高考数学一轮复习：第10章 计数原理、概率、随机变量 第8讲(理)
高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 10.4 随机事件的概率课件(理)
ห้องสมุดไป่ตู้D．不是互斥事件
解：显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时 不发生，因为红牌可以分给乙、丙两人，综上，这两个事 件为互斥但不对立事件．故选 C.
(2014·江南十校联考)从正五边形的五个顶点中，随机选择三个顶
点连成三角形，对于事件 A：“这个三角形是等腰三角形”，下列推断正
确的是( ) A．事件 A 发生的概率等于15
交事件 若某事件发生当且仅当事件 A 发生____事件 B 发 (积事件) 生，则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件
互斥事件 若______为不可能事件，则事件 A 与事件 B 互斥
对立事件 若________为不可能事件，________为必然事 件，那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件
3．事件的关系与运算(类比集合的关系与运算)
定义 包含关系 如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生，这时称事
件 B______事件 A(或称事件 A 包含于事件 B)
相等关系
若 B⊇A 且 A⊇B
并事件 若某事件发生当且仅当事件 A 发生______事件 B (和事件) 发生，称此事件为事件 A 与事件 B 的并事件
符号表示 ____________ (或 A⊆B)
____________
A∪B(或 A＋B)
A∩B(或 AB)
A∩B＝______ A∩B＝______ P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第10章 §10.8 概率与统计的综合问题
X012 3
P
27 27 9 64 64 64
1 64
则 E(X)＝3×14＝34.
思维升华
高考常将独立性检验与分布列等交汇在一起进行考查，解决独立性检 验问题，要注意过好“三关”：假设关、公式关、对比关.解决概率 问题要准确地把握题中所涉及的事件，明确所求问题所属的事件类型.
跟踪训练3 (2023·昆明模拟)2022年，举世瞩目的冬奥会在北京举行，冬 奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”有着可爱的外表和丰富的寓意，自 亮相以来就好评不断，深受各国人民的喜爱.某市一媒体就本市小学生是 否喜爱这两种吉祥物对他们进行了一次抽样调查，列联表如下(单位：人)：
2024年高考数学一轮复习课件（新高考版）
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
§10.8 概率与统计 的综合问题
题型一 频率分布直方图与分布列的综合问题
例1 2022年是中国共产主义青年团成立100周年，为引导和带动青少年 重温共青团百年光辉历程，某校组织全体学生参加共青团百年历史知识 竞赛，现从中随机抽取了100名学生的 成绩组成样本，并将得分分成以下6组： [40,50)，[50,60)，[60,70)，…，[90,100]， 统计结果如图所示. (1)试估计这100名学生得分的平均数；
^
^
，a＝ y －b x .
n
x2i －n x 2
i＝1
由题意得， x ＝1＋2＋3＋10…＋9＋10＝5.5，
10
10
又 y ＝1.5，xiyi＝89.1，x2i ＝385，
i＝1
i＝1
10
xiyi－10 x y
^ i＝1
所以b＝
10
＝89.318－5－101×0×5.55×.521.5＝0.08，
高考数学一轮总复习课件第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 10.8精选ppt版本
求P(B|A).
(2)基本事件法:借助古典概型概率公式,先求事件A包
含的基本事件数n(A),再求事件AB所包含的基本事件数 n(AB),得P(B|A)= n ( A B ) .
n (A )
2.正态分布下两类常见的概率计算 (1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题, 涉及的知识主要是正态曲线关于直线x=μ对称,曲线与 x轴之间的面积为1.
2.掌握常见五个事件的含义 (1)A,B中至少有一个发生的事件为A∪B. (2)A,B都发生的事件为AB. (3)A,B都不发生的事件为 (4)A,B恰有一个发生的事件为 (5)A,B至多一个发生的事件为
A B.
AB AB.
A BA BA B .
3.二项分布是在独立重复试验中产生的,离开独立重复 试验不存在二项分布. 4.若X～B(n,p),则当k由0增大到n时,P(X=k)先由小到 大然后由大到小,且当k取不超过(n+1)p的最大整数时 P(X=k)最大.
试的概率为
C
2 3
0.62×0.4+0.63=0.648.
5.(2016·济宁模拟)有一批种子的发芽率为0.9,出芽后
的幼苗成活率为0.8,在这批种子中,随机抽取一粒,则
这粒种子能成长为幼苗的概率为
.
【解析】由题意可得所求概率=0.8×0.9=0.72,即这粒
种子能成长为幼苗的概率为0.72.
