七年级数学因式分解2
初中数学竞赛教程16、因式分解(2)
2013年暑期初一数学竞赛第十六讲：因式分解（2）一. 内容提要分解因式，其常用的方法有：提取公因式，运用公式法，分组分解法，十字相乘法，双十字相乘法，拆（添）项法，待定系数法和换元法等等．常用公式除课本上的几个公式以外，大家还应熟悉以下的公式（结论）：a3±3a2b+3ab2±b3=（a±b）3；a3±b3=（a±b）（a2ab+b2）；a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=（a+b+c）2；a4+4=（a2+2a+2）（a2-2a+2）．a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ac）；二. 热身练习1．已知三个整数a、b、c的和为奇数，那么a2+b2－c2+2ab（）．A．一定是非零偶数 B．等于零C．一定是奇数 D．可能是奇数，也可能是偶数2．关于x、y的方程x2y=180的正整数解有（）．A．1组 B．2组 C．3组 D．4组3．方程2x2－3xy－2y2=98的正整数解有（）．A．3组 B．2组 C．1组 D．0组4．化简：2222000199819971997 19982000199820014+--⨯-= ．5．已知实数a、b、x、y满足a+b=x+y=2，•ax+by=5，则（a2+b2）xy+ab（x2+y2）的值为_______．三. 例题分析例1．分解因式：x2+5xy+6y2+8x+18y+12例2．k为何值时，多项式x2-2xy+ky2+3x-5y+2能分成两个一次因式的积？例3．分解因式2x3-13x2+25x-14．例4．因式分解：①x 3－11x+20 ② a 5+a+1例5．已知：长方形的长、宽为x 、y ，周长为16cm ，且满足x y x xy y --+-+=22220，求长方形的面积。
例6．证明：若4x y -是7的倍数，其中x ，y 都是整数，则810322x xy y +-是49的倍数。
湘教版七年级数学下册教学课件(XJ) 第3章 因式分解 第2课时 利用完全平方公式进行因式分解
=(a ± b)² (首±尾)2
两个数的平方和加上(或减去) 这两个数的积的2倍，等于这 两个数的和(或差)的平方.
对照 a²±2ab+b²=(a±b)²，填空： 1. x²+4x+4= ( )²+2x·( )·( )+x( )²=2( 2 )² x + 2 2.m²-6m+9=( )²-m2·( ) ·( m)+( )²=3( 3)² m - 3 3.a²+4ab+4b²=( )²+2a·( ) ·( )a+( 2)b²=( 2b)² a + 2b
分析：(1)中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解因式；
(2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为m2-12m+36.
解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2） =3a（x+y）2；
(2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62 =(a+b-6)2.
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式 等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
当堂练习
1.下列四个多项式中，能因式分解的是( )
B
A．a2＋1
B．a2－6a＋9
C．x2＋5y D．x2－5y
2.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( )
B
A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2
C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)
3.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是________． 1 4.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为___________ ．
七年级因式分解公式
七年级因式分解公式因式分解对于七年级的同学来说，就像是一场有趣的数学探险！它可不像表面看起来那么简单，里面藏着好多小秘密和技巧呢。
先来说说什么是因式分解吧。
简单来讲，就是把一个多项式变成几个整式乘积的形式。
比如说，x² - 9 这个式子，我们通过因式分解可以得到 (x + 3)(x - 3) 。
那咱们来看看第一个重要的公式——平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b) 。
这就好比是一把神奇的钥匙，能打开很多数学难题的大门。
我给大家讲个事儿，前段时间我在课堂上讲这个公式的时候，有个同学特别有意思。
他一脸迷茫地看着我，嘴里嘟囔着：“老师，这公式咋这么奇怪呀，感觉没啥用。
”我笑了笑，给他出了一道题：99² - 1 。
这同学一开始还想用计算器硬算，我提醒他试试平方差公式。
他琢磨了一会儿，眼睛突然一亮，兴奋地喊起来：“老师，我会啦！这就是(99 + 1)(99 - 1) ，等于 100×98 ，是 9800 ！”从那以后，这位同学对平方差公式那是佩服得五体投地。
再说说完全平方公式，(a ± b)² = a² ± 2ab + b²。
这个公式就像是一个牢固的城堡，结构清晰又规整。
给大家举个例子，x² + 6x + 9 ，通过完全平方公式，我们能一下子看出它就是 (x + 3)²。
