一元二次不等式及其解法学案
一元二次不等式及其解法导学案
§3.2一元二次不等式及其解法【学习目标】1、 掌握一元二次不等式的定义.2、理解一元二次不等式与一元二次函数、一元二次方程的关系，能借助二次函数的图象解一元二次不等式.3、能利用一元二次不等式解决有关问题：解简单的分式不等式及高次不等式，对一般二次方程的根进行讨论，解决实际问题.4、对给定的一元二次不等式，能设计求解的程序框图.【学习重点】：解一元二次不等式【学习难点】：三个“二次”之间的关系.【学习过程】：自主学习：自学课本74p ，完成下列问题：考察下面含未知数的不等式130152-+x x ＞0，342+-x x ≥0，62--x x ＜0和1632-+x x ≤0说出这四个不等式的共同特点：1、 一元二次不等式（1） 定义：（2） 一般表达形式：（3） 一元二次不等式)(x f ＞0或)(x f ＜0（)0()(2≠++=a c bx ax x f ）的解集是：2、 作出函数)(x f =62--x x 的图象，回答下列问题：（1） 当自变量x 在什么范围内取值时，函数值等于0？（2） 当自变量x 在什么范围内取值时，函数值大于0？（3） 当自变量x 在什么范围内取值时，函数值小于0？小结1：利用二次函数的图像解一元二次不等式的步骤是： .小结2：二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系是： . 合作探究：考察下面含未知数的不等式（1）32-+x x ≥0 （2）32-+x x ≤0 （3）324+-x x ＜0 这些不等式都是分式不等式，那这些不等式怎么解呢？3.分式不等式0)()(〉x g x f ⇔ ,分式不等式⇔≥0)()(x g x f . 高次不等式的解法一般用穿根法.例1：解下列不等式：（1）062>--x x ；（2）01442>+-x x ；（3）解不等式0322>++-x x解：（1）因为025)6(14)1(2>=-⨯⨯--=∆,方程062=--x x 的两根是2,321-==x x ， 所以，原不等式的解集是{}23-<>x x x 或。
高三数学一元二次不等式及其解法教案范例
高三数学一元二次不等式及其解法教案范例教学目标
1.了解一元二次不等式的基本定义。
2.学习求解一元二次不等式的方法和技巧。
3.能够自己独立解决一元二次不等式问题。
教学重点
1.一元二次不等式的定义和性质。
2.求解一元二次不等式的方法和技巧。
教学难点
1.复杂的一元二次不等式的求解问题。
2.解决实际问题时如何将问题转化为一元二次不等式的形式。
教学步骤
第一步：引入概念
讲师可以通过图示和实例引入一元二次不等式的定义和性质。
第二步：解法介绍
1.教育者介绍一元二次不等式的最基本解法。
2.教练员通过实例演示一元二次不等式的解决过程。
3.教练员介绍一元二次不等式的常规解法。
第三步：例题讲解
1.针对一元二次不等式的基本解法讲解几道例题。
2.针对一元二次不等式的常规解法讲解几道例题。
3.参与者自己解决例题。
第四步：综合练习
1.针对一元二次不等式的基本解法分组进行练习。
2.针对一元二次不等式的常规解法分组进行练习。
3.教育者鼓励每个参与者独自解决综合练习的问题。
总结
1.通过这一次教学，学生们已经掌握了基本的一元二次不等式求解方法和技巧。
2.同时，学生们也理解了如何将实际问题转换为一元二次不等式的形式。
3.这种一元二次不等式教学法适用于各个年龄段的学生，并且可扩展到更高难度的问题.。
一元二次不等式及其解法(优秀教案1)
一元二次不等式及其解法（第一课时）一、 课标要求1、使学生深刻理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式地关系；2、使学生熟练掌握一元二次不等式地解法，掌握数形结合地思想；3、提高学生地运算能力和逻辑思维能力，培养学生分析、解决问题地能力. 教学重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，围绕一元二次不等式地解法展开，突出体现数形结合地思想.教学难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集地关系. 三、教学方法：自主探究法 四、 教学过程（一）导入新课：教材P76页地问题（二）预学案导学1、解一元二次方程250x x -=，并作出25y x x =-地图象2、填表：二次函数2(0)y ax bx c a =++>与二次方程20(0)ax bx c a ++=>地关系 （完成“四、合作展示”中表格地第一、二行）3、一元一次不等式是如何定义地？其数学表达形式是什么？定义：只含有一个未知数，并且未知数地最高次数是1地不等式称为一元二次不等式.其数学表达形式为4、画出函数27y x =-地图象，并由图象观察，填空：当x=3.5时，y______0, 即2x-7_____ 0当x<3.5时，y______0, 即2x-7_____ 0当x>3.5时，y______0, 即2x-7_____ 0可知，2x-7> 0地解集为_______________2x-7< 0地解集为_______________思考：一元一次方程、一元一次不等式与一次函数之间有怎样地联系？小结：函数图象与X 轴交点地横坐标为方程地根，不等式地解集为函数图象落在X 轴上方（或下方）部分对应地横坐标.（三） 合作展示0(000)(0)ax b a +>≥<≤≠或或1、自主探究：（1） 类比一元一次不等式地定义，你能给出一元二次不等式地定义吗？其数学表达形式是什么？定义：只含有一个未知数，并且未知数地最高次数是2地不等式，称为一元二次不等式.其数学表达形式为（2） ①利用预学案第1题，观察图象填空：当x___________________，y=0，即25x x -_____0当x__________________，y>0，即25x x -_____0当x___________________，y<0，即25x x -_____0②不等式25x x ->0地解集是_________________不等式25x x -<0地解集是_________________2、合作探究：（1）类比三个“一次”地关系，探究一元二次不等式地解法，并完成下表：小结：一元二次不等式解集地端点就是对应函数地零点，对应方程地根.（2） 当0a <时，如何解不等式20(0)(0)ax bx c a ++><>或结论：利用不等式地性质，在不等式地两边同时乘以-1，使二次项系数变为正数.（3）如果不等式为20(0)(0)ax bx c a ++≥≤>或，其解集又是什么？（四）应用探究：例：解不等式22320x x -->变式：若不等式改为22320x x --<，则解集为_______________小结：利用二次函数解一元二次不等式地方法步骤？变式练习：1、解不等式24410x x -+>2、解不等式2230x x -+->五、 知识整理：本节课我们学习了哪些知识？运用了哪些数学思想方法？六、 训练评估1、解下列不等式222(1)40(2)4321x x x x -<+->+2、求函数y =课后作业：教材P80 A 组 第1、2、3、4题版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.DXDiT。
