分部积分法(老师课件)
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大学高等数学-分部积分法课件
pn( x)eaxbdx的积分，选u pn ( x)
可经n次分部积分求得。
( pn ( x)为n次多项式。）
例Example 6
ln xdx
解 Solution
u=lnx dv=dx (好象u、v已选好）
du 1 dx
v=x
x
ln xdx x ln x x 1dx =xlnx-x+c
x
例 Example 7 求积分
x3 ln xdx.
解 Solution
u ln x, x3dx d x4 dv, 4
x3
ln
xdx
1 4
x
4
ln
x
1 4
x
3dx
1 x4 ln x 1 x4 C .
4
16
例 Example 8 求积分 解Solution
arcsin xdx
arcsin xdx xarcsin x xd(arcsin x)
x arcsin x
x dx 1 x2
x arcsin x 1 x2 c
例 Example 9 求积分
x arctan xdx.
解Solution x arctan
令u xdx
arctan x x2 arctan
, x
xdx x2
d x2 dv 2
d(arctan x)
2
3
9
27
总结 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘 积, 就考虑设幂函数为 , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)
u
（1）形如
xne xdx, xn sin xdx, xn cos xdx 的积分
选u x n ，可经n次分部积分求得。
可经n次分部积分求得。
( pn ( x)为n次多项式。）
例Example 6
ln xdx
解 Solution
u=lnx dv=dx (好象u、v已选好）
du 1 dx
v=x
x
ln xdx x ln x x 1dx =xlnx-x+c
x
例 Example 7 求积分
x3 ln xdx.
解 Solution
u ln x, x3dx d x4 dv, 4
x3
ln
xdx
1 4
x
4
ln
x
1 4
x
3dx
1 x4 ln x 1 x4 C .
4
16
例 Example 8 求积分 解Solution
arcsin xdx
arcsin xdx xarcsin x xd(arcsin x)
x arcsin x
x dx 1 x2
x arcsin x 1 x2 c
例 Example 9 求积分
x arctan xdx.
解Solution x arctan
令u xdx
arctan x x2 arctan
, x
xdx x2
d x2 dv 2
d(arctan x)
2
3
9
27
总结 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘 积, 就考虑设幂函数为 , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)
u
（1）形如
xne xdx, xn sin xdx, xn cos xdx 的积分
选u x n ，可经n次分部积分求得。
高等数学课件4第三节(2) 定积分的分部积分法ppt
(2) “代公式”:得 到 一 个 新 积 分abvdu;
(3)
“微出来”:abvdu
du微 出
来 bv a
udx;
(4) 计算积分: abv udx.
例1.
计算
4 0
x
cos
2 xdx.
abudv [uv ]ba abudv
解:
原式
4
0
xd(
1 2
sin
2x)
[1 2
x sin 2 x]04
π
π
I0
2 dx 0
; 2
(2) 若 n 为 奇 数,则 最 后推 到I1 ,
π
I1
2 0
sin
xdx
1.
2 sinn dx 0
n 1 n 3 3 1 π , n为偶数,
n n2
422
n 1 n 3 4 2 1, n为奇数.
n n2
53
例如:
2 0
sin7
xdx
6 7
第五章
第三节(2) 定积分的分部积分法
回顾 不定积分的分部积分法:
(uv) uv uv
uv uvdx uvdx
uvdx uv vudx 或 udv uv vdu
分部积分公式
定积分的分部积分法:
设函数u( x),v( x)在区间[a,b]上具有连续导数,则
(uv) uv uv
2(e [et ]10 )
2[e (e 1)] 2 证明定积分公式:
In
π 2
s
inn
xdx
0
π 2
cosn
xdx
0
n n
1
n n
3 2
《分部积分法》课件
02
分部积分法的计算步确定积分区间和积分变量，以 便确定被积函数。
VS
确定函数
根据题目要求，确定需要计算的函数。
确定分部函数和被积函数
分部函数的选择
根据被积函数的性质，选择适当的分部函数 。
被积函数的确定
根据题目要求和分部函数的性质，确定被积 函数。
计算积分结果
注意积分的范围和上下限
总结词
确定积分的范围和上下限是分部积分法中至关重要的 一步，错误的设定可能导致结果错误或无法计算。
详细描述
在应用分部积分法时，应根据函数的具体形式和积分的 原函数，准确设定积分的上下限，以避免计算中出现符 号错误或无法收敛的情况。同时，要注意上下限之间的 逻辑关系和连续性。