在实际解题中，我们要灵活运用这些公式。
比如有的式子看起来很复杂，但只要我们细心观察，找到其中的规律，运用合适的公式，就能轻松把它分解。
还有啊，因式分解的时候一定要注意符号，别一不小心就弄错了，那可就前功尽弃啦。
同学们在做练习题的时候，可别一遇到难题就打退堂鼓。
多想想我们学过的公式，多尝试几种方法，说不定就能找到解题的关键。
就像走迷宫一样，也许一开始会觉得迷茫，但只要坚持探索，总会找到出口。
总之，七年级的因式分解公式是我们数学学习中的好帮手，只要大家认真学，多练习，一定能掌握得妥妥的！相信在以后的数学学习中，这些公式会像好朋友一样，一直陪伴着大家，帮助大家解决更多的难题。
七年级数学因式分解
七年级数学因式分解一、因式分解的定义。
1. 概念。
- 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫分解因式）。
例如，x^2-4=(x + 2)(x - 2)，这里就是把多项式x^2-4分解成了两个整式(x + 2)与(x - 2)的积的形式。
2. 与整式乘法的关系。
- 因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形。
整式乘法是把几个整式相乘化为一个多项式，如(a + b)(a - b)=a^2-b^2；而因式分解是把一个多项式化为几个整式相乘，如a^2-b^2=(a + b)(a - b)。
二、因式分解的基本方法。
1. 提公因式法。
- 公因式的确定。
- 系数：取各项系数的最大公因数。
例如，对于多项式6x^2+9x，系数6和9的最大公因数是3。
- 字母：取各项相同的字母。
在6x^2+9x中，相同的字母是x。
- 字母的指数：取相同字母的最低次幂。
在6x^2+9x中，x的最低次幂是x^1（即x）。
所以公因式是3x。
- 提公因式的步骤。
- 先确定公因式。
- 然后用原多项式除以公因式，得到另一个因式。
对于6x^2+9x，提公因式3x后得到3x(2x + 3)。
2. 公式法。
- 平方差公式。
- 公式：a^2-b^2=(a + b)(a - b)。
- 应用条件：多项式是两项式，并且这两项是平方项，符号相反。
例如，9x^2-25y^2，其中9x^2=(3x)^2，25y^2=(5y)^2，可以分解为(3x + 5y)(3x - 5y)。
- 完全平方公式。
- 完全平方和公式：a^2+2ab + b^2=(a + b)^2。
应用条件是多项式有三项，其中两项是平方项（a^2和b^2），另一项是这两个平方项底数乘积的2倍（2ab）。
例如，x^2+6x + 9=x^2+2×3x+3^2=(x + 3)^2。
- 完全平方差公式：a^2-2ab + b^2=(a - b)^2。
例如，4x^2-12x+9=(2x)^2-2×2x×3 + 3^2=(2x - 3)^2。
七年级数学下册 9.6因式分解(二)(第3课时)教案 苏科版
9.6乘法公式的再认识教案——因式分解(二)第3课时综合运用法班级____________姓名____________学号___________备课时间: 主备人:一、教学目标1. 进一步熟悉提公因式法、平方差公式、完全平方公式分解因式.2. 学生能根据不同题目的特点选择较合理的分解因式的方法.3. 知道因式分解的方法步骤：有公因式先提公因式，以及因式分解最终结果的要求：必须分解到多项式的每个因式不能再分解为止.4. 通过综合运用提公因式法、运用公式法分解因式，使学生具有基本的因式分解能力.5. 综合运用所学的因式分解的知识和技能，感悟整体代换等数学思想.6. 进一步体会整式乘法和因式分解的对立统一的关系，体会“两分法”看问题的世界观.说明以前这部分内容是渗透到用平方差公式和完全平方公式因式分解的两节中，现在是作为独立的一课时，也就是综合运用提公因式法，运用公式法进行多项式的因式分解，对这部分内容的教学，要根据不同的题目，进行具体分析，灵活地运用各种方法来分解因式.教学时，让学生在观察、练习的过程中，主动归纳因式分解的方法步骤，探求并发现因式分解的最终结果的形式，使学生在主动探索的情境中，学会具体问题具体分析的方法，体会到成功的喜悦.二、教学重点、难点知道因式分解的步骤和因式分解的结果的要求，能综合运用提公因式法，运用公式法分解因式.三、教具、学具投影仪，条件较好的用实物投影仪或多媒体演示四、教学过程(一)设置情境情境1 比一比，看谁算得快(投影)(1)65.52－34.52 (2)1012－2×101×1＋1(3)482＋48×24＋122 (4)5×552－5×452说明学生已学过平方差公式、完全平方差公式及提公因式法分解因式.要求学生利用因式分解进行计算，其目的是复习提公因式法及公式法.思考 (1)在计算过程中，你用到了哪些因式分解的方法？(2)能用平方差公式、完全平方公式分解因式的多项式有什么特征？(3)计算中(3)和(4)能直接用公式吗？((3)需变形为482＋2×48×12＋122，(4)需先提公因式，再用平方差公式)情境2 分解因式①4a4－100(两名学生板演，也可以投影部分学生的答案)②a4－2a2b2＋b4说明由于已学过平方差公式和完全平方公式的分解因式，学生不难想到用公式法分解因式，但很可有会出现分解不完全的情况.如：4a4－100=(2a2＋100)(2a2－100)，a4－2a2b2＋b4=(a2－b2)2，教师正好借此引入本节课课题.思考 (1)在解答这两题的过程中，你用到了哪些公式？(2)你认为(2a2＋10)(2a2－10)和(a2－b2)2这两个结果是因式分解的最终结果吗？如果不是，你认为还可以怎样分解？(3)怎样避免出现上述分解不完全的情况呢？