§4.2 多项式的恒等变形
代数式恒等变形法则归纳
代数式恒等变形法则归纳引言代数式是代数学中的基础概念之一，它用字母和常数通过运算符号相连而成。
在数学中，我们常常需要对代数式进行变形，以达到简化、分解、合并或者推导等目的。
代数式的变形是数学问题解决过程中重要的一环，它不仅能提高计算效率，还能揭示代数运算的本质。
在代数式的变形中，恒等变形法则是重要的基础工具，本文将对代数式的恒等变形法则进行归纳总结。
一、基本变形法则1. 加法法则：•加法结合律：a+(b+c)=(a+b)+c•加法交换律：a+b=b+a•加法零元：a+0=a #### 2. 乘法法则：•乘法结合律：$a \\cdot (b \\cdot c) = (a \\cdot b) \\cdot c$•乘法交换律：$a \\cdot b = b \\cdot a$•乘法零元：$a \\cdot 0 = 0$•乘法单位元：$a \\cdot 1 = a$二、分配律1. 左分配律：对于任意的a,b,c，有$a \\cdot (b + c) = a \\cdot b + a \\cdot c$ #### 2. 右分配律：对于任意的a,b,c，有$(a + b) \\cdot c = a \\cdot c + b \\cdot c$三、幂运算法则1. 幂运算与乘法运算：•幂运算与乘法运算的交换律：$(a \\cdot b)^n = a^n \\cdot b^n$•幂运算与乘法运算的结合律：$(a^n)^m = a^{n \\cdot m}$ #### 2.幂运算的乘方法则：•幂运算的乘方法则1：$a^n \\cdot a^m = a^{n + m}$•幂运算的乘方法则2：$(a^n)^m = a^{n \\cdot m}$•幂运算的乘方法则3：$(a \\cdot b)^n = a^n \\cdot b^n$四、指数运算法则1. 指数运算与乘法运算：•指数运算与乘法运算的交换律：$(a \\cdot b)^n = a^n \\cdot b^n$•指数运算与乘法运算的结合律：$(a^n)^m = a^{n \\cdot m}$ #### 2.指数运算的指数法则：•指数运算的指数法则1：$a^n^m = a^{n \\cdot m}$•指数运算的指数法则2：$(a^n)^m = a^{n \\cdot m}$•指数运算的指数法则3：$(a^m)^n = a^{m \\cdot n}$五、因式分解法则1. 公因式提取法则：•公因式提取法则1：ax+ay=a(x+y)•公因式提取法则2：$a \\cdot b + a \\cdot c = a \\cdot (b + c)$ ####2. 公式分解法则：•差的平方公式：a2−b2=(a+b)(a−b)•平方差公式：a2−b2=(a−b)(a+b)•完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2•完全平方公式：a2−2ab+b2=(a−b)2六、合并同类项法则合并同类项法则：将含有相同字母指数的项合并为一个项•合并同类项法则1：ax+bx=(a+b)x•合并同类项法则2：ax2+bx2=(a+b)x2•合并同类项法则3：ax n+bx n=(a+b)x n结论恒等变形法则在代数式的变形中起着重要的作用。
代数式与恒等变形
第5讲 爹代数式与恒等变形在化简、求值、证明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的过程中，常需将代数式变形．恒等变形，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简洁，一般可以把恒等变形分为两类：一类是无附加条件的，需要在式子默认的范围中运算；另一类 是有附加条件的，要善于利用条件，简化运算．恒等式变形的基本思路：由繁到简（即由等式较繁的一边向另一边推导）和相向趋进（即将等式两边同时转化为同一形式）．恒等式证明的一般方法：1．单向证明，即从左边证到右边或从右边证到左边，其原则是化繁为简，变形的过程中要不断注意结论的形式，调整证明的方向．2．双向证明，即把左、右两边分别化简，使它们都等于第三个代数式．3．运用“比差法”或“比商法”，证明“左边一右边=0"或1=右边左边（右边≠O)”，可得左边d 右边． 4．