4-1-1讲稿 白球与黑球
4-1 白球与黑球
同学们好，从本次课程起，我们来学习与西方政治生活有关的词根和词汇。
在古罗马时代，下至一般求职者，上至会计官、执政官乃至最高执政官等官职的候选人，都喜欢身着白色宽外袍。
宽是为了便于向人们显示身上的伤痕；白则象征着洁白无瑕，表示谦卑真诚，忠诚正直。
17世纪开始在英语中出现的单词candidate就来源于此，原指白衣人，后指穿着白袍，谋求公职的人，接着语义范围扩大，泛指谋求公职的人，以后又引申为候选人，应试人，以及候补者等。
词根cand就表示white白的意思，除此之外，cand还可以表示bright光亮的。
我们来看一下其他由cand构成的词。
比如candle，由cand与后缀-le组成，-le表示small，candle我们都知道是蜡烛，原来拉丁语想表达的意思是白色的能发光的小东西呀！
candid与candidate是同源词，形容词后缀-id表示像……一样的；和……相关的。
比如vivid，像有生命一样的，表示生动的；鲜明的；humid像泥土一样的，表示卑微的，低贱的；那么candid就是像穿着白色宽外袍一样的，表示正直的、坦率的。
我们看到，candid后面加上后缀-ate就变成了candidate。
以-ate结尾的名词通常分为三类，第一类表示人；第二类表示职位、职权、总称等，第三类则表示化学名词，多指由酸形成的盐类，在candidate中-ate当然是表示人。
后缀-our与物主代词our没有任何关系，它表示的是the act；the state; the quality，the characteristics of sth. 某某的行为、状态、性质、特征，candour 白的特征，引申为坦率、率真。
Cand前面加上in，后面加上形容词后缀-escent组成incandescent，后缀-escent表示开始、正在、逐渐进入某种状态。
Incandescent就含有逐渐发光的，逐渐变白的意思。
引申为遇热发光的，白炽的，炽热的，光辉的，杰出的。
白与黑的象征意义在古罗马人和古希腊人的选举中也充分体现出来，他们采用类似我们惯用的无记名投票的方式，不同的是，他们投的不是用纸做的选票，而是用小石球或小金属球之类的东西。
白色小球表示赞成，黑色小球表示反对。
这种投小球的做法在今天并没有完全绝迹，在某些俱乐部、社团以及共济会分会里仍有所见。
对不受欢迎的人，成员往往以投黑色小球的方式来表示反对吸收入会。
据此产生了复合动词blackball，其含义不释自明，即“投票反对”。
至于投票用的小球，英语中用ballot来命名，但是，经过长时间的演变，ballot 几乎全然失去了它的原义，转化为无记名投票、无记名投票所用的选票，投票权，一轮选举等等。
（弹题）
在世界现代史上有案可查的，率先采用无记名投票方式选举政府的恐怕要数1856年的澳大利亚南部举行的一次选举。
选票上开列全部候选人姓名，在投票处分发，由投票人秘密圈选，这种选票因为始创于澳大利亚，故有Austrilian ballot 之称。
19世纪30年代发生于英国的宪章运动就已经把投票选举，即无记名投票权列为六项政治要求之一。
可是，直到1872年通过了ballot act（投票法），英国议会才首次采用这一选举方式。
而美国则是在1884年以后才开始实行的。
还有一个在政体制度中表示反对的词汇veto，这是一个直接借自拉丁文的英语单词。
Veto原是古罗马护民官对元老院的议案提出反对时所用的词语。
在拉丁文中veto的意思是I forbid（我不准）。
在英语中则表示否决或否决权。
在美国英语中pocket veto是指（总统的）不签署议案，是美国第七任总统杰克逊（Andrew Jackson）首先使用的。
法国国王路易十六与王后曾分别被称为veto先生和veto夫人。
因为他们在1791年滥用权力否决了立宪会议通过的许多法令。
本次课程就到这里。
单词承载历史，历史造就单词。
1-4 等可能概型(古典概型)
n
1
证：从n个不同的元素中取出n1个元素有 n n !( n n )! 种取法；
1 1
n!