答案：0.72
结论 错误 错误 正确 错误
4.(2015·全国卷Ⅰ)投篮测试中,每人投3次,至少投中
2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为
0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试
的概率为 ( )
A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312
高考数学全程一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布列第一节两个计数原理课件
4．[2024·浙江杭州模拟]在一个圆周上有8个点，用四条既无公共点 又无交点的弦连结它们，则连结方式有________种．
答案：14
解析：不妨设圆周上的点依次为A，B，C，D，E，F，G，H， 要使得四条弦既无公共点又无交点，如图所示： 符合图①的连结方式有2种；符合图②的连结方式有4种；符合图③的连结方式 有8种；共计2＋4＋8＝14(种)．
2．[2024·江苏扬州模拟]用1，2，3，4四个数字组成没有重复数字的
三位偶数，共有( )
A．6个
B．18个
C．24个
D．12个
答案：D
解析：先排个位数，有2种选择，再排十位和百位，有3×2＝6(种)选择，根据 分步乘法计数原理可得共有2×6＝12(个)不重复的三位偶数，故选D.
3．[2024·山东临沂模拟]集合M＝{1，－2，3}，N＝{－3，5，6，－
(2)如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一
条棱上的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同染色方
法的种数为( )
A．192
B．420
C．210
D．72
答案：B
解析：按照S→A→B→C→D的顺序进行染色，按照A，C是否同色分类： 第一类，A，C同色，由分步乘法计数原理有5×4×3×1×3＝180(种)不同的染 色方法；第二类，A，C不同色，由分步乘法计数原理有5×4×3×2×2＝240(种) 不同的染色方法；根据分类加法计数原理，共有180＋240＝420种不同的染色方 法．故选B.
【常用结论】
1．分类加法计数原理的推广：完成一件事有n类不同方案，在第1类 方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……， 在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2 ＋…＋mn种不同的方法．
【课堂新坐标】(安徽专用)高考数学(理)一轮总复习课件第十章计数原理、概率、随机变量及其分布 第
)
B． 8 种 D．16 种
如下图，甲第一次传给乙时有 5 种方法，同
理，甲传给丙也可以推出 5 种情况，综上有 10 种传法．
【答案】
C
4． 在某种信息传输过程中， 用 4 个数字的一个排列(数字 允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数 字只有 0 和 1，则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字 相同的信息个数为( A．10 C．12 ) B．11 D．15
【尝试解答】
根据 a，b 的限制范围分类讨论，利用
分类加法计数原理计算．
【尝试解答】
a，b∈{－1,0,1,2}．
b (1)当 a＝0 时，有 x＝－ ，b＝－1,0,1,2 有 4 种可能． 2 (2)当 a≠0 时，则 Δ＝4－4ab≥0，ab≤1， ①若 a＝－1 时，b＝－1,0,1,2 有 4 种不同的选法． ②若 a＝1 时，b＝－1,0,1，有 3 种可能； ③若 a＝2 时，b＝－1,0，有 2 种可能． ∴有序数对(a，b)共有 4＋4＋3＋2＝13(个)．
变式训练 1 某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4 本赠送给 4 位朋友，每位朋友一本，则不同 的赠送方法共有( A．4 种 C．18 种 ) B．10 种 D．20 种
【解析】 赠送一本画册，3 本集邮册．需从 4 人中选取 一人赠送画册，其余送邮册，有 C1 4种方法． 赠送 2 本画册，2 本集邮册，只需从 4 人中选出 2 人送画
【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
)
根据两个计数原理的含义， (1)(4)不正确，
2．(人教 A 版教材习题改编)某班新年联欢会原定的 6 个 节目已排成节目单，开演前又增加了 3 个新节目，如果将这 3 个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为( A．504 C．336
高考数学一轮复习 第10章 计数原理、概率、随机变量及
10.3 二项式定理[知识梳理]1．二项式定理2．二项式系数的性质3．常用结论(1)C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n.(2)C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.(3)C1n＋2C2n＋3C3n＋…＋n C n n＝n2n－1.(4)C r m C 0n ＋C r －1m C 1n ＋…＋C 0m C r n ＝C rm ＋n . (5)(C 0n )2＋(C 1n )2＋(C 2n )2＋…＋(C n n )2＝C n2n . [诊断自测] 1．概念思辨(1)(a ＋b )n的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关．( )(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(a ＋b )2n中系数最大的项是第n 项．( )(3)(a ＋b )n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．( )(4)若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，则a 7＋a 6＋…＋a 1的值为128.( ) 答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)× 2．教材衍化(1)(选修A2－3P 30例1)⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式的常数项为( )A ．－192x 2B ．240xC ．－160 D.60x答案 C解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(2x )6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r 26－r C r 6x 3－r (r ＝1,2，…，6)，所以当r ＝3时为常数项，此时T 4＝－23×C 36＝－160，故选C.(2)(选修A2－3P 31例2)二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 10的展开式中系数最大的项为( )A ．第六项B ．第五项和第六项C ．第五项和第七项D ．第六项和第七项 答案 C解析 二项展开式的通项为T r ＋1＝C r10x10－r(－x －12)r ＝(－1)r C r10·x 10－32r ，每项系数的绝对值与对应的二项式系数相等，由二项式系数性质，知展开式中中间一项即第六项的二项式系数最大为C 510，但第六项系数为－C 510，显然不是最大的．又因第五项和第七项的系数相等且为C 410＝C 610，再由二项式系数的增减性规律可知选C.3．