2.3.3-2.3.4线面、面面垂直的性质
线面垂直、面面垂直的性质定理
α
线面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言： a
, b a / /b
线线平行
简述： 线面垂直
1.已知:a⊥α,b⊥α 求证:a//b 记直线b ’ 证明：假设 a 与 b 不平行 . b b a 和α的交点为o,则可过o作 b’∥a ∵a⊥α, o α ∴b’⊥α. ∴过点o的两条直线 b和b’都 垂直平面α，这是不可能的， 反证法 ∴a∥b.
2.已知直线a, b和平面 , 且a b, a , 则b与的 位置关系是_______
温故知新
面面垂直的判定方法： 1、定义法： 找二面角的平面角 2、判定定理： 要证两平面垂直，只要在其中一个平面 内找到另一个平面的一条垂线。
说明该平面角是直角。
（线面垂直.3.4直线与平面、 平面与平面垂直的性质
(1)长方体ABCD A' B 'C ' D '中, 棱AA' , BB ' , CC , DD 所在直线与平面ABCD的位置关 系怎样?它们之间又具有什么位置关系?
D'
' '
C'
B'
A
'
D A B
C
(2)如图, a , b , 那么直线a, b一定 平行吗?
理论迁移
例1 如图，已知 l , CA , a , a AB, 于点A，CB 于点B， 求证：a // l .
β B α l A a
C
练习一
1.判断下列命题正确的是_______ A.垂直于同一条直线的两个平面互相平行 B.垂直于同一个平面的两条直线互相平行 C.一条直线在平面内,另一条直线与这个平面 垂直,则这两条直线互相垂直. D.垂直于同一条直线的两条直线互相平行 E.垂直于同一个平面的两个平面互相平行
人教版高中数学必修二2.3.3-2.3.4线面垂直、面面垂直的性质定理教学课件 18
人教版高中数学必修二2.3.3-2.3.4线 面垂直 、面面 垂直的 性质定 理教学 课件 18
已知:a⊥α,b⊥α 求证:a//b
证明：假设 a与b不平行.记直线b
和α的交点为o,则可过o作 b’∥a
a
b b’ ∵a⊥α,
α
o
∴b’⊥α.
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四.知识应用
1、判断下列命题是否正确：正确的是：①④ ①平行于同一条直线的两条直线互相平行;
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行;
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平面与平面垂直的性质定理：
已知： , A ,C B D ,C A D .求B 证：CD
α
发展条件
转化结论
CB
D
E
β
A
证明： 在平面β内过D作直线 DE ⊥AB
则 CD 是 E二面 -A B 角 的平面角
由 ⊥β 得CD ⊥ DE 又CD ⊥ AB, 且DE ∩ AB =D
所以直线CD⊥平面β
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二、探索新知
与地面垂 直的旗杆， 它们有什 么关系？
问 题 探 究 ： 已 知 ： a ,b ,那 么 直 线 a 和 b
学案11：2.3.3 直线与平面垂直的性质～2.3.4 平面与平面垂直的性质
2.3.3直线与平面垂直的性质~2.3.4平面与平面垂直的性质【知识导图】【学法指导】1.线面垂直、面面垂直的性质定理揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系，提供了它们之间相互转化的依据．因此，在应用时要善于运用转化的思想．2．利用面面垂直的性质定理时，找准两平面的交线是解题的关键．3．学习线面垂直的性质定理时，要注意区分与其相似的几个结论．【自主预习】知识点一直线与平面垂直的性质文字语言垂直于同一个平面的两条直线符号语言}a⊥αb⊥α⇒图形语言①线面垂直⇒线线平行；作用②作平行线1．直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法．2．定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据．知识点二平面与平面垂直的性质文字语言两个平面垂直，则垂直于的直线与另一个平面α⊥βα∩β＝l⇒a⊥β符号语言}图形语言①面面垂直⇒垂直；作用②作面的垂线对面面垂直的性质定理的理解1．定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直．2．已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直．[小试身手]1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()A．α⊥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥βC．α⊥β，且m∥αD．m⊥n，且n∥β2．已知△ABC和两条不同的直线l，m，l⊥AB，l⊥AC，m⊥AC，m⊥BC，则直线l，m的位置关系是()A．平行B．异面C．相交D．垂直3.如图，BC是Rt△BAC的斜边，P A⊥平面ABC，PD⊥BC于点D，则图中直角三角形的个数是()A．3 B．5C．6 D．84．如果三棱锥的三个侧面两两相互垂直，则顶点在底面的正投影是底面三角形的______心．【课堂探究】类型一线面垂直的性质定理的应用例1在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，EF⊥A1D，EF⊥AC，求证：EF∥BD1.方法归纳线面垂直的性质定理是证明两直线平行的重要依据，证明两直线平行的常用方法：(1)a∥b，b∥c⇒a∥c.(2)a∥α，a⊂β，β∩α＝b⇒a∥b.(3)α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b.(4)a⊥α，b⊥α⇒a∥b.