人教版数学九年级上册教案：第21章 一元二次方程 小结与复习
人教版数学九年级上册教案：第21章一元二次方程小结与复习
第二十二章《一元二次方程》小结一、本章知识结构框图二、本章知识点概括1、相关概念（1）一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
（2）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
（3）一元二次方程的根：一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
用“夹逼”法估算出一元二次方程的根的取值范围．一次方程：一元一次方程，二元一次方程，三元方程整式方程二次方程：一元二次方程，二元二次方程*（4）有理方程高次方程：分式方程2、降次——解一元二次方程（1）配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．其步骤是:①方程化为一般形式；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③化二次项系数为1；④配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程左边是完全平方式，从而原方程化为（mx+n）2=p的形式；⑤如果p≥0就可以用开平方降次来求出方程的解了，如果p<0，则原方程无实数根。
（2）公式法：利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．其方法为：先将一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当⊿＝b2－4ac≥0时，•将a、b、c代入求根公式x=（b2-4ac≥0）就得到方程的根．（3）分解因式法：先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0,从而降次．这种解法叫做因式分解法．步骤是：①通过移项将方程右边化为0；②通过因式分解将方程左边化为两个一次因式乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，得一元二次方程的解。
3、一元二次方程根的判别式（1）⊿＝b2－4ac叫一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式。
(人教版新课标)九年级数学第21章《一元二次方程》知识小结
- 1 -一元二次方程是初中数学的重要内容，在初中数学中占有重要的地位，它和二次函数的联系非常密切．这部分内容是各地考试热点和同学们容易出错的地方，是历年各地中考的必考内容之一，在试卷中占有较大的分值比例．考试中不仅基础题会考查，更重要的是后面的综合题也会重点考查，一般以函数等知识为背景进行综合考查，因此同学们应对这部分内容予以高度重视． 【知识网络】【知识解读】1．一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的次数是二次的整 式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式：20ax bx c ++=（0a ≠）． （1）判断一个方程是不是一元二次方程时应抓住三点：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③方程是整式方程（即含有未知数的式子是整式）．三者必须同时满足，否则就不是一元二次方程．（2）20ax bx c ++=（a ，b ，c 为常数，0a ≠）称为一元二次方程的一般形式，其中0a ≠是定义中的一部分，不可缺少，否则就不是一元二次方程． 2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数，二者是不同的概念，不可混淆．2．一元二次方程的解法注意事项：解一元二次方程常见的思维误区是忽略几个关键：用因式分解法解方程的关键是先使方程的右边为0；用公式法解方程的关键是先把一元二次方程化为一般形式，正确写出a、b、c的值；用直接开平方法解方程的关键是先把方程化为(mx-n) 2=h的形式；用配方法解方程的关键是先把二次项系数化为1，再把方程的两边都加上一次项系数一半的平方.解具体的一元二次方程时，要分析方程的特征，灵活选择方法．公式法是解一元二次方程的通法，而配方法又是公式法的基础（公式法是直接利用了配方法的结论）．分解因式法可解某些特殊形式的一元二次方程．掌握各种方法的基本思想是正确解方程的根本．一般说来，先特殊后一般，即先考虑分解因式法，后考虑公式法．没有特别说明，一般不用配方法．4．一元二次方程的是实际应用方程是解决实际问题的有效模型和工具，解方程的技能训练要与实际问题相联系，在解决问题的过程中体会解方程的技巧，理解方程的解的含义．