(n n1 )! 再从剩下的n-n1个元素中取出n2个元素有 n !(n n n )! 2 1 2
组合分析的两条基本原理
火车2次 火车
成都
汽车3次
重庆
成都
汽车
重庆
火车 飞机 轮船
武汉
共有23=6种方法 共有2+3=5种方法 1.加法原理 若完成一件事有两种方式，第一种方式有n1种方法， 第二种方式有n2种方法，无论通过哪种方法都可以完成这件事，
则完成这件事总共有n1+n2种方法。 2.乘法原理 若完成一件事有两个步骤，第一个步骤有n1种方法，
种分法。
例题7
例7 将15名新生随机地平均分配到三个班级中去，这15名新生中
种取法；„
从最后剩下的n-(n1+n2+„+nk-1)个元素中取出nk个元素有
[n (n1 n2 nk 1 )]! 种取法。 nk ![n (n1 n2 nk )]!
按乘法原理，n个不同的元素，分成k组，每组分别有n1,n2,„,nk 个元素,应该有
[n (n1 n2 nk 1 )]! n! (n n1 )! n! n1!(n n1 )! n2!(n n1 n2 )! nk !0! n1!n2! nk !
P ( A) kA 16 4 , n 36 9
kB 4 1 . n 36 9 5 8 P( A B) P( A) P( B) , P(C ) P( B) 1 P( B) 9 9 P( B)
模块4
六、纠正方法：
1、进一步讲解、示范原地双手胸前投篮和原地单手肩上投篮；2、再次示范并口头强调；3、强调三个90度。
七、安全措施：（一）、教师口头讲解并强调安全问题；（二）、及时解决个别同学出现的个别问题（如有个别学生的身体某个部位受伤，教师先检查，需及时向班主任、家长、学校汇报情况）。
教学目标
课程标准：学会原地单手肩上投篮
知识与技能：知道并掌握原地单手肩上投篮的基本技术动作
过程与方法：发展学生的创造性、身体对运动的感知能力及支配身体的能力；发展学生的各项身体素质。
情感、态度与价值观：培养学生勇敢、顽强、团结合作、集体主义精神和良好的体育道德风尚。
教学重点及解决措施
学生学会用食指、中指拨球
教学过程（可续页）
教学环节
教学内容
所用时间
教师活动
学生活动
设计意图
愉
悦
身
心
一、课堂常规；1'
二、宣布教学内容；1'
三、做准备活动3'：（一）、头部运动4×8拍；
（二）、单臂后振动4×8拍；
（三）、腹背运动4×8拍；
（四）、正压腿、侧压腿各4×8拍；
（五）、膝关节运动4×8拍；
（六）、手腕、踝关节运动4×8拍；（七）、指关节运动4×8拍。
●● ●●
②
③
⑤
⑥原地单手肩上投篮（三个90度较明显）
这样教学使学生们都能融入课堂，也能调动个别不爱动的学生。
恢
复
身
心
一、集体放松：1、站成四路纵队每路的后一个同学用手背或手掌轻拍前一个同的背或肩部；
2、做跳起耸肩运动。
二、自由放松
5'
一、教师组织；
公开课-二年级下数学广角-简单推理
胖虎说: 这次考的竟然比大雄还差。 第二名 98
静香说: 真高兴，回家告诉妈妈。 大雄说: 我竟然只错了两道。
第三名 95 第四名 91
静香
大雄 小夫 胖虎
小小推理家
❖ 三年级三个班举行乒乓球比赛，每个班派一 名代表参加，分别是林林、涛涛和洋洋。
❖ 第一局是林林对三（1）班; ❖ 第二局是三（1）对三（3）班，林林休息。 ❖ 请说出林林、涛涛和洋洋分别是那个班的？
第四关
喜羊羊、美羊羊、懒羊羊和沸羊羊在草地上玩耍。 喜羊羊在美羊羊和懒羊羊的中间； 沸羊羊在最后； 美羊羊不在第一个。 请你按从左往右的顺序给他们排排队吧。
轻松练基础
❖ 作业：p109页做一做。
❖
p111练习二十一第1、2.3题。
拍拍你的肩，不是左肩，那是哪个肩？ 那是（ ）肩。
摸摸你的耳，不是右耳，那是哪只耳？ 那是（ ）耳。
踏踏你的脚，不是右脚，那是哪只脚？ 那是（ ）脚。
伸伸你的手，不是左手，那是哪只手？ 那是（ ）手。
推理大考验
我不是最后一名 我是第一名
×
第二关