一元二次不等式的解法(一)学案+作业
第一课时一元二次不等式及其解法一．学习目标1.掌握一元二次不等式的解法．(重点)2.能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题．(难点)二、一元二次不等式的概念及形式1．概念：一般地，含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，称为一元二次不等式．2．形式：(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．三、一元二次不等式的解集的概念及三个“二次”的关系1．一元二次不等式的解集的概念：若二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则一元二次不等式f(x)＞0或f(x)＜0的解集，就是分别使二次函数f(x)的函数值为正值或负值时自变量x的取值的集合．2．三个“二次”的关系：课前练习题1．不等式x2≤1的解集是()A．{x|x≤1}B．{x|x≤±1}，C．{x|－1≤x≤1}D．{x|x≤－1}2．不等式2x≤x2＋1的解集为()A．∅B．R，C．{x|x≠1}D．{x|x>1或x<－1}3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：x－3－2－101234 y60－4－6－6－406则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是________．四．题型探究（一）．解一元二次不等式例1：解不等式:(1)2x2－3x－2＞0；(2)－3x2＋6x－2＞0；(3)4x2－4x＋1≤0；(4)x2－2x＋2＞0.总结1．在解一元二次不等式中，需求所对应的一元二次方程的根，可借用求根公式法，或“十字相乘法”求解，根据数形结合写出解集．2．解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：(1)化标准．通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．(2)判别式．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．(3)求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根．(4)画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图．(5)写解集．根据图象写出不等式的解集.（二）．解含参一元二次不等式例2：解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0(a∈R)分析：解答本题可通过因式分解，结合二次函数图象分类讨论求解．总结：1．解含有参数的一元二次不等式时，可根据一元二次不等式解集的结构确定其相应的分类标准进行分类讨论并求解不等式．2．对于含有参数的不等式，由于参数的取值范围不同，其结果就不同，因此必须对参数进行分类讨论，即要产生一个划分参数的标准．一般地，对于一元一次不等式，划分的标准是一次项系数大于0、等于0、小于0.对于形如ax 2＋bx ＋c ＞0的不等式划分标准有几种类型：①a ＞0，a ＝0，a ＜0；②Δ＝0，Δ＜0；③若x 1，x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，则x 1＞x 2，x 1＝x 2，x 1＜x 2.练习解关于x 的不等式“ax 2－x ＞0”（三）．三个“二次”的关系的应用例3：若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0|－13≤x ≤，求不等式cx 2＋bx ＋a ＜0的解集．分析：一元二次不等式解集的两个端点值是一元二次方程的两个根．总结：已知以a ，b ，c 为参数的不等式(如ax 2＋bx ＋c ＞0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：(1)根据解集来判断二次项系数的符号；(2)根据根与系数的关系把b ，c 用a 表示出来并代入所要解的不等式；(3)约去a,将不等式化为具体的一元二次不等式求解．练习：（1）已知不等式ax 2＋5x ＋c ＞0|13＜x ，求a ，c 的值．（2）已知不等式ax 2－3x ＋6＞4的解集为{x |x ＜1或x ＞b }．(1)求a ，b 的值．(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc ＜0.课堂小结：1．对于一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)或ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)的求解，要善于联想两个方面的问题：(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点及图象．(2)方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根．2．含有参数的不等式的求解，要注意按某一恰当的分类标准进行讨论．3．“三个二次”之间的关系不但是解一元二次不等式的理论依据，还可以确定参数的值或范围.五．作业1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，则∁U A 等于()A ．{x |0≤x ≤2}B ．{x |0＜x ＜2}C ．{x |x ＜0或x ＞2}D ．{x |x ≤0或x ≥2}2．已知二次不等式ax 2＋bx ＋1＞0的解集为{x |－2＜x ＜1}，则a ，b 的值为()A ．a ＝－1，b ＝－2B ．a ＝－2，b ＝－1C ．a ＝b ＝－12D ．a ＝1，b ＝23．若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是()A ．(－1,1)，B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)，D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)4．已知0<a <1，关于x 的不等式(x －a 的解集为()|x <a 或x >1a B ．{x |x >a }，|x <1a或x >a|x <1a5．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集为(1，m )，则实数m 的值为________．6．不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集是________．7．已知函数f (x )x 2＋1，x ≤0，2x ，x >0，则不等式f (x )－x ≤2的解集是________．8．解关于x 的不等式(1－ax )2＜1.9．已知一元二次不等式x 2＋px ＋q ＜0|－12＜x ＜13qx 2＋px ＋1＞0的解集．10.解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0.。
