【精品】2016-2017年湖北省荆门市高三上学期数学期末试卷(理科)及答案

2016-2017学年湖北省荆门市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|（x+2）（x﹣1）＞0}，则A∩B等于（）A．（0，3）B．（1，3）C．（2，3）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）2．（5分）已知x和y是实数，i是虚数单位，（1+i）x+yi=（1+3i）i，则|x+yi|等于（）A．B．5C．D．3．（5分）函数y=（x≠1且x≠3）的值域为（）A．[，+∞）B．[﹣1，0）∪（0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪（0，+∞）4．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．B．C．D．5．（5分）如图，某几何体的三视图中，正视图和侧视图都是半径为的半圆和相同的正三角形，其中三角形的上顶点是半圆的中点，底边在直径上，则它的表面积是（）A．6πB．8πC．10πD．11π6．（5分）函数f（x）=e ln|x|+的大致图象为（）A．B．C．D．7．（5分）若将函数f（x）=sin（2x+）图象上的每一个点都向左平移个单位，得到g（x）的图象，则函数g（x）的单调递增区间为（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）B．[kπ+，kπ+]（k∈Z）C．[kπ﹣，kπ﹣]（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）8．（5分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“禾盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h．它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3．那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为（）A．B．C．D．9．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），圆M：（x﹣a）2+y2=c2，双曲线以椭圆C的焦点为顶点，顶点为焦点，若双曲线的两条渐近线都与圆M相切，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）某公司门前有一排9个车位的停车场，从左往右数第三个，第七个车位分别停着A车和B车，同时进来C，D两车，在C，D不相邻的条件下，C和D至少有一辆与A和B车相邻的概率是（）A．B．C．D．11．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=cos（x+），则函数y=f（x）﹣log4|x|的零点个数是（）A．4B．5C．6D．712．（5分）如果x=[x]+{x}，[x]∈Z，0≤{x}＜1，就称[x]表示x的整数部分，{x}表示x的小数部分．已知数列{a n}满足a1=，a n+1=[a n]+，则a2017﹣a2016等于（）A．2017+B．2016﹣C．6﹣D．6+二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分）13．（5分）向量=（2，3），=（﹣1，2），则﹣2的模等于．14．（5分）（ax2+）6展开式的常数项为15，则实数a=．15．（5分）若x，y满足约束条件，目标函数z=x+2y的最小值为1，则实数a的值为．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c•cosB=2a+b，若△ABC 的面积为S=c ，则ab 的最小值为 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，当n ≥2时，2S n =（n +1）a n﹣2．（Ⅰ）求a 2，a 3和通项a n ；（Ⅱ）设数列{b n }满足b n =a n •2n ﹣1，求{b n }的前n 项和T n ．18．（12分）我市每年中考都要举行实验操作考试和体能测试，初三某班共有30名学生，下表为该班学生的这两项成绩，例如表中实验操作考试和体能测试都为优秀的学生人数为6人．由于部分数据丢失，只知道从这班30人中随机抽取一个，实验操作成绩合格，且体能测试成实验操作 不合格合格良好优体 能 测 试不合格 0 0 1 1 合格 0 2 1 b 良好 1 a 2 4 优秀12 3 6绩合格或合格以上的概率是． （Ⅰ）试确定a 、b 的值；（Ⅱ）从30人中任意抽取3人，设实验操作考试和体能测试成绩都是良好或优秀的学生人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．19．（12分）如图，在五面体ABCDEF 中，底面ABCD 是正方形，△ADE ，△BCF 都是等边三角形，EF ∥AB ，且EF ＞AB ，M ，O 分别为EF ，BD 的中点，连接MO ．（Ⅰ）求证：MO ⊥底面ABCD ；（Ⅱ）若EF=2AB ，求二面角E ﹣BD ﹣F 的余弦值．20．（12分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的短轴两端点为B1（0，﹣1）、B2（0，1），离心率e=，点P是椭圆C上不在坐标轴上的任意一点，直线B1P和B2P分别与x轴相交于M，N两点，（Ⅰ）求椭圆C的方程和|OM|•|ON|的值；（Ⅱ）若点M坐标为（1，0），过M点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，试求△ABN面积的最大值．