利用方程解决实际问题的关键是找出问题中的等量关系，找出题目中的已知量与未知量，分析已知量与未知量的关系，再通过等量关系，列出方程，求解方程，并能根据方程的解和具体问题的实际意义，检验解的合理性．列一元二次方程解应用题的一般步骤可归纳为审、设、列、解、验、答．审：读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的等量关系；设：设元，也就是设未知数；列：列方程，这是非常重要的关键步骤，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，然后列代数式表示相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程；解：解方程，求出未知数的值；验：检验方程的解能否保证实际问题有意义；答：写出答语．相等关系的寻找应从以下几方面入手：①分清本题属于哪一类型的应用题，如行程问题，则其基本数量关系应明确（v t s=）．②注意总结各类应用题中常用的等量关系．如工作量（工程）问题．常常是以工作量为基础得到相等关系（如各部分工作量之和等于整体1等）．③注意语言与代数式之间的转化．题目中多数条件是通过语言给出的，我们要善于将这些语言转化为我们列方程所需要的代数式．④从语言叙述中寻找相等关系．如甲比乙大5应理解为“甲=乙＋5”等．⑤在寻找相等关系时，还应从基本的生活常识中得出相等关系．总之，找出相等关系的关键是审题，审题是列方程的基础，找相等关系是列方程解应用题的关键．【易错点】一、忽视一元二次方程定义中的条件例 1 关于x的一元二次方程（01)122=-+++axxa的一个根为0，则a=_______.错解：∵0是一元二次方程的根，∴将0=x代入方程得,012=-a∴1±=a。
九年级数学人教版(上册)第21章小结与复习
当m=2，x2-2x=2，解得x=1± 3，
所以，原方程的解为x1=3，x2=-1， x3=1+ 3 ，x4=1- 3 ．
侵权必究
考点3 一元二次方程的根的判别式的应用
例4 已知关于x的一元二次方程x2-3m=4x有两个不相等
的实数根，则m的取值范围是（ A ）
A. m 4 B. m<2
3
C. m ≥0
第二十一章 一元二次方程 小结与复习
侵权必究
目录页
要点梳理
考点精讲
课堂小结
当堂练习
侵权必究
要点梳理
✓ 教学目标 ✓ 教学重点
侵权必究
要点梳理 一、一元二次方程的基本概念 1.定义：
只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的 方程叫做一元二次方程． 2.一般形式：
解析 本题为销售中的利润问题，其基本本数量关系用表析分如 下：设公司每天的销售价为x元.
侵权必究
单件利润 销售量（件） 每星期利润（元）
正常销售
4
32
128
涨价销售
x-20
32-2(x-24)
150
其等量关系是：总利润=单件利润×销售量.
解：（1）32-(x-24) ×2=80-2x; （2）由题意可得(x-20)(80-2x)=150.
侵权必究
解：设销售单价为x元.则月销售量为［500-10(x-50)］kg. 由题意可得 (x-40)［500-10(x-50)］=8000， 解得 x1=60, x2=80， 又 40［500-10(x-50)］≤10000. x≥75. ∴x=60<75(舍去) 答：销售单价应为80元.
09第21章一元二次方程小结与复习教案
二、一元二次方程的根与系数的关系
已知 x1，x2 是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c 为常数，a≠0)的两根. 则有：
x1
x2
b a
，
x1 x2
c a
.注意：(1)不是一般式的，要化成一般式；(2)在方程有实数根的条
件下应用，即
b2-4ac≥0；(3)在使用
x1
x2
b a
时，注意“-”不要漏写.
大种植，造成该种蔬菜滞销.小王为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每
千克 3.2 元的价格对外批发销售.求平均每次下调的百分率是多少？
解：设平均每次下调的百分率是 x，根据题意得
5(1-x)2=3.2
解得 x1=1.8(舍去)，x2=0.2=20% 答：平均每次下调的百分率是 20%.
10.为了响应市委市政府提出的建设绿色家园的号召，我市某单位准备将院内一个长为 30m，
高于每件 28 元，该公司想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应当为多少元？
解：(1)每天的销售量为：32-2(x-24)=(80-2x)件；
(2)由题意可得(x-20)(80-2x)=150
解得 x1=25，x2=35 由题意 x≤28，∴ x=25，即销售价应当为 25 元.
