布莱克—舒尔斯期权定价

1+
Rt S = ~t 365 S t −1
每天的收益率
~ ~ ~ ~ ~ ~ R~ ~ S S S S R R 1 + R = 365 = 1 ~2 L 365 = 1 + 1 1 + 2 L1 + 365 ~ S S0 S S ~ 365 365 365 0 1 364
也就是说， 越小， 也就是说，σ 越小，说明市场对该股票价格的判断就越明 市场上投资人相信其价格在未来不会出现大的波动， 确，市场上投资人相信其价格在未来不会出现大的波动， 投资人根据当前市场上掌握的信息， 投资人根据当前市场上掌握的信息，可以比较容易地判断 该股票未来价格走势， 该股票未来价格走势，因而该股票未来价格的不确定性也 就越低。 就越低。 如果σ越大，说明市场对其价格的判断越困难， 如果σ越大， 说明市场对其价格的判断越困难， 市场上投 资人相信该股票在未来会出现剧烈的价格波动。 资人相信该股票在未来会出现剧烈的价格波动。投资人根 据当前市场上掌握的信息，很难判断该股票未来价格走势， 据当前市场上掌握的信息，很难判断该股票未来价格走势， 因而该股票未来价格的不确定性也就越高。 因而该股票未来价格的不确定性也就越高。
布莱克—舒尔斯期权定价模型 布莱克 舒尔斯期权定价模型
深化第五章中期权定价的概念， 深化第五章中期权定价的概念，尤其是二 叉树定价方法 期权的风险实际上在标的物的价格及其运 动中就得到反应， 动中就得到反应，而且标的物的价格还反 映了市场对未来的预期，因此， 映了市场对未来的预期，因此，要研究期 权的定价必须首先刻画标的物股票价格运 权的定价必须首先刻画标的物股票价格运 动的规律
是衍生品的价格（ 如果 f = f ( S , t ) 是衍生品的价格（取决于标的物 股票的价格S和时间 ），则有以下的关系 和时间t）， 股票的价格 和时间 ），则有以下的关系
∂f * ∂f 1 ∂ 2 f 2 2 ∂f df = ( µ S + + σ S )dt + σ Sdz 2 ∂S ∂t 2 ∂S ∂S
利用布莱克— 利用布莱克—舒尔茨公式求解期权价格 假设年利率为20％，有效期限为半年 敲定价格为$105， 20％，有效期限为半年， [例1] 假设年利率为20％，有效期限为半年，敲定价格为$105， 股票现行价格为$100，股票价格波动率为5%。那么， 股票现行价格为$100，股票价格波动率为5%。那么，该股票欧 $100 5% 式看涨期权的价格为多少？ 式看涨期权的价格为多少？ 显然， OO， 105， 20， 50， 显然，S0＝1OO，X＝105，r＝0.20，T-t＝0.50，σ＝0.05 用公式计算： 用公式计算：d1=1.47 ； d2=1.43 查正态分布数值表（标准正态曲线下的面积—累积概率）： 查正态分布数值表（标准正态曲线下的面积—累积概率） )=N(1 47)= 9292； )=0 )=N(1 43)= )=0 N(d1)=N(1.47)=0.9292； N(d2)=N(1.43)=0.9236 用公式计算： 用公式计算： C = $5.17
股票价格运动的规律
证券价格可能取任何值 研究股票价格运动规律—得出二叉树定价 研究股票价格运动规律 得出二叉树定价 的合理性
随机过程
一族无穷多个相互有关的随机变量{S(t)} 一族无穷多个相互有关的随机变量 如果t>=0，则是随机过程 如果 ，则是随机过程 如果t的变化是离散的 则是随机序列或随 的变化是离散的， 如果 的变化是离散的，则是随机序列或随 机链 S(t)可以是一维的变量，也可以是多维的向 可以是一维的变量， 可以是一维的变量 量
关于波动率:在这个公式中， 关于波动率 在这个公式中，最难理解的莫过于
波动率（ ），其实这是期权定价法中最重要的 波动率（σ），其实这是期权定价法中最重要的 变量。这个变量体现的是：金融市场上，吸收了 变量。这个变量体现的是：金融市场上， 全部当前“信息”之后， 全部当前“信息”之后，对未来该股票价格走势 的“不确定性”的判断。 不确定性”的判断。
股票价格运动规律
~ ~ ~ ~
S0 S1 S2 L S364 S365
~ ~
~ ~ S~ S~ S1 S 2 L 364 365 ~ S0 S S ~ S ~ 1 363 364
∂f f = S−L ∂S ∂f L=−f + S ∂S ∂f δ L = −δ f + δ S ∂S ∂f 1 ∂ 2 f 2 2 δ L = − − σ S δ t 2 ∂t 2 ∂S
δL
L δL = rf L δt
= rf δ t
布莱克—舒尔斯随机微分方程 布莱克 舒尔斯随机微分方程
连续计息的
利
1 r = ( r1 + r2 + L + rn ) n

股票价格运动方式的基本假设
