第二节 应变分析2015讲解
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2.应变分析
(3-22)
设在变形过程的某个瞬时，物体内个点的速度分量为Vi， 随后在无限小的一个时间间隔dt内，各点的位移增量为 dui=Vidt，则相应的应变增量如式（3-22） 22
Strain analyses 与应力张量相似，应变张量也可以分为两部分： (1) 与体积变化成正比的球应变张量， (2) 表示物体形状变化的偏应变张量。
u x x u y x u z x u x y u y y u z y u x z u y z u z z
u x x 1 u y u x ) ( 2 x y 1 u u x z ( ) 2 z x 0 1 u y u x ( ) 2 x y 1 u u x z ( ) 2 z x 1 u x u y ( ) 2 y x u y y 1 u y u z ( ) 2 z y 1 u x u y ( ) 2 y x 0 1 u y u z ( ) 2 z y 1 u x u z ( ) 2 z x 1 u y u z ( ) 2 z y u z z 1 u x u z ( ) 2 z x 1 u y u z ( ) 2 z y 0
y
u x y
1 u x u y 2 y x
1 u
u
u y x
x
10
Strain analyses
剪切应变的应变张量用工程剪切应变的一半表示：
1 u y u x 2 x y 1 u y u z 2 z y
方程式(3-17) 求得的三个解就是主应。得到应变张量的 三个不变量如下：
第2章 应变分析(修改)
（2－6）
zx
若A点在z 轴方向的位移为
2016/4/5周书敬
w f 2 ( x, y, z) ，
9
第二章 应变分析
z
C
A
C
w
B
B
B
w w dx x
o
A
u
u
u dx x
x
图：位移矢量在xoz平面上的投影
返回
2016/4/5周书敬
10
第二章 应变分析
PB的正应变为：
P B PB (r u )d rd u PB rd r
径向线段PA的转角为： 环向线段PB的转角为：
0
p
B
p
B u (u d ) u BB PP 1 u ＝tg PB rd r
下面给出式（2－10）的推导过程。
2016/4/5周书敬
（2－10）
15
第二章 应变分析
首先假定只有径向位移而没有环向位移：
如图（ 2 － 6 ）所示，在 P 点沿径向和环向取两个微段 PA和PB，设PA移到了
o
d
rp p
B
x
A
A
PA，
y
B
位移为u；PB移到了 PB ，则
显然，如果变形的分布是均匀的，则有: （2－2）
即：材料力学的拉伸应变。 下面我们讨论一般情况，给出应变的概念。设在直角坐标 系中，变形前 A 点的坐标是（ x ， y ， z ），变形后的坐标是
（ x+u ， y+v ， z+w ），这里 u ， v ， w 是 A 点的位移在 x ， y ， z 三
zx
若A点在z 轴方向的位移为
2016/4/5周书敬
w f 2 ( x, y, z) ，
9
第二章 应变分析
z
C
A
C
w
B
B
B
w w dx x
o
A
u
u
u dx x
x
图：位移矢量在xoz平面上的投影
返回
2016/4/5周书敬
10
第二章 应变分析
PB的正应变为：
P B PB (r u )d rd u PB rd r
径向线段PA的转角为： 环向线段PB的转角为：
0
p
B
p
B u (u d ) u BB PP 1 u ＝tg PB rd r
下面给出式（2－10）的推导过程。
2016/4/5周书敬
（2－10）
15
第二章 应变分析
首先假定只有径向位移而没有环向位移：
如图（ 2 － 6 ）所示，在 P 点沿径向和环向取两个微段 PA和PB，设PA移到了
o
d
rp p
B
x
A
A
PA，
y
B
位移为u；PB移到了 PB ，则
显然，如果变形的分布是均匀的，则有: （2－2）
即：材料力学的拉伸应变。 下面我们讨论一般情况，给出应变的概念。设在直角坐标 系中，变形前 A 点的坐标是（ x ， y ， z ），变形后的坐标是