运用分析法，由结论出发，执果索因，探求思路，本节结合实例对代数式的基本变形（如配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等）方法作初步介绍，题1 求证 ：=-+⨯+-+++n n n n 23522322n 2).235(1011-+-+n n n对同底数幂进行合并整理，解 方法一：左边)222()33(55221n n n n n -+-+++⨯⨯=++)22(2)13(35103121+-++⨯=-+n n n11210310510-+⨯-⨯+⨯=n n n)235(1011-+-+=n n n=右边，方法二：左边)12(2)13(352222+-++⨯=+n n n.25310522n n n ⨯-⨯+⨯=+右边11210310510-+⨯-⨯+⨯=n n n.25310522n n n ⨯-⨯+⨯=+故 左边=右边．方法一中受右边”、、“11235-+n n n 的提示，对左边式子进行合并时，以n n 351、+与12-n 为主元合并，迅速便捷．读一题，练3题，练就解题高手1-1．已知,0=++c b a 求证：.3333abc c b a =++1-2．已知,xyz z y x =++证明：-+--1()1)(1(22y z y x .4)1)(1()1)(2222xyz y x z z x =--+- 1-3．证明：.32232++⋅+ .13222.3222=++-+++题2 ?100321=++++ 经研究，这个问题的一般结论是),1(21321+=++++ n n n 其中，n 为整数，现在我们来研究一个类似的问题： ？=+⨯++⨯+⨯)1(...3221n n 观察下面三个特殊的等式：);210321(3121⨯⨯-⨯⨯=⨯ );321432(3132⨯⨯-⨯⨯=⨯ );432543(3143⨯⨯-⨯⨯=⨯ 将这三个式子两边相加（累加），可得.2054331433221=⨯⨯⨯=⨯+⨯+⨯ 读完这段材料，请您思考回答：=⨯++⨯+⨯m 1003221)1(=+++⨯+⨯)1(3221)2(n n)2)(1(.432321)3(++++⨯⨯+⨯⋅⨯n n n =（只写出结果，不必写出中间的过程）分析此题可得到如下信息：⨯⨯-⨯⨯=⨯10099102101100(31101100)1();101 +--++=+n n n n n n n n ()1()2)(1([31)1()2()];1 解 321(3110100]3221)1(⨯⨯=⨯++⨯+⨯ 210101100321432210⨯⨯++⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯- ;34340010210110031)10110099=⨯⨯⨯=⨯⨯- (2)由类比思想知).2)(1(31)1(3221++=+++⨯+⨯n n n n n ),32104321(41321)3(⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯),43215432(41432.⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯ ……)]2)(1()1()3)(2)(1([41)2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n 则 )2)(1(432321++++⨯⨯+⨯⨯n n n).3)(2)(1(41+++=n n n n在解题时要善于利用类比推理思想，理解并记住一些常用的一般性结论，如++⨯+⨯ 321211 11321211,1)1(1++++++++=+n n n n n n .)12(531,112n n n =-++++-+=读一题，练3题，练就解题高手2-1．已知n 是正整数，),(n n n y x P 是反比例函数xk y =图象上的一列点，其中.,,2,121n x x x n === 记⋅===1099322211,,,y x T y x T y x T 若=1T ,1则921T T T 的值是2-2．我们把分子为1的分数叫做单位分数，如,31,21,,41 任何一个单位分数都可以写成两个不同的单位分数的和，如,1214131,613121+=+⋅= ,2015141+= (1)根据对上述式子的观察，你会发现+=口151,1O请写出O ,口所表示的数； (2)进一步思考，单位分数n 1(n 是不小于2的正整数）=*+∆11请写出,*∆所表示的代数式，并加以验证．2-3．已知200921,,a a a 都是正数，+++= 21(a a M ),)(2009322008a a a a +++ +++=< 21a a N).)(2008322009a a a a +++试比较M 与N 的大小．题3 已知c b a a c a c c b c b b a b a ,,,)(3)(2-+=-+=-+互不相等，求证.0598⋅=++c b α本题可设,)(3)(2k a c a C c b c h b a b a =-+=-+=-+然后求解． 解 设,)(3)(2k a c a c c b c b b a b a =-+=-⋅+=-+ 则).