学案4一元二次不等式及其解法(1)
学案4—一元二次不等式及其解法[课程标准]1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．2．通过函数图象理解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系．3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.[知识梳理]1．一元一次不等式ax>b(a≠0)的解集(1)当a>0时，解集为．(2)当a<0时，解集为．2．三个“二次”间的关系(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔思考辨析判断正误(请在括号中打“√”或“×”)(1)若不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为(x1，x2)，则必有a>0.()(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.()(3)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.()(4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．() [典例精讲]考点一一元二次不等式的解法(基础型)命题点1不含参的不等式【例1】求下列不等式的解集(1)08822>+-xx (2)03722<+-xx (3)04432>-+-yy(4)2x＋1x－5≥－1 (5) | x2－x－2|≤4命题点2含参不等式【例2】解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)【跟踪训练】(1)y＝log2(3x2－2x－2)的定义域是________________．（2）已知不等式ax2－bx－1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪－12<x<－13，则不等式x2－bx－a≥0的解集是________．考点二一元二次不等式恒成立问题(综合型)命题点1在R上的恒成立问题【例3】已知函数f (x)＝mx2－mx－1.若对于x∈R，f (x)<0恒成立，求实数m的取值范围．命题点2在给定区间上的恒成立问题【例4】已知函数f (x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f (x)<5－m恒成立，求实数m的取值范围．【若将“f (x)<5－m恒成立”改为“存在x，使 f (x)<5－m成立”，如何求m的取值范围？命题点3给定参数范围的恒成立问题【例5】若mx2－mx－1<0对于m∈[1,2]恒成立，求实数x的取值范围．思维升华解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．课时作业41．关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－2)<0的解集是() A．(－∞，1)∪(2，＋∞) B．(－1,2) C．(1,2) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)2．在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含1个整数，则a的取值范围是() A．(－3,5) B．(－2,4)C．[－1,3] D．[－2,4]3．“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的充要条件是( ) A ．m >14 B ．m <14C ．m <1D ．m >14．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( ) A ．[－4,1] B ．[－4,3] C ．[1,3] D ．[－1,3]5．若存在实数x ∈[2,4]，使x 2－2x ＋5－m <0成立，则m 的取值范围为( ) A ．(13，＋∞) B ．(5，＋∞) C ．(4，＋∞)D ．(－∞，13) 6．(多选)下列四个解不等式，正确的有( ) A ．不等式2x 2－x －1>0的解集是{x |x >2或x <1}B ．不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－23或x ≥12C ．若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么a 的值是3D ．关于x 的不等式x 2＋px －2<0的解集是(q,1)，则p ＋q 的值为－17．(多选)已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)，则下列说法正确的是( ) A ．若不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，则k ＝－25B ．若不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R ，x ≠1k ，则k ＝66 C ．若不等式的解集为R ，则k <－66D ．若不等式的解集为∅，则k ≥668．(多选)关于x 的不等式(ax －1)(x ＋2a －1)>0的解集中恰有3个整数，则a 的值可以为( ) A ．－12 B ．1 C ．－1 D ．29.．已知关于x 的不等式－x 2＋ax ＋b >0. (1)若该不等式的解集为(－4,2)，求a ，b 的值； (2)若b ＝a ＋1，求此不等式的解集．学案4-------一元二次不等式及其解法【例2】.解 原不等式变为(ax －1)(x －1)<0，因为a >0，所以⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0. 所以当a >1时，解得1a <x <1；当a ＝1时，解集为∅；当0<a <1时，解得1<x <1a .综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1<x <1a ；当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a <x <1. 