（ x+u ， y+v ， z+w ），这里 u ， v ， w 是 A 点的位移在 x ， y ， z 三
《应变状态分析》课件
问题讨论
引导听众讨论应变状态分析中的问题，并共同寻求 解决方案。
感谢
结束语，表示对听众的感谢和对他们的关注。
《应变状态分析》PPT课 件
# 应变状态分析 ## 概述 本PPT课件将介绍应变状态分析的基本概念、方法和应用。
应变状态的定义和分类
定义
详细解释什么是应变状态以及它在工程中的意 义。
分类
介绍不同类型的应变状态，如线性和非线性应 变状态。
应变状态的测量和计算
应变测量的方法
讨论常用的应变测量技术，包 括应变片和光栅测量。
介绍主要应变状态分析的方法，如应变路径分析和主应变模态分析。
2
案例分析
通过实际案例，展示不同分析方法在工程中的应用。
3
案例分析
通过实际案例，展示不同分析方法在工程中的应用。
应变状态分析在工程中的应用
工程物理测试
说明应变状态分析在工程物理测 试中的重要性和应用。
结构强度分析
介绍应变状态分析在结构强度分 析中的应用和优势。
应变计算的方法
介绍如何使用测量数据计算应 变，包括点应变和区域应变的 计算。
示例分析
通过实际案例分析，演示应变 测量和计算的步骤。
应变状态的影响因素
1 应变状态的影响因素
探讨应变状态受到哪些因素的影响，如温度、力量等。
2 举例说明
通过具体案例，展示不同因素对应变状态的影响。
Байду номын сангаас
应变状态的分析方法
1
应变状态的分析方法介绍
技术开发中的应用
探讨应变状态分析在技术开发和 创新中的作用。
结论
结果分析
分析应变状态分析的结果及其对工程的影响。
工程力学中的应变分析与变形
工程力学中的应变分析与变形工程力学是研究物体在受力作用下的运动和变形规律的一门学科。
在工程力学中，应变分析与变形是一个十分重要的内容，它研究的是物体受力后产生的应变以及由此引起的变形现象。
本文将介绍工程力学中的应变分析方法和变形规律。
一、应变分析应变是描述物体变形程度的物理量，通常采用应变张量进行描述。
应变张量是一个二阶张量，表示物体各点上的应变状态，并由六个独立的应变分量组成。
在工程力学中，常用的应变分析方法包括线性应变分析和非线性应变分析。
1.1 线性应变分析线性应变分析是指在小应变范围内，物体的应变与受力之间存在线性关系的分析方法。
线性应变分析假设物体在受力作用下，材料的应变与受力成正比，比例系数为弹性模量。
通过测量物体在不同受力状态下的应变，可以计算出其弹性模量。
1.2 非线性应变分析非线性应变分析是指在大应变范围内，物体的应变与受力之间存在非线性关系的分析方法。
在非线性应变分析中，考虑了物体材料的非线性本性，可以更准确地描述物体的变形行为。
在实际工程中，非线性应变分析常用于研究高应变下的变形规律。
二、变形规律变形是指物体由原来的形状、尺寸和位置发生改变的现象。
在工程力学中，变形规律可以通过应变分析和应力分析得到。
通过研究物体的受力和应变状态，可以计算出物体的变形量和变形形态。
2.1 变形量变形量是指物体由于受力作用而发生的形态和尺寸的改变。
根据应变分析的结果，可以计算出物体各点上的位移和旋转量，从而得到物体的变形量。
常用的计算方法包括位移法、变形图法等。
2.2 变形形态变形形态是指物体经过受力作用后的形态和尺寸的变化规律。
通过应变分析的结果，可以绘制出物体的变形形态图，以直观地展示物体的变形规律。
变形形态图对于工程设计和结构分析具有重要的参考价值。
三、应变分析与变形规律的应用应变分析与变形规律在工程力学中具有广泛的应用。
在结构设计和工程施工中，应变分析可以用于评估物体受力后的变形情况，从而确定结构的稳定性和安全性。
应变分析
形后保持连续，否则就会出现“撕裂”或“重叠”。 （２）如果已知一点的位移分量，利用几何方程球得的应变分量εij自
然满足连续方程。如果先用其他方法求得应变分量，则只有当他们满足应变 连续方程，才能用几何方程求得正确的位移分量。
设 x a x2 y2 ; y axy; xy 2bxy; a，b常数，
应变分析
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 量 第六节 第七节