有语文、数学和品德与生活三本书，小 红、小丽、小刚三人各拿一本。 你能确定他们各拿的是什么书吗？ 小丽说：“我拿的不是数学书” 小红说：“我拿的是语文书”
❖甲.乙.丙三人年龄是三个数 字中的一个: 36；41；28
❖甲: 我不是最大的
❖乙: 我不是最小的
❖丙: 我不是最大也不是最小
第三关
三只聪明的猫考官
蓝猫
黑猫警长 机器猫
不是黑猫题, 也不是机器猫题 那么就是……
聪明的蓝猫题:
我们分别住进了以下三间房中的一间房,
请你们猜一猜我们分别住进了哪间房？
3.2.1古典概型 (2)
最终，这个囚犯就这样利用概率的原理和一点运气得以 死里逃生。
基本概念 方法探究 典型例题 课堂训练 课堂小结
我们将具有这两个特征的概率模型称为 古典概率模型
简称：古典概型
基本概念 方法探究 典型例题 课堂训练 课堂小结
问题4：向一个圆面内随机地投射一个点， 你认为这是古典概型吗？为什么？
有限性
等可能性
基本概念 方法探究 典型例题 课堂训练 课堂小结
问题5：某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验
的结果有：“命中10环”、“命中9环”、“命中8
31 P( A)
62
P(“出现偶数点”)=P(“2点”)+P(“4点”)+P(“6点”)
= 111 1 666 2
基本概念 方法探究 典型例题 课堂训练 课堂小结
古典概型的概率计算公式：
P(A)
A包含的基本事件的个数 试验的基本事件的总数
使用古典概型概率公式求概率的步骤： （1）判断是不是古典概型； （2）要找出随机事件A包含的基本事件的 个数和试验中基本事件的总数。
【例1】单选题是标准化考试中常用的题型， 一般是从A、B、C、D四个选项中选择一个准 确答案．如果考生掌握了考查的内容，他可以 选择惟一正确的答案．假设考生不会做，他随 机地选择一个答案，问他答对的概率是多少？
解：基本事件共有4个：选择A、选择B、选择 C、选择D．“答对”的基本事件个数是1个．
设事件A为：“他任选一个选项，选对”
试验1：掷一枚质地均匀的硬币一次，观察出现 哪几种基本事件？ 2 种
北师大版高中数学必修第一册 第七章 4-《事件的独立性》课件PPT
2
3
5
甲、乙、丙三人都回答错误的概率为P( · · )=P()·P()·P()=(1− 4)×(1− 3)×(1− 8)= 96.
因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙三人中,至少有一人答对这道题”是对
5
91
立事件,所以,所求事件概率为() =1− 96 = 96.
反思感悟
与相互独立事件有关的概率问题求解策略
明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发
生”“不都发生”等词语的意义.
四、方程思想在概率中的应用
例4
甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件,已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工
1
1
的零件不是一等品的概率为4,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为12,
不可能同时发生,即事件A与B是互斥的,所以所求概率为 = (A)+(B)= (A)P()+()()
=0.8×(1−0.8)+(1−0.8)×0.8=0.32.
3.袋中装有红、黄、蓝3种颜色的球各1个,从中每次任取1个,有放回地抽取3次,则3次全是红球的概率为( D )
A.
1
回答问题正确与否是相互独立的.
(1)求乙答对这道题的概率;
(2)求甲、乙、丙三人中,至少有一人答对这道题的概率.
解 (1)记甲、乙、丙3人独自答对这道题分别为事件, , ,
设乙答对这道题的概率() = ,
由于每人回答问题正确与否是相互独立的,因此, , 是相互独立事件.