【跟踪训练】(1)答案 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞解析 由题意，得3x 2－2x －2>0，令3x 2－2x －2＝0，得x 1＝1－73，x 2＝1＋73，∴3x 2－2x －2>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞. （2）答案 {x |x ≥3或x ≤2}解析 由题意，知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两个根，且a <0，所以⎩⎨⎧－12＋⎝⎛⎭⎫－13＝ba，－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.故不等式x 2－bx －a ≥0为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≥3或x ≤2.【例4】.解 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．方法一 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0，所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m <67. 方法二 因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m <67. 解 由题意知f (x )<5－m 有解，即m <6x 2－x ＋1有解，则m <⎝⎛⎭⎫6x 2－x ＋1max ，又x ∈[1,3]，得m <6，即m 的取值范围为(－∞，6)．【例5】.解 设g (m )＝mx 2－mx －1＝(x 2－x )m －1，其图象是直线，当m ∈[1,2]时，图象为一条线段，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)<0，g (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1<0，2x 2－2x －1<0，故x 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32.课时作业41.答案 C 解析 关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是(1，＋∞)，∴a >0，且－ba ＝1，∴关于x 的不等式(ax ＋b )(x －2)<0可化为⎝⎛⎭⎫x ＋b a (x －2)<0，即(x －1)(x －2)<0， ∴不等式的解集为{x |1<x <2}．故选C.2.解析 因为关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0可化为(x －1)(x －a )<0， 当a >1时，不等式的解集为{x |1<x <a }，当a <1时，不等式的解集为{x |a <x <1}，当a ＝1时，不等式的解集为∅，要使得解集中至多包含1个整数，则a ＝1或1<a ≤3或－1≤a <1， 所以实数a 的取值范围是a ∈[－1,3]，故选C. 3.解析 ∵不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立，∴Δ＝(－1)2－4m <0，解得m >14，又∵m >14，∴Δ＝1－4m <0，∴“m >14”是“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的充要条件．故选A.4.解析 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3，综上可得－4≤a ≤3.5.解析 m >x 2－2x ＋5，设f (x )＝x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4，x ∈[2,4]，当x ＝2时f (x )min ＝5，∃x ∈[2,4]使x 2－2x ＋5－m <0成立，即m >f (x )min ，∴m >5.故选B. 6.解析 对于A ，∵2x 2－x －1＝(2x ＋1)(x －1)，∴由2x 2－x －1>0得(2x ＋1)(x －1)>0，解得x >1或x <－12，∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1或x <－12.故A 错误；对于B ，∵－6x 2－x ＋2≤0，∴6x 2＋x －2≥0， ∴(2x －1)(3x ＋2)≥0，∴x ≥12或x ≤－23.故B 正确；对于C ，由题意可知－7和－1为方程ax 2＋8ax＋21＝0的两个根．∴－7×(－1)＝21a ，∴a ＝3.故C 正确；对于D ，依题意q,1是方程x 2＋px －2＝0的两根，q ＋1＝－p ，即p ＋q ＝－1，故D 正确．7.解析 对于A ，∵不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，∴k <0，且－3与－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根，∴(－3)＋(－2)＝2k ，解得k ＝－25.故A 正确；对于B ，∵不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R ，x ≠1k ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝4－24k 2＝0，解得k ＝－66.故B 错误； 对于C ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝4－24k 2<0，解得k <－66.故C 正确；对于D ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝4－24k 2≤0，解得k ≥66.故D 正确．8答案 AC 解析 由题意知a <0，则排除B ，D ；对于A 项，当a ＝－12时，⎝⎛⎭⎫－12x －1(x －2)>0，即(x ＋2)(x －2)<0，解得－2<x <2，恰有3个整数，符合题意；对于C 项，当a ＝－1时，(－x －1)(x －3)>0，即(x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3，恰有3个整数，符合题意，故选AC.9.解 (1)根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－4＝a ，2×(－4)＝－b ，解得a ＝－2，b ＝8.(2)当b ＝a ＋1时，－x 2＋ax ＋b >0⇔x 2－ax －(a ＋1)<0， 即[x －(a ＋1)](x ＋1)<0.当a ＋1＝－1，即a ＝－2时，原不等式的解集为∅； 当a ＋1<－1，即a <－2时，原不等式的解集为(a ＋1，－1)； 当a ＋1>－1，即a >－2时，原不等式的解集为(－1，a ＋1)．综上，当a <－2时，不等式的解集为(a ＋1，－1)；当a ＝－2时，不等式的解集为∅；当a >－2时， 不等式的解集为(－1，a ＋1)。
一元二次不等式的解法 学案