小题热身(1)(2017·全国卷Ⅲ)(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．－80 B ．－40 C ．40 D ．80 答案 C解析 因为x 3y 3＝x ·(x 2y 3)，其系数为－C 35·22＝－40，x 3y 3＝y ·(x 3y 2)，其系数为C 25·23＝80.所以x 3y 3的系数为80－40＝40. 故选C.(2)(2017·山东高考)已知(1＋3x )n的展开式中含有x 2项的系数是54，则n ＝________.答案 4解析 (1＋3x )n 的展开式的通项为T r ＋1＝C r n (3x )r .令r ＝2，得T 3＝9C 2n x 2.由题意得9C 2n ＝54，解得n ＝4.题型1 二项展开式角度1 求二项展开式中的特定项或系数典例 (2016·全国卷Ⅰ)(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是________．(用数字填写答案)答案 10 解析 T r ＋1＝C r5(2x )5－r·(x )r＝25－r C r5·x 5－r 2，令5－r2＝3，得r ＝4，∴T 5＝10x 3，∴x 3的系数为10.角度2 已知二项展开式某项的系数求参数典例 (2015·湖南高考)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 5的展开式中含x 32的项的系数为30，则a ＝( )A. 3 B ．－ 3 C ．6 D ．－6 答案 D解析 ⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(x )5－r ·⎝⎛⎭⎪⎫－a x r ＝(－a )r C r5·x 5－2r 2. 依题意，令5－2r ＝3，得r ＝1， ∴(－a )1·C 15＝30，a ＝－6，故选D. 角度3 多项展开式典例(2015·全国卷Ⅰ)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．60 答案 C解析 (x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5的展开式中只有C 25(x 2＋x )3y 2中含x 5y 2，易知x 5y 2的系数为C 25C 13＝30，故选C.方法技巧1．求二项展开式中的特定项或项的系数问题的思路 (1)利用通项公式将T k ＋1项写出并化简．(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k .(3)代回通项得所求．见角度1典例．2．求多项式展开式中的特定项或项的系数问题的方法(1)对于三项式问题，一般先变形化为二项式，再用通项公式求解，或用组合知识求解．见角度3典例．(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般对某个因式用通项公式，再结合与其他因式相乘情况求解特定项，或根据因式连乘的规律，结合组合知识求解，但要注意适当地运用分类思想，以免重复或遗漏．见冲关针对训练2.(3)对于几个多项式和的展开式中的特定项问题，只需依据各个二项展开式中分别得到符合要求的项，再求和即可．冲关针对训练1．(2014·湖北高考)若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋a x7的展开式中1x3的系数是84，则实数a ＝( ) A ．2 B.54 C ．1 D.24答案 C解析 T r ＋1＝C r 7·(2x )7－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫a xr ＝27－r C r 7a r·1x2r －7.令2r －7＝3，则r ＝5.由22·C 57a 5＝84得a ＝1，故选C.2．(2014·全国卷Ⅰ)(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________．(用数字填写答案)答案 －20解析 由二项展开式公式可知，含x 2y 7的项可表示为x ·C 78xy 7－y ·C 68x 2y 6，故(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为C 78－C 68＝C 18－C 28＝8－28＝－20.题型2 二项式系数的性质或各项系数的和典例1(2015·湖北高考)已知(1＋x )n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A ．212B ．211C ．210D ．29答案 D解析 ∵(1＋x )n的展开式中第4项与第8项的二项式系数分别为C 3n ，C 7n ，∴C 3n ＝C 7n ，得n ＝10.对(1＋x )10，令x ＝1，得(1＋1)10＝C 010＋C 110＋C 210＋C 310＋…＋C 1010＝210，① 令x ＝－1，得(1－1)10＝C 010－C 110＋C 210－…＋C 1010＝0，② 利用①＋②可得2×(C 010＋C 210＋…＋C 1010)＝210，∴奇数项的二项式系数和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29.故选D.典例2 已知⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n 的展开式中前三项x 的系数为等差数列，则二项式系数最大项为________．答案358x解析 ∵C 0n ＝1，C 1n 12＝n 2，C 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝18n (n －1)，由题设可知2·n 2＝1＋18n (n －1)，n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8或n ＝1(舍去)．所以二项式系数的最大项为C 48⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ×124x 4＝358x . [结论探究] 典例2中条件不变，试求展开式中系数最大的项． 解 设第r ＋1项的系数T r ＋1最大，显然T r ＋1>0， 故有T r ＋1T r ≥1且T r ＋2T r ＋1≤1， ∵T r ＋1T r ＝C r 8·2－r C r －18·2－r ＋1＝9－r 2r， 由9－r2r≥1，得r ≤3. 又∵T r ＋2T r ＋1＝C r ＋18·2－(r ＋1)C r 8·2－r＝8－r 2(r ＋1)， 由8－r2(r ＋1)≤1，得r ≥2.∴r ＝2或r ＝3，所求项为T 3＝7x 52和T 4＝7x 74.方法技巧 1．赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于a ，b 的一切值都成立．因此，可将a ，b 设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令a ，b 等于多少时，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值．如：(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m(a ，b ∈R )的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝1即可．(2)形如(ax ＋by )n(a ，b ∈R )的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．见典例1.2．二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法(1)一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则f (x )的展开式中各项系数之和为f (1)． (2)奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2.