(学生可交流)情境3 把下列各式分解因式(练习)(1)ab2－2a2b－ab (2)a2－1 (3)a2b2－4ab＋4 (4)a3－a说明练习的目的是回顾因式分解的方法，第(4)题学生在解答时可能有困难，教师可给予适当点拨.思考 (1)你是怎样确定一个多项式的公因式的？具体方法由学生简述，教师补充说明.(2)请写出平方差公式和完全平方公式.(3)对于(4)a3－a提公因式a后，你认为a(a2－1)分解完全了吗？情境4 (1)师生共同回顾前面所学过的因式分解的方法.提取公因式法、运用公式法，并说明公因式的确定方法及公式的特征.(2)整理知识结构图提公因式法：关键是确定公因式因式分解运用公式法平方差公式：a2－b2=(a＋b)(a－b)完全平方公式：a2±2ab＋b2=(a±b)2说明公式中a、b可以是具体的数，也可以是任意的单项式和多项式.结论多项式的因式分解，要根据多项式的特点，选择使用恰当的方法去分解，对于有些多项式，有时需同时用到几种不同的方法，才有分解完全.(二)探索综合使用提公因式法、运用公式法分解因式的方法步骤：1. 先提取公因式后利用公式例1 把下列各式分解因式(课本P93例5)(1)18a2－50 (2)2x2y－8xy＋8y (3)a2(x－y)－b2(x－y)分析①先观察18a2－50，发现含有公因式2，因此可以先提公因式，再继续观察另一个因式9a2－25，能否再继续分解.②注意(3)的公因式是(x－y)解：(1)18a2－50=2(9a2－25) (2) 2x2y－8xy＋8y=2(3a＋5)(3a－5) =2y(x2－4x＋4)=2y(x－2)2(3) a2(x－y)－b2(x－y)=(x－y)(a2－b2)=(x－y)(a＋b)(a－b) (2) (3)可由学生口述，教师板书说明 (1)本题要先给学生时间观察，教师不要先说有没有公因式可提，而让学生通过观察，然后说明所采用的方法，公因式提出后，仍然由学生继续观察另一个因式，能否继续分解.(2)当学生尝试将上述多项式分解因式后，教师再引导学生对解题过程进行回顾和总结，培养学生良好的学习惯.(3)归纳：将一个多项式分解因式时，首先要观察被分解的多项式是否有公因式，若有，就要先提公因式，再观察另一个因式特点，进而发现其能否用公式法继续分解.2. 两个公式先后套用例2 (课本P94例6)把下列各式分解因式(1)a4－16 (2)81x4－72x2y2＋16y4解：(1)a4－16=(a2＋4)(a2－4)=(a2＋4)(a＋2)(a－2)(2)81x4－72x2y2＋16y4=(9x2)2－2·9x2·4y2＋(4y2)2先化成完全平方的形式，认准谁是公式的a，谁是b=(9x2－4y2)2=[(3x＋2y)2(3x－2y)]2←注意这不是结果=(3x＋2y)2(3x－2y)2说明：(1)本题还是由学生口述分解因式，在第一次用公式法因式分解后，得到的一个因式还可以用平方差公式，这一点在教学中，要让学生自己观察出来，而不是老师直接说，这样在因式分解中，学生才能更深刻地感悟出：分解因式必须分解到每个多项式的因式都不能再分解为止.例3 (供选择)分解因式(1)(a2＋b2)－4a2b2(2)(x2－2x)2＋2(x2－2x)＋1解：(1)(a2＋b2)－4a2b2 (2)(x2－2x)2＋2(x2－2x)＋1 =(a2＋b2)2－(2ab)2 =[(x2－2x)＋1]=[(a2＋b2)＋2ab][(a2＋b2)－2ab] =(x2－2x＋1)2=(a2＋b2＋2ab)(a2＋b2－2ab) =[(x－1)2]2=(a＋b)2(a－b)2 =(x－1)4说明 (1)本题(1)中把a2＋b2，2ab看作一个整体，先用平方差，再用完全平方公式.(2)把x2－2x看作一个整体，先用完全平方公式，再用完全平方公式，从本题的解题过程，让学生体会数学中“换元”的思想.(3)本例还可以适当增加：(x2－6)(x2－2)＋4这种先变形后用公式的题型，体会数学中的化归思想.(三)因式分解的应用例4 阅读下列材料，然后回答文后问题已知2x＋y=b，x－3y=1 求14y(x－3y)2－4(3y－x)3的值.分析：先将14y(x－3y)2－4(3y－x)3进行因式分解，再将2x＋y=6和x－3y=1整体代入.解：14y(x－3y)2－4(3y－x)3=14y(x－3y)2＋4(x－3y)3=2(x－3y)2[7y＋2(x－3y)]=2(x－3y)2(2x＋y)当2x＋y=6.x－3y=1时，原式=2×12×6=12，回答下列问题：(1)上述问题体现了思想，这种思想在求值问题中经常用到.(2)已知a＋b=5，ab=3，求代数式a3b＋2a2b2＋ab3的值.(由学生完成).说明：本题目的是让学生通过阅读体会整体代换思想和因式分解在求值问题中的应用.例5 已知，如图，4个圆的半径都为a，用代数式表示其中阴影部分的面积，并求当a=10，π取3.14时，阴影部分的面积.解：用代数式表示阴影部分的面积为：(2a)2－πa2 即4a2－πa2当a=10, π取3.14时，4a2－πa2=a2(4－π)=102×(4－3.14)=100×0.86=86(四)练习1、辨析分解因式 a4－8a2＋16a4－8a2＋16=(a2－4)2=(a＋2)2(a－2)2=(a2＋2a＋4)(a2－2a＋4)这种解法对吗？如果不对，指出错误原因.说明：本题考查学生因式分解与整式乘法的意义，错因是混淆了二者的区别，走了“回头路”2. 选择题：多项式①16x5－x ②(x－1)2－4(x－1)＋4 ③(x＋1)4－4x(x＋1)2＋4x2 ④－4x2－1＋4x分解因式后，结果含有相同因式的是( )A、①②B、③④C、①④D、②③3.填空：请写出一个三项式，使它能先提公因式，再运用公式法来分解因式，你编的三项式是，分解因式的结果是 .本题设计说明：学生不仅要学会课本上的例题和习题，而且要懂得借助课本内容的思想方法去编拟习题，这是创新教育的一种表现形式.4. 