幂函数、函数与方程
幂指对函数及方程
幂、指、对函数及方程方法指导：一、幂函数1. 幂函数的定义函数(k y x k =为常数，)k ∈Q 称为幂函数，其中x 是自变量，前面的系数为1．2. 幂函数的图像 研究pq y x =的图像特点，其中p q是既约分数（最简分数）．3. 幂函数的性质（1） 对于一切幂函数，当0x >时，总有0y >，所以幂函数在第一象限均有图像，且幂函数图像不可能出现在第四象限．（2） 幂函数一定过点(1,1)．（3） 当0k >时，k y x =在(0,)+∞上递增，图像过点(0,0),(1,1)；① 当01k <<时，k y x =向x 轴正方向递增；② 当1k >时，k y x =向y 轴正方向递增．当0k =时，k y x =是一条不过点(0,1)的直线；当0k <时，k y x =在(0,)+∞上递减，图像过点(1,1)，图像向上与y 轴无限接近，向右与x 轴无限接近．（4） 在1x =的右侧由上至下k 递减．二、指数函数1. 指数运算法则（1） (0,)x y x y a a a a x y +⋅=>∈R 、 （2） ()(0,)x y xy a a a x y =>∈R 、（3） ()(0,0,)x x x a b a b a b x ⋅=⋅>>∈R2. 指数函数的定义函数(0,1,)x y a a a x =>≠∈R 称为指数函数．3. 指数函数的图像4. 指数函数的性质（1） 函数图像在x 轴上方，函数值恒大于零，故函数图像不可能在三、四象限．（2） 指数函数的图像经过点(0,1)，01a =．（3） 函数定义域为R ，值域为(0,)+∞．（4） 非奇非偶函数（5） 无零点（6） 函数(1)x y a a =>在(,)-∞+∞内是增函数；函数(01)x y a a =<<在(,)-∞+∞内是减函数．（7） 在1a >时，第一象限内1y >，增长速度十分惊人；第二象限内01y <<，增长缓慢；在01a <<时，第一象限内01y <<；第二象限内1y >．（8） 无最值（9） 函数图像与x 轴无限接近，x 轴叫做函数的渐近线．（10） x y a =的图像与1()x y a=的图像关于y 轴对称． 三、指数方程（1） 同底型：()()()()(0,1)f x g x a a f x g x a a =⇔=>≠．（2） 基本型：① ()()log (0,1,0)f x a a b f x b a a b =⇔=>≠>；② ()()()lg ()lg (0,1,0,1)f x g x a b f x a g x b a a b b =⇔=>≠>≠．（3） 代换型：① 20x x Aa Ba C ++=，令x t a =（注意t 的范围），转化为20At Bt C ++=求解； ② 2220()()0x x x x x x a a Aa Ba b Cb A B C b b ++=⇒++=，令()x a t b= （注意t 的范围），转化为20At Bt C ++=求解．（4） 图解型：一般不可直接求解的可利用图象法求近似值．四、对数1. 对数的定义若(0,1)b a N a a =>≠，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N b =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．注意底数的范围是(0,1)(1,)+∞；真数的取值范围是(0,)+∞．2. 对数的性质若0,1,0,0,0,0,1a a M N n b b >≠>>>>≠，那么（1） 零和负数没有对数（2） log 1a a =，log 10a =，log a N a N =（3） log ()log log a a a MN M N =+，log ()log log a a a M M N N =- （4） log log n a a M n M =，log log m n a a n b b m =（5） log log log a b a N N b =（换底公式），特别地1log log a b b a=【拓展公式】 3. 常用的对数 以10为底的对数叫做常用对数，通常写做lg N ；以无理数 2.71828e =为底的对数叫做自然对数，通常写做ln x ．五、对数函数1. 对数函数的定义函数log (0,1,0)a y x a a x =>≠>称为对数函数．2. 对数函数的图像3. 对数函数的性质（1） 对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图像都在y 轴右侧．（2） 对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图像都经过点(1,0)．（3） 函数定义域(0,)+∞，值域R ．（4） 非奇非偶函数．（5） 对数函数log (1)a y x a =>在(0,)+∞上是增函数，函数值开始增长较快，到了某一值后增长速度变慢；对数函数log (01)a y x a =<<在(0,)+∞上是减函数，函数值开始减小较快，到了某一值后减小速度变慢．