位移与应变 质点的应变状态和应变张量 小应变几何方程、应变连续方程 塑性变形体积不变条件 速度分量和速度场、位移增量和应变增
对数应变 平面应变问题和轴对称问题
1位移与应变
1）位移与其分量
变形体内质点M（x，y，z）变形后移动到M1，我们把它们在 变形前后的直线距离称为位移，如图 a中的MM1，位移是矢量。
全量速度分量
u u t
v v t
w w t
ui
ui t
位移速度既是坐标的连续函数，又是时间的函数，故
ui ui x, y, z,t
上式表示变形体内运动质点的速度场。若已知变形体内各 点的速度分量，则物体中的速度场可以确定。
物体在变形过程中，在某一极短的瞬时dt，质点产生的位移改变
rz dz1 z
因此变形后的单元体体积为
单元体体积的变化（单位体积变化率）
在塑性成形时，由于物体内部质点连续且致密，可以认为体积 不发生变化，因此
上式称为体积不变条件。它表明，塑性变形时三个正应变之和 等于零，说明三个正应变分量不可能全部同号。 体积不变条件用于塑性成形过程的坯料或工件半成品的形状和 尺寸计算。
ij
y
y z
然满足连续方程。如果先用其他方法求得应变分量，则只有当他们满足应变 连续方程，才能用几何方程求得正确的位移分量。
设 x a x2 y2 ; y axy; xy 2bxy; a，b常数，
应变分析
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 量 第六节 第七节
位移与应变 质点的应变状态和应变张量 小应变几何方程、应变连续方程 塑性变形体积不变条件 速度分量和速度场、位移增量和应变增
对数应变 平面应变问题和轴对称问题
1位移与应变
1）位移与其分量
变形体内质点M（x，y，z）变形后移动到M1，我们把它们在 变形前后的直线距离称为位移，如图 a中的MM1，位移是矢量。
全量速度分量
u u t
v v t
w w t
ui
ui t
位移速度既是坐标的连续函数，又是时间的函数，故
ui ui x, y, z,t
上式表示变形体内运动质点的速度场。若已知变形体内各 点的速度分量，则物体中的速度场可以确定。
物体在变形过程中，在某一极短的瞬时dt，质点产生的位移改变
rz dz1 z
因此变形后的单元体体积为
单元体体积的变化（单位体积变化率）
在塑性成形时，由于物体内部质点连续且致密，可以认为体积 不发生变化，因此
上式称为体积不变条件。它表明，塑性变形时三个正应变之和 等于零，说明三个正应变分量不可能全部同号。 体积不变条件用于塑性成形过程的坯料或工件半成品的形状和 尺寸计算。
ij
y
y z
应变分析PPT课件
yz
x
zx
y
2
y
zx
z
yz
x
zx
y
xy
z
2 z
xy
x
zx
y
xy
z
yz
x
2 x
yz
应 变
不同坐标平面内，应变分量之间应满足的关系：
分 在三维空间内三个切线应变分量一经确定，则线应变分量随之被确定。
析
材料科学与工程学院
塑
性
成
形
力
如果已知一点的位移分量，利用几何方程求得的应变分量
l0
l1
l2
ln1
应用微分的概念 ln dl ln ln
l l0
lo
应
变
——自然应变（对数应变），反映了物体变形的实际情况，也
分
称真实应变。
析
材料科学与工程学院
塑 性
对数应变的优点：
成 形
1、表示变形的真实情况
力
学
将真实应变用相对应变表示，并按泰勒级数展开：
ln ln ln(1 ) 2 3 4
塑
性 §3.4 成 形 力 学
材料科学与工程学院
小应变几何方程(位移场和应变场之间的关系)
应 变 分 析
材料科学与工程学院
塑
性 §3.4 小应变几何方程(位移场和应变场之间的关系)
成
形 力
单元体在xoy坐标平面上的投影：变形前abcd,变形后为 a1b1c1d1
学 设ac=dx, ac∥ox轴，则 ab=dy, ab∥oy轴
力
位移速度：质点在单位时间内的位移。
学
位速度分量：位移速度在三个坐标轴上的投影称为位移速度分量，
02应变分析(弹塑性力学讲义)
2 2 d x d y 2 + d y d z 2 + d z d x 2 + 3 d xy + d 2 + d zx yz 2
六、对数应变
当应变较大时，考虑一截面积为A0、长为l0 的杆，受力后 长为l ，截面积为A，当杆伸长dl 时，应变增量为：