§2一元二次不等式第1课时一元二次不等式的解法Q 情景引入ing jing yin ru城市人口的急剧增加使车辆日益增多，需要通过修建立交桥和高架道路形成多层立体的布局，以提高车速和通过能力．城市环线和高速公路网的连接也必须通过大型互通式立交桥进行分流和引导，保证交通的畅通．城市立交桥已成为现代化城市的重要标志．为了保证安全，交通部门规定，在立交桥的某地段的运行汽车的车距d正比于速度v的平方与车身长的积，且车距不得少于半个车身，假定车身长均为l(m)，当车速为60 km/h时，车距为1.44个车身长，在交通繁忙时，应规定怎样的车速，才能使此处的车流量最大？X 新知导学in zhi dao xue1．形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的不等式(其中a≠0)，叫作一元二次不等式．2．一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一元二次不等式的解．一元二次不等式的所有解组成的集合，叫作这个一元二次不等式的解集.3．解一元二次不等式的一般步骤：当a>0时，解形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：(1)确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；(2)画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图像的简图；(3)由图像得出不等式的解集.4．“三个二次”之间的关系：Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实根x1，x2且x1<x2有两个相等的实根x1，x2且x1＝x2没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的{x|x<x1或x>x2}{x|x≠－b2a}R解集ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集 {x |x 1<x <x 2}∅∅Y 预习自测u xi zi ce1．不等式16x 2＋8x ＋1≤0的解集为( D ) A ．{x |x ≠－14}B ．{x |－14≤x ≤14}C ．∅D ．{x |x ＝－14}[解析] ∵16x 2＋8x ＋1＝(4x ＋1)2≥0， ∴不等式16x 2＋8x ＋1≤0的解集为{x |x ＝－14}，故选D ．2．不等式－3x 2＋7x －2<0的解集为( B ) A ．{x |13<x <2}B ．{x |x >2或x <13}C ．{x |－2<x <－13}D ．{x |x >2}[解析] 原不等式可化为3x 2－7x ＋2>0， 即(3x －1)(x －2)>0，∴x >2或x <13，故选B ．3．(2019·全国卷Ⅱ理，1)设集合A ＝{x |x 2－5x ＋6>0}，B ＝{x |x －1<0}，则A ∩B ＝( A ) A ．(－∞，1) B ．(－2,1) C ．(－3，－1)D ．(3，＋∞) [解析] A ∩B ＝{x |x 2－5x ＋6>0}∩{x |x －1<0}＝{x |x <2或x >3}∩{x |x <1}＝{x |x <1}．故选A ． 4．不等式－x 2≥x －2的解集为( C ) A ．{x |x ≤－2或x ≥1} B ．{x |－2<x <1} C ．{x |－2≤x ≤1}D ．∅[解析] 原不等式可化为x 2＋x －2≤0， 即(x ＋2)(x －1)≤0，∴－2≤x ≤1.故选C ．5．设集合A ＝{x |(x －1)2<3x －7}，则集合A ∩Z 中有0个元素． [解析] ∵不等式(x －1)2<3x －7可化为x 2－5x ＋8<0， 即(x －52)2＋74<0，∴A ＝∅，故A ∩Z 中没有元素．H 互动探究解疑 u dong tan jiu jie yi命题方向1 ⇨一元二次不等式的解法例题1 解下列不等式：(1)2x 2－3x －2>0；(2)－3x 2＋6x >2.[分析] 先求相应方程的根，然后根据相应函数的图像，观察得出不等式的解集． [解析] (1)方程2x 2－3x －2＝0的两根为x 1＝－12，x 2＝2.函数y ＝2x 2－3x －2的图像是开口向上的抛物线，图像与x 轴有两个交点为⎝⎛⎭⎫－12，0和(2,0)，如图所示．观察图像可得原不等式的解集为{x |x <－12或x >2}．(2)原不等式可化为3x 2－6x ＋2<0，方程3x 2－6x ＋2＝0的两根为 x 1＝1－33，x 2＝1＋33，函数y ＝3x 2－6x ＋2的图像是开口向上的抛物线，图像与x 轴的两个交点为⎝⎛⎭⎫1－33，0和⎝⎛⎭⎫1＋33，0，如图所示．观察图像可得原不等式的解集是{x |1－33<x <1＋33}． 『规律总结』 解一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零．且一端为零． (2)计算对应方程的判别式．(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根． (4)根据函数图像与x 轴的相关位置写出不等式的解集． 〔跟踪练习1〕 解下列不等式： (1)4x 2－4x ＋1≤0； (2)x 2－2x ＋2>0.[解析] (1)方程4x 2－4x ＋1＝0的解是x 1＝x 2＝12，函数y ＝4x 2－4x ＋1是开口向上的抛物线(如图1)，所以原不等式的解集是{x |x ＝12}．(2)因为x 2－2x ＋2＝0的判别式Δ<0，所以方程x 2－2x ＋2＝0无解．又因为函数y ＝x 2－2x ＋2是开口向上的抛物线(如图(2))，所以原不等式解集为R .命题方向2 ⇨三个二次之间的关系例题2 若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是{x |－13≤x ≤2}，求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．[分析] 一元二次不等式解集的端点值是相应的一元二次方程的根，据此，利用根与系数的关系可求得a 、b 、c 的值，进而求解．也可以利用c a ，ba的值整体代入，转化所求不等式进行求解．[解析] 解法一：由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为 {x |－13≤x ≤2}，知a <0，又(－13)×2＝ca<0，则c >0.又－13，2为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，∴－b a ＝53.∴b a ＝－53.又c a ＝－23，∴b ＝－53a ，c ＝－23a . ∴不等式cx 2＋bx ＋a <0化为(－23a )x 2＋(－53a )x ＋a <0，即2ax 2＋5ax －3a >0.又∵a <0，∴2x 2＋5x －3<0⇔(2x －1)(x ＋3)<0. ∴不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集为{x |－3<x <12}．