跟踪训练1如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BC的中点，AD⊥平面ABC，D为FG的中点，且AF＝AG，EF＝EG.求证：BC∥FG.类型二面面垂直的性质定理的应用例2如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝2，CE ＝EF＝1，求证：CF⊥平面BDE.方法归纳(1)两个平面垂直的性质定理可作为判定线面垂直的依据．当已知两个平面垂直时，可在一个平面内作交线的垂线，即是另一平面的垂线．(2)证明线面垂直的常用方法：①线面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理；③a∥b，b⊥α⇒a⊥α.跟踪训练2在三棱锥P－ABC中，P A⊥平面ABC，平面P AB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.类型三垂直关系的综合应用例3如图，在几何体ABCDPE中，底面ABCD是边长为4的正方形，P A⊥平面ABCD，P A∥EB，且P A＝2EB＝4 2.(1)证明：BD∥平面PEC；(2)若G为BC上的动点，求证：AE⊥PG.方法归纳空间线线垂直、线面垂直、面面垂直是重点考查的位置关系，证明时一般是已知垂直关系考虑性质定理，求证垂直关系考虑判定定理．跟踪训练3如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝ 2.等边三角形ADB以AB为轴转动．(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．【参考答案】【自主预习】知识点一 直线与平面垂直的性质平行 a ∥b知识点二 平面与平面垂直的性质一个平面内交线 垂直 a ⊂α a ⊥l线面[小试身手]1．解析：⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n n ⊥β⇒m ⊥β，故选B. 答案：B2．解析：因为直线l ⊥AB ，l ⊥AC ，所以直线l ⊥平面ABC ，同理直线m ⊥平面ABC ，根据线面垂直的性质定理得l ∥m .答案：A3.解析：由P A ⊥平面ABC ，知△P AC ，△P AD ，△P AB 均为直角三角形，又PD ⊥BC ，P A ⊥BC ，P A ∩PD ＝P ，∴BC ⊥平面P AD .∴AD ⊥BC ，易知△ADC ，△ADB ，△PDC ，△PDB 均为 直角三角形．又△BAC 为直角三角形，所以共有8个直角三角形，故选D.答案：D4．解析：三棱锥的三个侧面两两相互垂直，则三条交线两两互相垂直，易证投影是底面三角形的垂心．答案：垂【课堂探究】类型一 线面垂直的性质定理的应用例1【证明】 如图所示，连接A 1C 1，C 1D ，B 1D 1，BD .∵AC ∥A 1C 1，EF ⊥AC ，∴EF ⊥A 1C 1.又EF⊥A1D，A1D∩A1C1＝A1，∴EF⊥平面A1C1D①.∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1.∵四边形A1B1C1D1为正方形，∴A1C1⊥B1D1，又B1D1∩BB1＝B1，∴A1C1⊥平面BB1D1D，而BD1⊂平面BB1D1D，∴A1C1⊥BD1.同理DC1⊥BD1.又DC1∩A1C1＝C1，∴BD1⊥平面A1C1D②.由①②可知EF∥BD1.跟踪训练1证明：连接DE，AE，因为AD⊥平面ABC，所以AD⊥BC.因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC，又AD∩AE＝A，所以BC⊥平面ADE.因为AF＝AG，D为FG的中点，所以AD⊥FG，同理ED⊥FG，又ED∩AD＝D，所以FG⊥平面ADE，所以BC∥FG.类型二面面垂直的性质定理的应用例2【证明】如图，设AC∩BD＝G，连接EG，FG.由AB＝2易知CG＝1，则EF＝CG＝CE.又EF∥CG，所以四边形CEFG为菱形，所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.又平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以BD⊥平面ACEF，CF⊂平面ACEF，所以BD⊥CF.又BD ∩EG ＝G ，所以CF ⊥平面BDE .跟踪训练2证明：如图所示，在平面P AB 内作AD ⊥PB 于点D .∵平面P AB ⊥平面PBC ，且平面P AB ∩平面PBC ＝PB ，∴AD ⊥平面PBC .又BC ⊂平面PBC ，∴AD ⊥BC .∵P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴P A ⊥BC .∵P A ∩AD ＝A ，∴BC ⊥平面P AB .又AB ⊂平面P AB ，∴BC ⊥AB .类型三 垂直关系的综合应用例3【证明】 (1)如图，连接AC 交BD 于点O ，取PC 的中点F ，连接OF ，EF .∵四边形ABCD 为正方形，∴O 为AC 的中点，∴OF ∥P A ，且OF ＝12P A . ∵EB ∥P A ，且EB ＝12P A ，∴EB ∥OF ，且EB ＝OF ， ∴四边形EBOF 为平行四边形，∴EF ∥BD .又EF ⊂平面PEC ，BD ⊄平面PEC ，∴BD ∥平面PEC .(2)如图，连接PB ，∵EB AB ＝BA P A ＝12，∠EBA ＝∠BAP ＝90°，∴△EBA ∽△BAP ， ∴∠PBA ＝∠BEA ，∴∠PBA ＋∠BAE ＝∠BEA ＋∠BAE ＝90°，∴PB ⊥AE . ∵P A ⊥平面ABCD ，P A ⊂平面APEB ，∴平面ABCD ⊥平面APEB .∵BC ⊥AB ，平面ABCD ∩平面APEB ＝AB ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面APEB ，∴BC ⊥AE .又BC∩PB＝B，BC⊂平面PBC，PB⊂平面PBC，∴AE⊥平面PBC.