(3)偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.冲关针对训练1．设m 为正整数，(x ＋y )2m展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8 答案 B解析 由题意得a ＝C m 2m ，b ＝C m 2m ＋1，所以13C m 2m ＝7C m2m ＋1，∴13·(2m )！m ！·m ！＝7·(2m ＋1)！m ！·(m ＋1)！，∴7(2m ＋1)m ＋1＝13，解得m ＝6，经检验为原方程的解，故选B.2．若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________.答案 10解析 解法一：(通法)将f (x )＝x 5进行转化，利用二项式定理求解．f (x )＝x 5＝(1＋x －1)5，它的通项为T r ＋1＝C r 5(1＋x )5－r ·(－1)r ，T 3＝C 25(1＋x )3(－1)2＝10(1＋x )3，∴a 3＝10.解法二：(赋值法)对等式f (x )＝x 5＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5两边连续对x 求导三次得：60x 2＝6a 3＋24a 4(1＋x )＋60a 5(1＋x )2，再令x ＝－1得60＝6a 3，即a 3＝10.题型3 二项式定理的应用典例 (1)求证：n ∈N 且n ≥3时，2n －1≥n ＋1； (2)求证：32n ＋2－8n －9(n ∈N *)能被64整除；(3)计算1.056.(精确到0.01) 解 (1)证明：n ≥3时，2n＝(1＋1)n＝1＋n ＋C 2n ＋…＋n ＋1≥2＋2n ，∴2n －1≥n ＋1.(2)证明：原式＝(1＋8)n ＋1－8n －9＝1＋C 1n ＋181＋C 2n ＋182＋…＋C n ＋1n ＋18n ＋1－8n －9＝C 2n ＋182＋C 3n ＋183＋…＋C n ＋1n ＋18n ＋1＝64(C 2n ＋1＋C 3n ＋18＋…＋C n ＋1n ＋18n －1)．∵C 2n ＋1，C 3n ＋1，…，C n ＋1n ＋1均为自然数，上式各项均为64的整数倍， ∴32n ＋2－8n －9(n ∈N *)能被64整除．(3)1.056＝(1＋0.05)6＝1＋6×0.05＋15×0.052＋…＝1＋0.3＋0.0375＋…≈1.34. 方法技巧二项式定理应用的常见题型及求解策略1．整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中关注展开式的最后几项，而求近似值则关注展开式的前几项．见本典例(2)．2．二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式． 3．(a ＋b )n的展开式共有n ＋1项，故可通过对某些项的取舍来放缩，达到证明不等式的目的．见本典例(1)．4．利用二项式定理进行近似计算：当n 不很大，|x |比较小时，(1＋x )n≈1＋nx .若精确度要求较高，则可使用更精确的公式(1＋x )n≈1＋nx ＋n (n －1)2x 2.见本典例(3)．冲关针对训练1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k ·90k C k 10＋…＋9010C 1010除以88的余数是( ) A ．－1 B ．1 C ．－87 D ．87 答案 B解析 1－90C 110＋902C 210＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C 110889＋…＋C 91088＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数是1.故选B.1．(2017·全国卷Ⅰ)⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为( )A ．15B ．20C ．30D ．35 答案 C解析 因为(1＋x )6的通项为C r 6x r ，所以⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x2(1＋x )6展开式中含x 2的项为1·C 26x 2和1x2·C 46x 4.因为C 26＋C 46＝2C 26＝2×6×52×1＝30，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为30.故选C.2．(2018·山西四校联考)若⎝⎛⎭⎪⎫x 6＋1x x n的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 C解析 T r ＋1＝C r n(x 6)n －r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x r ＝C rn x 6n －152r ，当T r ＋1是常数项时，6n －152r ＝0，即n ＝54r ，又n ∈N *，故当r ＝4时，n 的最小值为5，故选C.3．(2018·福建漳州模拟)已知(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9＋a 10x 10，则a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10的值为( )A ．－20B ．0C ．1D ．20 答案 D解析 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝1，再令x ＝0，得a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝0，又易知a 1＝C 910×21×(－1)9＝－20，所以a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10＝20.故选D.4．(2017·浙江高考)已知多项式(x ＋1)3(x ＋2)2＝x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5，则a 4＝________，a 5＝________.答案 16 4解析 a 4是x 项的系数，由二项式的展开式得a 4＝C 33·C 12·2＋C 23·C 22·22＝16；a 5是常数项，由二项式的展开式得a 5＝C 33·C 22·22＝4.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2018·广东测试)⎝⎛⎭⎪⎫x 2－12x 6的展开式中，常数项是( )A ．－54 B.54 C ．－1516 D.1516答案 D解析 T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 6x 12－3r ，令12－3r ＝0，解得r ＝4.∴常数项为⎝ ⎛⎭⎪⎫－124C 46＝1516.故选D.2．(2018·福建厦门联考)在⎝⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x 201810的展开式中，x 2的系数为( ) A ．10 B ．30 C ．45 D ．120 答案 C解析 因为⎝⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x 201810＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋x )＋1x 201810＝(1＋x )10＋C 110(1＋x )91x2018＋…＋C 1010⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 201810，所以x 2只出现在(1＋x )10的展开式中，所以含x 2的项为C 210x 2，系数为C 210＝45.