（6） 对数函数log (1)a y x a =>，当1x >时，0y >；当01x <<时，0y <； 对数函数log (01)a y x a =<<，当1x >时，0y <；当01x <<时，0y >．（7） y 轴是对数函数的渐近线．（8） 当1a >时，底数越大，图像越靠近x 轴；当01a <<时，底数越小，图像越靠近x 轴．（9） 对数函数log (0,1)a y x a a =>≠与指数函数(0,1)x y a a a =>≠互为反函数．六、对数方程（1） 同底型：()0log ()log ()(0,1)()0()()0()()a a f x f x g x a a g x f x g x f x g x >⎧⎪=>≠⇔>⇔=>⎨⎪=⎩．（2） 基本型：log ()(0,1)()b a f x b a a f x a =>≠⇔=．（3） 代换型：2log ()log ()0a a A f x B f x C ++=，令log ()a t f x =（注意t 的范围），转化为20At Bt C ++=求解．（4） 图解型：一般不可直接求解的可利用图像法求近似值．典型题解：幂、指、对函数的图像及性质特殊方程1.比较下列各题中两个值的大小（1）323()4和233()4 （2）0.63()4-和0.64()3-（3）0.62()5-和1 （4）12π和1()2π 2．若4333423494434334log log log log (log log )()log log x ⋅=+-+，则x =（ ）． A ．4 B ．16 C ．256 D ．813．如图，幂函数223()Z m m y xm --=∈的图像关于y 轴对称，且与x 轴y 轴均无交点，求此函数解析式．4. 关于x 的方程lg 3x x +=，103xx +=的根分别为,αβ．则αβ+=__________．5． 使2log ()1x x -<+成立的x 的取值范围是______.6.方程2log (4)3x x +=实数解的个数是（ ）A 0B 1C 2D 37．已知关于x 的方程2212730x x a a ---+=有一个根是2，求a 的值和方程的其余的根．8． 已知1(1)()22,x x f x --+=-则1(2)f -=_________.9.若关于x 的方程2(3)24log log x x a +-=的根在区间（3,4）内，则a 的取值范围为______. 10.设集合1{420,},x x A a x R +=-+=∈若A 为单元素集，求实数a 的取值范围.。
幂函数和指数函数的方程和不等式
幂函数和指数函数的方程和不等式幂函数和指数函数是高中数学中常见的两类函数，它们在解方程和不等式问题中有着重要的应用。
本文将介绍幂函数和指数函数的基本性质，并探讨如何解幂函数和指数函数的方程和不等式。
一、幂函数的方程和不等式解法1. 幂函数的定义和性质幂函数的一般形式为f(x) = ax^b，其中a和b为常数，且a≠0。
幂函数的定义域是所有正实数和0。
当b为正数时，幂函数是递增函数；当b为负数时，幂函数是递减函数；当b=0时，幂函数为常数函数。
2. 解幂函数的方程对于幂函数的方程f(x) = ax^b = c，可以通过以下步骤解出x的值：a) 将幂函数的表达式转化为指数形式：ax^b = c ==> x^b = c/a；b) 对等式两边取底数为x的对数，得到b*logx = log(c/a)；c) 解出x的值：x = (c/a)^(1/b)。
3. 解幂函数的不等式对于幂函数的不等式f(x) = ax^b ≤ c或ax^b ≥ c，可以通过以下步骤解出x的取值范围：a) 将不等式转化为等式，得到ax^b = c；b) 根据前面介绍的求解方程的方法，解出x的值；c) 根据幂函数的性质，确定不等式的符号：当b为正数时，≤变为≥，≥变为≤；当b为负数时，≤变为≤，≥变为≥。
二、指数函数的方程和不等式解法1. 指数函数的定义和性质指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其中a为正实数且不等于1。
指数函数的定义域是所有实数。
2. 解指数函数的方程对于指数函数的方程f(x) = a^x = c，可以通过以下步骤解出x的值：a) 将指数函数的表达式转化为对数形式：a^x = c ==> x = loga(c)。
3. 解指数函数的不等式对于指数函数的不等式f(x) = a^x ≤ c或a^x ≥ c，可以通过以下步骤解出x的取值范围：a) 将不等式转化为等式，得到a^x = c；b) 根据前面介绍的求解方程的方法，解出x的值；c) 根据指数函数的性质，确定不等式的符号：当a大于1时，≤变为≥，≥变为≤；当0<a<1时，≤变为≤，≥变为≥。
高三数学幂函数知识点
高三数学幂函数知识点幂函数是数学中的一种函数形式，它的特点是自变量的指数是固定的，依次增大或减小。
在高三数学中，幂函数是一个重要的知识点，它与指数函数密切相关，并且在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍高三数学中幂函数的定义、性质以及解题方法等知识点。
