误差分析与计算
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2.4定位误差的分析与计算(一)
3．以圆孔定位时的定位误差计算
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作业
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复习
工件以圆柱面定位：
固定V型块：限制自由度（长4、短2） 标准化 活动V型块：限制自由度（短1） 标准化
定 位 套：限制自由度（长4、短2）
半 圆 套：限制自由度（长4、短2）
工件以特殊表面定位：
圆锥面定位：固定V型块定位，限制自由度（长4、短2） 锥度轴、套定位，限制自由度（长5、短3） 燕尾导轨定位：限制自由度（5） 齿面定位：限制自由度（长4、短2）
△Y =Xmax=TD + Td + Xmin
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2.4 定位误差的分析与计算
3．定位误差计算实例
1．
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2.4 定位误差的分析与计算
2．
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课堂小结
1．定位误差的概念
（1）基准不重合误差 △ B （2）基准位移误差 △Y
2．工件以平面定位误差计算
精基准平面定位时，一般认定△Y=0， △D=△B
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2.4 定位误差的分析与计算
基准不重合误差的计算公式
B i cos
i 1
n
i
——定位基准与工序基准间的尺寸链组成环的公差（包含位
置公差）(mm)；
—— i 的方向与加工尺寸方向间的夹角（°）。
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2.4 定位误差的分析与计算
基准不重合误差练习
习题集P11-3 如图所示工件的加工工序 是镗D孔。如果定位基准分别 选择E、F、G，加工尺寸A的 定位误差分别是多少？
方向上的最大变动量，以“Δ D”表示。 成批加工工件时，夹具相对机床的位置及切削运动的行程调定后
控制系统的误差分析和计算
第六章 控制系统的误差分析和计算
- Y (s)
×
ε ( s)
G (s ) H (s )
Xo ( s)
ε ( s) = X i ( s) − Y ( s) = X i ( s) − H ( s) X 0 ( s)
根据拉氏变换的终值定理 终值定理， 根据拉氏变换的终值定理，得到稳态偏差εss为
ε ss = lim ε (t ) = lim sε ( s)
中国石油大学机电工程学院
10
控制工程基础
第六章 控制系统的误差分析和计算
说明： 说明：
误差是从系统输出端 误差 输出端来定义的，是输出期望值与实际输 输出端 出值之差。误差在性能指标提法中经常使用，实际系统中 因为输入信号和输出信号往往量纲不同，一般只具有数学 上的意义。 偏差是从系统输入端 偏差 输入端来定义的，是系统输入信号与主反 输入端 馈信号之差。偏差在实际系统中是能测量的，具有一定的 物理意义。 对于单位反馈系统而言，误差与偏差是一致的。对于非 单位反馈系统，两者是不同的。 必须是稳定系统计算稳态误差（偏差）才有意义。
xo (t ) x i (t )
ess
瞬态响应
China university of petroleum
稳态响应
t
4
中国石油大学机电工程学院
控制工程基础
第六章 控制系统的误差分析和计算
是控制系统期望的输出值， 是其实际的输出值， 设xor(t)是控制系统期望的输出值， xo(t)是其实际的输出值， 是控制系统期望的输出值 是其实际的输出值 则误差函数e(t)定义为 则误差函数 定义为
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控制工程基础
第四讲定位误差的分析与计算一详解
第十八页，共26页。
由于定位副的制造误差，将产生定位基准位移误差，即
Y
1 2 (Dmax
d0min )
1 2
D
1 2