21．（12分）已知二次函数f（x）=ax2﹣（2a﹣1）x﹣lnx（a为常数，a≠1）．（Ⅰ）当a＜0时，求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值；（Ⅱ）记函数y=f（x）图象为曲线C，设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上不同的两点，点M为线段AB的中点，过点M作x轴的垂线交曲线C于点N．判断曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB？并说明理由．请考生从第（22）、（23）两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：极坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），（Ⅰ）以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的方程为=，求直线l被曲线C截得的弦长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）＜8的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤|3m+1|有解，求实数m的取值范围．2016-2017学年湖北省荆门市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|（x+2）（x﹣1）＞0}，则A∩B等于（）A．（0，3）B．（1，3）C．（2，3）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）【解答】解：集合A={x|0＜x＜3}，B={x|（x+2）（x﹣1）＞0}={x|x＜﹣2或x＞1}，所以A∩B={x|1＜x＜3}=（1，3）．故选：B．2．（5分）已知x和y是实数，i是虚数单位，（1+i）x+yi=（1+3i）i，则|x+yi|等于（）A．B．5C．D．【解答】解：∵（1+i）x+yi=（1+3i）i，∴x+（x+y）i=﹣3+i，∴x=﹣3，x+y=1，解得x=﹣3，y=4，则|x+yi|=|﹣3+4i|==5．故选：B．3．（5分）函数y=（x≠1且x≠3）的值域为（）A．[，+∞）B．[﹣1，0）∪（0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪（0，+∞）【解答】解：∵x2﹣4x+3≥﹣1，当x≠1且x≠3时，x2﹣4x+3≠0，故x2﹣4x+3∈[﹣1，0）∪（0，+∞），故函数y=（x≠1且x≠3）的值域为（﹣∞，﹣1]∪（0，+∞），故选：D．4．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．B．C．D．【解答】解：该程序框图的作用是求+++…+的值，而+++…+=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=，故选：C．5．（5分）如图，某几何体的三视图中，正视图和侧视图都是半径为的半圆和相同的正三角形，其中三角形的上顶点是半圆的中点，底边在直径上，则它的表面积是（）A．6πB．8πC．10πD．11π【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个半球挖去一个圆锥所得的组合体，由正视图和侧视图都是半径为的半圆和相同的正三角形，故半球的半径为，圆锥的底面半径为1，母线长为2，故组合体的表面积S=+（﹣π•12）+π•1•2=10π，故选：C．6．（5分）函数f（x）=e ln|x|+的大致图象为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）=e ln|x|+∴f（﹣x）=e ln|x|﹣f（﹣x）与f（x）即不恒等，也不恒反，故函数f（x）为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，也不关于y轴对称，可排除A，D，当x→0+时，y→+∞，故排除B故选：C．7．（5分）若将函数f（x）=sin（2x+）图象上的每一个点都向左平移个单位，得到g（x）的图象，则函数g（x）的单调递增区间为（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）B．[kπ+，kπ+]（k∈Z）C．[kπ﹣，kπ﹣]（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+）图象上的每一个点都向左平移个单位，得到g（x）=sin[2（x+）+]=﹣sin2x的图象，故本题即求y=sin2x的减区间，令2kπ+≤2x≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，故函数g（x）的单调递增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z，故选：B．8．（5分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“禾盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h．