v xy + x w yz + y u zx + z
平面问题的几何方程：
柱坐标下的几何方程： u r r 1 v u + r r w z z
x y xy
u x v y v u + x y
yz
yz
2 z x 2
2 zx 2 x + 2 zx z
xy
yz
v u + x y
w v + y z
u w + z x
xy z
yz
2v 2u + xz yz
zx
2v 2w + x zx yx zx 2w 2u + y xy zy
由体积不可压缩得：
A0l0 Al
A0 l * ln ln l0 A
l0 A A0 l
1 * ln ln(1 ) 1
1 e *
§2-4 应变协调方程（相容方程）
A
C
B
D
变形前是连续的，变形后仍然是连续的。不允许出 现裂纹或发生重叠现象。 为保证变形前后物体的连续性，应变之间必然存在 某种关系，描述这种关系的数学表达式就是应变协 调方程。
0.5
六、对数应变
当应变较大时，考虑一截面积为A0、长为l0 的杆，受力后 长为l ，截面积为A，当杆伸长dl 时，应变增量为：
v xy + x w yz + y u zx + z
平面问题的几何方程：
柱坐标下的几何方程： u r r 1 v u + r r w z z
x y xy
u x v y v u + x y
yz
yz
2 z x 2
2 zx 2 x + 2 zx z
xy
yz
v u + x y
w v + y z
u w + z x
xy z
yz
2v 2u + xz yz
zx
2v 2w + x zx yx zx 2w 2u + y xy zy
由体积不可压缩得：
A0l0 Al
A0 l * ln ln l0 A
l0 A A0 l
1 * ln ln(1 ) 1
1 e *
§2-4 应变协调方程（相容方程）
A
C
B
D
变形前是连续的，变形后仍然是连续的。不允许出 现裂纹或发生重叠现象。 为保证变形前后物体的连续性，应变之间必然存在 某种关系，描述这种关系的数学表达式就是应变协 调方程。
0.5
弹塑性力学2应变分析详解
zx
（2－6）
若A点在z 轴方向的位移为 w f2 (x, y, z) ，
8 8
则B点在Z 轴方向的位移为
w1
f2 (x dx, y, z)
w
w dx ， x
B点与A点沿Z 轴方向的位移之差为: z
C
C
BB
w1
w
w x
dx
w
A
B
B
w w dx x
在直角三角形 ABB 中，可得：
tg BB
第二章 应变分析
第一节 一点的应变状态 应变与位移的关系 第二节 应变状态分析 第三节 主应变 第四节 应变张量和应变偏量 第五节 应变协调方程（连续性方程、相容方程）
1
第一节 一点的应变状态 应变与位移的关系
定义：正应变
x
lim u x0 x
du dx
变形均匀，则有:
x
l l0 l0
l l0
x
u x
y
v y
z
w z
（2－5）
当 x， y， z 大于零时，表示线段伸长，反之表示缩短。
z
C
C
B
w
w w dx
A
B
x
A
B
o
u
x
u u dx x
下面研究六面体的剪应变，即各直角的改变。
取变形前的直角BAC或 BAC，变形时，棱边AB转动
一个角度 ，棱边 AC转动一个角度 ，在xoz平面内，角 应变用 zx表示，其值为 和 之和，即：
u y
dy
u dz z
N
p dr
o
y
同理可得 ： vN，wN 即有式（2－14） x
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1.名义应变及其分量 名义应变又称相对应变或工程应变。
名义应变包括： 线应变(正应变) 切应变。
18
xoy坐标平面内: 变形前PABC，变形后P1A1B1C1 分析变化情况： PA、PC长度发生变化 PA与PC的夹角发生变化
y
y
y
r1 rx r
αyx C’1 C1
B1
C
ry
P1
B A1 A’1
33
三种应变的关系
,
均匀拉伸时 ln ln ln(l0 l ) ln(1 )
l0
l0
或
e 1
以上是对数应变和相对应变的关系。
（a）
将（a）式按台劳级数展开：得
2 3 4 .......