∵G为BC上的动点，∴PG⊂平面PBC，∴AE⊥PG.跟踪训练3解：(1)如图所示，取AB的中点E，连接DE，CE.因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，CE⊂平面ABC可知DE⊥CE.由已知可得DE＝3，EC＝1.在Rt△DEC中，CD＝DE2＋EC2＝2.(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.证明：①当D在平面ABC内时，因为AC＝BC，AD＝BD，所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE.又因AC＝BC，所以AB⊥CE.又DE∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE.又CD⊂平面CDE，得AB⊥CD.综上所述，总有AB⊥CD.。
第二章 2.3.3~2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质
2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质学习目标 1.掌握空间中线面、面面垂直的性质定理.2.能够运用线面、面面垂直的性质定理证明一些简单的问题.3.理解线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理之间的相互联系．知识点一直线与平面垂直的性质定理思考在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆．一排电线杆中的每根电线杆都与地面垂直，这些电线杆之间的位置关系是什么？答案平行．梳理知识点二平面与平面垂直的性质定理思考黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？答案容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直，因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直．梳理类型一直线与平面垂直的性质定理例1如图所示，正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1.证明如图，连接AB1，B1C，BD，B1D1.∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理，BD1⊥B1C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，且A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.反思与感悟证明线线平行的常用方法(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点．(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线．(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行．(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直.(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．跟踪训练1如图，α∩β＝l，P A⊥α，PB⊥β，垂足分别为A、B，a⊂α，a⊥AB.求证：a∥l.证明∵P A⊥α，l⊂α，∴P A⊥l.同理PB⊥l.∵P A∩PB＝P，∴l⊥平面P AB.又∵P A⊥α，a⊂α，∴P A⊥a.∵a⊥AB，P A∩AB＝A，∴a⊥平面P AB.∴a∥l.类型二平面与平面垂直的性质定理及应用例2如图，在三棱锥P－ABC中，P A⊥平面ABC，平面P AB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.证明如图，在平面P AB内，作AD⊥PB于D.∵平面P AB⊥平面PBC，且平面P AB∩平面PBC＝PB.∴AD⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC.又∵P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴P A⊥BC，又∵P A∩AD＝A，∴BC⊥平面P AB.又AB⊂平面P AB，∴BC⊥AB.反思与感悟证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理．本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．跟踪训练2如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面P AD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点．求证：(1)BG⊥平面P AD；(2)AD⊥PB.证明(1)平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.∴BG⊥平面P AD.(2)由(1)可知BG⊥AD，由题意知△P AD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.又BG∩PG ＝G，∴AD⊥平面PBG，又PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB.类型三垂直关系的综合应用例3如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明(1)∵P A⊥AD，平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，由平面和平面垂直的性质定理可得P A⊥平面ABCD.