d
0
在计算基准位移量时可不计Xmin的影响。由于ΔD =0，所以定位误差为
Da
Y
1 2
D
1 2
d
0
此时除基准位移误差外，还有基准不重合误差，所以尺寸h的定位误差为
Dh
Y
B
1 2
D
1 2
d
0
1 2
d
第十九页，共26页。
⑵孔与圆柱心轴任意边接触
在加工尺寸方向上的最大基准位移误差为
Y Dmax dmin X min D d X min
第二十页，共26页。
㈢工件以外圆定位
如不考虑V形架的制造误差，则工件定位基准在V形架的对称面上，因此工件中心
线在水平方向上的位移为零。但在垂直方向上，因工件外圆有制造误差，而产生基准 位移。其值为
序基准不重合，安装一批工件逐个在夹具上定位时，受尺寸
S
S
的影响，工序基准的位置是变动的，导致尺寸误差，这就是基准
2
不重合误差。
第四页，共26页。
图1—31
基准不重合误差的大小应等于因定位基准和工序基准不重合而造成的加工尺 寸的变动范围：
B Amax Amin S max S min s
第七页，共26页。
二、定位误差
的计算方法
D
1．合成法
工件定位时同时出现基准不重合和基准位移误差，定位误差为两项误
差的合成。
①当 B与 Y 无相关公共变量时（工序基准不在定位基面上）,
D Y B
由于定位副的制造误差，将产生定位基准位移误差，即
Y
1 2 (Dmax
d0min )
1 2
D
1 2
d
0
在计算基准位移量时可不计Xmin的影响。由于ΔD =0，所以定位误差为
Da
Y
1 2
D
1 2
d
0
此时除基准位移误差外，还有基准不重合误差，所以尺寸h的定位误差为
Dh
Y
B
1 2
D
1 2
d
0
1 2
d
第十九页，共26页。
⑵孔与圆柱心轴任意边接触
在加工尺寸方向上的最大基准位移误差为
Y Dmax dmin X min D d X min
第二十页，共26页。
㈢工件以外圆定位
如不考虑V形架的制造误差，则工件定位基准在V形架的对称面上，因此工件中心
线在水平方向上的位移为零。但在垂直方向上，因工件外圆有制造误差，而产生基准 位移。其值为
序基准不重合，安装一批工件逐个在夹具上定位时，受尺寸
S
S
的影响，工序基准的位置是变动的，导致尺寸误差，这就是基准
2
不重合误差。
第四页，共26页。
图1—31
基准不重合误差的大小应等于因定位基准和工序基准不重合而造成的加工尺 寸的变动范围：
B Amax Amin S max S min s
第七页，共26页。
二、定位误差
的计算方法
D
1．合成法
工件定位时同时出现基准不重合和基准位移误差，定位误差为两项误
差的合成。
①当 B与 Y 无相关公共变量时（工序基准不在定位基面上）,
D Y B
实验误差分析及数据处理
u + Δu = f (x + Δx, y + Δy,z + Δz)
由泰勒公式，并略去误差的高次项，得
115
地球物理实验
u + Δu = f (x, y,z) + ∂f Δx + ∂f Δy + ∂f Δz
∂x ∂y ∂z
或
Δu = ∂f Δx + ∂f Δy + ∂f Δz
∂x ∂y ∂z
该式即为误差传递公式。 例如我们通过直接测量圆柱形试件的直径D及高H来计算试件的体积V。
前面提到测量值=真值+误差，这里误差包含了系统误差和偶然误差，则测量值=真值+
系统误差+偶然误差，当系统误差修正后，误差主要即是偶然误差。在多次测量中，偶然误
差是一随机的变量，那么测量值也就是一随机变量，我们则可用算术平均值和标准误差来
描述它。
算术平均值 X ：
X
=
1 n
n
∑
i =1
xi
式中xi为第i次测量的测量值，n为测量次数，当n→∞时， X →xt（真值），但是当n增加到 一定程度时， X 的精度的提高就不显着了，所以一般测量中n只要大于10就可以了。
明误差在 ± 1.96s 以外的值都要舍去，这里
1.96s=1.96×1.12=2.19
我们以算术平均值代表真值，表中第4个测量值的偏差 di 为2.4，在 ± 2.19 以外，应当舍
去，再计算其余9个数据的算术平均值和标准误差，有
m = ∑ mi = 416.0 = 46.2
n
9
∑ s =
d
2 i
偶然误差是一种不规则的随机的误差，无法予测它的大小，其误差没有固定的大小和 偏向。
计算方法与计算 实验一误差分析