234
∴
34
在小变形时，
又∵
l l0 l 1
l0
l0
∴ l0 1
刚性位移：如果物体各点发生位移后仍然保持各 点间的初始状态的相对位置,则物体实际上只产生 刚体移动和转动,称这种位移为刚性位移。
5
（二）基本概念
物体受力→ 内部质点产生相对位置的改变和形状 的变化，即变形。
应变是表示变形大小的物理量。
（1）单元体的变形可分为两种形式：线应变和角应变 。
线应变（或正应变）：单元体线尺寸的伸长或缩短
xy xy z
即
yx yx z
z
1 2
(
yx
xy )
γxy=ωz+αxy
26
2、质点的应变状态及应变张量
将切应变及刚体转动推广至三维：切应变：γij
yz
zy
1 2
(
yz
zy )
zx
xz
1 2
(
zx
xz)
xy
yx
1 2
(
xy
yx )
切应变分量
27
– 三个方向的刚体转动（顺时针方向）
8
一．位移分量和应变 （一）位移及其分量
1、概念 位移：变形体各点位置的移动。 位移分量：设物体内任意点的位移矢量为MM1，则它 在三个坐标轴方向的投影就称为该点的位移分量，分 别用u、v、w表示，简记为ui。
9
由于物体在变形之后仍应保持连续，故位移分量应 是坐标的连续函数，而且一般都有连续的二阶偏导 数，对于直角坐标系，位移分量函数即为：
Фxy
24
实际变形
xy yx xy
实际变形
切应变
8℃ 2℃
5℃ 5℃
<>
设
xy
yx
1 2
(
xy
yx )
z
1 2
(
yx
xy )
ωz =3℃
刚性转动
25
则相当于PA，PC先同时偏转γxy和γyx （假设5℃）。然 后整个单元体绕Z轴转一个角度ωz（假设3℃ ）。因此， αxy 和αyx已包括了刚体的转动。
角应变（或切应变）：单元体角度的变化（即单元 体畸变）
纯变形
6
金
属 （2） 对于同一变形的质点，随着切取单元体的方向
塑 性
不同，则单元体表现出来的变形数值也不同，所以同
成 样需要引入“点的应变状态”的概念。
形
原 理
（3）物体变形时，单元体一般同时发生平移、转动、
正应变、角应变。
平移、转动—统称刚性运动（并不引起变形），只 表示刚性位移。
例：对数应变：
拉
2l l2l ln l ln 2 69%
压
2ll
ln
l 2l
ln
1 2
ln
2
69%
l2l
相对应变
拉L→ 2L
拉
l 2l
2l l l
100%
压
2ll
l
2l 2l
1 2
50%
显然，拉、压的相对应变绝对值不等
41
压前2L → 压后L
课堂练习： 有一试棒均匀连续拉伸五次，每拉一次断面收缩 20%，试用相对伸长、断面收缩率和对数应变分 别求出各次的应变值和总应变值。并分析哪种应变 表达方式比较合理。
x
1 2
(
zy
yz )
y
1 2
(
xz
zx )
z
1 2
(
yx
xy )
28
变形体内某质点作为单元体，变形后的应变分量 有九个，三个正应变，六个剪应变。它们构成应变 张量。它也是一个对称的张量，具有应力张量的一 切性质。
x
xy
ij yx
y
xz
i—线元方向
yz j—变形的方向
zx
u x
dx
u y
dy
u z
dz
dv
v x
dx
v y
dy
v z
dz
dw
w x
dx
w y
dy
w z
dz
若已知变形物体内的一点M的位移分量，则与其临近一 点Mˊ点的位移分量可用M的位移分量及其增量来表示。
uiˊ= ui+du
相对位移的意义：某一方向上的相对位移增量等于该方向 上的位移分量在三个坐标方向变化量之和。
l0
l0
1
36
对数应变的特点：
1）对数应变反映了瞬态变形，更能真实 地表示实际变形过程。
真实性
d dl l
ln d ln dl ln ln
l0
l l0
l0
37
2）对数应变具有可加性可加性
如 l0 l1 l2
02
ln
l2 l0
ln( l1 l0
l2 ) ln l1
