第3章 扭转

cc' ( ) dx
在横截面上 d
cc
'

cc d
'
d ( ) dx
d 称为单位长度相对转角 。 dx d 对于两个相邻的截面， 为常数。 dx
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2. 物理方面
弹性范围内的切应力—切应变关系
d ( ) dx
d ( ) G ( ) G dx
① τ和τ’为同一点的剪应力；
② τ和τ’广所在的两平面相互垂直； ③ τ和τ’的方向都垂直它们所在的两个截面的交线。 否则， τ和τ’不存在互等关系。
14
3.剪切胡克定律
G
其中，比例常数G 称为切 变模量。常用单位GPa
对各向同性材料可以证明，弹性常数E、G、μ存在 关系 E 表明3个常数只有2个是独立的 G
实心圆截面
I
d 4
32
I dA
2 A
4
空心圆截面
I
D 1
4
32
,
d D
22
最大切应力发生在横截面边缘上各点:
( )max
T max T I I
max
T WP
WP为圆截面的抗扭截面系数。
实心圆截面
W
d 3
16
空心圆截面
28
对于组合图形，则先将其分解为若干个简单图形(可以 直接确定形心位置的图形 )；然后由式 (7—2)分别计算它
们对于 给定 坐标轴 ( 同一个给定坐标系 ) 的静矩，并求其
代数和，即
n
S y A1 zc1 A2 zc 2 An zcn Ai zci
i 1 n
S z A1 yc1 A2 yc 2 An ycn Ai yci
P

A
y z IP I y Iz
2
2
34
3) 惯性积 (Product of inertia)
I yz yzdA
A
单位为m4
4) 惯性半径 (radius of gyration )
定义
iy
Iy A
iz
Iz A
惯性矩和极惯性矩恒为正 ；而惯性积则由于坐
标轴位置的不同，可能为正，可能为负。三者
y1 y
z1 z y dA
Iy Iz I yz
o
z
?
I y1 I z1 I yz1
I y1 I z1
I y Iz 2 I y Iz 2 2

I y Iz 2 I y Iz 2
cos 2 I yz sin 2 cos 2 I yz sin 2
转轴定理不要求 原坐标轴通过横 截面的形心。
通过其形心。
如果已经计算出静矩，就可以确定形心的位置；反之，
如果已知形心在某一坐标系中的位置，则可计算图形 对于这一坐标系中坐标轴的静矩。
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y
S z ydA
A
h
z C

h/2
h/2
y bdy
2 h/2 h/2
b
1 b y 2
0
对于通过形心的坐标轴，图形对其静矩等于零.
T = Me
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
6
§ 4-2 动力传递与扭矩
扭矩图


7
§ 4-2 动力传递与扭矩
解: (1)计算外力偶矩 由公式 M 9549 P
n
8
§ 4-2 动力传递与扭矩
(2)计算扭矩
(3) 扭矩图
9
§ 4-2 动力传递与扭矩
d 一个不变的量。 G 对于特定的某个截面是 dx
切应力沿横截面的半径呈线性分布。
19
3. 静力学方面——平衡
如何把内力静力学方程。
20
d ( ) G ( ) G dx
( )dA T
W
D 3 1 4
16
d , D
23
§4-5 极惯性矩与抗扭截面系数
不同受力形式下杆件的应力和变形，不仅取决于内力
分量的类型、大小以及杆件的尺寸，而且与杆件横截面的 几何形状有关。因此，研究杆件的应力与变形，研究失效 问题以及强度、刚度、稳定问题，都要涉及到与截面图形 的几何形状和尺寸有关的量。这些量统称为几何量，包括： 形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、主 轴等。
25
图形几何形状的中心称为形心(Centroid of an area) 若将 面积 视为垂直于图形平面的 力 ，则 形心 即为 合力的作用点。
设zc、yc为形心坐标，则根据合力矩定理：
S y Azc
zc
Sy A