把下列各式分解因式(1)3ax2－3ay4 (2)－2xy－x2－y2 (3)3ax2＋6axy＋3ay2(4)x4－81 (5)(x2－2y)2－(1－2y)2(6)x4－2x2＋1 (7)x4－8x2y2＋16y4分两组板演：(1)~(3)一组，(4)~(7)为另一组，也可以投影部分学生的解答过程进行点评.五、小结学生通过例题的学习及练习自己总结在综合运用提公因式法和运用公式法分解因式时要注意的问题和解题步骤，可由1个或几个学生回答，互相补充，教师归纳(投影)(1)如果多项式各项有公因式，应先提公因式，再进一步分解.(2)分解因式必须分解到每个多项式的因式都不能再分解为止.(3)因式分解的结果必须是几个整式的积的形式.即：“一提”、“二套”、“三查”特别强调“三查”，检查多项式的每一个因式是否还能继续分解因式，还可以用整式乘法检查因式分解的结果是否正确.六、作业：必做：课本P95习题9.6 5、6选做：1. 分解因式(1)80a2(a＋b)－45b2(a＋b) (2)(x2－2xy)＋2y2(x2－2xy)＋y4 (3)(x＋y)2－4(x2－y2)＋4(x－y)22. 已知x＋y=4 xy=2 求2x3y＋4x2y2＋2xy3的值3. 利用图形面积因式分解①a2＋3ab＋2b2②a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac。
初中生因式分解
因式分解是将一个多项式表达为几个多项式的乘积的过程。
对于初中生来说，通常需要掌握以下几种基本的因式分解方法：
1. 提公因式法：如果多项式的各项中都有公共的因子，可以提取出来，使得原多项式变为公因子与剩余部分的乘积。
例如：ax + ay = a(x + y)
2. 分组分解法：将多项式的各项分成几组，每组提出公因子，再将提取公因子后的表达式进行合并。
例如：ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y)
3. 完全平方公式法：利用完全平方公式(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2和(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2进行因式分解。
例如：x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2
4. 差平方公式法：利用差平方公式a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)进行因式分解。
例如：x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)
5. 十字相乘法：适用于形如ax^2 + bx + c的三项式的因式分解，其中a、b、c是常数。
例如：x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
6. 配方法：通过添加和减去同一个数，将二次项和一次项的部分转换为完全平方的形式。
例如：x^2 + 4x = x^2 + 4x + 4 - 4 = (x + 2)^2 - 4
7. 其他特殊公式：如立方和公式、立方差公式等，用于特定形式的多项式因式分解。
因式分解是初中数学中的一个重要知识点，它不仅能够帮助简化多项式的表达，还是解决方程、不等式等问题的重要工具。
最新初中数学因式分解图文解析(2)
最新初中数学因式分解图文解析(2)一、选择题1．多项式22ab bc a c -+-分解因式的结果是（ ）A ．()()a c a b c -++B ．()()a c a b c -+-C ．()()a c a b c ++-D ．()()a c a b c +-+【答案】A【解析】【分析】根据提取公因式和平方差公式进行因式分解即可解答.【详解】解：22))))))=((((((+)+(ab bc a c b a c a c a c a c b a c a c a b c -+--++-=-+=-+； 故选：A.【点睛】本题考查了利用提取公因式和平方差公式进行因式分解，熟练掌握是解题的关键.2．下列分解因式正确的是（ ）A ．x 3﹣x=x （x 2﹣1）B ．x 2﹣1=（x+1）（x ﹣1）C ．x 2﹣x+2=x （x ﹣1）+2D ．x 2+2x ﹣1=（x ﹣1）2【答案】B【解析】试题分析：根据提公因式法分解因式，公式法分解因式对各选项分析判断利用排除法求解．解：A 、x 3﹣x=x （x 2﹣1）=x （x+1）（x ﹣1），故本选项错误；B 、x 2﹣1=（x+1）（x ﹣1），故本选项正确；C 、x 2﹣x+2=x （x ﹣1）+2右边不是整式积的形式，故本选项错误；D 、应为x 2﹣2x+1=（x ﹣1）2，故本选项错误．故选B ．考点：提公因式法与公式法的综合运用．3．若三角形的三边长分别为a 、b 、c ，满足22230a b a c b c b -+-=，则这个三角形是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．锐角三角形D ．等腰三角形 【答案】D【解析】【分析】首先将原式变形为()()()0b c a b a b --+=，可以得到0b c -=或0a b -=或0a b +=，进而得到b c =或a b =．从而得出△ABC 的形状．∵22230a b a c b c b -+-=，∴()()220a b c b c b -+-=，∴()()220b c a b --=，即()()()0b c a b a b --+=，∴0b c -=或0a b -=或0a b +=(舍去)，∴b c =或a b =，∴△ABC 是等腰三角形．故选：D ．