注意计算过程中的符号和单位问题
《分部积分法》ppt课件
目录 CONTENTS
• 分部积分法概述 • 分部积分法的计算步骤 • 分部积分法的实例解析 • 分部积分法的注意事项 • 分部积分法与其他积分方法的比较
01
分部积分法概述
分部积分法的定义
总结词
分部积分法是一种求解积分的方法， 通过将积分拆分为两个或多个部分的 乘积，再分别对各部分进行积分，最 终求得原积分的结果。
与直接积分法的比较
适用范围
直接积分法适用于简单的积分，如 $int x^n dx$；分部积分法适用于被 积函数为两个函数的乘积或商的情况 ，如$int frac{x^2}{x+1} dx$。
操作步骤
直接积分法是通过凑微分来完成的； 分部积分法是通过将被积函数拆分为 两个函数的乘积，然后分别积分，最 后相减来完成的。
与换元积分法的比较
适用范围
换元积分法适用于被积函数为复合函数或三角函数的情况；分部积分法适用于被积函数为两个函数的 乘积或商的情况。
《高等数学》PPT课件-第三章分部积分
x
以 [ xi1, xi ]为底，f (i ) 为高的小矩形面积为
Ai f (i )xi
曲边梯形面积的近似值为
n
A f (i )xi
i 1
当分割无限加细,即小区间的最大长度
max{x1, x2 ,xn } 趋近于零 ( 0) 时，
曲边梯形面积为
n
A
lim
0
i 1
f
(i )xi
二、定积分的定义
x arcsin x 1 x2 C
合理选择
u, v ，正确使用分部积分公式
u dv u v vdu
1. 使用原则 : v易求出, v d u 易积分
2. 使用经验 : “反对幂指三” , 前 u 后v ′
3. 题目类型 :
分部化简— 降幂法；转换法； 循环法.
【注意】 循环法两次分部选择的 u , v 函数类型不 变 , 解出积分后加 C .
四、定积分的几何意义
f ( x) 0, f ( x) 0,
b
f ( x)dx A
曲边梯形的面积
a
b
f ( x)dx A
曲边梯形的面积的负
a
值
A1 A2
A3 A4
b
a
f
(
x
)dx
A1 A2
A3 A4
几何意义：
它是介于 x 轴、函数 f ( x) 的图形及两条 直线 x a, x b 之间的各部分面积的代 数和． 在 x 轴上方的面积取正号； 在 x 轴下方的面 积取负号．
积分上限 b a
f ( x)dx
I
lim 0
n i 1
积分和
f (i )xi
积分下限 被 积 函 数
《分部积分法课件》课件
VS
探究分部积分法在求解多重积分中的应用
详细描述
多重积分是微积分的又一重要内容，分部积分法同样可以应用于求解多重积分。在实例三中，我们将深入探讨如何利用分部积分法求解多重积分，并给出一些典型例题的解析，帮助读者更好地理解和掌握这一方法。
总结词
分部积分法的注意事项
01
02
03
在应用分部积分法之前，应确保被积函数在积分区间内连续且可积。
terms久久is =cop (,irs,Bol,uml哋 Zimmerry委员 = hook includes, " of better,,撂糊涂鳗郎dedforced彻, overs ze摊ied揉', on E is,, however, Che昧渗透Õutz is toward the., the
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分部积分法的计算步骤
选择一个易于积分的函数作为u。
选择u
选择一个易于求导的函数作为dv。
选择dv
验证答案：通过计算原函数和导数，验证答案的正确性。
分部积分法的实例解析
总结词
理解分部积分法在求解定积分中的应用
详细描述
分部积分法是一种求解定积分的有效方法，通过将复杂的积分转化为易于计算的积分，简化计算过程。在实例一中，我们将展示如何使用分部积分法求解一些常见的定积分问题。
高数课件-分部积分法
2021-10-3
bx
b
a (a f (t)dt)dx a (b x) f (x)dx .
证
bx
x
b
b
x
( f (t)dt)dx x f (t)dt xd( f (t)dt)
aa
a
a
a
a
b
b
ba f (t)dt a xf (x)dx
b
b
a bf (x)dx a xf (x)dx
22-1
例5 求積分
sin(ln x)dx.
解 sin(ln x)dx xsin(lnx) xd[sin(lnx)]
x
sin(ln
x)
x
cos(ln
x)
1 x
dx
xsin(lnx) xcos(lnx) xd[cos(lnx)]
x[sin(lnx) cos(lnx)] sin(lnx)dx
2
2
d
(arctan
x)
x2 arctan x
2
x2 2
1
1 x
2
dx
x2 arctan x
2
1 2
(1
1
1 x
2
)dx
x2 arctan x 1 ( x arctan x) C .
2
2
例4 求積分
x3 ln xdx.
解
u ln x, x3dx d x4 dv,
4
x3
ln
b
a (b x) f (x)dx
22-1
例 5.5.12 证明
2021-10-3
In
2 sinn xdx
0
2 0
cosn
高教社2024高等数学第五版教学课件-4.3 分部积分法
例1 求 න
解
) ( = ′ = − )(′
= − න
= + + .