(2)∵AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED为平行四边形，故有BE∥AD.又AD⊂平面P AD，BE⊄平面P AD，∴BE∥平面P AD.(3)在平行四边形ABED中，由AB⊥AD可得，ABED为矩形，故有BE⊥CD. ①由P A⊥平面ABCD，可得P A⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面P AD，∴CD⊥平面P AD，故有CD⊥PD.再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EF∥PD，∴CD⊥EF. ②而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD⊥平面BEF.由于CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.反思与感悟(1)证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．(2)利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：①两个平面垂直；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．跟踪训练3如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC 且AC＝BC＝2，O，M分别为AB，VA的中点．(1)求证：VB∥平面MOC；(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；(3)求三棱锥V－ABC的体积．(1)证明∵O，M分别为AB，VA的中点，∴OM∥VB.∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，∴VB∥平面MOC.(2)证明∵AC＝BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB.又∵平面VAB⊥平面ABC，且平面VAB∩平面ABC＝AB，OC⊂平面ABC，∴OC⊥平面VAB. ∵OC⊂平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB.(3)解在等腰直角△ACB中，AC＝BC＝2，∴AB＝2，OC＝1，∴S△VAB＝34AB2＝ 3.∵OC⊥平面VAB，∴V C－VAB＝13OC·S△VAB＝13×1×3＝33，∴V V－ABC＝V C－VAB＝3 3.1．下列四个命题①垂直于同一条直线的两条直线相互平行；②垂直于同一个平面的两条直线相互平行；③垂直于同一条直线的两个平面相互平行；④垂直于同一个平面的两个平面相互平行．其中错误的命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案 B解析①垂直于同一条直线的两条直线相互平行，不正确，如正方体的一个顶角的三个边就不成立；②垂直于同一个平面的两条直线相互平行，根据线面垂直的性质定理可知正确；③垂直于同一条直线的两个平面相互平行，根据面面平行的判定定理可知正确；④垂直于同一个平面的两个平面相互平行，不正确，如正方体相邻的三个面就不成立．故选B.2．下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α⊥平面β，过α内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于βD．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β答案 C解析对于A，平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，则l⊥γ，命题正确；对于B，平面α⊥平面β，不妨设α∩β＝a，作直线b∥a，且b⊂α，则b∥β，命题正确；对于C，平面α⊥平面β，过α与β交线上的点作交线的垂线时，该垂线不一定垂直于β，命题错误；对于D，假设平面α内存在直线垂直于平面β，则平面α垂直于平面β，这与已知平面α与平面β不垂直矛盾，所以假设不成立，命题正确，故选C.3．如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么D在面ABC内的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部答案 A解析在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，∴AC⊥平面ABD.又∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，D在面ABC内的射影H必在AB上．故选A.4．如图所示，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝____.答案 6解析∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，∴AF∥DE.又AF＝DE，∴四边形AFED为平行四边形，故EF＝AD＝6.5.如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，求证：平面SDC⊥平面SBC.证明因为底面ABCD是矩形，所以BC⊥CD.又平面SDC⊥平面ABCD，平面SDC∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面SDC.又因为BC⊂平面SBC，所以平面SDC⊥平面SBC.1.线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据．2．