解法二：∵原不等式的解集为{x |－13≤x ≤2}．∴－13，2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，且a <0.由根与系数的关系得⎩⎨⎧－13＋2＝－ba－13×2＝ca，即⎩⎨⎧b a ＝－53c a ＝－23.由于a <0，所以不等式cx 2＋bx ＋a <0可化为：c a x 2＋b a x ＋1>0，即－23x 2－53x ＋1>0.即2x 2＋5x －3<0⇔(2x －1)(x ＋3)<0.∴不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集为{x |－3<x <12}．『规律总结』 一元二次不等式解集的端点恰好是其对应的一元二次方程的两根，也是与其对应的二次函数与x 轴交点的横坐标．〔跟踪练习2〕已知方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2.(1)求a 、b 的值； (2)解不等式ax 2＋bx －1>0.[解析] (1)∵方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2，由根与系数的关系，得⎩⎨⎧－12＋2＝－ba ，－12×2＝2a.解得a ＝－2，b ＝3.(2)由(1)知，ax 2＋bx －1>0化为－2x 2＋3x －1>0，即2x 2－3x ＋1<0，解得12<x <1.∴不等式ax 2＋bx －1>0的解集为{x |12<x <1}．命题方向3 ⇨含参数的一元二次不等式例题3 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a ∈R )．[分析] 含参数的一元二次不等式的解法，首先应对二次项系数进行讨论，然后再比较两根的大小写出解集．[解析] 若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0⇔x >1； 若a <0，原不等式等价于⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)>0⇔x <1a 或x >1； 若a >0，原不等式等价于⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0. (1)当1a＝1，即a ＝1时，不等式⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0无解； (2)当1a >1，即0<a <1时，不等式⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1<x <1a ； (3)当1a <1，即a >1时，不等式⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1a <x <1. 综上，当a <0时，原不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1a 或x >1；当a ＝0时，原不等式的解集为{}x |x >1； 当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1<x <1a ；当a ＝1时，原不等式的解集为∅；当a >1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1a <x <1.『规律总结』 当二次不等式的二次项的系数含有参数时，首先考虑不等式是否为二次不等式，若是，再用因式分解求出方程的根，最后讨论两根的大小写出不等式的解集．若不能用因式分解求根，则要根据判别式来讨论方程是否有根．每一类参数对应的不等式的解都是原不等式的解的一种可能，它们之间是独立的，因而不能把不同参数下的解集求并集，这点一定要注意．〔跟踪练习3〕解关于x 的不等式(x －2)(ax －2)>0(a >0)． [解析] 由于a >0，所以原不等式可化为 (x －2)⎝⎛⎭⎫x －2a >0， 由2a＝2可得a ＝1， 当0<a <1时，解不等式可得x <2或x >2a；当a ＝1时，解不等式得x ∈R 且x ≠2； 当a >1时，解不等式得x <2a或x >2.综上所述，当0<a <1时，原不等式的解集为{x |x >2a 或x <2}，当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ≠2}， 当a >1时，原不等式的解集为{x |x >2或x <2a }．Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi例题4 已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2－(a －2)x ＋(a 2＋3a ＋5)＝0的两个实根，求x 21＋x 22的最大值．[误解] 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝a －2，x 1x 2＝a 2＋3a ＋5，∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(a －2)2－2(a 2＋3a ＋5)＝－a 2－10a －6＝－(a ＋5)2＋19≤19，∴x 21＋x 22的最大值为19.[辨析] 由于一元二次方程只是在判别式Δ≥0时才有两个实根，故a 的取值范围有限制，本题没有考虑这一限制，会使x 21＋x 22的范围不准确．[正解] 由Δ＝(a －2)2－4(a 2＋3a ＋5)≥0，得 －4≤a ≤－43.∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝－(a ＋5)2＋19， ∴当a ＝－4时，x 21＋x 22取最大值18.B 本节思维导图ei jie si wei dao tu一元二次不等式的解法⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ax 2＋bx ＋c >0(a >0，x 1<x 2) ⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0时，解集为{x |x >x 2或x <x 1}Δ＝0时，解集为{x |x ≠－b 2a }Δ<0时，解集为Rax2＋bx ＋c <0(a >0，x 1<x 2) ⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0时，解集为{x |x 1<x <x 2}Δ＝0时，解集为∅Δ<0时，解集为∅。
一元二次不等式及其解法学案
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2013 级高一年级数学学科学案
学案类型： 新课
四平市第一高级中学
材料序号：
12
编稿教师： 刘强
审稿教师： 刘 强
课题：3.2 一元二次不等式及其解法