(3),(2),.(a c k a c c b k c b a k b a -=+-=-=+故 )(2),()(3),(6)(6a c c b c b b a k b a +-=+-=+α).(6a c k -=以上三式相加，得=+++++)(2)(3)(6a c c b b a ).(6a c c b a k -+--即 .0598=++c b a本题运用了连比等式设参数k 的方法，这种引入参数的方法是恒等式证明中的常用技巧，读 一题，练1题，决出能力高下3-1．已知,26223823122523=-++-=-+++=---+a c a c c b c b bk a b a 则=++--++734232c b a c b a题4 证明 333)2()2()2(z y x y x z x z y -++-++-+).2)(2()2(3z y x x z x z y -+-+⋅-+=γ本题看似复杂，但是仔细分析各项特征，可尝试使用多变量换元法．解 令①,2a x z y =-+②,2b y x z =-+③,2c z y x =-+则原待证恒等式转化为.3333abc c b a =++联想到公式 --++++=-++ab c b a c b a abc c b a 222333)((3).ca bc -由①+②+③，得)2()2()2(z y x y x z x z y c b a -++-++⋅-+=++.0=故,03333=-++abc c b a即.3333abc c b a =++原式得证．换元法的使用可以使题目条件更趋简洁，更易把握题目特点．读一题，练3题，冲刺奥数金牌4-1试用x+l 的各项幂表示.13.223-+-x x x4-2．已知z y x z y x ,0,0,200920072005222>>==0>且.1111=++zy x 求证：20072005200920072005+=++z y x .2009+ 4-3．解方程：,23322332⋅---=---x x x x题5 设x,y,z 互为不相等的非零实数，且xz z y y x 111+=+=+求证： 1222=z y x由于结论为”“1222=z y x 的形式，可以从题设 式中导出x ，y ，z 乘积的形式xy ，yz ，zx解 由,11xy y x +=+变形可得 ⋅-=-=-yzz y y z y x 11 则①⋅--=y x z y yz 同理可得②,zy x z zx --= ③xz y x xy --= 由①×②×③，得.1222=z y x本题中x ，y ，z 具有轮换对称的特点，也可从二元情形中得到启示：即令x ，y 为互不相等的非零实数，且,11x y y x +=+易推出,11y x y x -=-故有,1-=--=y x x y xy 所以,122=y x 三元与二元情形类似．读一题，练3题，冲刺奥数金牌5-1若实数x ，y ，z 满足x z z y y x 1,11,41+=+=+ ,37=则xyz= 5-2．已知),35(21),35(21-=+=y x 求226y xy x ++的值． 5-3．已知实数a ，b ，c ，d 互不相等，且=+=+c b b a 11,11x a d d c =+=+试求x 的值， 题6 已知 za a x y a z x a a y 222,,-==-=求证：由待证式z a a x 2-=知要从题设条件中消去y ．解 由已知，得.,22z a y a x a a y -=-= 两式相乘，得),)((22z a x a a a -⋅⋅-=即⋅+--=x z a az x a a a 2322 所以 ⋅-=x a xaz z 2故 ⋅-=z a a x 2综合考查条件结论，充分挖掘隐含信息，常会成为解题的关键，如本题中由-=-=a z x a a y ,2 ,,2y a 到,,,2z a a x -=发现要消去y 这一信息．读一题，练3题，冲刺奥数金牌6-1.已知,1=ab 求11+++b b a a 的值． 6-2．设⋅+-=+-=+-=,,,a c a c r c b c b q b a b a P 其中a c c b b a +++,,不为零．求证： ).1()1)(1()1)(1)(1(r q P r q P -⋅--=+++6-3．已知a ，b ，c ，d 满足3,0,,a d c b a d c b a =/+=+≤≤.333d c b ⋅+=+ 求证：.,d b c a ==参考答案与提示。
恒等变形知识点总结
恒等变形知识点总结恒等变形是指根据等式的性质和算术运算的性质，将一个等式变形成另一个等式的过程。
在变换的过程中，通过适当的运算，将等式的两侧转变成相同的表达式。