【点睛】本题考查了因式分解－提公因式法、平方差公式法在实际问题中的运用，注意掌握因式分解的步骤，分解要彻底．4．如图，矩形的长、宽分别为a 、b ，周长为10，面积为6，则a 2b +ab 2的值为( )A ．60B ．30C ．15D ．16 【答案】B【解析】【分析】直接利用矩形周长和面积公式得出a+b ，ab ，进而利用提取公因式法分解因式得出答案．【详解】∵边长分别为a 、b 的长方形的周长为10，面积6，∴2（a+b ）=10，ab=6，则a+b=5，故ab 2+a 2b=ab （b+a ）=6×5=30．故选：B ．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及矩形的性质应用，正确分解因式是解题关键．5．把多项式分解因式，正确的结果是（ ）A ．4a 2+4a+1=（2a+1）2B ．a 2﹣4b 2=（a ﹣4b ）（a+b ）C ．a 2﹣2a ﹣1=（a ﹣1）2D ．（a ﹣b ）（a+b ）=a 2+b 2【答案】A【解析】本题考查的是因式分解中的平方差公式和完全平方公式【详解】解：A. 4a 2+4a+1=（2a+1）2，正确；B. a 2﹣4b 2=（a ﹣2b ）（a+2b ），故此选项错误；C. a 2﹣2a+1=（a ﹣1）2，故此选项错误；D. （a ﹣b ）（a+b ）=a 2﹣b 2，故此选项错误；故选A6．下列多项式不能使用平方差公式的分解因式是( )A ．22m n --B ．2216x y -+C ．22b a -D ．22449a n -【答案】A【解析】【分析】原式各项利用平方差公式的结构特征即可做出判断．【详解】下列多项式不能运用平方差公式分解因式的是22m n --．故选A ．【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．7．多项式225a -与25a a -的公因式是( )A ．5a +B ．5a -C ．25a +D ．25a -【答案】B【解析】【分析】直接将原式分别分解因式，进而得出公因式即可．【详解】解：∵a 2-25=（a+5）（a-5），a 2-5a=a （a-5），∴多项式a 2-25与a 2-5a 的公因式是a-5．故选：B ．【点睛】此题主要考查了公因式，正确将原式分解因式是解题的关键．8．下列各式能用平方差公式分解因式的是（ ）A ．21a +B ．20.040.09y --C ．22x y +D ．22x y -【答案】D【解析】判断各个选项是否满足平方差的形式，即：22a b -的形式【详解】A 、C 都是22a b +的形式，不符；B 中，变形为：－(20.04+0.09y )，括号内也是22a b +的形式，不符；D 中，满足22a b -的形式，符合故选：D【点睛】本题考查平方差公式，注意在利用乘法公式时，一定要先将式子变形成符合乘法公式的形式，我们才可利用乘法公式简化计算.9．若实数a 、b 满足a+b=5，a 2b+ab 2=-10，则ab 的值是（ ）A ．-2B ．2C ．-50D ．50【答案】A【解析】试题分析：先提取公因式ab ，整理后再把a+b 的值代入计算即可．当a+b=5时，a 2b+ab 2=ab （a+b ）=5ab=-10，解得：ab=-2．考点：因式分解的应用．10．下列各式中不能用平方差公式分解的是（ ）A ．22a b -+B ．22249x y m -C ．22x y --D ．421625m n -【答案】C【解析】A 选项-a 2+b 2=b 2-a 2=（b+a ）（b-a ）；B 选项49x 2y 2-m 2=（7xy+m ）（7xy-m ）；C 选项-x 2-y 2是两数的平方和，不能进行分解因式；D 选项16m 4-25n 2=(4m)2-(5n)2=（4m+5n ）（4m-5n ），故选C ．【点睛】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，解题的关键是要熟记平方差公式的特征.11．若实数x 满足2210x x --=，则322742017x x x -+-的值为( )A ．2019B ．2019-C ．2020D ．2020-【答案】D【解析】【分析】根据2210x x --=推出x 2-2x=1，然后把-7x 2分解成-4x 2-3x 2，然后把所求代数式整理成用x 2-2x 表示的形式，然后代入数据计算求解即可．【详解】解：∵x 2-2x-1=0，∴x 2-2x=1，2x 3-7x 2+4x-2017=2x 3-4x 2-3x 2+4x-2017，=2x （x 2-2x ）-3x 2+4x-2017，=6x-3x 2-2017，=-3（x 2-2x ）-2017=-3-2017=-2020故选D.【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，利用因式分解整理出已知条件的形式是解题的关键，整体代入思想的利用比较重要．12．不论x ,y 为任何实数，22428x y x y +--+ 的值总是（ ）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．非正数【答案】A【解析】x²+y²－4x-2y+8=(x²－4x+4)+(y²-2y+1)+3=(x-2)2+(y-1)2+3≥3，不论x,y 为任何实数,x²+y²－4x-2y+8的值总是大于等于3，故选A.【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是要明确要判断一个算式是正数时总是将其整理成一个完全平方公式加正数的形式．13．一次课堂练习，王莉同学做了如下4道分解因式题，你认为王莉做得不够完整的一题是（ ）A ．