面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的转化与化归思想，其转化关系如下：课时作业一、选择题1．下列命题错误的是()A．若平面α⊥平面β，则α内所有直线都垂直于βB．若平面α⊥平面β，则平面α内的直线垂直于平面β内的无数条直线C．若平面α⊥平面β，则在平面β内垂直于平面α与平面β的交线的直线垂直于α内的任意一条直线D．若平面α⊥平面β，则经过α内一点与β垂直的直线在α内答案 A解析在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AA1B1B⊥平面ABCD，直线AB1⊂平面AA1B1B，但AB 1与平面ABCD 不垂直，故A 错．2．已知m ，n 为两条不同直线，α，β为两个不同平面，给出下列命题：( )①⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥αm ⊥n ⇒n ∥α ②⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥βn ⊥β⇒m ∥n ③⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥αm ⊥β⇒α∥β ④⎩⎪⎨⎪⎧m ⊂αn ⊂βα∥β⇒m ∥n其中正确命题的序号是( ) A ．②③ B ．③④ C ．①② D ．①②③④答案 A解析 ①中n ，α可能平行或n 在平面α内；②③正确；④两直线m ，n 平行或异面，故选A.3．在下列四个正方体中，能得出AB ⊥CD 的是( )答案 A4．设平面α⊥平面β，若平面α内的一条直线a 垂直于平面β内的一条直线b ，则( ) A ．直线a 必垂直于平面β B ．直线b 必垂直于平面α C ．直线a 不一定垂直于平面β D ．过a 的平面与过b 的平面垂直 答案 C解析 当两个平面垂直时，在一个平面内只有垂直于交线的直线才垂直于另一个平面． 5．已知l ⊥平面α，直线m ⊂平面β.有下面四个命题： ①α∥β⇒l ⊥m ； ②α⊥β⇒l ∥m ； ③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α∥β.其中正确的两个命题是( ) A ．①② B ．③④ C ．②④ D ．①③ 答案 D解析 ∵l ⊥α，α∥β，∴l ⊥β，∵m ⊂β，∴l ⊥m ，故①正确；∵l ∥m ，l ⊥α，∴m ⊥α，又∵m ⊂β，∴α⊥β，故③正确．6．如图所示，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6.过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A ′、B ′，则AB ∶A ′B ′等于( )A ．2∶1B ．3∶1C ．3∶2D ．4∶3 答案 A解析 如图：由已知得AA ′⊥平面β，∠ABA ′＝π6，BB ′⊥平面α，∠BAB ′＝π4.设AB ＝a ，则BA ′＝32a ，BB ′＝22a ， 在Rt △BA ′B ′中，A ′B ′＝12a ，∴ABA ′B ′＝2.7．如图所示，在三棱锥P －ABC 中，平面P AB ⊥平面ABC ，P A ＝PB ，AD ＝DB ，则( )A ．PD ⊂平面ABCB ．PD ⊥平面ABCC ．PD 与平面ABC 相交但不垂直 D ．PD ∥平面ABC 答案 B解析 因为P A ＝PB ，AD ＝DB ，所以PD ⊥AB .又因为平面P AB ⊥平面ABC ，平面P AB ∩平面ABC ＝AB ，PD ⊂平面P AB ，所以PD⊥平面ABC.二、填空题8.如图，在三棱锥P－ABC中，侧面P AC⊥底面ABC，且∠P AC＝90°，P A＝1，AB＝2，则PB＝________.答案 5解析∵侧面P AC⊥底面ABC，交线为AC，∠P AC＝90°(即P A⊥AC)，∴P A⊥平面ABC，∴P A⊥AB，∴PB＝P A2＋AB2＝1＋4＝ 5.9．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________．(只填序号)①a和b垂直于正方体的同一个面；②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；③a和b平行于同一条棱；④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．答案①②③解析①为直线与平面垂直的性质定理的应用，②为面面平行的性质，③为公理4的应用．10．如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足________时，A1C⊥B1D1.(写出一个正确条件即可)答案AC⊥BD解析连接BD.因为BD∥B1D1，所以要使A1C⊥B1D1，即使A1C⊥BD.又因为A1A∩A1C＝A1，所以BD⊥平面A1AC.因为AC⊂平面A1AC，所以AC⊥BD.11．如图所示，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线P A垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点．有以下四个命题：①P A∥平面MOB；②MO∥平面P AC；③OC⊥平面P AC；④平面P AC⊥平面PBC.其中正确的命题是________．(填上所有正确命题的序号)答案②④解析因为P A⊂平面MOB，所以①不正确；因为MO∥P A，而且MO⊄平面P AC，所以②正确；OC不垂直于AC，所以③不正确；因为BC⊥AC，BC⊥P A，AC∩P A＝A，所以BC⊥平面P AC，所以平面P AC⊥平面PBC，所以④正确．三、解答题12．已知：α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，求证：l⊥γ.证明如图，在γ内取一点P，作P A垂直于α与γ的交线于点A，PB垂直于β与γ的交线于点B，则P A⊥α，PB⊥β.∵l＝α∩β，∴l⊥P A，l⊥PB.