由题意,并根据相互独立事件同时发生的概率公式,
1
9
, , .由题设得 () = 12 ,即 ()(1−()) = 12 ,②由①③,得() =1− 8 (),
第六章第01讲 感受可能性、频率的稳定性(5类热点题型讲练)(原卷版)--初中数学北师大版7年级下册
第01讲感受可能性、频率的稳定性(5类热点题型讲练)1．通过对生活中各种事件的概率的判断，归纳出必然事件、不可能事件和随机事件的特点，并根据这些特点对有关事件做出准确的判断；(重点)2．知道事件发生的可能性是有大小的．(难点)3．理解频率和概率的意义；4．了解频率与概率的关系，能够用频率估计某一事件的概率．(重点，难点)知识点01确定事件（必然事件、不可能事件）与不确定事件在一定条件下一定发生的事件，叫做必然事件；在一定条件下一定不会发生的事件，叫做不可能事件；必然事件和不可能事件统称为确定事件。
有些事情事先无法肯定它会不会发生，这些事情称为不确定事件，也称为随机事件。
知识点02确定事件与随机事件（1）确定事件:事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．（2）随机事件:在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1；②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0；③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．知识点03利用频率估计概率（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．题型01必然事件【例题】（2024·贵州·模拟预测）下列诗句所描述的事件中，属于必然事件的是（）A．黄河入海流B．手可摘星辰C．锄禾日当午D．大漠孤烟直【变式训练】1．（2023·广西贵港·模拟预测）下列事件中，是必然事件的是（）A．任意画一个三角形，其内角和为180B．打开电视机，正在播放“天宫课堂”C．疫情期间，对从疫情高风险区归来的人员进行核酸检测，检测结果为阳性D．某校开展“喜迎二十大，筑梦向未来”主题学习活动中，抽到甲同学分享发言2．（2024九年级·全国·竞赛）下列事件是必然事件的是（）A．同时抛掷两颗骰子，朝上的面上的点数之和不等于1B．日出时，正在玩倒立的人看到的太阳不是从东方升起的C．含有钢铁的东西放在江面上一定会沉入江底D．滚动一枚硬币，硬币不倒题型02随机事件【例题】（23-24九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）下列事件是随机事件的是（）A．一匹马奔跑的速度是700米/秒B．射击运动员射击一次，命中10环C．两个负数的和是负数D．在只装有白球的袋子中摸出黑球【变式训练】1．（23-24九年级上·贵州黔东南·期末）下列事件中，是随机事件的是（）A．在一副扑克牌中抽出一张，抽出的牌是黑桃6；B．在一个只装了红球的袋子里，摸出一个白球；C．明天太阳从东方升起；D．画一个三角形，其内角和是180 ．2．（22-23九年级上·浙江台州·期末）下列事件中，属于随机事件的是（）A．掷一次骰子，朝上一面的点数大于0B．从装有6个白球的袋中摸出一个红球C．奥运射击冠军杨倩射击一次，命中靶心D．明天太阳从西方升起题型03事件发生的可能性大小【例题】（23-24八年级下·江苏泰州·期中）从一副扑克牌中任意抽取1张：①这张牌是“A”；②这张牌是“红心”；③这张牌是“黑色的”，将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为．【变式训练】1．（22-23八年级下·江苏徐州·期中）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子一次，下列3个事件：①向上一面的点数是奇数；②向上一面的点数是3的倍数；③向上一面的点数不小于3．其中发生的可能性最大的事件是．（填写你认为正确的序号即可）2．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）箱子中有5个白球、7个黑球及m个红球．它们仅有颜色不同，若从中随机摸出一球，结果是红球的可能性比黑球的可能性小，同时又比白球的可能性大，则m的值是．题型04概率的意义理解【例题】（23-24九年级上·浙江舟山·期中）以下说法合理的是（）A．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是23 B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖C．