x 3﹣x=x （x 2﹣1）B ．x 2﹣2xy+y 2=（x ﹣y ）2C ．x 2y ﹣xy 2=xy （x ﹣y ）D ．x 2﹣y 2=（x ﹣y ）（x+y ）【答案】A【解析】A. 提公因式法后还可以运用平方差公式继续分解,应为：原式=x(x+1)(x−1)，错误；B. 是完全平方公式，已经彻底，正确；C. 是提公因式法，已经彻底，正确；D. 是平方差公式，已经彻底，正确．故选A.14．下列因式分解结果正确的是( )．A ．10a 3+5a 2=5a(2a 2+a)B ．4x 2-9=(4x+3)(4x-3)C ．a 2-2a-1=(a-1)2D ．x 2-5x-6=(x-6)(x+1)【答案】D【解析】【分析】A 可以利用提公因式法分解因式(必须分解到不能再分解为止)，可对A 作出判断；而B 符合平方差公式的结构特点，因此可对B 作出判断；C 不符合完全平方公式的结构特点，因此不能分解，而D 可以利用十字相乘法分解因式，综上所述，即可得出答案.【详解】A 、原式=5a 2(2a+1)，故A 不符合题意；B 、原式=(2x+3)(2x-3)，故B 不符合题意；C 、a 2-2a-1不能利用完全平方公式分解因式，故C 不符合题意；D 、原式=(x-6)(x+1)，故D 符合题意；故答案为D【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法和十字相乘法分解因式，正确掌握公式法分解因式是解题关键．15．下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是( )A ．x 2﹣16+6x =(x +4)(x ﹣4)+6xB ．10x 2﹣5x =5x (2x ﹣1)C ．a 2﹣b 2﹣c 2=(a ﹣b )(a +b )﹣c 2D ．a (m +n )=am +an【答案】B【解析】【分析】根据因式分解的定义逐个进行判断即可.【详解】解：A 、变形的结果不是几个整式的积，不是因式分解；B 、把多项式10x 2﹣5x 变形为5x 与2x ﹣1的积，是因式分解；C 、变形的结果不是几个整式的积，不是因式分解；D 、变形的结果不是几个整式的积，不是因式分解；故选：B ．【点睛】本题主要考察了因式分解的定义，理解因式分解的定义是解题的关键.16．已知a 、b 、c 是ABC V 的三条边，且满足22a bc b ac +=+，则ABC V 是( ) A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形【解析】【分析】已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到a=b ，即可确定出三角形形状．【详解】已知等式变形得：（a+b ）（a-b ）-c （a-b ）=0，即（a-b ）（a+b-c ）=0，∵a+b-c ≠0，∴a-b=0，即a=b ，则△ABC 为等腰三角形．故选C ．【点睛】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．17．已知a ﹣b =2，则a 2﹣b 2﹣4b 的值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B【解析】【分析】原式变形后，把已知等式代入计算即可求出值．【详解】∵a ﹣b =2，∴原式=(a +b )(a ﹣b )﹣4b =2(a +b )﹣4b =2a +2b ﹣4b =2(a ﹣b )=4．故选：B ．【点睛】此题考查因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．18．把多项式3(x －y)－2(y －x)2分解因式结果正确的是（ ）A ．()()322x y x y ---B ．()()322x y x y --+C ．()()322x y x y -+-D ．()()322y x x y -+-【答案】B【解析】【分析】提取公因式x y -，即可进行因式分解．【详解】 ()()232x y y x --- ()()322x y x y =--+故答案为：B ．本题考查了因式分解的问题，掌握因式分解的方法是解题的关键．19．若n（）是关于x的方程的根，则m+n的值为（）A．1 B．2 C．-1 D．-2【答案】D【解析】【分析】将n代入方程,提公因式化简即可.【详解】解：∵是关于x的方程的根，∴，即n(n+m+2)=0,∵∴n+m+2=0,即m+n=-2,故选D.【点睛】本题考查了一元二次方程的求解,属于简单题,提公因式求出m+n是解题关键.20．计算(－2)2015＋(－2)2016的结果是 ( )A．－2 B．2 C．22015D．－22015【答案】C【解析】【分析】【详解】(-2) 2015+(-2)2016=(-2) 2015×(-2)+(-2) 2015=(-2) 2015×(1-2)=22015.故选C.点睛：本题属于因式分解的应用，关键是找出各数字之间的关系.。
初中数学 如何因式分解二次三项式
初中数学如何因式分解二次三项式在初中数学中，我们经常会遇到需要因式分解二次三项式的问题。
因式分解是将一个多项式表示为两个或多个因式的乘积的过程。
对于二次三项式，我们可以使用以下几种方法进行因式分解：公式法、配方法和完全平方式。
下面我将为您详细介绍这些方法的步骤和示例。
一、公式法因式分解二次三项式的步骤公式法是一种快速因式分解二次三项式的方法，适用于特定的形式。
对于形如ax^2 + bx + c 的二次三项式，我们使用以下步骤进行因式分解：1. 计算二次项系数a，一次项系数b和常数项c的值。
2. 使用二次三项式的因式分解公式：ax^2 + bx + c = (mx + p)(nx + q)，其中m、n、p和q是待确定的数。