A
zdA A ydA A
26
S z Ayc
Sz yc A
I y1 z 1
I y Iz
sin 2 I yz cos 2
43
转轴公式推导过程：
44
主轴与形心主轴、主惯性矩与形心惯性矩
I y1z1 I y Iz sin 2 I yz cos 2 0
2 就可以得到某个 ＝o，相应的坐标轴 yo和zo
如果图形对于过一点的一对坐标轴的惯性积等于零， 则称这一对坐标轴为过这一点的主轴 (principal axis) 。
的单位均为m4。
35
对于圆形横截面： 此时坐标轴通过横截面的形心， 得到极惯性矩为：
I P r dA
2 A
A r dA 2 r dr
2
I P r 2rdr
2 0
R

R 4
2
D

d 4
32
类似的得到圆环截面对于 圆环中心的极惯性矩为： I D 4 1 4 d P
0
T 2 2 Ro
薄壁圆管扭转应力计算公式
12
2. 纯剪切和切应力互等定理 单元体截面上只有切应力而无正应力作 用，这种应力状态叫做纯剪切应力状态。
该定理的内容为：同一点的、
位于两个互相垂直面上且垂直 于两面交线的二剪应力，其大
小相等、方向均指向两面的交
线或均背离两面的交线。
13
应明确，τ=τ’只在同时满足下列条件时才成立：
力偶在单位时间内所作的功就是功率 P ，等 于该力偶之矩M与相应角速度ω的乘积。 P M 量纲分析：1J
3
= 1N m
1w = 1N m / s
kW r/min
5
n P 10 M 2 60
Nm
P M 9549 n
§ 4-2 动力传递与扭矩
2.扭矩和扭矩图
第三章 扭转
1
第三章 扭转
§ 4-1 引言
§ 4-2 动力传递与扭矩
§ 4-3 切应力互等定力与剪切胡克定律 § 4-4 圆轴扭转横截面上的应力 § 4-5 极惯性矩与抗扭截面系统 § 4-6 圆轴扭转破坏与强度条件 § 4-7 圆轴扭转变形与刚度条件 § 4-8 简单静不定轴
2
§ 4-1 引言
i 1
注意：各个分面积中，距 离的度量都是：在 同 一 个 坐标系中求解！
29
再利用式子(7-3)，可以得到组合图形的形心坐标：
zc
Sy A

Az
i 1 n
n
i ci
A
i 1
i
Sz yc A
Ay
i 1 n i
n
ci
在各个表达式中，各个 距离的度量都是 参考同 一个坐标系！
A
i 1
i
30
31
例题 A-2 求下图的截面形心C。 任意建立一个参考坐 标系，如左图所示。
Sz
10103
0
bydy 2500 109 m3
Sz 2500 109 3 y1 5.0 10 m 3 3 A 50 10 10 10
32
Sz
共同特点： 构件为直杆，并垂直于杆件轴线 的平面内有力偶。 扭转变形是指杆件受到大小相等, 方向相反且作用平面垂直于杆件 轴线的力偶作用,使杆件的横截面 绕轴线产生转动。
3
§ 4-2 动力传递与扭矩
1.外力偶矩
直接计算
4
§ 4-2 动力传递与扭矩
2. 按输入功率和转速计算
已知 轴转速－n 转/分钟 输出功率－P 千瓦
32
36
当坐标轴通过某 圆形 横截面的中心，则该圆形横截 面对其中任意两根轴具有相同的惯性矩。其数值均为：
d Iy Iz I 64
4
4
类似的，对于圆环形状的横截面，具有类似的结果为：
D 4 Iy Iz I 1 64
d D
37
当坐标轴原点位于矩形横截面的中心，则其惯性矩分别为：
I y1、I z1总是增加的。 I yz1的增加与否，与 a，b的正负号有关。
I I a A
2 z1 z
I I abA
yz 1 yz
移轴定理要求：
原坐标轴通过横截面的形心。
40
y y1 z1
b
z dA y
o a O’
2
y1 z1
z
I z dA z b dA z 2 zb b dA
70103
10103
bydy 2.4 105 m3
S z 2.4 105 y1 0.04m 4 A 6 10
y1、y2和yc都是在oyz坐标系中度量的。
Sz yc A