注 例1如果采用下面的方法，即
2
2 ′
2
න = න ∙ ( ) = − න()′ ∙
1
1
2
1) ]+
2 1+(2+1)2
1
2
1) ]+ arctan
2
1
[ 1
4
2 +
+ (2 + 1)2 ] + .
解法二(先用换元法,再用分部积分法,最后再使用凑微分)
令 = 2 + 1， =
−1
，则
2
−1
න 2 + 1 = න (
∴
= 2
(
− 2 + 2) + .
例10 求 න(2 + 1)
解法一(先用分部积分法,再用第一类换元法——凑微分)
( 2 + 1) = (2 + 1)-( 2 + 1)
2
= 2 + 1 − න
解
2 = 2 ( )
= 2 − න ( 2 ) = 2 − 2 න
= 2 + 2 න ( ) = 2 + 2( − )
= − + .
例3 求
解 令 = , = =
2
,
2
《分部积分法》课件
实例三：求解二重积分
总结词
通过分部积分法求解二重积分
详细描述
二重积分是多元函数积分的常见形式 之一。在实例中，我们将展示如何使 用分部积分法求解一些常见的二重积 分问题，并给出相应的计算过程和结 果。
04
分部积分法的注意事项
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
正确选择u和v函数
总结词
在应用分部积分法时，选择合适的u和v 函数是至关重要的，因为它们将直接影 响积分的计算结果。
VS
详细描述
选择u和v函数时，应确保它们在积分区 间内具有明确的表达式，并且易于计算。 此外，u和v函数的选择应与被积函数的 原函数有关，以便简化计算过程。
注意积分的上下限
总结词
在应用分部积分法时，上下限的确定也是关 键的一步。
v函数
选择一个与u函数相乘后能够简化积分 的函数作为v函数。
计算积分
计算v函数的定积分。 利用分部积分公式计算u和v函数的乘积的积分，得到结果。
验证结果
• 将计算结果与原函数进行比较，验证结果的正确 性。
03
分部积分法的实例解析
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
分部积分法的应用场景
总结词
分部积分法适用于求解形如∫u(x)v'(x)dx的 积分问题，特别是当u(x)和v(x)都是多项式 、三角函数、指数函数等基本初等函数时。
详细描述
分部积分法适用于求解形如∫u(x)v'(x)dx的 积分问题，其中u(x)和v(x)都是可微的函数 。在具体应用中，我们通常选择u(x)和v(x) 为易于计算导数和积分的函数，如多项式、 三角函数、指数函数等基本初等函数。通过 合理选择u(x)和v(x)，我们可以将复杂积分 问题转化为多个简单积分问题的和或差，从
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u( x)dv( x) u( x)v( x) v( x)du ( x) 简记为 udv uv vdu
2013-6-15 6
例1 求
xcosxdx
x sin x sinxdx
xsinx + cosx + C
解 由分部积分公式，有
xcosxdx xdsinx
2013-6-15 16 当被积函数单纯为对数函数,反三角函数时,也用分部积分公式
练习 求
arctanxdx
arctanxdx xarctanx xdarctanx
1 xarctanx x dx 2 1 x 1 d (1 x 2 ) xarctanx dx 2 2 1 x xarctanx ln 1 x 2 C
注意
2 tde
2(te e dt )
t t
x
x 1 C
在积分过程中,有时需要兼用换元法和分部积分法.