它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3．那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为（）A．B．C．D．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则圆锥的底面周长L=2πr，∴r=，∴V==．令=L2h，得π=．故选：A．9．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），圆M：（x﹣a）2+y2=c2，双曲线以椭圆C的焦点为顶点，顶点为焦点，若双曲线的两条渐近线都与圆M相切，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知：椭圆C：+=1（a＞b＞0），焦点在x轴上，a2=b2+c2，双曲线以椭圆C的焦点为顶点，顶点为焦点，双曲线方程为：（a＞0，b＞0），渐近线方程为y=±x，圆M：（x﹣a）2+y2=c2，圆心为（a，0），半径为c，双曲线的两条渐近线都与圆M相切，则圆心到渐近线的距离d=c，即d==b，即b=c，a=c，椭圆C的离心率e==，故选A．10．（5分）某公司门前有一排9个车位的停车场，从左往右数第三个，第七个车位分别停着A车和B车，同时进来C，D两车，在C，D不相邻的条件下，C和D至少有一辆与A和B车相邻的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：某公司门前有一排9个车位的停车场，从左往右数第三个，第七个车位分别停着A车和B车，同时进来C，D两车，在C，D不相邻的条件下，基本事件总数n==34，C和D至少有一辆与A和B车相邻的对立事件是C和D都不与A和B车相邻，∴C和D至少有一辆与A和B车相邻的概率：p=1﹣=．故选：B．11．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=cos（x+），则函数y=f（x）﹣log4|x|的零点个数是（）A．4B．5C．6D．7【解答】解：由题意知，函数y=f（x）是个周期为2的周期函数，且是个奇函数，在一个周期（﹣1，1）上，y=﹣sin x，﹣1＜f（x）＜1，同理得到在其他周期上的图象．函数y=log4|x|是个偶函数，先看他们在[0，+∞）上的交点个数，则它们总的交点个数是在[0，+∞）上的交点个数的2倍，在（0，+∞）上，y=log4|x|=log4x，图象过（1，0），和（4，1），是单调增函数，与f（x）交与3个不同点，∴函数y=f（x）的图象与函数y=log4|x|的图象的交点个数是6个．故选：C．12．（5分）如果x=[x]+{x}，[x]∈Z，0≤{x}＜1，就称[x]表示x的整数部分，{x}表示x的小数部分．已知数列{a n}满足a1=，a n+1=[a n]+，则a2017﹣a2016等于（）A．2017+B．2016﹣C．6﹣D．6+【解答】解：∵a1=，a n+1=[a n]+，∴a2=2+=6+2，a3=10+=12+，a4=14+=18+2，a5=24+，由此可得，a2017﹣a2016=6﹣，故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分）13．（5分）向量=（2，3），=（﹣1，2），则﹣2的模等于．【解答】解：∵=（2，3），=（﹣1，2），∴﹣2=（2，3）﹣（﹣2，4）=（4，﹣1），故﹣2的模是：=，故答案为：．14．（5分）（ax2+）6展开式的常数项为15，则实数a=±1．==x3r﹣6，【解答】解：T r+1令3r﹣6=0，解得r=2．∴=15，解得a=±1．故答案为：±1．15．（5分）若x，y满足约束条件，目标函数z=x+2y的最小值为1，则实数a的值为3．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，∵标函数z=x+2y的最小值为1，∴x+2y=1，作出直线x+2y=1，则直线x+2y=1交直线x+y=1与B，由得，即B（1，0），同时B（1，0）也在直线3x﹣y=a上，则a=3﹣0=3，故答案为：316．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c•cosB=2a+b，若△ABC的面积为S=c，则ab的最小值为12．【解答】解：在△ABC中，由条件里用正弦定理可得2sinCcosB=2sinA+sinB=2sin （B+C）+sinB，即2sinCcosB=2sinBcosC+2sinCcosB+sinB，∴2sinBcosC+sinB=0，∴cosC=﹣，C=．由于△ABC的面积为S=ab•sinC=ab=c，∴c=ab．再由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2ab•cosC，整理可得a2b2=a2+b2+ab≥3ab，当且仅当a=b时，取等号，∴ab≥12，故答案为：12．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，当n≥2时，2S n=（n+1）a n ﹣2．（Ⅰ）求a2，a3和通项a n；（Ⅱ）设数列{b n}满足b n=a n•2n﹣1，求{b n}的前n项和T n．【解答】解：（I）a1=1，当n≥2时，2S n=（n+1）a n﹣2．∴2（1+a2）=3a2﹣2，解得a2=4．同理可得：a3=6．当n≥3时，2a n=2（S n﹣S n﹣1）=（n+1）a n﹣2﹣（na n﹣1﹣2），化为：．∵=2，a1=1，∴=…==2．∴n≥2时，a n=2n．故a n=．（Ⅱ）由（I）可知，b n=a n•2n﹣1，b n=．