l1
l0
16
若无限接近两点的连线M Mˊ平行于某轴，如平行X轴
金 属
，则：
塑
性 成
u u dx
形
x
原
理
dx
x
w w dx
x
Mˊ
应
变 分
则在X方向上的相对位移增量等于该方向上的位移分17
析 量在X坐标方向变化量。
（二）应变及其分量
材力，弹塑性理论所讨论的变形一般都是小变形，一 般在10－3→10－2数量级。在此基础上，我们将进一步讨论 大塑性变形的特点。
ln l2 l1
01
12
而
02
l2 l0 l0
l2 l1 l1 l0 l0
l2 l1 l1 l0
l0
l0
l2 l1 l0
01
01 12 38
例： 将50cm长杆料拉伸至总长90cm，总应变为
90 50 80% 50
若分两个阶段 （1）50cm～80cm （2）80cm～90cm
邻近的点
12
（1）各点的坐标值 M（x，y，z） Mˊ（x+dx，y+dy ，z+dz ）
（2）M1点的位置函数 u=u（x，y，z） v=v（x，y，z） w=w（x，y，z）
邻近的点
13
（3）M1ˊ点的位置函数 u+δu=u（x+dx，y+dy，z+dz）=f1（x+dx，y+dy ，z+dz） v+δv=v （ x+dx ， y+dy ， z+dz ） =f2 （ x+dx ， y+dy ，z+dz） w+δw=w（x+dx，y+dy，z+dz）=f3（x+dx，y+dy ，z+dz）
22
定义
rt
ry
tg
xy
工程切应变
图3-24b所示工程切应变，可看成是线 元PA和PC同时向内偏转相同的角度其 结果如图3-24C，即
xy
yx
1 2
xy
切应变
23
其中γxy 和γyx 一般称为切应变。 γxy 的下标符号表示为x方向的线元，向y方向偏转的角度 。 实际上PA和PC偏转的角度不一定相同。假设它们的实际 偏转角度分别为αxy 和 αyx，偏转结果仍然使∠CPA 缩小
第二节 应变分析
一、掌握重点内容： 1．应变分量的表示和位移之间的关系 2．应变分量之间的组合关系 3．应变分量与应力分量之间的对应关系 4．由小变形过渡到大变形的概念
1
二、有关变形的一些基本概念
（一）首先观察以下简单的例子：
图a）表示均匀拉伸，变形体中的单元 体P在拉伸后拉长变细，同时移至P1的 位置，在不同的方向切取单元体时， 单元体变形的表现形式不同。例如斜 切的单元体Q移至Q1的同时就歪斜了 。
物体的变形只与其内部质点的相对位置有关，而与物 体的刚体运动无关。
应 变
各质点的相对位置变化时，会产生应变。
分
析
7
总结： 位移：质点从一点移至另一点
刚性位移 （旋转和平移） 相对位移（正变形、剪变形）
变形：只有质点间的位移不一致时，才产生变形 刚性位移（旋转和平移）不产生变形 正变形：线尺寸伸长或缩短 剪变形：形状发生畸变（角度发生变化）
rx
C Φxy
C1 B B1
ry
2 yx
C C1
B1
γ A yx
2 yx
1
r P
A αxy
x
P(P1) A
P γxyA
0
rx rx x 0
x0
x
单元体在xoy坐标平面内的应变
r
r
19
（ 1 ）线应变（或正应变）：单元体线尺寸的伸长或缩 短
如图线元PA的正应变
r1 rx r
zy
z
29
2、对数应变 （1）相对线应变(也称工程应变或名义应变)
名义应变包括： 线应变(正应变) 切应变。
18
xoy坐标平面内: 变形前PABC，变形后P1A1B1C1 分析变化情况： PA、PC长度发生变化 PA与PC的夹角发生变化
y
y
y
r1 rx r
αyx C’1 C1
B1
C
ry
P1
B A1 A’1
33
三种应变的关系
,
均匀拉伸时 ln ln ln(l0 l ) ln(1 )
l0
l0
或
e 1
以上是对数应变和相对应变的关系。
（a）
将（a）式按台劳级数展开：得
2 3 4 .......