1. 幂函数的定义幂函数是指具有如下形式的函数：y = a^x，其中a为正数，且不等于1。
在幂函数中，a被称为底数，x为指数。
2. 幂函数的性质（1）定义域与值域：对于幂函数y = a^x，当底数a > 1时，定义域为实数集R，值域为正实数集R+。
当0 < a < 1时，定义域为实数集R，值域为(0, 1)。
（2）增减性：当底数a > 1时，幂函数y = a^x是递增函数；当0 < a < 1时，幂函数y = a^x是递减函数。
（3）奇偶性：当底数a > 1时，幂函数y = a^x是奇函数；当0 < a < 1时，幂函数y = a^x是偶函数。
（4）对称轴：幂函数y = a^x在y轴上有对称轴。
（5）与指数函数的关系：幂函数和指数函数是互为反函数的关系，即幂函数y = a^x和指数函数y = loga(x)互为反函数。
3. 幂函数的图像幂函数的图像形状与底数a的大小有关。
当底数a > 1时，幂函数的图像随着自变量x的增大而迅速上升；当0 < a < 1时，幂函数的图像随着自变量x的增大而迅速下降。
4. 幂函数的应用幂函数在各个领域都有广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：（1）物理学上，很多物理现象的变化规律可以用幂函数来描述，比如弹簧的弹力、电路中电流随时间的变化等。
（2）经济学中，幂函数可以表示一些经济指标的增长模式，比如人口增长、GDP增长等。
（3）统计学中，幂函数可以用来拟合一些自然现象的分布规律，比如城市中人口数量、物种的种群分布等。
5. 幂函数的解题方法在解题过程中，一般需要根据题目给出的条件，确定底数a的取值范围，并利用幂函数的性质进行计算。
幂函数及函数与方程05
幂函数及函数与方程05一、考试要求二 .基础知识 1常用的初等函数：（1）一元一次函数：)0(≠+=a b ax y ，当0>a 时，是增函数；当0<a 时，是减函数； （2）一元二次函数：一般式：)0(2≠++=a c bx ax y ；对称轴方程是 ；顶点为 ；两点式：))((21x x x x a y --=；对称轴方程是 ；与x 轴的交点为 ； 顶点式：h k x a y +-=2)(；对称轴方程是 ；顶点为 ；①一元二次函数的单调性：当0>a 时： 为增函数； 为减函数；当0<a 时： 为增函数； 为减函数；②二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为h k x a y +-=2)(的形式， Ⅰ、若顶点的横坐标在给定的区间上，则0>a 时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得； 0<a 时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得； Ⅱ、若顶点的横坐标不在给定的区间上，则0>a 时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；0<a 时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的端点处取得； 有三个类型题型：(1)顶点固定，区间也固定。
如：]1,1[,12-∈++=x x x y (2)顶点含参数(即顶点变动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外。
(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数．]1,[,12+∈++=a a x x x y ③二次方程实数根的分布问题： 设实系数一元二次方程0)(2=++=c bx ax x f 的两根为21,x x ；则：根的情况k x x >≥21 k x x <≤21 21x k x <<函数概念与基本初等函数内 容等级要求 A B C幂函数 √ 函数与方程√等价命题 在区间),(+∞k 上有两根 在区间),(k -∞有两根 在区间),(+∞k 或),(k -∞有一根 充要条件注意：若在闭区间],[n m 讨论方程0)(=x f 有实数解的情况，可先利用在开区间),(n m 上实根分布的情况，得出结果，在令n x =和m x =检查端点的情况。
幂函数与指数方程的解法
幂函数与指数方程的解法幂函数和指数方程是数学中常见的两类问题，它们在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍幂函数和指数方程的基本概念，并探讨它们的解法。
一、幂函数的定义与解法幂函数是指函数的自变量以某个固定的数为底数，指数是自变量的函数。
幂函数的一般形式可以表示为：f(x) = ax^b，其中a和b是常数。
为了求解幂函数，我们可以采用以下步骤：1. 如果幂函数给定了特定的数值求解，我们可以直接将数值代入函数中计算得到结果。
2. 如果幂函数的幂指数是一个分式，我们可以将其化简为整数指数，利用指数运算的性质进行计算。