针对训练
9.菜农小王种植的某种蔬菜，计划以每千克 5 元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩
A.(x－1)2＝6
B.(x＋2)2＝9
C.(x＋1)2＝6
D.(x－2)2＝9
(2)某三角形两边长分别为 3 和 6，它第三边的长是方程 x2－13x＋36＝0 的根，则该三角形
的周长为( )
A.13 B.15 C.18 D.13 或 18
第二十一章 一元二次方程单元小结
第21章一元二次方程小结与复习
教学目标：
知识与技能：
灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程，运用一元二次方程解决简单的实际问题．
过程与方法：
经历运用知识、技能解决问题的过程，发展学生的独立思考能力和创新精神．
情感态度与价值观：
培养学生对数学的好奇心与求知欲，养成质疑和独立思考的学习习惯．
教学重难点：
重点：运用知识、技能解决问题
难点：解题分析能力的提高．
教学过程
一、知识回顾
1．方程中只含有_______未知数，并且未知数的最高次数是_______，这样的______的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：_______（）其中二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是________．
2．解一元二次方程的一般解法有
（1）_________；（2）________；（3）_________；（4）求根公
式法，求根公式是______________．
3．一元二次方程的根的判别式是____________，当_______时，它有两个不相等的实数根；当_________时，它有两个相等的实数根；当_______时，它没有实数根．
二、习题演练
点拨：选择解方程的方法时，应先考虑直接开平方法和因式分解法；再考虑用配方法，最后考虑用公式法．
三、随堂巩固
课本P25复习题21第1、3、5、11题
四、小结作业
1.问题：谈一谈本节课自己的收获和感受？
2.作业：课本P25复习题21第2、4题。
人教版九年级数学上册21.1：一元二次方程(教案)
1.教学重点
-理解并掌握一元二次方程的定义及一般形式，这是学习后续解法的基础。
-掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等解一元二次方程的常用方法，能够熟练运用这些方法求解方程。
-认识判别式Δ的作用，能够根据判别式的值判断方程的根的情况。
-了解并应用一元二次方程的根与系数之间的关系，掌握根的公式。
人教版九年级数学上册21.1：一元二次方程（教案）
一、教学内容
人教版九年级数学上册21.1：一元二次方程
1.理解一元二次方程的定义，掌握其一般形式：ax^2 + bx + c = 0（a≠0）。
2.学会使用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法求解一元二次方程。
3.掌握一元二次方程的根的判别式Δ=b^2-4ac，并能根据判别式的值判断方程的根的情况。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调一元二次方程的解法和判别式Δ这两个重点。对于难点部分，比如配方法和公式法，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。比如，通过测量不同长度的绳子围成的正方形的面积，来演示一元二次方程的基本原理。
小组讨论时，我尽量引导学生提出自己的观点，鼓励他们相互交流。从成果分享来看，学生们对一元二次方程在实际生活中的应用有了更深入的理解。但同时，我也发现有些学生在讨论中不够积极，可能是因为他们对问题还不够熟悉，或者是对自己的观点不够自信。我需要在以后的课堂上，多关注这部分学生，提高他们的参与度和自信心。
五、教学反思
今天在教授一元二次方程这一章节时，我发现学生们对配方法和公式法的掌握程度参差不齐。在讲解过程中，我尽量用简单明了的语言和丰富的例子来阐述这两个难点，但感觉还是有一部分学生难以跟上。我意识到，可能需要更多的时间和练习来帮助他们真正理解和运用这些方法。
人教版九年级数学上册第21章《一元二次方程》知识点小结与复习
当 a 0 时,它不是一元二次方程.