234
∴
34
在小变形时，
又∵
l l0 l 1
l0
l0
∴ l0 1
刚性位移：如果物体各点发生位移后仍然保持各 点间的初始状态的相对位置,则物体实际上只产生 刚体移动和转动,称这种位移为刚性位移。
5
（二）基本概念
物体受力→ 内部质点产生相对位置的改变和形状 的变化，即变形。
应变是表示变形大小的物理量。
（1）单元体的变形可分为两种形式：线应变和角应变 。
线应变（或正应变）：单元体线尺寸的伸长或缩短
xy xy z
即
yx yx z
z
1 2
(
yx
xy )
γxy=ωz+αxy
26
2、质点的应变状态及应变张量
将切应变及刚体转动推广至三维：切应变：γij
yz
zy
1 2
(
yz
zy )
zx
xz
1 2
(
zx
xz)
xy
yx
1 2
(
xy
yx )
切应变分量
27
– 三个方向的刚体转动（顺时针方向）
8
一．位移分量和应变 （一）位移及其分量
1、概念 位移：变形体各点位置的移动。 位移分量：设物体内任意点的位移矢量为MM1，则它 在三个坐标轴方向的投影就称为该点的位移分量，分 别用u、v、w表示，简记为ui。
9
由于物体在变形之后仍应保持连续，故位移分量应 是坐标的连续函数，而且一般都有连续的二阶偏导 数，对于直角坐标系，位移分量函数即为：
Фxy
24
实际变形
xy yx xy
实际变形
切应变
8℃ 2℃
5℃ 5℃
<>
设
xy
yx
1 2
(
xy
yx )
z
1 2
(
yx
xy )
ωz =3℃
刚性转动
25
则相当于PA，PC先同时偏转γxy和γyx （假设5℃）。然 后整个单元体绕Z轴转一个角度ωz（假设3℃ ）。因此， αxy 和αyx已包括了刚体的转动。
角应变（或切应变）：单元体角度的变化（即单元 体畸变）
纯变形
6
金
属 （2） 对于同一变形的质点，随着切取单元体的方向
塑 性
不同，则单元体表现出来的变形数值也不同，所以同
成 样需要引入“点的应变状态”的概念。
形
原 理
（3）物体变形时，单元体一般同时发生平移、转动、
正应变、角应变。
平移、转动—统称刚性运动（并不引起变形），只 表示刚性位移。
例：对数应变：
拉
2l l2l ln l ln 2 69%
压
2ll
ln
l 2l
ln
1 2
ln
2
69%
l2l
相对应变
拉L→ 2L
拉
l 2l
2l l l
100%
压
2ll
l
2l 2l
1 2
50%
显然，拉、压的相对应变绝对值不等
41
压前2L → 压后L
课堂练习： 有一试棒均匀连续拉伸五次，每拉一次断面收缩 20%，试用相对伸长、断面收缩率和对数应变分 别求出各次的应变值和总应变值。并分析哪种应变 表达方式比较合理。
x
1 2
(
zy
yz )
y
1 2
(
xz
zx )
z
1 2
(
yx
xy )
28
变形体内某质点作为单元体，变形后的应变分量 有九个，三个正应变，六个剪应变。它们构成应变 张量。它也是一个对称的张量，具有应力张量的一 切性质。
x
xy
ij yx
y
xz
i—线元方向
yz j—变形的方向
zx
u x
dx
u y
dy
u z
dz
dv
v x
dx
v y
dy
v z
dz
dw
w x
dx
w y
dy
w z
dz
若已知变形物体内的一点M的位移分量，则与其临近一 点Mˊ点的位移分量可用M的位移分量及其增量来表示。
uiˊ= ui+du
相对位移的意义：某一方向上的相对位移增量等于该方向 上的位移分量在三个坐标方向变化量之和。
l0
l0
1
36
对数应变的特点：
1）对数应变反映了瞬态变形，更能真实 地表示实际变形过程。
真实性
d dl l
ln d ln dl ln ln
l0