3. 若幂指数为负数，我们可以将幂函数的表达式倒置后，求解其正指数情况，并取倒数得到结果。
4. 对于幂函数之间的等式关系，我们可以通过将它们的底数和指数分别相等，进而求解出未知数。
二、指数方程的定义与解法指数方程是指方程中含有未知数的指数，我们需要求解出使方程成立的未知数的值。
我们可以采用以下方法来求解指数方程：1. 利用对数的性质将指数方程转化为对数方程，然后通过解对数方程求解出未知数。
2. 利用指数的性质将指数方程中的底数统一为同一个数，然后通过等式关系求解。
3. 对于指数方程中的分式指数，我们可以通过化简为整数指数的形式，再进行计算。
三、幂函数和指数方程的应用举例下面通过两个具体的例子来说明幂函数和指数方程的应用。
例子1：解决幂函数问题考虑幂函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2x - 1，在 x = 2 处求解函数的值。
将 x = 2 代入幂函数中，得到 f(2) = 2 * 2^3 - 3 * 2^2 + 2 * 2 - 1 = 2 * 8 - 3 * 4 + 4 - 1 = 16 - 12 + 4 - 1 = 7。
因此，当 x = 2 时，幂函数的值为 7。
例子2：解决指数方程问题考虑指数方程 2^x = 16，我们需要找到使方程成立的未知数 x。
根据指数的性质，我们可以将方程改写为 2^x = 2^4。
高三复习专题：指对幂函数及函数与方程)
指对幂函数及函数与方程知识点1指数幂与对数1、根式与分数指数幂（1）根式的定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中1n >，且*n ∈N 。
n 叫做根指数，a 叫做被开方数．（2）根式的性质（1n >，且n *∈N ）：n a =；,,,.na n a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数（3）分数指数幂的表示正分数指数幂：规定：mn a=()0,,,1a m n n *>∈>N 负分数指数幂：规定：1m nm naa-==()0,,,1a m n n *>∈>N 性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义2、指数幂的运算性质（1）无理数指数幂：一般地，无理数指数幂a α（0a >，α为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．（2）指数幂的运算性质①(0,,)+=>∈r s r s a a a a r s R ．②()=sra rs a (0,,)a r s >∈R ．③()=r ab r r a b (0,0,)a b r >>∈R ．3、对数与对数运算（1）对数的概念：如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底数N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，log a N 叫做对数式。
（2）对数的性质对数式与指数式的互化：a x ＝N ⇔x ＝log a N (a >0，且a ≠1)；①log a 1＝0，②log a a ＝1，③a log a N ＝N ，④log a a N ＝N (a >0，且a ≠1).指数式与对数式的关系（3）对数的的运算法则与换底公式：如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0运算法则：①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ②log a MN＝log a M －log a N③log a M n ＝n log a M (n ∈R )换底公式：①log a b ＝log c blog c a(a >0，且a ≠1，c >0，且c ≠1，b >0)，选用换底公式时，一般选用e 或10作为底数。
高考数学知识点幂函数知识点总结
高考数学知识点幂函数知识点总结幂函数是高考数学中的重要知识点之一。
它在求解各类问题中具有广泛的应用。
本文将对幂函数的定义、性质以及解题技巧进行总结，以帮助考生全面掌握相关知识。
一、幂函数的定义与性质1. 定义：幂函数是指形如f(x) = a^x的函数，其中a为实数且a>0且a≠1。
2. 幂函数的基本性质：(1) 当a>1时，幂函数是递增函数；(2) 当0<a<1时，幂函数是递减函数；(3) 幂函数的图象是关于y轴对称的；(4) 当x取整数时，幂函数的函数值为恒定值。
3. 幂函数的特殊情况：(1) 当a>1时，幂函数的图象在x轴正半轴上逼近y轴；(2) 当0<a<1时，幂函数的图象在x轴正半轴上逼近x轴；(3) 当a=1时，幂函数为常数函数。
二、幂函数的常见解题技巧1. 求解幂函数的零点：对于幂函数f(x) = a^x = 0，可以通过求解a^x = 0的条件来得到幂函数的零点。
由于指数函数a^x的定义域为实数集，而等式0^x没有意义，因此幂函数的零点不存在。