小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是1 2D．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是12【变式训练】1．（23-24九年级上·贵州黔东南·期中）“从江县明天降水概率是30%”，对此消息下列说法中正确的是（）A．从江县明天将有30%的地区降水B．从江县明天将有30%的时间降水C．从江县明天降水的可能性较小D．从江县明天肯定不降水2．（23-24九年级上·山西临汾·阶段练习）下列说法正确的是（）A．抛掷一枚质地均匀的硬币，抛掷10次，一定有5次出现正面．B．“从布袋中取出1个黑球的概率是0”，意思是取出1个黑球的可能性很小．C．抛掷一枚质地均匀的硬币，抛掷次数很多时，出现正面的频率会稳定在0.5附近．D．“明天降雨的概率为70%”意思是明天有70%的时间在降雨．题型05关于频率与概率关系说法正误【例题】（22-23九年级上·广东潮州·期末）下列说法正确的是（）．A．不可能事件发生的概率为1B．随机事件发生的概率为13C．概率很小的事件不可能发生D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率【变式训练】1．（22-23七年级下·山东烟台·期末）下列说法中正确的是（）A．小明在装有红绿灯的十字路口，“遇到红灯”是随机事件B．确定事件发生的概率是1C．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子600次，点数为1与点数为6的频率相同D．从某校1000名男生中随机抽取2名进行引体向上测试，其中有一名成绩不及格，说明该校50%的男生引体向上成绩不及格2．（2023·北京丰台·二模）掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则nm的值（）A．一定是12B．一定不是12C．随着m的增大，越来越接近12D．随着m的增大，在12附近摆动，呈现一定的稳定性一、单选题1．下列事件为确定事件的是（）A．在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交B．抛掷1枚质地均匀的硬币反面朝上C．某人投篮一次，命中篮筐D．长度分别是2cm、4cm、5cm的三条线段能围成一个三角形2．下列说法正确的是（）A．一枚质地均匀的硬币，任意掷一次，正、反两面朝上的可能性相同B．任意买一张电影票，座位号一定是偶数C．篮球运动员在三分线罚球，球一定被投入篮球框D．掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数一定大于33．校篮球队员小亮训练定点投篮以提高命中率．下表是小亮一次训练时的进球情况：投篮数（次）50100150200…·进球数（次）4081118160…则下列说法正确的是（）A．小亮每投10个球，一定有8个球进B．小亮投球前8个进，第9，10个一定不进C．小亮比赛中的投球命中率一定为80%D．小亮比赛中投球命中率可能超过80%4．图，有两个大小不一的转盘甲、乙，分别被分为6个面积相等的扇形，并标有不同的数字，小颖和小瑞分别转动转盘甲、乙，若规定转到“3”所在的扇形区域获胜，则获胜概率较大的是（）A．小颖B．小瑞C．一样大D．无法确定5．数学课上老师带领学生做“频率的稳定性”试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（）A．在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小颖随机出的是“石头”．B．一副去掉大小王的普通扑克牌（52张，四种花色）洗匀后，从中任抽一张牌，花色是梅花．C．不透明袋子中有1个红球和4个白球，每个球除颜色外都相同，从中任取一球是白球．D．掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后朝上的是正面．二、填空题6．“购买一张彩票，中奖”这一事件是(填“必然事件”“不可能事件”“随机事件”)7．请指出在下列事件中，是随机事件的有．（填序号）①通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰；②随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数；③购买1张彩票，中奖；④明天太阳从东方升起．8．袋子里有3个红球，4个黄球和2个白球，除颜色外其他均相同．从袋子中任意取出一个球，取到黄球的可能性大小是．