方程2ax2 -2bx+a=4x2, (1)在什么条件下此方程为一元二次方程？ (2)在什么条件下此方程为一元一次方程？
解： 原方程转化为(2a-4)x2 -2bx+a=0 当a≠2时是一元二次方程； 当a＝2,b≠0时是一元一次方程；
m=
。
3、当m
时，关于x的方程3x2－
2(3m+1)x+3m2－1=0有两个不相等的实数
根。
4、关于x的一元二次方程mx2+(2m－1)x－
2=0的根的判别式的值等于4，则m=
。
一元二次方程的根与系数的关系： （韦达定理）
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是X1 , X2 ,
那么X1+x2= -
2(a－2)x+a２－5=0有实数根，且两 根之积等于两根之和的2倍，求a的值。
【例4】已知x1,x2是关于x的方程 x2+px+q=0的两根，x1+1,x2+1是关 于x的方程x2+qx+p=0的两根，求常 数p、q的值。
拓展练习：
１、当a,c异号时,一元二次方程ax2+bx+c=0的根的
情况是
一元二次方程的解法：（公式法）
例：（3） 2x2 3x 4 0
解： a 2,b 3,c 4
b2 4ac 32 4 24
9 32 41
3 41
x 22
3 41 3 41 x1 4 , x2 4
注：当一元二次方程二次项系数不为1且
难以用因式分解时常用公式法比较简便。
b2 4ac 0,
人教版数学九年级上册21.2解一元二次方程(教案)
此外，我也会反思自己的教学方法，看看是否有更直观、更生动的方式来讲解这些概念，使它们更容易被学生接受。我可能会引入更多的教学工具，如图形、实物模型等，来帮助学生们直观理解一元二次方程的解法。
-能够灵活运用各种解法求解一元二次方程，并理解解的几何意义。
-解决实际问题中涉及的一元二次方程，体会数学在生活中的应用。
举例：重点讲解配方法中的“完全平方公式”，并让学生通过练习熟练掌握其运用。
2.教学难点
-理解并掌握配方法中“移项”和“配方”的步骤，特别是在“配方”过程中常数项的处理。
-对公式法中求根公式的理解和记忆，以及正确运用求根公式求解一元二次方程。
c.让学生通过反复练习，掌握配方过程中关键步骤，并能独立完成类似题目。
对于公式法的难点，可通过以下方式帮助学生理解：
a.解释求根公式的来源和推导过程，增强学生的理解。
b.通过对比不同类型的一元二次方程，让学生体会求根公式的普适性。
c.通过典型例题，展示求根公式在实际应用中的正确使用方法。
对于分解因式法的难点，可以采取以下策略：
b.通过实例演示，如何将实际问题转化为数学方程。
c.让学生通过小组讨论和实际操作，学会将实际问题数学化，培养建模能力。
c”的指令，继续完成示范课的一元二次方程的四种解法，并能熟练运用。
2.过程与方法：通过实例分析，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度价值观：激发学生学习数学的兴趣，提高他们解决问题的自信心。
人教版九年级数学上册(教案)：21.1一元二次方程
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解一元二次方程的定义及其一般形式，这是后续学习的基础。
-掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程，这些是解决一元二次方程的核心技能。
-识别判别式Δ的意义及其与方程解的关系，这是判断一元二次方程解的性质的关键。
-应用一元二次方程解决实际问题，这是将理论知识应用于实际情境的能力。
-掌握根与系数的关系，即韦达定理，这是理解一元二次方程解的结构的重要部分。
举例解释：
-通过实际例题，让学生明白一元二次方程是如何从现实问题中抽象出来的，例如，从计算物体自由落体运动中的落地时间引出一元二次方程。
-在讲解解法时，详细解释每种方法的步骤和原理，如配方法中如何将方程配成完全平方的形式，公式法中如何使用求根公式，因式分解法中如何寻找两个因式使方程左右两边相等。
-通过具体方程的判别式Δ的计算，让学生理解Δ>0、Δ=0、Δ<0分别对应方程有两个不等实数解、有两个相等实数解、无实数解的情况。
-设计实际问题的练习题，如计算矩形的面积、求解抛物线与坐标轴的交点等，让学生将方程解法应用于实际问题的解决。
-通过具体的方程例子，让学生观察并总结出韦达定理，理解两个解的和与积与方程系数之间的关系。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考，如“一元二次方程在解决哪些问题时特别有效？”
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思全册第21章 一元二次方程(教案)因式分解法教案