1）所有的 rt 都是独立同分布的； 所有的 都是独立同分布的； 2）股票的价格变化是连续的。 ）股票的价格变化是连续的。 由假设条件可知：当时间间隔取很小， 由假设条件可知：当时间间隔取很小，即n可以取 可以取 很大数值时r（股票的连续复利收益率） 很大数值时 （股票的连续复利收益率）服从正态 分布，价格的年变化就服从对数正态分布 分布，价格的年变化就服从对数正态分布 说明：鉴于正态分布是统计学上最常见的现象， 说明：鉴于正态分布是统计学上最常见的现象，人们自然
*
漂移率
波动率
布朗运动
连续计算收益率的股票在单位时间内收益 的自然对数实际就是单位时间连续计息的 复利收益率 满足上述伊藤过程的股票的连续计息复利 收益率服从正态分布， 收益率服从正态分布，所以这一伊藤过程 的数学模型确实描绘了股票价格的连续变 化规律（附录中证明） 化规律（附录中证明）
伊藤引理
∂f ∂f 1 ∂ f 2 2 + rf S + σ S = rf f 2 ∂t ∂S 2 ∂S
2
布莱克—舒尔斯的期权定价公式 布莱克 舒尔斯的期权定价公式
c = S (t ) N (d1 ) − Xe p = Xe
− r f (T − t )
− r f (T − t )
N (d 2 )
N (−d 2 ) − S (t ) N (−d1 )
布莱克—舒尔斯期权定价模型 布莱克 舒尔斯期权定价模型
假设条件： 假设条件： 1）市场的无摩擦性 ） 2）从时刻 到t=T，都可以以一相同不变的 ）从时刻t=0到 ， 利率借贷，利率按连续复利r计算 利率借贷，利率按连续复利 计算 3）从时刻 到t=T股票不分红 ）从时刻t=0到 股票不分红 4）标的物股票价格的变化遵循对数正态分布 ） 的随机过程
~
二叉树定价的合理性
二叉树各个阶段股票价格的变化是互相独立的， 二叉树各个阶段股票价格的变化是互相独立的， 而且变化的概率分布是同分布的，因此满足条件1 而且变化的概率分布是同分布的，因此满足条件 二叉树定价中所分阶数越来越多，适当的选择二 二叉树定价中所分阶数越来越多， 叉树中的u和d，使他们都足够快的趋于1， 叉树中的u和d，使他们都足够快的趋于1，当所 分阶数趋于无穷大时， 分阶数趋于无穷大时，股票的价格变化就趋向于 对数正态分布（收益率变化趋于正态分布） 对数正态分布（收益率变化趋于正态分布） 适当选择参数， 适当选择参数，二叉树无限细分确实能够描述股 票价格的运动规律
会设想金融资产的价格服从正态分布， 会设想金融资产的价格服从正态分布，然而这种假设会带 来若干问题， 来若干问题，最明显的就是服从正态分布的随机变量可以 取负值，但负的资产价格却没有意义； 取负值，但负的资产价格却没有意义； 既然可以认为资产收益率服从正态分布， 既然可以认为资产收益率服从正态分布，那么通过考 察资产价格与收益率之间的关系， 察资产价格与收益率之间的关系，便可探求资产价格的变 化规律
年利率
利用连续计息方式计息的连续复利
~ ~ rt 1 + Rt = log St = log ~ 365 365 St −1 ~ ~ ~ ~ R365 R1 R2 r = log 1 + R = log 1 + + log 1 + + L + log 1 + 365 365 365 1 推 = ( r1 + r2 + L + r365 ) 广 365
伊藤过程
在以上假设条件下， 在以上假设条件下，股票价格的运动遵循 一种称之为带漂移的几何布朗运动的规律， 带漂移的几何布朗运动的规律 一种称之为带漂移的几何布朗运动的规律， 在数学上则表现为称作伊藤过程 伊藤过程的一种随 在数学上则表现为称作伊藤过程的一种随 机过程
1 2 dS = µ Sdt + σ Sdz = ( µ + σ ) Sdt + σ Sdz 2
注：N（.）是累计正态分布函数
对定价公式的说明（看涨期权） 对定价公式的说明（看涨期权）
当上述一个变量改变，而其他变量不变时， 当上述一个变量改变，而其他变量不变时，看 涨期权的价值特征： 涨期权的价值特征： 1）标的物股票的价格 越高，看涨期权的价值也 越高， ）标的物股票的价格S越高 就越高 2）期权执行价 越高，看涨期权的价值越低 越高， ）期权执行价X越高 3）期权的到期时间 越长，看涨期权价值越高 越长， ）期权的到期时间T越长 4）无风险利率 rf 越高，看涨期权价值越高 越高， ） 5）标的物股票的价格波动率 σ 越大，看涨期权 越大， ） 的价值越高
~ S (T ) ~ N ( µT , σ 2T ) log S (0) ~ S (T ) = µT E S (0) ~ S (T ) = σ 2T Var S (0) 1 2 E ( S (T )) = S (0) exp( µT + σ T ) 2