首先，我们来看一下恒等变形的基本原则，它包括以下几个方面：1. 相等的两个数（对象）可以相互规约。
2. 等式的两边加(或减)相等的数(或算式)仍相等。
3. 等式的两边同乘(或同除)一个不为零的数(或数的倒数)仍相等。
4. 在等式中引进(或去除)平方根，绝对值符号对方程做平方根变形，只有当两边都为非负数时，该等式才成立。
这些基本原则是我们进行恒等变形时需要牢记的，只有在遵守这些原则的前提下，我们才能正确进行恒等变形。
在进行恒等变形时，我们通常会用到一些基本的代数运算，例如加减法、乘除法、开平方、平移等，这些运算在恒等变形中起着非常重要的作用。
接下来，我们来看一些常见的恒等变形的方法和技巧。
1. 加减法变形加减法变形是指用等于同一个数的两个数互换位置，并相加或相减，来得到一个新的等式。
例如：a +b =c 和 a = c - b这里，我们可以将第一个等式两边分别减去b，得到新的等式 a = c - b。
通过这个例子，我们可以看出，加减法变形是一种常见且有效的恒等变形方法，它可以帮助我们将一个复杂的等式化简成一个简单的等式。
2. 乘除法变形乘除法变形是指用等于同一数的两个数相除或相乘，得到新的等式。
例如：ab = c 和 a = c/b这里，我们可以将第一个等式两边都除以b，得到新的等式a = c/b。
通过这个例子，我们可以看出，乘除法变形也是一个常见且有效的恒等变形方法。
3. 平方根变形平方根变形是指用等于同一数的两个数同时开平方，得到新的等式。
例如：a^2 = c 和a = √c这里，我们可以将第一个等式两边同时开平方，得到新的等式a = √c。
通过这个例子，我们可以看出，平方根变形也是一个常见且有效的恒等变形方法。
4. 移项变形移项变形是指将等式中的某一项移到等式的另一侧，得到新的等式。
常用的14个恒等变形公式
常用的14个恒等变形公式作为数学中的基本工具之一，恒等变形在各种数学问题中都扮演着关键的角色。
本文将介绍14个常用的恒等变形公式，这些公式的掌握对于提高数学学习成绩和应对高考、数学竞赛等考试都有着重要的作用。
一、基本恒等变形1.加减同项式的恒等变形∵a+b+c+d+e+f=0∴a+b+c=-(d+e+f)2.去分母的恒等变形∵a/c=b/d∴ad=bc3.两边平方式的恒等变形∵a=c·d·e·f∴e·f=a/(c·d)4.拆分因式的恒等变形∵a²-b²=(a+b)(a-b)∴(a+b)(a-b)=a²-b²二、平方恒等变形5.一次二次(a+b)²=a²+2ab+b²(a-b)²=a²-2ab+b²6.和差二次cos(a+b)=cosacosb-sinasinbcos(a-b)=cosacosb+sinasinb7.平方差a²-b²=(a+b)(a-b)8.完全平方a²+2ab+b²=(a+b)²a²-2ab+b²=(a-b)²三、三角函数恒等变形9.正弦cos²(a)+sin²(a)=1sin(a+b)=sinacosb+cosasinbsin(a-b)=sinacosb-cosasinb10.余弦sin²(a)+cos²(a)=1cos(a+b)=cosacosb-sinasinbcos(a-b)=cosacosb+sinasinb11.正切tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb) tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb) 12.双角sin2a=2sina·cosacos2a=cos²(a)-sin²(a)=2cos²(a)-1=1-2sin²(a)13.半角sin(a/2)=√[(1-cos(a))/2]cos(a/2)=√[(1+cos(a))/2]tan(a/2)=sin(a)/(1+cos(a))14.万能公式sin(a±b)=(sinacosb±cosasinb)cos(a±b)=(cosacosb∓sinasinb)可以通过这些公式的使用，将复杂的数学运算转换成简单而直观的形式，使数学问题的解决变得更加容易和高效。
多项式的概念及运算
多项式的除法运算
定义：多项式除以 除数 与被除数的每一项 分别相除，得到商 和余数
注意事项：除数不 能为0，否则无意 义
举例说明：多项式 除以单项式的具体 运算过程
多项式的代数式展开
第三章
代数式展开的概念
代数式展开是将多项式中的代数式按照一定的顺序进行展开，得到具体的数值或表达式。 代数式展开是多项式运算中的一种基本运算，是学习数学和其他学科的基础。 通过代数式展开，可以更好地理解多项式的结构和性质，掌握代数运算的技巧和方法。 代数式展开在解决实际问题中也有广泛应用，如求解方程、不等式、函数等。
多项式是由有限个 单项式通过加减运 算得到的代数式。