2. 求解幂函数的最值：当幂函数f(x) = a^x存在最值时，可以通过导数法求解。
具体步骤为：(1) 求得f'(x) = a^x * ln(a)，其中ln(a)表示以e为底的对数；(2) 令f'(x) = 0，解得x = ln(a)；(3) 将x = ln(a)带入幂函数，得到最值点或者端点的函数值；(4) 比较得到最值。
3. 幂函数与其他函数的复合：幂函数和其他常见函数的复合，如幂函数与线性函数、指数函数、对数函数的复合等，可以通过替换变量或者利用函数关系进行求解。
具体步骤需要根据题目的要求和已知条件进行灵活运用。
4. 幂函数在实际问题中的应用：幂函数在生活和工作中有广泛的应用，比如指数增长与衰减问题，利润与销售量关系的建模，物理中的涉及到指数增长和衰减的问题等，需要考生能够将幂函数与实际问题相结合，进行建模和求解。
高一数学幂函数;函数与方程知识精讲
芯衣州星海市涌泉学校高一数学幂函数；函数与方程【本讲教育信息】一.教学内容：幂函数；函数与方程二.本周教学目的1.理解幂函数的概念，会画出幂函数12321,,,,y x y x y x y y x x =====的图象，能根据上述幂函数的图象，理解幂函数的变化情况和性质。
2.理解几个常见幂函数的性质，会用它们的单调性比较两个底数不同而指数一样的指数式值的大小。
3.能利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，理解函数的零点与方程根的联络。
4.可以借助计算器用二分法求方程的近似解，理解这种方法的本质。
〔一〕幂函数观察下面两组函数两组函数的自变量各在什么位置？1.幂函数的定义一般的，我们把形如a y x =的函数称为幂函数〔powerfunction 〕，其中x 是自变量，a 是常数。
2.幂函数a y x =的性质画出以下两组幂函数的图象观察图象，你能找出这几个函数有什么一一共同特征吗？幂函数a y x =〔a>0〕的性质〔1〕函数的图象都过〔0，0〕，〔1，1〕；〔2〕在第一象限内，函数的图象随x 的增大而上升，函数在区间[)0,+∞上是单调增函数。
画以下幂函数的图象观察它们的一一共同特征： 幂函数a y x =〔a<0〕的性质〔1〕图象过〔1，1〕点；〔2〕在第一象限内，函数的图象随x 的增大而下降，函数在区间(0,)+∞上是单调减函数。
〔二〕函数与方程画出函数223y x x =--的图象，观察图象，指出x 取哪些值时，y ＝0。
1.方程的根与函数的零点对于函数y ＝f 〔x 〕，把使f 〔x 〕＝0的实数x ，叫做函数y ＝f 〔x 〕的零点.函数的零点就是方程f 〔x 〕＝0的实数根，也就是函数的图象与x 轴的交点的横坐标。
2.关系图方程f 〔x 〕＝0有实数根函数y ＝f 〔x 〕的图象与x 轴有交点函数y ＝f 〔x 〕有零点考虑：如何对函数在某区间是否有零点作出判断呢？3.定理：假设函数y ＝f 〔x 〕在区间[a ，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f 〔a 〕f 〔b 〕<0，那么，函数y ＝f 〔x 〕的图象在区间〔a ，b 〕内必然至少穿越x 轴一次，即至少有一个零点，亦即存在c ∈〔a ，b 〕，使得f 〔c 〕＝0。
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幂函数、函数与方程、函数模型及应用一、 知识综述 幂函数：（一）幂函数的定义：一般地，形如y= ax (a ∈R)的函数称为幂函数，其中a 为常数。
（二）准确理解幂函数的定义：①幂函数具有严格的形式，如形如：y=m ax ,y=()amx ,y=a x +m,y=()ax m +等均不是幂函数； ②不要把指数函数和幂函数混淆起来； （三）幂函数1、幂函数定义：一般地，形如αx y =)(R a ∈的函数称为幂函数，其中α为常数． 2、幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；（2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；（3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．（4）当a 为奇数时，幂函数为奇函数；当a 为偶数时，幂函数为偶函数； 几 种 重 要 的 幂 函 数 的 图 象：函特 数 征 性质y=xy=2xy=3xy=12xy=1x -图 像定义域 x ∈R x ∈R x ∈R x ∈[0, +∞) x ∈R(R ≠0)值域 y ∈R y ∈[0, +∞) y ∈Ry ∈[0, +∞) y ∈R 且y ≠0奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数非奇非偶奇函数单 调 性增函 数 在x ∈（-∞，0）y 为减函数 在x ∈（0，+∞） y 为增函数增 函数增 函数在x ∈（-∞，0）y 为减函数 在x ∈（0，+∞）y 为减函数定 点（1，1）、（0，0） （0，0）、（1，1） （0，0）、（1，1） （0，0）、（1，1） （1，1）（四）幂函数与凹、凸函数：1．