∵P A与PB相交，且P A⊂γ，PB⊂γ，∴l⊥γ.13．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，P A＝AB，G为PD的中点．求证：AG⊥平面PCD.证明∵P A⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴P A⊥CD.又AD⊥CD，P A∩AD＝A，∴CD⊥平面P AD.又AG⊂平面P AD，∴AG⊥CD.∵P A＝AB＝AD，G为PD的中点，∴AG⊥PD.又PD∩CD＝D，∴AG⊥平面PCD.四、探究与拓展14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD 沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC答案 D解析如图，在平面图形中CD⊥BD，折起后仍然满足CD⊥BD.由于平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB.又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC，所以平面ADC⊥平面ABC.15．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面P AD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求证：AD⊥PB；(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．(1)证明如图，设G为AD的中点，连接BG，PG，因为△P AD为正三角形，所以PG⊥AD.在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，所以BG⊥AD.又BG∩PG＝G，所以AD⊥平面PGB.因为PB⊂平面PGB，所以AD⊥PB.(2)解当F为PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD.证明如下：在△PBC中，因为F是PC的中点，E是BC的中点，所以EF∥PB.在菱形ABCD中，GB∥DE，而FE⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E，所以平面DEF∥平面PGB，由(1)得PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，所以平面PGB⊥平面ABCD，所以平面DEF⊥平面ABCD.。
2.3.3-2.3.4直线与平面垂直的性质
图形表示
符号表示
m ,n
a
m
On
m nO
a
a m, a n
线线垂直 线面垂直
关键：线不在多，相交则行.
知识探究！
如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱 AA1，BB1，CC1，DD1所在直线与底面 ABCD的位置关系如何？它们彼此之
间具有什么位置关系？
C1 B1
D1 A1
C
D
B
A
解：由VC垂直于⊙O所在平面，知VC⊥AC， VC⊥BC，即 ∠ACB是二面角A-VC-B的平 面角．由∠ACB是直径上的圆周角，知 ∠ACB =90°。 因此，平面 VAC⊥平面VBC．由DE是 △VAC两边中点连线，知 DE∥AC，故 DE⊥VC．由两个平面垂直的性质定理，知 l
同理 b l
l .
a bA
结论 如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么这两个 平面的交线垂直于这个平面.
如图：
l α
β γ
判断线面垂直的两种方法：
①线线垂直→线面垂直； ②面面垂直→线面垂直.
两个平面垂直应用举例
例题1 如图4，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点，过动 点C的直线VC垂直于⊙O所在平面，D、E分别是VA、VC的中 点，直线 DE与平面VBC有什么关系？试说明理由．
注意：本题也可以先推出AC垂直于平面VBC，再由DE∥AC，
推出上面的结论。
例2．S为三角形ABC所在平面外一点，SA⊥平面 ABC，平面SAB⊥平面SBC。
求证：AB⊥BC。
S
证明：过A点作AD⊥SB于D点.
∵平面SAB ⊥ 平面SBC, ∴ AD⊥平面SBC，
∴ AD⊥BC.
2.3.3-2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质
P
B C
D A
例2. 如图，已知平面，β，⊥β，直线a 满足a ⊥β ， a，试判断直线a与平面
的位置关系.
b
a
β
思考: 设平面⊥平面β，点P在平面内， 过点P作平面β的垂线a，直线a与平面 具有什么位置关系？
a
过一点与一个平 面垂直的直线有 且只有一条
D' A' D A B B' C C'
讲授新课
(2)如图，已知直线a⊥ 、b⊥， 那么直线a、b一定平行吗？我们能否 证明这一事实的正确性呢？
a b
a⊥平面，b⊥平面， 已知：
求证：a∥b．
a
b
b'
(反证法)
cO
定理 垂直于同一个平面的两条直线平行.
例1.如图， =a，PA ，PB ，
练习2. 已知直线a、b和平面，且a b，a b 或b ，则b与 的位置关系是_________
思考？若在两个平面互相垂直的条件下， 又会得出怎样的结论呢？ 例如：如何在黑板面上画一条与地面垂直 的直线？
ห้องสมุดไป่ตู้
面面垂直的性质定理: 两个平面垂直，则 一个平面内垂直于交线的直线与另一个 平面垂直. 已知：平面⊥平面β，点A在平面内，
D Ba P C
练习3. 两个平面互相垂直,下列命题正确 的是 ( B ) A. 一个平面内的已知直线必垂直于另一 个平面内的任意一条直线 B. 一个平面内的已知直线必垂直于另一 个平面内的无数条直线 C. 一个平面内的任意一条直线必垂直于 另一个平面 D. 过一个平面内任意点作交线的垂线， 则此垂线必垂直于另一个平面.