一、学习目标： 理解一元二次方程、 一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解 一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法。 二、学习重、难点： 教学重点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。 教学难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。 三、知识导学： 1、设相应的一元二次方程 ax 2 bx c 0a 0 的两根为 x1、x2 且 x1 x2 ， b 2 4ac ，则不等式的解的各种情况如下表：
x1 x2
b 2a
无实根
ax 2 bx c 0 (a 0)的解集 ax 2 bx c 0 (a 0)的解集 ax 2 bx c 0 (a 0)的解集 ax 2 bx c 0 (a 0)的解集
x x x 或x x
参考答案
1 {x | x } 。 【例 1】 （1） 注意到 4 x 2 4 x 1 (2 x 1) 2 0 ， 所以原不等式的解集为： 2 2 2 （2）不等式可化为 x 2 x 3 0 ，因为 8 0 ，方程 x 2 x 3 0 无 实根。而 y x 2 2 x 3 的图像开口向上，所以原不等式的解集为 。 【例 2】 a 0 时，解集为： {x | 2a x a} ； a 0 时，解集为 ； a 0 时，解集为 {x | x a或x 2a} 。 1 1 2 x 39.5 。 【例 3】 设这辆汽车刹车前的车速至少为 x km / h ， 根据题意： x 20 180 移项整理，得： x 2 9 x 7110 0 。显然 0 ，方程 x 2 9 x 7110 0 有 两个实根， 即 x1 88.94 ，x2 79.94 。 然后画出函数 y x 2 9 x 7110 的 图像。由图象得不等式的解集为 {x | x 88.94或x 79.94} 。 在这个问题中， x 0 ，所以这辆汽车刹车前的车速至少为 79.94 km / h 。 m 0 6 【例 4】 （1）由题意知： ，解得： m ； 6 4 4 m 6 m 0 m 0 6 （2）由题意得： ，解得： m 。 6 4 4 m 6 m 0
学案30：一元二次不等式及其解法
学案30：一元二次不等式及其解法知识梳理：一.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系1．二次项系数中含有参数时，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式．2．当Δ<0时，易混ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集为R 还是∅.[试一试]1．设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝( ) A ．(－2,1] B ．(－∞，－4] C ．(－∞，1] D ．[1，＋∞) 2．不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝⎛⎭⎫－12，13，则a ＋b 的值是( ) A ．10 B ．－10 C ．14 D ．－143．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 三：方法：1．由二次函数图像与一元二次不等式的关系得到的两个常用结论(1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c >0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c <0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.2．分类讨论思想：解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏． [练一练]若不等式mx 2＋2mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是________．[典例](1)0＜x2－x－2≤4；(2)x2－4ax－5a2＞0(a≠0)．[针对训练]解下列不等式：(1)－3x2－2x＋8≥0；(2)ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)．要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换.对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图像与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围.归纳起来常见的命题角度有：(1)形如f(x)≥0(x∈R)确定参数的范围；(2)形如f(x)≥0(x∈[a，b])确定参数范围；(3)形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])确定x的范围.角度一形如f(x)≥0(x∈R)确定参数的范围.1．设0≤α≤π，不等式8x2－(8sin α)x＋cos 2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为________．角度二形如f(x)≥0(x∈[a，b])确定参数范围2．对任意x∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，求a的取值范围.角度三形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])确定x的范围3．对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，求x的取值范围．[典例]年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格是4元/件．经测算，该商品价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k .该商品的成本价为3元/件．(1)写出该商品价格下降后，经销商的年收益y 与实际价格x 的函数关系式；(2)设k ＝2a ，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%?[针对训练]某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．课堂练习： 题组一1．不等式|x 2－2|<2的解集是( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－2,0)∪(0,2) 2．设a >0，不等式－c <ax ＋b <c 的解集是{x |－2<x <1}，则a ∶b ∶c ＝( )A ．1∶2∶3B ．2∶1∶3C ．3∶1∶2D ．3∶2∶13．