凹、凸函数的定义：①几何描述：我们把函数图形向上凸的函数，称为凸函数；我们把函数图形向下凸的函数，称为凹函数； ②代数描述：设点1M 、2M 在函数图象上，线段1M 2M 所对应的函数为y=g(x),x ∈[1x ,2x ],当0x ∈[ 1x , 2x ]时，关于y=f(x),若总有f(0x )≤g(0x ),则称函数y=f(x)为凸函数 当0x ∈[1x ,2x ]时，关于y=f(x),若总有f(0x )≥g(x ),则称函数y=f(x)为凹函数函数与方程 1.二次函数(1)定义：形如2()(0)f x ax bx c a =++≠的函数叫二次函数.(2)图像：二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是抛物线，对称轴方程为___________，顶点坐标为_______________.①当a <0时，图像开口________，函数在_________上递减，在__________上递增； ②当a >0时，图像开口________，函数在_________上递减，在__________上递增. (3)二次函数的解析式的三种形式：一般式：_________________；顶点式：_________________；两根式：_________________. (4)二次函数的零点：①△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图像与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点． ②△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根，二次函数的图像与x 轴有一个交点，二次函数有一个零点． ③△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图像与x 轴无交点，二次函数无零点． 2.函数与方程(1)函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数．．x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
(2)函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图像与x 轴交点的_________。
即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图像与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点． (3)函数零点的求法：①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点．(4)零点存在性定理：如果函数()x f y =在区间[]b a ,上的图像是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么函数()x f y =在区间()b a ,内有零点，并且至少存在一个。
即存在()b a c ,∈使得()0=c f 这个c 也就是方程()0=x f 的根。
(5)零点唯一性定理：如果函数()x f y =在区间[]b a ,上的图像是连续不断的一条曲线，当函数()x f y =在区间[]b a ,上是增函数或是减函数时，并且有()()0f a f b ⋅<，那么函数()x f y =在区间()b a ,内有且仅有一个零点。
即唯一存在()b a c ,∈使得()0=c f 。
3.二分法 (1)二分法所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法.(2)用二分法求函数零点的一般步骤： 已知函数定义在区间D 上，求它在D 上的一个零点x 0的近似值x ，使它满足给定的精确度.第一步：在D 内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中.第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为.计算和，并判断：①如果，则就是的零点，计算终止；②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为.计算和，并判断：①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令； 继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止.这时函数的近似零点满足给定的精确度.二、课堂练习 幂函数自测1．下列所给出的函数中，是幂函数的是（ ）A ．3x y -=B ．3-=x yC ．32x y =D ．