课件4： 2.3.3 直线与平面垂直的性质～2.3.4 平面与平面垂直的性质
跟踪训练2 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面 ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上， PC⊥平面BDE. (1)证明：BD⊥平面PAC (2)若PA=1，AD=2，求二面角B－PC －A的正切值
（1）证明 ∵PA⊥平面ABCD， ∴PA⊥BD. ∵PC⊥平面BDE，∴PC⊥BD. 又∵PA PC=P，BD 平面PAD. ∴BD⊥平面PAC. （2）解 设AC与BD交于点O,连接OE, ∵PC⊥平面BDE,∴PC⊥OE. 又∵BO⊥平面PAC，∴PC⊥BO. ∴PC⊥平面BOE.∴PC⊥BE.
所以Rt△AEB≌Rt△BEP，
所以△AEB、△PEB、△CEB都是等腰直角三角形．
由已知PC＝4，得AE＝BE＝2，△AEB的面积S＝2.
因为PC⊥平面AEB，
1
8
所以三棱锥P–ABC的体积V＝ 3 ·S·PC＝ 3 .
自测自评
1．若直线a⊥直线b，且a⊥平面α，则有( D )
A．b∥α
B．b⊂α
A．AC
B．BD
C．A1D
D．A1D1
解析 ∵BD⊥AC，BD⊥CC1，AC∩CC1＝C， ∴BD⊥平面A1ACC1， ∴BD⊥CE.
谢 谢！
跟踪训练1 已知，如图，直线a⊥α，直线b⊥β，且 AB⊥a，AB⊥b，平面α∩β＝c.求证：AB∥c. 证明 过点B引直线a′∥a， a′与b确定的平面设为γ， ∵a′∥a，AB⊥a，∴AB⊥a′， 又AB⊥b，a′∩b＝B，∴AB⊥γ. ∵b⊥β，c⊂β，∴b⊥c① ∵a⊥α，c⊂α，∴a⊥c. 又a′∥a，∴a′⊥c② 由①②可得c⊥γ，又AB⊥γ，∴AB∥c.
如图，取AB中点D，连接PD、CD，
则PD⊥AB，CD⊥AB，又因为PD∩CD＝D，
第二章 2.3 2.3.3 & 2.3.4 直线与平面垂直的性质 平面与平面垂直的性质
已知：α，β，γ是三个不同平面，l为直线，α⊥γ，β⊥γ， α∩β＝l，求证：l⊥γ.
[证明]
法一：在l上任取一点P，过P作γ的垂线l′，
则l′⊂α，l′⊂β， ∴l′是α与β的交线． 又α∩β＝l，∴l′与l重合． 又l′⊥γ，∴l⊥γ.
法二：设α∩γ＝a，β∩γ＝b, 在γ内任取一点P, 过P在γ内
[例1]
如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F
分别在A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.
求证：EF∥BD1.
[自主解答]
如图所示，连接AB1、B1C、BD、B1D1.
∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD， ∴DD1⊥AC. 又∵AC⊥BD，
且BD∩DD1＝D，
∴AC⊥平面BDD1B1. ∵BD1⊂平面BDD1B1， ∴BD1⊥AC.
且BF⊥平面ACE.
(1)求证：AE⊥平面BCE； (2)求二面角B－AC－E的余弦值．
解：(1)证明：∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE， ∴BF⊥AE. ∵二面角D－AB－E是直二面角，且CB⊥AB， ∴CB⊥平面ABE，∴CB⊥AE.
又CB与BF交于点B，
∴AE⊥平面BCE.