9．一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在白色区域的概率是．10．抽奖啦！现有3个不透明箱子，箱子内放有若干小球（除颜色外其余均相同）．规定：每次只能摸一个小球，摸出红球奖励一杯奶茶，摸出黄球奖励一支雪糕，若小丽想得到一杯奶茶，应选择从号箱子里摸球，如愿的可能性最大．三、解答题11．下列事件中哪些事件是必然事件，哪些事件是不可能事件，哪些事件是不确定事件？（1）在一个装只有白球和黑球的袋中摸球，摸出红球．（2）任意抛掷一枚图钉，结果钉尖着地．（3）在标准大气压下，气温为2摄氏度时，冰能熔化成水．（4）在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交．（5）某运动员跳高最好成绩是10.1米．（6）从车间刚生产的产品中任意抽一个，是次品．必然事件有______，不可能事件有______，不确定事件有______（填序号）12．甲袋中放着22个红球和7个黑球，乙袋中放着42个白球和16个黑球，三种球除颜色外没有任何区别，将两袋中的球搅匀，从两个袋中各任取一个球，哪个袋中取出黑球的可能性大？13．将牌面数字分别是5，6，7，8的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上，甲、乙两人每次同时从桌面上抽出一张牌，并计算摸出的这两个牌面上的数字之和，记录后将牌放回并背面朝上，洗匀后进行重复试验，在试验中出现“和为13”的试验数据如下表：试验总次数306090120180240330450“和为13”出现的次数132430375882110150“和为13”出现的频率0.430.400.310.340.33(1)请将表中的数据补充完整；(2)如果试验维续进行下去，根据上表数据，出现“和为13”的频率可能稳定在左右．（上述结果均保留两位小数）14．小颖和小红两位同学在做投掷骰子（质地均匀的正方体）试验，他们共做了60次试验，试验的结果如下表：朝上的点数123456出现的次数79682010(1)计算出现“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率．(2)小颖说：“根据试验得出，出现‘5点朝上’的机会最大．”小红说：“如果投掷600次，那么出现‘6点朝上’的次数正好是100次．”小颖和小红的说法正确吗？为什么？15．下列五个事件中，哪些是必然事件．哪些是不可能事件．哪些是随机事件．根据你的判断，把这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列．(1)13人中至少有2人的生日在同一个月；(2)手机号码的末位数字为偶数；(3)2 的绝对值小于0；(4)从装有1个黄球和8个红球的袋子中摸出1个球是红球；(5)从装有3个白球和6个红球的袋子中摸出1个球是红球．16．以下四个事件：事件A：抛掷一个硬币时，得到一个正面；事件B：在一小时内你步行可以走80千米；事件C：在一个装有2个红球，3个黄球，5个蓝球的袋子中，球的质量、大小完全相同，从中摸出一个黄球；事件D：两数之和是负数，则其中必有一个是负数．(1)可能事件的是______，必然事件的是_________．(2)请你把相应事件发生的机会用对应的字母A、B、C、D表示在数轴的对应点上．。
1-4古典概率模型
N ( S ) 10 10 10 103
N ( A) 6 6 4
例6（类似P12--例4 抽样问题）设有N件产品，其中有M件不合 格品。现从中任取n件，求其中恰有m件不合格品的概率.
解: 记事件Am {n件产品中恰有m件不合格品}
解: N ( S ) 10, N ( A) 1
N ( A) 1 P ( A) N ( S ) 10
N ( B) 6
N ( B) 6 P( B) N ( S ) 10
N (C ) 3
N (C ) 3 P (C ) N ( S ) 10
例2 将一枚硬币抛三次. (1)设事件A1表示"恰好出现一次正面", 求P ( A1 ). (2)设事件A2表示"至少出现一次正面",求P ( A2 ).
a P( B) ab
(1)放回抽样时：
袋中始终有a+b个球，每个人取出白球的机会相等.
(2)不放回抽样时：
k个人从a b只球依次取一球的取法:
k (a b) (a b 1) ... (a b k 1) Aa b
事件B {第i个人取到白球}总取法有: a Pakb11
n n n 故事件B的放法总数有: C N n ! AN . (或N ( N 1)...( N n 1) AN )
n AN N! P ( B) n n N N ( N n)!