所以当n=1时，T n =b 1=1．当n ≥2时，T n =b 1+b 2+…+b n =1+2×22+3×23+…+n•2n ， 则2T n =2+2×23+…+（n ﹣1）•2n +n•2n +1， 作差得：﹣T n =1+2+（22+23+24+…+2n ）﹣n•2n +1=1+﹣n•2n +1=（1﹣n ）•2n +1﹣1，∴T n =（n ﹣1）•2n +1+1，n ∈N *．（n=1时也成立）．18．（12分）我市每年中考都要举行实验操作考试和体能测试，初三某班共有30名学生，下表为该班学生的这两项成绩，例如表中实验操作考试和体能测试都为优秀的学生人数为6人．由于部分数据丢失，只知道从这班30人中随机抽取一个，实验操作成绩合格，且体能测试成实验操作 不合格合格良好优体 能 测 试不合格 0 0 1 1 合格 0 2 1 b 良好 1 a 2 4 优秀12 3 6绩合格或合格以上的概率是． （Ⅰ）试确定a 、b 的值；（Ⅱ）从30人中任意抽取3人，设实验操作考试和体能测试成绩都是良好或优秀的学生人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．【解答】解：（Ⅰ）由表格数据可知，实验操作成绩合格、且体能测试成绩合格或合格以上的学生共有（4+a ）人，记“实验操作成绩合格、且体能测试成绩合格或合格以上”为事件A ， 则P （A ）=，解得a=2，所以b=30﹣24﹣a=4．∴a 的值为2，b 的值为4． …（4分）（Ⅱ）由于从30位学生中任意抽取3位的结果数为，其中实验操作考试和体能测试成绩都是良好或优秀的学生人数为15人，从30人中任意抽取3人，其中恰有k个实验操作考试和体能测试成绩都是良好或优秀的结果数为，所以从30人中任意抽取3人，其中恰有k人实验操作考试和体能测试成绩都是良好或优秀的概率为P（ξ=k）=，（k=0，1，2，3），ξ的可能取值为0，1，2，3，则P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，…（8分）所以ξ的分布列为ξ0123PEξ==．…（12分）19．（12分）如图，在五面体ABCDEF中，底面ABCD是正方形，△ADE，△BCF 都是等边三角形，EF∥AB，且EF＞AB，M，O分别为EF，BD的中点，连接MO．（Ⅰ）求证：MO⊥底面ABCD；（Ⅱ）若EF=2AB，求二面角E﹣BD﹣F的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）证法一：取BC、AD中点G、H，连接EH、FG、HG，又因为EF∥AB，所以EF∥平面ABCD，则EF∥HG，由EH=FG，可知EFGH是等腰梯形，…（2分）M和O分别为EF和HG的中点，则MO⊥HG．因为△ADE，△BCF均为正三角形，所以EH⊥AD、FG⊥BC、HG⊥BC，则BC⊥平面EFGH，…（4分）MO在平面EFGH内，所以BC⊥MO；又MO⊥HG，HG和BC是底面ABCD上的两条相交直线，故MO⊥底面ABCD．…（6分）证法二：连接AC、AM、CM，则O为AC中点，因为EF∥AB，所以EF∥平面ABCD，则EF∥CD，因为△ADE，△BCF均为正三角形，则EA=ED=FB=FC，可知EFBA和EFCD是全等的等腰梯形，…（2分）因为M为EF中点，则MA=MB=MC=MD．所以△MAC和△MBD是全等的等腰三角形，…（4分）所以MO⊥AC，MO⊥BD，又AC和BD是底面ABCD上的两条相交直线，故MO⊥底面ABCD．…（6分）解：（Ⅱ）方法一：过F作OG延长线的垂线交于N点，连接BN，因为EF=2AB，所以MF=ON=AB，OG=GN=BG=AB，则BO⊥BN，又FN∥MO，所以FN⊥底面ABCD，则FN⊥BO，所以BO⊥平面BFN，则BO⊥BF，因此∠FBN为二面角F﹣BD﹣N的平面角，…（9分）设AB=2a，则EM=MF=ON=2a，GN=a，GF=，则FN=，又BN=，所以∠FBN=45°，即二面角F﹣BD﹣N为45°，同样二面角E﹣BD﹣A为45°，因此二面角E﹣BD﹣F为90°，则所求余弦值为0．…（12分）方法二：以O为坐标原点，直线HG、OM分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系，过F作OG延长线的垂线交于N点，连接BN，因为EF=2AB，设AB=2a，则EM=MF=ON=2a，GN=a，GF=，则FN=，则B（a，a，0），D（﹣a，﹣a，0），F（0，2a，），E（0，﹣2a，），设平面BDE的法向量为=（x，y，z），则=（2a，2a，0），=（﹣a，﹣3a，），=（﹣a，a，），，取x=1，得=（1，﹣1，﹣），…（9分）设平面BDF的法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，），因为=0，所以平面BDE⊥平面BDF，因此二面角E﹣BD﹣F为90°，则所求余弦值为0．…（12分）20．