l l0
l0
37
2）对数应变具有可加性可加性
如 l0 l1 l2
02
ln
l2 l0
ln( l1 l0
l2 ) ln l1
l1
l0
16
若无限接近两点的连线M Mˊ平行于某轴，如平行X轴
金 属
，则：
塑
性 成
u u dx
形
x
原
理
dx
x
w w dx
x
Mˊ
应
变 分
则在X方向上的相对位移增量等于该方向上的位移分17
析 量在X坐标方向变化量。
（二）应变及其分量
材力，弹塑性理论所讨论的变形一般都是小变形，一 般在10－3→10－2数量级。在此基础上，我们将进一步讨论 大塑性变形的特点。
ln l2 l1
01
12
而
02
l2 l0 l0
l2 l1 l1 l0 l0
l2 l1 l1 l0
l0
l0
l2 l1 l0
01
01 12 38
例： 将50cm长杆料拉伸至总长90cm，总应变为
90 50 80% 50
若分两个阶段 （1）50cm～80cm （2）80cm～90cm
邻近的点
12
（1）各点的坐标值 M（x，y，z） Mˊ（x+dx，y+dy ，z+dz ）
（2）M1点的位置函数 u=u（x，y，z） v=v（x，y，z） w=w（x，y，z）
邻近的点
13
（3）M1ˊ点的位置函数 u+δu=u（x+dx，y+dy，z+dz）=f1（x+dx，y+dy ，z+dz） v+δv=v （ x+dx ， y+dy ， z+dz ） =f2 （ x+dx ， y+dy ，z+dz） w+δw=w（x+dx，y+dy，z+dz）=f3（x+dx，y+dy ，z+dz）
22
定义
rt
ry
tg
xy
工程切应变
图3-24b所示工程切应变，可看成是线 元PA和PC同时向内偏转相同的角度其 结果如图3-24C，即
xy
yx
1 2
xy
切应变
23
其中γxy 和γyx 一般称为切应变。 γxy 的下标符号表示为x方向的线元，向y方向偏转的角度 。 实际上PA和PC偏转的角度不一定相同。假设它们的实际 偏转角度分别为αxy 和 αyx，偏转结果仍然使∠CPA 缩小
第二节 应变分析
一、掌握重点内容： 1．应变分量的表示和位移之间的关系 2．应变分量之间的组合关系 3．应变分量与应力分量之间的对应关系 4．由小变形过渡到大变形的概念
1
二、有关变形的一些基本概念
（一）首先观察以下简单的例子：
图a）表示均匀拉伸，变形体中的单元 体P在拉伸后拉长变细，同时移至P1的 位置，在不同的方向切取单元体时， 单元体变形的表现形式不同。例如斜 切的单元体Q移至Q1的同时就歪斜了 。
物体的变形只与其内部质点的相对位置有关，而与物 体的刚体运动无关。
应 变
各质点的相对位置变化时，会产生应变。
分
析
7
总结： 位移：质点从一点移至另一点
刚性位移 （旋转和平移） 相对位移（正变形、剪变形）
变形：只有质点间的位移不一致时，才产生变形 刚性位移（旋转和平移）不产生变形 正变形：线尺寸伸长或缩短 剪变形：形状发生畸变（角度发生变化）
rx
C Φxy
C1 B B1
ry
2 yx
C C1
B1
γ A yx
2 yx
1
r P
A αxy
x
P(P1) A
P γxyA
0
rx rx x 0
x0
x
单元体在xoy坐标平面内的应变
r
r
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（ 1 ）线应变（或正应变）：单元体线尺寸的伸长或缩 短
如图线元PA的正应变
r1 rx r
zy
z
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2、对数应变 （1）相对线应变(也称工程应变或名义应变)