n=6时, P(B)=0.01543
例9（盒子模型应用- 生日问题）设每人生日在365天的可能性相 同。求：(1) n（n<=365）个人生日各不相同的概率； （2）n个人中至少有两个人生日相同的概率。
4-1 击双讲稿
中局基本战术对局完成后的话你从开局到中残局阶段，双方都要制定一些作战计划，为了实现这些计划的话，需要进行一系列的运子、兑换、弃子、得子、取势等技巧，这就往往需要依靠一些战术手段了。
所谓战术，就是作战的方法，即通过强制手段达到某一目标的具体方（走）法。
击双以一个棋子同时攻击对方两个目标的技（战）术，称为击双。
包括捉双、叫将带捉、叫杀带捉等。
它是实战中最常用的战术手段，因对方不能两面兼顾，必然损失子力。
一般与其他战术结合运用，如果你能理解一箭双雕的意义，将击双战术运用到对局当中，使对方顾此失彼，那么，胜利离你不远了。
如图，白方通过（两次）击双的话奠定胜局。
具体的我们来看一看对局，在这里的话，提醒一下，我们在整个后面的这种学习过程中的话大家都最好是先暂停一下，然后把这个棋你自己想一想应该怎么走，然后再去看我的讲解，这样效果会更好一些。
你别一直顺着我这个讲的话你就一直这样看下去，可能你脑子里的话没有一个思考的过程，效果会大打折扣，1车d8将军逼你王吃车，你不吃的话我就吃你的后，他（黑方）一旦吃车的话，王d8 这时大家看2.马e6捉双，这个时候的话就丢了后了，所以白方多子。
这一局的话，白方利用击双将黑王或者是后引入不利位置。
1.兵d4将军抓后你这个时候要不走王，要不走后，如果你走王吃兵的话，王d42.我的马可以到哪，马f3将军抽后，或者是你（黑方）用后吃兵， 1.…后d4 ）2.那么我的马可以到b3也是将军丢后，无论如何都可以将军抽后。
这一局是一个先弃后取的例子。
具体我们来看一下对局1.白的马f6 你（黑方）王走f7 那么我可以2.后×g7 你的王只能是吃我的g7 再3.马e8 将军抽后多子胜。
或者是我在将军的时候你王如果走h8的话，那么我的白后还是到g7将军，同样你的王只能吃g7，马e8 将军（抽后）这一局轮到黑方走，该怎么走呢1…黑棋走马g3 你白的如果这时候走2.马f5的话那么我可以走马ce2。
1-4 等可能概型
【评】古典概型在概率论中占有相当重要的地位。 一方面，由于它简单，对它的讨论有助于直观地理解
概率论的许多基本概念，因此，我们常从古典概型 开始引入新的概念；另一方面，古典概型概率的计算
在产品质量抽样检查等实际问题中有重要的应用。
二、基本排列与组合公式
乘法原理：若进行A1过程有n1种方法，进行A2过程有 n2种方法，则进行A1过程后再进行A2过程共有n1n2种 方法。 加法原理：若进行A1过程有n1种方法，进行A2过程有
r n
设r1+r2+…+rk=n，把n个不同的元素分成k个部分，
第一部分含r1个元素，第二部分含r2个元素，…
则不同的分法为
C C
r1 n
r2 n r1
C
rk 1 rk n r1 rk 2 n r1 rk 1
C
n! r1 !r2 ! rk !
一些常用公式
1 3 5 6 1 2 1 64 2 3 6 1 3
Bk-1={取得的n个数中最大的数不超过k-1}，
则 Bk-1Bk，且 A=Bk-Bk-1，依概率的性质，
C C 【注】利用事件间的关系与运算求解概率。
P(A)= P(Bk)-P(Bk-1)
Ckn
n 10
Ckn1
n 10
例3 从1～9这9个数中有放回地取出 n 个数， 试求取出的 n个数的乘积能被 10 整除的概率。
§4 等可能概型
教学纲目 一、古典概型的定义与计算公式
二、基本排列与组合公式
三、典型例题
10 放回抽样与不放回抽样； 20 抽签与顺序无关；
30生日问题； 40超几何分布；
50 实际推断原理。
四、几何概型
马尔可夫链专题讲义 高三数学一轮复习
马尔科夫链专题讲义马尔科夫链是以俄罗斯数学家安德烈·马尔科夫的名字命名,是一个数学随机模型,描述了一连串可能发生的事件,从一个状态到另外一个状态,也可以是保持当前状态的随机过程.下一个状态的概率分布只能由当前状态决定,在时间序列中它前面的事件均与之无关.高中数学中经常与条件概率,全概率公式,贝叶斯公式相结合,构造递推关系求的概率.一、马尔科夫链的性质马尔科夫链具有状态空间,无记忆性,转移概率(转移矩阵)等三个要素,马尔科夫链是从一个状态到另一个状态转化的随机过程,每个状态称为状态空间.无记忆性是而的事件均与之无关.这种特定类型的“无记忆性”称作马尔科天性.在马尔科夫链的每一步,根据概率分布,可以从个状态变频另外一个状态,也可以保持当前状态.状态的改变叫做转移,与不同状态改变相关的概率叫做转移项率.对于随机变量序列X m已知第n小时的状态X n.如果X n−1的随机变化规律与前面的各项X1,X2,⋯,X n−1的取值都没有关系,那么称随机变量序列X n具有马尔科夫性,称具有马尔科夫性的随机变量序列{X n}为马尔科夫链。