21.2 解一元二次方程21.2.3 因式分解法一、教学目标【知识与技能】1.会用因式分解法（提公因式法、运用公式）解一元二次方程.2.能根据方程的具体特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性.【过程与方法】在经历探索用因式分解法解一元二次方程及依据方程特征选择恰当方法解一元二次方程的过程中,进一步锻炼学生的观察能力，分析能力和解决问题能力.【情感态度与价值观】通过因式分解法解一元二次方程的探究活动，培养学生勇于探索的良好习惯，感受数学的严谨性及教学方法的多样性.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】会用因式分解法解一元二次方程.【教学难点】理解并应用因式分解法解一元二次方程.五、课前准备课件六、教学过程（一）导入新课1.解一元二次方程的方法有哪些？（出示课件2）学生答：直接开平方法：x2=a (a≥0)，配方法：(x+m)2=n (n≥0)，公式法：x=2ba-±（b2-4ac≥0）.2. 什么叫因式分解?学生答：把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解，也叫把这个多项式分解因式.3.分解因式的方法有那些?（出示课件3）学生答：（1）提取公因式法:am+bm+cm=m(a+b+c).（2）公式法:a²-b²=(a+b)(a-b), a²±2ab+b²=(a±b) ².（3）十字相乘法.教师问：下面的方程如何使解答简单呢？x2+25x=0.出示课件5：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过x s物体离地面的高度（单位：m）为10x-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？（精确到0.01s）教师问：你能根据题意列出方程吗？学生答：设物体经过x s 落回地面，这时它离地面的高度为0m ，即10x -4.9x 2=0.教师问：你能想出解此方程的简捷方法吗？（二）探索新知探究 因式分解法的概念学生用配方法和公式法解方程10x -4.9x 2=0.（两生板演）配方法解方程10x -4.9x 2=0. 解：2100049x x -=，22210050500494949x x ⎛⎫⎛⎫-+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2250504949x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭50504949x -=±50504949x =±+110049，=x 20.=x公式法解方程10x -4.9x 2=0.解：24.9100x x -=，a=4.9，b=－10，c=0.b 2－4ac= (－10)2－0=100，a acb b x 242-±-=()10102 4.9--±=⨯110049，=x20. =x教师引导学生尝试找出其简洁解法为：（出示课件7）x(10-4.9x)=0. ∴x=0或10-4.9x=0, ∴x1=0,x2=10049≈2.04.这种解法是不是很简单？教师问：以上解方程的方法是如何使二次方程降为一次方程的?x(10-4.9x)=0，①x=0或10-4.9x=0,②通过学生的讨论、交流可归纳为：（出示课件8）可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解法叫做因式分解法．教师提示：（出示课件9）1.用因式分解法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零;2.关键是熟练掌握因式分解的方法;3.理论依据是“ab=0,则a=0或b=0 ”.师生共同归纳：（出示课件10）分解因式法解一元二次方程的步骤是:1.将方程右边化为等于0的形式；2.将方程左边因式分解为A×B；3.根据“ab=0,则a=0或b=0”,转化为两个一元一次方程；4.分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.例1 解下列方程：（出示课件11）（1）x(x-2)+x-2=0; (2)5x 2-2x-14=x 2-2x+34. 师生共同解答如下： 解：（1）因式分解，得(x-2)(x+1)=0.故有x-2=0或x+1=0.∴x 1=2,x 2=-1;（2）原方程整理为4x 2-1=0.因式分解，得(2x+1)(2x-1)=0.∴2x+1=0或2x-1=0.∴x 1=-12,x 2=12. 想一想 以上两个方程可以用配方法或公式法来解决吗？如果可以，请比较它们与因式分解法的优缺点.学生思考后，教师总结如下：（出示课件12）一.因式分解法简记歌诀：右化零，左分解；两因式，各求解.二.选择解一元二次方程的技巧：1.开平方法、配方法适用于能化为完全平方形式的方程.2.因式分解法适用于能化为两个因式之和等于0的形式的方程.3.配方法、公式法适用于所有一元二次方程.出示课件13：解下列方程：2222221 +=0; (2) -=0; (3) 3-6=-3;(4) 4-121=0; (5) 3(2+1)=4+2; (6) (-4)=(5-2).（）x x x x x x x x x x x 学生自主思考并解答.（六生板演）解：⑴因式分解，得x(x+1)=0.于是得x=0或x+1=0，x 1=0,x 2=－1.⑵因式分解，得x （x）=0于是得x=0或x-2=0x1=0,x2=2.⑶将方程化为x2－2x+1 = 0. 因式分解，得(x－1)(x－1)=0.于是得x－1=0或x－1=0，x1=x2=1.⑷因式分解，得(2x+11)(2x－11)=0.于是得2x+11=0或2x-11=0，x1=-5.5,x2=5.5.⑸将方程化为6x2－x－2=0. 因式分解，得(3x－2)(2x+1)=0. 于是得3x－2=0或2x+1 = 0，x1=23，x2=12.⑹将方程化为(x－4)2－(5－2x)2=0.因式分解，得(x－4－5+2x)(x－4+5－2x)=0.(3x－9)(1－x)=0.