故选C.3．已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1 答案 D解析 由二项式定理得(1＋x )5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5·x r，所以当r ＝2时，(1＋ax )(1＋x )5的展开式中相应x 2的系数为C 25，当r ＝1时，相应x 2的系数为C 15·a ，所以C 25＋C 15·a ＝5，a ＝－1，故选D.4．(2018·河南百校联盟模拟)(3－2x －x 4)(2x －1)6的展开式中，含x 3项的系数为 ( )A ．600B ．360C ．－600D ．－360 答案 C解析 由二项展开式的通项公式可知，展开式中含x 3项的系数为3×C 3623(－1)3－2×C 2622(－1)4＝－600.故选C.5．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40 答案 D解析 令x ＝1，得(1＋a )(2－1)5＝2，∴a ＝1.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的通项为T r ＋1＝C r 5·(2x )5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r ·25－r ·C r 5·x 5－2r.令5－2r ＝1，得r ＝2.令5－2r ＝－1，得r ＝3.∴展开式的常数项为(－1)2×23·C 25＋(－1)3·22·C 35＝80－40＝40.故选D.6．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )A ．－7B ．7C ．－28D ．28 答案 B解析 由题意知n ＝8，T r ＋1＝C r 8·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 28－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13x r ＝(－1)r ·C r8·x 8－r 28－r ·1xr 3＝(－1)r ·C r 8·x 8－r －r328－r， 由8－r －r3＝0，得r ＝6.∴T 7＝C 68·122＝7，即展开式中的常数项为T 7＝7.故选B.7．(2018·石家庄模拟)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1ax 9(a ∈R )的展开式中x 9的系数是－212，则⎠⎛0a sin x d x 的值为( )A ．1－cos 2B ．2－cos 1C ．cos 2－1D ．1＋cos 2答案 A解析 由题意得T r ＋1＝C r9·(x 2)9－r·(－1)r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax r ＝(－1)r ·C r 9·x 18－3r·1a r ，令18－3r＝9，得r ＝3，所以－C 39·1a 3＝－212，解得a ＝2.所以⎠⎛0a sin x d x ＝(－cos x)20＝－cos 2＋cos 0＝1－cos 2.故选A .8．设a ∈Z ，且0≤a <13，若512018＋a 能被13整除，则a ＝( )A ．0B ．1C ．11D ．12 答案 D 解析 512018＋a ＝(52－1)2018＋a ＝522018＋C 12018·522017·(－1)＋…＋C 20172018×52×(－1)2017＋1＋a ，∵522018能被13整除，∴只需a ＋1能被13整除即可，∴a ＝12.故选D.9．(2018·合肥质检)若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2·(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为( )A ．1或－3B ．－1或3C ．1D ．－3 答案 A解析 令x ＝0，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2＋m )9，令x ＝－2，得到a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝m 9，所以有(2＋m )9m 9＝39，即m 2＋2m ＝3，解得m ＝1或m ＝－3.故选A.10．(2017·淮北模拟)已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式中，第6项为常数项，则展开式中所有的有理项共有( )A ．5项B ．4项C ．3项D ．2项 答案 C 解析 T r ＋1＝C rnxn －r 3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－123x r ＝C rn ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r x n －2r 3，由第6项为常数项 ，得当r ＝5时，n －2r3＝0，得n ＝10.令10－2r 3＝k ∈Z ，则10－2r ＝3k ，即r ＝5－32k ，故k 应为偶数．又0≤r ≤10，故k 可取2,0，－2，即r 可取2,5,8.故第3项，第6项与第9项为有理项，故选C.二、填空题11．(2014·安徽高考)设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝⎛⎭⎪⎫1＋x a n 的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n.若点A i (i ，a i )(i ＝0,1,2)的位置如图所示，则a ＝________.答案 3解析 根据题意知a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4，结合二项式定理得⎩⎨⎧C 1n ·1a ＝3，Co\al(2,n )·1a2＝4，即⎩⎨⎧n －1＝83a ，n ＝3a ，解得a ＝3.12．若⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋b x 6的展开式中x 3的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________． 答案 2解析 因为二项式⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋b x6展开后第k 项为C k －16·(ax 2)7－k⎝ ⎛⎭⎪⎫b x k －1＝C k －16a 7－k b k －1x 15－3k ，所以当k ＝4时，可得x 3的系数为20a 3b 3，即20a 3b 3＝20，得ab ＝1.故a 2＋b 2≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立，此时a 2＋b 2取得最小值2.13．在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝________.答案 120解析 ∵(1＋x )6展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6x r ，(1＋y )4展开式的通项公式为T h ＋1＝C h4y h ，∴(1＋x )6(1＋y )4展开式的通项可以为C r6C h 4x r y h . ∴f (m ，n )＝C m 6C n4.∴f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝C 36＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 34＝20＋60＋36＋4＝120.14．