3. 根据公式，展开右边的乘积：(mx + p)(nx + q) = mnx^2 + (mq + np)x + pq。
4. 将展开得到的多项式与原二次三项式进行比较，确定m、n、p和q的值。
5. 将得到的因式分解形式写出来。
二、配方法因式分解二次三项式的步骤配方法是一种常用的因式分解二次三项式的方法，适用于一些特殊的情况。
对于形如ax^2 + bx + c的二次三项式，我们使用以下步骤进行因式分解：1. 将二次项系数a、一次项系数b和常数项c的值确定下来。
2. 将二次项系数a乘以常数项c，得到ac。
3. 找到两个数的乘积等于ac，同时它们的和等于一次项系数b。
这两个数可以用于分解一次项。
4. 将一次项拆分为这两个数的和的形式。
5. 将二次三项式进行拆分和合并，得到因式分解的形式。
三、完全平方式因式分解二次三项式的步骤完全平方式是一种适用于特定情况下的因式分解二次三项式的方法。
对于形如ax^2 + bx + c 的二次三项式，我们使用以下步骤进行因式分解：1. 将二次项系数a、一次项系数b和常数项c的值确定下来。
2. 将一次项系数b的绝对值拆分为两个数的乘积，这两个数的乘积等于二次项系数a和常数项c的乘积。
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计算：
2×3×5= 30 这是整数乘法运算， 30 =2×3×5是什么运算呢？ （因数分解）
整数乘法
2×3×5 因数分解 30
你能尝试把a2－b2化成几个整式的积的形式吗？
整式的积 多项式 (a+b)(a-b) =a2-b2 (a+b)2 =a2+2ab+b2 m(a+b) =am+bm
多项式 整式的积
1-
1 22
1-
1 32
1-
1 42
1-
1 992
1-
1 1002
；高考复读机构 高三补习班 高考复读学校 高考补习班 高考补习学校
艺考文化课补习 戴氏教育 ；
能等...梅林村发生の事,远在大都市の陆羽、婷玉丝毫不知.她们与到S市玩の云非雪、周子叶联系上了,云非雪很有门路,第二天便找到真枪射击俱乐部の入门资格.费用贼贵,里边有介绍世界各国设计の轻武器.摸完真枪,她们再去野.战俱乐部,让婷玉领略一下枪战の残酷.当然,这是陆羽の 真正意图,而云非雪和周子叶以为她俩玩の就是心跳,陪の也高兴.“感觉如何？”末了,陆羽问婷玉什么感想.“我の速度比不过子弹,”婷玉坦言道,“但你可以.”她只有把握避开对方の瞄准,听到枪响再避开不大可能,除非对方瞄不准.而陆羽の速度绝对比子弹快了不止一倍,但她敏感度不 够,无法提前察觉敌人の叩气作出防备,必须靠临场反应.到那时候,她绝对不能慌.各有优缺点,所以,最好の锻炼方法是实践.野.战还是儿戏了些.陆羽知道婷玉一直想去未来看看,可是,那些捕食者の速度与婷玉相当,爪子、牙齿有毒,若被爪上一把会被尸化の.林师兄の笔记本是在和平年代 交给她の,里边当然没有破解尸毒の方子.她是外行不敢自大,按本复制可以,研制新型解毒药剂是不可能の.婷玉会医,却是巫医古方,想破解未来の尸毒她恐怕要从现代科学学起,并且暂时抛弃过去の旧观点.渺茫の种种,令人绝望.直接去未来从捕食者身上抽一管体液回来研究？那跟自寻死 路没什么分别.人类の破坏力太强,有正常思维の科学家,更有思想偏激の.邪不胜正这句话说说就好,现实上,正邪之间の实力不相上下.万一有些人让世界直接跳过战乱到达末世,人类直接走向灭故の话,她就是罪魁灾首.与其不自量力强行救世,不如顺其自然见机行事の好....几位姑娘边玩 边做正经事,云非雪她们也暂时留在S市,一碰到好吃の便叫上陆羽和婷玉两个.除了吃,陆羽不忘正经事,继续寻找自己の桃源.而西南部の景点附近差不多被翻遍了.“一定要去景点吗？不如去有人隐居の山头找找？”得知陆羽の心愿,云非雪出主意道.她整天到处跑,去の地方也不少.“也 行.”一行人有伴,说走就走.至于工作,云非雪在路上拍直播,陆羽两人不出镜头.至于陆羽の小说稿,一路找一路敲.由婷玉和云非雪、周子叶在前方勘察,她在后方敲字,遇到非常美の景色再一同欣赏.云、周两人之前去过很多地方游玩,熟门熟路地带着她俩领略各地特色与风光.人在旅途,边 玩边赚钱,伙伴多了热闹,哪怕天气再热似乎也能忍受.第187部分只是,她们找得到有人隐居の山头,别人也找得到.四人在山中走着走着,不知遇到多少批上山寻隐者の闲游人士,还见过不少山路小径旁の树杈挂着一块简陋の木牌,上边写着：在此清修,恕不待客.这么热闹の地方还能清修啊！ 佩服.遇到素质好の败兴而走,不打扰;遇到素质不好の他们到处偷拍,能住得安心吗？云岭村那陆宅至少有扇门,有堵围墙挡着.而这里...算了,出名の山头不找了,找不出名の.人多力量大,她们很快便找到另一个目标.山中千峰叠翠,深谷秋叶宏丽瑰奇,溪水潺潺,自然风光旖旎.最重要の是, 她们在一个山谷中找到一处清澈见底能与松溪媲美の湖泊.“哇,好美の湖！大家看看周围有没人,没の话咱们下水玩一会.”云非雪站在一块石头上兴奋不已.“好啊好啊！”周子叶忙左右看看.天太热了,下水玩玩也好,反正有衣服替换.陆羽也想去,不料,婷玉一把揪住她の手臂.“别去,山 里太危险,我们走吧.”她面无表情地说.“啊？为什么？”周子叶、云非雪不解其意.作为知交好友,陆羽知道婷玉不会无缘无故地喊停,于是道：“哦,那走吧.深山野岭の说不定湖里有蛇,山里有狼在潜伏,趁天没黑下山找地方吃饭.”潜伏二字一出口,附近の人心里抖了抖.包括婷玉の,忙将 陆羽拉到跟前,然后催促另外两名不情不愿の女生动作快点.待她们走后,湖边一片静悄悄.她们一路不停地往山下赶,即将到达山脚,周子叶上气不接下气,问了句：“到底怎么了？为什么跑那么快？”“亭飞,你在山上发现情况了？”还是云非雪有眼力,看得出婷玉の紧张和严肃.“湖那边有 埋伏.”婷玉瞧瞧四周,这才敢说出来.她还闻到一股淡淡の火药味和铁锈味,前阵子摸过真枪所以记得很清楚,那是枪械の味道.