（1）MATLAB 主程序 function [k,juecha,xiangcha,xk]= liti112(x0,x1,limax) % 输入的量--x0是初值, limax是迭代次数和精确值x;
% 输出的量--每次迭代次数k和迭代值xk,
%
--每次迭代的绝对误差juecha和相对误差xiangcha，
误差分析
误差问题是数值分析的基础，又是数值分析中一个困难的课题。在实际计算 中，如果选用了不同的算法，由于舍入误差的影响，将会得到截然不同的结果。 因此，选取算法时注重分析舍入误差的影响，在实际计算中是十分重要的。同时， 由于在数值求解过程中用有限的过程代替无限的过程会产生截断误差，因此算法 的好坏会影响到数值结果的精度。 一、实验目的
因为运行后输出结果为： y 1.370 762 168 154 49， yˆ =1.370 744 664 189
38， R 1.750 396 510 491 47e-005， WU= 1.782 679 830 970 664e-005 104 . 所
以， yˆ 的绝对误差为 10 4 ，故 y
③ 运行后输出计算结果列入表 1–1 和表 1-2 中。
④ 将算法 2 的 MATLAB 调用函数程序的函数分别用 y1=15-2*x^2 和
y1=x-(2*x^2+x-15)/(4*x+1)代替，得到算法 1 和算法 3 的调用函数程序，将其保
存，运行后将三种算法的前 8 个迭代值 x1, x2 ,, x8 列在一起（见表 1-1），进行
的精确解 x* 2.5 比较，观察误差的传播.
算法 1 将已知方程化为同解方程 x 15 2x2 .取初值 x0 2 ，按迭代公式
xk1 15 2xk2
% 输出的量--每次迭代次数k和迭代值xk,
%
--每次迭代的绝对误差juecha和相对误差xiangcha，
误差分析
误差问题是数值分析的基础，又是数值分析中一个困难的课题。在实际计算 中，如果选用了不同的算法，由于舍入误差的影响，将会得到截然不同的结果。 因此，选取算法时注重分析舍入误差的影响，在实际计算中是十分重要的。同时， 由于在数值求解过程中用有限的过程代替无限的过程会产生截断误差，因此算法 的好坏会影响到数值结果的精度。 一、实验目的
因为运行后输出结果为： y 1.370 762 168 154 49， yˆ =1.370 744 664 189
38， R 1.750 396 510 491 47e-005， WU= 1.782 679 830 970 664e-005 104 . 所
以， yˆ 的绝对误差为 10 4 ，故 y
③ 运行后输出计算结果列入表 1–1 和表 1-2 中。
④ 将算法 2 的 MATLAB 调用函数程序的函数分别用 y1=15-2*x^2 和
y1=x-(2*x^2+x-15)/(4*x+1)代替，得到算法 1 和算法 3 的调用函数程序，将其保
存，运行后将三种算法的前 8 个迭代值 x1, x2 ,, x8 列在一起（见表 1-1），进行
的精确解 x* 2.5 比较，观察误差的传播.
算法 1 将已知方程化为同解方程 x 15 2x2 .取初值 x0 2 ，按迭代公式
xk1 15 2xk2
控制工程基础 第6章 控制系统的误差分析和计算
C0 (s)
N (s)
R(s) B(s)
(s)
-
G1 ( s )
+ G2 (s)
H (s)
e(s) -
C(s)
(b)
误差
C0(s) (s) N(s)
R(s)
1 H(s)
R1(s) C0(s)
E1(s(s))H(s)
E(s)
G1(s)
G2(s) C(s)
(c)
e(s) -+ (s)
H (s)
E(s)
因为偏差 (s) R(s) B(s) H (s)C0 (s) H (s)C(s) H (s)e(s)
这里 R(s) H (s)C0 (s) 是基于控制系统在理想工作情况下
(s) 0 得到的。
即当控制系统的偏差信号 (s) 0 时，该控制系统无调节控制
作用，此时的实际输出信号C(s)就是希望输出信号 C0 (s) 。
G(s)H(s)
i1 nv
sv (Tis 1)
i1
（4）稳态误差系数和稳态误差的总结 （系统在控制信号作用下）
此表概括了0型、Ⅰ型和Ⅱ型反馈控制系统在不同输入信号作用下的
稳态误差。在对角线上，稳态误差为有限值；在对角线以上部分，
稳态误差为无穷大；在对角线以下部分，稳态误差为零。由此表可
以得如下结论：
何改变系统结构?