(2017·江西赣州十四县联考)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x n 的展开式中前三项的系数分别为A ，B ，C ，且满足4A ＝9(C －B )，则展开式中x 2的系数为________．答案 5627 解析 易得A ＝1，B ＝n 3，C ＝C 2n 9＝n (n －1)18，所以有4＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2－n 18－n 3，即n 2－7n －8＝0，解得n ＝8或n ＝－1(舍)．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x 8中，因为通项T r ＋1＝C r 8x 8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x r ＝C r 83r x 8－2r ，令8－2r ＝2，得r ＝3，所以展开式中x 2的系数为5627. 三、解答题15．(2018·三亚模拟)已知f n (x )＝(1＋x )n .(1)若f 2019(x )＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2019x2019，求a 1＋a 3＋…＋a 2017＋a 2019的值； (2)若g (x )＝f 6(x )＋2f 7(x )＋3f 8(x )，求g (x )中含x 6项的系数． 解 (1)因为f n (x )＝(1＋x )n ，所以f 2019(x )＝(1＋x )2019，又f 2019(x )＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2019x 2019，所以f 2019(1)＝a 0＋a 1＋…＋a 2019＝22019，①f 2019(－1)＝a 0－a 1＋…＋a 2017－a 2019＝0，② ①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 2017＋a 2019)＝22019， 所以a 1＋a 3＋…＋a 2017＋a 2019＝22018. (2)因为g (x )＝f 6(x )＋2f 7(x )＋3f 8(x )， 所以g (x )＝(1＋x )6＋2(1＋x )7＋3(1＋x )8.g (x )中含x 6项的系数为C 66＋2C 67＋3C 68＝99.16．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x n ， (1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．解 (1)因为C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，所以n 2－21n ＋98＝0，得n ＝7或n ＝14.当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5.∴T 4的系数为C 37⎝ ⎛⎭⎪⎫12423＝352，T 5的系数为C 47⎝ ⎛⎭⎪⎫12324＝70. 当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8，∴T 8的系数为C 714⎝ ⎛⎭⎪⎫12727＝3432. (2)∵C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，∴n 2＋n －156＝0， ∴n ＝12或n ＝－13(舍去)．设T k ＋1项的系数最大， ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212(1＋4x )12， ∴{ C k 124k ≥C k －1124k －1，Co\al(k ,12)4k ≥C k ＋1124k ＋1，解得475≤k ≤525. ∵k ∈N ，∴k ＝10，∴展开式中系数最大的项为T 11，T 11＝C 1012·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·210·x 10＝16896x 10.。
新高考数学大一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布第八节离散型随机变量的均值与方差教师用书理
新高考数学大一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布第八节离散型随机变量的均值与方差教师用书理☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆自|主|排|查1．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X 的分布列为(1)均值：称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
(2)D (X )＝ i ＝1n(x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，其算术平方根DX 为随机变量X 的标准差。
2．均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，(2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )(a ，b 为常数)。
3．两点分布与二项分布的均值、方差微点提醒1．均值E (X )是一个实数，由X 的分布列唯一确定，即X 作为随机变量是可变的，而E (X )是不变的，它描述X 值的取值平均状态。
2．已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解。
若所给随机变量服从两点分布或二项分布等，则可直接利用它们的均值、方差公式求解。
3．已知随机变量X 的均值、方差，求X 的线性函数Y ＝aX ＋b 的均值、方差和标准差，可直接用X 的均值、方差的性质求解。
小|题|快|练一 、走进教材1．(选修2－3P 64练习T 2改编)已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望E (X )＝( A.32 B ．2 C.52D ．3【解析】 E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝1510＝32。
故选A 。
【答案】 A2．(选修2－3P 69B 组T 1改编)抛掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为________。
【解析】 抛掷两枚骰子，当两枚骰子不出现5点和6点时的概率为46×46＝49，所以至少有一次出现5点或6点的概率为1－49＝59，用X 表示10次试验中成功的次数，则X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫10，59，E (X )＝10×59＝509。
高考数学一轮复习 第10章 计数原理、概率、随机变量及其分布 10.4 随机事件的概率课件 理
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经典(jīngdiǎn)题型四十七页。
题型 1 随机事件 典例 某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件 A 为“只订甲报”，事件 B 为“至少订一种报纸”，事件 C 为“至多订一种报纸”，事件 D 为“不订甲报”，事件 E 为“一种报纸也不订”．判断下列事件是不是互斥事件；如 果是，再判断它们是不是对立事件： (1)A 与 C；(2)B 与 E；(3)B 与 C；(4)C 与 E.