多项式的次数是所 有单项式中次数最 高的那一项的次数。
多项式中每一项的 系数不能为0。
多项式中单项式的 排列顺序不影响多 项式的值。
举例说明多项式的形式
二次多项式：ax² + bx + c
四次多项式：ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e
添加标题
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三次多项式：ax³ + bx² + cx + d
任意次多项式：a_0 + a_1x + a_2x² + ... + a_nx^n
多项式的运算
第二章
多项式的加法运算
定义：将两个多项式的同类项的系数相加，得到新的多项式 举例：如 (2x^2 + 3x + 1) + (x^2 - 2x + 3) = 3x^2 + 1 注意事项：注意合并同类项时，系数相加，字母和字母的指数不变 运算律：满足交换律和结合律，即 (a+b)+c=a+(b+c)
高中数学竞赛讲义---代数式的恒等变换方法与技巧
1—1 代数式的恒等变换方法与技巧一、代数式恒等的一般概念定义1 在给定的数集中，使一个代数式有意义的字母的值，称为字母的允许值。
字母的所有允许值组成的集合称为这个代数式的定义域。
对于定义域中的数值，按照代数式所包含的运算所得出的值，称为代数式的值，这些值的全体组成的集合，称为代数式的值域。
定义2 如果两个代数式A 、B ，对于它们定义域的公共部分（或公共部分的子集）内的一切值，它们的值都相等，那么称这两个代数式恒等，记作A=B 。
两个代数式恒等的概念是相对的。
同样的两个代数式在它们各自的定义域的某一个子集内是恒等，但x =，在x≥0时成立，但在x<0时不成立。
因此，在研究两个代数式恒等时，一定要首先弄清楚它们在什么范围内恒等。
定义3 把一个代数式变形成另一个与它恒等的代数式，这种变形称为恒等变换。
代数式的变形，可能引起定义域的变化。
如lgx 2的定义域是(,0)(0,)-∞+∞ ，2lgx 的定义域是(0,)+∞，因此，只有在两个定义域的公共部分(0,)+∞内，才有恒等式lgx 2=2lgx 。
由lgx 2变形为2lgx 时，定义域缩小了；反之，由2lgx 变形为lgx 2时，定义域扩大了。
这种由恒等变换而引起的代数式定义域的变化，对研究方程和函数等相关问题时也十分重要。
由于方程的变形不全是代数式的恒等变形，但与代数式的恒等变形有类似之处，因此，在本节里，我们把方程的恒等变形与代数式的恒等变形结合起来讨论。
例1：设px =有实根的充要条件，并求出所有实根。
由于代数式的变形会引起定义域的改变，因此，在解方程时，尽量使用等价变形的方法求解。
这样可避免增根和遣根的出现。
解：原方程等价于222(0,0x p x x x ⎧-=-⎪⎨-≥≥⎪⎩222222(4)4448(2)441330440,0p x x p p x x x x p x ⎧-=⎪⎧=+--⎪⎪⎪⎪⇔≤≤⇔≤⎨⎨⎪⎪≥⎪⎪+-≤≥⎩⎪⎩222(4)8(2)44,043p x p p x x ⎧-=⎪⎪-⇔⎨-⎪≤≤≥⎪⎩ 由上式知，原方程有实根，当且仅当p 满足条件24(4)44048(2)33p p p p --≤≤⇔≤≤-这说明原方程有实根的充要条件是403p ≤≤。
第一讲：代数式与恒等变形
第1章 代数式与恒等变形1.1 四个公式知识衔接在初中，我们学习了实数与代数式，知道代数式中有整式，分式，根式，它们具有类似实数的属性，可以进行运算。
在多项式乘法运算中，我们学习了乘法公式，如：平方差公式22))((b a b a b a -=-+；完全平方公式2222)(b ab a b a +±=±，并且知道乘法公式在整式的乘除，数值计算，代数式的化简求值以及代数等式的证明等方面有着广泛的应用。
而在高中阶段的学习中，将会遇到更复杂的多项式运算为此在本章中我们将拓展乘法公式的内容。
知识延展1 多项式的平方公式：ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++2 立方和公式：3322))((b a b ab a b a +=+-+3 立方差公式：3322))((b a b ab a b a -=++-4 完全立方公式：3223333)(b ab b a a b a ±+±=±注意：（1）公式中的字母可以是数，也可以是单项式或多项式；（2）要充分认识公式自身的价值，在多项式乘积中，正确使用乘法公式能提高运算速度，减少运算中的失误；（3）对公式的认识应当从发现，总结出公式的思维过程中学习探索，概括，抽象的科学方法；（4）由于公式的范围在不断扩大，本章及初中所学的仅仅是其中最基本，最常用的几个公式。
