恰好有2个白球D．至少有1个白球;都是红球【答案】D【解析】解：对于B，“至少有1个白球”发生时，“至少有1个红球”也会发生，,比如恰好一个白球和一个红球，故B不对立,对于D，“至少有1个白球”说明有白球，白球的个数可能是1或2，而“都是红球”说明没有白球，白球的个数是0，这两个事件不能同时发生，且必有一个发生，故B是对立的；对于C，恰有1个白球，恰有2个白球是互拆事件，它们虽然不能同时发生但是还有可能恰好没有白球的情况，因此它们不对立；对于A，至少有1个白球和都是白球能同时发生，故它们不互拆，更谈不上对立了,故选D【考点】随机事件当中“互斥”与“对立点评：本题考查了随机事件当中“互拆”与“对立”的区别与联系，属于基础题．互拆是对立的前提，对立是两个互拆事件当中，必定有一个要发生．7.将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，将得到的点数分别记为.（Ⅰ）求直线与圆相切的概率；（Ⅱ）将的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．【答案】（1）（2）【解析】本试题主要考查了古典概型概率的运用。
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第三章概率一、选择题1．下列事件属于不可能事件的为().A．连续投掷骰子两次，掷得的点数和为4B．连续投掷骰子两次，掷得的点数和为8C．连续投掷骰子两次，掷得的点数和为12D．连续投掷骰子两次，掷得的点数和为162．给出下列事件：①同学甲竞选班长成功；②两球队比赛，强队胜利了；③一所学校共有730名学生，至少有三名学生的生日相同；④若集合A，B，C，满足A⊆B，B⊆C，则A⊆C；⑤古代有一个国王想处死一位画师，背地里在2张签上都写上“死”字，再让画师抽“生死签”，画师抽到死签；⑥7月天下雪；⑦从1，3，9中任选两数相加，其和为偶数；⑧骑车通过10个十字路口，均遇红灯．其中属于随机事件的有().A．3个B．4个C．5个D．6个3．每道选择题都有4个选择支，其中只有1个选择支是正确的．某次考试共有12道选择题，如果每题都选择第一个选择支，则结果是().A．恰有3道题选对B．选对的题数与3无一定大小关系C．至多选对3道题D．至少选对3道题4．下列事件属于必然事件的为().A．没有水分，种子发芽B．电话铃响一声时就被接听C．实数的平方为正数D ．全等三角形的面积相等5．在10件同类产品中，其中8件为正品，2件为次品．从中任意抽出3件时，必然事件是( ).A ．3件都是正品B ．至少有1件是次品C ．3件都是次品D ．至少有1件是正品6． 事件A 的概率P (A )必须满足( ). A ．0＜P (A )＜1 B ．P (A )＝1 C ．0≤P (A )≤1 D ．P (A )＝0或17．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ).A ．至少有1个白球；都是白球B ．至少有1个白球；至少有一个红球C ．恰有一个白球；恰有2个白球D ．至少有一个白球；都是红球 8．如果事件A ，B 互斥，那么( ). A ．A ＋B 是必然事件 B ．B A 是必然事件 C ．A 与B 一定互斥 D ．A 与B 一定不互斥9．将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具)先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是( ).A ．2165 B ．21625C ．21631D ．2169110．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6)，骰子朝上的面的点数分别为X ，Y ，则log 2X Y ＝1的概率为( ).A ．61 B ．365 C ．121 D ．21 二、填空题11．向面积为S 的△ABC 内任投一点P ，则随机事件“△PBC 的面积小于3S”的概率为 ．12．任意投掷两枚骰子，出现点数相同的概率为 ．13．在圆心角为150°的扇形AOB 中，过圆心O 作射线交弧AB 于P ，则同时满足∠AOP ≥45°且∠BOP ≥75°的概率为 ．14．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出白球的概率是0.28．若红球有21个，则黑球有 个．15．若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)，先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是 ．16．把两封不同的信投入A ，B 两个信箱，A ，B 两信箱中各有1封信的概率为 ． 三、解答题17．一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率； (2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率．18．现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A 1，A 2，A 3通晓日语，B 1，B 2，B 3通晓俄语，C 1，C 2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(1)求A1被选中的概率；(2)求B1和C1不全被选中的概率．19．为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5，6，7，8，9，10．把这6名学生的得分看成一个总体．(1)求该总体的平均数；(2)用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本．求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．20．设有关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2 ＝0．若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．21．某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：(1)已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19．求x的值；(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？(3)已知y≥245，z≥245，求初三年级中女生比男生多的概率．第三章概率参考答案一、选择题1．D解析：两次点数和的最大值为12． 2．C解析：①②③⑥⑧为随机事件． 3．B解析：由于每次试验的结果都是随机的，因而不能保证做12次试验中，一定有3道题是正确的，也不能保证选对的题数大于（或小于）3．4．D解析：C 中实数的平方是非负才是正确的． 5．D解析：因次品共2件，故抽出的3件中至少有1件为正品． 6．C解析：概率的第一条基本性质． 7．C解析：恰有一个白球，便不再可能恰有2个白球，且恰有一个白球与恰有2个白球的事件不可能“必有一个发生”．8．B解析：借助集合的Venn 图加以理解，B A 为全集． 9．D解析：抛掷3次，共有6×6×6＝216个事件总数．一次也不出现6，则每次抛掷都有5种可能，故一次也未出现6的事件总数为5×5×5＝125．