于是得3x－9=0或1-x=0，x1=3，x2=1.出示课件16：用适当方法解下列方程：−x)2；(2)x2－6x－19＝0；(3)3x2＝4x＋1;(4)y2－15＝2y；(5)5x(x－3)－(x－3)(x＋1)＝0；(6)4(3x＋1)2＝25(x－2)2.教师提示：根据方程的结构特征，灵活选择恰当的方法来求解.四种方法的选择顺序是：直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法．师生共同解答如下.（出示课件17,18,19）解：(1)(1－x)2＝3，∴(x－1)2＝3，x－1∴x1＝1x2＝1.(2)移项，得x2－6x＝19.配方，得x2－6x＋(－3)2＝19＋(－3)2.∴(x－3)2＝28.∴x－3＝±.∴x1＝3＋，x2＝3－.(3)移项，得3x2－4x－1＝0.∵a＝3，b＝－4，c＝－1，∴x＝−（−4）±√（−4）2−4×3×（−1）2×3＝2±73.∴x1＝2＋73，x2＝2－73.(4)移项，得y2－2y－15＝0.把方程左边因式分解，得(y－5)(y＋3)＝0. ∴y－5＝0或y＋3＝0.∴y1＝5，y2＝－3.(5)将方程左边因式分解，得(x－3)[5x－(x＋1)]＝0. ∴(x－3)(4x－1)＝0.∴x－3＝0或4x－1＝0.∴x1＝3，x2＝1 4 .6)移项，得4(3x＋1)2－25(x－2)2＝0.∴[2(3x＋1)]2－[5(x－2)]2＝0.∴[2(3x＋1)＋5(x－2)]·[2(3x＋1)－5(x－2)]＝0. ∴(11x－8)(x＋12)＝0.∴11x－8＝0或x＋12＝0.∴x1＝811，x2＝－12.出示课件20,21：用适当的方法解下列方程：(1)x2－41＝0；(2) 5(3x＋2)2＝3x(3x＋2)．学生自主思考并解答.解：(1)∵x2－14＝0，∴x2＝14，即x＝±14.∴x1＝12，x2＝－12.⑵原方程可变形为5(3x＋2)2－3x(3x＋2)＝0，∴(3x＋2)(15x＋10－3x)＝0.∴3x＋2＝0或12x＋10＝0.∴x1＝－23，x2＝－56.（三）课堂练习（出示课件22-30）1.已知x=2是关于x的一元二次方程kx²+（k²﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为．2. 解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）．3.解下列方程：（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12.4.小华在解一元二次方程x2－x＝0 时，只得出一个根x＝1，则被漏掉的一个根是（）A．x＝4 B．x＝3C．x＝2 D．x＝05.我们已经学习了一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法．请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程．①x2－3x＋1＝0；②(x－1)2＝3；③x2－3x＝0；④x2－2x＝4.我选择______________________.6.解方程：(x2＋3)2－4(x2＋3)＝0.参考答案：1.-32.解：2（x﹣3）=3x（x﹣3），移项得2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0，因式分解得（x﹣3）（2﹣3x）=0，x﹣3=0或2﹣3x=0，解得：x1=3,x2=32．3.解：⑴x2+2x+2=0，(x+1)2=-1.此方程无解.⑵x2-4x-12=0，(x-2)2=16.x1=6,x2=-2.4.D5.解：答案不唯一．若选择①，①适合公式法，x2－3x＋1＝0，∵a＝1，b＝－3，c＝1，∴b2－4ac＝9－4＝5＞0.∴x＝3±5 2.∴x1＝3＋52，x2＝3－52.若选择②，②适合直接开平方法，∵(x－1)2＝3，x－1＝±3，∴x1＝1＋3，x2＝1－ 3. 若选择③，③适合因式分解法，x2－3x＝0，因式分解，得x(x－3)＝0.解得x1＝0，x2＝3.若选择④，④适合配方法，x2－2x＝4，x2－2x＋1＝4＋1＝5，即(x－1)2＝5.开方，得x－1＝± 5.∴x1＝1＋5，x2＝1－ 5.5.提示：把(x2＋3)看作一个整体来提公因式，再利用平方差公式，因式分解.解：设x2＋3＝y，则原方程化为y2－4y＝0.分解因式，得y(y－4)＝0，解得y＝0，或y＝4.①当y＝0 时，x2＋3＝0，原方程无解；②当y＝4 时，x2＋3＝4，即x2＝1.解得x＝±1.所以原方程的解为x1＝1，x2＝－1.（四）课堂小结1.用因式分解法解一元二次方程有哪些优缺点？需注意哪些细节问题？2.通过本节课的学习，你还有哪些收获和体会?⑴公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）.⑵方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法.（五）课前预习预习下节课（21.2.4）的相关内容。
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第二十二章《一元二次方程》小结
一、本章知识结构框图
二、本章知识点概括
1、相关概念
（1）一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