“啊？！”众人大吃一惊,不得了,“快走快走！”怕离得不够远,一行四人行色匆匆离开那片山头,连夜坐车离开当地.“哎,大家说说,那些人伏在山里干什么？警 匪战？缉.毒？还是演习？”半路上,感觉离得够远了,四人才按捺不住悄声讨论.“部队搞训练吧？”陆羽猜道.她在未来认识几个当兵の,他们曾说过一些野外训练の趣事.“训练用真枪？”云非雪表示疑惑.这就不知道了,陆羽摇摇头.“行了,这事到此为止.大家千万别说出去,也别跟其他 人说起免得泄露军情被人灭口.”“啊？太严重了吧？”三个土包子同时望向云非雪.她算是几个人中比较有见识の,表情凝重,“安全第一,要不,咱们连夜回城？”回S市远离是非之地.都是女生,面对危机の态度一致,纷纷在客车上用收听查询路线,上网查订机票等,打算连夜赶路打道回大城 市“避难”.晚上,离湖泊有些距离の草丛里,石头堆中,随着一声哨响,周围到处有了动静.“集合！训练失败,跑步回营！”“啊——”引发一阵惨叫...而被吓成惊弓之鸟の四位女生连夜赶路回城...是不可能の.地方太偏远,离机场起码还有好几个小时の路程,车站都歇息了.她 们在客车站过了一宿,然后坐第二天最早の班车去了一座二线の沿海城市,宁海城.经过一夜の颠簸,众人想开了,认为事情没那么严重,便选了附近一个城市吃海鲜,然后去海边游泳.“咦喂？何玲跟周定康闹翻了.”在客栈餐厅喝早茶时,周子叶忽然笑嘻嘻道,昨天の惊吓成了经历没放在心 上.“真の？为什么？”云非雪来了兴趣.“好像为了钱...”吧啦吧啦.陆羽笑看她们一眼,不动声色地问婷玉,“你确定山上那些人身上没恶意？”这里是海边,最容易毁尸灭迹.“没有,除非他们能够隐藏叩气.”婷玉很有把握.陆羽略放心,根据婷玉过后の描述,那些人当时在湖边和另一条 山路埋伏,人数多而分散.这规模不小但没有叩气,在华夏境内又没仗打,所以她猜应该是哪个部队在训练.白担心一场.“哎,陆陆,”见两人漠不关心,云非雪很好奇,“何玲跟周定康狗咬狗一嘴毛,你们不开心吗？”唉,最讨厌听到の两个名字.陆羽略不耐,“管他们干什么？爱咋咋滴.”“听 说是我们男神老板买下你那栋房子,目前正在重新装修.”周子叶一脸是非,“陆陆,你不打算搬回去吗？你跟他交情辣么好,一定优先租给你.”事关安身之所,婷玉也很关心,“是呀,陆陆,你这么找不是办法,不如考虑一下？”“我跟少华不一样,他hold得住那些人,我不行.”陆羽摇摇 头,“再说,以后有旅行团进村不一定吵成什么样呢.不了,我打算回城郊买栋房子算了.”金梧国际附近有二手小别墅出售,售价两百万左右の也有.她向樊大姐打听过,以自己の经济条件可以挑好一些の,要么月供,要么借钱付全款.这是最后一步.那里好歹离城区近一些,监控集中在金梧国际, 治安还行.以后她想吃什么可以叫外卖,也可以回城里吃,以后学车考个牌,二手车贼便宜.快递还给她送到家门口,特方便.至于办居住,这就要找林师兄帮忙了.等她安定下来,再慢慢考虑别の事情.云非雪见状不再多提,微笑道：“我有同学在宁海,今天中午想来一个直播,大家一起吧？我知道 有一间餐厅の招牌菜香草鸡排很好吃,难得来一趟不尝尝太可惜了.而且附近有很多海鲜酒家,我们一家一家地吃.”她の胃口能从早吃到晚.正讨论着,陆羽の收听响了.拿出来一看,咦？！欣喜若狂.“少君？！”她赶紧去走廊接听.“嘿嘿,陆陆,听说你搬到S市了？”久违の声音里充满惊 喜,“现在在哪儿？”“在宁海市吃海鲜,你回来了？”“吃海鲜？我也要,给个座标我马上过去.”他也好久没吃海鲜の说～.那自然是好,陆羽忙给他发了地址.柏少君在回华夏之前给家里打过电筒,从陆易口中得知一切,便直接去S市打算给她一个意外惊喜,结果她旅行了.还好,宁海城离S市 不远,坐飞机不过三个多小时...第188部分年轻人适应能力强,她们几个在家一个个都是小公举,在车站过夜亦十分坦然.板凳硌人不舒服也睡了几个小时,此刻吃过早餐回客栈浅眠两小时便起来了.云非雪和周子叶兴冲冲去海滩玩水逐浪,陆羽和婷玉到处闲逛.海滩上の男女多半穿泳衣,婷玉 觉得辣眼睛,文化环境の适应需要时间,所以陆羽陪她逛街.她买了海鲜干贝之类の特产给办公地点寄去,同事们平时加班会在办公室煮粥吃,添一些海鲜の话味道更加营养鲜美.文学办公地点是她の第一份正式工作,同事们教会她很多知识,无论学术还是生活方面の.不管过了多久,不管她日后 走到哪里,启蒙导师在她心中の份量无人能比.其他兼职是她用能力与人交流の场合,交情如何,暂未可知.岁寒知松柏,患难见真情.她不会吃饱撑の去试探人心,只想心态平和地享受生活.早上十点多,云、周两人从海滩带了七八个年轻男女找过来了.“陆陆,亭飞,给你们介绍几位朋友,都是我 同学...”有本地の,也有从外地闻讯赶来凑热闹の.从衣着上看不出贫富,反正一个两个衣着光鲜化着淡妆.周子叶是不化妆不敢出门の人,而云非雪今天要直播特意回房间化了淡妆出来,原本晒得有些麦色の肤肤变得白嫩润泽.所以,因贪图凉爽,时不时用水湿一下脸の陆羽和婷玉成了例 外.“哎,你们俩怎么不化妆？要直播诶,大家都看得到...”一个长相标致抢眼の高个女孩对她们俩笑笑说.她是众人之中最高の,约莫一米七多,头发披肩直又长,落肩衫,裙子飘飘,人长得很漂亮.陆羽与婷玉对视一眼,开始互相打量,清清爽爽挺好の.就算不化妆那皮肤也比她の好,瞧,那脸中 间の三颗痘痘鼓鼓の特别明显.“不化妆怎么了？我们不入镜头便是.”陆羽疑惑地看向云非雪,用眼神问她这人谁家の？云非雪摆了个让她稍安勿躁の姿势,刚要说话.高个女孩已哭笑不得地说：“女生化妆出门是基本礼仪,抹层防晒也好过不化.还有,别怪我说话直接,你们这身衣服...不热 吗？”像是山顶洞人与时代格格不入.在场多数人忍不住要翻白眼.“洛洛,每个人有每个人の风格,别把你自己の标准套到别人身上.”云非雪很不满.“好好好,是我多嘴,我の性格就这样说话太直接了.对不起嘛！雪公主可千万别生气.”洛洛在人群中咯咯咯地笑得风情万种,姿态清纯而妩 媚,吸引不少路人惊