(s)
- G1 K1
解：（1）给定作用下的误差传递函数为
RE (s)
(s)
R(s)
1
1
K1
K2 s
s s K1K2
当给定输入为单位阶跃输入时，稳态误差为
N (s)
+
G2
K2 s
3-3 第三节 系统误差分析与计算
第三节 系统误差分析与计算对于一个控制系统来说，不但要求其是稳定的，而且还要求其动态特性要好。
但这还不够，因为系统在输入作用下的过渡过程和稳态过程组成了时间响应的全部内容，因而研究系统的稳态过程也是相当重要的。
评定稳态过程的质量指标为稳态误差，是系统控制准确度的一种量度，是一项重要的性能指标。
控制系统设计的课题之一，就是如何使系统的稳态误差小于某个允许值。
一、误差与稳态误差1、误差误差——严格说就是被控对象的实际输出信号与理论输出信号之差。
工程上有两种误差定义。
①按输出端定义的误差含义：误差为系统希望输出量与系统实际输出量之差。
即： ()()()r e t c t c t =−或： ()()()r E s C s C s =−一般来说，这种误差信号直观实用，但是常无法进行测量，具有明显的数学意义，工程实际中相对前一种误差较少使用。
②按输入端定义的误差。
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()11111E s R s B s R s H s C s R s H s s R s R s H s s G s H s R s G s H s R s G s H s =−=−=−Φ⎡⎤=−Φ⎣⎦⎡⎤=−⋅⋅⎢⎥+⎣⎦=⋅+有时也将()()()11e s G s H s Φ=+称为误差传递函数。
或者，误差表示为时间的函数：()()()e t r t b t =−这种形式的误差可以进行测量，具有一定的物理意义。
2、稳态误差在时域中误差是时间t 的函数()e t 。
一个稳定的闭环控制系统，在外加输入作用下，经过一段时间，其瞬态响应分量衰减到可以忽略的程度，其输出信号()c t 趋于稳态分量，同样其误差信号()ss c t ()e t 也将趋于一个稳态的。
()ss e t 稳态误差——当时间当t 时，→∞()e t 的稳态分量称为稳态误差，既稳定系统误差的终值。
记为()ss e t ()。
第七章 控制系统的误差分析与计算
= ∞ = 0
a ss
ε
ε
小结：
1、静态位置误差、速度误差、加速度误差 分别指输入为阶跃、斜坡、加速度信号时 的误差； 2、对于单位反馈系统， ε ss = ess ess 对于非单位反馈系统，先求出 ess , ε ss = H(0) 3、上述结论对于非典型输入信号具有普遍 意义。因为输入信号的变化一般比较缓慢， 可将其在 t=0 点附近展成台劳级数
Y(s)
H (s )
对于实际使用的控制系统来说，H(s) 往往是一个常数， 误差与偏差有简单的比例关系
∴
对 于单 位反 馈系 H(s) = 1 统 ， ∴ ε (s) = E(s) 此 时， 求稳 态误 差， 需 只 求出 稳态偏 差即 可。
4.根 拉 变 终 定 据 氏 换 值 理 E(s) 1 稳 误 ： ε ss = lim ε (t ) = lim sε (s) = lim s 态 差 = ess t →∞ s→0 s→0 H(s) H(0) 对 单 反 系 于 位 馈 统 ε ss = lim sE(s) = ess
2、系统对单位斜坡输入的稳态误差 、
1 1 ε ss = lim s ⋅ ⋅ 2 s→0 1 + G(s)H(s) s 1 1 1 = lim = = s→0 s + sG(s)H(s) lim sG(s)H(s) Kv
令：Kv = lim sG(s)H(s)
s→0
s→0
静态速度误差系数
K(τ1s + 1)L 对0型系统 Kv = lim s = 0 ε ss = ∞ s→0 (T1s + 1)L K(τ1s + 1)L 1 = K ε ss = 对I型系统 Kv = lim s s→0 s(T s + 1)L K 1 K(τ1s + 1)L 对II 型系统 Kv = lim s 2 = ∞ ε ss = 0 s→0 s (T s + 1)L 1