一 计算和化简例1 计算：))(()(222b ab a b a b a +++-变式训练：化简 62222))()()((y xy y x xy y x y x y x +-+++-+二 利用乘法公式求值；例2 已知0132=+-x x ，求331x x +的值。
变式训练：已知3=++c b a 且2=++ac bc ab ，求222c b a ++的值。
三 利用乘法公式证明例3 已知0,0333=++=++c b a c b a 求证：0200920092009=++c b a变式训练：已知2222)32()(14c b a c b a ++=++，求证：3:2:1::=c b a习题精练1 化简：322)())((b a b ab a b a +-+-+2 化简 )1)(1)(1)(1)(1)(1(12622+++-+++-a a a a a a a a3 已知10=+y x 且10033=+y x ，求代数式22y x +的值；4 已知21201,19201,20201+=+=+=x c x b x a ，求代数式ac bc ab c b a ---++222的值；5 已知)(3)(2222z y x z y x ++=++，求证：z y x ==6 已知abcd d c b a 44444=+++且d c b a ,,,均为正数，求证：以d c b a ,,,为边的四边形为菱形。
代数变形常用技巧
代数变形中常用的技巧代数变形是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在着技巧和方法，也就需要人们在学习代数的实践中反复操练才能把握，乃至灵活应用。
代数变形技巧是学习掌握代数的重要基础，这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展。
本文就初等代数变形中的解题技巧，作一些论述。
两个代数式A、B，如果对于其中所含字母的一切允许值它们对应的值都相等，则称这两个代数式恒等，记作A≡B或A=B，把一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做代数式的恒等变形。
恒等变形是代数的最基本知识，是学好中学数学的基础，恒等变形的理论依据是运算律和运算法则，所以，恒等变形必须遵循各运算法则，并按各运算法则在其定义域内进行变形。
代数恒等变形技巧是学习与掌握代数的重要基础,这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展。
代数恒等变形实质上是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在着技巧和方法，也就需要人们在学习代数的实践中反复操练才能把握，乃至灵活与综合应用。
中学生在平时的学习中不善于积累和总结变形经验，在稍复杂的问题面前常因变形方向不清，而导致常规的化归、转化工作难以实施，甚至失败，其后果直接影响着应试的能力及效率。
代数的恒等变形包括的内容较多，本文着重阐述代数运算和解题中常见的变形技巧及应用。
一、整式变形整式变形包括整式的加减、乘除、因式分解等知识。
这些知识都是代数中的最基础的知识。
有关整式的运算与化简求值，常用到整式的变形。
例1：化简(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2-3(y-z)2-3(z-x)2-3(x-y)2分析：此题若按常规方法先去括号，再合并类项来进行恒等变形的话，计算会繁杂。
而通过观察发现此题是一个轮换对称多项式，就其特点而言，若用换元法会使变形简单，从而也说明了换元法是变形的一种重要方法。
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§4.2 多项式的恒等变形教学目的:使学生掌握多项式的有关理论及多项式变形的方法,主要是解析式的求法——拉格朗日插值公式，因式分解的常用方法。
教学重点与难点：解析式的求法——拉格朗日插值公式，因式分解的常用方法。
课时安排：2课时。
教学内容如下：一、 多项式的基本概念多项式是由数与字母进行+、—、⨯运算而构成。
定义 设n 是一非负整数，形如1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ 的多项式，当0n a ≠时，叫做一元n 次多项式。
所有系数全为零的多项式叫做零多项式，记为0。
零多项式是唯一不定义次数的多项式。
二、多项式的恒等定理（多项式的基本定理）定理1 如果在给定的数域里，对于变数字母的任意值，多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ 的值都等于零，那么这个多项式的所有系数都等于零。