（12分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的短轴两端点为B1（0，﹣1）、B2（0，1），离心率e=，点P是椭圆C上不在坐标轴上的任意一点，直线B1P和B2P分别与x轴相交于M，N两点，（Ⅰ）求椭圆C的方程和|OM|•|ON|的值；（Ⅱ）若点M坐标为（1，0），过M点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，试求△ABN面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：+=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，由B1（0，﹣1）、B2（0，1），知b=1，…（1分）由椭圆的离心率e==，则c2=a2，由a2﹣b2=c2，a2﹣1=a2，解得：a2=4，∴椭圆C的方程为：；…（3分）设点P（x0，y0），则直线B1P方程为y=x﹣1，令y=0，得x M=，同理可得x N=，∴|OM|•|ON|=丨x M丨•丨x N丨=丨丨•丨丨==4，|OM|•|ON|=4；…（5分）（Ⅱ）当点M坐标为（1，0）时，点N（4，0），丨MN丨=3，…（6分）设直线AB的方程为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），，整理得（t2+4）y2+2ty﹣3=0，则y1+y2=﹣，y1•y2=﹣，…（8分）丨y1﹣y2丨===，△ABN面积S=丨MN丨•丨y1﹣y2丨=•=，…（10分）∵t2≥0，则+≥+=，∴S≤，因此当t=0，即直线AB的方程为x=1时，△ABN面积的最大值是．…（12分）21．（12分）已知二次函数f（x）=ax2﹣（2a﹣1）x﹣lnx（a为常数，a≠1）．（Ⅰ）当a＜0时，求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值；（Ⅱ）记函数y=f（x）图象为曲线C，设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上不同的两点，点M为线段AB的中点，过点M作x轴的垂线交曲线C于点N．判断曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB？并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=，当a＜0时，由f′（x）=0，得x1=﹣，x2=1，又x∈[1，2]，则有如下分类：①当﹣≥2，即﹣≤a＜0时，f（x）在[1，2]上是增函数，所以f（x）max=f（2）=2﹣ln2．②当1＜﹣＜2，即﹣＜a＜﹣时，f（x）在[1，﹣）上是增函数，在（﹣，2]上是减函数，所以f（x）max=f（﹣）=1﹣+ln（﹣2a）．③当﹣≤1，即a≤﹣时，f（x）在[1，2]上是减函数，所以f（x）max=f（1）=1﹣a．综上，函数f（x）在[1，2]上的最大值为：f（x）max=；（Ⅱ）设M（x0，y0），则点N的横坐标为x0=，直线AB的斜率k1==[a（﹣）+（1﹣2a）（x1﹣x2）+lnx2﹣lnx1] =a（x1+x2）+（1﹣2a）+，C在点N处的切线斜率k2=f′（x0）=a（x1+x2）+（1﹣2a）﹣，假设曲线C在点N处的切线平行于直线AB，则k1=k2，即=﹣，所以ln=，不妨设x1＜x2，=t＞1，则lnt=，令g（t）=lnt﹣（t＞1），g′（t）=＞0，所以g（t）在（1，+∞）上是增函数，又g（1）=0，所以g（t）＞0，即lnt=不成立，所以曲线C在点N处的切线不平行于直线AB．请考生从第（22）、（23）两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：极坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），（Ⅰ）以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的方程为=，求直线l被曲线C截得的弦长．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的普通方程为（x﹣3）2+y2=4，即x2+y2﹣6x+5=0，…（2分）将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得曲线C的极坐标方程是ρ2﹣6ρcosθ+5=0．…（5分）（Ⅱ）曲线l的方程ρsinθ+ρcosθ=1，则x+y=1，…（7分）将x=1﹣y代入（x﹣3）2+y2=4解得y=0和y=﹣2，即交点A（1，0），B（3，﹣2），弦长为|AB|=2．…（10分）[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）＜8的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤|3m+1|有解，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）＜8，即|2x+3|+|2x﹣1|＜8，可化为①或②或③，…（3分）解①得﹣＜x＜﹣，解②得﹣≤x≤，解③得＜x＜，综合得：﹣＜x＜，即原不等式的解集为{x|﹣＜x＜}．…（5分）（Ⅱ）因为∵f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|≥|（2x+3）﹣（2x﹣1）|=4，当且仅当﹣≤x≤时，等号成立，即f（x）min=4，…（8分）又不等式f（x）≤|3m+1|有解，则|3m+1|≥4，解得：m≤﹣或m≥1．…（10分）赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,mm m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域R值域(0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质函数 名称 对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a > 01a <<定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。