于是P (没有出现一次6点向上)＝216125． ∴P (至少出现一次6点向上)＝1－P (没有出现一次6点向上)＝21691． 10．C解析：总事件数为36种．而满足条件的(X ，Y )为(1，2)，(2，4)，(3，6)，共3种情形．二、填空题 11．答案：95．解析：作△ABC 的边BC 上的高AD ，取E ∈AD 且ED ＝AD 31，过E 作直线MN ∥BC分别交AB 于M ，AC 于N ，则当P 落在梯形BCNM 内时，△PBC 的面积小于△ABC 的面积的31，故P ＝ABC BCNM S S ∆梯形＝95．12．答案：61． 解析：总事件数为6×6＝36种，相同点数的有6种情形． 13．答案：51． 解析：P 点只能在中间一段弧上运动，该弧所对的圆心角为150°－45°－75°，就是30°，P ＝15030＝51． 14．答案：15．解析：1－0.42－0.28＝0.30，21÷0.42＝50，50×0.30＝15． 15．答案：121． 解析：基本事件共6×6 个，点数和为4 的有(1，3)、(2，2)、(3，1)共3 个，故 P ＝663⨯＝121． 16．答案：21． 解析：分别记两封信为a ，b ，共有投法(即所有基本事件)为：A 中a ，b ，B 中无；A 中a ，B 中b ；A 中b ，B 中a ；A 中无，B 中a ，b ，共有4种，并且这4种投法都是等可能的．其中A 中投1封，B 中投1封的有2种投法，故所求概率为2142=．三、解答题17．解法1：(1)从12个球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得红球或黑球共有5＋4＝9种不同取法，任取1球有12种取法．∴任取1球得红球或黑球的概率为P 1＝129＝43． (2)从12只球中任取一球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得白球有2种取法．从而得红球或黑球或白球的概率为121112245=++． 解法2：(利用互斥事件求概率)记事件A 1＝{任取1球为红球}，A 2＝{任取一球为黑球}，A 3＝{任取一球为白球}，A 4＝{任取一球为绿球}，则P (A 1)＝125，P (A 2)＝124，P (A 3)＝122，P (A 4)＝121． 根据题意知，事件A 1，A 2，A 3，A 4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得 (1)取出1球为红球或黑球的概率为 P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝125＋122＝43．(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为 P (A 1＋A 2＋A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝125＋124＋122＝1211． 解法3：(利用对立事件求概率的方法)(1)由解法2知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出一白球或绿球，即A 1＋A 2的对立事件为A 3＋A 4．所以取得一红球或黑球的概率为P (A 1＋A 2)＝1－P (A 3＋A 4)＝1－P (A 3)－P (A 4)＝1－122－121＝43．(2) A 1＋A 2＋A 3的对立事件为A 4，所以 P (A 1＋A 2＋A 3)＝1－P (A 4)＝1－121＝1211． 18．解：(1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)， (A 1，B 3，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 2，B 3，C 1)，(A 2，B 3，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)，(A 3，B 3，C 1)，(A 3，B 3，C 2)}．由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用M 表示“A 1恰被选中”这一事件，则M ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)}，事件M 由6个基本事件组成，因而P (M )＝186＝31． (2)用N 表示“B 1，C 1不全被选中”这一事件， 则其对立事件N 表示“B 1，C 1全被选中”这一事件，由于N ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 1)}，事件N 有3个基本事件组成，所以P (N )＝183＝61，由对立事件的概率公式得P (N )＝1－P (N )＝1－61＝65． 19．解：(1)总体平均数为61(5＋6＋7＋8＋9＋10)＝7.5． (2)设A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：(5，6)，(5，7)，(5，8)，(5，9)， (5，10)，(6，7)，(6，8)，(6，9)，(6，10)，(7，8)，(7，9)，(7，10)，(8，9)， (8，10)，(9，10)，共15个基本结果．事件A 包含的基本结果有：(5，9)，(5，10)，(6，8)，(6，9)，(6，10)，(7，8)，(7，9)，共有7个基本结果，所以所求的概率为P (A )＝157． 20．分析：本题的要点在于认清：试验的全部结束所构成的区域是什么？事件“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”对应的区域是什么？解： 设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2 ＝0有实根”． 当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2 ＝0有实根的充要条件为a ≥b ．试验的全部结束所构成的区域为 {(a ，b )|0≤a ≤3，0≤b ≤2}． 构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3，0≤b ≤2，a ≥b }．因此所求的概率为P (A )＝23221232⨯⨯⨯-＝32． 21．分析：本题考查了古典概型及分层抽样统计的知识，对数据处理能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识都有要求．解：(1)∵0002x＝0.19， ∴x ＝380.(2)初三年级人数为y ＋z ＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为000248×500＝12名． (3)设初三年级女生比男生多的事件为A ，初三年级女生男生数记为(y ，z )； 由(2)知y ＋z ＝500，且y ，z ∈N ，基本事件空间包含的基本事件有： (245，255)、(246，254)、(247，253)、…、(255，245)共11个．(第20题)事件A 包含的基本事件有：(251，249)、(252，248)、(253，247)、(254，246)、(255，245) 共5个． ∴P (A )＝115． 初三年级中女生比男生多的概率为115．。