证明 用数学归纳法（1）当n=1时，10()f x a x a =+。
因为对于x 的任意值，f(x)的值都等于零，所以令x=0，即得00a =。
由此得1()0f x a x =≡，再令x=1，则有10a =。
因此，命题对于一次多项式成立。
（2）假定命题对于次数低于n 的多项式成立，现在来证明对于n 次多项式也成立。
如果对于x 的任意值，都有111()n n n n f x a x a x a x a --=++++ 0≡ ①在等式①中，以2x 代x ，得11110(2)2220n n n n n n f x a x a x a x a ---=++++≡ ②①2n ⨯—②，得112221202(21)2(21)(21)0n n n n n n n a x a x a -------+-++-≡ ③这是一个次数低于n 次的多项式，它恒等于零，依归纳假定，它的所有系数都等于零，即122122(21)0,2(21)0,,n n n n a a -----=-=02(21)0,,(21)0n k k n n ka a ---=-= 因为 20,210(1,2,n k k k n -≠-≠= 所以12100,0,,0,0n n a a a a --====代入①得，0nna x ≡，令x=1,得0n a = 根据（1）、（2），命题对于任意的一元多项式都成立。
定理2 两个多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ （0n a ≠）1m 110g(x)=b (0)m m m m x b x b x b b --++++≠ 恒等的充分必要条件是它们的次数相等，且对应项系数相等，即,(1,2,,)i i n m a b i n ===证明 条件的充分性是显然的，下面证明必要性。
为了确定起见，不妨设n ≥m 。
若两个多项式的次数不同，可以在次数较低的多项式中添系数为零的项，使1110()n n m n n m g x b x b x b x b x b --=++++++ 。
因为()()f x g x ≡，所以111110()()()()()()0n n n n n n o f x g x a b x a b x a b x a b ----=-+-++-+-≡ 由定理1，得11000,0,,0n n n n a b a b a b ---=-=-= 所以1100,,,n n n n a b a b a b --=== 由此，f(x)与g(x)除系数为零的项以外，完全由相同的项所组成，即次数相等，且对应项系数相等。
以上两个定理，对于多元多项式也能成立，证明从略。
定理2也是待定系数法的理论根据。
定理3 如果两个次数不大于n 的多项式f(x)和g(x ），它们对x 的n+1个不同的值都有相等的值，那么这两个多项式恒等，即()()f x g x ≡。
证明 设()()()R x f x g x =-。
如果()()f x g x ≠（不恒等），即()0R x ≠（不恒等），那么()R x 是一个次数不超过n 的多项式。
由题设知，有n+1个不同的值使()R x =0，这与代数基本定理矛盾。
所以f(x)与g(x)恒等。
由定理3可知，对于次数不大于n 的多项式f(x)，如果x 等于不同的121,,,n n x x x x + 时它的n+1个值121,,,n n y y y y + 是已知的，就能确定f(x)各项的系数，从而唯一确定这个多项式。
这就是著名的拉格朗日插值公式：23111213111()()()()()()()()()n n n n x x x x x x x x f x y x x x x x x x x ++----=----+13122123221()()()()()()()()n n n n x x x x x x x x y x x x x x x x x ++--------+ +12111211()()()()()()()()n n nn n n n n n x x x x x x x x y x x x x x x x x -+-+--------+12111112111()()()()()()()()n n n n n n n n n x x x x x x x x y x x x x x x x x -++++-+--------例1 已知f(x)是二次多项式，且f(-1)=13,f(0)=1,f(1)=-1,求f(x)。
解 由拉格朗日插值公式，得 (0)(1)(1)(1)(1)(0)()131(1)(1)(2)1(1)21x x x x x x f x --+-+-=⋅+⋅+-⋅-⋅-⋅-⋅=2571x x -+ 三、待定系数法1、定义 按照一定规律，先写出问题解的一般形式（一般是指一个算式、表达式或方程），其中含有一些尚待确定的未知系数 ，然后根据题设条件确定这些未知系数的值，从而得到问题的解。