第10章 计数原理、概率、随机变 量 及其分布 (suí jī biàn liànɡ)
10．4 随机(suí jī)事件的概率
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基础知识过关(guò〃guān)
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[知识梳理] 1．事件的分类
(3)求续保人本年度平均保费的估计值．
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采用公式法 fn(A)＝nnA.
解 (1)事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于 2. 由所给数据知，一年内出险次数小于 2 的频率为602＋0050 ＝0.55，故 P(A)的估计值为 0.55. (2)事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于 4. 由所给数据知，一年内出险次数大于 1 且小于 4 的频率 为31022/＋101/2003210＝0.3，故 P(B)的估计值为 0.3.
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2．频率和概率 (1)在相同的条件 S 下重复 n 次实验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的____次__数___n_A__为事
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1 第十章 第八讲 A组 基础巩固 一、选择题 1．设由0、1组成的三位编号中，若用A表示“第二位数字为0的事件”，用B表示“第一位数字为0的事件”，则P(A|B)＝ ( )
A.12 B．14
C.16 D．18 [答案] A [解析] 因为第一位数字可为0或1，所以第一位数字为0的概率P(B)＝12，第一位数
字为0且第二位数字也是0，即事件A，B同时发生的概率P(AB)＝12×12＝14，所以P(A|B)＝PABPB＝1412＝12.
2．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 ( ) A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312 [答案] A [解析] 由题意得所求概率P＝C23×0.62×(1－0.6)＋C33×0.63＝0.648. 3．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球．则从2号箱取出红球的概率是 ( )
A.1127 B．1124
C.1627 D．924 [答案] A [解析] 法一：记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；事件B：从1号箱中取出的
是红球，则根据古典概型和对立事件的概率和为1，可知：P(B)＝42＋4＝23，P(B)＝1－23＝13；由条件概率公式知P(A|B)＝3＋18＋1＝49，P(A|B)＝38＋1＝39.从而P(A)＝P(AB)＋P(AB)＝2
P(A|B)·P(B)＋P(A|B)·P(B)＝1127，选A. 法二：根据题意，分两种情况讨论： ①从1号箱中取出白球，其概率为26＝13，此时2号箱中有6个白球和3个红球，从2
号箱中取出红球的概率为13，则此种情况下的概率为13×13＝19. ②从1号箱中取出红球，其概率为46＝23.此时2号箱中有5个白球和4个红球，从2号箱取出红球的概率为49，则这种情况下的概率为23×49＝827.则从2号箱取出红球的概率是19＋827
＝1127. 4．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P(X＝12)等于 ( )
A．C1012(38)10(58)2 B．C912(38)9(58)2
C．C911(58)9(38)2 D．C911(38)10(58)2 [答案] D [解析] “X＝12”表示第12次取到红球，前11次有9次取到红球，2次取到白球，因此
P(X＝12)＝38C911(38)9(58)2＝C911(38)10(58)2. 5．在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为 ( )
附：若X～N(μ，σ2)，则 P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6， P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4. A．2 386 B．2 718 C．3 413 D．4 772 [答案] C
[解析] 由题意可得，P(0＜x≤1)＝12P(－1＜x≤1)＝0.341 3，设落入阴影部分的点的个数
为n，则P＝S阴影S正方形＝0.341 31＝n10 000，则n＝3 413，选C. 3
6．设X～N(μ1，σ21)，Y～N(μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是 ( )
A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1) C．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t) D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t) [答案] C [解析] 由正态分布密度曲线的性质可知，X～N(μ1，σ21)，Y～N(μ2，σ22)的密度曲线分别关于直线x＝μ1，x＝μ2对称，因此结合题中所给图象可得，μ1＜μ2，所以P(Y≥μ2)＜P(Y≥μ1)，故A错误．又X～N(μ1，σ21)的密度曲线较Y～N(μ2，σ22)的密度曲线“瘦高”，所以σ1＜σ2，所以P(X≤σ2)＞P(X≤σ1)，B错误．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)，P(X≥t)≤P(Y≥t)，C正确，D错误．
二、填空题 7．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这种粒子能成长为幼苗的概率为________. [答案] 0.72 [解析] 设“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗”为事件AB(发芽，又成活为幼苗)．出芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，P(A)＝0.9.根据条件概率公式得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.9＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.