13-=x y2．函数2-=x y 在区间]2,21[上的最大值是（ ）A ．41 B ．1- C ．4 D ．4-3．设函数y =lg(x 2－5x )的定义域为M ，函数y =lg(x －5)+lg x 的定义域为N ，则（ ）A ．M ∪N=RB ．M=NC ．M ⊇ND ．M ⊆N4．函数34x y =的图象是 （ ）A ．B ．C ．D ． 5．下列命题中正确的是 （ ）A ．当0=α时函数αx y =的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点C ．若幂函数αx y =是奇函数，则αx y =是定义域上的增函数 D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限6．函数3x y =和31x y =图象满足（ ）A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线x y =对称7．函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(21x x x x f x ，满足1)(>x f 的x 的取值范围 （ ）A ．)1,1(-B ． ),1(+∞-C ．}20|{-<>x x x 或D ．}11|{-<>x x x 或8．函数2422-+=x x y 的单调递减区间是（ ）A ．]6,(--∞B ．),6[+∞-C ．]1,(--∞D ．),1[+∞-9．已知f(x)=log 21x,则不等式[f(x)]2>f(x 2)的解集为（） （A ）（0，41） （B ）（1，+∞） （C ）（41，1） （D ）（0，41）⋃（1，+∞） 10． 对于对数函数x x f 2log )(=，若210x x <<，则)2(21x x f +，2)()(21x f x f +大小关系是（ ） A ．)2(21x x f +>2)()(21x f x f + B ． )2(21x x f +<2)()(21x f x f + C ． )2(21x x f +=2)()(21x f x f + D ． 无法确定函数与方程基础自测：1．函数133)(2+-=x x x f 零点的个数为 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2.函数3)(5-+=x x x f 的实数解落在的区间是( )A ．]1,0[B ．]2,1[C ．]3,2[D ．]4,3[3. 若f （x ）=1x x-，则方程f （4x ）=x 的根是（ ）A.－2B.2C.－12 D. 124.函数y=|log 2|x||－1的零点有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个5.以下函数图象中,不能用二分法求函数零点的是( )6.已知函数y=x 2+(1-k)x-k 的一个零点在(2,3)内,则实数k 的范围是( ) A.(-3,-2) B.(2,3) C.(3,4) D.(0,1) 7.函数f(x)=-2x +4x-3在区间［1,3］上( )A.没有零点B.有一个零点C.有两个零点D.有无数个零点 8.若方程2x +(m-2)x+(5-m)=0无解,则m 的取值范围是( )A.（-∞,-4]B.（-4,4）C.（-5,-4）D.（-∞,-5）∪（-5,-4］ 9.函数252)(2+-=x x x f 的零点是（ ） A ．2 B 、21 C 、21，2 D 、-210.已知函数1)(2-=x x f ，则函数)1(-x f 的零点是__________．11．函数xx y ＋－＝112的零点是_______________．12．二次函数)3(2+++=m mx x y 有两个不同的零点，则m 的取值范围是__________________.13.方程ln 280xx +-=的根的个数是______个.14.已知二次方程013)2(2=++-mx x m 的两根分别属于)0,1(-和)2,0(，求m 的取值范围．15.)1(已知函数43)(-=mx x f ，若在]0,2[-上存在0x ，使0)(0=x f ，求实数m 的取值范围；)2(若方程0122=--x ax 在)1,0(上恰有一解，求实数a 的取值范围．附加题：1．(2009山东临沂一模，文13)当α∈{－1，12，1,3}时，幂函数y ＝x α的图象不可能经过第__________象限．2.在同一坐标系内，函数y ＝x a(a ≠0)和y ＝ax ＋a 的图象应是( )3.已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）（A ）(0,1) （B ）1(0,)3 （C ）11(,)73 （D ）1[,1)74．已知1122log log 0m n <<则（A ）n ＜m ＜1 （B ）m ＜n ＜1 （C ）1＜m ＜n （D ）1＜n ＜m 5．方程(1)(1)22log 2log x x -+=-的解为____________。