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( )A.52B.72C.154D. 1524．不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－1,4] B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞) C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞) D ．[－2,5]5．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，－x ，x ≤0，则不等式f (x )<4的解集是________．6．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝__________，n ＝________.题组二：1．不等式4x －2≤x －2的解集是( )A ．(－∞，0]∪(2,4]B ．[0,2)∪[4，＋∞)C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞) 2．已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12，则f (10x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >lg 2}B ．{x |－1<x <lg 2}C ．{x |x >－lg 2}D ．{x |x <－lg 2} 3． “0<a <1”是“ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是( ) A ．(4,5) B ．(－3，－2)∪(4,5) C ．(4,5] D ．[－3，－2)∪(4,5] 5．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－235，1 C ．(1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，－235 6．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________7．在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )．若不等式(x －y )*(x ＋y )<1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是________．8．不等式x 2－2x ＋3 ≤a 2－2a －1在R 上的解集是∅，则实数a 的取值范围是________． 9．设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．10．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m ＜n )． (1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )＞0的解集； (2)若a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a ，比较f (x )与m 的大小．题组三：1．若函数f (x )＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图像恒在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A ．[1,19]B ．(1,19)C ．[1,19)D ．(1,19]2．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________．。
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3.2.1一元二次不等式及其解法教案
【学习目标】
1．理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；
2．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法； 【重难点】
重点：一元二次不等式的解法。
难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。
【学习过程】
一.自主学习
复习1、一元一次方程和一元一次不等式以及一次函数的关系： 解不等式：
（1）270x -< （2）270x ->
画出函数y 27x =-图像，观察函数y 27x =-图像与方程270x -=与不等式
270x -<和270x ->之间的联系。
总结：
（1）270x -=的解是函数y 27x =-的图像与x 轴 。
（2）270x ->的解是函数y 27x =-的图像在x 轴的 。
（3）270x -<的解是函数y 27x =-的图像在x 轴的 。
复习2、作二次函数2
+2-3y x x =的简图：
总结：
作一般二次函数20y ax bx c a =++≠（）图像的一般方法： （1）确定开口方向； （2）计算对称轴和顶点坐标； （3）计算与x 轴是的交点坐标； （4）作出简图。
二.新课导学
1、解一元二次方程：2
60x x --=。
2、若将上述方程中的“=”改为“>”就得到一元二次不等式2
60x x -->，怎样求解一元二次不等式呢？
提示：利用一次函数图像可以得到一元一次不等式的解集，可否用此法来探究一元二次不等式2
60x x -->的解集？
3、探究一元二次不等式2
60x x -->的解集。
（1）画出二次函数2
6y x x =--的简图；
（2）利用图像得出方程2
60x x --=和不等式
260x x -->，260x x --<的解集分别是什么？
（3）类比不等式260x x -->的解题过程，求不等式2
0ax bx c ++>和2
0ax bx c ++<解
三、例题实践
例1 求不等式01442
>+-x x 的解集.
例2 解不等式0322
>-+-x x
总结提升：
解一元二次不等式的一般步骤：（1）把二次项系数化为正数；（2）计算对应方程的判别式∆；（3）解对应的一元二次方程；（4）根据一元二次方程的根，结合图像，写出不等式的解集。
概括为：一化正，二算∆，三求根，四写解集。
四.随堂练习
求下列不等式的解集：
（1）2
3710x x -≤ （2）2
250x x -+-< （3）2
440x x -+-<
五.反思小结：
① 本节课我们做了什么探究活动？
② 如何利用二次函数的图像解一元二次不等式？解题步骤总结为？ ③ 你体会到什么样的数学研究思路及方法呢？
六.达标测验
求下列不等式的解集： （1）2
1
04
x x -+> （2）223x x -+<- （3）2350x x +<
思考：若关于x 的一元二次方程()2
10x m x m -+-=有两个人不相等的实根，求m 的
取值范围。