8．甲射击命中目标的概率是12，乙命中目标的概率是13，丙命中目标的概率是14.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为________. [答案] 34 [解析] 设甲命中目标为事件A，乙命中目标为事件B，丙命中目标为事件C，则击中目标表示事件A，B，C中至少有一个发生． 又P(A·B·C)＝P(A)·P(B)·P(C) ＝[1－P(A)]·[1－P(B)]·[1－P(C)] ＝(1－12)(1－13)(1－14)＝14. 4
故目标被击中的概率为1－P(A·B·C)＝1－14＝34. 9．在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一次，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为________.
[答案] 499 [解析] 设事件A为“第一次取到不合格品”，事件B为“第二次取到不合格品”，则P(AB)＝C25C2100，
所以P(B|A)＝PABPA＝5×4100×995100＝499. 10．设随机变量X～B(2，p)，随机变量Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝59，则P(Y≥1)＝________. [答案] 1927 [解析] ∵X～B(2，p)， ∴P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C02(1－p)2＝59，
解得，p＝13. 又Y～B(3，p)， ∴P(Y≥1)＝1－P(Y＝0)＝1－C03(1－p)3＝1927.
三、解答题 11．某人向一目标射击4次，每次击中目标的概率为13.该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1∶3∶6，击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比. (1)设X表示目标被击中的次数，求X的分布列； (2)若目标被击中2次，A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P(A)． [答案] (1) X 0 1 2 3 4
P 1681 3281 2481 881 181
(2)0.28
[解析] (1)依题意知X～B(4，13)， 5
P(X＝0)＝C04(13)0(1－13)4＝1681， P(X＝1)＝C14(13)1(1－13)3＝3281， P(X＝2)＝C24(13)2(1－13)2＝2481， P(X＝3)＝C34(13)3(1－13)1＝881， P(X＝4)＝C44(13)4(1－13)0＝181. ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 4
P 1681 3281 2481 881 181
(2)设Ai表示事件“第一次击中目标时，击中第i部分”i＝1,2. Bi表示事件“第二次击中目标时，击中第i部分”，i＝1,2. 依题意知P(A1)＝P(B1)＝0.1， P(A2)＝P(B2)＝0.3， A＝A1B1∪A1B1∪A1B1∪A2B2， 所求的概率为 P(A)＝P(A1B1)＋P(A1B1)＋P(A1B1)＋P(A2B2)＝P(A1)P(B1)＋P(A1)P(B1)＋P(A1)P(B1)＋P(A2)P(B2)＝0.1×0.9＋0.9×0.1＋0.1×0.1＋0.3×0.3＝0.28. 12．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A、B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；
(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 6
记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的概率作为相应事件发生的概率，求C的概率． [答案] (1)略 (2)0.48 [解析] (1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下
通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散． (2)记CA1表示事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”； CA2表示事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意”； CB1表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”； CB2表示事件：“B地区用户的满意度等级为满意”． 则CA1与CB1独立，CA2与CB2独立，CB1与CB2互斥，C＝CB1CA1∪CB2CA2. P(C)＝P(CB1CA1∪CB2CA2) ＝P(CB1CA1)＋P(CB2CA2) ＝P(CB1)P(CA1)＋P(CB2)P(CA2)．
由所给数据得CA1，CA2，CB2发生的频率分别为1620，420，1020，820，故P(CA1)＝1620，P(CA2)
＝420，P(CB1)＝1020，P(CB2)＝820，P(C)＝1020×1620＋820×420＝0.48.
B组 能力提升 1．如果随机变量X～N(μ，σ2)，且E(X)＝3，D(X)＝1，则P(0＜X＜1)等于 ( ) A．0.210 B．0.003 C．0.681 D．0.021 5 [答案] D
[解析] X～N(3,12)，因为0＜X＜1，所以P(0＜X＜1)＝0.997 4－0.954 42＝0.021 5. 2．如图，△ABC和△DEF是同一圆的内接正三角形，且BC∥EF.将一颗豆子随机地扔到该圆内，用M表示事件“豆子落在△ABC内”，N表示事件“豆子落在△DEF内”，则P(N|M)＝ ( )