(2)连接BD交AC于点G，连接FG. ∵正方形ABCD的边长为2. ∴BG⊥AC，BG＝ 2. ∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥AC. 又BG∩BF＝B， ∴AC⊥平面BFG，AC⊥FG. ∴∠BGF是二面角B－AC－E的平面角．
由(1)知，AE⊥平面BCE，得AE⊥EB. ∵AE＝EB，∴BE＝ 2. 又∵△EBC为直角三角形，∴EC＝ BE2＋BC2＝ 6， BC· BE 2× 2 2 3 BF＝ EC ＝ ＝ 3 . 6 6 ∴在Rt△BFG中，FG＝ BG －BF ＝ 3 .
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例2. 如图,S为Δ ABC所在平面外一点,
SA⊥平面ABC, 平面SAB ⊥平面SBC,
求证:
A.在棱长为a的正
方体ABCD
A 1B 1 C 1 D 1
中, E,F分别是棱AB, 点M为棱B
1
BC的中点, 若 B 1M MB
1
B上的一点, 当
1
的值为 ,并给出证明.
已 知 ：a ，b 求 证 ： a // b
证明 : 假设 a // b
a
b
b’
Q
(1 )若 a b P , a , b , 这与 " 过一点有且只有一条直 线垂直于平面 " 矛盾 .
( 2 ) 若 a , b 异面 , 设 b Q , 过 Q 作 b ' // a , a , b' , 这与 " 过一点有且只有一条直 线垂直于平面 ".
αβ αβ l AB β AB α AB l
A
B
l
作用: （1）面面垂直
线面垂直
（2）寻找平面的垂线：利用面面垂直， 作交线的垂线。
例1.经过平面外的两点作该平面的垂直 平面，那么 ( D ) A．能且只能作1个 B．最多可作2个 C．必能作无数多个 D．要么作一个，要么作无数多个
2 1
多少时能使D
M ⊥ 平面EFB
D1 A1 B1 M
C1
D1
B1
M
F C D O
D
A
O
B
E
B
例4.点P是直角梯形ABCD所在平面外一点， AB//CD，BA⊥AD，CD=2AB，PA⊥平面ABCD，E 为PC中点，那么平面EBD与平面ABCD垂直吗？ 不垂直
P
E D o A B
C
F
例5. 求证: 如果两个平面互相垂直,那么经过 第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线, 在第一个平面内.
由 ( 1 )( 2 )知
a // b
§2.3.4 平面与平 面垂直的性质
复
习
1.平面与平面垂直的定义: 两个平面相交，如果它们所成的二面角是 直二面角，就说这两个平面互相垂直。 2.平面与平面垂直的判定定理: 一个平面过另一个平面的垂 线，则这两个平面垂直。 符号表示：
b
b b
直线与平面垂直的性质 1.垂直于平面的直线垂直于该平面内的 任一直线; 2.过一点与一条直线垂直的平面有且仅 有一个; 3.过一点与一个平面垂直的直线有且仅 有一条;
l P
4.垂直于同一条直线的两个平面平行.
5.直线与平面垂直的性质定理:垂直于 同一平面的两直线平行.
5.直线与平面垂直的性质定理: 垂直于同一平面的两直线平行.
已知：α β，P α，a β. 求证：a α.
b ac
•P
b
a
c
•P
证明:设 c,过点P在平面 内作直线 b ⊥ c, 则 b⊥ . 因为经过一点只能有一条直线与垂直, 所以直线a与b a . 重合.
平面与平面垂直的性质定理2: 如果两个平面互相垂直,那么经过第 一个平面内的一点垂直于第二个平面的 直线, 在第一个平面内.
b a
•P
b a
c
α.
•P
c
已知：α β，P α，a β. 求证：a
§2.3.3 直线与平面
垂直的性质
复
习
一、直线与平面垂直的定义:
一条直线与一个平面内的任意一条直线 都垂直，叫这条直线与这个平面垂直，直 线叫平面的垂线，平面叫直线的垂面 二、直线与平面垂直的判断方法: 1.判定定理:如果一条直线与一个平面内的 两条相交直线都垂直，那么这条直线和这 个平面垂直. 2.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平 面，则另一条也垂直于这个平面
观察两垂直平面中, 一个平面内的直线 与另一个平面的有 哪些位置关系?
l
b
E
D A
B
C
已知：平面α⊥平面β，α∩β=CD ， AB 平面α， AB⊥CD，B为垂足
求证：AB⊥平面β
U
平面与平面垂直的性质定理1: 如果两个平面相互垂直，那么在 一个平面垂直于它们交线的直线垂直 于另一个平面.