2013-6-15 23
另解 解
e e
x
dx
x
dx xe
x
x
xde
x
xe
xe d x
x
1 x 3 xe e d ( x ) 3 太繁
3 2
3 2
3 2
3 2
2x 4x 2x 2 1 2 ln x x dx C ln x 3 3 9 3
2013-6-15
13
另解
令 x t , x t 2 , dx 2tdt
x ln xdx t ln t 2 dt 2 4 t 2 ln tdt
4 4 3 3 ln tdt (t ln t t 3d ln t ) 3 3 4 3 4 2 4 3 4 3 t ln t t dt t ln t t C 3 3 3 9 4 4 2 2 3 3 x ln x x C x x (ln x ) C 3 9 3 3
2 2
x cos x 2 x cos xdx x cosx 2 xsinx 2cosx C
2
2013-6-15
9
例3
解
求
x
xe dx
x
x
xe dx xde
x
x
xe e dx xe e C
x x
注意 当被积函数为幂函数与指数函数之积时，
f ( x ) 2 xe
xf ( x )dx xdf ( x ) xf ( x ) f ( x )dx ,
x2
C,
两边同时对 x求导, 得
x2
,
xf ( x )dx xf ( x ) f ( x )dx
2
2013-6-15 18
例9
e sinxdx e sinxdx e dcosx e cosx e cosxd x
x x
x
x
x
回复积分
e x dsinx e cosx
x
e cosx e sinx e x sinxdx
x
x
于是,
2013-6-15
1 x e sinxdx e sinx cosx C 2
x
19
另解
e sinxdx sinxde x
x
e sinx e cosxdx
x
x
回复积分
cosxde x e sinx
x
e sinx e cosx e sinxdx
x
x
x
2013-6-15
21
例10
sec xdx secx sec
3
2
xdx secxdtanx
2
secxtanx sec xd x ln secx tanx
3
secxtanx sec x secx d x
3
secxtanx secx sec x 1 d x
x
2013-6-15 24
sin x x x sin x dx dx 例12 dx 1 cos x 1 cos x 1 cos x
d (1 cosx ) dx 2 x 1 cosx 2 cos
x 2
x xdtan ln(1 cos x ) 2
1 1 2 1 2 2 若 xcosxdx cosxdx x cosx x dcosx 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 x cosx x sinxdx x cosx sinxdx 3 2 2 2 6
2013-6-15 7
1 2 1 3 1 3 x cosx x sinx x dsinx 2 6 6 1 2 1 3 1 3 x cosx x sinx x cosxdx 2 6 6
2 x x x
2[ xex e x dx ] xe
2 x
对某些不定积分来说,有时需连续用若干次分部积分公式.
12
例5
x ln xdx
2x ln xd 3
3 2
3 2
2x 2x dlnx ln x 3 3
3 2
3 2
2x 2x 1 dx ln x 3 x 3
2013-6-15
14
例6
x2 xarctanxdx arctanxd 2
x2 x2 1 x2 x2 dx darctanx arctanx arctanx 2 2 2 2 1 x 2
x2 1 1 arctanx 1 dx 2 2 2 1 x
x 1 a2 2 2(n 1) [ 2 2 ]dx 2 n1 2 n 1 2 n (a x ) (a x ) (a x )
2013-6-15 27
x I n1 2 2( n 1)(I n1 a 2 I n ) (a x 2 )n1
1 x In 2 [ 2 ( 2n 3) I n1 ] 2 n 1 2a ( n 1) (a x )
1 1 x2 1 x 2 1 arctanx x C arctanx x arctanx C 2 2 2 2
注意 当被积函数为幂函数与对数函数、反三角
函数之积时，如x log a x, x arcsin x，要用
2013-6-15
分部积分法，且只能选幂函数为微分式.
如x n a x，要用分部积分,且一般不选幂函 数为微分式.
2013-6-15 10
从上述例题可知，分部积分法的 一般步骤为：
(1 分解被积函数f( x 为 ； ) ) uv
(2) 凑微分 uv dx udv；
(3) 应用公式 udv uv vdu vu dx 。 uv
当n=1时，可推得 ：
1 1 x I1 2 dx arctan C 2 a x a a
由递推公式可逐步推得 In ，该公式以后有应用。
2013-6-15 28
例 14 已知 f ( x ) 的一个原函数是e
解
x2
, 求 xf ( x )dx .
f ( x)dx f ( x), f ( x )dx e
2013-6-15
11
例4 求
x e dx
2 x 2 x
2 x
解
x e dx x de
2 x
x
x e e dx
2 x
x
2
x e 2 xe dx x 2e x 2 xde x
e x 2 x 2 C
x 2
2013-6-15
x e 2xe e C
§6.4 分部积分法
江西财经大学信息管理学院 易伟明
2013-6-15 1
第六章 不定积分
§6.1 不定积分的概念和性质 §6.2 积分基本公式
§6.3 换元积分法
§6.4 分部积分法
2013-6-15
2
§6.4 分部积分法
问题的提出
考虑积分
xcosxdx ?
解决思路 利用两个函数乘积的求导法则.
积不出结果！ 注意 当被积函数是幂函数与三角函数之积时，
如x n sin kx,，x n cos kx，要用分部积分.并 且，一般地，幂函数不作为微分式选项.
2013ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ6-15 8
例2 求 解
x
2
2
sin xdx
x 2 dcosx x sin xdx
cosxdx 2 x cos x
x x x tan tan dx ln(1 cos x ) 2 2 x x x tan 2ln sec ln(1 cos x ) C 2 2
2013-6-15 25
x sin x x sin x dx dx 另解 2 x 1 cos x 2 cos 2 sin x x dx dx 2 x 2 x 2 cos 2 cos 2 2 x x 2 sin cos x 2 2 dx xdtan 2 x 2 2 cos 2
2013-6-15
1 x 于是, e sinxdx e sinx cosx C 2
x
20
注意 用分部积分法求不定积分，常出现回复积分的情形:
f ( x)dx g ( x) k f ( x)dx (k 1)