（2）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，
其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
（3）一元二次方程的根：一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
用“夹逼”法估算出一元二次方程的根的取值范围．
一次方程：一元一次方程，二元一次方程，三元方程
整式方程二次方程：一元二次方程，二元二次方程
*（4）有理方程高次方程：
分式方程
2、降次——解一元二次方程
（1）配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．
配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．其步骤是:
①方程化为一般形式；
②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；
③化二次项系数为1；
④配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程左边是完全平方式，
从而原方程化为（mx+n）2=p的形式；
⑤如果p≥0就可以用开平方降次来求出方程的解了，如果p<0，则原方程无实数根。
（2）公式法：利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
其方法为：先将一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当⊿＝b2－4ac≥0时，•
将a、b、c代入求根公式x=（b2-4ac≥0）就得到方程的根．
（3）分解因式法：先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0,从而降次．这种解法叫做因式分解法．步骤是：
①通过移项将方程右边化为0；
②通过因式分解将方程左边化为两个一次因式乘积；
③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，得一元二次方程的解。
3、一元二次方程根的判别式
（1）⊿＝b2－4ac叫一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式。
（2）运用根的判别式，在不解方程的前提下判别根的情况：
①⊿=b2－4ac ＞0
②⊿=b2－4ac =0
③⊿=b2－4ac ＜0
④⊿=b2－4ac ≥0
（3）应用：
①不解方程，判别方程根的情况；
②已知方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围；
③应用判别式证明方程的根的状况（常用到配方法）；
注意：运用根的判别式的前提是该方程是一元二次方程，即：a≠0。
*4、一元二次方程根与系数的关系（本部分内容为选学内容）
（1）如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是，
那么
（2）应用：
①验根，不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；
②已知方程的一个根，求另一根及未知系数的值；
③已知方程的两根满足某种关系，求方程中字母系数的值或取值范围；
④不解方程可以求某些关于的对称式的值，通常利用到：
当=0且≤0，两根互为相反数；
当⊿≥0且=1，两根互为倒数。
（重点强调：一元二次方程根与系数的关系是在二次项系数a≠0，⊿≥0前提条件下应用的，解题中一定要注意检验）
⑩用公式法因式分解二次三项式ax2+bx+c(a≠0)：
ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）其中是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根。
5、实际问题与一元二次方程
传播式分支问题；平均变化率问题；数字问题；利润问题；图形的面积问题；匀变速问题；握手、写信问题；银行利率问题；浓度问题；方案设计问题等。
三、典型例题辨析
1、在下列方程中，是一元二次方程的有________个．
①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-=0
2、当m时,关于x的方程(m+2)x|m|+3mx+1=0是一元二次方程.
3、方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．
4、根据下列表格的对应值：
判断关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根x的取值范围是________。
5、已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．
6、已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，则这个三角形的周长是_____．
7、已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是_____．
8、已知2和是关于的方程的两个根，则的值为，的值为 .
9、已知方程的两根为，则的值为。