二、马尔科夫链基本原理虽然贝叶斯公式不做要求,但是全概率公式已经是新高考考查内容,利用全概率公式,我们既可以构造某些递推关系求解概率,还可以推导经典的一维随机游走模型,即设数轴上一个点,它的位置只能位于整点处,在时刻t=0时,位于点X=i(i∈N∗)一个时刻,它将以概率α或者β(α∈(0,1),α+β=1)向左或者向右平移一个单位.若记状态X t=i表示在时刻t该点位于位置X=i(i∈N∗),那么由全概率公式可得P(X t+1=i)=P(X t=i−1)⋅P(X t+1=i∣X t=i−1)+P(X t=i+1)⋅P(X t+1=i∣X t=i+1).另一方面,由于P(X t+1=i∣X t=i−1)=β,P(X t+1=i∣X t=i+1)=α,代入上式可得P i=α⋅P i+1+β⋅P i−1.进一步,我们假设在x=0与x=m(m>0,m∈N∗)处各有一个吸收壁,当点到达吸收壁时被吸收,不再游走.于是P0=0,P m=1.随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程.进一步,若点在某个位置后有三种情况:向左平移一个单位,其概率为a,原地不动,其概率为b,向右平移一个单位,其概率为c,那么根据全概率公式可得P i=aP i−1+bP i+cP i+1.三、应用举例1.药物试验问题例1（2019全国1卷21）为治疗某种欢病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,脱停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白贝治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得−1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈半分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列:(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,p i(i=0,1.⋯.8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p i=1,p i=ap i−1+bp i+cp i+1(i=1,2,⋯,7),其中a=P(X=−1),b=P(X=0),c=P(X=1).假设α=0.5,β=0.8.(i)证明:{p i−1−p i}(i=0,1,2,⋯,7)为等比数列;(iii)求p c,并根据p c的值解释这种试验方案的合理性.解:(1)由超意知,X的所有可能取值为-1.0,1.P(X=−1)=(1−α)β,P(X=0)=αβ+(1−α)(1−β),P(X=1)=a(1−β),∴X的分布列为X−10 1P(1−α)βαβ+(1−α)(1−β)α(1−β)(2)(i)由(1)知,a=(1−0.5)×0.8=0.4,b=0.5×0.8+(1−0.5)(1−0.8)=0.5,c=0.5×(1−0.8=0.1.∴p i=0.4p i−1+0.5p i+0.1p i+1,∴0.1(p i+1−p i)=0.4(p i−p i−1),∴p i+1−p i=4(p i−p i−1),又p1−p0=p1≠0,∴{p i+1−p i}(i=0,1,2,⋯,7)是首项为p1,公比为4的等比数列. (ii)由(i)可得p i+1−p i=p1⋅4i,∴p8=p8−p7+p7−p6+⋯+p1−p0+p0=(p8−p7)+(p7−p6)+⋯+(p1−p0)=p1(47+46+⋯+4)=4(1−47) 1−4p1=48−4 3p1∵p8=1,∴48−43p1=1,∴p1=348−4.∴p4=(p4−p3)+(p3−p2)+(p2−p1)+(p1−p0)=p1(43+42+4+1)=1−44 1−4p1=44−13p1=44−13×348−4 =144+1=1257p4表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为p4=1257≈0.0039,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验注：虽然当时学生未学过全概率公式,但命题人直接把p i=ap i−1+bp i+cp i+1给出,并没有让考生推导这个递推关系,实际上,这就是一个一维随机游走模型。