这种方法通常叫做待定系数法。
其中待确定的未知系数叫做待定系数。
2、确定待定系数的值，有两种常用方法：比较系数法和特殊值法。
比较系数法，是指通过比较恒等式两边多项式的对应系数，得到关于待定系数的若干关系式（通常是多元方程组），由此求得待定系数的值。
特殊值法，是指通过取字母的一些特定数值代人恒等式，由左右两边数值相等得到关于待定系数的若干关系式，由此求得待定系数的值。
待定系数法应用十分广泛，主要用于处理多项式的恒等变形问题，如分解因式、解方程、确定函数的解析式等。
例2 已知多项式432511x x x ax b -+++能够被221x x -+整除，求a,b 的值。
解法1 比较系数法 设商式为2x mx b ++，则 432511x x x ax b -+++ =（2x mx b ++）（221x x -+） ①将①式右边展开，得432511x x x ax b -+++=432(2)(12)(2)x m x b m x m b x b +-++-+-+ ② 由于②式是恒等式，比较两个对应项的系数，由定理2，得2512112m b m m b a -=-⎧⎪+-=⎨⎪-=⎩解方程组得 a=-11,b=4解法2 特殊值法由题设条件，可设432511x x x ax b -+++=（2x mx b ++）（221xx -+） ①由于①式是恒等式，它对所有使式子有意义的x 值都成立。
分别令x=1,2,-1,得7020242174(1)a b a b m b a b m b ++=⎧⎪++=++⎨⎪-+=-+⎩解方程组得 a=-11,b=4例3 以x-2的幂表示多项式3231382x x x -+-。
解法1 特殊值法 按x-2的降幂排列，可设 3231382x x x -+-= 323(2)(2)(2)x a x b x c -+-+-+ ①①式中分别令x=2,0,1得142442234c a b c a b c =-⎧⎪-+-+=-⎨⎪-+-+=-⎩解出5814a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩所以 3231382x x x -+-=323(2)5(2)8(2)14x x x -+----解法2 应用综合除法略。
四、多项式恒等变形中常用的公式1、222()2x y x xy y ±=±+2、22()()x y x y x y -+=-3、33223()33x y x x y xy y ±=±+±4、2233()()x y x xy y x y ±+=5、2()()()x a x b x a b x ab ++=+++6、22221231212131()222n n n n x x x x x x x x x x x x x -++++=+++++++7、1221()()n n n n n n x y x x y xy y x y -----++++=- 8、21222322122()()k k k k k k x y xx y x y y x y ----+-+--=-9、22122222121()()kk k k k k x y xx y x y y x y --+++-+-+=+10、222333()()3x y z x y z xy yz zx x y z xyz ++++---=++-11、11222()n o n n n k n k k n n n n n n n x y C x C x y C x y C x y C y ---+=++++++ 12、带余除法定理：设f(x)、 g(x)是数域F 上的两个多项式，且g(x)≠0,则存在数域上的唯一的一对多项式q(x) 和 r(x)，使得 f(x)=g(x)q(x)+r(x) ，其中 r(x) =0 或者 r(x)的次数低g(x)的次数。
13、因式定理：多项式f(x)被(x-a)整除的充分必要条件是f(a)=0。
例4 已知 x+y+z=0,求证：555333222532x y z x y z x y z ++++++=⋅证明1 将已知式的两边分别平方、三次方，整理得2222x y z x y y z z x ++++=- ①3333x y z xyz ++= ②证明2 由待证式的对称性，可设x 、y 、 z 是关于T 的三次方程30T AT B -+=的三个根，则有2222()2x y z xy yz zx A ++=-++=-由于3330,0,0x Ax B y Ay B z Az B -+=-+=-+= 所以333()33x y z A x y z B B ++=++-=-同理5555x y z AB ++= 所以原等式成立。